第四章：固体力学大变形基础
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xi xi(X j ,t)
对物体t时刻位置 和变形的刻划称为构 形或位形，如图示。
描述运动的参照基准称为参考位形，以初 始位形作参考位形的描述称为物质描述或拉 格朗日描述，Xi称为物质坐标。
1.2、变形梯度 物体现时坐标xi对物质坐标Xi的偏导数
x i X
j
xi,X xi, j
j
称为变形梯度，是非对称的二阶张量。 现时位形两邻点的距离为
x x k k d xid xi d X id X i ij X X i j 1 x k x k E ij ij e ij X X 2 i j d X d X ij X k X k i j xi x j X k X k 1 ij 2 x i x j
1 ' 1 " 1
'
"
dX dX dX
2 ' 2 " 2
dX dX dX
3 ' 3 " 3
e ijk d X i d X j d X
'
" k
d x1 d V d x1
' "
dx2 dx2 dx2
" '
d x3 d x 3 e ijk d x i d x j d x k
' ' " "
d x1
J 1
dV0
N i d A 0 e ijk dX i d X j d X
' k ' k
仿体积的上述说明，图示面元可表为
N i d A 0 e ijk d X j d X n i d A e ijk d x j d x k
'
又因
x i X
l
n i d A e ijk
x i X
v x j
vi ( x j , t )
dt
t x j 其中第一项是由速度与时间的相关性引起的，第二项 是非均匀速度场质点运动的贡献。 称为速度的物质 v 导数。
当地部分 当地加速度
v i
v
v i
j
对流部分、 迁移加速度
其中导数
vi , x
j
vi
x j
称为速度梯度张量。
x i , l X l , i ii 1
由此面元变换公式也可表为
n i d A JX l , i N l d A 0
面积变 换公式
1.5 Green和Almansi应变张量
设初始和现时位形中P、Q两点 的距离分别为 d X i d x i 研究变形前后线段尺度的变化
可以获得变形的度量－应变
任意函数的时间变化率－物质导数
DF Dt F t v F x
vi , x
j
vi x j
速度梯度张量可分成两部分 旋率张量 变形率张量
ij
1 2 1
( v j , x v i , x ) 反对称
i j
( v j , x v i , x ) 对称 i j 2 点P邻域瞬时刚体 运动的充分必要 因此，速度梯度张量为 v i , x ij V ij 条件是，P点的速 j 度梯度是反对称 的 刚体转动的角速度 Vij就反映了邻域的纯变形。 V ij
dx dx i j
格林应变张量
阿尔曼西张量
格林应变张量用初始位形定义，也即用变形前的坐标定义它是 lagrange坐标的函数。阿尔曼西应变张量用现时位形定义，它是 Euler坐标的函数。
1.5 Green和Almansi应变张量 质点的位移向量也同样可用初始位形和现时 位形定义 初始坐标的函数 ui ( X j ,t) xi ( X j , t) X i 现时坐标的函数 ui ( x j , t) xi X i ( x j , t) 上式对lagrange坐标或对Euler坐标求偏导，可 得变形梯度张量分别为
e ijk x i , l x j , m x k , n
J e ijk x i ,1 x j , 2 x k , 3
e 123 J e ijk x i , 1 x j , 2 x k , 3 定义 J e 231 J e ijk x i , 2 x j , 3 x k , 1 列互换二次 e 312 J e ijk x i , 3 x j , 1 x k , 2 列互换二次 e 321 J e ijk x i , 3 x j , 2 x k , 1 列互换一次 e 213 J e ijk x i , 2 x j , 1 x k , 3 列互换一次 e 132 J e ijk x i , 1 x j , 3 x k , 2 列互换一次 e lmm J e ijk x i , l x j , m x k , m 两列相同 J J J J J 0
j j i
1
u 2
k ,X i
i
当位移梯度远小于1时，对任意函数F有如下关系
F x i
F X
j
(
F X X
ij
j
j
x i
u
j
F X
F X
i
j
x i
X
(x
j
uj)
j
x i
)
F u
j
x i
F X
i
具 有 相 同 量 级
这表明，当位移梯度很小时，可以不区分初始位形和现时位 形，位移梯度分量的乘积项是高阶小量，将其略去后，即可 得到小变形时的柯西应变-工程应变 1 E ij ( u j , X u i , X u k , X u k , X ) i j i j 2 1 e ij ( u j , x u i , x u k , x u k , x ) i j i j 2 1 ij E ij e ij ( u j , x i u i , x j ) 2
J
xi X
j
0
xi X
j
xi , X xi , j
j
x 1 ,1 J x 2 ,1 x 3 ,1
x1 ,2 x 2 ,2 x 3 ,2
x1 ,3
Ricci符号
Ricci
e ijk 1 1 2 3 1 1 3 2 1 3 0 有脚标相同
d x3
dx1 dV dx1
' "
dx 2 dx 2 dx 2
