一阶常微分方程的奇解

摘要 (4)

1.何谓奇解 (5)

2.奇解的产生 (5)

3.包络跟奇解的关系 (6)

4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法 (7)

4.1 克莱罗微分方程 (11)

5.奇解的基本性质 (14)

5.1 定理１ (14)

5.2 定理２ (16)

5.3 定理３ (16)

6.小结 (17)

参考文献： (17)

一阶常微分方程的奇解

摘要

在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。从而我们引出了积分曲线族的包络，而为了求微分方程的奇解，，我们应先求出他的通解，然后求通解的包络。

关键词：奇解，包络，C-判别式，P-判别式

1.何谓奇解

设一阶隐式方程)

x

F=0有一特解

y

,

,

(,y

)(:x y ψ=Γ，j x ∈

如果对每一点Γ∈P ，在P 点的任何一个领域内，方程),,(,y y x F =0都有一个不同于Γ的解在P 点与Γ相切，则称Γ是微分方程的),,(,y y x F =0的奇解

定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域内都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解

2.奇解的产生

先看一个例子，求方程

033=-⎪⎭

⎫ ⎝⎛y dx dy （1） 或与它等价的方程 3y dx

dy = 的解。 经分离变量后，可得（1）的通解

3)(27

1c x y += 容易看出，y=0也是原方程的一个解。现在来研究这个解y=0有什么特殊的地方。由图我们看到，在解y=0上的每一

点)0,(0x 处相切，这种特殊的积分曲线y=0

称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇

解，这就是奇解的产生。

我们现在给出曲线族包络的定义

某些微分方程，存在一些特殊的积分

曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并

不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。在几何学里，这些特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这些特殊的积分曲线所对应的解酒称为方程的奇解。

设给定单参数曲线族

0),,(=Φc y x （1）

其中C 是参数，),,(c y x Φ是x,y,c 连续可微函数。曲线族（1）的包络是指这样的曲线，他本身并不包含在曲线族（1）中，但过这曲线的每一点，有曲线族（1）中的一条曲线和他在这点相切。

例如，单参数曲线族

222)(R y c x =+-

（这里的R 是常数，C 是参数）表示圆心为（C ，0）而半径为R 的一族圆，此曲线族显然有包络

y=R 和 y=-R

（见图1）

3.包络跟奇解的关系

由奇解和包络的定义显然可知，若方程0),,(,=y y x F 的积分曲线族（即通解所对应的曲线族）的包络如果存在，则必定是方程0),,(,=y y x F 的奇解。事实上，在积分曲线族包络上的点（x,y ）处的x,y 和,y （斜率）的值和在该点与包络相切的积分曲线上的x,y 和,y 满足方程0),,(,=y y x F 。这就是说，包络是积分曲

线。其次，在包络的每一点，积分曲线族中都至少有一条曲线与包络相切。因此，包络是奇解，由此可知，如果知道了微分方程

0),,(,=y y x F 的通积分，那么该通积分的包络就是奇解。

4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法

但是，一般的曲线族并不一定有包络，例如同心圆族、平行直线族都是没有包络的，从而我们引出了C-判别曲线与P-判别曲线。

从奇解的定义可知，奇解是一种具有特殊几何意义的特解。正如我们已见到的例子，在求解微分方程时只要注意一些例外情况就会得到这种特解. 这些奇解都是由定义来判定的. 但是由定义来判定奇解比较麻烦，下面介绍两种判别同时也是求奇解的方法：

由微分几何学可知，曲线族（1）的包络包含在由下列方程组

⎩⎨⎧=Φ=Φ0),,(0),,(,c y x c y x c

消去 c 得到所谓 c -判别曲线．必须注意，在C-判别式曲线中有时出去包络外，还有其他曲线。

例1 求直线族

0sin cos =-+p y x αα (1)

的包络，这里的α是参数，P 是常数。

解：将（1）对α求导，得到

0cos sin =+-ααy x （2）

为了从（1），（2）中消去α，将（2）移项，然后平方，有

22222sin cos 2sin cos P =++ααααxy y x （3）

将（2）平方，又得

0sin cos 2cos sin 2222=-+ααααxy y x

（4） 将（3），（4）相加，得到

222P y x =+

（5） 容易检验，（5）是直线（1）的包络（见图2）

例2 求曲线族

0)(32)(2

2=---c x c y （6）

的包络。

解：将（6）对C 求导数。得到

0)(3.32

)(22=-•+--c x c y

即

0)(2=---c x c y （7）

为了从（6）和（7）消去C ，将（7）代进（6），得

0)(32

)(34=---c x c x