江苏省无锡市20172018学年高一数学下学期期末考试试题

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江苏省无锡市2017-2018学年高一(上)期末数学试卷(含答案)

2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合{}{0}112A B ==，，，，则A B ⋃=______．2.176cos π=______．3. 若幂函数y f x =（）的图象过点42（，），则16f =（）______．4. 若向量12a =（，），3b m =（，），且a b ，则|||a b +=______．5. 函数||3f x ln x =+（）（）的单调增区间是______．6.计算：2ln33(0.125)e-++=______．7. 已知圆心角是3π的扇形的面积是223cmπ，则该圆心角所对的弧长为______cm ．8. 已知函数x （）是周期为2的奇函数，且1[]0x ∈-，时，f x x =（），则212f =（）______．9. 将函数2y sin x =向右平移0ϕϕπ（＜＜）个单位所得函数记为y f x =（），当23x π=时f x （）取得最大值，则ϕ=______． 10.若cos 23sin(a )4a π=+，sin cos a a =______．11. 若2(x 1)1,1(x)1,1x f x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩，且23f a f a -（）＜（），则实数a 的取值范围是______． 12. 在ABC 中，已知|AB |2=，|||1AC =，点M 在边BC 上，4||BC BM =，2AM CB ⋅=，则A B A C ⋅=______． 13. 函数221,04(x)1log ,4x x f x x +≤≤⎧=⎨+<⎩，若0m n ≤<，且(m)f(n)f =，则mf(n)的取值范围是______．14. 函数2f(x)m |31|4|31|1(m 0)x x =---+>在R 上有4个零点，则实数m 的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 设集合2{|3}2A x y log x =-（），2{}2|x B y y a x a a R ==≤≤+∈，，全集U R =．16. （1）若2a =，求U A C ⋂（B ）；17. （2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．在ABC 中，已知12AB =（，），40AC m m =（，）（＞）． 18.19. 在△ABC 中，已知=（1，2）， =（4，m ）（m ＞0）（1）若90ABC ∠=︒，求m 的值；（2）若32||BC =2BD DC =，求cos ADC ∠的值．17.如图，在平面直角坐标系中，角αβ，的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A ，B 两点，若712παπ∈（，），12πβ=，且点A 的坐标为1Am -（，）．（1）若423tan α=-，求实数m 的值；（2）若34tan AOB ∠=-，若2sin α的值．20. 某公司对营销人员有如下规定：21. i （）年销售额x （万元）不大于8时，没有年终奖金；22. （ⅱ）年销售额x （万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x （万元）不大于64时，年终奖金y （万元）按关系式ay log x b =+，0a （＞，且1a ≠）发放；当年销售额x （万元）不小于64时，年终奖金y （万元）为年销售额x （万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元． 23. （1）求y 关于x 的函数解析式；24. （2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x （万元）的取值范围．25. 已知奇函数23(x)22x b f x +=+，函数221g t sin t cost =+-（），]3[t m π∈，，m ，b R ∈． 26. （1）求b 的值；（2）判断函数f x （）在[0]1，上的单调性，并证明；（3）当]1[0x ∈，时，函数g t （）的最小值恰为f x （）的最大值，求m 的取值范围．已知向量24a sin x πω=+（（），，4b sin x πω=+（（），20cos x ωω（））（＞），函数•1x a b =-（），f x （）的最小正周期为π．（1）求f x （）的单调增区间；（2）方程210f x n -+=（）；在[0]712π，上有且只有一个解，求实数n 的取值范围；（3）是否存在实数m 满足对任意x 1∈[-1，1]，都存在x 2∈R ，使得 + +m （ - ）+1＞f （x 2）成立．若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】{012}，，【解析】解：集合{}{0}112A B ==，，，，则012{}A B ⋃=，，．故答案为：{012}，，．根据交集的定义写出A B ⋃即可．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题． 2.【答案】2-【解析】解：1773)62cos 66cos cos ππππ-=-=-=（．故答案为：直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用特殊角的三角函数值的求法，是基础题． 3.【答案】4【解析】解：设幂函数a y f x x ==（），幂函数y f x =（）的图象过点42（，）， 42a ∴=，解得：12a =，12y f x x ∴==（）164f ∴=（），故答案为：4根据已知求出函数的解析式，将16x =代入可得答案．本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题． 4.【答案】45解：||a b ，60m ∴-=，解得6m =． |48a b ∴+=（，）．则2|4|a b +=+=故答案为：利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】[2-+∞，）【解析】解：根据题意，ln(x 3)x 23ln(x 33x ||),2f x ln x +≥-⎧=+=⎨-+-<<-⎩（）（），即当2x ≥-时，3f x ln x =+（）（），令3t x y lnt =+=，，在[2-+∞，）上，1t ≥，此时3t x =+为增函数，y lnt =也为增函数，则函数f x （）为增函数；当32x --＜＜时，3f x ln x =-+（）（），令3t x y lnt =+=-，，在32--（，）上，01t ＜＜，此时3t x =+为增函数，y lnt =-为减函数，则函数f x （）为减函数；故函数||3f x ln x =+（）（）的单调增区间是[2-+∞，）；故答案为：[2-+∞，）．根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案．本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题． 6.【答案】11【解析】解：原式233134[()]2-=++ 7411=+=．故答案为：11．利用对数的运算性质即可得出．本题考查了对数的运算性质，属于基础题． 7.【答案】23π【解析】解：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为rad α（），半径为r ，扇形的面积为S ，则：2322234Sr ππα⨯===．解得2r =，可得：扇形的弧长为2233l r ππα==⨯=cm ．故答案为：23π．利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值．本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 8.【答案】【解析】解：根据题意，函数x （）是周期为2的函数，则211110222f f f =+=（）（）（），又由f x （）为奇函数，则11112222f f =-=-（）（）（-）=，则21122f =（）；故答案为：12根据题意，由函数的周期性可得211110222f f f =+=（）（）（），结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得11112222f f =-（）（-）=-（-）=，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题． 9.【答案】512π【解析】解：将函数2y sin x =向右平移0ϕϕπ（＜＜）个单位，所得函数记为22y f x sin x ϕ==-（）（），当23x π=时f x （）取得最大值，则42232k ππϕπ-=+，5226k Z k πϕπ∈∴=-+．，令0k =，可得512πϕ=，故答案为：512π．利用函数y Asin x ωϕ=+（）的图象变换规律求得f x （）的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得ϕ的值．本题主要考查函数y Asin x ωϕ=+（）的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题． 10.【答案】49【解析】解：cos 2sin )4a a π=+（，2232=，即3=，13cos sin αα∴-=，两边平方得：112sin cos 9a a -=，49sin cos αα∴=．故答案为：49．由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得1cos sin 3αα-=，两边平方得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题． 11.【答案】12-∞（，）【解析】解：2(x 1)1,11,1x f x x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩（），可得1x ＞时，f x （）递减； 1x ≤时，f x （）递减，且11f =（），可得f x （）在R 上递减， 23f a f a -（）＜（），可得23a a -＞，解得12a ＜，故答案为：12-∞（，）．讨论f x （）在1x ＞和1x ≤的单调性，可得f x （）在R 上递减，进而可得a 的不等式，解不等式即可得到所求范围．本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题． 12.【答案】32【解析】解：4BM BC ==， 11()44BM BC AC AB ∴==-， 1344AB BM AC AB+=+， 21||||AB AC ==，，()()AM BC AB BM AC AB ⋅=+⋅-，13•44AC AB AC AB =+-（）（）， 22113424AC AB AC AB =+⋅-， 13142442AB AC =-⨯+=-， 32AB AC ∴=⋅=，故答案为：32．由向量加法及减法的三角形法则可得，()()AM BC AB BM AC AB ⋅=+⋅-，结合已知即可求解AB AC ⋅．本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础试题． 13.【答案】36]3（，【解析】解：作出函数221,041log ,4X x f x x x +≤<⎧=⎨+<⎩（）的图象，可得12f n f m m ==+（）（），14m ≤＜，则2122mf n m m m m =+=+（）（）在14]（，递增，可得 mf n （）的范围是36]3（，．故答案为：36]3（，．作出f x （）的图象，求得f n （），m 的范围及mf n （）的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围．本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题．14.【答案】34（，）【解析】解：根据题意，对于函数2||31|431|1x x f x m =---+（），设|1|3x t =-，则241y mt t =-+，|1|3x t =-的图象如图：若函数23143||11||0x x f x m m =---+（）（＞）在R 上有4个零点，则方程2410mt t -+=在区间01（，）有2个根，则有164020130m m m ->⎧⎪⎪<<⎨⎪->⎪⎩，解可得：34m ＜＜，即m 的取值范围为34（，）；故答案为：34（，）根据题意，设|1|3x t =-，则241y mt t =-+，作出|1|3x t =-的草图，据此分析可得方程2410mt t -+=在区间01（，）有2个根，结合一元二次函数的性质可得164020130m m m ->⎧⎪⎪<<⎨⎪->⎪⎩，解可得m 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题． 15.【答案】解：（1）集合220{|}{|}322{|32032}x A x y log x x x x x -≥⎧⎨-==-==≤>⎩（）＜，2a =时，{|2x B y y ==，{}|2416}4x y y ≤≤=≤≤，又全集U R =，{4|UC B x x ∴=＜或6}1x ＞， 2{|4U C A x x ∴⋂=≤（B ）＜，或1632}x ＜＜；（2）A B A B A ⋃=∴⊆，，又{}222|a a B y y +=≤≤，232{|}A x x =≤＜，222232aa +⎧≥⎪∴⎨<⎪⎩，解得实数a 的取值范围是13a ≤＜．【解析】（1）求定义域得集合A ，求出2a =时集合B ，再根据集合的定义计算即可；（2）由A B A ⋃=得出B A ⊆，由此列不等式求出实数a 的取值范围．本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题． 16.【答案】解：（1）若90ABC ∠=︒，则0AB BC ⋅=，32BC AC AB m =-=-（，）， 3240m ∴+-=，12m ∴=．（2）||32BC =，9(m +-=， 0m ＞，5m ∴=，2BD DC =，1113DC BC ∴==（，），2223BD BC ==（，），而34ADAD AB BD =+=（，）， 34DA ∴=--（，）， 31417210||||52DA DC cos ADC DA DC ⋅-⨯-⨯∴∠===-．【解析】（1）由题意可知0AB BC ⋅=，结合向量的数量积的性质即可求解m （2）由32||BC =，结合向量数量积的性质可求m ，然后结合2BD DC =，及向量夹角公式||||DA DC cos ADC DA DC ⋅∠=可求本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用． 17.【答案】解：（1）由题意可得224213tan tan tan ααα==--，12tan α∴=-，或2tan α=． 712παπ∈（，），12tan α∴=-，即112m =--，12m ∴=．（2）sin()312124cos()12tan AOB tan tan παπαβαπα-∠=-=-==--（）（），2211()()1,[,]121212212sin cos ππππαπαα--∈-+=，34125125sin cos ππαα∴-=-=-（），（）， 24226121225sin sin cos πππααα∴-=--=-（）（）（），2722161225cos cos ππαα-=--=（）（），22226666[6]6sin sin sin cos cos sin ππππππαααα∴=-+=-+-=（）（）（）．【解析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得tan α的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m 的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得12sin πα-（）和12cos πα-（）的值，再利用两角和的正弦公式求得[6]226sin sin ππαα=-+（）的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．18.【答案】解：（1）864x ≤＜，年销售额越大，奖金越多，a y log xb ∴=+在84]6（，上是增函数． log 161log 643a a b b +=⎧∴⎨+=⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩．864x ∴≤＜时，23y log x =-+；又64x ≥时，y 是x 的一次函数，设0y kx m k =+≠（），由题意可得：643805k m k m +=⎧⎨+=⎩，解得185k m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． 64x ∴≥时，158y x =-．∴y 关于x 的函数解析式为20,08log 3,86415,648x y x x x x ⎧⎪≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎪->⎩；（2）当08x ≤≤时，不合题意；当864x ≤＜时，2234log x -+＜＜，解得32128x ＜＜．3264x ∴≤＜．当64x ＞时，1548x -<，解得72x ＜，6472x ∴＜＜．综上，3272x ＜＜．答：该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元．【解析】（1）由已知可得ay log x b =+在84]6（，上是增函数，再结合已知列关于a ，b 的方程组，求解可得函数解析式；又64x ≥时，y 是x 的一次函数，设0y kx m k =+≠（），再由已知可得关于m ，k 的方程组求解可得64x ≥时，158y x =-，则函数解析式可求；（2）当08x ≤≤时，不合题意；然后分类求解不等式得答案．本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．19.【答案】解：（1）奇函数23()22x b f x x +=+，可得00f =（），即0b =；（2）23(x)22x f x =+在[0]1，单调递增，证明：设12x x ，是[0]1，上任意两个值，且12x x ＜，2121122122222121()(1)33(x )f(x )()2112(1)(1)x x x x x x f x x x x ---=-=⋅++++，由121]0[x x ∈，，，且12x x ＜，可得210x x -＞，1210x x -＞，2110x +＞，2210x +＞，即有210f x f x -（）（）＞，即21f x f x （）＞（），可得f x （）在[0]1，递增；（3）由（2）可得f x （）在[0]1，递增，可得314max f x f ==（）（），可得g t （）的最小值为34，令s cost =，所以22s s s =-+的最小值为34，所以1322s ≤≤，即112cost ≤≤，]3[t m π∈，，由y cost =的图象可得33m ππ-≤＜．【解析】（1）由奇函数的性质可得00f =（），解方程即可得到b ；（2）2322x f x x =+（）在[0]1，单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得f x （）的最大值，即可得到g t （）的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）函数2•b 12214f x a sin x x πωω=-=+--（）（）（）22sin x x ωω=（）（） 223sin x πω=-（）f x （）的最小正周期为π．0ω＞ 22ππω∴=， 1ω∴=．那么f x （）的解析式223f x sin x π=-（）（）令222232k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈ 得：51212k x k ππππ-≤≤+ f x ∴（）的单调增区间为[k k 5]1212ππππ-+，，k Z ∈．（2）方程210f x n -+=（）；在[0]712π，上有且只有一个解，转化为函数1y f x =+（）与函数2y n =只有一个交点． x 在[0]712π，上， 52336x πππ∴-≤-≤（）那么函数12213y f x sin x π=+=--（）（）的值域为]，结合图象可知函数1y f x =-（）与函数2y n =只有一个交点．那么1122n ≤<或21n =，可得1122n -≤<或12n =．（3）由（1）可知223f x sin x π=-（）（）22min f x ∴=-（）．实数m 满足对任意11[]1x ∈-，，都存在2x R ∈，使得11114()()?4?2?2?12x x x x m f x --++-+>成立．即1111?44?2?2?(>12x x x x m --++-+-）成立令1111?44221x x x x y m --=++-+（？）？？设1122x x t --=？？，那么111122442222x x x x t --+=-+=+？？）？？（11]1[x ∈-，，332[2]t ∴∈-，，可得250t mt ++＞在3322[]t ∈-，上成立．令250g t t mt =++（）＞，其对称轴m 2t =- 332[]2t ∈-，上， ∴①当322m -≤-时，即3m ≥时，32930242min m g t g ==>--（）（），解得2936m ≤<； ②当33222m -<-<，即33m -＜＜时，2(>(t))5024m m g min g =-=-，解得33m -＜＜； ③当322m ≤-，即3m ≤-时，329300242min m g t g ==>（）（）+＞，解得2936m -≤-＜；综上可得，存在m ，可知m 的取值范围是292966（-，）．【解析】（1）函数•1f x a b =-（），f x （）的最小正周期为π．可得ω，即可求解f x （）的单调增区间．（2）根据x 在[0]712π，上求解f x （）的值域，即可求解实数n 的取值范围；（3）由题意，求解2f x （）的最小值，利用换元法求解111144221x x x x y m --=++-+（）的最小值，即可求解m 的范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．。

2017-2018学年度第二学期期末考试初一数学试题及答案

2017—2018学年度第二学期期末考试初一数学试题一、填空题（每空1分，共22分）1、如果下降5米，记作－5米，那么上升4米记作（）米；如果＋2千克表示增加2千克，那么－3千克表示（）。

2、从80减少到50，减少了（）%；从50增加到80，增加了（）%。

3、某班有60人，缺席6人，出勤率是（）%。

4、如果3a=5b（a、b≠0），那么a：b=（）。

5、一个圆锥的体积12dm3 ,高3dm，底面积是（）。

6、甲、乙两数的比是5:8，甲数是150，乙数是（）。

7、比较大小：－7○－5 1.5○5 20○－2.4 －3.1○3.18、某服装店一件休闲装现价200元，比原价降低了50元，相当于打（）折。

照这样的折扣，原价800元的西装，现价（）元。

9、一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面积也相等，圆柱的高是4米，圆锥的是高（）米。

10、一桶油连桶称7.5千克，用去一半油后，连桶称还重4.5千克。

桶重（）千克，油重（）千克。

11、13只鸡放进4个鸡笼里，至少有（）只鸡要放进同一个笼子里。

12、一个圆柱形的木料，底面半径是3厘米，高是8厘米，这个圆柱体的表面积是（）平方厘米。

如果把它加工成一个最大的圆锥体，削去部分的体积是（）立方厘米。

13、找出规律，填一填。

3，11，20，30，（），53,（）。

二、判断题：对的在括号打√，错的打×。

（每小题1分共5分）1、0是负数。

（）2、书店以50元卖出两套不同的书，一套赚10%，一套亏本10%，书店是不亏也不赚。

（）3、时间一定，路程和速度成正比例。

（）4、栽120棵树，都成活了，成活率是120%。

（）5、圆柱的体积大于与它等底等高的圆锥的体积。

（）三、选择题（每题3分，共15分）1、规定10吨记为0吨，11吨记为＋1吨，则下列说法错误的是（）A、9吨记为－9吨B、12吨记为＋2吨C、6吨记为－4吨D、＋3吨表示重量为13吨2、在a12=13中，a的值是（）A、12B、4C、6D、83、把长1.2米的圆柱形钢材按2:3:7截成三段，表面积比原来增加56平方厘米，这三段圆钢中最长的一段比最短的一段体积多（）A、700立方厘米B、800立方厘米C、840立方厘米D、980立方厘米4、小刚把1000元钱按年利率2.4%存入银行，存期为两年，那么计算到期时她可以从银行取回多少钱（不计利息税），列式正确的是（）。

