高等数学(D)习题课

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高等数学(下)课件D10_习题课

1 2 2 x − x2 2− x
f ( x, y )dy
(2) I= ∫1 dy ∫1 f ( x, y )dx + ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
2 y 1 y
2
2
2
2
解：根据积分限可得积分区域
1 1 D = {( x, y ) | ≤ y ≤ 1, ≤ x ≤ 2} 2 y U{( x, y ) |1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ 2}
2 2 1 1 D − x 1
1 1 1[+−)1x 1(|−x 2 2 2 d − | 31 = ∫( x y ] = ∫ x ) − 1 d x − − 1 1 3 3 1 2 x1 = =∫3 ) 1 − ( −x . d 0 3 2 3
D 直x 及 2 3 ∫ y ,其是 =2 物线线例算 σ 中由y − 抛yx 计x = d ∫
6、会用二重积分计算质量、质心、一阶矩和转动惯量等。 7、掌握第一型曲面积分的概念，会确定曲面在坐标平面上的投影区域，会计算简单曲面上的第一型曲面积分。 8、对三重积分可以理解为密度函数为的所占的区域为的物体的质量。理解这一点对三重积分的许多性质的理解有极大的帮助。 9、还应将三重积分和以前各类积分比较，一方面可以加强理解，另一方面也使同学不易忘记和混淆。
xσ [ xx d ∫ y = yy] ∫ d ∫∫ dy 1
22 D
3 4 2 x2y 2 yyd [2 y2 9 = y ] = 2 ) = −] . [ ( y 1 ∫ ⋅2d ∫ − y y 8= 1 1 8 2 2
D 直1 = 2 ∫ +−d 其是 = x 1 线 − 例算12 yσ 中由y 、计y x 2 , ∫

高等数学课后习题答案--第一章

《高等数学》习题参考资料第一篇一元函数微积分第一章极限与连续§1 函数习题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。

1．【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。

3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。

4．【答案】设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。

高等数学习题：习题课2

（2）证明对任何正数 a, b, c ，有 abc3 27( abc )5 。 5
设f ( x , y )与( x , y )均为可微函数,且 y ( x , y ) 0 已知( x0 , y0 )是在约束条件( x , y ) 0下的一个极值点,下列选项正确的是: ( A )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( B )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( C )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( D )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0. ( 2006年考研题)
0
(2) f(z) z2 , z 0
z 0 ,z0
z0
(3) f(z) 3x3 3y3i
(4)f (z)
x2
x y2
i
x2
y
y2
5. 设my3 nx2y i(x3 lxy2)为解析函数，试求l, m, n。
6. 已知u ex (x cosy y sin y),求解析函数f (z) u iv，并满足f (0) 0.
一、选择题
习题课
1．曲面 2xy4zez 3 在点 (1,2,0) 处的法线与直线
x1 y z2 的夹角（） 1 1 2
（A）；（B）；（C）；（D）0.
4
3
2
2．设函数 f ( x, y) 在点(0, 0) 附近有定义，且 f x (0,0)3 ， f y (0,0)1 ，则（）
（C）（0，2）；
（D）（2，0）。
2. 若函数 f ( x,y) 在点(0,0) 的某个邻域内连续，且满足

