带电体系的静电能、带电体在外电场中的能量

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带电体系的静电能

亦即能量定域于电场之中。关键词：带电体系；静电能；做功
中图分类号：０４．４１１
一
文献标识码：Ａ
文章编号：１Ｏ — ６２２０）Ｏ —ｏ５ — ｏ８１９（０７３０３３Ｏ
个带电体系的能量可分为势能和动能。在静电学中，由于电荷之间处于相对静止状态，无需讨论
或 Байду номын сангаас
ｑｕｚ＝１：－
＿ｑｑ２ｌ
由于这类做功改变了体系的静电能，属于两个电荷之间相互作用能的变化，因而又可以用体系的相互作用能来表示，即
Ｗｍ：
业
ｒ
：（２ｕｌ＋ｑｕ２ｑ２２１（））４
ｑ刀０
这一相互作用能的积累显然是由外力做功或第一个电荷的电场力做负功转变而来的，故这也是体系静电能的另一个称呼。３多个点电荷系统的相互作用能．
收稿日期：２０－ｌ＿ｌ０６－２３
作者简介：张进明（９１）１６－，河北涿鹿人，张家口职业技术学院教育教学研究室，副主任，副教授。
５３
维普资讯
邢台职业技术学院学报
ｑｚｔ１ｑｌｕｚ＝ｑ２
２００７年第３期
由上所述不难理解，电场力做功与体系的电势能完全遵守“ 能原理” 功而互相转化，若用Ｗ琳表示外
力做功，其转换关系就是ｈｗ＝一（＝一ｑＵＡ—ＵＢ＝一ｕＡ）ｑＢ＝ｑＵＢ

1.7静电能

取偶极子所在的直线为X轴取偶极子所在的直线为轴当偶极子在此方向上发生微小位移时，小位移时，根据虚功原理
F− − q +q
P
F+
x
∂W ∂ F =− = (P ⋅ E) ∂x ∂x
肖利
吉林师范大学物理学院电磁学多媒体课件
∂W ∂ F =− = ( P ⋅ E ) = ∇（P ⋅ E） ∂x ∂x 力的大小与场强的变化率成正 ∂E ∂E < 0 F = −P 比 ∂x ∂x 力的方向指向场强大的一侧
一维点阵的总相互作用能：一维点阵的总相互作用能：
W = NW0 = −2 N (ln 2)
e2 4πε 0 r
计算两个电偶极子的相互作用能，例1.7-3计算两个电偶极子的相互作用能，设两电偶子的电矩分别为P 和 P ，相计算两个电偶极子的相互作用能 1 2 决定。对位置由 r21决定。
ˆ ˆ 1 3( p ⋅ er )er − P E= 3 4πε 0 r
（1）静电能）
−q
0
W = − qϕ (r ) + qϕ r + l +q θ ϕ(r + l ) E ∂ϕ ϕ(r ) ϕ ( r + l ) = ϕ( r ) + l = ϕ ( r ) + (∇ ϕ ) l l r ∂l r +l
l
∂ϕ ϕ (r + l ) = ϕ (r ) + = ϕ ( r ) + (∇ ϕ ) l l ∂l
P2 E21 P 1
r21
E 21 =
ˆ ˆ 3( P1 ⋅ er 21 )er 21 − P1 4πε 0 r21
3
W21 = − P2 ⋅ E21 ˆ ˆ 3( P ⋅ er 21 )( P2 ⋅ er 21 ) − P ⋅ P2 1 1 =− 3 4πε 0 r21 W21 = W12