2017-2018学年第一学期初二数学期末试题和答案

2017-2018学年第一学期期末测试卷初二数学一、选择题（每小题2分，本题共16分）1．剪纸是古老的汉族民间艺术,剪纸的工具材料简便普及，技法易于掌握，有着其他艺术门类不可替代的特性，因而，这一艺术形式从古到今，几乎遍及我国的城镇乡村，深得人民群众的喜爱.请你认真观察下列四幅剪纸图案, 其中不是．．轴对称图形的是A ．B ．C ．D ．2. 若代数式4xx -有意义，则实数x 的取值范围是 A ．0x = B ．4x = C ．0x ≠ D ．4x ≠3. 实数9的平方根是A ．3B ．±3C．3± D ．814. 在下列事件中，是必然事件的是A ．买一张电影票，座位号一定是偶数B ．随时打开电视机，正在播新闻C ．通常情况下，抛出的篮球会下落D ．阴天就一定会下雨5. 下列变形中，正确的是A. (23)2＝2×3＝6B.2)52(-＝－52C.169+＝169+ D. )4()9(-⨯-＝49⨯6. 如果把yx y322-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值A ．扩大5倍B ．不变C ．缩小5倍D ．扩大4倍7. 如图，将ABC △放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A ，B ，C 恰好在网格图中的格点上，那么ABC △中BC 边上的高是A. B. C. D.8. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线按箭头方向向右对折，对折后的纸片沿虚线向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是A. B. C. D.二、填空题（每小题2分,本题共16分）9. 写出一个比3大且比4小的无理数：______________．10. 如图，AE ＝DF ，∠A ＝∠D ，欲证ΔACE ≌ΔDBF ，需要添加条件 ____________,证明全等的理由是________________________；AE P BCD11. 一个不透明的盒子中装有6张生肖邮票，其中有3张“猴票”，2张“鸡票”和1张“狗票”，这些邮票除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张邮票，恰好是“鸡票”的可能性为 .12. 已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为______________． 13.mn ＝______________． 14. 小明编写了一个如下程序：输入x →2x →立方根→倒数→算术平方根→21，则x 为 .15. 如图，等边△ABC 的边长为6，AD 是BC 边上的中线，点E 是AC 边上的中点. 如果点P 是AD 上的动点，那么EP+CP 的最小值为______________．16. 如图，OP =1，过P 作OP PP ⊥1且11=PP ，根据勾股定理，得21=OP ；再过1P 作121OP P P ⊥且21P P =1，得32=OP ；又过2P 作232OP P P ⊥且132=P P ，得 =3OP 2；…依此继续，得=2018OP ， =n OP （n 为自然数，且n ＞0）三、解答题（本大题共9小题，17—25小题，每小题5分，共45分） 17．计算：238)3(1230-+----π18. 计算：1)P 4P 3P 2PP 1O19. 如图，点A 、F 、C 、D 在同一条直线上. AB ∥DE ，∠B =∠E ，AF=DC. 求证：BC =EF .20. 解分式方程：3x 3x 211x x +=-+21. 李老师在黑板上写了一道题目，计算：23311x x x---- .小宇做得最快，立刻拿给李老师看，李老师看完摇了摇头，让小宇回去认真检查. 请你仔细阅读小宇的计算过程，帮助小宇改正错误．23311x x x ----=()()33111x x x x --+-- （A ） =()()()()()3131111x x x x x x +--+-+- （B ） = 33(1)x x --+ （C ） = 26x -- （D ）（1）上述计算过程中，哪一步开始．．出现错误？；(用字母表示) （2）从（B ）到（C ）是否正确？；若不正确，错误的原因是；（3）请你写出此题完整正确的解答过程．D22.如图：在△ABC 中，作AB 边的垂直平分线，交AB 于点E ，交BC 于点F ，连结AF （1（2）你的作图依据是 .（3）若AC=3，BC=5，则△ACF 的周长是23. 先化简，再求值：121112++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a aa ，其中13-=a ．24. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于 DE ⊥AB 于E, 当时，求DE 的长。

高一(下学期)期末考试数学试卷

高一（下学期）期末考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（）A ．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B ．用抽签的方法产生随机数C ．福利彩票用摇奖机摇奖D ．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 2．若直线a 平行于平面α，则下列结论正确的是（） A ．a 平行于α内的有限条直线 B ．α内有无数条直线与a 平行 C ．直线a 上的点到平面α的距离相等 D ．α内存在无数条直线与a 成90°角3．设a ，b ，l 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，下列四个命题中错误的是（） A ．若//a α，a b ⊥，则b α⊥ B ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥C ．若a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβD ．若αβ⊥，l αβ=，A α∈，AB l ⊥，则AB β⊥4．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（） A ．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同 B ．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍 C ．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍 D ．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是棱1BB 的中点，点P 在四边形11BCC B 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（）A ．若P 在线段1BC 上，则三棱锥1P AD F -的体积为定值B ．若P 在线段1BC 上，则DP 与1AD 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若//PD 平面1AD F ，则点PD ．若AP PC ⊥，则1A P 与平面11BCC B二、单选题6．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，⋂=c αβ，a α⊂，b β⊂，则“a ，b 相交“是“a ，c 相交”的（） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（） A ．154.5cmB ．158cmC ．160.5cmD ．159cm8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（） A ．互为余角B ．相等C ．其和为周角D ．互为补角9．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（）A ．73.3，75，72B ．72，75，73.3C ．75，72，73.3D ．75，73.3，7210．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：第75百分位数是7，正确的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．411．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（） A ．325B ．15C ．310 D ．3512．已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A．2BCD ．1三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱11B C 、1CC 、11D C 的中点，P 是底面ABCD 上的一点，若1A P ∥平面GEF ，则下面的4个判断∶点P∶线段1A P ；∶11A P AC ⊥；∶1A P 与1B C 一定异面．其中正确判断的序号为__________．14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为14、15，获得二等奖的概率分别为12、35，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有1人获奖的概率为___________.15．数据1x ，2x ，…，8x 平均数为6，标准差为2，则数据126x -，226x -，…，826x -的方差为________. 16．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB BC AA AB ⊥=，G 是棱11A C 的中点．(1)证明：1BC AB ⊥；(2)证明：平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0；乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0．（1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)2030，，[)3040，，，[]8090，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)4050，内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．某学校招聘在职教师，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为113224，，，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为311422，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为2132，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为4354，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师．甲、乙两人通过各个环节相互独立． (1)求甲未能参与面试的概率；(2)记乙本次应聘通过的环节数为X ，求(3)P X =的值；(3)记甲、乙两人应聘成功的人数为Y ，求Y 的的分布列和数学期望21．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面,ABC AB AC =，,M N 分别为,BC AB 的中点，(1)求证：MN //平面P AC (2)求证：平面PBC ⊥平面P AM22．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，其对角线AC 与BD 相交于点O ，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=，13AA =，2AB =.(1)证明：1A O ⊥平面ABCD ； (2)求三棱锥11C A BD -的体积.参考答案：1．BC【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.【详解】对于A ，此为分层抽样；对于B ，此为随机数表法；对于C ，此为简单随机抽样；对于D ，此为系统抽样. 故选：BC. 2．BCD【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.【详解】因为直线a 平行于平面α，所以a 与平面α内的直线平行或异面，选项A 错误；选项B ，C ，D 正确.故选：BCD. 3．ACD【分析】选项ACD ，可借助正方体构造反例；选项B ，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥，可证明l m ⊥，l n ⊥，即得证.【详解】A 选项：取11//A C 平面ABCD ，1111AC B D ⊥，但是11B D 不垂直于平面ABCD ，命题A 错误． B 选项：设a αγ⋂=，b βγ=，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥．因为αγ⊥，βγ⊥，所以m α⊥，n β⊥，又l α⊆，l β⊆，所以l m ⊥，l n ⊥，所以l γ⊥．命题B 正确． C 选项：11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，但平面ABCD 与平面11ABB A 不平行，命题C 错误． D 选项：平面ABCD ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，1B ∈平面11ABB A ，1B C AB ⊥，但1B C 与平面ABCD 不垂直，命题D 错误．故选：ACD4．BD【分析】由题意，根据扇形统计图的性质，可得答案.【详解】对于A ，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∶小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A 错误；对于B ，设2018年收入为a ，∶相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∶2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用为1.512%0.18a a ⨯=，小王一家2018年用于其他方面的支出费用为0.06a ，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B 正确；对于C ，设2018年收入为a ，则2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，故C 错误；对于D ，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D 正确．故选：BD ． 5．ACD【分析】A. 如图，当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN =D. 点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB 1,所以1A P 与平面11BCC B=所以该选项正确. 【详解】A. 如图，因为11//,BC AD AD ⊂平面1,AFD 1BC ⊄平面1,AFD 所以1//BC 平面1,AFD 所以当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为11//,BC AD 所以DP 与1AD 所成角就是DP 与1BC 所成的角（锐角或直角），当点P 在1,B C 时，由于∶1BDC 是等边三角形，所以这个角为3π，当1DP BC 时，这个角为2π，由图得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN ,由于//DM AF ,AF ⊂平面1AFD ,DM ⊄平面1AFD ,所以//DM 平面1AFD ，同理可得//MN 平面1AFD ，又,DM MN ⊂平面DMN ,DMMN M =,所以平面//DMN 平面1AFD ，所以//DP 平面1AFD ，MN ==P 选项正确；D.如图，由题得1A P 与平面11BCC B 所成角为11A PB ∠,1112tan A PB PB ∠=,即求1PB 的最小值，因为,PC AP PC AB ⊥⊥,,,AP AB A AP AB ⋂=⊂平面ABP ,所以PC ⊥平面ABP ,所以PC BP ⊥,所以点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB1,所以1A P 与平面11BCC B 所=所以该选项正确.故选：ACD 6．C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：∶若a ，b 相交，a α⊂，b β⊂，则其交点在交线c 上，故a ，c 相交， ∶若a ，c 相交，可能a ，b 为相交直线或异面直线．综上所述：a ，b 相交是a ，c 相交的充分不必要条件．故选：C ． 7．A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答. 【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人，设被抽取到的女生平均身高为cm x ，则6017240165100x⨯+=，解得154.5cm x =，所以被抽取的女生平均身高为154.5cm . 故选：A 8．D【分析】做出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A 为二面角--l αβ内任意一点，AB α⊥，AC β⊥，过B 作BD l ⊥于D ，连接CD ，因为AB α⊥，l α⊂，所以AB l ⊥因为AC β⊥，l β⊂，所以AC l ⊥，且AB AC A ⋂=，所以l ⊥平面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ，所以⊥l CD 则BDC ∠为二面角l αβ--的平面角，90ABD ACD ∠∠︒＝＝，BAC ∠为两条垂线AB 与AC 所成角，所以180A BDC ∠∠︒＋＝，所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角. 故选：D. 9．B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=众数为最高矩形底边的中点,即75中为数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中为数为0.010701073.30.030+⨯≈ 综上可知,B 为正确选项故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 10．B【分析】分别求出平均数，中位数，众数，第75百分位数即可得解. 【详解】解：平均数为2683346858+++++++=，故甲正确；众数为：3，6，8，故乙错误；将这组数据按照从小到大的顺序排列：2,3,3,4,6,6,8,8，则中位数为4652+=，故丙错误； 875%6⨯=，则第75百分位数为6872+=，故丁正确，所以正确的个数为2个. 故选：B. 11．C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.【详解】甲、乙总的选课方法有：3355C C ⋅种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：5412C C ⋅种，（先选一门相同的课程有15C 种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余4门课程中选取2门，另一人选取剩余的2门课程即可，故有24C 种选法）所以概率为12543355310C C P C C ==，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有1门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解. 12．D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得11111223232E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯在BDE 中，BE DE BD ===BD边上的高2==，所以122BDE S =⨯=所以1133A BDE BDE V S h -==⨯，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得: 13⨯=解得: 1h = 考点：利用等体积法求距离 13．∶∶【分析】先证明平面1A BD ∥平面GEF ，可判断P 的轨迹是线段BD ，结合选项和几何性质一一判断即可．【详解】分别连接11,,BD A B A D ，所以11BD B D ∥，又因为11B D ∥EG ，则BD EG ∥，同理1A D EF ∥，1,BDA D D EGEF E ==，故平面1A BD ∥平面GEF ，又因为1A P ∥平面GEF ，且P 是底面ABCD 上的一点，所以点P 在BD 上．所以点P 的轨迹是一段长度为BD =，故∶正确；当P 为BD 中点时1A P BD ⊥，线段1A P ，故∶错；因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC ⊥平面1A BD ，又1A P ⊂平面1A BD ，则11A P AC ⊥，故∶正确；当P 与D 重合时，1A P 与1B C 平行，则∶错．故答案为：∶∶14．1920【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为1111424--=，乙不中奖的概率为1311555--=，因此，甲、乙两人至少有1人获奖的概率为111914520-⨯=.故答案为：1920. 15．16【详解】试题分析：由题意知12868x x x x +++==，(862s x +-=，则12848x x x +++=，24s =，而()()()12826262624886688x x x y -+-++-⨯-⨯===，所以所求方差为()()()2222212812122122124168s x x x s ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎣⎦'．故正确答案为16．考点：两组线性数据间的特征数的运算．【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据{}12,,,n x x x 与{}12,,,n y y y 中若有i i y ax b =+时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系是：y x =，222y x s a s =或是y x s as =，掌握此关系会给我们计算带来很大方便． 16．60°【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角. 【详解】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，则11,22ON CD MN AB ∥∥，所以ONM ∠或其补角即为所求的角.因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，平面ABC平面ACD AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面ACD ，又因为OD ⊂平面ACD ，所以BO OD ⊥. 设正方形边长为2，OB OD ==2BD =，则112OM BD ==. 所以=1ON MN OM ==.所以OMN 是等边三角形，60ONM ∠=︒. 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒．故答案为： 60° 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直得到1AA BC ⊥，从而求出BC ⊥平面11ABB A ，得到1BC AB ⊥；（2）根据正方形得到11BA AB ⊥，结合第一问求出的1BC AB ⊥，得到1AB ⊥平面1A BC ，从而证明面面垂直. （1）∶1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， ∶1AA BC ⊥．又因为1,BC AB AA AB A ⊥=，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ． ∶1AB ⊂平面11ABB A ， ∶1BC AB ⊥．（2）∶1AA AB =，易知矩形11ABB A 为正方形， ∶11BA AB ⊥．由（1）知1BC AB ⊥，又由于11,,A B BC B A B BC =⊂平面1A BC ，∶1AB ⊥平面1A BC ．又∶1AB ⊂平面1AB G ， ∶平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．（1）甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1 （2）甲的平均数等于0012003040110+++++++++=乙的平均数等于2020202020110+++++++++=甲的方差等于2222222222(01)(01)(11)(21)(01)(01)(31)(01)(41)(01)210-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙的方差等于2222222222(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)110-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=1 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型. 19．（1）0.4；（2）20；（3）3:2.【分析】（1）根据频率=组距⨯高，可得分数小于70的概率为：1(0.040.02)10-+⨯；（2）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，进而得到答案．【详解】解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1(0.040.02)100.4-+⨯= 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50)内的频率为：1(0.040.020.020.01)100.050.05-+++⨯-=，估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为4000.0520⨯=人，（3）样本中分数不小于70的频率为：0.6，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．故分数不小于70的男生的频率为：0.3，由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，则男生人数为0.610060⨯=，即女生的频率为：0.4，则女生人数为0.410040⨯=，所以总体中男生和女生人数的比例约为：3:2． 20．(1)38；(2)13(3)80P X ==；(3)分布列见解析；期望为712．【分析】(1)甲未能参与面试，则甲笔试最多通过一个环节，结合已知条件计算即可；(2)分析3X =时，分析乙笔试和面试分别通过的环节即可求解；(3)首先分别求出甲乙应聘的概率，然后利用独立事件的性质求解即可.【详解】(1)设事件A =“甲未能参与面试”，即甲笔试最多通过一个环节，故1131131133()(1)(1)(1)(1)(1)2(1)(1)2242242248P A =---+⨯--⨯+--⨯=；(2)当3X =时，可知乙笔试通过两个环节且面试通过1个环节，或者乙笔试通过三个环节且面试都未通过， 3113114343(3)[(1)(1)2][(1)(1)]4224225454P X ==-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-+-⨯3114313(1)(1)4225480+⨯⨯⨯--=；(3)甲应聘成功的概率为1113113113215[(1)2(1)]2242242243224P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，乙应聘成功的概率为2113113113433[(1)2(1)]224224224548P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，由题意可知，Y 的取值可能为0，1，2， 5395(0)(1)(1)248192P Y ==--=， 535341(1)(1)(1)24824896P Y ==⨯-+-⨯=535(2)24864P Y ==⨯=，所以Y 的分布列如下表：所以数学期望7()12E Y =. 21．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）由题意证得//MN AC ,结合线面平行的判定定理，即可证得//MN 平面PAC ；（2）由PA ⊥平面ABC ，证得PA BC ⊥，再由AB AC =，证得AM BC ⊥，根据线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAM ，进而得到平面PBC ⊥平面PAM . （1）证明：在ABC 中，因为,M N 分别为,BC AB 中点，可得//MN AC , 又因为MN ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//MN 平面PAC . （2）证明：因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，可得PA BC ⊥，又因为AB AC =，且M 为BC 中点，可得AM BC ⊥，又由PA AM A =且,PA AM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ，因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAM . 22．(1)证明见解析 (2)【分析】（1）连接1A B ，1A D ，可证明1AO BD ⊥，再证明1A O OA ⊥，从而可证明结论. （2）由线面垂直的判断定理得AC ⊥平面1A BD ，由11//AC A C 得11A C ⊥平面1A BD ，再由棱锥的体积可得答案. （1）连接11,A D A B ，111,,AD AB A AB A AD A A =∠=∠为公共边，1111,∴≅∴=A AB A AD A D A B ，又O 为BD 的中点，1A O BD ∴⊥，在1A AB 中，由余弦定理可知1A B在1Rt AOB 中1AO =13,A A AO = 满足22211A O AO A A +=1A O OA ∴⊥，又AO BD O ⋂=，1A O ∴⊥平面ABCD .（2）由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1A O AC ∴⊥且1BD AC BD AO O ⊥⋂=，， AC ∴⊥平面1A BD ，且11//AC A C ， 11A C ∴⊥平面1A BD ，1111232C A BD V -=⨯⨯。