（WORD）-高等数学课后习题（完整版）及答案

高等数学课后习题(完整版)及答案高等数学课后答案习题1 11设A ( 5) (5 ) B [10 3)写出A BA B A\B及A\(A\B)的表达式解 A B ( 3) (5 )A B [105)A\B ( 10) (5 )A\(A\B) [105)2设A、B是任意两个集合证明对偶律 (A B)C AC BC 证明因为x (A B)C x A B x A或x B x AC或x BC x ACBC所以 (A B)C AC BC3设映射f X Y A X B X 证明(1)f(A B) f(A) f(B)(2)f(A B) f(A) f(B)证明因为y f(A B) x A B使f(x) y(因为x A或x B) y f(A)或y f(B)y f(A) f(B)所以 f(A B) f(A) f(B)(2)因为y f(A B) x A B使f(x) y (因为x A且x B) y f(A)且y f(B) y f(A) f(B)所以 f(A B) f(A) f(B)4设映射f X Y若存在一个映射g Y X使g f IXf g IY其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射即对于每一个x X有IX x x 对于每一个y Y有IY y y证明 f是双射且g是f的逆映射 g f 1证明因为对于任意的y Y有x g(y) X且f(x) f[g(y)] Iy y y即Y中任意元素都是X中某元素的像所以f为X到Y的满射又因为对于任意的x1 x2必有f(x1) f(x2)否则若f(x1) f(x2) g[ f(x1)] g[f(x2)] x1 x2因此f既是单射又是满射即f是双射对于映射g Y X因为对每个y Y有g(y) x X且满足f(x) f[g(y)] Iy y y按逆映射的定义 g是f的逆映射5设映射f X Y A X 证明(1)f 1(f(A)) A(2)当f是单射时有f 1(f(A)) A证明 (1)因为x A f(x) y f(A) f 1(y) x f 1(f(A))所以 f 1(f(A)) A(2)由(1)知f 1(f(A)) A另一方面对于任意的x f 1(f(A)) 存在y f(A)使f1(y) x f(x) y 因为y f(A)且f是单射所以x A这就证明了f 1(f(A)) A因此f 1(f(A)) A6求下列函数的自然定义域(1)y x233 解由3x2 0得x 2函数的定义域为[2, )(2)y 1 1x2解由1x2 0得x 1函数的定义域为( 1) (11) (1 )(3)y 1x x2解由x 0且1x2 0得函数的定义域D [1 0) (0 1](4)y 14x2解由4x2 0得 |x| 2函数的定义域为(2 2)(5)y sinx解由x 0得函数的定义D [0 )(6) y tan(x1)2 解由x1 (k 0 1 2 )得函数的定义域为x k 1 (k 0 1 2 2)(7) y arcsin(x3)解由|x3| 1得函数的定义域D [2 4](8)y x1 x解由3x 0且x 0得函数的定义域D ( 0) (0 3)(9) y ln(x1)解由x1 0得函数的定义域D (1 )(10)y ex解由x 0得函数的定义域D ( 0) (0 )7下列各题中函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x) lg x2 g(x) 2lg x(2) f(x) x g(x) x2(3)f(x) x4x3g(x) xx1(4)f(x) 1 g(x) sec2x tan2x解 (1)不同因为定义域不同(2)不同因为对应法则不同 x 0时 g(x) x(3)相同因为定义域、对应法则均相相同(4)不同因为定义域不同8 |sinx| |x|3设 (x) |x| 0 3 求 ( ) ( ) ( ) (2)并作出函数y (x)644的图形) |sin | 解 ( ) |sin | 1 (446622) |sin( )| (442 (2) 09试证下列函数在指定区间内的单调性(1)y x ( 1) 1x(2)y x ln x (0 )证明 (1)对于任意的x1 x2 ( 1)有1x1 0 1x2 0因为当x1 x2时y1y2 xxx x 0 1x11x2(1x1)(1x2) 所以函数y x在区间( 1)内是单调增加的 1x(2)对于任意的x1 x2 (0 )当x1 x2时有y1y2 (x1lnx1)(x2lnx2) (x1x2)lnx 0 x2所以函数y x ln x在区间(0 )内是单调增加的10设 f(x)为定义在(l l)内的奇函数若f(x)在(0 l)内单调增加证明f(x)在(l 0)内也单调增加证明对于x1 x2 (l 0)且x1 x2有x1x2 (0 l)且x1 x2因为f(x)在(0 l)内单调增加且为奇函数所以f(x2) f(x1)f(x2) f(x1) f(x2) f(x1)这就证明了对于x1 x2 (l 0)有f(x1) f(x2)所以f(x)在(l 0)内也单调增加11设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(l l)上的证明(1)两个偶函数的和是偶函数两个奇函数的和是奇函数(2)两个偶函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函数偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明 (1)设F(x) f(x)g(x)如果f(x)和g(x)都是偶函数则F(x) f(x)g(x) f(x)g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个偶函数的和是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数则F(x) f(x)g(x) f(x)g(x) F(x)所以F(x)为奇函数即两个奇函数的和是奇函数(2)设F(x) f(x) g(x)如果f(x)和g(x)都是偶函数则F(x) f(x) g(x) f(x) g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个偶函数的积是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数则F(x) f(x) g(x) [f(x)][g(x)] f(x) g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个奇函数的积是偶函数如果f(x)是偶函数而g(x)是奇函数则F(x) f(x) g(x) f(x)[g(x)] f(x) g(x) F(x)所以F(x)为奇函数即偶函数与奇函数的积是奇函数12下列函数中哪些是偶函数哪些是奇函数哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y x2(1x2)(2)y 3x2x3(3)y 1x2 1x2(4)y x(x1)(x1)(5)y sin x cos x1(6)y ax a x2解 (1)因为f(x) (x)2[1(x)2] x2(1x2) f(x)所以f(x)是偶函数(2)由f(x) 3(x)2(x)3 3x2x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数(3)因为1(x)21x2f(x) f(x) 221x1x所以f(x)是偶函数(4)因为f(x) (x)(x1)(x1) x(x1)(x1) f(x)所以f(x)是奇函数(5)由f(x) sin(x)cos(x)1 sin x cos x1可见f(x)既非奇函数又非偶函数(6)因为(x)(x)xxa aa af(x) f(x) 22所以f(x)是偶函数13下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数指出其周期(1)y cos(x2)解是周期函数周期为l 2(2)y cos 4x解是周期函数周期为l 2(3)y 1sin x解是周期函数周期为l 2(4)y xcos x解不是周期函数(5)y sin2x解是周期函数周期为l14求下列函数的反函数(1)y x1解由y x1得x y31所以y x1的反函数为y x31(2)y 1x 1x解由y 1x得x 1y所以y 1x的反函数为y 1x1x1y1x1x(3)y ax b(ad bc 0) cx d解由y ax b得x dy b所以y ax b的反函数为y dx b cx dcy acx dcx a(4) y 2sin3xyarcsin所以y 2sin3x的反函数为y 1arcsinx解由y 2sin 3x 得x 13232(5) y 1ln(x2)x2(6)y 2 1 解由y 1ln(x2)得x ey12所以y 1ln(x2)的反函数为y ex122xx y 所以的反函数为y log2211x 解 y2xy x log由得21y2 115设函数f(x)在数集X上有定义试证函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界证明先证必要性设函数f(x)在X上有界则存在正数M使|f(x)| M即M f(x) M这就证明了f(x)在X上有下界M和上界M再证充分性设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2即K1 f(x) K2 取M max{|K1| |K2|}则M K1 f(x)K2 M即 |f(x)| M这就证明了f(x)在X上有界16在下列各题中求由所给函数复合而成的函数并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值(1) y u2 u sin x解 y sin2x x1 6x2 33y1 sin2 12 1y2 sin2 ()2 324624x1 x2 84 (2) y sin u u 2x解 y sin2x(3)y解 y1 sin(2 ) sin y2 sin(2 sin 1 842422u 1x x1 1 x2 2 y x2 y1 12 y2 22(4) y eu u x2 x1 0 x2 1解 y ex2 y1 e0 1 y2 e1 e 22(5) y u2 u ex x1 1 x2 1解 y e2x y1 e2 1 e2 y2 e2 (1) e217设f(x)的定义域D [0 1]求下列各函数的定义域(1) f(x2)解由0 x2 1得|x| 1所以函数f(x2)的定义域为[1 1](2) f(sinx)解由0 sin x 1得2n x (2n1) (n 0 1 2 )所以函数f(sin x)的定义域为[2n (2n1) ] (n 0 1 2 )(3) f(x a)(a>0)解由0 x a 1得a x 1a所以函数f(x a)的定义域为[a 1a](4) f(x a)f(x a)(a 0)22 解由0 x a 1且0 x a 1得当0 a 1时 a x 1a 当a 1时无解因此当0 a 1时函数的定义域为[a 1a]当a 1时函数无意义2218设的图形解 |x| 1 1 x f(x) 0 |x| 1 g(x) e |x| 1 1 求f[g(x)]和g[f(x)]并作出这两个函数 1 |ex| 1 f[g(x)] 0|ex| 11 |ex| 1 即 1 x 0 f[g(x)] 0 x 0 1 x 0e1 |x| 1 g[f(x)] ef(x) e0 |x| 1e 1 |x| 1 e |x| 1 |x| 1即g[f(x)] 11 |x| 1 e19已知水渠的横断面为等腰梯形斜角 40 (图137)当过水断面ABCD的面积为定值S0周L(L AB BC CD)与水的函数关系式并指明其图137解 AB DC hsin40 0cot40 h所以又从1h[BC(BC2cot40 h)] S0得BC Sh时求湿深h之间定义域 2S2cos40L h hsin40自变量h的取值范围应由不等式组h 0确定定义域为0 h 0cot40S0 cot40 h 0 h20收敛音机每台售价为90元成本为60元厂方为鼓励销售商大量采购决定凡是订购量超过100台以上的每多订购1台售价就降低1分但最低价为每台75元(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数(3)某一商行订购了1000台厂方可获利润多少？