电场能量在静电场中的计算与应用

电场能量在静电场中的计算与应用在我们生活的这个充满电磁现象的世界里，静电场是一种十分常见且重要的存在。

而电场能量作为静电场的一个重要特性，对于理解和解决许多与电相关的问题具有关键意义。

首先，我们来了解一下什么是电场能量。

简单来说，电场能量就是电场具有的能够对外做功的能力。

就好像一个被压缩的弹簧具有弹性势能一样，电场也具有储存能量的能力。

当电荷在电场中移动时，电场会对电荷做功，这个过程中就涉及到电场能量的转化。

那么，如何计算电场中的能量呢？这需要我们引入一些相关的物理概念和公式。

对于一个带电体所产生的静电场，其能量可以通过积分的方法来计算。

假设我们有一个带电的球体，电荷均匀分布在球面上。

我们可以先计算出球体内某一点的电场强度，然后根据电场强度与电势的关系，求出该点的电势。

接着，利用电场能量密度的公式，即电场能量密度等于电场强度平方与介电常数乘积的一半，对整个空间进行积分，就可以得到整个电场的能量。

除了这种具体带电体的情况，对于一般的静电场，我们还可以使用电容器来计算电场能量。

电容器是由两个相互靠近但彼此绝缘的导体极板组成的。

当给电容器充电时，极板上会积累电荷，从而在极板之间形成电场。

电容器所储存的电场能量可以表示为二分之一乘以电容乘以电压的平方。

在实际应用中，电场能量的计算有着广泛的用途。

比如在电子电路中，电容器是常见的元件之一。

了解电容器中电场能量的计算，有助于我们设计和优化电路，确保电路能够稳定工作并且满足能量需求。

在电力系统中，电场能量的概念也至关重要。

例如，输电线路中的电场会储存一定的能量。

当电力系统出现故障或者负载发生变化时，电场能量的快速释放和转化可能会导致电压波动、电流冲击等问题。

因此，准确计算和分析电场能量对于保障电力系统的安全稳定运行具有重要意义。

此外，在电磁兼容领域，电场能量的计算有助于评估电子设备之间的相互干扰。

如果两个电子设备之间的电场能量过大，可能会导致信号失真、设备故障等问题。

带电体系的静电能

解:(1)根据空腔导体的静电性质和球对称性,两空腔内表面的电荷面密度分别是
1

Q1
4R12
和 2

Q2
4R22
又根据电荷守恒定律,导体外表面的的电量Q=Q1+Q2,由于球对称性,导体外表面的电荷面密度是

Q1 Q2
的电容分别为
C1

0
S d
,
C2

0
S 2d
板极上带电± Q时所储的电能为
W1

1 2
Q2
0C1

1 2
Q2d
0S
，W2

1 2
Q2 2d
0S
故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的增量为
W＝W2－W1

1 2
Q2d
0S
（2）设两极板之间的相互吸引力为F ，拉开两极板时所加外力应等于F ，外力所作的功A=Fd ，所以
（c）圆柱电容器
C

2 0L
ln( R2 )
R1
（F）电容器的联接（G）电容器的能量
（1）串联
1 1
C i Ci
（2）并联
C Ci
W

Q2

1 CU 2

i
1 QU
2C 2
2
(H) 点电荷系的静电能
1n W 2 i1 qiVi
4.例题
例1.如图所示,一个半径为R的中性导体球,内部有两个球形空腔,半径分别为R1和R2,在空腔中心分别放置点电荷Q1和Q2,试求:
F A W Q2
d d 20S
第二章小结

静电场的能量

ϕa =
Q 4πε 0 a
因此静电场总能量为
W=
Q2 8πε 0 a
方法之二:
1 v v W = ∫ E ⋅ Dd V 2 ∞
因为球内电场为零，故只须对球外积分
2 Q 2 drdQ = W= ∫ r 2 2 2 (4πε 0 r ) 8πε 0
ε0
Q2r = . 2 8πε 0 a r
式中右边第二项散度体积分化为面积分
v v v r →∞ → 0 ∫ ∇ ⋅ (ϕD)dV = ∫ ϕD ⋅ dS
所以
1 W = ∫ ρϕdV 2
例3 求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。解整个导体为等势体, 导体球的电荷分布于球面上，方法之一:
1 1 W = ∫ ρϕdV = Qϕ a 2 2
第一项是设想体系的电荷集中于原点上时在外场中的能量第二项是体系的电偶极矩在外电场中的能量第三项是四极子在外电场中的能量
W (0 ) = Qϕ e (0 )
W
(2 )
(1)
v v = p ⋅ Ee (0 )
只有在非均匀场中四极子的能量才不为零
W
v 1 t = − D : ∇Ee 6
六、静电场的能量电荷体系与外电场的相互作用
1、静电场能量
1 v v W = ∫ E ⋅ DdV 2 ∞
由E=-∇ϕ和∇⋅D=ρ得 v v v v v E ⋅ D = −∇ϕ ⋅ D = −∇ ⋅ (ϕD) + ϕ ∇ ⋅ D v = −∇ ⋅ (ϕD) + ρϕ 因此
v 1 1 W = ∫ ρϕdV − ∫ ∇ ⋅ (ϕD )dV 2 2
代入得
3 1 3 ∂ ∂2 W = ∫ ρ ϕ e (0 ) + ∑ xi ϕ e (0) + ∑ xi x j ϕ e (0) + L dV 2! i , j =1 ∂xi ∂xi ∂x j i =1 1 ∂ ∂2 ϕ e (0 ) + ∑ Dij ϕ e (0) + L = Qϕ e (0 ) + ∑ pi 6 i, j ∂xi ∂xi ∂x j i 1 t v = Qϕ e (0 ) + p ⋅ ∇ϕ e (0 ) + D : ∇∇ϕ e (0 ) + L 6