2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析

2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+13．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=412．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= ．三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向【考点】向量的物理背景与概念．【分析】根据共线向量、平行向量、相等向量以及零向量的概念便可判断每个说法的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．共线向量的方向相同或相反；方向相同时，夹角为0°，相反时的夹角为180°，∴该说法正确；B．长度相等，方向相同的向量叫做相等向量，∴该说法错误；C．平行向量也叫共线向量，∴共线向量不是向量所在直线在同一直线上；∴该说法错误；D．零向量的方向任意，并不是没有方向，∴该说法错误．故选：A．2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+1【考点】函数奇偶性的判断．【分析】要探讨函数的奇偶性，先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，然后探讨f（﹣x）与f（x）的关系，即可得函数的奇偶性．【解答】解：选项A，定义域为R，sin|﹣x|=sin|x|，故y=sin|x|为偶函数．选项B，定义域为R，sin（﹣2x）=﹣sin2x，故y=sin2x为奇函数．选项C，定义域为R，﹣sin（﹣x）+2=sinx+2，故y=sinx+2为非奇非偶函数偶函数．选项D，定义域为R，sin（﹣x）+1=﹣sinx+1，故y=sinx+1为非奇非偶函数，故选：B．3．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴tanα==，故选：B．4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据余弦函数的最小正周期的求法，将ω=4代入T=即可得到答案．【解答】解：∵y=cos（4x﹣π），∴最小正周期T==．故选：D．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】由已知方程得到直线的斜率，根据斜率对于得到倾斜角．【解答】解：由已知直线的方程得到直线的斜率为﹣，设倾斜角为α，则tanα=﹣，α∈[0，π），所以α=；故选：D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【考点】正弦函数的单调性．【分析】利用y=sinx的单调性，求出函数的单调递减区间，进而可求函数的单调递减区间．【解答】解：利用y=sinx的单调递减区间，可得∴∴函数的单调递减区间（k∈Z）故选D．7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象的对称性，求得y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵对于函数y=3sin（2x+）+2图象，令2x+=kπ+，求得x=+，可得函数图象的一条对称轴方程为x=π，故选：C．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别举例说明四个选项的正误得答案．【解答】解：对于A，终边不同的角同一三角函数值可以相等，正确，如；对于B，三角形的内角是第一象限角或第二象限角，错误，如是终边在坐标轴上的角；对于C，第一象限是锐角，错误，如是第一象限角，不是锐角；对于D，第二象限的角比第一象限的角大，错误，如是第二象限角，是第一象限角，但．故选：A．9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据象限得出sinθ，cosθ的符号，得出θ的象限．【解答】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0，∴sinθ＜0，∴θ是第四象限角．故选：D．10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解：向量+++=，故选：D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选C．12．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】任意角的概念．【分析】由任意角的三角函数的定义，三角函数值与象限角的关系，即可得出结论．【解答】解：①由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，正确．②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B，故正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确，④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，故不正确．⑤若cosα＜0，则α是第二或第三象限角或α的终边落在x轴的非正半轴上，故不正确．其中正确的个数为3个，故选：C．二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是2x﹣y﹣3=0 ．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．【解答】解：设A（0，2）、B（4，0）．=﹣，所以线段AB的中垂线得斜率k=2，又线段AB的中点为（2，1），直线AB的斜率 kAB所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=2（x﹣2）即2x﹣y﹣3=0，故答案为：2x﹣y﹣3=0．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为 3 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r，从而可求．【解答】解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，∴圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r=5﹣2=3故答案为：3．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解： +++﹣=+++﹣=﹣=，故答案为：．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= 1 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】观察三个函数中的角，发现=﹣（），故tan（）的值可以用正切的差角公式求值【解答】解：∵=﹣（），∴tan（）===1故答案为1三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得2sinα+cosα．【解答】解：由已知r==13a…∴sinα=﹣，cosα=，…∴2sinα+cosα=﹣…18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）利用中点坐标公式、斜截式即可得出．（2）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出．【解答】解：（1）∵线段AB的中点为（﹣1，5），∴AB边的中线所在直线方程是=，即x+3y﹣14=0．（2）AC的中点为（4.3）==﹣，∵KAC∴y﹣3=4（x﹣4）即y=4x﹣13，∴AC的中垂线方程为y=4x﹣13．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．【考点】圆的一般方程．【分析】设出圆的一般式方程，把三个点的坐标代入，求解关于D、E、F的方程组得答案．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得．∴圆的方程为：．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．【考点】二倍角的正切；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）利用已知及同角三角函数基本关系式可求sinα，进而可求tanα，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α﹣β），由β=α﹣（α﹣β）利用两角差的余弦函数公式即可计算求值．【解答】解：（1）∵由cosα=，0＜α＜，得sinα===，∴得tan=∴于是tan2α==﹣．…（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）==，由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==．…21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的对称轴方程和对称中心坐标．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A=2， ==+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•（﹣）+φ=，∴φ=，函数f（x）=2sin（2x+）．（Ⅱ）由2x+=kπ+，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z．令2x+=kπ，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴中心为（﹣，0），k∈Z．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用降幂公式降幂，再由辅助角公式化简，由x的范围求得相位的范围，则函数的取值范围可求；（2）利用复合函数的单调性求得原函数的单调区间．【解答】解：（1）f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1==．∵ω＞0，∴T=，则ω=1．∴函数f（x）=sin（2x﹣）﹣．由0，得，∴，∴．∴f（x）的取值范围[﹣1，]；（2）令，得：，（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．。

江苏省无锡市普通高中2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题+Word版含答案【KS5U+高

江苏省无锡市第一中学2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案(苏教版)

无锡市第一中学2013－2014学年第二学期期末试卷高一数学 2014.6命题人：薛菁审核: 唐从仁请将本试卷的答案写在答卷纸上.一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知经过点()1,1且与直线x y 21=垂直的直线方程为 ▲ ． 2．将400名学生随机地编号为1~400，现决定用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为20的样本，按编号顺序平均分为20个组（1~20号，21~40号，，381~400号）。

若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为11，则第3组抽取的号码为 ▲ ． 3. 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围是 ▲ ．4. 一个正方体玩具的6个面分别标有数字1，2，2，2，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为 ▲ ． 5．右图是一个算法流程图，则输出的s 的值为 ▲ ．6．一组数据9.8,9.9,10,,10.2a 的平均数为10，则该组数据的方差为 ▲ ． 7．设数列}n a 3log 是公差为1的等差数列，其前n 项和为n S ，且1155S =，则3a = ▲ ． 8 .记等比数列{}n a 的前n 项积为()n T n *∈N ，已知1120m m m a a a -+-=，且51212=-m T ，则m = ▲ ．9. 一只蚂蚁在边长分别为10,8,6的△ABC 区域内随机爬行，则其恰在到顶点A 或顶点B 或顶点C 的距离小于1的地方的概率为 ▲ ．10.在ABC △中，若34=+c a ，则ABC △面积的最大值是 ▲ ．11. 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知a c b C B 2,90=+=- ，则角C = ▲ ． 12.在数列{}n a 中，若对任意的n 均有12n n n a a a ++++为定值（n *∈N ），且14=a ，312=a ，595=a ，则此数列{}n a 的前100项的和100S = ▲ ．13.设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，若{}n a和都是等差数列，且公差相等，则1a = ▲ ．14．已知实数,,a b c 满足2->c a 且cba+<+1333，则cb a 333-的取值范围是 ▲ ．二．解答题:本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：（第5题）(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率；(3)从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～ 190 cm 之间的概率．16.（本小题满分14分）已知函数,1)(2-+=mx x x f（1）若对于任意的]1,[+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，求实数m 的取值范围；（2）如果关于x 的不等式f （x ）≤54m 有解，求实数m 的取值范围.17.（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知54cos =B ，c a 5=．（1）求sin C 的值；（2）若△ABC 的面积C A S sin sin 23=，求b 的值．18.（本小题满分16分）如图所示，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在离港口133海里的北偏东β角的A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中31tan =α，23tan =β．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O 正东t （7>t ）海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积最小时，这种补给最适宜．（1）求S 关于t 的函数关系式)(t S ；（2）应征调t 为何值处的船只，补给最适宜．19.（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*142N n S S n n ∈+=+，12a ,=(1)证明：数列{}n a 是等比数列； (2)设2n n ab =，{}n b 的前n 项和为n T ，试比较nn T S 2与3的大小；(3)证明：不存在正整数n 和大于4的正整数m 使得等式mS mS a n n m --=++11成立.20.（本小题满分16分）设数列{}n a 满足()()*2,0232N n R a n a n n n ∈∈=++-λλ；等比数列{}n b 的首项为21=b ，公比为q （q 为正整数），且满足33b 是18b 与5b 的等差中项.(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)试确定λ的值，使得数列{}n a 为等差数列；(3)当{}n a 为等差数列时，对每个正整数k ，在k b 与1+k b 之间插入k a 个2，得到一个新数列{}n c . 设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求满足12m m T c +=的所有正整数m .答案1．32+-=x y 2. 51 3. []3,3- 4.31 5. 27 6. 0.02 7. 9 8. 59. 48π 10. 6 11. 12π 12. 298 13. 4114. 25(,3)9-15.（4+5+5）解 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm 之间的频率f ＝3570＝0.5.故由f 估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率p ＝0.5.(3)样本中身高在180～185 cm 之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm 之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥. 从上述6人中任选2人的树状图为故从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm 之间的可能结果数为9，因此，所求概率p 2＝915＝35.16.（7+7）解：(1) ()()⎩⎨⎧<<-⇒<+<022010m m f m f (2)()14452min --=≥m x f m ，14-≥-≤∴m m 或法二：04512≤--+m mx x ⇒≥∆014-≥-≤m m 或17.（7+7）解：（1）222218cos 2c B ac c a b =-+= ，c b 23=∴∵54cos =B ，π<<B 0，∴53sin =B ． ∵C c B b sin sin = ，∴C sin（2）∵c a 5=， ∴ C A sin 5sin =． ∴203sin 215sin sin 232==C C A ．又∵1223sin 2122b c B ac S ===，∴203122=b ，∴553=b ．18.（9+7）解 (1)如图建系 x y OZ 3:=6c o s 133,9sin 133====ββA A y x ()()0,,6,9t B A()0696:=---t y t x AB 联立直线AB OZ ,可得⎪⎭⎫⎝⎛--76,72t t t tC)7(7376212>-=-⨯=t t t t t t S(2) 令)0(7>=-m m t()()8414492314493732=+⨯≥⎪⎭⎫⎝⎛++=+=m m m m S当且仅当7=m 即14=t 时取等号答：应征调14=t 海里处的船只，补给最适宜．19.（5+5+6）解 (1) 421+=+n n S S 4221+=≥-n n S S nn n a a =+12 即()2211≥=+n a a n n 又计算得42=a ，所以2112=a a{}n a ∴是以2为首项，21为公比的等比数列(2) 221-⎪⎭⎫⎝⎛=n n a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n S 2114241-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b 0411316>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n T 令021>⎪⎭⎫⎝⎛=np()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=+-⨯=--=p p p p p T S n n 12131131316116222+∞→n 时，0→p ，32→nnT S∴32<nnT S 法二：也可作差比较大小（3）m S m S m S a n n n m -+--=+1 mn n a am S 1+=-mn n m -+⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-1212114 化简得()12424-+=-m nm若存在正整数n 和大于4的正整数m ，则等式左边为负数，右边是正数，矛盾. 所以不存在正整数n 和大于4的正整数m 使得等式mS mS a n n m --=++11成立20.（4+5+7）解（1）由题意36b =18b +5b ，则2468q q =+，解得2242q q ==或（舍），则2q =，又21=b ，所以n n b 2=.（2）分别代入3,2,1=n ，又2312a a a =+，得()λλλ416221242-=-+-得3=λ，而当3=λ时，n a n 2=，由21=-+n n a a （常数）知此时数列{}n a 为等差数列，故3=λ.（3）由（1），（2），知nn b 2=，k a k 2=.由题意知，1123425678932,2,4,2,8,c a c c c a c c c c c a ============⋅⋅⋅ 则当1m =时，122T c ≠，不合题意，当2m =时，232T c =，适合题意. 当3m ≥时，若12m c +=，则12m m T c +≠一定不适合题意，从而1m c +必是数列{}n b 中的某一项1+k b ，则个个个个k a k a a a m b b b b b T 222222224321321+++++++++++++++++= ()()k k a a a a +++++++++= 3213222222 12(22)2(21)222222k k k kk k ++=⨯-+⨯=++-, 1112222+++⨯==k k m b C ，所以121222222k k k k ++++-=⨯，即2210k k k --+=, 所以221k k k +=+. *21()k k N +∈为奇数，而2(1)k k k k +=+为偶数，所以上式无解. 即当3m ≥时，12m m T c +≠.综上知，满足题意的正整数仅有2m =.。

2017-2018学年江苏省无锡市高一(上)期末数学试卷(含精品解析)

2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A ={0，1}，B ={1，2}，则A ∪B =______．2.cos =______．17π63.若幂函数y =f （x ）的图象过点（4，2），则f （16）=______．4.若向量=（1，2），=（3，m ），且∥，则|+|=______．⃗a ⃗b ⃗a ⃗b ⃗a ⃗b 5.函数f （x ）=|ln （x +3）|的单调增区间是______．6.计算：=______．eln3+log 525+(0.125)‒237.已知圆心角是的扇形的面积是cm 2，则该圆心角所对的弧长为______cm ．π32π38.已知函数（x ）是周期为2的奇函数，且x ∈[-1，0]时，f （x ）=x ，则f （）=______．2129.将函数y =sin2x 向右平移φ（0＜φ＜π）个单位所得函数记为y =f （x ），当x =时f （x ）取得最大值，2π3则φ=______．10.若=，sinαcosα=______．cos2αsin(α+π4)2311.若f （x ）=，且f （2-a ）＜f （3a ），则实数a 的取值范围是______．{(x ‒1)2+1，x ≤11x，x ＞112.在△ABC中，已知||=2，||=1，点M 在边BC上，4=，•=2，则•=______．⃗AB ⃗AC ⃗BM ⃗BC ⃗AM ⃗CB ⃗AB ⃗AC 13.函数f （x ）=，若0≤m ＜n ，且f （m ）=f （n ），则mf （n ）的取值范围是______．{2x +1,0≤x ≤41+log 2x,x <414.函数f （x ）=m |3x -1|2-4|3x -1|+1（m ＞0）在R 上有4个零点，则实数m 的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.设集合A ={x |y =+log 2（32-x ）}，B ={y |y =2x ，a ≤x ≤a +2，a ∈R }全集U =R ．x ‒2（1）若a =2，求（∁U B ）∩A ；（2）若A ∪B =A ，求实数a 的取值范围．16.在△ABC 中，已知=（1，2），=（4，m ）（m ＞0）．⃗AB ⃗AC （1）若∠ABC =90°，求m 的值；（2）若||=3，且=2，求cos ∠ADC 的值．⃗BC 2⃗BD ⃗DC 17.如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A ，B 两点，若α∈（，π），β=，且点A 的坐标为A （-1，m ）．7π12π12（1）若tan2α=-，求实数m 的值；43（2）若tan ∠AOB =-，若sin2α的值．3418.某公司对营销人员有如下规定：（i ）年销售额x （万元）不大于8时，没有年终奖金；（ⅱ）年销售额x （万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x （万元）不大于64时，年终奖金y （万元）按关系式y =log a x +b ，（a ＞0，且a ≠1）发放；当年销售额x （万元）不小于64时，年终奖金y （万元）为年销售额x （万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x （万元）的取值范围．19.已知奇函数f （x ）=，函数g （t ）=sin 2t +2cos t -1，t ∈[m ，]，m ，b ∈R ．3x +b2x2+2π3（1）求b 的值；（2）判断函数f （x ）在[0，1]上的单调性，并证明；（3）当x ∈[0，1]时，函数g （t ）的最小值恰为f （x ）的最大值，求m 的取值范围．20.已知向量=（2sin （ωx +），-），=（sin （ωx +），cos （2ωx ））（ω＞0），函数（x ）=•-⃗a π43⃗b π4⃗a ⃗b 1，f （x ）的最小正周期为π．（1）求f （x ）的单调增区间；（2）方程f （x ）-2n +1=0；在[0，]上有且只有一个解，求实数n 的取值范围；7π12（3）是否存在实数m 满足对任意x 1∈[-1，1]，都存在x 2∈R ，使得4+4+m （2-2）x1‒x 1x1‒x 1+1＞f （x 2）成立．若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】{0，1，2}【解析】解：集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．根据交集的定义写出A∪B即可．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．2.【答案】‒3 2【解析】解：cos=cos（3π-）=-cos=．故答案为：直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用特殊角的三角函数值的求法，是基础题．3.【答案】4【解析】解：设幂函数y=f（x）=x a，∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），∴4a=2，解得：a=，∴y=f（x）=∴f（16）=4，故答案为：4根据已知求出函数的解析式，将x=16代入可得答案．本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题．4.【答案】45【解析】解：∵∥，∴m-6=0，解得m=6．∴=（4，8）．则|+|==4．故答案为：4．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】[-2，+∞）【解析】解：根据题意，f（x）=|ln（x+3）|=，即当x≥-2时，f（x）=ln（x+3），令t=x+3，y=lnt，在[-2，+∞）上，t≥1，此时t=x+3为增函数，y=lnt也为增函数，则函数f（x）为增函数；当-3＜x＜-2时，f（x）=-ln（x+3），令t=x+3，y=-lnt，在（-3，-2）上，0＜t＜1，此时t=x+3为增函数，y=-lnt为减函数，则函数f（x）为减函数；故函数f（x）=|ln（x+3）|的单调增区间是[-2，+∞）；故答案为：[-2，+∞）．根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案．本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题．6.【答案】11【解析】解：原式=3+4+=7+4=11．故答案为：11．利用对数的运算性质即可得出．本题考查了对数的运算性质，属于基础题．7.【答案】2π3【解析】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，则：r2===4．解得r=2，可得：扇形的弧长为l=rα=2×=cm．故答案为：．利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值．本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题．8.【答案】1 2【解析】解：根据题意，函数（x）是周期为2的函数，则f（）=f（+10）=f（），又由f（x）为奇函数，则f（）=-f（-）=-（-）=，则f（）=；故答案为：根据题意，由函数的周期性可得f（）=f（+10）=f（），结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得f（）=-f（-）=-（-）=，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题．9.【答案】5π12【解析】解：将函数y=sin2x向右平移φ（0＜φ＜π）个单位，所得函数记为y=f（x）=sin（2x-2φ），∵当x=时f（x）取得最大值，则-2φ=2kπ+，k∈Z．∴2φ=-2kπ+，令k=0，可得φ=，故答案为：．利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律求得f （x ）的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得φ的值．本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题．10.【答案】49【解析】解：∵=，∴，即，∴cosα-sinα=，两边平方得：，∴sinαcosα=．故答案为：．由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得cos ，两边平方得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题．11.【答案】（-∞，）12【解析】解：f （x ）=，可得x ＞1时，f （x ）递减；x≤1时，f （x ）递减，且f （1）=1，可得f （x ）在R 上递减，f （2-a ）＜f （3a ），可得2-a ＞3a ，解得a ＜，故答案为：（-∞，）．讨论f（x）在x＞1和x≤1的单调性，可得f（x）在R上递减，进而可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围．本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】3 2【解析】解：∵4=，∴==，∵=，∵||=2，||=1，=，=（）•（），=，==-2，∴=，故答案为：．由向量加法及减法的三角形法则可得，=，结合已知即可求解．本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础试题．13.【答案】（3，36]【解析】解：作出函数f（x）=的图象，可得f（n）=f（m）=1+2m，1＜m≤4，则mf（n）=m（1+2m）=2m2+m在（1，4]递增，可得mf（n）的范围是（3，36]．故答案为：（3，36]．作出f （x ）的图象，求得f （n ），m 的范围及mf （n ）的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围．本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题．14.【答案】（3，4）【解析】解：根据题意，对于函数f （x ）=m|3x -1|2-4|3x -1|+1，设t=|3x -1|，则y=mt 2-4t+1，t=|3x -1|的图象如图：若函数f （x ）=m|3x -1|2-4|3x -1|+1（m ＞0）在R 上有4个零点，则方程mt 2-4t+1=0在区间（0，1）有2个根，则有，解可得：3＜m ＜4，即m 的取值范围为（3，4）；故答案为：（3，4）根据题意，设t=|3x -1|，则y=mt 2-4t+1，作出t=|3x -1|的草图，据此分析可得方程mt 2-4t+1=0在区间（0，1）有2个根，结合一元二次函数的性质可得，解可得m 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题．15.【答案】解：（1）集合A ={x |y =+log 2（32-x ）}={x |}={x |2≤x ＜32}，x ‒2{x ‒2≥032‒x >0a =2时，B ={y |y =2x ，2≤x ≤4}={y |4≤y ≤16}，又全集U =R ，∴∁U B ={x |x ＜4或x ＞16}，∴（∁U B ）∩A ={x |2≤x ＜4，或16＜x ＜32}；（2）∵A ∪B =A ，∴B ⊆A ，又B ={y |2a ≤y ≤2a +2}，A ={x |2≤x ＜32}，∴，{2a ≥22a +2<32解得实数a 的取值范围是1≤a ＜3．【解析】（1）求定义域得集合A ，求出a=2时集合B ，再根据集合的定义计算即可；（2）由A ∪B=A 得出B ⊆A ，由此列不等式求出实数a 的取值范围．本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题．16.【答案】解：（1）若∠ABC =90°，则=0，⃗AB ⋅⃗BC ∵==（3，m -2），⃗BC ⃗AC ‒⃗AB ∴3+2m -4=0，∴m =．12（2）∵||=3，⃗BC 2∴，9+(m ‒2)2=32∵m ＞0，∴m =5，∵=2，⃗BD ⃗DC ∴==（1，1），==（2，2），⃗DC 13⃗BC ⃗BD 23⃗BC 而AD ==（3，4），⃗AD ⃗AB +⃗BD ∴=（-3，-4），⃗DA ∴cos ∠ADC ===．⃗DA ⋅⃗DC|⃗DA ||⃗DC|‒3×1‒4×152‒7210【解析】（1）由题意可知=0，结合向量的数量积的性质即可求解m （2）由||=3，结合向量数量积的性质可求m ，然后结合=2，及向量夹角公式cos ∠ADC=可求本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用．17.【答案】解：（1）由题意可得tan2α==-，∴tanα=-，或tanα=2．2tanα1‒tan 2α4312∵α∈（，π），∴tanα=-，即=-，∴m =．7π1212m ‒11212（2）∵tan ∠AOB =tan （α-β）=tan （α-）==-，π12sin(α‒π12)cos(α‒π12)34+=1，α-∈[，]，sin 2(α‒π12)cos 2(α‒π12)π12π211π12∴sin （α-）=，cos （α-）=-，π1235π1245∴sin （2α-）=2sin （α-）cos （α-）=-，cos （2α-）=2cos 2（α-）-1=，π6π12π122425π6π12725∴sin2α=sin[（2α-）+]=sin （2α-）cos +cos （2α-）sin =．π6π6π6π6π6π67‒24350【解析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得tanα的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m 的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得sin （α-）和cos （α-）的值，再利用两角和的正弦公式求得sin2α=sin[（2α-）+]的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵8＜x ≤64，年销售额越大，奖金越多，∴y =log a x +b 在（8，64]上是增函数．∴，解得．{log a 16+b =1log a64+b =3{a =2b =‒3∴8＜x ≤64时，y =-3+log 2x ；又∵x ≥64时，y 是x 的一次函数，设y =kx +m （k ≠0），由题意可得：，解得．{64k +m =380k +m =5{k =18m =‒5∴x ≥64时，y =．18x‒5∴y 关于x 的函数解析式为；y ={0，0≤x ≤8log 2x ‒3，8＜x ≤6418x ‒5，x ＞64（2）当0≤x ≤8时，不合题意；当8＜x ≤64时，2＜-3+log 2x ＜4，解得32＜x ＜128．∴32＜x ≤64．当x ＞64时，，解得x ＜72，18x ‒5＜4∴64＜x ＜72．综上，32＜x ＜72．答：该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元．【解析】（1）由已知可得y=log a x+b 在（8，64]上是增函数，再结合已知列关于a ，b 的方程组，求解可得函数解析式；又x≥64时，y 是x 的一次函数，设y=kx+m （k≠0），再由已知可得关于m ，k 的方程组求解可得x≥64时，y=，则函数解析式可求；（2）当0≤x≤8时，不合题意；然后分类求解不等式得答案．本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．19.【答案】解：（1）奇函数f （x ）=，可得f （0）=0，3x +b2x 2+2即b =0；（2）f （x ）=在[0，1]单调递增，3x2x 2+2证明：设x 1，x 2是[0，1]上任意两个值，且x 1＜x 2，f （x 2）-f （x 1）=（-）=•，32x 2x 22+1x 1x 21+132(x 2‒x 1)(1‒x 1x 2)(1+x 22)(1+x 21)由x 1，x 2∈[0，1]，且x 1＜x 2，可得x 2-x 1＞0，1-x 1x 2＞0，1+x 12＞0，1+x 22＞0，即有f （x 2）-f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1），可得f （x ）在[0，1]递增；（3）由（2）可得f （x ）在[0，1]递增，可得f （x ）max =f （1）=，34可得g （t ）的最小值为，34令s =cos t ，所以s =-s 2+2s的最小值为，34所以≤s ≤，即≤cos t ≤1，t ∈[m ，]，123212π3由y =cos t 的图象可得-≤m ＜．π3π3【解析】（1）由奇函数的性质可得f （0）=0，解方程即可得到b ；（2）f （x ）=在[0，1]单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得f （x ）的最大值，即可得到g （t ）的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）函数f （x ）=•-1=2sin 2（ωx）-cos （2ωx ）-1⃗a ⃗b +π43=sin （2ωx ）-cos （2ωx ）3=2sin （2ωx）‒π3∵f （x ）的最小正周期为π．ω＞0∴，2π2ω=π∴ω=1．那么f （x ）的解析式f （x ）=2sin （2x ）‒π3令2x，k ∈Z2kπ‒π2≤‒π3≤π2+2kπ得：≤x ≤kπ‒π12kπ+5π12∴f （x ）的单调增区间为[，]，k ∈Z ．kπ‒π12kπ+5π12（2）方程f （x ）-2n +1=0；在[0，]上有且只有一个解，7π12转化为函数y =f （x ）+1与函数y =2n 只有一个交点．∵x 在[0，]上，7π12∴≤（2x）‒π3‒π3≤5π6那么函数y =f （x ）+1=2sin （2x）-1的值域为[，1]，结合图象可知‒π3‒3‒1函数y =f （x ）-1与函数y =2n 只有一个交点．那么≤2n或2n =1，1‒3＜12可得或n =．1‒32≤n ＜1212（3）由（1）可知f （x ）=2sin （2x）‒π3∴f （x 2）min =-2．实数m 满足对任意x 1∈[-1，1]，都存在x 2∈R ，使得4+4+m （2-2）+1＞f （x 2）成立．x 1‒x 1x 1‒x1即4+4+m （2-2）+1＞-2成立x 1‒x 1x 1‒x1令y =4+4+m （2-2）+1x 1‒x 1x 1‒x1设2-2=t ，那么4+4=（2-2）2+2=t 2+2x 1‒x 1x 1‒x 1x 1‒x1∵x 1∈[-1，1]，∴t ∈[-，]，3232可得t 2+mt +5＞0在t ∈[-，]上成立．3232令g （t ）=t 2+mt +5＞0，其对称轴t =‒m 2∵t ∈[-，]上，3232∴①当时，即m ≥3时，g （t ）min =g （）=，解得；‒m 2≤‒32‒32294‒3m2＞03≤m ＜296②当，即-3＜m ＜3时，g （t ）min =g （）=＞0，解得-3＜m ＜3；‒32＜‒m 2＜32‒m25‒m 24③当，即m ≤-3时，g （t ）min =g （）=＞0，解得＜m ≤-3；32≤‒m232294+3m2＞0‒296综上可得，存在m ，可知m 的取值范围是（，）．‒296296【解析】（1）函数f （x ）=•-1，f （x ）的最小正周期为π．可得ω，即可求解f （x ）的单调增区间．（2）根据x 在[0，]上求解f （x ）的值域，即可求解实数n 的取值范围；（3）由题意，求解f （x 2）的最小值，利用换元法求解y=4+4+m （2-2）+1的最小值，即可求解m 的范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．。