" '
dx 3 d x 3 e ijk d x i d x j d x k
' ' " "
变形梯度
xi,X xi, j
j
dx1
dx 3
e ijk
x i X
l
x dX
l
x i
' m
j
X
dXLeabharlann Baidu
x k X
n
dX
1 x k x k X X 2 i j
ij
e ij
格林应变张量
x i X
j
1 2
X
ij
X
k
X x
k j
阿尔曼西张量
i j
x i
ui X
j
ij
x
ij
ui x
j
uk 1 uk E ij ( k i )( k j ) ij 2 X i X j
u k ,X ui,X u j,X
j j
uk uk 1 uk uk kj k i k i k j ij X X 2 X i X j i j 1
u 2
k,Xi
u k , X u i , X u j , X ij ij
i j i j
i j i j 2 由此公式可见，两种应变张量都是对称的。类似弹（塑） 性力学的应变分析（与主应力分析相仿），可以证明，体内 任一点处至少有三个相互垂直的应变主轴，任两与主轴平行 的物质线元，变形过程中仍保持垂直。
(u j , x ui , x uk , x uk , x )
E ij
固体力学大变形基本知识
1. 物体运动的物质描述 2. 格林和阿尔曼西应变 3. 物体运动等的空间描述和变形率 4. 欧拉、拉格朗日和克希荷夫应力 5. 大变形时平衡方程和虚位移原理 6. 大变形本构关系
1.1 物体运动的物质描述-拉格朗日描述
t=0的坐标为Xi， t 时刻位置为xi，质点 运动可表为
物体一定无变形，反之一样。因此，物体作刚体运动的 充分必要条件是到处存在 e ij , E ij 0 Green应变张量是参考初始位形的，而初始位形的坐标 是固结于材料的随体坐标，当物体发生刚体转动时， P,Q两点的尺度不变，同时 d X 也不变，因此联系P,Q两 点的尺度的变化及 d X 的Green应变张量的各个分量也 不变。在连续介质力学中，这种不随刚体转动的对称张 量称为客观张量。
x i X
j
ui X
ui
j
j
X
ij
i j
x
ij
ui x
j
位移对坐标（ X 度张量。
ui x j
）的偏导数，称为位移梯
1.5 Green和Almansi应变张量
将变形梯度张量代入两种应变的表达式，可得用位 移梯度张量表示的应变公式如下
E ij e ij 1 2 1 (u j , X ui , X uk , X uk , X )
1.5 Green和Almansi应变张量－客观张量
若现时位形只是相对初始位形作刚体移动，则
则
d xidxi d X idX i
x x k k X X i j
ij
0
X k X k ij xi x j
0
" n
X
j
m
因此，现时位形的体积可表为
dV e ijk xi X
l
d xi xi , j d X
"
'
j
x j X
m
xk X
n
d X l d X m d X n e lmn J d X l d X m d X
'
" n
" Je ijk dX i dX 'j dX k JdV0
l
dx jdx k
'
1.4、面积变换公式 面积变 换公式
e ijk x i X
l
x X
j
x k X
m
dX
' n
dX m
' n
m
n
x i , l n i d A e lmn J d X
dX
JN l d A 0
' k
根据变形梯度张量可逆
xi X l X l xi
N i d A 0 e ijk d X j d X
由此可见，e lmn J e ijk x i , l x j , m x k , n 成立
返回
1.3、体积变换公式
设图示初始位形微元体体积 为dV0，三线元为 d X , d X ' , d X
i i " i
运动变形后，现时位形三线元为
dx i ,dx i ,dx i
dX dV0 dX dX
dx i x i ( X
j
dX j , t ) x i ( X j , t ) x i , j dX
j
因此可以将变形梯度视作一种线性变换， 它将参考位形中的线元dXi变换为现时位形中 的线元dxi，这变换中既有伸缩，也有转动。 变形梯度在大变形分析中很重要。
物体运动和变形是单值和连续的，也即在任一时刻，x i 和 X i 是一一对应的，那么在参考位形的任意点Jacobi行 列式J不为零。也即变形梯度可逆
体积变换公式
xi x j x k X l X m X n
e lm n J e ijk x i , l x j , m x k , n e ijk
1.4、面积变换公式
如果记初始和现时 位形的密度分别为
0 和
则由质量守恒，可得 0 体积变换公式 dV
J
因此对不可压缩物体
i
i
2. 物体运动的空间描述和变形率
质点运动的空间描述或欧拉描述，x i 处质点的速度。
瞬时位置xi处质点的加速度应该如下求取
v (xi ,t)
v v( x i , t )
v i ( x j v jdt, t dt ) v i ( x j , t ) dt
vi ( x j v j d t , t ) vi ( x j , t d t )
x 2 , 3 e ijk x i , 1 x j , 2 x k , 3 x 3 ,3
e lm n J e ijk x i , l x j , m x k , n e ijk
xi x j x k X l X m X n
可由Ricci置换符号的定义和行列式的性质证明
证明 e lmn J
对物体t时刻位置 和变形的刻划称为构 形或位形，如图示。