第三章静电能1 真空中点电荷间的相互作用能

1 We = ∫∫ σ e (r )u ( r ) dS 2 S
3．线电荷分布 1 在 λe dl 处，电场 ∝ r ，所以其在自身所在处产生的电势不仅不会趋于零，而且会按 ln r （r为离线元 dl 的距离）趋于无穷，即: u 元 ∝ ln r
1 这时静电能既不能写成： W = e ∫L ηe (l )u1 (l )dl 2 也不能写成：
ui表示除qi以外其余所有点电荷在 ri 处产生的电势。在《结晶化学》，《固体物理学》等课程中，经常要遇到这种运算，比如计算氯化钠晶体等的静电相互作用能等。
P(267) 分布的静电能
一. 一个带电体(自能) 空间只有自由电荷(即在导体中或介电系数恒等于1的物体及真空中)。 1．体电荷分布设电荷密度为 ρ e (r ) ，将该体电荷无限分割并把每一小部分当作点电荷处理，则：
0 0
π
2π
4πR 3 ρ e 和 Q= 3
讨论
4πρ R 3 ⎛ Q2 ⎞ = ⎜ We = ⎟ 15ε 0 5 ⎝ 4πε 0 R ⎠
2 e 5
（1）当 ρ e 固定时，We 将随R→0而趋于零。这一点很自然，R越小，带电量越少，则We越小。（2）用表示时，若固定Q，则R→0（这是点电荷的处理方法），则We→∝，说明点电荷的自能是发散的，与前面的结论相符。
4πR 3 ρ e Q= 3
例二．一孤立带电导体球电量为q，半径为R，求其 1 N 静电能（自能）。 W互 = ∑ q i u i 2 i =1 解： q C = 4πε 0 R 对于孤立导体球，有： u = , C 3 ⎛ Q2 ⎞ 这时电荷只分布在球面上。 We = ⎜ ⎟ 5 ⎝ 4πε 0 R ⎠ 2 所以 1 1 1⎛ q ⎞

静电场的能量

= W互 + W自
5
W互是带电系统内N个带电体之间的相互作用能，简称为系统的互能。
W自是每个带电体的静电能之和，简称为自能。
静电能 = 自能 + 相互作用能
⑵ 点电荷的自能
设想点电荷q是由半径为R（ R → 0 ）的均匀带电
球收缩半径而成，则球内一点产生的电势为
∫ ∫ ∫ U =
∞r r E ⋅ dl =
12
例1 如图所示，在一边长为d的立方体的每个顶点上放有一个点电荷-e，立方体中心放有一个点电荷+2e，求此带电系统的相互作用能量。
解：法一
8个顶点上的负电荷的相互作用能为12对，即
e2 12
4πε 0 d
6个面上对角顶点负电荷的相互作用能为12对，即
12 e2 4πε0 2d
−e −e
R 0

Qr 4πε 0 R 3
2
4π
r 2dr
+
ε0 2
∞ R

Q 4πε 0 r 2
2
4π
r 2dr
= 3Q2
20πε 0 R
20
例4 球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，所带电荷为Q。若在两球壳间充以电容率为ε的电介质，求此电容器贮存的电场能量。
解：由高斯定理， r
w1 = 0 (r < R1)
w4 = 0 (r > R2 )
w2
=
1 ε E2 2
=
32π
q2 2ε0ε r1r 4
(R1 < r < R)
w3
=
32π
q2 2ε 0ε r 2r 4
(R < r < R2 )

第五讲静电场中的能量

1 n 相互作用能： W 2 qiVi i 1
Vi
除 qi 以外所有电荷在 qi 出激发的电势。
2、自能：一个孤立带电体系其静电能一般称为自能或固有能。从功的角度定义：
将带电体系的各部分电荷，从无限远分离的状态，聚集成带电体状态时，外力反抗电场力所做的功。
设带电体电量为Q，元电荷dq从无穷远整个电荷过程中外界反抗电场力做元功：
dA udq