2017—2018学年度第二学期期末考试初二数学试题及答案

2017—2018学年度第二学期期末考试初二数学试题题目一二三总分评卷人得分一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列调查中，适合用普查方式的是（）A．调査绥化市市民的吸烟情况B．调查绥化市电视台某节目的收视率C．调查绥化市市民家庭日常生活支出情况D．调査绥化市某校某班学生对“文明佛山”的知晓率2．如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三角形三个顶点的坐标分别是（）A．(1，7)、(-2，2)、(3，4)B．(1，7)、(2，2)、(3，4)C．(1，7)、(2，－2)、(3，3)D．(1，7)、(2，2) 、( 3，4)3．已知直线a外有一点P，则点P到直线a的距离是（）A．点P到直线的垂线的长度B．点P到直线的垂线段C．点P到直线的垂线段的长度D．点P到直线的垂线4．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2：∠1＝4：1，则∠AOF的度数是（）A.130°B.125°C.140°D.135°5．已知关于x的不等式（1－a）x＞3的解集为x＜31a-，则a的取值范围是（）A．a>0 B．a<0 C．a<1 D．a>16．如果点P（5，y）在第四象限，那么y的取值范围是（）A．y>0 B．y<0 C．y≤0D．y=07．下列说法正确的是（）A．2π是分数B．2π是无理数C．如果a为实数，那么2a为正数D．如果a为实数，那么－a为负数7．若点A（a，4）和点B（3，b）关于y轴对称，则a，b的值分别是（）A．3，4 B．2，－4 C．－3,4 D．－3,－49．有40个数据，共分成6组，第1～4组的频数分别是10，5，7，6，第5组的频率为0．10，则第6组的频率为（）A．0.20 B．0.30 C．0.25 D．0.1510．已知4520430X Y ZX Y Z-+=⎧⎨+-=⎩（xyx≠0），则x：y：x的值是（）A．2:1:3 B．1:2:3 C．3:2:1 D．不能确定二、填空题: （每题3分，共33分）11．如果点P（a＋6，a－3）在x轴上，那么其坐标是。

人教版数学高三期末测试精选(含答案)4

人教版数学高三期末测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L ）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【来源】2020届湖南省高三上学期期末统测数学（文)试题【答案】B2．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +＜，则ABC ∆的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定【来源】海南省文昌中学2018-2019学年高一下学期段考数学试题【答案】A3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ﹣b ＝c cos B ﹣c cos A ，则△ABC 的形状为（） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】D4．已知圆C 1：（x +a ）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣b ）2+（y ﹣2）2=4相外切，a ，b 为正实数，则ab 的最大值为( )A ．B ．94C ．32D ．2【来源】安徽省安庆市五校联盟2018-2019学年高二（上)期中数学（理科)试题【答案】B5．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（）【来源】甘肃省兰州市第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（文)试题【答案】A6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是 ( ) A ．116B ．103C ．56D ．53【来源】湖南省湘南三校联盟2018-2019学年高二10月联考文科数学试卷【答案】D7．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【来源】广东省中山市第一中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题【答案】C8．若不等式22log (5)0x ax -+>在[4,6]x ∈上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(,4)-∞）B ．20(,)3-∞ C ．(,5)-∞D ．29(,)5-∞【来源】重庆市七校(渝北中学、求精中学)2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题【答案】C9．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（） A ．采用第一种方案划算 B ．采用第二种方案划算 C ．两种方案一样D ．无法确定【来源】2020届广东省珠海市高三上学期期末数学（文)试题【答案】B10．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，23434a a a +=，则5S =（）【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题【答案】A11．在ABC ∆中3AB =，5BC =，7AC =，则边AB 上的高为( )A B C D 【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B12．不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，则a b -=( ) A ．3-B ．2-C ．2D ．3【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B13．各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若224n n n a S a -=，则2019S 为( )A ．BC ．2019D ．4038【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】A14．设m ，n 为正数，且2m n +=，则2312m n m n +++++的最小值为( ) A ．176B ．145 C ．114D ．83【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314n n S a +=，则使不等式1000成立的n 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C16．ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若1a =，b =4B π=，则A =( )A ．6π B ．56π C ．6π或56πD ．23π【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】A17．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知46a =，36S =,则（） A ．410n a n =-B ．36n a n =-C ．2n S n n =-D ．224n S n n =-【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（理)试题【答案】C18．在等差数列{}n a 中，652a a =，则17a a +=（） A ．0B ．1C ．2-D ．3【来源】2020届福建省三明市高三上学期期末质量检测文科数学试题【答案】A19．若0,0,a b c d >><<则一定有（） A ．a b c d> B ．a b c d< C ．a b d c> D ．a b d c< 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷带解析) 【答案】D20．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 满足：0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则△ABC 的周长是( )A ．B ．C ．3D ．6【来源】福建省晋江市季延中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题【答案】A21．在ABC ∆中，60A =︒，1b =，则sin sin sin a b c A B C ++++的值为（）A ．1B ．2C D ．【来源】辽宁省实验中学分校2016-2017学年高一下学期期末数学(文)试题【答案】B二、填空题22．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷) 【答案】923．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5a ＝8b ，A ＝2B ，则sin B ＝_____．【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】3524．如图,为测得河对岸塔AB 的高,先在河岸上选一点C,使C 在塔底B 的正东方向上,测得点A 的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D,测得∠BDC ＝45°,则塔AB 的高是_____.【来源】2014届江西省南昌大学附属中学高三第三次月考理科数学试卷（带解析) 【答案】1025．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为．【来源】智能测评与辅导[文]-等比数列【答案】6426．设x ，y 满足约束条件20260,0x y x y x y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则23z x y =-+的最小值是______.【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题【答案】9-27．已知数列{}n a 是等差数列，且公差0d <，()11a f x =+，20a =，()31a f x =-，其中()242f x x x =-+，则{}n a 的前10项和10S =________.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题【答案】70-28．若x ，y 满足约束条件22020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为________.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题【答案】2-29．已知数列{}n a 满足11a =，()13N n n n a a n *+⋅=∈，那么数列{}n a 的前9项和9S =______.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（理)试题【答案】24130．设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知2cos cos a B C=，则222a cb ac+-的取值范围为______.【来源】2020届吉林省通化市梅河口市第五中学高三上学期期末数学（理)试题【答案】()()0,2U三、解答题31．如图，在平面四边形ABCD 中，BC ＝3，CD ＝5，DA 2=，A 4π=，∠DBA 6π=．（1）求BD 的长：（2）求△BCD 的面积．【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】（1）7；（2 32．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且 210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（I ）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；(II)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【来源】湖北省四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中)2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题【答案】（Ⅰ）210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩（Ⅱ）2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. 33．设集合A={x|x 2＜9}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}．（1）求集合A∩B ；（2）若不等式2x 2+ax+b ＜0的解集为A ∪B ，求a ，b 的值．【来源】2013-2014学年广东阳东广雅、阳春实验中学高二上期末文数学卷（带解析) 【答案】（1）{x |3x 2}-＜＜（2）2,24a b ==- 34．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n n a na n ++-=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）n S 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求证：223n S ≤<. 【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题【答案】（1）12n n a +=（2）证明见解析 35．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，且满()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）再在①2a =，②4B π=，③=c 这三个条件中，选出两个使ABC V 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC V 的面积. 【来源】2020届山东省滨州市高三上学期期末考试数学试题【答案】（1）6A π=；（2）见解析36．设函数()22sin cos 3x x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，1AB =，2AC =，()2f A =-，且A 为钝角，求sin C 的值. 【来源】2020届浙江省嘉兴市高三上学期期末考试数学试题【答案】（1）5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）1437．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长； (2) 求BC 的长.【来源】2020届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期末考试数学（文)试题【答案】(1) cos 7DAC ∠=，7AC =；(2) 3 38．在ABC V 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin cos 2sin cos A B c bB A b-=.（1）求A ；（2）设5b =，ABC S =V 若D 在边AB 上，且3AD DB =，求CD 的长. 【来源】2020届福建省莆田市（第一联盟体)学年上学期高三联考文科数学试题【答案】（1）3π；（239．在ABC ∆中，45,B AC ︒∠==cos C =. （1）求BC 边长；（2）求AB 边上中线CD 的长.【来源】北京101中学2018-2019学年下学期高一年级期中考试数学试卷【答案】（1）（240．已知函数2()2()f x x mx m R =-++∈，()2x g x =. （1）当2m =时，求2()(log )f x g x >的解集；（2）若对任意的1[1,1]x ∈-，存在2[1,1]x ∈-，使不等式12()()f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围.【来源】重庆市七校(渝北中学、求精中学)2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题【答案】（1）(0,2)（2）11[,]22-41．已知1x =是函数2()21g x ax ax =-+的零点，()()g x f x x=. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若不等式(ln )ln 0f x k x -≥在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若方程()3213021xxf k k ⎛⎫⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.【来源】天津市滨海新区2018-2019学年高一上学期期末检测数学试题【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ)(],0-∞；(Ⅲ)103k -<<．42．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos sin C c B =．（1）求角C 的大小（2）若c =ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长．【来源】天津市蓟州等部分区2019届高三上学期期末联考数学（文)试题【答案】（Ⅰ）3C π=．（Ⅱ）10+43．已知等差数列{}n a 中，首项11a =，523a a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若等比数列{}n b 满足13b =，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和n S . 【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1) 21n a n =-；(2) 1332n n S +-= 44．对于正项数列{}n a ，定义12323nn a a a na G n+++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“匀称”值.(1)若当数列{}n a 的“匀称”值n G n =，求数列{}n a 的通项公式； (2)若当数列{}n a 的“匀称”值2n G =，设()()128141n n nb n a +=--，求数列{}n b 的前2n 项和2n S 及2n S 的最小值.【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1) 21n n a n -=；(2)21141n S n =-+，4545．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin tan c B b C =.(1)求角C 的值；(2)若c =3a b =，求ABC ∆的面积.【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1)3C π=，(2)ABC S ∆=46．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足1cos cos a cB C b b-=-. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，a b +=ABC V 的面积.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题【答案】（1）3C π=；（2）447．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos a B A =. （1）求A ；（2）若a =，ABC V 的面积为ABC V 的周长.【来源】2020届福建省三明市高三上学期期末质量检测文科数学试题试卷第11页，总11页【答案】（1）3A π=（2）7+48．在正项数列{}n a中，11a =，()()2211121n n n n a a a a ++-=-，1n n nb a a =-. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列(){}22n n n a b -的前n 项和nT . 【来源】2020届吉林省通化市梅河口市第五中学高三上学期期末数学（理)试题【答案】（1）22n n a +=，2n n b =，（2）()()13144219n n n T n n +-+=++49．在ABC ∆中，10a b +=，cos C 是方程22320x x --=的一个根，求ABC ∆周长的最小值。

无锡市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试题

无锡市普通高中2024年春学期高一期终调研考试试题数学2024.06命题单位：宜兴市教师发展中心制卷单位：宜兴市教师发展中心注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．一、单选题：本题共8小题．每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．一支田径队有男运动员56名，女运动员42名，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为28的样本，则样本中女运动员的人数是（）A ．10B ．12C ．14D ．162．下列说法正确的是（）A ．平行于同一直线的两个平面平行B ．平行于同一平面的两条直线平行C ．垂直于同一直线的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两个平面平行3．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =，4b =，1sin 2A =，则c =（）A ．4B ．C ．3D ．4．已知向量a 与b 是非零向量，1a = ，12b = ，a 与b 的夹角为120︒，则a b - 在b上的投影向量为（）A ．2b-B ．2bC ．b -D ．b则下列说法不正确的是（）A ．该队员得分的平均数是10B ．该队员得分的极差是27C ．该队员得分的四十百分位数是7D ．该队员得分的方差是48.46．正四棱锥所有棱长均为2，其外接球的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π7．设向量(2,)a m =，(,2)b m =- ，1c = ，若()()a cbc -⋅- 的最大值为5，则正实数m 的值为（）A ．1B ．32C ．2D ．48．把一个正四面体的四个面按如下方案涂色：第一个面涂红色，第二个面涂黄色，第三个面涂蓝色，第四个面分成三块区域分别涂上述三种颜色．将该四面体抛掷在一个平面上，记事件A =“四面体有红色的面落在平面上”，记事件B =“四面体有黄色的面落在平面上”，记事件C =“四面体有蓝色的面落在平面上”，则下列说法正确的是（）A ．()()()1P A PB PC ++=B ．()()()P AB P A P B =C ．()()()P ABC P A P BC =D ．()()()()P ABC P A P B P C =二、多选题：本题共3小题，每题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：1C =“点数为i ”，其中1i =，2，3，4，5，6；1D =“点数不大于2”；2D =“点数大于2”，3D =“点数大于4”，则下列结论正确的是（Ω表示样本空间）（）A ．11C D =B ．32C D ⊆C ．12D D =ΩD ．232D D D = 10．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则由下列条件能得到ABC △为钝角三角形的是（）A ．9a =，10b =，14c =B ．6a =，8b =，30C =︒C ．3cos 5C =，43a c =D ．9cos 10A =，2B C =11．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为边AB 的中点，将ADE △沿直线DE 翻折成PDE △，使平面PDE ⊥平面BCDE ，若点M 为线段PC 的中点，则下列结论正确的是（）A ．直线//BM 平面PDEB ．PC DE⊥C ．点C 到平面PDE 2D ．PC 与平面BCDE 所成角的正切值为55三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量(1,2)a =-，则与a 方向相同的单位向量的坐标为__________．13．若事件A 与B 相互独立，()0.7P A =，()0.8P B =，则()P A B = __________．14．古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理：圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知平面凸四边形ABCD 外接圆半径为1，sin :sin :sin 3:5:7ABD ADB BAD ∠∠∠=．则（1）BD =__________；（2）2AC BC CD⋅的最小值为__________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的61.010-⨯的鱼被人食用后就会对人体产生危害．在100条鱼的样本中发现汞含量（乘百万分之一）统计得到频率分有直方图如图所示：（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）请估计该样本数据的平均值和中位数（假设各组数据在组内均匀分布）；（3）从实际情况看，许多鱼汞含量超标的原因是这些鱼在出售之前没有被检测过．你认为每批这种鱼的平均汞含量都比61.010-⨯大吗？请说明理由．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AD AB ==，AB AC ⊥，E 为PD 中点，F 为PB 中点，M 为CE 中点．（1）求证：平面ACE ⊥平面PAB ；（2）求证：//AF 平面BDM ．17．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(tan tan )2tan b A B c B +=．（1）求A 的值；（2）若ABC △为锐角三角形，求bc的取值范围．18．在ABC △中，2AB =，60BAC ∠=︒，D 为AB 中点，设AE xAC = ，(,(0,1))BF yBC x y =∈．（1）当23x =，12y =时，若12DE AF ⋅= ，求边AC 的长；（2）当23x =，12y =时，AF 与DE 相交于点O ，设AO AF λ= ，求实数λ的值；（3）若2AC =，且DE AF ⊥，求xy 的最大值．19．袋中装有质地均匀、大小相同的红球和白球共10个．现进行摸球游戏．（1）若采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球，共摸球两次，至少有一次摸出白球的概率是21 25．求袋中红球的个数；（2）已知袋中有红球5个，从袋中每次摸出1个球，若是红球则放回袋中，若是白球则不放回袋中，求摸球三次共取出两个白球的概率；（3）若采取不放回的方式从袋中每次摸出1个球，若连续两次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第六次摸球后结束．若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率，求袋中红球个数的所有可能取值．数学参考答案及评分标准2024.06一、选择题：1．B 2．C3．D4．A5．D6．B7．C8．B二、选择题：9．BC10．ABD11．ACD三、填空题：12．,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭13．0.94146049四、解答题：15．（1）(0.20.80.60.1)0.51a ++++⨯=．解得0.3a =．（2）0.10.250.40.750.3 1.250.15 1.750.05 2.25 1.075x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．估计该样本数据的平均值为1.075．因中位数左右两边的直方图面积相等，由0.5(0.20.8)0.5(0.60.30.1)0.5⨯+=⨯++=，所以估计该样本数据的中位数为1．（3）不一定（不能）．理由：①不知道各批鱼的汞含量分布是否都和这批鱼相同；②样本指标只能作为估计值．（理由说明一点就可以）16．（1）PA ⊥ 底面ABCD ．AC ⊂平画ABCD ，PA AC ∴⊥．又AB AC ⊥，PA AB A = ，CA ∴⊥平面PAB ．AC ⊂ 平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面PAB ．（2）连接EF 、AE ，连接AC 角BD 于点O ，连接OM ．在ACE △中，M ，O 分别为CE ，AC 中点，//AE OM ∴．又AE ⊂平面BDM ，OM 平面BDM ，//AE ∴平面BDM ：在PBD △中，E ，F 分别为PD ，PB 中点，//EF BD ∴．又EF ⊂平面BDM ，BD ⊂平面BDM ．//EF ∴平面BDM ；又AE ，EF ⊂平面AEF ，AE EF E = ，∴平面//AEF 平面BDM ．又AF ⊂平面AEF ，所以//AF 平面BDM ．17．（1）由(tan tan )2tan b A B c B +=和正弦定理得sin sin sin sin cos cos sin sin sin 2sin 2cos cos cos cos cos cos A B B A B A B C B C A B B A B B +⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭，sin sin 2cos cos cos CC A BB =，因为A ，B ，C 为的ABC △内角，所以1πcos 23A A =⇒=．（2）由正弦定理知：2sin sin 2π2sin 31311sin 3222tan 2b R BB c R CB B ====⎛⎫- ⎪⎝⎭，ABC △为锐角三角形，则ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(1tan , 3tan B B ⎛⎫∈+∞⇒∈ ⎪ ⎪⎝⎭所以1,22b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．18．（1）略（2）1111332222224AO AF AB AC AD AE AD AE λλλλλ⎛⎫⎛⎫==+=⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为D ，O ，E 三点共线，所以314λλ+=，解得47λ=．（3）12DE AE AD x AC AB =-=- ，()(1)AF AB yBC AB y AC AB y AB y AC =+=+-=-+ ，由DE AF ⊥知：1(1)2DE AF x AC AB y AB y AC ⎛⎫⎡⎤⋅=-⋅-+ ⎪⎣⎦⎝⎭22111(1)42(1)20222xy AC y AB x xy y AB AC xy y x xy y ⎛⎫⎛⎫=⋅--+--⋅=--+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即得：222xy x y ++=．因为x ，(0,1)y ∈，所以2222xy x y xy ++=≥+，622≤，即2xy ≤-．当且仅当2x y =时取等号，此时312x -=，1y =符合题意．所以xy的最大值为2．19．设袋中有红球m 个．（1）设A =“采取有放回的方式从袋中每次模出1个球”，则()10mP A =．设B =“摸球两次，至少得到一次白球”．B =“摸球两次，两次均为红球”．则()2221()11()11025m P B P B P A ⎛⎫=-=-=-=⎪⎝⎭，解得4m =，即袋中红球有4个．（2）设C =“摸球三次共取出两个白球”，则三次摸球可能情况为：“白白红”，“白红白”，“红白白”，则545554554121()1098109910109324P F =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．所以摸球三次共取出两个白球的概率为121324．（3）设E =“第三次摸球后停止摸球”，F =“第五次摸球后停止摸球”．由题意知：19m ≤≤．若1m =，则不可能连续两次摸到红球，不含题意．若2m =，则事件E 三次摸球依次为“白红红”，8211()109845P E =⨯⨯=，事件F 五次摸球依次为“白白白红红”，876211()10987645P F =⨯⨯⨯⨯=，()()P E P F =，不合题意．若9m =，则，最多第四次就停止摸球，不符合题意．若8m =，则事件E 三次摸球依次为“白红红”，2877()109845P E =⨯⨯=，事件F 五次摸球依次为“白红白红红”或“红白白红红”，28176821762()10987610987645P F =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，()()P E P F >．符合题意．若37m ≤≤，则事件E 三次摸球依次为“白红红”，101()1098m m m P E --=⨯⨯，事件F 五次摸球依次为“白红白红红”或“红白白红红”或“白白白红红”，1098110912()109876109876m m m m m m m m m m P F --------=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯10912109876m m m m m ----+⨯⨯⨯⨯，由()()P E P F >得，(9)(8)(9)(2)124242m m m m ---->+，即2560m m -+>，解得2m <或3m >．即4m =，5，6，7，综上所述，红球个数的所有可能取值为4，5，6，7，8个．。

2017-2018学年高一数学必修3全册同步课时作业含解析【人教B版】

2017-2018学年高一数学必修3全册同步课时作业目录1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1 1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示2 1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示3 1.2.1赋值输入和输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例2.1.1简单随机抽样2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.1.4数据的收集2.2.1用样本的频率分布估计总体2.2.2用样本的数字特征估计总体2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与3.1.4 的加法公式3.2.1古典概型3.2.2 的一般加法公式选学3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用第一章 1.1 1.1.1算法的概念A 级基础巩固一、选择题1．下列语句中是算法的是导学号 95064017( A )A ．解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1B ．吃饭C ．做饭D ．写作业[解析] 选项A 是解一元一次方程的具体步骤，故它是算法，而B 、C 、D 是说的三个事实，不是算法．2．计算下列各式中的S 值，能设计算法求解的是导学号 95064018( B ) ①S ＝1＋2＋3＋…＋100； ②S ＝1＋2＋3＋…＋100＋…；③S ＝1＋2＋3＋…＋n (n ≥1，且n ∈N )． A ．①② B ．①③ C ．②D ．②③[解析] 由算法的确定性、有限性知选B ．3．早上从起床到出门需要洗脸、刷牙(5 min)，刷水壶(2 min)，烧水(8 min)，泡面(3 min)，吃饭(10 min)，听广播(8 min)几个过程，下列选项中最好的一种算法是导学号 95064019( C )A ．第一步，洗脸刷牙；第二步，刷水壶；第三步，烧水；第四步，泡面；第五步，吃饭；第六步，听广播B ．第一步，刷水壶；第二步，烧水同时洗脸刷牙；第三步，泡面；第四步，吃饭；第五步，听广播C ．第一步，刷水壶；第二步，烧水同时洗脸刷牙；第三步，泡面；第四步，吃饭同时听广播D ．第一步，吃饭同时听广播；第二步，泡面；第三步，烧水同时洗脸刷牙；第四步，刷水壶[解析] 因为A 选项共用时36 min ，B 选项共有时31 min ，C 选项共用时23 min ，选项D 的算法步骤不符合常理，所以最好的一种算法为C 选项．4．对于一般的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1a 2x ＋b 2y ＝c 2，在写求此方程组解的算法时，需要我们注意的是导学号 95064020( C )A．a1≠0B．a2≠0C．a1b2－a2b1≠0D．a1b1－a2b2≠0[解析]由二元一次方程组的公式算法即知C正确．5．下面是对高斯消去法的理解：①它是解方程的一种方法；②它只能用来解二元一次方程组；③它可以用来解多元一次方程组；④用它来解方程组时，有些方程组的答案可能不准确．其中正确的是导学号 95064021( A )A．①②B．②④C．①③D．②③[解析]高斯消去法是只能用来解二元一次方程组的一种方法，故①②正确．6．一个算法步骤如下：S1 S取值0，i取值2；S2 如果i≤10，则执行S3，否则执行S6；S3 计算S＋i并将结果代替S；S4 用i＋2的值代替；S5 转去执行S2；S6 输出S.运行以上步骤输出的结果为导学号 95064022( B )A．25 B．30C．35 D．40[解析]按算法步骤一步一步地循环计算替换，该算法作用为求和S＝2＋4＋6＋8＋10＝30.二、填空题7．已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，求斜边长c的算法如下：导学号 95064023S1 输入两直角边长a、b的值．S2 计算c＝a2＋b2的值；S3 ____________.将算法补充完整，横线处应填__输出斜边长c的值__．[解析]算法要有输出，故S3应为输出c的值．8．一个算法步骤如下：导学号 95064024S1 S取值0，i取值1；S2 如果i≤12，则执行S3，否则执行S6；S3 计算S＋i并将结果代替S；S4 用i＋3的值代替i；S5 转去执行S2；S6 输出S.运行以上步骤输出的结果为S＝__22__.[解析]由以上算法可知：S＝1＋4＋7＋10＝22.三、解答题9．某年青歌赛流行唱法个人组决赛中，某歌手以99.19分夺得金奖．青歌赛在计算选手最后得分时，要去掉所有评委对该选手所打分数中的最高分和最低分，试设计一个找出最高分的算法.导学号 95064025[解析]S1 先假定其中一个为“最高分”；S2 将第二个分数与“最高分”比较，如果它比“最高分”还高，就假定这个分数为“最高分”；否则“最高分”不变；S3 如果还有其他分数，重复S2；S4 一直到没有可比的分数为止，这时假定的“最高分”就是所有评委打分中的最高分．10．一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船最多可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊．请设计过河的算法.导学号 95064026[解析]算法如下：S1 人带两只狼过河；S2 人自己返回；S3 人带一只羚羊过河；S4 人带两只狼返回；S5 人带两只羚羊过河；S6 人自己返回；S7 人带两只狼过河；S8 人自己返回；S9 人带一只狼过河．B级素养提升一、选择题1．算法：S1 输入n；S2 判断n是否是2.若n＝2，则n满足条件；若n>2，则执行S3；S3 依次从2到n－1检验能不能整除n，若不能整除n，则满足条件．上述满足条件的数是导学号 95064027( A )A．质数B．奇数C．偶数D．4的倍数[解析]根据算法可知，如果n＝2直接就是满足条件的数．n不是2时，验证从2到n －1有没有n的因数，如果没有就满足条件．显然，满足这个算法中条件的数是质数．故选A．2．现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏．小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌的张数是导学号 95064028( B )A．4 B．5C．6 D．8[解析]按各放3张，可以算出答案是5，各放x张答案也是一样的．二、填空题3．下面算法运行后输出结果为__720__.导学号 95064029S1 设i＝1，P＝1；S2 如果i≤6则执行S3，否则执行S5；S3 计算P×i，并将结果代替P的值；S4 用i＋1的值代替i的值，转去执行S2；S5 输出P.[解析]该算法包含一个循环结构，计数变量i的初值为1，每次循环它的值增加1.由1变到6.P是一个累乘变量，每一次循环得到一个新的结果，并用新的结果替代原值．第一次循环i＝1，P＝1.第二次循环i＝2，P＝2.第三次循环i＝3，P＝6.第四次循环i＝4，P ＝24.第五次循环i ＝5，P ＝120.第六次循环i ＝6，P ＝720.4．下面是解决一个问题的算法：导学号 95064030 S1 输入x ；S2 若x ≥4，转到S3；否则转到S4； S3 输出2x －1； S4 输出x 2－2x ＋3.当输入x 的值为__1__输出的数值最小值为__2__.[解析] 所给算法解决的问题是求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 (x ≥4)x 2－2x ＋3 (x ＜4)的函数值的问题当x ≥4时，f (x )＝2x －1≥2×4－1＝7；当x ＜4时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2.所以f (x )min ＝2，此时x ＝1.即当输入x 的值为1时，输出的数值最小，且最小值是2.三、解答题5．设计一个算法，求表面积为16π的球的体积. 导学号 95064031 [解析] S1 取S ＝16π； S2 计算R ＝S4π(由于S ＝4πR 2)；S3 计算V ＝43πR 3；S4 输出运算结果．6．设火车托运行李，当行李重量为m (kg)时，每千米的费用(单位：元)标准为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.3m (m ≤30 kg )0.3×30＋0.5(m －30)(m >30 kg)，试写出当托运路程为S 千米时计算运费的算法.导学号 95064032[解析] 算法如下： S1 输入m ；S2 若m ≤30，则执行S3，若m >30，则执行S4； S3 输出0.3m ×S ；S4 输出[0.3×30＋0.5(m －30)]×S .C 级能力拔高1．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1(x ≤－1)log 2(x ＋1)(－1<x <2)x 2(x ≥2)，请设计一个算法，输入x 的值，求对应的函数值.导学号 95064033[解析] 算法如下： S1 输入x 的值；S2 当x ≤－1时，计算y ＝2x－1，否则执行S3； S3 当x <2时，计算y ＝log 2(x ＋1)，否则执行S4； S4 计算y ＝x 2； S5 输出y .2．试描述判断圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2和直线Ax ＋By ＋C ＝0的位置关系的算法.导学号 95064034[解析] S1 输入圆心的坐标(x 0，y 0)，直线方程的系数A ，B ，C 和半径r ； S2 计算z 1＝Ax 0＋By 0＋C ； S3 计算z 2＝A 2＋B 2； S4 计算d ＝|z 1|z 2；S5 如果d >r ，则相离；如果d ＝r ，则相切；如果d <r ，则相交．1.1.2 程序框图 1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示（1）A 级基础巩固一、选择题1．任何一种算法都离不开的基本结构为导学号 95064050( D ) A ．逻辑结构 B ．条件结构 C ．循环结构D ．顺序结构[解析] 任何一种算法都离不开顺序结构．2．如图所示程序框图中，其中不含有的程序框是导学号 95064051( C )A ．终端框B ．输入、输出框C ．判断框D ．处理框[解析] 含有终端框，输入、输出框和处理框，不含有判断框． 3．如图所示的程序框图的运行结果是导学号 95064052( B )A ．2B ．2.5C ．3.5D ．4[解析] ∵a ＝2，b ＝4，∴S ＝a b ＋b a ＝12＋2＝2.5.二、填空题4．在如图所示的程序框图中，若输出的z 的值等于3，那么输入的x 的值为 19.导学号 95064053[解析] 当输出的z 的值为3时，z ＝y ＝3，∴y ＝9，由1x ＝9，得x ＝19，故输入的x的值为19.5．如图是求一个数的百分之几的程序框图，则(1)处应填__n ＝n ×m __.导学号 95064054[解析] 因为程序框图的作用是求一个数的百分之几，故(1)处应填输入的数n 与百分比m 的乘积所得数，再让它赋值给n .三、解答题6．已知球的半径为1，求其表面积和体积，画出其算法的程序框图.导学号 95064055 [解析] 如图所示：7．已知x ＝10，y ＝2，画出计算w ＝5x ＋8y 值的程序框图.导学号 95064056 [解析] 算法如下：S1 令x＝10，y＝2.S2 计算w＝5x＋8y.S3 输出w的值．其程序框图如图所示：B级素养提升一、选择题1．如图所示的程序框图中，要想使输入的值与输出的值相等，输入的a值应为导学号 95064057( D )A．1 B．3C．1或3 D．0或3[解析]本题实质是解方程a＝－a2＋4a，解得a＝0或a＝3.2．阅读如图所示的程序框图，若输入的a、b、c的值分别是21、32、75，则输出的a、b、c分别是导学号 95064058( A )A．75,21,32 B．21,32,75C．32,21,75 D．75,32,21[解析]输入21,32,75后，该程序框图的执行过程是：输入21,32,75.x＝21.a＝75.c＝32.b＝21.输出75,21,32.二、填空题3．如图所示的程序框图，输出的结果是S＝7，则输入的A值为__3__.导学号 95064059[解析]该程序框图的功能是输入A，计算2A＋1的值．由2A＋1＝7，解得A＝3.4．如下图，程序框图的功能是__求五个数的和以及这五个数的平均数__. 导学号 95064060[解析]该程序框图表示的算法是首先输入5个数，然后计算这5个数的和，再求这5个数的算术平均数，最后输出它们的和与平均数.三、解答题5．已知一个圆柱的底面半径为R，高为h，求圆柱的体积．设计解决该问题的一个算法，并画出相应的程序框图.导学号 95064061[解析]算法如下：S1 输入R，h，S2 计算V＝πR2h.S3 输出V.程序框图如图所示：6．已知两个单元分别存放了变量x 和y ，试变换两个变量的值，并输出x 和y ，请写出算法并画出程序框图.导学号 95064062[解析] 算法如下： S1 输入x ，y . S2 把x 的值赋给p . S3 把y 的值域给x . S4 把p 的值赋给y . S5 输出x ，y . 程序框图如下：C 级能力拔高1．已知一个直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边长为c ，写出它的外接圆和内切圆面积的算法，并画出程序框图.导学号 95064063[解析] 算法步骤如下： S1 输入a ，b . S2 计算c ＝a 2＋b 2.S3 计算r ＝12(a ＋b ＋c )，R ＝c2.S4 计算内切圆面积S 1＝πr 2，外接圆面积S 2＝πR 2. S5 输出S 1、S 2，结束．程序框图如图．2．已知函数y＝2x＋3，若给出函数图象上任一点的横坐标x(由键盘输入)，设计一个算法，求该点到坐标原点的距离，并画出程序框图.导学号 95064064[解析]算法如下：S1 输入横坐标的值；S2 计算y＝2x＋3；S3 计算d＝x2＋y2；S4 输出d.程序框图如图：1.1.2 程序框图 1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示（2）A 级基础巩固一、选择题1．如图所示的程序框图中，输入x ＝2，则输出的结果是导学号 95064079( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 输入x ＝2后，该程序框图的执行过程是：输入x ＝2，x ＝2>1成立， y ＝2＋2＝2，输出y ＝2.2．要解决下面的四个问题，只用顺序结构画不出其算法框图的是导学号 95064080( C )A ．利用公式1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2计算1＋2＋…＋10的值B ．当圆面积已知时，求圆的周长C ．当给定一个数x 时，求其绝对值D ．求函数f (x )＝x 2－3x －5的函数值[解析] C 中要判断x 是大于等于0还是小于0，故选项C 只用顺序结构画不出其程序框图．3．已知a ＝212，b ＝log33，运算原理如图所示，则输出的值为导学号 95064081( D )A ．22B ． 2C ．2－12D ．2＋12[解析] 由a ＝2<b ＝log33＝lg3lg 3＝2，知a >b 不成立，故输出a ＋1b ＝2＋12.4．如图是计算函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (x ≤－1)0(－1<x ≤2)x 2(x >2)的值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是导学号 95064082( A )A ．y ＝－x ，y ＝0，y ＝x 2B ．y ＝－x ，y ＝x 2，y ＝0 C ．y ＝0，y ＝x 2，y ＝－xD ．y ＝0，y ＝－x ，y ＝x 2[解析] ①处x 满足x ≤－1，则由函数的解析式知，①处应填入y ＝－x ； ②处x 满足－1<x ≤2，则由函数的解析式知，②处应填入y ＝0； ③处x 满足x >2，则由函数的解析式知，③处应填入y ＝x 2. 二、填空题5．某算法的程序框图如图所示，若输出结果为12，则输入的实数x 的值是导学号 95064083[解析] 当x ≤1时，y ＝x －1≤0， ∵输出结果为12，∴x >1，∴log 2x ＝12，∴x ＝ 2.6．如图所示表示求函数f (x )＝|x －3|的值的算法．请将程序框图补充完整．其中①处应填__x <3？(或x ≤3？)__，②处应填__y ＝x －3__.导学号 95064084三、解答题7．获得学习优良奖的条件如下：导学号 95064085 (1)所考五门课成绩总分超过460分； (2)每门课都在85分以上；(3)前三门(主课)每门成绩都在95分以上．输入一名学生的五门课的成绩，问他是否符合优良奖的条件，画出这一算法的程序框图． [解析] 我们设这名学生的五门课的成绩分别为a 、b 、c 、d 、e .设计算法如下：第一步，输入学生五门课的成绩a 、b 、c 、d 、e ；第二步，计算学生的总成绩S ＝a ＋b ＋c ＋d ＋e ；第三步，若S ≥460，则执行第四步，否则执行第十步；第四步，若a ≥95，则执行第五步，否则执行第十步；第五步，若b ≥95，则执行第六步，否则执行第十步；第六步，若c ≥95，则执行第七步，否则执行第十步；第七步，若d ≥85，则执行第八步，否则执行第十步；第八步，若e ≥85，则执行第九步，否则执行第十步；第九步，输出“该学生获得学习优良奖”；第十步，输出“该学生不获得学习优良奖”．程序框图如图：8．画出输入一个数x ，求分段函数y ＝⎩⎨⎧x (x ≥0)e x (x <0)的函数值的程序框图.导学号 95064086[解析] 程序框图如图所示：B级素养提升一、选择题1．某市出租车的起步价为8元(含3 km)，超过3 km的里程每千米收2.6元，另外每车次超过3 km收燃油附加费1元(不考虑其他因素)．相应的收费系统的程序框图如图所示(此处的x假定为整数)，则(1)处应填导学号 95064087( D )A．y＝8＋2.6x B．y＝9＋2.6xC．y＝8＋2.6(x－3) D．y＝9＋2.6(x－3)[解析]当x>3时，y＝8＋2.6(x－3)＋1＝9＋2.6(x－3)，∴(1)处应填y＝9＋2.6(x－3)．2．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是导学号 95064088 ( A )A．2或－2 2 B．22或－2 2C ．－2或－2 2D ．2或2 2[解析] 当x 3＝8时x ＝2，a ＝4，b ＝8，b ＞a ，输出8 当x 2＝8时，x ＝±22，a ＝8，b ＝±62，又a ＞b ，输出8，所以x ＝－22，故选A ．二、填空题3．下列程序框图的运算结果为__5__.导学号 95064089[解析] ∵a ＝5，S ＝1，a ≥4， ∴S ＝1×5＝5， ∴输出S 的值为5.4．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x ≥2)2－x (x ＜2)，下图中表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y的程序框图．①处应填写__x ＜2？__；②处应填写__y ＝log 2x __.导学号 95064090[解析] 框图中的①就是分段函数解析式两种形式的判断条件，故填写“x ＜2？”．②就是该函数的另一段表达式y ＝log 2x .三、解答题5．在音乐唱片超市里，每张唱片售价25元，顾客如果购买5张以上(含5张)唱片，则按照九折收费；如果顾客购买10张以上(含10张)唱片，则按照八五折收费．请设计一个完成计费工作的算法，并画出程序框图.导学号 95064091[解析]算法如下：S1 输入a；S2 若a<5，则c＝25a；否则，执行S3；S3 若a<10，则c＝22.5a；否则(a≥10)，c＝21.25a.S4 输出c.程序框图如图所示：C级能力拔高1．某市劳动保障部门规定：某工种在法定工作时间内，工资为8元/h，加班工资为12元/h.已知某人在一周内工作60 h，其中加班20 h，他每周收入的10%要交纳税金．请设计一个算法，计算此人这周所得净收入，并画出相应的程序框图.导学号 95064092 [解析]此人一周在法定工作时间内工作40 h，加班20 h，他一周内的净收入等于(40×8＋20×12)×(1－10%)元．算法步骤如下：第一步，令T＝40，t＝20.第二步，计算S＝(8×T＋12×t)×(1－10%)．第三步，输出S.程序框图如图所示：2．阅读如图程序框图，并根据该框图回答以下问题.导学号 95064093(1)分别求f (－1)，f (0)，f (12)，f (3)的值；(2)写出函数f (x )的表达式．[解析] (1)当x ＝－1时，满足x <0，故执行y ＝0，即f (－1)＝0，同样地，可得f (0)＝1，f (12)＝1，f (3)＝3.(2)算法的功能是求下面函数的函数值：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0(x <0)1(0≤x <1)x (x ≥1).1.1.2 程序框图 1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示（3）A级基础巩固一、选择题1．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是导学号 95064111( D )A．一个算法只能含有一种逻辑结构B．一个算法最多可包含两种逻辑结构C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构D．一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合[解析]一个算法可以含有一种逻辑结构，也可以含有两种逻辑结构，还可以含有三种逻辑结构，故选D．2．下列判断正确的是导学号 95064112( B )A．条件结构中必有循环结构B．循环结构中必有条件结构C．顺序结构中必有条件结构D．顺序结构中必有循环结构[解析]由循环结构的定义知B正确．3．下面关于当型循环结构和直到型循环结构的说法，不正确的是导学号 95064113 ( D )A．当型循环结构是先判断后循环，条件成立时执行循环体，条件不成立时结束循环B．直到型循环结构要先执行循环体再判断条件，条件成立时结束循环，条件不成立时执行循环体C．设计程序框图时，两种循环结构可以任选其中的一个，两种结构也可以相互转化D．设计循环结构的程序框图时只能选择这两种结构中的一种，除这两种结构外，再无其他循环结构[解析]循环结构的程序框中必须包含条件结构，故选项D的说法是错误的．4．(2015·福建文，4)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为导学号 95064114( C )A ．2B ．7C ．8D ．128[解析] 由题意得，该程序是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥29－x ，x <2的函数值，则f (1)＝9－1＝8，故选C ．二、填空题5．执行下面的程序框图，若p ＝0.8，则输出的n ＝__4__.导学号 95064115[解析] 第一次循环后：S ＝12，n ＝2；第二次循环后：S ＝12＋14＝34，n ＝3；第三次循环后：S ＝12＋14＋18＝78，n ＝4，此时循环结束．6．(2016·山东文)执行下面的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的S 的值为__1__.导学号 95064116[解析]第一次运行，i＝1，S＝2－1；第二次运行，i＝2，S＝3－1；第三次运行，i＝3，S＝1，符合判断条件，故输出的S的值为1.三、解答题7．用直到型和当型两种循环结构写出求1＋3＋5＋…＋99的算法，并画出各自的算法流程图.导学号 95064938[解析]直到型循环算法：第一步，S＝0.第二步，i＝1.第三步，S＝S＋i.第四步，i＝i＋2.第五步，如果i不大于99，转第三步，否则，输出S.相应流程图如图①所示．当型循环算法如下：第一步，S＝0.第二步，i＝1.第三步，当i≤99时，转第四步，否则，输出S.第四步，S＝S＋i.第五步，i＝i＋2，并转入第三步．相应流程图如图②所示．8．设计一个算法，求1×22×33×…×100100的值，画出程序框图.导学号 95064117 [解析]算法步骤如下：S1 S＝1；S2 i＝1；S3 S＝S×i i；S4 i＝i＋1；S5 判断i>100是否成立，若成立，则输出S，结束算出；否则，返回S3.该算法的程序框图如图所示：B级素养提升一、选择题1．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为导学号 95064118( B )A ．－10B ．6C ．14D ．18[解析] 输入S ＝20，i ＝1；i ＝2×1＝2，S ＝20－2＝18,2>5不成立； i ＝2×2＝4，S ＝18－4＝14,4>5不成立； i ＝2×4＝8，S ＝14－8＝6,8>5成立．输出6，故选B ．2．(2017·山东文，6)执行如图所示的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为导学号 95064119( B )A ．x >3B ．x >4C ．x ≤4D ．x ≤5[解析] 输入x ＝4，若满足条件，则y ＝4＋2＝6，不合题意；若不满足条件，则y ＝log 24＝2，符合题意，结合选项可知应填x >4，故选B ．二、填空题3．执行下面的程序框图，若输入x ＝9，则输出y ＝299.导学号 95064120[解析] 输入x ＝9，则y ＝5，|y －x |＝4>1，执行否，x ＝5，y ＝113，|y －x |＝43>1，执行否，x ＝113，y ＝299，|y －x |＝49<1，执行是，输出y ＝299.4．如图所示，程序框图中输出S 的值为__94__.导学号 95064121[解析] 该程序框图的运行过程是：i ＝1，S ＝1i ＝1＋1＝2 S ＝2×(1＋1)＝4 i ＝2＞5不成立 i ＝2＋1＝3 S ＝2×(4＋1)＝10 i ＝3＞5不成立 i ＝3＋1＝4 S ＝2×(10＋1)＝22 i ＝4＞5不成立 i ＝4＋1＝5 S ＝2×(22＋1)＝46 i ＝5＞5不成立 i ＝5＋1＝6S＝2×(46＋1)＝94i＝6＞5成立，输出S＝94.三、解答题5．经过市场调查分析得知，2017年第一季度内，北京市海淀区居民对某种商品的需求量为18 000件．为保证商品不脱销，商家在月初时将商品按相同数量投放市场．已知年初商品的库存量为50 000件，用K表示商品的库存量，请设计一个程序框图，求出第一季度结束时商品的库存量.导学号 95064122[解析]设置出判断框中的条件，再由第一季度每个月份结束时商品的库存量，确定判断框的“是”与“否”分支对应的操作，由此即可画出流程图，用循环结构实现这一算法．程序框图如下：C级能力拔高1．数学课上，老师为了提高同学们的兴趣，先让同学们从1到3循环报数，结果最后一个同学报2；再让同学们从1到5循环报数，最后一个同学报3；又让同学们从1到7循报数，最后一个同学报 4.请你设计一个算法，计算这个班至少有多少人，并画出程序框图.导学号 95064123[解析]算法如下：第一步，选择一个起始数x＝7.第二步，判断这个数是否满足除以3余2.如果不满足，则加1后再判断，直至满足，转入第三步．第三步，判断第二步得到的数是否满足除以5余3.如果不满足，则加1后再转入第二步判断，直至满足，转入第四步．第四步，判断第三步得到的数是否满足除以7余4.如果不满足，则加1后再转入第二步判断，直至满足，转入第五步．第五步，输出第四步得到的数，即为所求的最小值．程序框图如图所示：2．某班共有学生50人，在一次数学测试中，要搜索出测试中及格(60分及以上)的成绩，画出解决此问题的程序框图.导学号 95064124[解析]程序框图如图所示．第一章 1.2 1.2.1赋值、输入和输出语句A级基础巩固一、选择题1．下列给出的赋值语句正确的是导学号 95064141( B )A．5＝M B．x＝－xC．B＝A＝3 D．x＋y＝0[解析]赋值号左边只能是变量，而不能是表达式，故选项A、D错误；在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现两个或多个“＝”，故C错．2．执行“print(%io(2)，3＋5)”的输出结果是导学号 95064142( C )A．3＋5＝3＋5 B．3＋5＝8C．8 D．8＝8[解析]输出语句有计算功能，∴3＋5＝8.3．下列输入、输出语句正确的是导学号 95064143( D )A．输入语句input a；b；cB．输入语句input x＝3C．输出语句print A＝4D．输出语句print(%io(2)，x)[解析]A中，变量之间应用逗号“，”隔开；B中，input语句中只能是变量，而不能是表达式；C中，print语句中不能再用赋值号“＝”；D中，print语句可以输出变量、表达式的值，故选D．4．将两个数A＝9，B＝15交换使得A＝15，B＝9，下列语句正确的一组是导学号 95064144( D )A＝B B＝A A＝CC＝BB＝AB＝AA＝BC＝BB＝AA＝CA B C D [解析]此语句功能是交换两个变量的值，要找一个中间变量来过渡．5．以下程序运行后输出结果是导学号 95064145( D )A．58 B．88C．13 D．85[解析]∵x＝58，a为58除以10的整数商，∴a＝5.又∵b为58除以10的余数，∴b＝8.∴x＝10×8＋5＝85.6．下列程序若输出的结果为3，则输入的x值可能是导学号 95064146( D )x＝input(”x＝”)；y＝x*x＋2*x；print(%io(2)，y)；A．1 B．－3C．－1 D．1或－3[解析]依题意，得x2＋2x＝3，∴x＝1或x＝－3，即输入的x的值可能是1或－3.二、填空题7．下列程序的运行结果是__12,4__.导学号 95064147a＝1；b＝3；a＝a＋b；b＝b*a；print(%io(2)，a，b)；[解析]∵a＝1，b＝3，∴a＝a＋b＝4；b＝b*a＝3×4＝12，故输出结果为12,4.8．执行下列程序：导学号 95064148A＝20；B＝15；A＝A＋B；B＝A－B；A＝A*B；B＝A＋B；print(%io(2)，B)；运行结果为__720__.[解析]∵A＝20，B＝15，∴A＝A＋B＝35，B＝A－B＝20，∴A＝A×B＝35×20＝700，∴B＝A＋B＝700＋20＝720.故运行结果为720.三、解答题9．在一次数学考试中，小明、小亮、小强的成绩分别为a、b、c，后来发现统计错了．小亮的成绩记在了小明的名下，小强的成绩记在了小亮的名下，而小明的成绩记在小强的名下了．设计程序更正成绩单，并输出.导学号 95064149[解析]程序如下：a＝input(“a＝”)；b＝input(“b＝”)；c＝input(“c＝”)；x＝a；a＝c；c＝b；b＝x；print(%io(2)，a，b，c)；10．求下列赋值语句各变量的值：a＝2；b＝5；c＝a＋b2；a＝a＋c；b＝a＋b.导学号 95064150[解析]c＝a＋b2，a为2，b为5，故c＝27.a＝a＋c，a为2，c为27，故a＝29.b＝a＋b，a为29，b为5，故b＝34.故a、b、c的值为29、34、27.B级素养提升一、选择题1．给出下列程序：x1＝input(“x1＝”；)y1＝input(“y1＝”)；x2＝input(“x2＝”)；y2＝input(“y2＝”)；a＝x1－x2；m＝a^2；b＝y1－y2；n＝b^2；s＝m＋n；d＝sqrt(s)；print(%io(2)，d)；此程序的功能为导学号 95064151( B )A．求点到直线的距离B．求两点之间的距离C．求一个多项式函数的值D．求输入的值的平方和[解析]输入的四个实数可作为两个点的坐标，程序中的a、b分别表示两个点的横、纵坐标之差，而m 、n 分别表示两点横、纵坐标之差的平方；s 是横、纵坐标之差的平方和，d 是平方和的算术平方根，即两点之间的距离，最后输出此距离．2．给出下面一个程序： A ＝5；B ＝8；X ＝A ；A ＝B ；B ＝X ＋A ；print(%io(2)，A ，B)；此程序运行的结果是导学号 95064152( C ) A ．5,8 B ．8,5 C ．8,13D ．5,13[解析] 先将A 的值赋给X ，此时X ＝5，再将B 的值8赋给A ，此时A ＝8，再将X ＋A (即5＋8＝13)的值赋给B ，此时B ＝13，最后出A 、B ，则A ＝8，B ＝13.二、填空题3．下列程序的运行结果是__10__.导学号 95064153a ＝2；b ＝3；c ＝4；a ＝b ；b ＝a ＋c ；c ＝b ＋a ；a ＝(a ＋b ＋c)/2；print(%io(2)，a)；[解析] ∵a ＝2，b ＝3，c ＝4， ∴a ＝b ＝3，b ＝a ＋c ＝7，c ＝b ＋a ＝10，a ＝a ＋b ＋c 2＝3＋7＋102＝10.故运行结果为10.4导学号 95064154[解析] 输入x 、输出y 分别转化为输入语句、输出语句，y ＝2x转化为赋值语句．三、解答题5．编写一个程序，要求输入两个正数a 和b 的值，输出a b与b a的值.导学号 95064155 [解析] 解法一：程序为：a ＝input (“a ＝”)；b ＝input (“b ＝”)；A ＝a ^b ；B ＝b ^a ；print (%io(2)，A)；print(%io(2)，B)；解法二：程序为：a ＝input(“a＝”)；b ＝input(“b＝”)；A ＝a^b ；print(%io(2)，A)；x ＝a ；a ＝b ；b ＝x ；A ＝a^b ；print(%(2)，A)； C 级能力拔高1．以下是用Scilab 语言编写的一个程序，解释每步程序的作用.导学号 95064156 x ＝input(“x＝”)；y ＝input(“y＝”)；print(%io(2)，x/2)；print(%io(2)，3*y)；x ＝x ＋1；y ＝y ＋1；print(%io(2)，y ，x)；[解析] x ＝input(“x＝”)的作用是输入x 的值， y ＝input(“y＝”)的作用是输入y 的值， print(%io(2)，x/2)的作用是输出x2的值，print(%io(2)，3*y)的作用是输出3y的值，x＝x＋1的作用是将x的值增加1，y＝y＋1的作用是将y的值增加1，print(%io(2)，y，x)的作用是顺次输出x、y的值．2．编写一个程序，求用长度为l的细铁丝分别围成一个正方形和一个圆时所围成的正方形和圆的面积．要求输入l的值，输出正方形和圆的面积(π取3.14).导学号 95064157 [解析]程序如下：l＝input(“l＝”)；S1＝(l^2)/16；S2＝(l^2)/(4*3.14)；print(%io(2)，S1)；print(%io(2)，S2)；第一章 1.2 1.2.2条件语句A 级基础巩固一、选择题1．对条件语句的描述正确的是导学号 95064172( C ) A ．else 后面的语句不可以是条件语句 B ．两个条件语句可以共用一个end C ．条件语句可以没有else 后的语句D ．条件语句中，if 和else 后的语句必须都有[解析] 如果作二次判断else 后的语句可以是条件语句，每一个条件语句都有自己的if 与end ，不可共用，else 后可以没有语句．2．当a ＝1，b ＝3时，执行完下面一段程序后x 的值是导学号 95064173( C ) if a<b x ＝a ＋b elsex ＝a －b end xA ．1B ．3C ．4D ．－2[解析] ∵1<3满足a <b ，∴x ＝1＋3＝4，故选C ．3．给出以下四个问题：①输入一个数x ，输出它的相反数；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a 、b 、c 中的最大数；④求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1(x ≥0)x ＋2(x <0)的函数值．其中不需要用条件语句来描述其算法的有导学号 95064174( B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[解析] ①②直接用顺序结构即可，不需用条件语句；而③需要判断三个数的大小，④是分段函数求值问题，故需用到条件语句．4．若如图程序运行后的结果是3，那么输入的x 的值是导学号 95064175( C )。