描述运动的参照基准称为参考位形，以初 始位形作参考位形的描述称为物质描述或拉 格朗日描述，Xi称为物质坐标。
1.2、变形梯度 物体现时坐标xi对物质坐标Xi的偏导数
x i X
j
xi,X xi, j
j
称为变形梯度，是非对称的二阶张量。 现时位形两邻点的距离为
x x k k d xid xi d X id X i ij X X i j 1 x k x k E ij ij e ij X X 2 i j d X d X ij X k X k i j xi x j X k X k 1 ij 2 x i x j
1 ' 1 " 1
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仿体积的上述说明，图示面元可表为
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又因
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l
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x i X
v x j
vi ( x j , t )
dt
t x j 其中第一项是由速度与时间的相关性引起的，第二项 是非均匀速度场质点运动的贡献。 称为速度的物质 v 导数。
当地部分 当地加速度
v i
v
v i
j
对流部分、 迁移加速度
其中导数
vi , x
j
vi
x j
称为速度梯度张量。
x i , l X l , i ii 1
由此面元变换公式也可表为
n i d A JX l , i N l d A 0
面积变 换公式
1.5 Green和Almansi应变张量
设初始和现时位形中P、Q两点 的距离分别为 d X i d x i 研究变形前后线段尺度的变化
可以获得变形的度量－应变
任意函数的时间变化率－物质导数
DF Dt F t v F x
vi , x
j
vi x j
速度梯度张量可分成两部分 旋率张量 变形率张量
ij
1 2 1
( v j , x v i , x ) 反对称
i j
( v j , x v i , x ) 对称 i j 2 点P邻域瞬时刚体 运动的充分必要 因此，速度梯度张量为 v i , x ij V ij 条件是，P点的速 j 度梯度是反对称 的 刚体转动的角速度 Vij就反映了邻域的纯变形。 V ij
dx dx i j
格林应变张量
阿尔曼西张量
格林应变张量用初始位形定义，也即用变形前的坐标定义它是 lagrange坐标的函数。阿尔曼西应变张量用现时位形定义，它是 Euler坐标的函数。
1.5 Green和Almansi应变张量 质点的位移向量也同样可用初始位形和现时 位形定义 初始坐标的函数 ui ( X j ,t) xi ( X j , t) X i 现时坐标的函数 ui ( x j , t) xi X i ( x j , t) 上式对lagrange坐标或对Euler坐标求偏导，可 得变形梯度张量分别为
e ijk x i , l x j , m x k , n
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1
u 2
k ,X i
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当位移梯度远小于1时，对任意函数F有如下关系
F x i
F X
j
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j
j
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F X
i
j
x i
X
(x
j
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F u
j
x i
F X
i
具 有 相 同 量 级
这表明，当位移梯度很小时，可以不区分初始位形和现时位 形，位移梯度分量的乘积项是高阶小量，将其略去后，即可 得到小变形时的柯西应变-工程应变 1 E ij ( u j , X u i , X u k , X u k , X ) i j i j 2 1 e ij ( u j , x u i , x u k , x u k , x ) i j i j 2 1 ij E ij e ij ( u j , x i u i , x j ) 2
J
xi X
j
0
xi X
j
xi , X xi , j
j
x 1 ,1 J x 2 ,1 x 3 ,1
x1 ,2 x 2 ,2 x 3 ,2
x1 ,3
Ricci符号
Ricci
e ijk 1 1 2 3 1 1 3 2 1 3 0 有脚标相同
d x3
dx1 dV dx1
' "
dx 2 dx 2 dx 2
" '
dx 3 d x 3 e ijk d x i d x j d x k
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变形梯度
xi,X xi, j
j
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格林应变张量
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阿尔曼西张量
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u 2
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u k , X u i , X u j , X ij ij
i j i j
i j i j 2 由此公式可见，两种应变张量都是对称的。类似弹（塑） 性力学的应变分析（与主应力分析相仿），可以证明，体内 任一点处至少有三个相互垂直的应变主轴，任两与主轴平行 的物质线元，变形过程中仍保持垂直。
(u j , x ui , x uk , x uk , x )
E ij
固体力学大变形基本知识
1. 物体运动的物质描述 2. 格林和阿尔曼西应变 3. 物体运动等的空间描述和变形率 4. 欧拉、拉格朗日和克希荷夫应力 5. 大变形时平衡方程和虚位移原理 6. 大变形本构关系
1.1 物体运动的物质描述-拉格朗日描述
t=0的坐标为Xi， t 时刻位置为xi，质点 运动可表为
物体一定无变形，反之一样。因此，物体作刚体运动的 充分必要条件是到处存在 e ij , E ij 0 Green应变张量是参考初始位形的，而初始位形的坐标 是固结于材料的随体坐标，当物体发生刚体转动时， P,Q两点的尺度不变，同时 d X 也不变，因此联系P,Q两 点的尺度的变化及 d X 的Green应变张量的各个分量也 不变。在连续介质力学中，这种不随刚体转动的对称张 量称为客观张量。
x i X
j
ui X
ui
j
j
X
ij
i j
x
ij
ui x
j
位移对坐标（ X 度张量。
ui x j
）的偏导数，称为位移梯
1.5 Green和Almansi应变张量
将变形梯度张量代入两种应变的表达式，可得用位 移梯度张量表示的应变公式如下
E ij e ij 1 2 1 (u j , X ui , X uk , X uk , X )
1.5 Green和Almansi应变张量－客观张量
若现时位形只是相对初始位形作刚体移动，则
则
d xidxi d X idX i
x x k k X X i j
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0
X k X k ij xi x j
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X
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因此，现时位形的体积可表为
dV e ijk xi X
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d xi xi , j d X
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1.4、面积变换公式 面积变 换公式
e ijk x i X
l
x X
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x k X
m
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' n
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n
x i , l n i d A e lmn J d X
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根据变形梯度张量可逆
xi X l X l xi
N i d A 0 e ijk d X j d X
由此可见，e lmn J e ijk x i , l x j , m x k , n 成立
返回
1.3、体积变换公式
设图示初始位形微元体体积 为dV0，三线元为 d X , d X ' , d X
i i " i
运动变形后，现时位形三线元为
dx i ,dx i ,dx i
dX dV0 dX dX
dx i x i ( X
j
dX j , t ) x i ( X j , t ) x i , j dX
j
因此可以将变形梯度视作一种线性变换， 它将参考位形中的线元dXi变换为现时位形中 的线元dxi，这变换中既有伸缩，也有转动。 变形梯度在大变形分析中很重要。
物体运动和变形是单值和连续的，也即在任一时刻，x i 和 X i 是一一对应的，那么在参考位形的任意点Jacobi行 列式J不为零。也即变形梯度可逆
体积变换公式
xi x j x k X l X m X n
e lm n J e ijk x i , l x j , m x k , n e ijk
1.4、面积变换公式
如果记初始和现时 位形的密度分别为
0 和
则由质量守恒，可得 0 体积变换公式 dV
J
因此对不可压缩物体
i
i
2. 物体运动的空间描述和变形率
质点运动的空间描述或欧拉描述，x i 处质点的速度。
瞬时位置xi处质点的加速度应该如下求取
v (xi ,t)
v v( x i , t )
v i ( x j v jdt, t dt ) v i ( x j , t ) dt
vi ( x j v j d t , t ) vi ( x j , t d t )
x 2 , 3 e ijk x i , 1 x j , 2 x k , 3 x 3 ,3
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可由Ricci置换符号的定义和行列式的性质证明
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