－
A dA
0
Q
Q
0
q 1 2 dq Q C 2C
C
dq
dq
U
Q CU
W 1 1 Q CU 2 QU 2 2 2C
2
设电容器正负极板的电荷 +Q，-Q，两极板的电势代入静电体系的总静电能公式：
1 2 1 1 W Q jU j [(QU ) (QU )] QU 2 j 1 2 2
U2
4 0 R2
Q2

4 0 r
Q1
1、2两球的总静电能：
1 Q1 Q2 1 Q2 Q1 W Q1 ( ) Q2 ( ) 2 4 0 R1 4 0 r 2 4 0 R2 4 0 r Q12 Q2 QQ 1 2 8 0 R1 8 0 R2 4 0 r
2
此式也是1、2两球球面激发的静电场能量。
解2：带电体系的总静电能等于两球的自能与两球的相互作用能之和。
W W 12 自 1 W 自2 W
1 Q12 W自1 Q1U1 2 4 0 R1
2 1 Q2 W自2 Q2U 2 2 4 0 R2
可以将两球看成点电荷，求互能：
，
1 W QU 2
结论：该式是电容器的总静电能

关于静电场中能量概念的讨论

关于静电场中能量概念的讨论2019-07-11[摘要]本⽂利⽤静电场理论分别对静电能、⾃能、互能以及电势能进⾏了分析和讨论，从本质上描述出静电能、⾃能、互能以及电势能的区别和联系，从⽽使得读者对与静电场能量相关的⼏个基本概念有了更清晰的认识。

[关键词]静电能⾃能互能电势能⼀、带电体系的静电能与⾃能静电能即为电场的能量。

移动⼀个带电体系中的电荷，就要抵抗电荷之间的静电⼒做⼀定的功δA从⽽带电体系的静电能将改变δW，⼆者的关系是：δA=δW （1）这⾥δA和δW，都是可正可负。

例如把同号电荷移近时，δA>0，δW>0即静电能增加；把异号电荷移近时，δA上⾯说的只是静电能的变化，静电能本⾝的数值是相对的。

要谈⼀个带电体系所包含的全部静电能有多少，必须说明相对于何种状态⽽⾔。

我们设想，带电体系中的电荷可以⽆限分割为许多⼩部分，这些部分最初都分布在⽆限远的位置上，通常规定处在这样的状态静电能为零。

设带电体系由若⼲个带电体组成，带电体系的总静电能W由各带电体之间的相互作⽤能W互和每个带电体的⾃能W⾃组成。

即为W=W⾃+W互（2）把每⼀个带电体看作⼀个不可分割的整体，将各个带电体从⽆限远移到现在的位置所做的功，等于他们之间的相互作⽤能；把每⼀个带电体各部分电荷从⽆限分散的状态聚集起来时所做的功，等于这个带电体的⾃能。

⼆、点电荷的相互作⽤能电荷之间存在着相互作⽤的电场⼒，当电荷之间相互位置发⽣变化时，电场⼒要做功，⽽且，这种功与变化的路径⽆关，这表明电荷之间有相互作⽤能（电势能）。

带电系统所以具有电势能，是因为任何物体的带电过程都是电荷之间相对迁移的过程，在迁移电荷的过程中，外界必须消耗能量以克服电场⼒做功。

例如，⽤电池给电容器充电时就消耗电池中的化学能，根究能量守恒和转化定律，外界所提供的能量转化为带电系统的静电能。

当带电系统的电荷减少时，或改变他们之间的相对位置时，静电能就转化为其他形式的能量。

65-带电体系的静电能

dW
wedV
Q2 8 π εr 2
dr
W
dW
Q2
8πε
R2 dr r R1 2
Q2 ( 1 1 ) 8 π ε R1 R2
dr Q
r R1
R2
2024/10/13
6.5 带电体系的静电能
-Q
15
讨论 W Q2 ( 1 1 )
8 π ε R1 R2
（1）
W
Q2 2 C
C 4 π ε R2R1
6.5.1 点电荷系的相互作用能电荷系的静电相互作用能(互能)：
n个静止电荷所组成的电荷系,将
各电荷从彼此相距无限远搬运到现有位置时,外力克服它们之间的静电力所做的功。
W
1 2
n
qi i
i 1
其中： i 为qi 所在处由 qi 以外的其他电荷
产生的电势
6.5 带电体系的静电能
推导
1 最简单的情形：两个点电荷q和Q 点电荷q 在Q 的电场中的电势能为：
)
1 2
q3
(
q1
4 0
r31
q2
4 0r32
)
W
1 2
q1 ( 21
31
)
1 2
q2
(12
32 )
1 2
q3
(13
23 )
1 2
q11
1 2
q22
1 2
q33
2024/10/13
6.5 带电体系的静电能
5
引入第四个电荷
W q1q2 ( q1q3 q2q3 )
4 0r12 4 0r13 4 0r23
6.5 带电体系的静电能
11

2-7带电体系的静电能与电场的势能

2-7带电体系的静电能与电场的势能2-7带电体系的静电能与电场的势能§2-7 带电体系的静电能与电场的势能前面我们分析了有电介质存在时的电场和电势的一些行为，进一步的分析自然少不了有关能量的讨论。

在本节中，我们从较简单的点电荷系统开始分析，然后过渡到连续电荷分布的情形中去。

一、点电荷系统的静电能我们从最简单的情形开始分析。

我们知道，在一定的电场中，若一个点电荷q 所在位置处的电势为U ，那么就可以说这个点电荷具有电势能W=qU，这一点和我们熟知的重力势能很相象。

现在我们可以把电场说得更具体一些，最简单的，设这个电场是由另一个点电荷Q 产生的，于是点电荷q 具有的电势能可以写作这里我们讨论的是在真空中的情形，所以介电常数是ε0, r 是q 和Q 的距离。

同样地，上式也表示了Q 在q 的电场中的电势能，于是我们可以说，由Q 和q 组成静电体系具有的静电能由（1）式给出。

1⎛1 2 ⎛4πε对此式的解释是：我们不但考虑了在Q 形成的电场中q 所具有的电势能，而且还考虑了在q 形成的电场中Q 所具有的电势能，但是对于整个静电系统而言，其静电能只能由其中一项给出，所以要对上式右端的和乘以1/2。

我们之所以写出上面的表达式是因为希望进一步考虑由多个点电荷组成的静电系统。

设想空间中有多个点电荷，其带电量用q i 表示，相应的位置用r i 表示，任意两个点电荷间的距离可以由r ij =r i j =r i -r j 给出，我们来计算整个静电体系的静电能。

我们用一种类似于数学归纳法的办法来计算由N 个点电荷组成的静电体系的静电能。

当只有两个点电荷q 1和q 2时，静电能为q 1q 2r 12现在引入第三个点电荷q 3，那么整个体系的静电能就应该在原有的基础上加上q 3与q 1及q 2之间的静电能，即q 1q 2r 12⎛1+ 4πε⎛q 2q 3⎛⎛ r 23⎛⎛括号里的项正是由于引入第三个点电荷所引起的静电能的改变。

2.4 电场的能量和能量密度

8e2 3a
)
2.4.1 带电体系的静电能
第一项来自六个最近的负离子，它们到中心的距离都是 a ；第二项来自十二个最近的正离子，它们到
中心的距离都是 2a；第三项来自大立方体八个顶点上的负离子，它们到中心的距离都是 3a 。式中
的“…”代表图中未画出的那些更远离子的贡献。这几乎是一个无穷级数。不过越远的离子对W互的贡
故六个面上十二对面对角顶点负电荷之间的相互作用能为
12e2 40 2b；体对角线的长度为 3b ，故四对体对角顶点负电荷之间的相互作用能为荷4e之2 间4的0相3互b 作；用立能方是体中8(心2e到2)每4个顶0( 点3b的/ 2距) 离。是归纳3起b /来2 ，，这故个中点心电正荷电组荷的与总八相个互顶作点用负能电
然后再把 q2由无穷远处搬来，放在与 q1 相距r12 远的地方 P2 。也可以反过来，先固定 q2，再搬运 q1。无论怎样，计算的结果应当相同。
现在我们采用上述第一种方式。在搬运 q1 时体系中还没有其它r电荷和r 电场，因而不需
作功。搬运 q2时，它已经处在q1 的电场 E1 中，因而需抵抗电场力F12 q2E1作功：
全部静电能有多少，必须说明相对于何种状态而言。我们设想，带电体系中的电荷可以无
限分割为许多小部分，这些部分最初都分散在彼此相距很远（无限远）的位置上。通常规
定，处于这种状态下的静电能为0。现有的带电体系的静电能 We 是相对于这种初始状态而言的。亦即，We 等于把各部分从无限分散的状态聚集成现有带电体系时抵抗静电力所做的全部功 A。
用通用式来表达，则有
其中
i 1
Ai qi U ji
i 1, 2,, n
j 1
U ji U j

电场的能量

转化为其它能量形式储存在电源中，又将部分电荷送回电源中。
7
例8－21 求均匀带电球体的电场能量。球的半径为R，带电量
为q，球内电介质的相对介电常数为 r 、球外为真空。
解：由高斯定理可求得
E1
qr
4 0r
R3
(r R)
E2
q
4 0r2
(r R)
因场有球对称性，故取体积元为
++ + ++
+ E1 +
10
DE
★ 若介质各向异性或非均匀极化，则
1 we 2 D E
3、由电场能量密度求电场能
W
V
w dV e
Ｖ是场强不为零的空间。
5
例8－20 一平行板电容器，极板面积为S，间距为d，接在电源上以保持电压为V。若将极板的距离拉开一倍，试计算（１）静电能的改变；（２）电场对电源作的功；（３）外力对极板作的功。
以后我们将看到，随时间迅速变化的电场和磁场将以电磁波的形式在空间传播，电场可以脱离电荷而传播到很远的地方去。实际上，电磁波携带能量已经是人所共知的事实。
总之，大量事实证明，能量确实是定域在电场中的。
3
1、用场强表示静电能
以平行板电容器为例
C 0 r s
d
U Ed
W
1 CU 2 1 0 r s (Ed)2
2
2d
1 2
0 r
E2
sd
式中 sd 表示平行板电容器两极板间的体积。如果忽略边缘效应，其也就是带电平行板间电场所占据的空间，这说明
静电能确实是分布于整个电场的。
2、电场能量密度
we
dW dV

静电能

U (r ) U i (r ) U (r ),
(i )

(r )U
e i 1 Vi
N
1 2
(i )
(r )dV
(r )U (r )dV ,
e i i 1 Vi
N
1 2
可写成：其中，
We W自 W互 ,
(i ) 自
W自 W
i 1
N
N
1 (i ) e (r )U (r )dV , 叫自能 i 1 2 Vi
n
n
因此，状态参量取为rij（i, j = 1,2,…,N），初始时刻，相互作用的库仑力为零，它们之间的静电相互作用消失，很自然地取这种状态的相互作用能为零。下面，我们用一种类似于数学归纳法的办法来计算由N 个点电荷组成的静电体系的静电能。
两个点电荷时
n n
一个点电荷q在外电场U中的电势能W=qU 设电势U是由另一个点电荷Q产生的, 于是点电荷q具有的电势能可以写作
■
e 2 2 U 3 a r , 6 0
2 U a / 2 0 ，故当a 0 它在球心处取极大值 m e
0 即 U 0 。于是， U1(r) ≈ U(r) 时有 U m
1 We e (r )U (r )dV . 2 V
(3.2.2)
静电能的定义
建立一个带电系统的过程中，总伴随着电荷相对运动，需要外力克服电荷间的相互作用而作功。外力作功所消耗的能量将转换为带电系统的能量，该能量定义为带电系统的静电能。显然，静电能应由系统的电荷分布决定。例如，第一章中已讲到的点电荷在外电场中的电势能就是静电能。这是静电场为保守力场的必然结果。

1.5带电体系的静电能

j 1 i 1
代表第j 个电荷在第i 个电荷所在位置Pi处产生的电势
U ji U j ( Pi )
Pi

qi E j dl 4 0 rij 1
n i 1
点电荷组的总功应为
A' A'1 A'2 A'3 A'n A'i 1 n i 1 qi q j qi U ji 4 0 i 1 j 1 rji i 1 j 1
1 dq E r3 r 4 0
dq e dV dq e dS
连续电荷体分布：面分布：线分布：
2、电势U
dq e dl q 定义： U pq E dl
p
点电荷： U
q 4 0
qi 点电荷组 U r 4 0 i 1 i 1
1-5 带电体系的静电能
一点电荷之间的相互作用能
作业：1.5-3
• 定义静电能为零的状态 – 设想带电体系中的电荷可以无限分割为许多小单元，最初认为它们分散在彼此相距很远的位置上，规定这种状态下系统的静电能为零。 • 静电能 – 把体系各部分电荷从无限分散的状态聚集成现有带电体系时外力抵抗电场力所做的全部功
本章小结
一、静电场性质的表现 1、对置于场内带电体有力的作用 2、带电体在场中移动时，电场力对其作功二、描述静电场的物理量 1、电场强度
点电荷：E
定义： E F q
q
2
4 0r 1 n qi 点电荷组： E r 2 ri 4 0 i 1 i
ˆ r
分布电荷：
n i 1
(1)
形式对称的表达式
• 可以证明，静电能值与电荷移动的次序无关