2017-2018年江苏省无锡市高一(下)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年江苏省无锡市高一（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为120人的样本进行某项调查，则应抽取的男学生人数为．2．（5分）等比数列{a n}中，若a2＝1，a5＝8，则a7＝．3．（5分）△ABC中，，BC＝3，，则∠C＝．4．（5分）如图，有四根木棒穿过一堵墙，两人分别站在墙的左、右两边，各选该边的一根木棒．若每边每根木棒被选中的机会相等，则两人选到同一根木棒的概率为．5．（5分）已知某人连续5次射击的环数分别是8，9，10，x，8，若这组数据的平均数是9，则这组数据的方差为．6．（5分）如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是．7．（5分）已知实数x，y满足，则z＝9x•3y的最大值是．8．（5分）在等差数列{a n}中，a n＞0，a4＝5，则的最小值为．9．（5分）设，且，则n ＝．10．（5分）如图所示，墙上挂有一块边长为a的正六边形木板，它的六个角的空白部分都是以正六边形的顶点为圆心，半径为的扇形面，某人向此板投镖一次，假设一定能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是．11．（5分）在△ABC中，已知∠C＝，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2﹣13x+40＝0的两根，则AB的长度为．12．（5分）在R上定义运算a※b＝（a+1）b，若存在x∈[1，2]，使不等式（m﹣x）※（m+x）＜4成立，则实数m的取值范围为．13．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，，若对任意实数λ∈[0，1]，总存在自然数k，使得当n≥k时，不等式（2λ﹣3）n2≥（2λ﹣4）a n a n+1+λ+3恒成立，则k的最小值是．14．（5分）已知x＞0，y＞0，则+的最大值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）某校有500名学生参加学校组织的“数学竞赛集训队”选拔考试，现从中等可能抽出n名学生的成绩作为样本，制成如图频率分布表：（1）求n的值，并根据题中信息估计总体平均数是多少？（2）若成绩不低于135分的同学能参加“数学竞赛集训队”，试估计该校大约多少名学生能参加“数学竞赛集训队”？16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．（1）求角B的值；（2）若△ABC的面积S＝，a＝5，求b的值．17．（14分）已知数列{a n}是首项为，公比为q（q≠1）的等比数列，且a1，，2a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝na n，记数列{b n}的前n项和为T n，求满足不等式16T n+n﹣30≤0的最大正整数n的值．18．（16分）如图所示，△ABC是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖（假设湖岸是比值的），其中两腰CA＝CB＝60米，cos∠CAB＝．为了给市民营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸AC，AB上分别取点E，F（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF（宽度不计），使得三角形AEF和四边形BCEF的周长相等．（1）若水上观光通道的端点E为线段AC的三等分点（靠近点C），求此时水上观光通道EF的长度；（2）当AE为多长时，观光通道EF的长度最短？并求出其最短长度．19．（16分）已知函数f（x）＝x2﹣2mx﹣3m2（m∈R，m＞0）．（1）解关于x的不等式f（x）＞mx2+m2x；（2）若当x∈[1，4m]时，|f（x）|≤4m恒成立，求实数m的取值范围．20．（16分）已知等差数列{a n}的前n项的和为S n，公差d≠0，若a4，a6，a10成等比数列，S7＝14，数列{b n}满足：对于任意的n∈N*，等式b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1＝﹣2n都成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：数列{b n}是等比数列；（3）若数列{c n}满足，试问是否存在正整数s，t（其中1＜s＜t），使c1，c s，c t成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（s，t）；若不存在，请说明理由．2017-2018学年江苏省无锡市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为120人的样本进行某项调查，则应抽取的男学生人数为60．【解答】解：分层抽样的抽取比例为：＝，∴男生中抽取的人数为1200×＝60．故答案为：60．2．（5分）等比数列{a n}中，若a2＝1，a5＝8，则a7＝32．【解答】解：等比数列{a n}中，若a2＝1，a5＝8，∴a5＝a2q3，∴q3＝8，∴q＝2，则a7＝a5q2＝8×4＝32，故答案为：323．（5分）△ABC中，，BC＝3，，则∠C＝．【解答】解：由，a＝BC＝3，c＝，根据正弦定理＝得：sin C＝＝，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C＝．故答案为：4．（5分）如图，有四根木棒穿过一堵墙，两人分别站在墙的左、右两边，各选该边的一根木棒．若每边每根木棒被选中的机会相等，则两人选到同一根木棒的概率为．【解答】解：有四根木棒穿过一堵墙，两人分别站在墙的左、右两边，各选该边的一根木棒．基本事件总数n＝4×4＝16，每边每根木棒被选中的机会相等，两人选到同一根木棒包含的基本事件个数m＝4，∴两人选到同一根木棒的概率为p＝＝＝．故答案为：．5．（5分）已知某人连续5次射击的环数分别是8，9，10，x，8，若这组数据的平均数是9，则这组数据的方差为0.8．【解答】解：根据题意，数据8，9，10，x，8的平均数是9，则有（8+9+10+x+8）＝45，解可得：x＝10，则这组数据的方差S2＝[（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（8﹣9）2]＝0.8；故答案为：0.86．（5分）如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是3．【解答】解：根据题中的程序框图，可得该程序经过第一次循环，因为s＝0＜15，所以得到新的S＝0+6＝6，n＝5；然后经过第二次循环，因为s＝6＜15，所以得到新的S＝6+5＝11，n＝4；然后经过第三次循环，因为s＝11＜15，所以得到新的S＝11+4＝15，n＝3；接下来判断：因为s＝15，不满足s＜15，所以结束循环体并输出最后的n，综上所述，可得最后输出的结果是3故答案为：37．（5分）已知实数x，y满足，则z＝9x•3y的最大值是27．【解答】解：画实数x，y满足可行域如图，z为目标函数z＝9x•3y＝32x+y，u＝2x+y 的纵截距取得最大值时，z取得最大值，画直线L：0＝2x+y，平移直线过A时z有最大值，由可得A（1，1），此时u＝3，z＝27．故答案为：27．8．（5分）在等差数列{a n}中，a n＞0，a4＝5，则的最小值为 1.6．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a n＞0，a4＝5，∴a2+a6＝2a4＝10，∴＝（）（a2+a6）＝（++10）≥＝1.6．当且仅当＝时，取等号．故的最小值为1.6．故答案为：1.6．9．（5分）设，且，则n＝10．【解答】解：＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，由，可得•＝＝，解得n＝10．故答案为：10．10．（5分）如图所示，墙上挂有一块边长为a的正六边形木板，它的六个角的空白部分都是以正六边形的顶点为圆心，半径为的扇形面，某人向此板投镖一次，假设一定能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是1﹣π．【解答】解：由题意正六边形木板的面积S＝a2，空白部分的面积S＝，故阴影部分的面积S＝，故满足条件的概率P＝1﹣π，故答案为：1﹣π．11．（5分）在△ABC中，已知∠C＝，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2﹣13x+40＝0的两根，则AB的长度为7．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣13x+40＝0的两根，∴a＝5，b＝8，或a＝8，b＝5，由余弦定理AB2＝c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝25+64﹣2×8×5×＝49，则AB＝7，故答案为：7．12．（5分）在R上定义运算a※b＝（a+1）b，若存在x∈[1，2]，使不等式（m﹣x）※（m+x）＜4成立，则实数m的取值范围为﹣3＜m＜2．【解答】解：由题意知，不等式（m﹣x）※（m+x）＜4化为（m﹣x+1）（m+x）＜4，即m2+m﹣4＜x2﹣x；设f（x）＝x2﹣x，x∈[1，2]，则f（x）的最大值是f（2）＝4﹣2＝2；令m2+m﹣4＜2，即m2+m﹣6＜0，解得﹣3＜m＜2，∴实数m的取值范围是﹣3＜m＜2．故答案为：﹣3＜m＜2．13．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，，若对任意实数λ∈[0，1]，总存在自然数k，使得当n≥k时，不等式（2λ﹣3）n2≥（2λ﹣4）a n a n+1+λ+3恒成立，则k的最小值是5．【解答】解：由，可得，∴a n＝n﹣1，不等式（2λ﹣3）n2≥（2λ﹣4）a n a n+1+λ+3恒成立⇔（2n﹣1）λ+n2﹣4n﹣3≥0，令f（λ）＝（2n﹣1）λ+n2﹣4n﹣3，对任意实数λ∈[0，1]，不等式（2λ﹣3）n2≥（2λ﹣4）a n a n+1+λ+3恒成立，∵2n﹣1＞0，只需f（0）＝n2﹣4n﹣3＞0，解得n＞2+，∵n∈N+，∴n≥5，则k的最小值是5．故答案为：5．14．（5分）已知x＞0，y＞0，则+的最大值是．【解答】解：x＞0，y＞0，则+＝＝＝，可令t＝+，可得t≥2，则+＝＝，由y＝t+在t≥2递增，可得t+≥2+＝，可得≤8×＝，当且仅当x＝y时，上式取得等号，则+的最大值是，故答案为：．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）某校有500名学生参加学校组织的“数学竞赛集训队”选拔考试，现从中等可能抽出n名学生的成绩作为样本，制成如图频率分布表：（1）求n的值，并根据题中信息估计总体平均数是多少？（2）若成绩不低于135分的同学能参加“数学竞赛集训队”，试估计该校大约多少名学生能参加“数学竞赛集训队”？【解答】解：（1）由频率分布表得第4组中的频数是12，频率是0.300，∴n＝＝40．数据[135，145）的频率为：1﹣（0.025+0.05+0.2+0.3+0.275+0.05）＝0.1，∴利用组中值估计平均数为：90×0.025+100×0.05+110×0.2+120×0.3+130×0.275+140×0.1+150×0.05＝122.5．（2）成绩不低于135分的同学的概率为：0.1+0.05＝0.15，∴估计该校学生能参加“数学竞赛集训队”的人数大约为：500×0.15＝75人．16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．（1）求角B的值；（2）若△ABC的面积S＝，a＝5，求b的值．【解答】解：（1）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．利用正弦定理：，整理得：sin（B+C）＝sin B cos C+，则：sin C cos B＝sin C sin B，由于sin C≠0，所以tan B＝，由于：0＜B＜π，解得：B＝．（2）△ABC的面积S＝，所以：，解得：ac＝20，由于a＝5，所以c＝4．则：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，＝25+16﹣20，＝21，解得：b＝．17．（14分）已知数列{a n}是首项为，公比为q（q≠1）的等比数列，且a1，，2a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝na n，记数列{b n}的前n项和为T n，求满足不等式16T n+n﹣30≤0的最大正整数n的值．【解答】解：（1）数列{a n}是首项为，公比为q（q≠1）的等比数列，且a1，，2a3成等差数列．则：，即：2q2﹣3q+1＝0，解得：q＝1或，由于q≠1，则：，所以：．（2）由于，则：b n＝na n＝，所以：+…+①，+…+②，①﹣②得：，解得：，则：不等式16T n+n﹣30≤0，转换为，即：，所以：2n﹣4≤1，解得n≤4．故最大整数为4．18．（16分）如图所示，△ABC是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖（假设湖岸是比值的），其中两腰CA＝CB＝60米，cos∠CAB＝．为了给市民营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸AC，AB上分别取点E，F（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF（宽度不计），使得三角形AEF和四边形BCEF的周长相等．（1）若水上观光通道的端点E为线段AC的三等分点（靠近点C），求此时水上观光通道EF的长度；（2）当AE为多长时，观光通道EF的长度最短？并求出其最短长度．【解答】解：（1）在等腰△ABC中，过C作CH⊥AB于H，在Rt△ACH中，由cos∠CAB＝，得，∴AH＝40，AB＝80，∴△AEF的四边形BCEF的周长相等，∴AE+AF+EF＝CE+BC+BF+EF，∴AE+AF＝（60﹣AE）+60+（80﹣AF），∴AE+AF＝100，∵E为线段AC的三等分点，（靠近C），∴AE＝40，AF+60，在△AEF中，EF2＝AE2+AF2﹣2AE•AF•cos∠CAB＝＝200，∴EF＝＝20．∴水上观光通道EF的长度为20米．（2）由（1）知，AE+AF＝100，设AE＝x，AF＝y，在△AEF中，由余弦定理得：EF2＝x2+y2﹣2xy cos∠CAB＝x2+y2﹣＝（x+y）2﹣，∵xy≤（）2＝502，∴EF2≥（100）2﹣＝，∴EF≥，当且仅当x＝y时，取等号，∴当AE＝50米时，观光通道EF的长度最短，其最短长度为米．19．（16分）已知函数f（x）＝x2﹣2mx﹣3m2（m∈R，m＞0）．（1）解关于x的不等式f（x）＞mx2+m2x；（2）若当x∈[1，4m]时，|f（x）|≤4m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题意得（m﹣1）x2+（m2+2m）x+3m2＜0，即[（m﹣1）x+3m]（x+m）＜0，当m＝1时，得x+1＜0，解得：x＜﹣1，当0＜m＜1时，得（x+）（x+m）＞0，∵﹣﹣（﹣m）＝＞0，∴﹣＞﹣m，解得：x＜﹣m，或x＞﹣，当m＞1时，得（x+）（x+m）＜0，∵﹣﹣（﹣m）＝，当m＞4时，﹣＞﹣m，解得：﹣m＜x＜﹣，当m＝4时，﹣＝﹣m，（x+4）2＜0，解集是∅，当1＜m＜4时，﹣＜﹣m，解得：﹣＜x＜﹣m，综上，0＜m＜1时，不等式解集是{x|x＜﹣m或x＞﹣}，m＝1时，不等式解集是{x|x＜﹣1}，1＜m＜4时，不等式解集是{x|﹣＜x＜﹣m}，m＝4时，不等式解集是∅，m＞4时，不等式解集是{x|﹣m＜x＜﹣}；（2）f（x）的图象是一条开口向上的抛物线，关于x＝m对称，由题意得m＞，若＜m≤1，则f（x）在[1，4m]递增，从而f（x）在[1，4m]上的最小值是f（1）＝1﹣2m﹣3m2，最大值是f（4m）＝5m2，由|f（x）|≤4m得﹣4m2≤x2﹣2mx﹣3m2≤4m，于是有，解得：，∴0＜m≤，又＜m≤1，∴＜m≤，若m＞1，此时f（4m）＝5m2＞4m，则当1≤x≤4m时，|f（x）|≤4m不恒成立，综上，使得|f（x）|≤4m，x∈[1，4m]恒成立的m的范围是（，]．20．（16分）已知等差数列{a n}的前n项的和为S n，公差d≠0，若a4，a6，a10成等比数列，S7＝14，数列{b n}满足：对于任意的n∈N*，等式b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1＝﹣2n都成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：数列{b n}是等比数列；（3）若数列{c n}满足，试问是否存在正整数s，t（其中1＜s＜t），使c1，c s，c t成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（s，t）；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）等差数列{a n}的前n项的和为S n，公差d≠0，若a4，a6，a10成等比数列，S7＝14，可得a62＝a4a10，即（a1+5d）2＝（a1+3d）（a1+9d），化为a1+d＝0，又7a1+21d＝14，解得a1＝﹣1，d＝1，则a n＝n﹣2；（2）证明：任意的n∈N*，等式b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1＝﹣2n都成立，可得b1a1＝﹣2，即b1＝2；由n≥2时，b1a n﹣1+b2a n﹣2+b3a n﹣3+…+b n﹣1a1＝﹣2（n﹣1），①b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1＝﹣2n，②两式②﹣①相减可得b1+b2+…+b n﹣1+b n a1＝﹣2，b1+b2+…+b n﹣1+b n＝﹣2+2b n，当n≥2时，b1+b2+…+b n﹣1＝﹣2+2b n﹣1，两式相减可得b n＝2b n﹣2b n﹣1，即b n＝2b n﹣1，则数列{b n}是首项和公比均为2的等比数列；（3）＝，假设存在正整数数组（s，t），使c1，c s，c t成等比数列，则lgc1，lg c s，lg c t成等差数列，于是＝+，所以t＝2t（﹣）（☆）．易知（s，t）＝（3，4）为方程（☆）的一组解．当s≥4，且s∈N*时，﹣＝＜0，故数列{}（s≥3）为递减数列，于是﹣≤﹣≤0，所以此时方程（☆）无正整数解．综上，存在唯一正整数数对（s，t）＝（3，4），c1，c s，c t成等比数列．。

江苏省无锡市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合，，则______．【答案】【解析】∵，∴点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．2.______．【答案】【解析】【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【详解】．故答案为：【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查了特殊角的三角函数值的求法，是基础题．3.若幂函数的图象过点，则______．【答案】4【解析】【分析】根据已知求出函数的解析式，将代入可得答案．【详解】设幂函数，幂函数的图象过点，，解得：，，，故答案为：4【点睛】本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题．4.若向量，，且，则|______．【答案】【解析】【分析】利用向量共线定理即可得出．【详解】，，解得．．则．故答案为：．【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.函数的单调增区间是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，，即当时，，令，在上，，此时为增函数，也为增函数，则函数为增函数；当时，，令，在上，，此时为增函数，为减函数，则函数为减函数；故函数的单调增区间是；故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题．6.计算：=______．【答案】【解析】【分析】利用对数的运算性质即可得出．【详解】原式=3+4+=7+4=11．故答案为：11．【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．7.已知圆心角是的扇形的面积是，则该圆心角所对的弧长为______cm．【答案】【解析】【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值．【详解】设扇形的弧长为l，圆心角大小为，半径为r，扇形的面积为S，则：．解得，可得：扇形的弧长为cm．故答案为：．【点睛】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题．8.已知函数是周期为2的奇函数，且时，，则______．【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的周期性可得，结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得，综合即可得答案．【详解】根据题意，函数是周期为2的函数，则，又由为奇函数，则，则；故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题．9.将函数向右平移个单位所得函数记为，当时取得最大值，则______．【答案】【解析】【分析】利用函数的图象变换规律求得的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得的值．【详解】将函数向右平移个单位，所得函数记为，当时取得最大值，则，，令，可得，故答案为：．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题．10.若，______．【答案】【解析】【分析】由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得，两边平方得答案．【详解】，，即，，两边平方得：，．故答案为：．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题．11.若，且，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】讨论在和的单调性，可得在R上递减，进而可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围．【详解】，可得时，递减；时，递减，且，可得在R上递减，，可得，解得，故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题．12.在中，已知，，点M在边BC上，，，则______．【答案】【解析】【分析】由向量加法及减法的三角形法则可得，，结合已知即可求解．【详解】，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础题．13.函数，若，且，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】作出的图象，求得，m的范围及的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围．【详解】作出函数的图象，可得，，则在递增，可得的范围是．故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题．14.函数在R上有4个零点，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，设，则，作出的草图，据此分析可得方程在区间有2个根，结合一元二次函数的性质可得，解可得m的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，对于函数，设，则，的图象如图：若函数在R上有4个零点，则方程在区间有2个不同的根，则有，解可得：，即m的取值范围为；故答案为：【点睛】本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.设集合，全集．（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）求定义域得集合A，求出时集合B，再根据集合的定义计算即可；（2）由得出，由此列不等式求出实数a的取值范围．【详解】（1）集合，时，，，又全集，或，或；（2），又，，，解得实数a的取值范围是．【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题．16.在△ABC中，已知=（1，2），=（4，m）（m＞0）（1）若，求m的值；（2）若，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可知，结合向量的数量积的性质即可求解m（2）由，结合向量数量积的性质可求m，然后结合，及向量夹角公式即可求.【详解】（1）若，则，，，．（2），，，，，，，而，，．【点睛】本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用．17.如图，在平面直角坐标系中，角的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若，，且点A的坐标为．（1）若，求实数m的值；（2）若，若的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得和的值，再利用两角和的正弦公式求得的值．【详解】（1）由题意可得，，或．，，即，．（2），，，，，．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．18.某公司对营销人员有如下规定：（i）年销售额x（万元）不大于8时，没有年终奖金；（ⅱ）年销售额x（万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x（万元）不大于64时，年终奖金y（万元）按关系式y＝log a x+b，（a＞0，且a≠1）发放；当年销售额x（万元）不小于64时，年终奖金y（万元）为年销售额x（万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元．（1）求y关于x的函数解析式；（2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x（万元）的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得在上是增函数，再结合已知列关于a，b的方程组，求解可得函数解析式；又时，y是x的一次函数，设，再由已知可得关于m，k 的方程组求解可得时，，则函数解析式可求；（2）当时，不合题意；然后分类求解不等式得答案．【详解】（1），年销售额越大，奖金越多，在上是增函数．，解得．时，；又时，y是x的一次函数，设，由题意可得：，解得．时，．∴y关于x的函数解析式为；（2）当时，不合题意；当时，，解得．．当时，，解得，．综上，．所以该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元．【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．19.已知奇函数，函数，，，．（1）求b的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明；（3）当时，函数的最小值恰为的最大值，求m的取值范围．【答案】（1）0（2）在递增（3）【解析】【分析】（1）由奇函数的性质可得，解方程即可得到b；（2）在单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得的最大值，即可得到的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围．【详解】（1）奇函数f（x），可得f（0）＝0，即b＝0；（2）f（x）在[0，1]单调递增，证明：设x1，x2是[0，1]上任意两个值，且x1＜x2，f（x2）﹣f（x1）（）•，由x1，x2∈[0，1]，且x1＜x2，可得x2﹣x1＞0，1﹣x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0，即有f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），可得f（x）在[0，1]递增；（3）由（2）可得f（x）在[0，1]递增，可得f（x）max＝f（1），可得g（t）的最小值为，令s＝cos t，所以s＝﹣s2+2s的最小值为，所以s，即cos t≤1，t∈[m，]，由y＝cos t的图象可得m．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.已知向量，，，，函数，的最小正周期为．（1）求的单调增区间；（2）方程；在上有且只有一个解，求实数n的取值范围；（3）是否存在实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得++m（-）+1＞f（x2）成立．若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1），（2）或（3）存在，且m取值范围为【解析】【分析】（1）函数，的最小正周期为．可得，即可求解的单调增区间．（2）根据x在上求解的值域，即可求解实数n的取值范围；（3）由题意，求解的最小值，利用换元法求解的最小值，即可求解m的范围．【详解】（1）函数f（x）•1＝2sin2（ωx）cos（2ωx）﹣1＝sin（2ωx）cos（2ωx）＝2sin（2ωx）∵f（x）的最小正周期为π．ω＞0∴，∴ω＝1．那么f（x）的解析式f（x）＝2sin（2x）令2x，k∈Z得：x∴f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z．（2）方程f（x）﹣2n+1＝0；在[0，]上有且只有一个解，转化为函数y＝f（x）+1与函数y＝2n只有一个交点．∵x在[0，]上，∴（2x）那么函数y＝f（x）+1＝2sin（2x）+1的值域为[，2]，结合图象可知函数y＝f（x）+1与函数y＝2n只有一个交点．那么2n＜1或2n＝2，可得或n＝1．（3）由（1）可知f（x）＝2sin（2x）∴f（x2）min＝﹣2．实数m满足对任意x1∈[﹣1，1]，都存在x2∈R，使得m（）+1＞f（x2）成立．即m（）+1＞﹣2成立令y m（）+1设t，那么（）2+2＝t2+2∵x1∈[﹣1，1]，∴t∈[，]，可得t2+mt+5＞0在t∈[，]上成立．令g（t）＝t2+mt+5＞0，其对称轴t∵t∈[，]上，∴①当时，即m≥3时，g（t）min＝g（），解得；②当，即﹣3＜m＜3时，g（t）min＝g（）0，解得﹣3＜m＜3；③当，即m≤﹣3时，g（t）min＝g（）0，解得m≤﹣3；综上可得，存在m，可知m的取值范围是（，）．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．。

2017—2018学年度第二学期期末考试高二数学理科(带答案

2017—2018学年度第二学期期末考试高二数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U A B =U ，则集合）（B A C U I 中的元素共有（） A .3个 B. 4个C.5个D.6个2. 复数3223ii+=-( ) A.1 B.1-C.iD.i -3．已知)1,1(),2,(a n a m -=-=，且n m //，则a=（） A ．﹣1B ．2或﹣1C ．2D ．﹣24. 在区间[]1,1-上随机选取一个实数x ，则事件"210"x -< 的概率为（）A ．12B ．34C ．23D ．145. 已知tan a =4,cot β=13,则tan(a+β)=（）A.711B.711-C. 713D.713-6．在6)2(y x -的展开式中，含24y x 的项的系数是（） A ．15 B ．-15C ．60D ． -607.执行如图所示的程序框图，若输入的a 为2，则输出的a 值是（）A. 2B. 1C.21D.1-8. 设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,（） A.150°B.120°C.60°D.30°9. 甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（） A.150种B.180种C.300种D.345种10．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题,:0R x p ∈∃使得0120≤-x ，则,:R x p ∈∀⌝都有012>-x ；（2）已知),2(~2σN X ，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为32ˆ-=x y；（4）“1≥x ”是“21≥+xx ”的充分不必要条件. A ．1B ．2C ．3D ．411.正方体1111ABCD A B C D -中，若1D AC △外接圆半径为26，则该正方体外接球的表面积为( ) A.2πB.8πC.12πD.16π12.已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，若11(),()a f b ef e e e==--，()1c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（） A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b << D ．a c b <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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无锡市普通高中2018年春学期期终教学质量抽测建议卷高一数学第Ⅰ卷（共70分）一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为120人的样本进行某项调查，则应抽取的男学生人数为．2.等比数列{}n a中，若21a=，58a=，则7a=．3.在ABC∆中，3Aπ∠=，3BC=，6AB=，则C∠=．4.如图，有四根木棒穿过一堵墙，两人分别站在墙的左、右两边，各选该边的一根木棒.若每边每根木棒被选中的机会相等，则两人选到同一根木棒的概率为．5.已知某人连续5次射击的环数分别是8，9，10，x，8，若这组数据的平均数是9，则这组数据的方差为．6.如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是．7.已知实数x，y满足,2,0,y xx yx≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则93x yz=⋅的最大值是．8.在等差数列{}n a 中，0n a >，45a =，则2619a a +的最小值为． 9.设()()11111223341n S n N n n *=++++∈⨯⨯⨯+，且156n n S S +=，则n = ． 10.如图所示，墙上挂有一块边长为a 的正六边形木板，它的六个角的空白部分都是以正六边形的顶点为圆心，半径为2a 的扇形面，某人向此板投镖一次，假设一定能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是．11.在ABC ∆中，已知3C π∠=，BC a =，AC b =，且a ，b 是方程213400x x -+=的两根，则AB 的长度为．12.在R 上定义运算a ※()1b a b =+，若存在[]1,2x ∈，使不等式()m x -※()4m x +<成立，则实数m 的取值范围为．13.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()22n n n S n N *-=∈，若对任意实数[]0,1λ∈，总存在自然数k ，使得当n k ≥时，不等式()()2123243n n n a a λλλ+-≥-++恒成立，则k 的最小值是．14.已知0x >，0y >，则2222629xy xy x y x y+++的最大值是．第Ⅱ卷（共90分）二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 某校有500名学生参加学校组织的“数学竞赛集训队”选拔考试，现从中等可能抽出n 名学生的成绩作为样本，制成如图频率分布表：分组频数频率[)85,950.025 [)95,1050.050 [)105,1150.200 [)115,125 12 0.300 [)125,1350.275 [)135,145 4[]145,155 0.050合计 n1 （1）求n 的值，并根据题中信息估计总体平均数是多少？（2）若成绩不低于135分的同学能参加“数学竞赛集训队”，试估计该校大约多少名学生能参加“数学竞赛集训队”？16. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3cos sin a b C B =+. （1）求角B 的值；（2）若ABC ∆的面积53S =5a =，求b 的值.17. 已知数列{}n a 是首项为12，公比为()1q q ≠的等比数列，且1a ，232a ，32a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b na =，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足不等式16300n T n +-≤的最大正整数n 的值.18. 如图所示，ABC ∆是临江公园内一个等腰三角形．．．．．形状的小湖（假设湖岸是笔直的），其中两腰60CA CB ==米，2cos 3CAB ∠=.为了给市民营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸AC ，AB 上分别取点E ，F （异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF （宽度不计），使得三角形AEF 和四边形BCEF 的周长相等. （1）若水上观光通道的端点E 为线段AC 的三等分点（靠近点C ），求此时水上观光通道EF 的长度；（2）当AE 为多长时，观光通道EF 的长度最短？并求出其最短长度.19. 已知函数()()2223,0f x x mx m m R m =--∈>. （1）解关于x 的不等式()22f x mx m x >+；（2）若当[]1,4x m ∈时，()4f x m ≤恒成立，求实数m 的取值范围.20. 已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，公差0d ≠，若4a ，6a ，10a 成等比数列，714S =；数列{}n b 满足：对于任意的n N *∈，等式1213212n n n n b a b a b a b a n --++++=-都成立.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：；数列{}n b 是等比数列；（3）若数列{}n c 满足2lg n n na cb +=，试问是否存在正整数s ，t （其中1s t <<），使1c ，s c ，t c 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(),s t ；若不存在，请说明理由.试卷答案一、填空题1.602.323.4π 4.14 5.45 6.3 7.27 8.85 9. 10 10.319- 11. 7 12. ()3,2- 13. 53二、解答题15.解：（1）由第四行数据可知120.3n=，所以40n =. 数据[)135,145的频率为()10.0250.050.20.30.2750.050.1-+++++=，则利用组中值估计平均数为900.0251000.051100.21200.31300.2751400.11500.05122.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）成绩不低于135分的同学的概率为0.10.050.15+=，∴该校能参加集训队的人数大约为5000.15=75⨯人.16.解：（1）由3cos sin 3a b C B =+及正弦定理得： 3sin sin cos sin 3A B C C B =+，① 又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，②由①②得3cos sin sin 3B C C B =，在ABC ∆中，∵sin 0C ≠，∴3cos B B =， ∴tan 3B =()0,B π∈，∴3B π=.（2）由1133sin 5322S ac B ====20ac =. 又5a =，所以4c =.由余弦定理，得2222cos 25162021b a c bc A =+-=+-=，故21b =. 17.解：（1）由题意得1323222a a a +=⋅， ∴211123222q q +⋅=⋅⋅，即22310q q -+=，解得1q =或12q =. 又1q ≠，于是12q =， ∴1112n n n a a q -⎛⎫== ⎪⎝⎭. （2）12n n n b na n ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 12311111232222n n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2311111122222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 两式相减得：231111*********n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()1111111122212122212n n n n T n n ++⎛⎫-⋅ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， ∴()1222n n T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. ∴16300n T n +-≤转化为11216n ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， ∴4n ≤. ∴正整数n 的最大值为4.18.解：（1）在等腰ABC ∆中，过点C 作CH AB ⊥于H ，在Rt ACH ∆中，由cos AH CAB AC ∠=，即2603AH =，∴40AH =，80AB =， ∴三角形AEF 和四边形BCEF 的周长相等.∴AE AF EF CE BC BF EF ++=+++，即()()606080AE AF AE AF +=-++-， ∴100AE AF +=.∵E 为线段AC 的三等分点（靠近点C ），∴40AE =，60AF =，在AEF ∆中，2222222cos 4060240602003EF AE AF AE AF CAB =+-⋅∠=+-⋅⋅⋅=， ∴2000205EF ==米.即水上观光通道EF 的长度为5.（2）由（1）知，100AE AF +=，设AE x =，AF y =，在AEF ∆中，由余弦定理，得()2222224102cos 33EF x y x y CAB x y xy x y xy =+-⋅∠=+-=+-. ∵22502x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，∴()2222102100505033EF ≥-⨯=⨯. ∴63EF ≥x y =取得等号，所以，当50AE =米时，水上观光通道EF 506. 19.解：（1）由题意，得()()2221230m x m m x m -+++<即()()130m x m x m -++<⎡⎤⎣⎦①当1m =时，得10x +<，解得1x <-；②当01m <<时，得()301m x x m m ⎛⎫++> ⎪-⎝⎭， ∵()()24340111m m m m m m m m m -----==>---， ∴31m m m ->--解得x m <-或31m x m >--； ③当1m >时，得()301m x x m m ⎛⎫++< ⎪-⎝⎭， ∵()()2434111m m m m m m m m m -----==---. 当4m >时，31m m m ->--，解得31m m x m -<<--；当4m =时，31m m m -=--，()240x +<，解集为空集；当14m <<时，31m m m -<--，解得31m x m m -<<--；综上所述：当01m <<时，不等式解集为31m x x m x m ⎧⎫<->-⎨⎬-⎩⎭或；当1m =时，不等式解集为{}1x x <-；当14m <<时，不等式解集为31m x x m m ⎧⎫-<<-⎨⎬-⎩⎭；当4m =时，不等式解集为ϕ；当4m >时，不等式解集为31m x m x m ⎧⎫-<<-⎨⎬-⎩⎭. （2）()2223f x x mx m =--的图像是一条开口向上的抛物线，关于x m =对称. 由题意：14m >. ①若114m <≤，则()f x 在[]1,4m 上是增函数，从而 ()f x 在[]1,4m 上的最小值是()21123f m m =--，最大值是()245f m m =. 由()4f x m ≤得224234m x mx m m -≤--≤于是有 ()()2211234454f m m m f m m m ⎧=--≥-⎪⎨=≤⎪⎩解得113405m m ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩，∴405m <≤. 又∵114m <≤，∴1445m <≤. ②若1m >，此时()2454f m m m =>.则当14x m ≤≤时，()4f x m ≤不恒成立.综上：使()[]()41,4f x m x m ≤∈恒成立的m 的取值范围是14,45⎛⎤⎥⎝⎦. 20.解：（1）设数列{}n a 公差为d ，由题设得264107,14,a a a S ⎧=⋅⎪⎨=⎪⎩即()()()21111539,72114,a d a d a d a d ⎧+=+⋅+⎪⎨+=⎪⎩解得11,1,a d =-⎧⎨=⎩∴数列{}n a 的通项公式为：2n a n =-.（2）∵1213212n n n n b a b a b a b a n --++++=- ∴()()()()12323412n b n b n b n b n -+-+-++-=-，① ∴()()()()()12311230121n n b n b n b n b b n +-+-+-++⋅+-=-+，② 由②-①得12312n n b b b b b +++++-=-，③ ∴123122n n n b b b b b b +++++++-=-，④ 由④-③得122n n b b ++=，由①知12b =，240b =≠，∴()*212n n b n N b ++=∈. 又212b b =，∴数列{}n b 是等比数列. （3）假设存在正整数s ，t （其中1s t <<），使1c ，s c ，t c 成等比数列，则1lg c ，lg s c ，lg t c 成等差数列.由（2）可知：2n n b =，∴2lg 2n n n n a n c b +==. 于是，12222s t s t ⋅=+. 由于02t t >，所以1122224s s s s ⋅>⇒> 因为当2n ≥时，11110222n n n n n n +++--=<，即2n n 单调递减，所以当4s ≥时，441224s s ≤=，不符合条件，所以2s =或3s =，又1s t <<，所以3t ≥，所以333228t t ≤= 当2s =时，得122t t =，无解，当3s =时，得124t t =，所以4t =，综上：存在唯一正整数数组()(),3,4s t =，使1c ，s c ，t c 成等比数列.。