解 (1)当0 x 100时 p 90令001(x0100) 9075得x0 1600因此当x 1600时p 75当100 x 1600时p 90(x100) 001 910 01x综合上述结果得到0 x 100 90 p 910.01x 100 x 1600 75 x 1600 30x 0 x 1002100 x 1600 (2)P (p60)x 31x0.01x 15x x 1600(3) P 31 1000001 10002 21000(元)习题1 21观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势写出它们的极限 (1)xn 1 2n解当n 时(2)xn (1)n1 n1 0 0 xn 1limn 22 解当n 时(3)xn 2 12 nxn (1)n1 0 lim(1)n1 0 n nn解当n 时(4)xn n1 n1xn 21 2 lim(21) 2 n nn2解当n 时(5) xn n(1)n xn n1 12 0 limn1 1n n1n1n 1解当n 时 xn n(1)n没有极限2 cos设数列{xn}的一般项xn nx ? 求出N使当n N时 xn问nlim n与其极限之差的绝对值小于正数当 0001时求出数N解limx 0n n要使|x n0| 只要1 也就是n 1取n|cos|1 0 |xn0| nnN [1]则n N有|xn0|当 0001时 N [1] 10003根据数列极限的定义证明1 0 (1)nlim 2n分析要使|120| 12 只须n2 1即nnn1nn证明因为 0N [3n1 3 (2)nlim1]1 0当n N时有|120| 所以nlim 2分析2n12n13| 1 1要使|3 2n122(2n1)4n4只须证明因为 0N [1]当n N (3)nlim 分析 n2a2 1 n1 即n 14 4n3n1 3时有|3n13| 所以nlim 2n122n12只须2an222222a a naa要使|1| 22nnn a n)n2aN []证明因为 022n alim 1 n n当n N时有|n2a21|n所以(4)nlim0. 999 9 1n个分析要使|099 91|110n 1只须1 10即n 1lg1证明因为 0N [1lg1]当n N时有|099 91| 所以n n个lim0.999 9 1|u| |a|并举例说明如果数列{|xn|}有极限但数证明nlimn4limu an n列{xn}未必有极限u a所以 0N N当n N时有|un a| 从而证明因为nlim n||un||a|| |un a||un| |a|这就证明了nlim|(1)n| 1但lim(1)n 数列{|xn|}有极限但数列{xn}未必有极限例如nlimn不存在y 0证明 5设数列{xn}有界又nlim nn limxnyn 0证明因为数列{xn}有界所以存在M使n Z有|xn| Myn 0所以 0N N当n N时有|yn| 从而当n N时又nlim M有xy 0所以nlim nn|xnyn0| |xnyn| M|yn| M M6对于数列{xn}若x2k1 a(k ) x2k a(k )证明 xn a(n )证明因为x2k1 a(k ) x2k a(k )所以 0K1当2k1 2K11时有| x2k1a| K2当2k 2K2时有|x2k a| 取N max{2K11 2K2}只要n N就有|xn a| 因此xn a (n )习题1 31根据函数极限的定义证明(3x1) 8 (1)limx 3分析因为|(3x1)8| |3x9| 3|x3|所以要使|(3x1)8| 只须|x3| 1 3 证明因为 0 1 当0 |x3| 时有 3|(3x1)8|(3x1) 8所以limx 3(5x2) 12 (2)limx 2分析因为|(5x2)12| |5x10| 5|x2|所以要使|(5x2)12| 只须|x2| 1 5 证明因为 0 1 当0 |x2| 时有 5|(5x2)12|(5x2) 12所以limx 22x4 4(3)xlim 2x 2分析因为x24(4) x24x4 |x2| |x(2)| x2x 2所以要使x24(4) x2只须|x(2)| 证明因为 0 当0 |x(2)| 时有x24(4) x2x24 4lim所以x 2x2314x(4)lim 2 2x1x分析因为所以要使14x32 |12x2| 2|x(1)| 2x1214x32 2x1只须|x(1)| 1 2222 证明因为 0 1 当0 |x(1)| 时有 14x32 2x1 314x所以lim 2 2x1x 22根据函数极限的定义证明1x (1)xlim 1 22x3分析因为所以要使1x31 1x3x3 1 2x322x32|x|3 1x312x2只须1 2|x|即|x| 1证明因为 0X 1当|x| X时有 1x312x3231x 1所以xlim3 2x2sinx 0 (2)xlim x 分析因为所以要使证明sinx0 |sinx| 1 xxxsinx0 只须1 即x 12x x因为 0X 1当x X时有 2sinx0 xsinx 0所以xlim x 3当x 2时 y x2 4问等于多少使当|x2|< 时 |y4|<0001？解由于当x 2时 |x2| 0故可设|x2| 1即1 x 3要使|x24| |x2||x2| 5|x2| 0001只要|x2| 0.001 0.0002 5取 00002则当0 |x2| 时就有|x24| 0 0014当x 时解要使y x21 1 x32问X等于多少使当|x| X时|y1| 001? 只要|x| 43 0.01x211 4 0.01x23x23故X5证明函数f(x) |x|当x 0时极限为零证明因为|f(x)0| ||x|0| |x| |x0|所以要使|f(x)0| 只须|x|因为对 0 使当0 |x0| 时有|f(x)0| ||x|0||x| 0所以limx 06求f(x) x, x (x) |x|当xx 0时的左﹑右极限并说明它们在x 0时的极限是否存在证明因为lim f(x) lim x lim1 1x 0x 0xx 0lim f(x) lim x lim1 1 x 0x 0xx 0x 0limf(x) lim f(x) x 0f(x)存在所以极限limx 0因为|x| lim x 1 x 0x 0xx 0x|x|x 1lim (x) lim limx 0x 0xx 0xlim (x) limx 0 lim (x) lim (x) x 0(x)不存在所以极限limx 07证明若x 及x 时函数f(x)的极限都存在且都等于Af(x) A则xlimf(x) A证明因为xlim x limf(x) A所以 >0X1 0使当x X1时有|f(x)A|X2 0使当x X2时有|f(x)A|f(x) A取X max{X1 X2}则当|x| X时有|f(x)A| 即xlim8根据极限的定义证明函数f(x)当x x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等证明先证明必要性设f(x) A(x x0)则 >0 0使当0<|x x0|< 时有|f(x)A|<因此当x0 <x<x0和x0<x<x0 时都有|f(x)A|<这说明f(x)当x x0时左右极限都存在并且都等于A再证明充分性设f(x00) f(x00) A则 >01>0使当x0 1<x<x0时有| f(x)A<2>0使当x0<x<x0+ 2时有| f(x)A|<取 min{ 1 2}则当0<|x x0|< 时有x0 1<x<x0及x0<x<x0+ 2 从而有| f(x)A|<即f(x) A(x x0)9试给出x 时函数极限的局部有界性的定理并加以证明解 x 时函数极限的局部有界性的定理如果f(x)当x 时的极限存在则存在X 0及M 0使当|x| X时 |f(x)| M证明设f(x) A(x )则对于 1X 0当|x| X时有|f(x)A| 1所以|f(x)| |f(x)A A| |f(x)A||A| 1|A|这就是说存在X 0及M 0使当|x| X时 |f(x)| M其中M 1|A|习题1 41两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之解不一定(x)2 例如当x 0时 (x) 2x (x) 3x都是无穷小但limx 0(x)3 (x)不 (x)是无穷小2根据定义证明2x9(1)y x当x 3时为无穷小; 3(2)y xsin1当x 0时为无穷小x2x9 |x3|时|y| x 3 证明 (1)当x 3有因为 0当0 |x3| 时2|y| x9 |x3| x 32x9所以当x 3时y x为无穷小 3(2)当x 0时|y| |x||sin1| |x0|因为 0 x|y| |x||sin1| |x0| x所以当x 0时y xsin1为无穷小 x当0 |x0| 时有3根据定义证明函数y 12x为当x 0时的无穷大问x应满足什x么条件能使|y| 104？证明分析|y||x| 1 M212x 21 12 xx|x|2 M即要使|y| M只须|1x|证明因为M 0所以当取1使当0 |x0| 时有12x M xM2x 0时函数y 12x是无穷大 xM 104则 41当0 |x0| 41时|y| 104 10210 2 4求下列极限并说明理由2x1; (1)limx x21x(2)limx 01xxxxx1x2 1所以lim x 01x2x1 2解 (1)因为2x1 21而当x 时1是无穷小所以limx x (2)因为11x2 1x(x 1)而当x 0时x为无穷小5根据函数极限或无穷大定义填写下表解6函数y xcos x在( )内是否有界？这个函数是否为当x 时的无穷大？为什么？解函数y xcos x在( )内无界这是因为M 0在( )内总能找到这样的x使得|y(x)| M例如y(2k ) 2k cos2k 2k (k 0 1 2 )当k充分大时就有| y(2k )| M当x 时函数y xcos x不是无穷大这是因为M 0找不到这样一个时刻N使对一切大于N的x都有|y(x)| M例如y(2k (2k )cos(2k ) 0(k 0 1 2 ) 2222 对任何大的N当k充分大时总有x 2k N但|y(x)| 0 M7证明函数y 1sin1在区间(0 1]上无界但这函数不是当x 0+时xx的无穷大证明函数y 1sin1在区间(0 1]上无界这是因为 xx M 0在(0 1]中总可以找到点xk使y(xk) M例如当xk2k 1(k 0 1 2 )2时有y(xk) 2k2当k充分大时 y(xk) M当x 0+ 时函数y 1sin1不是无穷大这是因为 xxM 0对所有的 0总可以找到这样的点xk使0 xk但y(xk) M例如可取xk 12k(k 0 1 2 )当k充分大时 xk 但y(xk) 2k sin2k 0 M习题1 51计算下列极限2xlim5 (1)x 2x3x25 225 9lim解 x 2x3232x(2)3 x x 1解 2()23x3 0 2x x1() 12 x (3)limx 12x1 2x 1解2(x1)2x2x1x1 0 0lim lim limx 1x 1(x1)(x1)x 1x12x2 14x32x2xlim(4)x 02 3x2x3224x2x x4x2x1 1 lim解lim x 03x2xx 03x22 (x h)2x2lim(5)h 0h222(x h)2x2x2hx h xlim lim lim(2x h) 2x解h 0h 0h 0hh(6)xlim(211) xx21lim1 2解xlim(211 2lim x xx xxx2x1(7)xlim 2x2x 1 解 1 121 limlimx 1 2x 2x x1x 22xx2(8)xlim解或 