高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解(可编辑修改word版)

A. n －1

B. n ＋1－1

C. n ＋1－2

D. n ＋2－2

高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解

一、选择题

1 1

. 已知a ＝ ，数列{a }的前n 项和为S ，已计算得S ＝ 2－1，

S ＝ 3－1，S ＝1， n

n ＋1＋ n n

n 1 2 3 由此可猜想 S n ＝(

)

[答案] B

1 1 1 1

2．已知 S k ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ (k ＝1,2,3，…)，则 S k ＋1 等于(

)

k 1 k 2 k 3 2k 1

A. S k ＋ ＋

2(k 1)

1 1 B. S k ＋ ＋ － ＋ 2k 1 k 1

1 1

C. S k ＋

＋ － ＋

2k 1 2k 2 1 1 D. S k ＋

＋ ＋ ＋ 2k 1 2k 2

[答案] C

1 1

1 1 1 1 1 [解析] S k ＋1＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋

＋ ＋ (k 1 1 1 1) 1 1 (k 1) 2 1 2(k 1) 1 1

k 2 k 3 2k 2 k 1

＋…＋ ＋ ＋ ＋ － ＋ ＋ ＋ ＝S k ＋ ＋ － ＋ . k 2 2k 2k 1 2k 2 k 1 2k 1 2k 2

3. 对于不等式 1°当 n ＝1 时， n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某人的证明过程如下：

12＋1≤1＋1，不等式成立.

2°假设 n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即 k 2＋k

)

A ．过程全都正确

B ．n ＝1 验得不正确

C ．归纳假设不正确

D ．从 n ＝k 到 n ＝k ＋1 的推理不正确 [答案] D

[解析] 没用归纳假设．

4.将正整数排成下表：

1

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

……

则在表中数字2010 出现在( )

A．第44 行第75 列

B.第45 行第75 列

C.第44 行第74 列

D.第45 行第74 列

[答案] D

[解析] 第n 行有2n－1 个数字，前n 行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2010,2025>2010，∴2010 在第45 行．

又2025－2010＝15，且第45 行有2×45－1＝89 个数字，∴2010 在第89－15＝74 列，选D.

5.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2 成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2 成立”．那么，下列命题总成立的是( )

A．若f(3)≥9 成立，则当k≥1 时，均有f(k)≥k2 成立

B.若f(5)≥25 成立，则当k≤5 时，均有f(k)≥k2 成立

C.若f(7)<49 成立，则当k≥8 时，均有f(k)>k2 成立

D.若f(4)＝25 成立，则当k≥4 时，均有f(k)≥k2 成立

[答案] D

[解析] 对于A，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3 时，均有f(k)≥k2 成立，故A 错

误．对于B，要求逆推到比5 小的正整数，与题设不符，故B 错误．

对于C，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C 错误．

对于D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选 D.

6．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去……则第n 个图共挖去小正方形( )

A．(8n－1)个

B ．(8n ＋1)个 1

C. (8n －1) 个7 1

D. (8n ＋1) 个7 [答案] C

[解析] 第 1 个图挖去 1 个，第 2 个图挖去 1＋8 个，第 3 个图挖去 1＋8＋82 个……第 n 8n －1

个图挖去 1＋8＋82＋…＋8n －1＝

个． 7

7．观察下式：

1＋3＝22 1＋3＋5＝32 1＋3＋5＋7＝42 1＋3＋5＋7＋9＝52

……

据此你可归纳猜想出的一般结论为( )

A ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N *)

B ．1＋3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n 2(n ∈N *)

C ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝(n ＋1)2(n ∈N *)

D ．1＋3＋5＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)2(n ∈N *) [答案] D

[解析] 观察可见第 n 行左边有 n ＋1 个奇数，右边是(n ＋1)2，故选 D.

x

8．(2010·天津滨海新区五校)若 f (x )＝f 1(x )＝ ＋ ，f n (x )＝f n －1[f (x )](n ≥2，n ∈N *)，则 f (1)＋

1 x f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝(

)

A ．n 9

B. ＋ n 1 n

C. ＋ n 1 D ．1 [答案] A

1 2 3 n x [解析] 易知 f (1)＝ ，f (2)＝ ，f (3)＝ ，…，f (n )＝ ＋ ；由 f n (x )＝f n －1(f (x ))得，f 2(x )＝ ＋

2 3 4 n 1 x x 1 1 1 1

2x 1

，f 3(x )＝ ＋ ，…，f n (x )＝ ＋ ，从而 f 1(1)＝ ，f 2(1)＝ ，f 3(1)＝ ，…，f n (1)＝ ＋ ，

1 3x 1 nx

2

3

4 n 1

所以 f (n )＋f n (1)＝1，故 f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝n .