一阶常微分方程的奇解
总结一阶常微分方程奇解的求法
总结一阶微分方程奇解的求法摘要：利用有关奇解的存在定理，总结出求一阶微分方程奇解的几种方法，并通过一些具体的例题说明这几种方法的应用Using relevant theorems to develop several methods of finding singular solution of ordinary differential equation. In addition, illustrate the application of these methods through the concrete examples.关键词：常微分方程 奇解 c-判别式 p-判别式方法一：利用c-判别式求奇解设一阶微分方程0,,=⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy y x F ①可求出方程①的通解为()0,,=c y x φ ②如果()()⎩⎨⎧==0,,0,,'c y x c y x c φφ③是微分方程①的解，且对③式满足：()()02'2'≠+yx φφ ④则③是微分方程①的奇解，且是通解②的包络。
例1：方程()222x xy dydx dydx +-=的奇解 解：首先，本具题意求出该微分方程的通解为222c cx y x ++=与42x y =其中c 为任意常数 当时222c cx y x ++=， ()y c cx x c y x -++=222,,φ 其相应的c -判别式为⎩⎨⎧=+=-++02022x 2c x y c cx易得到： ⎩⎨⎧=-=22cy c x代入原微分方程，可知⎩⎨⎧=-=22c y cx 不是原微分方程的解； 当42x y =时，易求出2,1''xy x ==φφ，则有()()02'2'≠+yx φφ故42x y =为原微分方程的奇解例2：试求微分方程()()y y dydx 94221=-的奇解解：首先，根据题意求出微分方程的通解为：()()0322=---y y c x 其中c 为任意常数 再由相应的c-判别式：()()()⎩⎨⎧=--=---020322c x y y c x易求出：⎩⎨⎧==0y c x 或 ⎩⎨⎧==3y c x当⎩⎨⎧==0y c x 时，代入原微分方程成立；所以⎩⎨⎧==0y c x 为原微分方程的解且有()02'=--=c x x φ；()()93232'-=---=y y y y φ满足(Φ‘x )2+(Φ‘y )2≠0易验证⎩⎨⎧==3y c x 不是原微分方程的解故x=c, y=0 是元微分方程的奇解。
数学专业毕业论文选题 (1)
数学专业毕业论文选题一、计算机1.数据库图书查询管理设计2.最优轧板成品率的VFP6编程3.基于VFP6的通讯录设计4.基于Mathematicn的课件设计5.用Mathematica帮助理解中数问题6.基于VFP6的成绩统计7.实用的网上共享数据库录入程序8.通用答卷统计系统的总体设计方案9.通用答卷统计系统的录入编程10.通4用答卷统计系统的统计编程11.通用答卷统计系统的报表设计12.通用答卷统计系统的帮助系统设计二、常微分方程1.一阶常微分方程的奇解的求法(或判定)1.微分方程中的补助函数3.关于奇解的运用4.曲线的包络与微分方程的奇解5.用微分方程定义初等函数6.常微分方程唯一性定理及其应用7.求一阶显微分方程积分因子的方法8.二阶线性微分方程另几种可积类型9.满足某些条件黎卡提方程的解法10.一阶常微分方程方向场与积分曲线11.变换法在求解常微分方程中用应用12.通解中任意常数C的确定及意义13.三阶常系数线笥齐次方程的求解14.三维线性系统15.二阶常系数线性非齐次方程新解法探讨16.非线性方程的特殊解法17.可积组合法与低阶方程(方程组)三、数学分析1.多元函数连续、偏导数存在及可微之间的关系2.费尔马最后定理初探3.求极值的若干方法4.关于极值与最大值问题5.求函数极值应注意的几个问题6.n元一次不定方程整数解的矩阵解法7.导数的运用8.泰勒公式的几种证明法及其应用9.利用一元函数微分性质证明超越不等式10.利用柯西——施瓦兹不等式求极值11.函数列的各种收敛性及其相互关系12.复合函数的连续性初探13.关于集合的映射、等价关系与分类14.谈某些递推数列通项公式的求法15.用特征方程求线性分式递推数列的通项16．谈用生成函数法求递归序列通项17.高级等差数列18.组合恒等式证明的几种方法19.斯特林数列的通项公式20.一个递归数列的极限21.关于隶属函数的一些思考22.多元复合函数微分之难点及其注意的问题23.由数列递推公式求通项的若干方法24.定积分在物理学中的应用25.一个极限不等式的证明有及其应用26.可展曲面的几何特征27.再谈微分中值公式的应用28.求极限的若干方法点滴29.试用达布和理论探讨函数可积与连续的关系30.不定积分中的辅助积分法点滴四、复变函数1.谈残数的求法2.利用复数模的性质证解某些问题3.利用复函数理论解决中学复数中的有关问题3.谈复数理论在中学教学中的运用4.5.谈解析函数五、实变函数1.可测函数的等价定义2.康托分集的几个性质3.可测函数的收敛性4.用聚点原理推证其它实数基本定理5.可测函数的性质及其结构6.6.凸函数性质点滴7.凸(凹)函数在证明不等式中的应用8.谈反函数的可测性9.Lebesgue积分与黎曼广义积分关系点滴10.试用Lebesgue积分理论叙达黎曼积分的条件11.再谈CANTOR集六、高等几何1.二阶曲线渐近线的几种求法2.笛沙格定理在初等数学中的运用3.巴斯加定理在初等数学中的运用4.布里安香定理在初等数学中的运用5.二次曲线的几何求法6.二维射影对应的几何定义、性质定义、代数定义的等价性7.用巴斯加定理证明锡瓦一美耐劳斯定理8.仿射变换初等几何中的运用9.配极理论在初等几何中的运用10.二次曲线的主轴、点、淮线的几种求法11.关于巴斯加线和布利安香点的作图12.巳斯加和布利安香定理的代数证明及其应用13.关于作第四调和点的问题14.锡瓦一美耐劳斯定理的代数证明及应用15.关于一维几何形式的对合作图及应用七、概率论1.态分布浅谈3.用概率思想计算定视分的近似值3.欧拉函数的概率思想证明4.利用概率思想证明定积分中值定理5.关于均匀分布的几个问题6件概率的几种类型解题浅析7．概率思想证明恒等式8.古典概率计算中的模球模型9.独立性问题浅谈八、近世代数①集合及其子集的概念在不等式中的作用②论高阶等差数列②谈近世代数中与素数有关的重点结论④商集、商群与商环⑤关于有限映射的若干计算方法⑥关于环(Z2×2,+,、)⑦关于环(ZP2×2,+,、)(这里Zp是模p的剩余环,p为素数)⑧关于环(Z23×3,+,、)⑨关于环(zPQ2×2,+,、)(这里p、q是两个素数)⑩关于环(Znxn, +、)九、高等代数1.关于循环矩阵2.行列式的若干应用3.行列式的解法技巧4.欧氏空间与柯两不等式5.《高等代数》在中学数学中的指导作用6.关于多项式的整除问题7.虚根成对定理的又一证法及其应用8.范德蒙行列式的若干应用9.几阶行列式的一个等价定义10.反循环矩阵及其性质11.矩阵相似及其应用12.矩阵的迹及其应用13.关于整数环上的矩阵14.关于对称矩阵的若干问题15.关于反对称短阵的性质16.关于n阶矩阵的次对有线的若干问题17.关于线性映射的若干问题18.线性空间与整数环上的矩阵十、教学法1.关于学生能力与评价量化的探索2.浅谈类比在教学中的若干应用3.浅谈选择题的解法4.谈谈中学数学课自学能力的培养5.怎样培养学生列方程解题的能力6.谈通过平面几何教学提高学生思维能力7.谈数列教学与培养学生能力的体会8.创造思维能力的培养与数学教学9.数学教学中的心理障碍及其克服10.关于启发式教学11.浅谈判断题的解法12.对中学数学教学中非智力因素的认识13.数学教学中创新能力培养的探讨14.计算机辅助数学教学初探15.在数学课堂教学中运用情感教育16.在数学教学中恰当进行数学实验17.数学语言、思维及其教学18.在平面几何教学中渗透为类比、猜想、归纳推理的思想方法19.试论数学学习中的迁移20.数学例题教学应遵循的原则十一、初等数学1.数学证题中的等价变换与充要条件2.关于充要条件的理解和运用3.参数方程的运用4.极坐标方程的运用5.怎样证明条件恒等式6.不等式证明方法7.极值与不等式8.证明不等式的一种重要方法9.谈中学二次函数解析式的求法10.二元二次方程组的解11.谈数列求和的若干12.谈立体几何问题转化为平面几何问题的方法13.求异面直线距离的若干方法14.利用对称性求平面几何中的极值15.浅谈平面几何证明中的辅助线16.浅谈对称性在中学数学解题中的运用17.浅谈韦达定理的运用18.论分式方程的增根19.数列通项公式的几种推导方法20.函数的周期及其应用21.数学归纳法的解题技巧22.等价关系的几种判定方法23.数学归纳法及其推广和变形24.浅谈用几何方法证明不等式25.浅谈初等数学中的不等式与极值26.几个不等式的推广27.函数的概念及发展28.组合恒等式的初等证明法29.谈用生成函数计算组合与排列30.试论一次函数的应用。
一阶常微分方程解法总结
故 G ( x, y ) = x + 3 x y + y ，由 dG = 0 ，得到
x 3 + 3 x 2 y 2 + y 4 = C , (C为常数)
(5)、积分因子法： 方程 M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0, $µ ( x, y ), s.t. µMdx + µNdy = 0是一个恰当方程 ， 那么称 µ ( x, y ) 是原方程的积分因子；积分因子不唯一。
解：由题意得到， M ( x, y ) = 3 x + 6 xy , N ( x, y ) = 6 x y + 4 y
2 2 2
3
由
¶M ¶N = 12 xy = 得到，原方程是一个恰当方程； ¶y ¶x ¶G ( x, y ) ¶G ( x, y ) = M ( X , y ), = N ( x, y ) ¶x ¶y
2 2
y x dy = 2 dx 两边积分得到 2 1- y x -1
ln x 2 - 1 + ln y 2 - 1 = ln 2 - 1)( y 2 - 1) = C
(C ¹ 0) ；
当 ( x - 1)( y - 1) = 0 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为 ( x - 1)( y - 1) = C