x2x 42x3x12xx 0lim42(分子次数低于分母次数x x3x1112x lim23 0lim4x2 x x3x1x 1xx2极限为零) x6x8 (9)limx 4x5x 4解 2(x2)(x4)limx26x8 lim limx2 42 2x 4x5x4x 4(x1)(x4)x 4x1413(10)xlim(11)(21) 2xx1) lim(21 1 2 2解xlim(11)(21 lim(1 xx2x xx x2(11)nlim(111 1) 242n1(1)n 1lim(111 1) lim 2 n n 2421 2n 解 123 (n1) (12)nlim(n1)n123 (n1) 1limn1 1解nlim lim n 2n n2nn(n1)(n2)(n3)(13)nlim5n(n1)(n2)(n3)1 (分子与分母的次数相同解nlim 55n3极限为最高次项系数之比)或(n1)(n2)(n3)11)(1213 1 lim(1 3n n 5nnn55n(14)lim(1 33 x 11x1xlim解2131x x3 lim(1x)(x2)lim() limx 11x1x3x 1(1x)(x 1(1x)(1x x2)1x x2) limx 21 x 11x x2计算下列极限32x2x(1)x lim 2(x2)2解 (x2)20lim 0因为x 2x2x162x所以limx 22x2 (x2)23 x (2)xlim 2x 1解 2xlim x 2x1(因为分子次数高于分母次数)(2x3x1) (3)xlim解 x lim(2x3x1) (因为分子次数高于分母次数)3计算下列极限(1)limx2sin1 x 0x2解 limx2sin1 0(当x 0时 x是无穷小而sin1是有界变量)x 0xxarctanx (2)xlim xarctanx lim1 arctanx 0(当x 时 1是无穷小解xlim x xxx而arctan x是有界变量)4证明本节定理3中的(2)习题1 51计算下列极限2xlim5 (1)x 2x322x52lim 5 9解 x 2x32 3 2x(2)23 x x 1解 2()23x3 0 x x21()2 12 x (3)limx 12x1 2x 1解2(x1)2x2x1x1 0 0lim lim limx 1x 1(x1)(x1)x 1x12x 1 324x2x x(4)limx 03x22x4x32x2x lim4x22x1 1解 limx 03x22xx 03x22 (x h)2x2lim(5)h 0h222(x h)2x2x2hx h xlim lim lim(2x h) 2x解h 0h 0h 0hh(6)xlim(211) xx21lim1 2解xlim(211 2lim x xx x2xx2(7)xlim解x21 22x x1112x1lim2 lim 1x 2x x1x 222xx x2x x x43x212x x 0解xlim(分子次数低于分母次数 x3x1(8)lim极限为零)或112x lim 0lim4x2 x x3x1x 21124xx2 x6x8 (9)limx 42x5x 4解 2(x2)(x4)xlim26x8 lim limx2 42 2x 4x5x4x 4(x1)(x4)x 4x1413(10)xlim(11)(21) 2xx1) lim(21 1 2 2解xlim(11)(21 lim(1 xx2x xx x2(11)nlim(111 1) 242n1(1)n 1lim(111 1) lim 2 nn n 2421 2n 解 123 (n1) (12)nlim 2(n1)n123 (n1) 1limn1 1解nlim lim n 2n n2n2n2(n1)(n2)(n3)(13)nlim3 5n(n1)(n2)(n3)1 (分子与分母的次数相同解nlim 55n3极限为最高次项系数之比)或(n1)(n2)(n3)11)(1213 1 lim(1 n 5n nnn55n3(14)lim(1 33 x 11x1xlim解2131x x3 lim(1x)(x2)lim() limx 11x1xx 1(1x)(x 1(1x)(1x x)1x x) limx 22 1 x 11x x2计算下列极限 32x2xlim(1)x 2(x2)2解 (x2)20lim3 0因为x 2x2x21632x2x 所以limx 2(x2)2 x2lim(2)x 2x1 x2 解 xlim 2x1(因为分子次数高于分母次数)(2x3x1) (3)xlim解 x lim(2x3x1) (因为分子次数高于分母次数)3计算下列极限(1)limx2sin1 x 0x2解 limx2sin1 0(当x 0时 x是无穷小而sin1是有界变量)x 0xxarctan x (2)xlim xarctanx lim1 arctanx 0(当x 时1是无穷小解 xlim x xxx而arctan x是有界变量)4证明本节定理3中的(2)习题 171当x 0时 2x x2 与x2x3相比哪一个是高阶无穷小？解232x xx x lim 0因为limx 02x xx 02x所以当x 0时 x2x3是高阶无穷小即x2x3 o(2x x2)2当x 1时无穷小1x和(1)1x3 (2)1(1x2)是否同阶？是否等2价？解 3(1x)(1x x2)1x lim lim(1x x2) 3 (1)因为limx 11xx 1x 11x所以当x 1时 1x和1x3是同阶的无穷小但不是等价无穷小1(1x2) 1lim(1x) 1 (2)因为limx 11x2x 1所以当x 1时 1x和1(1x2)是同阶的无穷小而且是等价无穷小 23证明当x 0时有(1) arctan x~x2x(2)secx1~2arctanx lim 证明 (1)因为limx 0y 0xy 1(提示 tany令y arctan x则当x 0时y 0)所以当x 0时 arctanx~x2sin2x2sinxsecx1 2lim1cosx lim lim(2 1 (2)因为limx 02x 0x2cosxx 0x 0x2x2222xsecx1~ 2 所以当x 0时4利用等价无穷小的性质求下列极限tan3x (1)limx 02xsin(xn)(2)limx 0(sinx)m(n m为正整数)tanx sinx (3)limx 0sinx(4)limx 0sinx tanx 2(x1sinx1)tan3x lim3x 3解 (1)limx 0x 02x2x21 n mn sin(xn)x 0 n m lim(2)limx 0(sinx)mx 0xm n m1x2sinx(11)tanx sinx lim lim1cosx lim2 1(3)lim332x 0x 0x 0cosxsinxx 0xcosx2sinxsinx(4)因为sinx tanx tanx(cosx1) 2tanxsin2x~2x x)2 1x3(x 0) 222所以x21 x21x2(x 0) ~1x2)2x213sinx~sinx~x(x 0) sinx1sinx1 1x3sinx tanxlim lim 3x 0(x21sinx1)x 02x x35证明无穷小的等价关系具有下列性质(1) ~ (自反性)(2) 若 ~ 则 ~ (对称性)(3)若 ~ ~ 则 ~ (传递性)证明 (1)lim 1所以 ~1从而lim 1因此 ~ (2) 若 ~ 则lim(3) 若 ~ ~习题18 lim lim lim 1 因此 ~1研究下列函数的连续性并画出函数的图形(1) x2 0 x 1 f(x) 2x 1 x 2解已知多项式函数是连续函数所以函数f(x)在[0 1)和(1 2]内是连续的在x 1处因为f(1) 1并且x 12f(x) lim(2x) 1 limf(x) limx 1lim x 1x 1x 1f(x) 1从而函数f(x)在x 1处是连续的所以limx 1综上所述，函数f(x)在[0 2]上是连续函数x 1 x 1 (2)f(x) 1 |x| 1解只需考察函数在x 1和x 1处的连续性在x 1处因为f(1) 1并且x 1limf(x) lim1 1 f(1) x 1x 1 x 1limf(x) lim x 1 f(1)所以函数在x 1处间断但右连续在x 1处因为f(1) 1并且x 1limf(x) lim x 1 f(1) limf(x) lim1 1 f(1) x 1x 1x 1所以函数在x 1处连续综合上述讨论函数在( 1)和(1 )内连续在x 1处间断但右连续2下列函数在指出的点处间断说明这些间断点属于哪一类如果是可去间断点则补充或改变函数的定义使它连续2x(1)y 21 x 1 x 2 x3x 2解 2(x1)(x1)xy 21 x3x2(x2)(x1)因为函数在x 2和x 1处无定义所以x 2和x 1是函数的间断点2xlimy lim21 因为x 2x 2x3x2所以x 2是函数的第二类间断点(x1)y lim 2所以x 1是函数的第一类间断点并且是可去因为limx 1x 1(x2)间断点在x 1处令y 2则函数在x 1处成为连续的(2)y x x k x k tanx2(k 0 1 2 )2 解函数在点x k (k Z)和x k (k Z)处无定义因而这些点都是函数的间断点因xlim k x (k 0) tanxx 1 tanxlimx k 故x k (k 0)是第二类间断点2 因为limx 0x 0(k Z) tanx所以x 0和x k (k Z) 是第一2类间断点且是可去间断点令y|x 0 1则函数在x 0处成为连续的令x k 时 y 0则函数在x k 处成为连续的2(3)y cos21 x 0 x2xx 解因为函数y cos21在x 0处无定义所以x 0是函数y cos21的间断点又因为limcos21不存在所以x 0是函数的第二类间断点x 0xx 1 x 1 (4)y 3 x x 1 x 1解因为xlim1f(x) lim(x1) 0limf(x) lim(3x) 2x 1x 1x 1所以x 1是函数的第一类不可去间断点 3讨论函数解2n1xf(x) limx的连续性 n 1x2n若有间断点判别其类型x |x| 12n 1xf(x) limx 0 |x| 1 n 1x2nx |x| 1f(x) lim(x) 1 lim f(x) lim x 1x 1x 1x 1lim 在分段点x 1处因为x1所以x 1为函数的第一类不可去间断点在分段点x 1处因为xlim 1f(x) lim x 1 limf(x) lim(x) 1x 1x 1x 1所以x 1为函数的第一类不可去间断点4证明若函数f(x)在点x0连续且f(x0) 0则存在x0的某一邻域U(x0)当x U(x0)时 f(x) 0证明不妨设f(x0)>0因为f(x)在x0连续所以xlimx的局部保号性定理存在x0的某一去心邻域U(x0)f(x) f(x0) 0由极限f(x)>0使当x U(x0)时从而当x U(x0)时 f(x)>0这就是说则存在x0的某一邻域U(x0)当x U(x0)时 f(x) 05试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子 (1)x 0 12无穷间断点1 n 1 是2nf(x)的所有间断点且它们都是解函数f(x) csc( x)csc 在点x 0 1 2 x 1 n 1 处是间断2n的且这些点是函数的无穷间断点(2)f(x)在R上处处不连续但|f(x)|在R上处处连续1 x Q 解函数f(x) 1 x Q在R上处处不连续但|f(x)| 1在R上处处连续(3)f(x)在R上处处有定义但仅在一点连续x x Q 解函数f(x) 在R上处处有定义它只在x 0处连续x x Q习题191求函数f(x) xlimf(x) x 233x2x3的连续区间 2x x6f(x)并求极限limx 0x 3limf(x)及33x2x3 (x3)(x1)(x1)f(x) x(x3)(x2)x x 6 解函数在( )内除点x 2和x 3外是连续的所以函数f(x)的连续区间为( 3)、(3 2)、(2 )在函数的连续点x 0处 limf(x) f(0) 1 x 02在函数的间断点x 2和x 3处limf(x) limx 2(x1)(x1)(x3)(x1)(x1) 8limf(x) limx 3x 3x 2x25(x3)(x2) 2设函数f(x)与g(x)在点x0连续证明函数(x) max{f(x) g(x)} (x) min{f(x) g(x)} 在点x0也连续证明已知xlim x可以验证(x) 1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]因此2 (x) 1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]2 (x0) 1[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ]2 (x0) 1[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ] 20f(x) f(x0)limg(x) g(x0) x x0因为lim (x) lim1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]x x0x x02 1[limf(x)limg(x)|limf(x)limg(x)| ]x x0x x0x x02x x01[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ] (x0) 2所以 (x)在点x0也连续同理可证明 (x)在点x0也连续3求下列极限(1)limx 0x 4x22x5 (sin2x)3 (2)limln(2cos2x) (3)limx 6(4)limx 0x11 xx4x (5)limx 1x 1(6)xlimsinx sina ax a(7)xlim(x2x x2x)解 (1)因为函数f(x) x 0x22x5是初等函数f(x)在点x 0有定义所以 limx22x5 f(0) 22 054 (2)因为函数f(x) (sin 2x)3是初等函数 f(x)在点x 有定义所以lim(sin2x)3 f( (sin2 3 1 44x 46 (3)因为函数f(x) ln(2cos2x)是初等函数 f(x)在点x 有定义所以limln(2cos2x) f( ) ln(2cos2 0 66x(4)limx 0x11 lim(x11)(x11) limxx 0x 0x(x11xx(x11) )11 111112 limx 0(5)limx 1x4x lim(x4xx4x)x 1x1(x1x4x) lim444x4 lim 2x 1x4xx 1(x1x4x) 142cosx asinx alimsinx sina lim(6)x ax ax ax asinx a cosa a 1 cosalimcosx a limx a2x a2222(x2x x2x)(x2x x2x)(x x x x) lim(7)xlim 22 x (x x x x)lim2x2 lim 1 x (x2x x2x)x (11)xx4求下列极限(1)xlim(2)limlnsinx x 0x1ex(11)2 (3)xlim x2x(13tan2x)cotx (4)limx 0x13x( (5)xlim 6x(6)limx 0tanx sinxx sin2x xlime e1lim1x 解 (1) (2) (3) x e0 1 limlnsinx ln(limsinx) ln1 0x 0x 0xxx1lim(1 2x x limx 11x2(1)x e 12(4)lim(13tan2x)cotx limx 02x 0 1(13tan2x)3tan2x3 e3x13x 3 (5)(6x) (16x)36x2因为3(1)3 e lim3 x1 3 xlim x 6x26x23x2 e2所以xlim 6x(tanx sinx)(sin2x1)tanx sinx lim(6)lim22x 0x 0x sinx xx(sinx1)(tanx sinx)2xtanx 2sin(ta nx sinx sinx1) lim limx 0xsin2x(tanx sinx)x 0xsinx22x (x21 limx 02x应当如何选择数a使得f(x)成为在( 5设函数 ex x 0f(x) a x x 0)内的连续函数？解要使函数f(x)在( )内连续只须f(x)在x 0处连续即只须 x 0limf(x) limf(x) f(0) a x 0x 0 x 0f(x) limex 1因为xlim 0x 0limf(x) lim(a x) a所以只须取a 1习题1101证明方程x53x 1至少有一个根介于1和2之间证明设f(x) x53x1则f(x)是闭区间[1 2]上的连续函数因为f(1) 3 f(2) 25 f(1)f(2) 0所以由零点定理在(1 2)内至少有一点(1 2)使f( ) 0即x 是方程x53x 1的介于1和2之间的根因此方程x53x 1至少有一个根介于1和2之间2证明方程x asinx b其中a 0 b 0至少有一个正根并且它不超过a b证明设f(x) asin x b x则f(x)是[0 a b]上的连续函数f(0) b f(a b) a sin (a b)b(a b) a[sin(a b)1] 0若f(a b) 0则说明x a b就是方程x asinx b的一个不超过a b的根若f(a b) 0则f(0)f(a b) 0由零点定理至少存在一点(0 a b)使f( ) 0这说明x 也是方程x=asinx b的一个不超过a b的根总之方程x asinx b至少有一个正根并且它不超过a b 3设函数f(x)对于闭区间[a b]上的任意两点x、y恒有|f(x)f(y)| L|x y|其中L为正常数且f(a) f(b) 0证明至少有一点 (a b)使得f( ) 0证明设x0为(a b)内任意一点因为所以 0 lim|f(x)f(x0)| limL|x x0| 0 x x0x x0x x0 lim|f(x)f(x0)| 0即 x x0limf(x) f(x0)因此f(x)在(a b)内连续同理可证f(x)在点a处左连续在点b处右连续所以f(x)在[a b]上连续因为f(x)在[a b]上连续且f(a) f(b) 0由零点定理至少有一点 (a b)使得f( ) 04若f(x)在[a b]上连续 a x1 x2 xn b则在[x1 xn]上至少有一点使f( ) f(x1)f(x2) f(xn) n证明显然f(x)在[x1 xn]上也连续设M和m分别是f(x)在[x1 xn]上的最大值和最小值因为xi [x1 xn](1 i n)所以有m f(xi) M从而有n m f(x1)f(x2) f(xn) n M m f(x1)f(x2)f(xn) Mn由介值定理推论在[x1 xn]上至少有一点使f( ) f(x)f(x) f(x) nf(x)存在则f(x)必在( 5证明若f(x)在( )内连续且xlim)内有界f(x) A则对于给定的 0存在X 0只要|x| X就有证明令xlim|f(x)A| 即A f(x) A又由于f(x)在闭区间[X X]上连续根据有界性定理存在M 0使|f(x)| M x [X X]取N max{M |A | |A |}则|f(x)| N x ()即f(x)在( )内有界6在什么条件下 (a b)内的连续函数f(x)为一致连续？总习题一1在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内(1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件数列{xn}收敛是数列{xn}有界的________的条件(2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是xlim xx x00f(x)存在的________条件 limf(x)存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的________条件0 (3) f(x)在x0的某一去心邻域内无界是xlim xx x0f(x) 的________条件 limf(x) 是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的________条件(4)f(x)当x x0时的右极限f(x0)及左极限f(x0)都存在且相等是x x0limf(x)存在的________条件解 (1) 必要充分(2) 必要充分(3) 必要充分(4) 充分必要2选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论设f(x) 2x3x2则当x 0时有( )(A)f(x)与x是等价无穷小 (B)f(x)与x同阶但非等价无穷小(C)f(x)是比x高阶的无穷小 (D)f(x)是比x低阶的无穷小解xxxxf(x)232213 lim lim lim 1 因为limx 0xx 0x 0xx 0xxxxt ln3limu ln2ln3 ln2lim(令21 t 31 u)t 0ln(1t)u 0ln(1u)所以f(x)与x同阶但非等价无穷小故应选B3设f(x)的定义域是[0 1]求下列函数的定义域(1) f(ex)(2) f(ln x)(3) f(arctan x)(4) f(cos x)解 (1)由0 ex 1得x 0即函数f(ex)的定义域为( 0](2) 由0 ln x 1得1 x e 即函数f(ln x)的定义域为[1 e](3) 由0 arctan x 1得0 x tan 1即函数f(arctan x)的定义域为[0 tan 1](4) 由0 cos x 1得2n x 2n (n 0 1 2) 22即函数f(cos x)的定义域为[2n , n ] (n 0 12 ) 224设x 0 0 0 x 0 f(x) g(x) 2x x 0x x 0求f[f(x)] g[g(x)] f[g(x)] g[f(x)]0 x 0 解因为f(x) 0所以f[f(x)] f(x) x x 0因为g(x) 0所以g[g(x)] 0因为g(x) 0所以f[g(x)] 00 x 0 因为f(x) 0所以g[f(x)] f 2(x) 2 x x 05利用y sin x的图形作出下列函数的图形(1)y |sin x|(2)y sin|x|(3)y 2sinx 26把半径为R的一圆形铁片自中心处剪去中心角为的一扇形后围成一无底圆锥试将这圆锥的体积表为的函数解设围成的圆锥的底半径为r高为h依题意有R(2 ) 2 r222r R(2 ) 22R2(2 )24 h R r R R2 4 2圆锥的体积为V 13 R2(2 )2 24 R2R324 2(2 )2 4 a2 (0 2 )7根据函数极限的定义证明limx2x 6x 3x3 5证明对于任意给定的 0要使|x2x 6x35| 只需|x3| 取当0 |x3| 时就有|x3| 即|x2x65| 所以limx2x 6x3x 3x3 58求下列极限(1)limx2x 1x 1(x1)2(2)xlim x(x21x)(3)3xlim (2x2x1x1(4)limtanx sinxx 0x3(5)limxxx 0(a b cx3)(a 0 b 0 c 0)(6)lim(sinx)tanx x 2解 (1)因为lim(x1)2所以limx2x 1x 1x2x1 0 x 1(x1)(2)xlim x(x21x) x(x21x)(x21x)xlim (x21 x) x1xlim x21x xlim 1112x2x322x1x1() lim(1 lim(1)22(3)xlim 2x1x x 2x12x 1222(1)(1 2 xlim 2x12x 122(1) lim(1) e xlim x 2x12x 1sinx(11)sinx(1cosx)tanx sinx lim lim(4)limx 0x 0x 0x3x3x3cosxsinx 2sin2x2x (x)2lim 1 limx 0x 02x3cosxx3(提示用等价无穷小换)(a (5)limx 0x b3x cx)x lim(1a b c。