大学物理第章静电场中导体和电介质小结

1 Q2 Q2
4 0R1 2 8 0R1
本章小结
一、导体的静电感应
1、自由电子 2、静电平衡：导体上没有电荷作定向运动的状态 3、静电平衡条件： 4、导体表面的电荷分布
二、电介质的极化
1、极化电荷
2、介质内场强的变化： 3、极化强度矢量：
4、电位移矢量：
E E0 E P e0 E
0
E0
0
(1 x
l
1) x
A
B
两导线间的电势差：
U
l
a E
dx
la
(1 1 )dx ln l a
a
a 2 0 x l x
0 a
单位长度的电容：
C
Q0 U
U
0
ln l a
a
说明：任何导体之间，实际上都存在着电容，导线之间，导线与电器元件之间，与金属外壳之间等，称为“分布电容”，通常分布电容很小，可不计。但对于高频电路就必须考虑分布电容的影响。
二、带电体系所储藏的静电能（电场能）
electrostatic energy of charged system
一带电系统，带电 qi 电势 Vi ,再从∞处将 qi
移到该系统，外力作功：
Ai Viqi Wi
分成 N 步，外力作的总功：（系统所储藏的静电能）
A Ai Viqi W
若带电体连续分布
例题3 有A、B、C是三块平行金属板，面积均为 200cm2, A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C两板接地，设A板带电荷q=+3.0×10-7C，不计边缘效应，求（1）B板和C板上的感应电荷。（2）A板的电势。
CA B
-q2 +q2 +q1 -q1

电场的能量能量密度

dq u
例1、求半径为R ,带电量为Q的孤立导体球的电能。
由： dA=Vdq 得：
q
dA
d的功为
W Q
A
q
dq q2
Q
Q2
0 40R
80R 0 80R
QR
r
由电场能量密度积分得：
r>R时电场的能量元为
dw120(4Q0r2)24r2dr
W
R
Q2
80r2
例2：平行板电容器带电量为 q，极板面积为 S，将极
板间距从 l 拉大到 l+d ，求外力作功 A，和电场能量的
增量。
解：拉力
F qEq
20
q
将极板拉开时外力作的功为
q q
Aq d q2 d 20 20S
电容器拉开后，其电能为
W q2
q2
2C 20S /(l d )
q2 (l d)
20S
例5：同轴电缆由内径为 R1、外径为 R2的两无限长金属圆柱面构成，单位长度带电量分别为 + 、 - ，其间充有 r 电介质。
例1：平行板电容器真空时参数如下
充电后保持电压不变，插入 r 介质；
2
W1 E V 1 ( q ) Sd q d 求这由：部电① 分场两增能柱加量面的密间电度的场积场能分强量得恰：E0；等于2外力体对系统作了功。0
例1、求半径为R ,带电量为Q的孤立导体球的电能。
四、应用举例
例1：平行板电容器真空时参数如
下
0,E0,V0,D0, C0,W0
①.充电后断开电源，插入介电常数为 r 介质；
②.充电后保持电压不变，
插入 r 介质；
求： ,E,V,D,C,We

带电体系的静电能、带电体在外电场中的能量

带电体系的静电能

1.7静电能

电场能量在静电场中的计算与应用

带电体系的静电能

静电场的能量

第三章 静电能1 真空中点电荷间的相互作用能

静电场的能量

第五讲 静电场中的能量

关于静电场中能量概念的讨论

65-带电体系的静电能

2-7带电体系的静电能与电场的势能

2.4 电场的能量和能量密度

电场的能量

静电能

1.5带电体系的静电能

大学物理第章静电场中导体和电介质小结

电场的能量能量密度

第三章静电能1 真空中点电荷间的相互作用能

第五讲静电场中的能量