以上都可以化为变量可分离方程。 例 2.1、
dy x - y + 5 = dx x - y - 2
解：令 u = x - y - 2 ，则 dy = dx - du ，代入得到 1 -
du u + 7 = ，有 udu = -7 dx dx u
(C为常数) 。
所以
u2 = -7 x + C 2
一阶微分方程奇解的两个判别式
）
例 ４ 、求
的奇解。
解：方程的通解为
，
法二，方程的通解为 Ｙ ＝ Ｃ ｘ ＋ Ｃ２，
既然某些一阶微分方程的奇解既可以用Ｐ－ 判别式来求又可以用 Ｃ－ 判别式来求，那么能否 将 Ｐ－ 判别式和 Ｃ－ 判别式联合来求奇解呢？
例 ６ 、求 解：令 ｙ ′＝ ｐ ，
的奇解。
；用 Ｃ－ 判别式求出的解满足非
创新意识与能力的客观条件。作为人民教师， 肩负振兴民族教育的重任，不仅要有无上的光 荣感，更要有强烈的责任感、使命感，不断 提高自身素质，勇于探索、努力创新，为振 兴教育，推进素质教育打下坚实地基础，承 担起知识和技术创新以及创新人才培养的伟大 历史使命。
参考文献： ［１］ 吴丽萍．增强主体意识培养创新能力［Ｊ］．青 海教育论坛．２００４年 ６月 ［２］ 惠淑英，徐贵友．师继续教育应注重教师 创造素质的培养［Ｊ］．中国教育和科研．２００３年７ 月 ［３］ 朱永新，杨树兵．创新教育与教育创新［Ｊ］． 江苏教育研究．９９ 年 ５月 ［４］ 高淑贤．面向未来．培养具有创新精神的师 资队伍［Ｊ］．２０００年１０月（第４期 ）
总之，时代呼唤创新人才的培养，创新 人才的培养呼唤创新教育。真正意义上的创 新教育必须要有一支具有很强创新意识和创新 能力的教师队伍，尤其是承担高等教育和职 业教育的大学教师队伍。教育机构和教育管 理机构，在制订各项制度时应更为人性化， 为教师增强创新意识与能力提供必要的环境和 条件，积极鼓励创新，这些是增强大学教师
１ ，问题的提出
对于一个一阶微分方程，如果此方程有除了
通解之外的奇解，则此奇解一定满足两个判别式，
即 Ｐ－ 判别式和 Ｃ－ 判别式。
定理一［１］ 设函数Ｆ（ｘ，ｙ，ｐ）对（ｘ，ｙ，ｐ）∈Ｇ是连
试论常微分方程的奇解
试论常微分方程的奇解摘要: 一阶微分方程拥有含有一个任意常数的通解,另外可能还有个别不含于通解的特解,即奇解,利用P-判别法和C-判别法可以求出奇解,而这两种判别法是否适用于求每一个一阶微分方程的奇解?此文中举了几个例子来说明这个问题.并给出另外三种求奇解的方法.关键词: 一阶微分方程,奇解,P-判别式,C-判别式,C-P消去法,拾遗法,自然法.Discussing Singular Solution about First OrderDifferential EquationZHU Yong-wang(Class 1, Grade 2006, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Professor LI Jian-minAbstract: First order differential equation has a general solution which contains an arbitrary constant, but sometimes it has specialsolution that is singular solution, which can be solved by the P-judgment method and C-judgment method(Whilewhether the two judgments can be applied to get every singularsolution to the first order differential equation? This paper intends to illustrate this problem with several examples(Key words: Singular solution, P-judgment, C-judgment, C-Pelimination method, The supplement method, Natural method.1(引言一般来说一阶常微分方程拥有任意常数的通解,另外还有个别不含于通解的特解.这种特解可以理解为通解的一种蜕化现象.它在几何上往往表现为解的唯一性遭到破坏.早在1649年莱布尼兹就已经观察到解族的包络也是一个解.克莱络和欧拉对奇解作了某些讨论,得出了P,判别式求奇解的方法.拉格朗日对奇解和通解的联系作了系统的研究,给出C,判别式求奇解的方法和奇解的积分曲线族的包络这一几何解释.2(奇解、包络、C-判别式、P-判别式的定义及问题出近几年许多学者对常微分方程这方面特别关注,在一阶常微分方程有奇解的条件、常微分方程奇解的求法、摆线的构成和奇解的联系、Cornwall不等式的应用及微分方程的奇解等方面有大量的文章发表,由此可见,人们对微分方程的奇解有了很深的认识.微分方程的奇解在常微分方程的解中具有特殊的地位.奇解的定义:微分方程的某一个解称为奇解,如果在这个解的每一个点上至少还有方程的另外一个解存在,也就是说奇解是这样的一个解,在它上面的每一个点唯一性都不成立,或者说奇解对应的曲线上每一个点至少有方程的两条积分曲线通过.,包络的定义:设在平面上有一条连续可微的曲线,.在曲线族q,,**,KCKCq中都有一条曲线通过点并在该点与相切,而且在VxyC,,0,，，，，，，,,q点的某一邻域内不同与,则称曲线为曲线族的一支包VxyC,,0,，，络.从奇解和包络的定义容易知道一阶微分方程的通解的包络(如果它存在的话)一定是奇解;反之,微分方程的奇解(若存在的话)也是微分方程的通解的包络.因而,为了求微分方程的奇解,可以先求出它的通解,然后求通解的包络.对于一阶微分方程,如果此方程有除了通解之外的奇解,则此奇解一定满足两个判别式,即P,判别式和C,判别式.1,,1定理:设函数F(x,y,p)对(x,y,p)G,是连续的,而且对y和p有连续的偏微'''Fxyy(,,)0,商和,若函数y= (x) (xJ),,是微分方程的一个奇解,并且FFyp 'x. (x). (x)G (xJ),,,,,则奇解y=(x)满足一个称之为P-判别式的联立方程，，'Fxyp(,,)0,py, , 其中. Fxyp,,0,，，p1,,'2Fxyy(,,)0,定理:设微分方程有通积分Vxyc(,,)0,又设积分曲线Vxyc(,,)0,y= (x),有包络为则奇解满足C,判别式的联y= (x) xJ,,，，'立方程 ,. Vxyc(,,)0,Vxyc(,,)0,c以上两个定理是奇解的必要条件,也就是说用C,判别式和P,判别式求出的解不一定是微分方程的解,如果是微分方程的解也不一定是奇解,但是在求一阶微分方程的奇解时通常都会采用这两个判别式.由中奇解部分的定理2和定理51,, 知,只要求解是微分方程的解,用P,判别式求出的解满足:',Fxyp(,,)0,y, , ,''Fxyp(,,)0,,pp,用C-判别式求出的解满足非蜕化条件:'',,,CC,0,0,，，，，，，，，, , ,''VV,0,0,，，，，,xy,则此解就是奇解,既然C,判别式和P,判别式是求奇解的方法,那么是不是这两个判别式(C,判别式和P,判别式)对所有一阶微分方程求奇解都有效? 3(几个例子利用P,判别式和C,判别式对一些一阶微分方程进行求解的运算,看看会出现什么样的结果?2'yyx，,,0【例1】: 求的奇解，，'yp, 解: 令,利用P,判别式:2,pyx，,,0; ,20p,,yx,yx,消去P得,但不是微分方程的解, 所以原方程无奇解.我们可以发现利用P,判别式求出的解不一定是奇解.那么利用C,判别式所求出的解是不是一定是方程的奇解呢?我们接着看下一个例子.2,3'3,yy【例2】: 求的奇解. 535解:原方程的通解为:yxc,，，，C,判别式为:3,5yxc,，,0，，, ; ,23,3,xc，,0，，5,消去C得y=0,但不是方程的解,所以原方程无奇解. y=0以上两个例子充分说明了C,判别式和P,判别式是求奇解的必要条件.2xy'，，yyye,,1【例3】: 求微分方程的奇解. ，，，，解: 原方程的P,判别式为:2xy2,ypye,,,10，，, ; ,2210py,,，，,,消去P得 y=0易知是微分方程的解. y=0而且:',Fxyp(,,)10,,,y, ,''Fxyp(,,)20,,,pp,所以y=0是微分方程的奇解.1,,24'，，【例4】: 求. yyy,,1，，，，9解: 首先我们不难求出微分方程的通积分:22xcyy,,,,30 (),，，，，由C,判别式:22,xcyy,,,,30，，，，,(其中C为任意常数) ,,,,20xc，，,,确定二支连续可微的曲线y,0和y,3,对他们分别作如下形式的参数表示式:,y,0 :xc, ,,,,,c，，1,y,3 : xc, ,,,,,c，，2,容易验证满足相应的非蜕化条件: 1'',,,CC,0,0,，，，，，，，，,, ,''VV,0,0,，，，，,xy,,因此是积分曲线族的一支包络,从而它是微分方程的奇解. (),1,,而不满足相应的非蜕化条件,所以还不能断言是否为包络,不过我们22(),,可以利用简单的作图得知不是曲线族的包络,因此它不是奇解,虽然它是2 微分方程的解.从例3、例4两题中,可以发现,如果利用P,判别式来求奇解可以直接从方程出发,而如果要用C,判别式需要求出通解,但是无论用哪一判别式要使求得的解为奇解,则此解一定满足:用P,判别式时满足:',Fxyp(,,)0,y,; ,''Fxyp(,,)0,,pp,用C,判别式时满足:'',,,CC,0,0,，，，，，，，，,. ,''VV,0,0,，，，，,xy,对于一些微分方程既能用P,判别式又能用C,判别式求奇解,我们接着看一道例题.5,,2dydy,,，,,xy0【例5】: 求的奇解( ,,dxdx,,dy解: 法一:令,则P-判别式: ,pdx2,pxpy，,,0 ; ,20px，,,2xy,,消去P得. 42ycxc,，法二:方程的通解为C,判别式:2,ycxc,,,0 ; ,xc，,20,2x消去C得y,,,满足非蜕化条件: 4'',,,CC,2,20,0,,,，，，，，，，，，，, ,''VVc,,10,0,,,，，，，，，,x y,2xy,,所以是奇解. 4由例5知:既然某些一阶微分方程既可用P,判别式来求奇解又可用C,判别式求奇解.那么能否将P,判别式和C,判别式联合起来求奇解呢? 4(新判别法在我们的教材和资料中我们通常采用P,判别式和C,判别式来求一阶微分方程的奇解,然而对于某些问题,P,判别式和C,判别式这两种方法求奇解比较困难.因此还有其他方法来求奇解,这些新方法用起来比较方便,通过查阅资料和文献,人们对新解法研究的比较少,在此介绍三种新的解法,方便对一阶微分方程求奇解.4.1. C,P消去法9,,2348''【例6】: 求的奇解. xyyy,,,，，，，927'yp,解: 令P,判别式:48,23xypp,,,,,927; ,82,pp,,0，，,9,消去P得:4yx,及 yx,,27方程的通解为:23ycxc,,, ，，，，C,判别式:23,ycxc,,,,0，，，，,; ,2230ycxc,,,,，，，，,,44消去C得.则为奇解. yx,,yx,,2727例6中介绍了一种新方法, C,P消去法::联合P-判别式和C-判别式,从P,判别式得到解和从P,判定义,xy,0,，，中寻得公共单因式,令其为零,一般就是奇解. 别式得到解,xy,0,，，4,,yxyx,,，,0在例6中,由P,判别式得到,由C,判别式得到，，,,27,,444,它们的公共单因式为,令其为零,即. yx,,yx,，,0yx,，,02727272xpxpy，,,20【例7】: 求的奇解.2xpxpy，,,20解: 从和中消去P得:y=-x 220xpx，,2yxpxp,，2再求通解,将方程写成112dxdypdypxdppdxxdp,,，，，(222) ppdxdp,,即 2xp2()4ycxc,,通积分为:从2()4ycxc,,,,,2()4ycc和中消去C得:yx,, 及 x,0yx,,按C,P消去法知是奇解.就特殊方程:dy ,fxy,，，dx假设连续.给出以下两种特殊的求奇解的方法.即自然法和拾遗法. fxy,，，6,,4.2. 自然法,,,f定义:当点集L,不是孤立点集,而是有分支时,则 yx,,(,)|xy,,，，,,,y,, 可能是奇解. yx,,，，,fdydy对于当连续,则只要有界,就能保证的,fxy,fxy,,fxy,，，，，，，,ydxdx,f解存在唯一,所以当时,他就可能破坏了解的唯一性. ,，,,y'2,yy,,1【例8】: 求 (|y|1)的奇解.,,fy2fxyy,1,,, 解: ，，2,y1,y,f当y,,1时, ,，,,y所以可能破坏解的唯一性,它可能是奇解. y,,1验证: (1) 显然是方程的解. y,,1,, (2) 由分离变量法求得通解是:yxc,，sin() (),,，,xc22,在y,1上任取一点通解表达式中有解 x,1yxxxx,，,,,sin()cos()，，0002 'y,0通过点且其上导数 ,即此解与y,1相切,故y,1是奇解. x,1，，0同理:y,,1也是方程的奇解.7,,4.3. 拾遗法dy定义:当方程在求通积分的过程中,经常遇到分离变量,方程两边,fxy,，，dx 需要同时除以不含导数的因式,则令这个因式等于零,可能得到奇解.因为方程两边同时除以含有x、y的因式时,原方程可能遗失了解,当然有可能遗失了方程的奇解.2x,1【例9】: 求的奇解. xxdydx10,,,，，2解: 除以因式得: xx1,dx dy,2xx1,积分后得通解:xyc,，ln|| 211，,x2但令消去因子为零,即得; xx10,,x,0x,,1验证: (1) 它们都是方程的解;xlimln||,,,(2) 有 2x,011，,xxxlimln||limln||0,, 22xx,,11,，1111，,，,xx前者说明通解表达式中没有解与相交; x,0后者说明通解表达式中有解与.相交,且从方程本身看出交点上的斜率x,,1'y,,,都是因此得结论:是正常解,是奇解. x,0x,,15(结论以上五种是判定奇解的方法,都需验证所得曲线是否真是奇解,这个验证步骤有时比较麻烦,若C,判别式和P,判别式容易求得时,,xy,0,,xy,0,，，，，方法C,P 削去法常是可取的.从以上的几个例子中,在利用两个判别式求一阶微分方程的奇解时,会出现以下几种情况:(1) P,判别式和C,判别式均可用来求奇解;(2) P,判别式与C,判别式联合可求方程的奇解;(3) 当一阶微分方程的一阶导数的次数为一次时,P,判别式不可求奇解,但C,判别式未必失效;(4) 当一阶微分方程的通解中常数C的次数为一次时,C,判别式不可求奇解,并且导致P,判别式也不可求奇解,此时只能另找他法.参考文献丁同仁、李承志.常微分方程教程.高等教育出版社,1991年. 1M,,,,钱祥征.常微分方程解题方法.湖南科学技术出版社,1984年. 2M,,,,王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松.常微分方程.高等教育出版,1978年 .3M,,,,何永葱.关于常微分方程奇解判别的注记.内江师范高等专科学校学4J,,,,报,2000年第15卷第2期:1,3.路畅、智婕.一阶微分方程奇解的两个判别式.科学教育论坛,2005年第5J,,,,24期:207,211.张维琪.浅谈奇解的求法.吉安师专学报,1989年第6期:5,10. 6J,,,,谷丽彦.微分方程奇解的求法及存在性的条件.河北师范学院学,1993年7J,,,,第3期:27,31.曾庆健.一类常微分方程奇解的求法.安徽电子信息职业技术学院学报 8J,,,, 2004第5、6期第225页.张少霞.常微分方程奇解的讨论J.工科数,第13卷第4期,1997年8月:1339,,,,,136.。
两类一阶常微分方程有奇解的条件_何永葱
收稿日期：２００７－０６－１２作者简介：何永葱（１９５７－），男，四川宜宾人，重庆教育学院编审，从事常微分方程及其应用研究。
Ｎｏｖｅｍｂｅｒ，２００７第２０卷第６期重庆教育学院学报Ｖｏｌ．２０Ｎｏ．６２００７年１１月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｏｎｇｑｉｎｇＣｏｌｌｅｇｅｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ求一阶常微分方程的奇解是非常困难的。
通常是利用奇解存在的必要条件求出可能是奇解的函数；验证这些函数是不是微分方程的解；如果有函数是微分方程的解，再求微分方程的通解；最后验证解是不是通解的包络。
其中求通解与验证特解是不是通解的包络是不容易实现的。
最近文献［１］或［２］给出了一个不用求通解而判断微分方程的解是奇解的一个充分条件。
定理对于一阶微分方程Ｆ（ｘ，ｙ，ｄｙｄｘ）＝０（１）设函数Ｆ（ｘ，ｙ，ｐ）对（ｘ，ｙ，ｐ）∈Ｇ是二阶连续可微的。
又设其ｐ－判别式Ｆ（ｘ，ｙ，ｐ）＝０Ｆ′ｐ（ｘ，ｙ，ｐ）＝０（消去ｐ后）得到的函数ｙ＝ψ（ｘ）（ｘ∈Ｊ）是微分方程（１）的解。
而且设条件Ｆｙ′（ｘ，ψ（ｘ），ψ′（ｘ））≠０Ｆｐｐ″（ｘ，ψ（ｘ），ψ′（ｘ））≠０以及Ｆ′ｐ（ｘ，ψ（ｘ），ψ′（ｘ））＝０对ｘ∈Ｊ成立。
则ｙ＝ψ（ｘ）是微分方程（１）的奇解。
用该定理来一般性地研究一阶微分方程的奇解作者还未见到。
下面用该定理研究两类一阶微分方程ａ（ｘ）（ｄｙｄｘ）ｎ＋１－ｙ（ｄｙｄｘ）ｎ＋ｂ（ｘ）＝０（Ⅰｎ）ｙ＝ａ（ｘ）（ｄｙｄｘ）ｎ＋１＋ｂ（ｘ）（ｄｙｄｘ）ｎ＋ｃ（ｘ）（Ⅱｎ）存在奇解的条件，得到的结论简明实用。
１微分方程（Ⅰｎ）存在奇解的条件对于微分方程（Ⅰｎ），其中ａ（ｘ），ｂ（ｘ）在区间Ⅰ上是连续可导的，且ａ（ｘ）≠０，ｂ（ｘ）≠０。
这时Ｆ（ｘ，ｙ，ｐ）＝ａ（ｘ）ｐｎ＋１－ｙｐｎ＋ｂ（ｘ）＝０Ｆ′ｐ（ｘ，ｙ，ｐ）＝（ｎ＋１）ａ（ｘ）ｐｎ－ｎｙｐｎ－１＝ｐｎ－１（（ｎ＋１）ａ（ｘ）ｐ－ｎｙ）＝０消去ｐ得到的函数ｙ#＝ｎ＋１ｎａ（ｘ）・ｄ（ｘ），其中ｄｎ＋１（ｘ）＝ｎｂ（ｘ）ａ（ｘ）≠０。
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法微积分理论中，微分方程是一个非常重要的分支，它们通常用来描述一些变化或进化过程中的物理现象、生物现象或经济现象等等。
其中，一阶常微分方程是微分方程中最简单的一类。
在这篇文章中，我们将介绍一阶常微分方程的求解方法。
一、分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程最简单也是最常用的方法。
这个方法的基本思想是将微分方程中的变量分开，并将每个变量移到不同的方程两侧，最终得到可以分别积分的两个方程。
具体来说，如果给定一个一阶常微分方程$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$我们可以将它改写为$$dy=f(x,y)dx$$然后对两边同时积分，得到$$\int dy=\int f(x,y)dx+C$$其中C为常数。
这个方法的局限性在于只适用于一些特定的微分方程，例如y'=ky这类的方程就可以很容易地用这个方法求解。
举个例子，考虑方程$$\frac{dy}{dx}=x^2y$$我们将它改写为$$\frac{dy}{y}=x^2dx$$然后对两边同时积分，得到$$\ln|y|=\frac{1}{3}x^3+C$$最终解为$$y=Ce^{\frac{1}{3}x^3}$$其中C为常数。
二、齐次方程如果方程中的所有项均能够写成y和x的某个函数的乘积，那么这个方程就是齐次方程。
对于这类方程，我们可以利用变量替换来把它转化为分离变量的形式。
具体来说，如果给定一个一阶常微分方程$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$我们可以进行变量替换，令y=ux，其中u是关于x的未知函数。
因此，$$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$$将其带入原方程，得到$$u+x\frac{du}{dx}=f(u)$$将u视为自变量，x视为函数，可转化为$$\frac{dx}{du}=\frac{1}{f(u)-u}$$然后对两边同时积分，得到$$x=\int \frac{1}{f(u)-u}du+C$$最后将u替换成y/x即可。
一阶微分方程的奇解及其逆问题
一阶微分方程的奇解及其逆问题摘要介绍了导数已解出的一阶微分方程和导数未解出的一阶微分方程的奇解问题，通过相关实例进行了说明.同时.考虑了常微分方程奇解的逆问题.关键词奇解;包络;通解;P-判别曲线;C-判别曲线;逆问题The singular solution of first oder ordinary differential equationand its inverse problemAbstract In this paper, we introduce the singular solution of the first oder ordinary differential equation by giving corresponding examples. Meanwhile, we also consider the inverse problem of the singular solution of ordinary differential equation.Keywords Singular solution; envelope; general solution; P-judging curve; inverse problem一阶微分方程的奇解及其逆问题1 概念例1.1.1 求微分方程 2-)(22xdxdy xdxdy y += 的解.解 令 dxdy p =代入方程得2-22xxp p y +=. （1）两边对x 求导 0)-2)(1-(--2=→+=x p dxdp x p dxdp x dxdp pp .由c x p x p +=→=0-2 代入（1）得方程的通解 222c cx xy ++=. （2）由20-2x p x p =→=代入（1）得42xy =，经验证此为原方程的解. 从图1中我们可以看到，此解与方程通解（2）中的每一条积分曲线均相切.对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这方程的积分曲线族中，但是，在这条特殊的积分曲线上的每个点处，都有积分曲线族的一条曲线和它在此点相切，在几何中，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为微分方程的奇解.下面我们分别给出曲线族包络和微分方程奇解的定义.定义1 设给定单参数曲线族 Φ（x,y,c ）=0其中c 是参数，Φ（x,y,c ）是x,y,c 的连续可微函数，曲线族Φ（x,y,c ）=0 的包络是指这样的曲线，它本身并不包含在这曲线族Φ（x,y,c ）=0 中但这曲线的每一点，都有曲线族Φ（x,y,c ）=0 中的一条曲线和它在这点相切.定义2 设有微分方程的一条积分曲线，若在它上面的每一点处方程的解的唯一性都被破坏，则称这条积分曲线所对应的解是微分方程的奇解.根据定义我们可以得出：对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这方程的积分曲线族.但是，在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切.在几何学中，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络.在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解. 2 对于导数已解出的一阶微分方程的奇解本节给出寻找导数已解出的一阶微分方程（3）的奇解的方法和步骤.按定义，奇解就是破坏了微分方程解的唯一性的解，我们知道，导数已解出的一阶微分方程的解的存在唯一性定理为.定理 2.1 给定微分方程，若函数满足如下条件：1）函数在闭区域≤，≤b(a 、b>0)上是连续的.2）函数在R 上满足利普希茨条件，即存在常数L>0，对于所有的点∈R 都有≤，则方程（3）存在唯一的解上，连续且满足初始条件，这里,.由于利普希茨条件难于检验，常用在R 上有对y 的连续偏导数来代替，因为若在R 上,存在且连续，则yf ∂∂在R 上有界，设在R 上Lyf ≤∂∂，则yy y y x f y x f y x f ∂+∂=))-(,(),(-),(12221θ,,其中R y x y x ∈),(),,(2110<<θ, 即若),(y x f 在R 上有连续偏导数，则在R 上),(y x f 一定满足利普希茨条件，但反之不成立.(,)dy f x y dx=(,)dy f x y dx=(,)f x y (,)f x y 0:R x x -a 0y y -(,)f x y 12(,),(,)x y x y 12(,)(,)f x y f x y -12L y y -y =φ(x)0x x h -≤00 φ()y x =m in(,),m ax{(,)}b h a M f x y M==(,)x y R ∈(,)f x y 1212y y L y y --≤通过上面的分析知，当yf ∂∂的有界性被破坏时，方程（3）的解的唯一性将有可能被破坏.因此若要寻求导数已解出的方程（3）的奇解，只能在使得yf ∂∂的有界性被破坏的函数)(x y φ=中去寻找，这样我们就得到寻求方程（3）奇解的步骤：A 求使yf ∂∂为正无穷的函数)(x y φ=)),((连续y x fB 验证函数)(x y φ=是否为方程（3）的解C 若)(x y φ=是方程（3）的解，再验证唯一性，若)(x y φ=中的每一点的唯一性都不成立，则此)(x y φ=为方程的解.例2.1.1 求微分方程2y -1=∂∂yf 的奇解.解 方程右端2-1),(y y x f =在11-≤≤y 内连续，2y-1y -=∂∂yf 在直线1±=y 上，yf ∂∂为无穷大，显然1±=y 为方程的解，可以看出在直线1±=y 上的每一点，都有原方程通解)sin(c x y +=中的一条曲线与它们相切，所以1±=y 为方程的奇解.3 对于导数未解出的一阶微分方程的奇解3.1利用c-判别曲线求奇解我们知道，微分方程积分曲线族的包络所对应的解一定是奇解，现在我们讨论曲线族的包络应满足的条件.设0),,(=c y x φ （4） 为一曲线族，由微分几何学可知，曲线族（4）的包络包含在由下列方程组),,(,0),,({'==c y x c y x φφ 消去C 而得到的曲线之中，此曲线称为曲线族（4）的C-判别曲线.我们注意到，在C-判别曲线中有时除去包络外，还有其它曲线.C-判别曲线中究竟哪一条是包络尚需实验检验.例3.1.1 求曲线族 2c cx y +=的包络，在这里C 是参数.解 将2c cx y +=对C 求导数，得到02=+c x . 从02{2=++=c x ccx y 中消去C ，得到042=+y x .所以，曲线族2c cx y +=的包络为042=+y x .例3.1.2 求曲线族01-22=+cx y c 的包络，在这里C 是参数.解 将01-22=+cx y c 对C 求导，得到022=+x cy ，从⎩⎨⎧=+=+，01-,02222cx y c x cy 中消去C ，得到044=+y x .所以，曲线族01-22=+cx y c 的包络为044=+y x .3.2 利用p-判别曲线求奇解 首先我们引入一个定理.定理 3.2 如果在点),,('000y y x 的某一邻域中，a) ),,('y y x F 对所有变元),,('y y x 连续，且存在连续偏导数； b) ),,('000y y x F =0； c)0),,(''000≠∂∂yy y x F ，则方程),,('y y x F =0存在唯一解h x x x y y ≤=0-),(（h 为足够小的正数）满足初值条件'00'00)(,)(y x y y x y ==.由上述定理知道，如果),,('y y x F 关于',,y y x 连续可微，则只要0≠∂∂yF 就能保证解的唯一性，因此，奇解（如果存在的话）必须同时满足下列方程),,('y y x F =0，0),,(''=∂∂yy y x F .于是我们有以下结论：方程0),,(=dxdy y x F （5）的奇解包含在由方程组)(0),,(0),,({'dxdy p p y x F p y x F p ===消去P 而得到的曲线中，这里),,(p y x F 是p y x ,,的连续可微函数.此曲线称为方程（5）的P-判别曲线.P-判别曲线是否是方程的奇解，尚需进一步检验.例3.2.1 求方程01-)(22=+y dxdy 的奇解.解 从⎩⎨⎧==+0201-22p y p 中消p 得到p-判别曲线1±=y .经验证，此两直线都是方程的奇解.因为容易求得原方程的通解为)sin(c x y +=，而1±=y 是微分方程的解，且正好是通解的包络.3.2.1应用p-判别曲线一般性的求解微分方程的奇解用这个定理来求解以下两类一阶微分方程的奇解 （A ） 0)()(-))((1-=+x b dxdy y dx dy x a n n.（B ）)())(())((1-x c dxdy x b dxdy x a y n n++=.首先来讨论微分方程（A ），其中a(x),b(x)在区间I 上是连续可导的，且.0≠)(,0≠)(x b x a 这时0)(-)(),,(1-=+=x b yp p x a p y x F n n 0]1)-(-)([)1-(-)(),,(2-2-1-'===y n p x na pyp n px na p y x F n n n消去p 得到的函数),()(1-_x d x a n n y •=其中.0)()()1-()(≠=x na x b n x d n)()(-))((),,(1-_'__'_'_x b y y y x a y y x F n +=)]()(1-)()(-[))(()(1--))((1-_'_'x d x a n n x d x a y x d x a n n y x a nnn n++=))]()()((1--)()()][()[(∑∑2-0-2-_'1-0-1-_'_'x d y x d n n x d y x d y x a in i in in i in ===因此，0(x)-_'=d y 时，_y 是微分方程（A ）的解，而且又有)](-[))(()())((-))((),,(_'2-_'2-_'1-_'_'_'_'x d y y x na x d y x na y x na y y x Fn n n y==.0)(-),,(1-_'_'_'_≠=n y y y y x F 由于)(_'x d y =则)())(())(()()2-(-))(()1-(),,(3-_'3-_'2-_'_'_''_'_'≠•==x d y x na y x d x a n n y x a n n y y x Fn n n yy由此可知，对于微分方程（A ），假设a(x),b(x)在区间I 上是连续可导的，且.0)(,0)(≠≠x b x a 若满足.0)(-_'=x d y 即.0)(-)]()(1-['=x d x d x a n n其中.)()()1-()(x na x b n x d n=则微分方程有奇解：).()(1-_x d x a n n y •=再来讨论微分方程（B ），对于微分方程（B ）其中a(x),b(x),c(x)在区间I 上是连续可导的，且.0≠)(,0≠)(x b x a 这时0-)()()(),,(1-=++=y x c p x b p x a p y x F n n)]()1-()([)()1-()(),,(2-2-1-'=+=+=x b n p x na ppx b n px na p y x Fn n n p消去p 得到函数：)()()()()(1-_x dx b x d x a x c y n n+•+=，其中.0)()(1)-(-)(≠=x na x b n x d))]()()(())()()(()][(-[)()(-)()(-))(())((-)())(())((),,(∑∑2-0-2-_'1-0-1-_'_'1-1-_'_'_1-_'_'_'_x d y x b x d y x a x d y x dx b x d x a y x b y x a yx c y x b y x a y y x F in i in in i in n nn nn n==+=+=++=因此，当.0)(-_'=x d y 时，_y 是微分方程（B ）的解.又.0))(()1-(-),,(01-),,(0)](-[))((),,(2-_'_'_''_'_'_'2-_'_'_'_'_'__'≠=≠===n yy y n yy x b n y y x Fy y x F x d y y x na y y x F从而，对于微分方程（B ），假设a(x),b(x),c(x)在I 上连续可导，且.0)(,0)(≠≠x b x a 又满足条件.0)(-_'=x d y 即0)(-)]()()()()(['1-=++x d x d x b x d x a x c n n其中.0)()(1)-(-)(≠=x na x b n x d 则（B ）有奇解：).()()()()(1-_x dx b x d x a x c y n n +∙+=3 .3克莱罗方程的奇解 我们把形如)(p f xp y += （6）的方程，称为克莱罗方程，其中)(,p f dxdy p =是p 的连续可微函数.-下面讨论克莱罗方程的奇解.将)(p f xp y +=两边对x 求导，并以dxdy p =代入得dxdp p f p dxdp xp )('++= 即0))(('=+p f x dxdp1、若=dxdp cp =⇒，所以原方程的通解为)(c f cx y +=；2、若0)('=+p f x 将此与原方程合起来有 ⎩⎨⎧+==+)(0)('p f xp y p f x .消去P 也得到方程的一个解.分析 1）从1知克莱罗方程的通解是一族直线. 2）通解的形式就是在原方程中用C 代P 而得到的.3）从2知，求此解的过程正好与从通解)(c f cx y +=中求包络的步骤一样（也和求（6）的P-判别曲线的过程一样），并且此解为积分曲线族)(c f cx y +=的包络)01),,(('≠=c y x y φ，因此克莱罗方程总有解.4）从（3）知，对克莱罗方程而言，P-判别曲线和方程通解的C-判别曲线都是方程通解的包络，从而为方程的奇解.例3.3.1 求方程pxp y 1+=（其中dxdy p =）的奇解解 此方程为克莱罗方程，因此其通解为ccx y 1+=从⎪⎩⎪⎨⎧+==c cx y c x 101-2 中消去C 得到x y 42=.由前后讨论知x y 42=为方程的奇解.4 微分方程奇解的逆问题我们考虑微分方程奇解的逆问题：求一微分方程已一个已知函数)(x y φ=为奇解.下面，用上述方法和结论来解决微分方程奇解的逆问题.4.1 求以x y sin =为奇解的常微分方程满足以x y sin =为奇解的常微分方程非常多，下面给出三种类型的常微分方程. 4.1.1求克莱罗型方程设克莱罗方程有奇解x y sin =， 即⎩⎨⎧+==)()(sin )(-''p f p p f p f x 因此，)(sin p f xp x +=.下面求出)(p f 的表达式.求导得)(cos '''p f x p x x x ++=•. 令p x =cos 则p p p xp x xp x p f •===arccos --1-cos -1-sin )(2'故以x y sin =为奇解的克莱罗常微分方程为dxdy dxdy dxdy dxdy xy arccos-)(-12+=2．求)(A 型方程为简单起见，取n=2.已知x y sin _=，由条件0)(-'y _=x d 得x x d cos )(=. 由)()(2,)()()(_2x d x a y x a x b x d ==得 x x a x x a x b x cos )(2sin ,)()(cos2==解之得x x x b x x a sin cos 2)(,tan 2)(==.因此，以x y sin =为奇解的)(A 型常微分方程为0sin cos 2)(-)(tan 22=+x x dxdy y dx dy x3．求)(B 型方程取n=3.已知xy sin _=.由条件0)(-'_=x d y 得x x d cos )(=.又)(27)(4)(,)(3)(2-)(23_x ax b x c x a x b x d y +==则)(27)(4)(sin ,)(3)(2-cos 23x a x b x c x x a x b x +==.特别取c(x)=0,解之得 xx x b xx x a 23cos sin 3)(,cos sin 2-)(==.因此，以x y sin =为奇解的)(B 型常微分方程为 2233)(cos sin 3)(cos sin 2-dxdy x x dx dy x x y +=. 4.2 求以xe y =为奇解的常微分方程 4.2.1求克莱罗型方程设克莱罗方程有奇解x e y =，即⎩⎨⎧+==)()()(-''p f p p f e p f x x 因此)(p f xp e x+=.求导化简得xe p =，则p p p pf ln -)(=.故以xe y =为奇解的克莱罗型常微分方程为)ln()(-dx dy dx dy dx dy dx dy xy +=4.2.2 求)(A 型方程取n=2.已知奇解xey =_，由条件0)(-'_=x d y 得xe x d =)(.由xe x a x a x b x d y)(2,)()()(_==得 xxxe x a e x a x b e)(2,)()(2==，进而21)(=x a ，xe x b 221)(=.故以xe y =为奇解的)(A 型常微分方程为021)(-)(2122=+xedxdy y dxdy .4.2.3 求)(B 型方程取n=2.已知xe y=_，由条件0)(-'_=x d y得x e x d =)(. 由)(4)(-)(,)(2)(-)(2_x a x b x c x a x b x d y ==，得)(2)(-,)(4)(-2x a x b e x a x b e xx==，解之得2)(,-)(-==x b e x a x.因此，以xey =为奇解的)(B 型常微分方程为)(2)(-2-dxdy dxdy e y x+=.同理，可以求出其他类型函数或者复合函数作为常微分方程的奇解.因此有奇解的常微分方程是非常多的.此外，在上述求解过程中，由于n 与c(x)有许多不同的取法，因此，以同一奇解的常微分方程也是非常多的.5 总结本文对一阶微分方程通过分为导数已解出的、导数未解出的、克莱罗方程，以及利用P-判别曲线对一般的类似于（A ）、（B ）的微分方程的奇解的求法做出了讨论，应用各种方式算出它们的奇解，对解法进行了较全面的分析，并给出了相应的求解方法和求解步骤.最后讨论了微分方程奇解的逆问题，带入一般的微分方程（A）、（B）讨论微分方程的逆问题.参考文献[1] 丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2004:94-110.[2] 王五生，付美玲，侯宗毅.一阶非线性常微分方程奇解的求法[J].高等数学研究，2010（7）：65-67 .[3] 何永葱.关于常微分方程奇解的逆问题[J].重庆教育学院学报，2008（5）：5-10.[4] 何永葱.关于常微分方程奇解判别的注记[J].内江师范高等专科学校学报，2000（2）.[5] 何永葱.两类一阶常微分方程有奇解的条件[J].重庆教育学院学报，2007（6）[6] 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M].3版.北京.高等教育出版社.[7] 李育俭.一阶微分方程的奇解[J].武汉工程专业技术学院学报，2005（9）：83-87.[8] 艾利斯哥尔兹著.微分方程[M].北京.高等教育出版社.1959年.- 12 -。
一阶微分方程的解法
解：因为 a1
b1
1
1 20
a2 b2 1 1
线性方程组
y y
x x
1 5
0 的解 0
为
x0 y0
2的解 3
因此令
x y
2 代入原方程得：d
3
d
解此齐次微分方程得通解为：
ln( 2 2 ) 2 arctan C
例9 求解微分方程
( x y cos y)dx x cos y dy 0.
x
x
解 令u y， 则 dy xdu udx， x
( x ux cos u)dx xcos u(udx xdu) 0,
cos udu dx , sin u ln x C, x
,
ln y 1 ln(1 x2 ) lnC 2
y c 1 x2为所求通解.
例3 求解微分方程dy e x 1 y2 . dx
解 当 1 y2 0时,可分离变量得
dy e xdx 1 y2
两边同时积分得
dy e xdx
1 y2
通解为 arcsin y e x C C为任意常数
1 ( dz a) f ( z c)
b dx
c1
可分离变量的微分方程.
当b1 0时,
令 a1 b1 ,
ab
方程可化为 dy f ( ax by c ), dx (ax by) c1
令 z ax by,
则 dz a b dy， 1 ( dz a) f ( z c ).
微分方程的奇解
微分方程的奇解
微分方程的奇解指的是满足微分方程的不满足初始条件的解。
对于一阶常微分方程，其一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)为已知函数。
根据微分方程的定解条件，需要给出初始条件y(x0) = y0，其中x0和y0为已知常数。
在给定初始条件的前提下，解微分方程可以得到特解。
但如果不给定初始条件，即没有明确指定y(x0) = y0，那么我们可以得到一般解。
这时，由于没有初始条件的限制，任何满足微分方程的解都可以被视为奇解。
需要注意的是，奇解并非特指某一种特殊形式的解，而是指在缺少初始条件的情况下，解微分方程得到的所有解。
因此，奇解的形式是多样的，可以是一般的函数表达式，也可以是参数方程，或者其他形式的解表示。
一阶常微分方程的奇解
摘要 (4)1.何谓奇解 (5)2.奇解的产生 (5)3.包络跟奇解的关系 (6)4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法 (7)4.1 克莱罗微分方程 (11)5.奇解的基本性质 (14)5.1 定理１ (14)5.2 定理２ (16)5.3 定理３ (16)6.小结 (17)参考文献： (17)一阶常微分方程的奇解摘要在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。
我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。
从而我们引出了积分曲线族的包络，而为了求微分方程的奇解，，我们应先求出他的通解，然后求通解的包络。
关键词：奇解，包络，C-判别式，P-判别式1.何谓奇解设一阶隐式方程)xF=0有一特解y,,(,y)(:x y ψ=Γ，j x ∈如果对每一点Γ∈P ，在P 点的任何一个领域内，方程),,(,y y x F =0都有一个不同于Γ的解在P 点与Γ相切，则称Γ是微分方程的),,(,y y x F =0的奇解定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域内都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解2.奇解的产生先看一个例子，求方程033=-⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy （1） 或与它等价的方程 3y dxdy = 的解。
经分离变量后，可得（1）的通解3)(271c x y += 容易看出，y=0也是原方程的一个解。
现在来研究这个解y=0有什么特殊的地方。
由图我们看到，在解y=0上的每一点)0,(0x 处相切，这种特殊的积分曲线y=0称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇解，这就是奇解的产生。
我们现在给出曲线族包络的定义某些微分方程，存在一些特殊的积分曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。
关于一阶常微分方程奇解的讨论
（ ｃ Ｙ 寺 Ｃ＝ ｙ ） 一 ＋ ０ —Ｉ ｌ
（） ４
如 给 初 条 ｌ ＝０ 由 ４得 个ｃ￣１ Ｃ＝０ Ｃ＝０去 这 方 ３ 的 果 定 始 件ｙ Ｙ， 式（） 到２ ｆ． Ｙ， ２ Ｙ一 ， 时 程（） 特 Ｏ
解 （Ｙ）１ Ｙ ２０ 为 －）一 ２ 。１１ ． Ｙ ｏ， ＋ｘ： ｆ
性区域内的任意一点 ， 如果对常数 Ｃ的任意允许值 ， 函数 Ｙ （ ｃ 都是方程 Ｙ ｆ ｘ ） 的解 ， ＝ ） ， （， ， ） 且对任意
初始条件 Ｙ ： ｏ ｌ Ｙ 都可以选取 Ｃ的值 ，使解 Ｙ Ｏｘ Ｃ ） ＝ （ ０ 满足初始 条件 Ｙ ＝ 。 ， ｌ Ｙ ，则称 函数 …
（ —Ｃ ＋Ｙ ） ：ａ （ ７）
式 （） ７ 表示圆心在 轴上 ， 半径等于 ａ 的圆族．
当ｆ ＝ ，即Ｙ ± 时， ｙ ａ ｆ ＝ 显然 Ｙ 是方程 （ ） 解．此解不含在通解 （ ） 即无论Ｃ ＝ ５的 ７ 中， 取何值， 由
式 （） ７ 都不能得到解 Ｙ ａ，这里 Ｙ ａ ＝ ＝ 是方程 （ ） ５ 的奇解． 例 ３ 求一曲线 ， 使它的切线被两坐标轴截下的线段具有定长ａ ．
三 三 三
寿
＋Ｙ ＝ａ （１ ） Ｊ
不难验证星形线 （ １ 也是方程 （ ）的解 ，此解不能由通解 （ ０ 得到 ，实际上它是方程 （ ）的奇 １） ８ １） ９
解．
３ 结束语
常微分的通解是指包含方程所有解的解 ，或者说 ，当常微分方程的解中包含任意常数的个数与微分方 程的阶数相等时 ，则称此解为该方程的通解 ，这 ２ 种说法均是不对的． 微分方程 Ｙ ｆ ｘ ） 的通解一般是这样定义的： （， ， ） 设点 （ Ｙ ） Ｙ ｆ ｘ ） 的柯西问题解的存在唯一 ， ｏ 是 （， ， ）
一阶常微分方程的若干求解技巧
一阶常微分方程的若干求解技巧1. 分离变量法：这是一种常用的解常微分方程的方法。
首先将方程写成dy/dx=f(x)g(y)的形式，然后将等式两边分别以y和x为自变量进行积分，从而得到解析解。
2. 变量代换法：这种方法适用于形如dy/dx=f(x,y)的方程。
通过引入新的变量代换，将其转化为关于新变量的一阶常微分方程，然后使用已知的求解技巧求解。
3. 齐次方程法：对于形如dy/dx=f(y/x)的方程，可以通过引入新变量u=y/x，将其转化为关于u的一阶常微分方程，求解后再代回原方程解得y的解。
4. 恰当方程法：对于形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的方程，如果存在一个函数u(x,y)，使得∂M/∂y=∂N/∂x，那么该方程就是一个恰当方程。
通过寻找这样的函数u(x,y)，将方程转化为恰当方程，然后再进行求解。
5. 线性方程法：对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的方程，可以通过乘以一个积分因子来将其转化为关于y的线性方程，从而求解。
积分因子可以通过乘以一个适当的函数来消去方程中的非线性项。
6. Bernoulli方程法：对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)y^n的方程，可以通过将其转化为关于z=y^(1-n)的一阶线性方程，从而求解。
7. 变量分离方程法：对于形如dy/dx=f(x)g(y)的方程，可以通过将等式两边同时除以g(y)，将其转化为关于x和y的积分方程，然后进行变量分离求解。
8. 指数型方程法：对于形如dy/dx=ky的方程，可以通过使用指数函数的性质来求解，即y=e^(kx)。
9. 反向微商法：对于形如dy/dx=f(g(x))关于g(x)的反函数的方程，可以通过令u=g(x)，然后求出du/dx，进而求出dy/dx，从而得到方程的解。
这些方法只是解一阶常微分方程的一部分，实际求解常微分方程时还需要根据具体问题的特点选择合适的方法。
同时，也需要注意常微分方程的初值条件和边值条件，以确定唯一的解。
一阶微分方程奇解的两个判别式
蜕化条件
），则此解就是奇
解。既然 Ｐ－ 判别式和 Ｃ－ 判别式均是求奇解的方 法，那么是不是这两个判别是对所有的一阶微分 方程求奇解都有效呢？
２ ，几个例子
利用 Ｐ－ 判别式和 Ｃ－ 判别式对一些一阶微分 方程进行求解的运算，看看会出现什么样的结 果。
例 １、求 ｙ＝２ｘｙ′－ｙ′２ 的奇解。
解：令 ｙ′＝ｐ，利用 Ｐ－判别式
例 ５ 、求
的奇解。
例 ６ 介绍了求奇解的另一种方法，即联合 Ｐ－ 判别式和 Ｃ－ 判别式，从 Ｐ－ 判别式得到解 ψ（ｘ，ｙ）＝０ 和从 Ｃ－ 判别式得到的解ψ（ｘ，ｙ）＝０ 中，寻得公共的单因式，令其为零，一般就是奇 解。在例 ６ 中， 由 Ｐ － 判别式得到
，由 Ｃ － 判别式得到 ｙ －
ｘ ＋ ４ ／ ２ ７ ＝ ０，它们共同的单因式为 ｙ － ｘ ＋ ４ ／ ２ ７ ＝ ０ ，令其为零，即 ｙ ＝ ｘ － ４ ／ ２ ７ 是奇解。
（上接第 ２ ０ ７ 页）
另一方面，令 ｄｙ／ｄｘ＝ｐ ，Ｐ － 判别式
，
则 Ｐ－ 判别式失效。 由例题可知，当微分方程的一阶导数的次数为一次时，会造成
Ｐ － 判别式失效。 （例如：ａｐ＋ｘ－ｙ＝０（ａ ≠ ０），则 Ｆ′ｐ（ｘ，ｙ，ｐ）＝ａ ≠ ０），此时只
能利用 Ｃ－ 判别式来求奇解。同理，当通解中常数 Ｃ 的次数为一次 时，则 Ｃ － 判别式失效。
一阶常微分方程的奇解的存在定理的应用
一阶常微分方程的奇解的存在定理的应用近些年来，数学学界对一阶常微分方程奇解存在定理的应用有了深入研究。
一阶常微分方程奇解存在定理指出在满足一定条件的被称为有界的合法边界条件下，一阶常微分方程的解存在并且是唯一的。
传统的应用主要集中在传热学、热力学、流体力学和电磁学中应用，它们都是物理领域的组成部分。
本文将围绕一阶常微分方程的奇解存在定理的应用，从数学、应用数学和物理三个方面介绍它的应用情况以及如何从各自的角度进行深入探讨。
一、数学(1) 一阶常微分方程的奇解存在定理理论背景。
一阶常微分方程的奇解存在定理是数学家Euler和Cauchy根据微积分的基础理论所推导出的定理，其对一阶常微分方程的解的存在性、唯一性有着深远的影响。
它从量子力学领域到航空工程，从介电学到经济学领域，从天文学到植物生物学，影响广泛。
(2) 一阶常微分方程的奇解存在定理的应用。
一阶常微分方程的奇解存在定理主要应用于数学分析和几何学等学科，能够用于求解非线性等式组及复杂问题等。
其中，数学分析中涉及的微积分概念在计算机科学、物理学、统计学和经济学等领域有着广泛的应用，而几何学的研究也被广泛用于测量学、数值计算和物理等领域。
二、应用数学(1) 一阶常微分方程的奇解存在定理的应用。
在物理领域，一阶常微分方程的奇解存在定理的应用主要包括传热学、热力学、流体力学和电磁学，它们都是物理领域的组成部分。
在传热学中，应用一阶常微分方程奇解存在定理可以用于研究热流对金属和其他结构物质的影响以及传热方程的求解；热力学研究中，应用此定理可以研究受热物质的性质，如热力学函数、热动力学系数等；应用在流体力学中，一阶常微分方程奇解存在定理可以用于解决液体的流动特性、流速分布求解以及非线性波动现象等；在电磁学中，一阶常微分方程奇解存在定理可以用于求解电场、磁场和电磁场的模拟、仿真，以及电磁放射等方面的研究。
(2) 一阶常微分方程的奇解存在定理的应用研究。
近些年来，一阶常微分方程的奇解存在定理的应用也在不断拓展和深入，人们也开始研究它在植物生物学、倒立摆系统、控制论、信号处理等领域的作用。
第三章一阶微分方程的解的存在定理(1)
第三章 一阶微分方程的解的存在定理研究对象初值问题(Cauchy Problem)⎪⎩⎪⎨⎧==(3.2)3.1) 00)((),(y x y y x f dx dy 1 基本概念1）利普希兹(Lipschitz)条件函数),(y x f 称为在闭矩形区域 b y y a x x D ≤-≤-00,:上关于y 满足利普希兹条件，如果存在常数0>L 使得不等式2121),(),(y y L y x f y x f -≤-对所有D y x y x ∈),(),,(21都成立。
其中L 称为利普希兹常数。
2 ）局部利普希兹条件称函数),(y x f 在区域2R G ⊂内关于y 满足局部利普希兹条件，如果对区域G 内的每一点，存在以其为中心的完全含于G 内的矩形域D ，在D 上),(y x f 关于y 满足利普希兹条件。
注意：对G 内不同的点，矩形域D 大小和常数L 可能不同。
3）一致利普希兹条件称函数),,(λy x f 在区域{}βλαG y x λy x G λ<<∈=,),(),,(R R ⨯⊂2内一致地关于y 满足局部利普希兹条件，如果对λG 内的每一点),,(λy x 都存在以),,(λy x 为中心的球λG S ⊂，使得对任何),,(1λy x ，S λy x ∈),,(2成立不等式2121),,(),,(y y L y x f y x f -≤-λλ其中L 是与λ无关的正数。
4）解的延拓设方程(3.1)右端函数),(y x f 在某一有界区域G 中有意义，],[),(b a x x y ∈=ϕ是初值问题(3.1)、(3.2)的解，若],[),(11b a x x y ∈=ψ也是初值问题的解，且],[],[11b a b a ⊂，当],[b a x ∈时，)()(x x ψϕ≡，则称解)(x ψ是解)(x ϕ在区间],[b a 上的一个延拓。
5）包络和奇解曲线族的包络是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。
一阶常微分方程及解法
解法：
对于变量分离方程：
dy f (x)( y)
分离变量得： dx
dy f (x)dx
( y)
再积分，得：
dy
( y)
f
(x)dx
ห้องสมุดไป่ตู้
C
注：在变量分离的过程中，必须保证 ( y) 0 。但如果( y) 0 有根为 y y0 ，
则不难验证 y y0 也是微分方程的解，有时无论怎样扩充通解的表达式中的 任意常数，此解不包含在其中，解题时要另外补充上，不能遗漏。
常微分方程：自变量的个数只有一个的微 分方程。
微分方程的阶数：微分方程中出现的未知 函数最高阶导数的阶数。
微分方程的解：若把某函数带入微分方程 能使该方程成为恒等式，则称这个函数为 该微分方程的解。
通解：含有与微分方程的阶数同样个数的 独立任意常数的解。
特解：不含任意常数的解。
初始条件：给定微分方程中未知函数及其 导数在指定点的函数值的条件。
二、变量分离的微分方程
形如
dy f (x)( y)
dx
的方程，称为变量可分离
方程，其中 f (x) 和 (y) 分别是 x, y 的连续
函数。
以微分形式出现的变量分离方程，形如
M (x)N( y)dx P(x)Q( y)dy 0
一阶常微分方程及解法
——于海珠
微分方程的基本概念 几种特殊类型的一阶常微分方程及其解法 应用举例
例1.已知曲线y=y(x)在任意一点(x,y)处的切 线斜率等于4x，且曲线过点(1,3)，求曲线 方程。
一、基本概念
微分方程：联系着自变量、未知函数及其 导数（或微分）的关系式。
有关一阶微分方程奇解的求法
有关一阶微分方程奇解的求法王景艳;李凯敏【摘要】在微分方程里,特殊的解或积分曲线称为微分方程的奇解,在几何学里,这个特殊的解或积分曲线称为上述积分曲线族的包络.奇解是微分方程求解的一个难点,主要探讨一阶微分方程奇解的求法.【期刊名称】《保山学院学报》【年(卷),期】2017(036)005【总页数】3页(P30-32)【关键词】奇解;包络;判别法【作者】王景艳;李凯敏【作者单位】保山学院数学学院,云南保山678000;保山学院数学学院,云南保山678000【正文语种】中文【中图分类】O13在微分方程的求解中，对某些微分方程，如文献[1]中第64页的一阶微分方程y=(y′)2-xy′存在一个特殊的解或积分曲线这条积分曲线不属于这个方程的积分曲线族+cx+c2。
但在这个特殊的解或积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切。
在常微分方程这门课里，我们经常遇到这样特殊的解。
那么，在微分方程里，这个特殊的解或积分曲线称为微分方程的奇解，而在几何学里，这个特殊的解或积分曲线称为上述积分曲线族的包络。
奇解是微分方程求解的一个难点，学生理解和求解上有困难，下面主要探讨一阶微分方程奇解的几种解法。
首先看奇解和包络的严格定义。
定义1[1]设给定单参数曲线族其中c是参数，Φ (x,y,c)=0是x,y,c的连续可微函数，那么，如果有一条曲线并不包含在曲线族(1)中，但过这条曲线的每一点都有(1)中的一条曲线和它在这点相切，则称这条曲线为曲线族(1)的包络。
如积分曲线称为积分曲线族cx+c2的包络。
定义2[1]如果微分方程存在一条特殊的积分曲线，且在积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族（通解）中的一条曲线和它在此点相切，则这条特殊的积分曲线所对应的解称为微分方程的奇解。
奇解另一定义：如果微分方程存在某一解，在它所对应的积分曲线的每点处，解的唯一性被破坏，则此解为方程的奇解。
如积分曲线称为一阶微分方程y=(y′)2的奇解，那么奇解和包络是有关系的，有下面的定理。
一阶非线性常微分方程奇解的求法
ＣＳ Ｓ ＴＵＤＩ Ｎ Ｏ ＬＬＥＧ Ｅ Ｍ ＡＴＨ ＥＭ ＡＴＩ ＥＳ Ｉ Ｃ
高等数学研究
６５
一
阶 非 线 性 常 微 分 方 程 奇 解 的 求 法
王 五 生 ，付 关 玲 ，侯 宗 毅
（ 池 学 院 数 学 系 ， 西 宜州 ， ４ ３ ０ 河 广 ５ ６０ ）
支连 续 可微 的 曲线
（） ２
设 方程 （ ）的通 解 为 １
中（ Ｙ， ）一 ０， ｚ， ｃ
其 中 Ｃ为任 意常数 ． 一 阶微 分方 程 （ ）有 一个 特解 设 １
’ ： Ｙ — （ Ｉ １ ｚ） （ ∈ Ｊ） ｚ ， （） ３
以：
ｃ ∈ Ｊ ｃ
㈣
满足非 蜕 化条 件
Ｏｎ ｔ ｎ ｅ ｒ ｕ ｈ ａ Ｐｏ ｎｔｏ ｈｅ Ｔａ ｇ ｎｔＴｈ ｏ ｇ ｉ ｎ ａ Ｃｕｂ ｃ Ｃｕ ｖ ｉ ｒ ｅ
ＧＡＯ ａ ｉｎ Ｈｕ ｎ Ｊａ ｇ
（ ａ ｈ ｎｇ Ｉ ｓ ｉ ｕ ｅ ｏｆＭ ａ ｈ ｍａ ｉｓ，Ｘｉ ｇ ａ ｅ ｉａ ｏｌ ｇ ，Ｘｉ ｇ ａ ， ｂ ｉ ０ ４ ０ Ｔｅ ｃ ｉ ｎ ｔｔ ｔ ｔ ｅ ｔｃ ｎ ｔｉ Ｍ ｄ ｃ ｌＣ ｌ ｅ ｅ ｎ ｔ ｉ Ｈｅ ｅ ， ５ ０ ０，Ｐ ＲＣ）
（一１（ ）一可 ） ４ 。ｄ ｙ
（ ６ ）
牧 稿 日期 ： ０ ９— １ 一 １ ； 改 日期 ： ０ ０— ０ ２０ ０ ０修 ２１ ３— ０ ． ９
基 金项 目 ： 西 新 世 纪 教 改 工 程 “ 一 五 ”第 三 批 资 助 项 目 （ 高 教 广 十 桂
２ ０ （０ ０ ７ １ ９号） １ ． ６）
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摘要 (4)1.何谓奇解 (5)2.奇解的产生 (5)3.包络跟奇解的关系 (6)4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法 (7)4.1 克莱罗微分方程 (11)5.奇解的基本性质 (14)5.1 定理１ (14)5.2 定理２ (16)5.3 定理３ (16)6.小结 (17)参考文献： (17)一阶常微分方程的奇解摘要在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。
我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。
从而我们引出了积分曲线族的包络，而为了求微分方程的奇解，，我们应先求出他的通解，然后求通解的包络。
关键词：奇解，包络，C-判别式，P-判别式1.何谓奇解设一阶隐式方程)xF=0有一特解y,,(,y)(:x y ψ=Γ，j x ∈如果对每一点Γ∈P ，在P 点的任何一个领域内，方程),,(,y y x F =0都有一个不同于Γ的解在P 点与Γ相切，则称Γ是微分方程的),,(,y y x F =0的奇解定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域内都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解2.奇解的产生先看一个例子，求方程033=-⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy （1） 或与它等价的方程 3y dxdy = 的解。
经分离变量后，可得（1）的通解3)(271c x y += 容易看出，y=0也是原方程的一个解。
现在来研究这个解y=0有什么特殊的地方。
由图我们看到，在解y=0上的每一点)0,(0x 处相切，这种特殊的积分曲线y=0称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇解，这就是奇解的产生。
我们现在给出曲线族包络的定义某些微分方程，存在一些特殊的积分曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。
在几何学里，这些特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这些特殊的积分曲线所对应的解酒称为方程的奇解。
设给定单参数曲线族0),,(=Φc y x （1）其中C 是参数，),,(c y x Φ是x,y,c 连续可微函数。
曲线族（1）的包络是指这样的曲线，他本身并不包含在曲线族（1）中，但过这曲线的每一点，有曲线族（1）中的一条曲线和他在这点相切。
例如，单参数曲线族222)(R y c x =+-（这里的R 是常数，C 是参数）表示圆心为（C ，0）而半径为R 的一族圆，此曲线族显然有包络y=R 和 y=-R（见图1）3.包络跟奇解的关系由奇解和包络的定义显然可知，若方程0),,(,=y y x F 的积分曲线族（即通解所对应的曲线族）的包络如果存在，则必定是方程0),,(,=y y x F 的奇解。
事实上，在积分曲线族包络上的点（x,y ）处的x,y 和,y （斜率）的值和在该点与包络相切的积分曲线上的x,y 和,y 满足方程0),,(,=y y x F 。
这就是说，包络是积分曲线。
其次，在包络的每一点，积分曲线族中都至少有一条曲线与包络相切。
因此，包络是奇解，由此可知，如果知道了微分方程0),,(,=y y x F 的通积分，那么该通积分的包络就是奇解。
4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法但是，一般的曲线族并不一定有包络，例如同心圆族、平行直线族都是没有包络的，从而我们引出了C-判别曲线与P-判别曲线。
从奇解的定义可知，奇解是一种具有特殊几何意义的特解。
正如我们已见到的例子，在求解微分方程时只要注意一些例外情况就会得到这种特解. 这些奇解都是由定义来判定的. 但是由定义来判定奇解比较麻烦，下面介绍两种判别同时也是求奇解的方法：由微分几何学可知，曲线族（1）的包络包含在由下列方程组⎩⎨⎧=Φ=Φ0),,(0),,(,c y x c y x c消去 c 得到所谓 c -判别曲线．必须注意，在C-判别式曲线中有时出去包络外，还有其他曲线。
例1 求直线族0sin cos =-+p y x αα (1)的包络，这里的α是参数，P 是常数。
解：将（1）对α求导，得到0cos sin =+-ααy x （2）为了从（1），（2）中消去α，将（2）移项，然后平方，有22222sin cos 2sin cos P =++ααααxy y x （3）将（2）平方，又得0sin cos 2cos sin 2222=-+ααααxy y x（4） 将（3），（4）相加，得到222P y x =+（5） 容易检验，（5）是直线（1）的包络（见图2）例2 求曲线族0)(32)(22=---c x c y （6）的包络。
解：将（6）对C 求导数。
得到0)(3.32)(22=-•+--c x c y即0)(2=---c x c y （7）为了从（6）和（7）消去C ，将（7）代进（6），得0)(32)(34=---c x c x即032)()(3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---c x c x ， 从x-c=0得到y=x （8）从032=--c x 得到 92-=x y （9） 因此，C-判别曲线包括两条曲线（8）和（9），容易检验直线y=x 不是包络，而直线92-=x y 是包络（见图3）值得注意的是，在 c 判别曲线中除了可能有的包络(即奇解)外，还可能是曲线族中奇点的集合, 在奇点,曲线没有确定的切线. 因此这种 c 判别曲线不是解；还可能是不与积分曲线族相切的曲线.这里介绍另外一种求奇解的方法。
由存在唯一定理知道，如果),,(,y y x F 关于x,y,,y 连续可微，则只要0,≠∂∂y F 就能保证解的唯一性，因此，奇解（存在的话）必须同时满足下列方程),,(,y y x F =0 0),,(,,=∂∂y y y x F （10） 于是我们有下面结论：方程0),,(=dxdy y x F 的奇解包含在由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(,p y x F p y x F p （11） 消去P 而得到的曲线中，这里F （x,y,p ）是x,y,p 的连续可微函数，此曲线称为方程（10）的P-判别曲线。
P-判别曲线是否是方程的奇解，需要进一步的检验例3 求方程01)(22=-+y dxdy 的奇解。
解：从 ⎩⎨⎧==-+020122p y p 消去P 得到P-判别曲线1±=y容易验证，此两直线都是方程的奇解。
因为容易求得原方程的通解为：y=sin(x+c)而1±=y 是微分方程的解，且正好通解的包络。
例4 求方程22⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dx dy dx dy x y 的奇解解：从 ⎩⎨⎧=--=02222p x p xp y消去P 得到P_判别曲线2x y =但2x y =不是方程的解，故此方程没有奇解强调指出：上面介绍的两种方法，只是提供求奇解的途径，所以C-判别曲线与P-判别曲线是不是奇解，必须进行检验补充：4.1 克莱罗微分方程形如 )(p f xp y += （12） 的方程，称为克莱罗微分方程，这里dx dy p =，)(p f 是P 的连续可微函数，现在我们进一步讨论：将（12）两边对x 求导，并以p dxdy =代入，即得 dx dp p f p dx dy xp )(,++=， 即0))((,=+p f x dx dp 如果0=dx dp ，则得到 P=C将它代入（12），得到)(c f cx y += （13）这里的C 是任意常数，这就是（12）的通解。
如果0)(,=+p f x ，将它和（12）合并起来⎩⎨⎧+==+)(0)(,p f xp y p f x （14） 消去P 也得到方程的一个解。
注意，求得此解的过程真好与从通解（13）中的求包络的手续一样。
可以验证，此解的确是通解的包络，由此，我们知道，克莱罗微分方程的通解就是一直线族（在原方程以C 代P 即得），此直线族的包络就是方程的奇解。
例5：求解方程p xp y 1+= 解：这就是克莱罗微分方程，因而它的通解就是cxc y 1+= 从 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==-c cx y c x 1012 中消去C ，得到奇解x y 42=这方程的通解就是直线族，而奇解就是通解的包络例6 求一曲线，使其在其上的每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形（见（图例6）中的三角形OAB ）的面积都等于2解：设所要求的曲线切线方程为 1=+by a x 依题意有 ab=4而 dx dy a b -= 由上述三式消去a,b 得dx dy dx dy x y 42-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 或 dx dy dx dy xy -±=2 这是克莱罗微分方程，其通解为x c c c x c y 21122-=-±= )0(1<c ，这里1c c -±=为任意常数，易见此直线族的每一条直线都是满足题意的解。
现在求曲线族的包络，亦即微分方程的奇解，为此，从⎩⎨⎧=--=0122cx x c c y 中消去C 得到微分方程的奇解1=xy ，这是等腰双曲线，显然他就是满足要求的解。
现在，可以引进奇解的概念：微分方程的某一个解称为奇解，如果在这个解的每一点上至少还有方程的另外一个解的存在，也就是说奇解就是这样的一个解，在他上面的每一点至少有方程的两条积分曲线通过。
5.奇解的基本性质5.1 定理１ 设),,(p y x F 及其各一阶偏导数是),,(p y x 的连续函数，若方程),,(dxdy y x F 有奇积分曲线，则它必包含在P-判别曲线0),,(=y x ϕ之中 定理1 的性质是，在满足定理中连续可微的条件下，奇积分曲线必须从P-曲线中寻找，但是从P-判别曲线0),,(=y x ϕ中分解出来的一支或数支连续曲线是否就是),,(dxdy y x F 的奇积分曲线，尚需要进一步的依次验证：（1）该支曲线是),,(dx dy y x F 的积分曲线 ；（2）该支曲线上每一点处至少还有),,(dxdy y x F 的另外一条积分曲线经过，且两者在该点相切。
如果（1）不成立，则该支曲线仅是一般的积分曲线，不是奇积分曲线，只有当（1）和（2）都成立时，该支曲线才是奇积分曲线，而他所对应的解才是奇解 例 1 重新考虑：0)(23=-y dxdy 解 记p dxdy =，则 0),,(23=-≡y p p y x F032=-∂∂p pF 消去P ，即得到P-判别曲线y=0，由本节开始时的讨论可知，他是奇解如果把例1的0)(23=-y dx dy 改成032=-y dx dy ，仍记p dxdy =，可得 0),,(32=-≡y p p y x F01≠=∂∂pF 即从P-判别式得不到曲线。