高等数学(师大版)D1_7线性图形间的关系

L1 L2 L1 // L2
s1 s2 0 s1 s2 0
m1 n1 p1 m2 n2 p2
s1 s2 夹角公式: cos L1 , L2 s1 s2
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3. 面与线间的关系平面 : A x B y C z D 0, n A, B , C xx y y zz 直线 L : , s m , n , p m n p m n p L⊥ sn0 A B C L //
平面 : Ax By Cz D 0 , n A, B, C. 直线与平面的相关位置:
(1) L (2) L //
s // n
sn
(3) 直线与平面相交 (4) 直线在平面上
A B C m n p Am B n Cp 0 Ax0 By0 Cz0 D 0 Am B n Cp 0
2 A1

2 B1
2 C1
A2 B2 C2
机动目录22 Nhomakorabea2
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结束
1 : n1 ( A1 , B1 , C1 )
两平面的相关位置：
n1 n2 cos 1 , 2 n1 n2 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 )
(1) 1 2
(2) 1 / / 2
n2
n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 n1 // n2
1
2
n1
n2
2
A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2
机动目录上页
n1
1
下页

高等数学D10习题课

Pdx Qdy Rdz
dydz dzdx dxdy
PdydzQdzdx Rdxdy
x
y
z
PQ R
(Px
Q y
R)dv z
（三）场论初步
梯度 gra duiu u juk x y z
通量散度
Pdy Q dzd zR dxdxdy
diA vPQR x y z
环流量 PdQ x d R y dz
计
f(x, y,z)ds
R(x,y,z)dxdy
算
f[x,y,z(x,y)]1zx 2z2 ydxdyR[x,y,z(x,y)d] xdy
D xy
Dxy
一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)
（二）各种积分之间的联系
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
计算曲面积分
Guass公式
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
( P x Q y R z)d v P d Q yd d R zzd dx xd
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
R Q
P R
Q P
(yz)dyd(zzx)dzdx (xy)dxd
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系
旋度 rA o ( R t Q ) i ( P R ) j ( Q P ) k y z z x x y
二、典型例题
例 1 计算 I (x22x)ydx (x2y4)d, y L
其中 L为由点 O(0,0)到点 A(1,1)的曲线 ysi nx. 2
(PcosQcos Rcos)ds

高等数学(下)课件D11习题课

L

上从点A(1 1)到点B(1 1)的一段弧解第二种方法以y为积分变量在L上 xy2 y从1变到1 因此
xydx y y( y )dy 2 y 4dy 4 L 1 1 5
2 2
1
1
(1)按逆时针方向绕行的上半圆周x2y2a2 (2)从点A(a 0)沿x轴到点B(a 0)的直线段

例2 计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为1) 解取坐标系如图所示则曲线L的参数方程为 xRcos yRsin () 于是所求转动惯量I为
I y 2ds
L
提示转动惯量的元素为dIy2ds y2ds
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
0 3 2 2
I [(3t) 3 3t(2t) 2 (3t) 2t]dt 87 t 3dt 87 1 1 4 0 2 2 (3t) 2t]dt 87 t 3dt 87 1 4
下页
0
x 2 y 2 1 例 5 一个质点在力 F 的作用下从点 A(a 0)沿椭圆 2 2 a b 按逆时针方向移动到点B(0 b) F的大小与质点到原点的距离成正比方向恒指向原点求力F所作的功W
r
t
ax
3(3). 计算
上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.
提示:
其中L为摆线

2 2 原式 a t sin t d t 0

2 a 2 t cos t sin t 0
3(6). 计算提示: 因在上有
其中由平面 y = z 截球面从 z 轴正向看沿逆时针方向. 故
L
y ds x2 1 (x2 )2 dx

高等数学(第六版)课后习题(完整版)及答案

高等数学课后答案习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞), A ⋂B =[-10, -5), A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明 (1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ); (2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ⇔ y ∈f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ), 所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明: (1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A . (2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A .6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞). (3)211x xy --=;解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=; 解由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)xx y 1arctan 3+-=;解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)xe y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞). 7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)x x y -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0l n )()l n ()l n (2121221121<+-=+-+=-x xx x x x x x y y ,所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2. 因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数. (2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;(3)2211x xy +-=;(4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x aa y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数. (5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数. (6)因为)(22)()()(x f a a a ax f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);解是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;解是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ; 解不是周期函数. (5)y =sin 2x .解是周期函数, 周期为l =π. 14. 求下列函数的反函数: (1)31+=x y ;解由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1. (2)xx y +-=11;解由x x y +-=11得y yx +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11.(3)dcx b ax y ++=(ad -bc ≠0);解由d cx b ax y ++=得a cy bdy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=.(4) y =2sin3x ;解由y =2sin 3x 得2arcsin 31yx =, 所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =.(5) y =1+ln(x +2);解由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.(6)122+=x xy .解由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为xx y -=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即-M ≤f (x )≤M . 这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 -M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M ,即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; 解 y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy .(2) y =sin u , u =2x , 81π=x ,42π=x ;解 y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy . (3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y . (4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;解 2x e y =, 1201==e y , e e y ==212.(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1. 解 y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域: (1) f (x 2);解由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[-1, 1]. (2) f (sin x );解由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f (sin x )的定义域为 [2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) . (3) f (x +a )(a >0);解由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a , 所以函数f (x +a )的定义域为[-a , 1-a ]. (4) f (x +a )+f (x -a )(a >0).解由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得: 当210≤<a 时, a ≤x ≤1-a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1-a ], 当21>a 时函数无意义.18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||11||01||1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 001)]([x x x x g f .⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g . 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40︒(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域.图1-37解 40sin hDC AB ==, 又从)]40cot 2([21Sh BC BC h =⋅++ 得h hS BC ⋅-=40cot 0, 所以h h S L 40sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0,040cot 0>⋅-h hS确定, 定义域为40cot 00S h <<.20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数; (2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.令0.01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75. 当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0.01=91-0. 01x . 综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.091100090x x x x p . (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 15160010001.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P . (3) P =31⨯1000-0.01⨯10002=21000(元).习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限: (1)nn x 21=; 解当n →∞时, nn x 21=→0, 021lim =∞→n n . (2)nx n n 1)1(-=;解当n →∞时, n x n n 1)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→nn n .(3)212nx n +=; 解当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→n n . (4)11+-=n n x n ;解当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n .(5) x n =n (-1)n .解当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限.2. 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N .解 0lim =∞→n n x .n n n x n 1|2c o s||0|≤=-π. ∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n -0|<ε .当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000.3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→n n ;分析要使ε<=-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim2=∞→n n .(2)231213lim =++∞→n n n ;分析要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n .证明因为∀ε>0, ∃]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n .(3)1lim 22=+∞→na n n ; 分析要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >. 证明因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<-+|1|22n a n , 所以1lim 22=+∞→na n n .(4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 分析要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|ε<=-1101n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg 1+>n . 证明因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|<ε , 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 4. a u n n =∞→lim , 证明||||lim a u n n =∞→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明因为a u n n =∞→lim , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .这就证明了||||lim a u n n =∞→.数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞→n n , 但n n )1(lim -∞→不存在.5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞→n n y , 证明: 0lim =∞→n n n y x .证明因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有M y n ε<||. 从而当n >N 时, 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6. 对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞),证明: x n →a (n →∞).证明因为x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k -1>2K 1-1时, 有| x 2k -1-a |<ε ; ∃K 2, 当2k >2K 2时, 有|x 2k -a |<ε .取N =max{2K 1-1, 2K 2}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞). 习题1-31. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-→x x ;分析因为|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|,所以要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε31|3|<-x .证明因为∀ε>0, ∃εδ31=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .(2)12)25(lim 2=+→x x ;分析因为|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 所以要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x .证明因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x -2|<δ时, 有 |(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .(3)424lim 22-=+--→x x x ; 分析因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x ,所以要使ε<--+-)4(242x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim 22-=+--→x x x .(4)21241lim 321=+--→x x x . 分析因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x ,所以要使ε<-+-212413x x , 只须ε21|)21(|<--x . 证明因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 321=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x xx ; 分析因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x . 证明因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有 ε<-+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x xx . (2)0sin lim =+∞→xx x .分析因为x xx x x 1|s i n |0s i n≤=-.所以要使ε<-0sin xx , 只须ε<x1, 即21ε>x . 证明因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<-0s i n xx , 所以0sin lim =+∞→xx x .3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？解由于当x →2时, |x -2|→0, 故可设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05001.0|2|=<-x .取δ=0.0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001.4. 当x →∞时, 13122→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?解要使01.034131222<+=-+-x x x , 只要397301.04||=->x , 故397=X . 5. 证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零. 证明因为|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.因为对∀ε>0, ∃δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε, 所以0||lim 0=→x x .6. 求,)(x x x f = xx x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在.证明因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f , 11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1lim||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ, )(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞→)(lim .证明因为A x f x =-∞→)(lim , A x f x =+∞→)(lim , 所以∀ε>0,∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ; ∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞→)(lim .8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有 |f (x )-A |<ε .因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有 |f (x )-A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有 | f (x )-A |<ε , 即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |. 习题1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim 0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+-=x xy 当x →3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+-=x xy 为无穷小.(2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数x x y 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使|y |>104？证明分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+<M x .证明因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21,所以当x →0时, 函数xx y 21+=是无穷大.取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104. 4. 求下列极限并说明理由:(1)xx x 12lim +∞→;(2)xxx --→11lim 20.解 (1)因为xx x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x x x +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=--→x x x .5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:f (x )→Af (x )→∞f (x )→+∞f (x )→-∞x→x 0 ∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ时,有恒|f (x )-A |<ε.x →x 0+x →x 0-x →∞∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时,有恒|f (x )|>M .x →+∞x →-∞解 f (x )→A f (x )→∞ f (x )→+∞ f (x )→-∞ x →x 0∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ∀M >0, ∃δ>0, 使当∀M >0, ∃δ>0, 使当∀M >0, ∃δ>0, 使当时, 有恒|f (x )-A |<ε.0<|x -x 0|<δ时, 有恒|f (x )|>M .0<|x -x 0|<δ时, 有恒f (x )>M .0<|x -x 0|<δ时, 有恒f (x )<-M .x→x 0+ ∀ε>0, ∃δ>0,使当0<x -x 0<δ时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀M >0,∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒|f (x )|>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒f (x )>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒f (x )<-M .x →x 0- ∀ε>0, ∃δ>0,使当0<x 0-x <δ时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀M >0,∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒|f (x )|>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒f (x )>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒f (x )<-M .x →∞∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒f (x )<-M .x →+∞∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒f (x )<-M .x →-∞∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒f (x )<-M .6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明函数x x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M . 习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim22-+→x x x ;解 9325235lim222-=-+=-+→x x x . (2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx xx x x 2324lim 2230++-→;解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2x x x +-∞→;解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ;解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x . (8)13lim 242--+∞→x x xx x ;解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零). 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim nn +⋅⋅⋅+++∞→;解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n .(13)35)3)(2)(1(limnn n n n +++∞→; 解 515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31xx x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112l i m 21-=+++-=→x x x x .2. 计算下列极限:(1)2232)2(2lim -+→x x x x ;解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim 2+∞→x xx ;解 ∞=+∞→12lim2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim22-+→x x x ;解 9325235lim222-=-+=-+→x x x . (2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx xx x x 2324lim 2230++-→;解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2xx x +-∞→; 解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ;解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x . (8)13lim 242--+∞→x x xx x ;解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零).或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x .(9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→; 解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n .(12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . (13)35)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n .(14))1311(lim 31xx x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112l i m 21-=+++-=→x x x x . 2. 计算下列极限:(1)2232)2(2lim -+→x x x x ; 解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2limx x x x .(2)12lim 2+∞→x x x ;解 ∞=+∞→12lim2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题 1-71. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解因为02lim 2lim202320=--=--→→xx x x x x x x x , 所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2).2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim212131=++=-++-=--→→→x x x x x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2xx -.证明 (1)因为1tan limarctan lim 00==→→y yxx y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0), 所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x , 所以当x →0时, 2~1s e c2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xx x 23tan lim 0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数);(3)x x x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x . 解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2s i n t a n 2)1(c o s t a n t a n s i n x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~s i n ~1s i n 1s i n 1s i n1++=-+(x →0),所以 33121l i m )1s i n 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→xx x x x x x x x .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim =αα, 所以α ~α ;(2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim =αβ. 因此β~α ;(3) 若α ~β, β~γ, 1lim lim lim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ.习题1-81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;解已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x , 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x . 所以1)(lim 1=→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f .解只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性. 在x =-1处, 因为f (-1)=-1, 并且)1(11l i m )(l i m 11-≠==---→-→f x f x x , )1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ,所以函数在x =-1处间断, 但右连续.在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1l i m )(l i m 11==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1), 所以函数在x =1处连续.综合上述讨论, 函数在(-∞, -1)和(-1, +∞)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x xy , x =1, x =2;解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x xy x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的.(2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);解函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点.因∞=→x x k x tan lim π(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim 0=→x x x ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=, x =0;解因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点. 又因为xx 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点. (4)⎩⎨⎧>-≤-=1311x x x x y , x =1.解因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x , 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3. 讨论函数x x x x f nnn 2211lim)(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f nn n . 在分段点x =-1处, 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x , 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x , 所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处, 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x , 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.证明不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x , 由极限的局部保号性定理, 存在x 0的某一去心邻域)(0x U , 使当x ∈)(0x U时f (x )>0, 从而当x ∈U (x 0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f (x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点; 解函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n 1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;解函数⎩⎨⎧∉∈-=Q Qx x x f 1 1)(在R 上处处不连续, 但|f (x )|=1在R 上处处连续.(3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续.解函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Q x x x x x f)(在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.习题1-91. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞).在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x . 在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim)(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x . 2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数 ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续.证明已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim 20+-→x x x ;。

高等数学D10_习题课PPT共32页

高等数学D10_习题课
51、没有哪个社会可以制订一部永远适用的宪法，甚至一条永远适用的法律。 ——杰斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样一种的网，触犯法律的人，小的可以穿网而过，大的可以破网而出，只有中等的才会坠入网中。 ——申斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大夏，庇护着我们大家；它的每一块砖石都垒在另一块砖石上。 ——高尔斯华绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的

高等数学D1-D3总复习习题课kqq

提示: (1) sin x 1 sin x
x 1 x x 1 x 2 sin cos 2 2 1 x 1 x 2 sin cos 2( x 1 x ) 2
无穷小
有界
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(2)
2 1 x lim x1 sin π x
令t x 1
注意:
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u y u v ln u v vu v 1 u
dy f ( x0 ) ; ; dx x x0 y f ( x0 ) lim x 0 x
d f ( x) dx x x0
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例1. 求函数解: 则
的导数.
f ( x h) f ( x ) sin( x h) sin x lim lim h 0 h 0 h h
( 一般为曲线 )
O
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D
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x
结束
xD
(定义域)
f
y R f f ( D) y y f ( x), x D
(值域)
(对应规则)
• 定义域
使表达式或实际问题有意义的自变量集合. 对实际问题, 书写函数时必须写出定义域；
2
对无实际背景的函数, 书写时可以省略定义域. • 对应规律的表示方法: 解析法、图像法、列表法 1 例如, 反正弦函数定义域又如, 绝对值函数定义域值域
y
y2 x
y 1 x
f ( D ) [0 , )
1 2

高等数学D习题课黑白

5)],
x8 x8
,求
f (5) .
解: f (5) f [ f (10)] f (
) f (7) f [
]
f ( ) f (9) 6
6. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
解:
f
(sin
x
1 sin
) x
1 sin 2
x
f
(x)
x f
3, [ f (x
5)],
x8 x8
, 求 f (5) .
6. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
4. 解:
xx
(x) (x)
由
得 (x) ln(1 x) ,
x (,0]
7
5.
已知
f
(
x)
x f
3, [ f (x
习题课函数与极限
一、函数二、连续与间断三、极限
第一章
1
一、函数
1. 概念
定义: 设 D R 函数为特殊的映射:
定义域其中
值域
图形:
y
y f (x)
( 一般为曲线 )
O
D
x
2
2. 特性
有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性
3. 反函数
设函数
为单射, 反函数为其逆映射
f 1 : f (D) D
证: 令lim f (x) A, 则给定 0, X 0,当 x X
x
时, 有
A f (x) A
又 f (x) C [X , X ] , 根据有界性定理, M1 0 , 使

高等数学(D类基础)习题课

教学评估
赵文彬：
开课院系
数学科学学院
通选课领域
是否属于艺术与美育
否
平台课性质
平台课类型
授课语言
中文
教材
大学文科高等数学题解（上册）,姚孟臣,高等教育出版社,2003；
参考书
教学大纲
本课程通过习题讲解巩固所学高等数学课程内容。
课堂布置
课堂习题讲解与学生课堂演练相结合。
课堂表现和平时作业，占整个课程成绩的 10-15%。
高等数学（D类基础）习题课课程详细信息
课程号
00131970
学分
0
英ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ名称
Problem-solving on advanced mathematics (D basic)
先修课程
无
中文简介
本课程通过习题讲解巩固所学高等数学课程内容。
英文简介
The course aims at helping students to better understand knowledges from the textbooks.

高等数学课件同济大学版 D9习题课

y2 (3) z f ( x , ) : x
2y 2z 2y 2 f2 ( x x y x
y2 2 f 22 ) x
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P73 题12 设提示: 由 z uv , 得 z u v v u x x x
求
①
z
②
z u v v u y y y
练习题：
1. 在曲面平面上求一点 , 使该点处的法线垂直于并写出该法线方程 . 则法线方程为
提示: 设所求点为
y0
利用得
x0
1
法线垂直于平面点在曲面上
y0 x0 1 1 3 1 z0 x0 y0
x0 3 , y0 1 , z0 3
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du y e x ( x z) f 3 f1 f 2 1 答案: dx x sin( x z )
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三、多元函数微分法的应用
1.在几何中的应用求曲线在切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题
例5. 求旋转抛物面
与平面
之间的最短距离. 则解：设为抛物面 z x 2 y 2 的距离为问题归结为目标函数: ( x y 2 z 2) 2 (min)
约束条件: x 2 y 2 z 0 作拉氏函数
u u
u v x yx y
由 x e cos v, y e sin v , 得
d x eu cos v d u eu sin v d v d y eu sin v d u eu cos v d v

高等数学 D1习题课11

f (1) f (0) f ( ) (0 1)
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例9. 设 f (x) 0 , 则 f (2) f (1) f (2) 0 提示: 利用 f (x) 单调增加 , 及 f (2) f (1) f ( ) (1 2)
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n
n
n2 2
lim n1
1
n2
1
lim n
n
n
2
1
n2
1
2
n2
1
n
1
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一般有如下结果：
lim
x
a0 xm b0 x n
a1x m1 b1x n1
am bn
为非负常数 )
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lim n3 n 5 ____ n 1 4n 2n3
esin
x
ln
x
lim e x ln x
x0
e0 1
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例3.
1
6
分析:
原式
lim
x0
cos
x x
(x sin 2
sin x
x)
lim
x0
x
sin x3
x
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
lim 1
x0
cos 3x2
x
lim
x0
1 2
x2
3x2
1 6
例10. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20
Km , AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条

高等数学课件微分方程D12习题课2

习题课 (二)
第十二章
二阶微分方程的
解法及应用
一、两类二阶微分方程的解法二、微分方程的应用
2019/11/19
高等数学课件
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一、两类二阶微分方程的解法
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法

d2 y dx2

f
(x)
逐次积分求解

d2y dx2

f
(x,dy) dx
2019/11/19
高等数学课件
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P327 题4(2) 求解
yay20

yx00,
y x01
提示: 令 yp(x),则方程变为 d p a p 2
dx
积分得

1 p

ax C1,
利用
px 0 yx 0 1得C11
再解
(x)ex(x)
(x)(x)ex
解初值问题: (0)0, (0)1
答案: (x)1ex(2x1)1ex
4
4
2019/11/19
高等数学课件
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例3. 设函数 yy(x)在 (, ) 内具有连续二阶导
数, 且 y 0 ,xx(y)是 yy(x)的,函数
x 2 y pxy qy f(x)
令xet ,D d dt
D (D 1 ) p D q y f (et)
练习题: P327 题 2 ;
3 (6) , (7) ;
4(2)； 8
2019/11/19
高等数学课件
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解答提示
P327 题2 求以 yC 1exC 2e2x为通解的微分方程 . 提示: 由通解式可知特征方程的根为 r11,r22,

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高等数学（D）习题课课程详细信息
课程号
00137950
学分
0
英文名称
Problem-solving on Advanced mathematics (D)
先修课程
无
中文简介
本课程通过习题讲解巩固所学高等数学课程内容。
英文简介
The course aims at helping students to better understand knowledges from the textbooks.
Байду номын сангаас教学评估
宋春伟：
开课院系
数学科学学院
通选课领域
是否属于艺术与美育
否
平台课性质
平台课类型
授课语言
中文
教材
大学文科高等数学题解（上册）,姚孟臣,高等教育出版社,2003；；
参考书
教学大纲
本课程通过习题讲解巩固所学高等数学课程内容。
课堂上布置
课堂习题讲解与学生课堂演练相结合。
课堂表现和平时作业，占整个课程成绩的 10-15%。