机器人学及其智能控制第6章 机器人的动力学

LKP
式（6.1）中： K ——机器人手臂的总动能； P ——机器人手臂的总势能。 机器人系统的拉格朗日方程为
（式 6.1）
i
式（6.2）中：
d L L ( ) i dt q qi
i 1, 2,, n;
（式 6.2）
i ——在关节 i 处作用于系统以驱动杆件 i 的广义力或力矩；
（式 6.17）
同样，系统的势能包括弹簧和摆的势能：
P
得到拉格朗日方程为：
1 2 kx m2 gl (1 cos ) 2
（式 6.18）
L K P
1 1 1 2 2l x 2 m2 (l 2 cos ) kx 2 m2 gl (1 cos ) （式 (m1 m2 ) x 2 2 2 6.19）
机器人学及其智能控制 第六章 机器人的动力学
刚体动力学
在第5章讨论的是机器人运动学问题，未涉及到作用在各关节上的 力。本章将在机器人运动学基础上研究力对具有一定质量或惯量的物 体运动的影响，从而引入机器人动力学问题。
下面介绍拉格朗日动力学方程。 拉格朗日函数 L 被定义为系统的动能 K 和势能 P 之差，即
（式 6.30）
由此可以看出，对于求解复杂系统的运动方程，采用拉格朗日力学进行求解更加方便。
动力学仿真
为了对操作臂的运动进行仿真， 必须采用前面建立的动力学模型， 由封闭形式的动力学 方程（6.66） ，可通过仿真求出动力学方程中的加速度
D1 (q)( h(q, q ) G(q) F (q, q )) q
qi ——机器人的广义关节变量； i ——广义关节变量 qi 对时间的一阶导数。 q
例 1 理想条件下，分别用拉格朗日力学和牛顿力学推导如图 6.1 所示的单自由度系统的力 和加速度关系，假设车轮的惯量可以忽略不计。
k m F
图 6.1 单自由度系统的力和加速度示意图
解： 由于这是一个由小车和弹簧组成的单自由度系统， 所以一个方程就可以描述系统的运动。 由于是直线运动，可以得到：
得到：
（式 6.21）
（式 6.22）
cos m l 2 sin kx F (m1 m2 ) x m2l 2
（式 6.23）
对于旋转运动：
L 2 m l 2 m2lx cos
（式 6.24）
பைடு நூலகம்
d L 2 sin cos m2lx m2l m2lx dt
L sin m2 gl sin m2lx
得到：
（式 6.25）
（式 6.26）
m lx T =m2l 2 2 cos +m2 gl sin
（式 6.27）
综上推导的结果，将两个运动方程整理如下：
cos m l 2 sin kx F (m1 m2 ) x m2l 2
然后利用数值积分方法对加速度积分，即可计算出位置和速度。 如果已知操作臂运动的初始条件为下面的形式
q(0) q0
(0) 0 q
采用欧拉积分方法，从 t 0 开始，取步长为 t ，进行迭代计算
(t t ) q (t ) q (t )t q
和直线运动有关的导数及运动方程为：
L cos m2l (m1 m2 ) x x
（式 6.20）
d L cos m l 2 sin x m2l 2 (m1 m2 ) dt x
L kx x
于是求的小车的运动方程为：
（式 6.9）
kx F mx
（式 6.10）
下面再用牛顿力学求解，对系统进行受力分析后，很容易就可以得到系统的受力方程为：
F ma
（式 6.11）
其中：
F kx ma
整理之后可以得到：
（式 6.12）
F ma kx
（式 6.13）
很容易得出这样一个结论，对于一个简单系统，用牛顿力学求解更容易，下面我们求解 一个稍微复杂一点的系统。
K K车 K摆
分别写出其动能方程为：
（式 6.14）
1 2 K 车 = m1 x 2
（式 6.15）
1 cos ) 2 1 m (l sin ) 2 l K 摆 = m2 ( x 2 2 2
（式 6.16）
得到系统的总动能为：
K
1 1 2 2l x 2 m2 (l 2 cos ) (m1 m2 ) x 2 2
m lx T =m2l 2 2 cos +m2 gl sin
为方便分析，将其写成矩阵的形式：
（式 6.28） （式 6.29）
F m1 m2 m l cos T 2
x 0 m2l sin x 2 kx m2l cos 2 m2l 2 m gl sin 0 0 2
K
1 2 1 2 mv mx 2 2
1 P = kx 2 2
由此可以求出拉格朗日函数：
（式 6.5）
L K P
其导数为：
1 2 1 2 kx mx 2 2
（式 6.6）
L mx x
（式 6.7）
d ) mx (mx dt
（式 6.8）
L kx x
例 2 理想条件下， 用拉格朗日力学推导如图 6.2 所示的单自由度系统的力和加速度关系， 假 设车轮的惯量可以忽略不计。
k m1

F
l m2
图 6.2 单自由度系统的力和加速度示意图
解：对于这样一个系统，可以分析出其有两个自由度，分别为两个坐标参数 x 和 。因此， 系统的两个运动方程为小车的直线运动和单摆的角运动。 其中系统的动能包括车和摆的动能：