用待定系数法求an
待定系数法
三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
1．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得d c =-λ)1(,所以)0(,1≠-=c cd λ所以有：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n 因此数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列， 所以11)1(1-⋅-+=-+n n c c d a c d a 即：1)1(11--⋅-+=-c d c c d a a n n . 规律：将递推关系d ca a n n +=+1化为)1(11-+=-++c da c c d a n n ,构造成公比为c 的等比数列}1{-+c d a n 从而求得通项公式)1(1111-++-=-+c da c c d a n n逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系d ca a n n +=+1中把n 换成n-1有d ca a n n +=-1,两式相减有)(11-+-=-n n n n a a c a a 从而化为公比为c 的等比数列}{1n n a a -+,进而求得通项公式. )(121a a c a a n n n -=-+,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例6已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。
待定系数法求数列的通项公式
待定系数法求数列的通项公式尹伟云（贵州省仁怀市周林高中５６４５００）尹伟云全国高中数学联赛优秀教练员，多次荣获优秀教师称号。
发表论文２０多篇。
数列的通项公式是高中数学的核心知识点，根据条件式求通项是近几年高考考查的热点之一．本文从条件的结构特征入手，探讨几类数列通项公式的求法．１．“ａｎ＋１＝Ａａｎ＋Ｂ”型例１已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝１，ａｎ＋１＝３ａｎ＋１，求｛ａｎ｝的通项公式．解设ａｎ＋１＋ｘ＝３（ａｎ＋ｘ），即ａｎ＋１＝３ａｎ＋２ｘ，与ａｎ＋１＝３ａｎ＋１对比知２ｘ＝１，即ｘ＝１２，所以ａｎ＋１＋１２＝３ ａｎ＋１２（），从而数列ａｎ＋１２｛｝是首项为ａ１＋１２，公比为３的等比数列，所以ａｎ＋１２＝ａ１＋１２（）·３ｎ－１，得ａｎ＝３ｎ－１２．２．“ａｎ＋１＝Ａａｎ＋Ｂｎ＋Ｃ”型例２已知数列｛ａｎ｝中，ａ１＝－１，且ａｎ＋１＝３ａｎ－２ｎ＋３，求数列｛ａｎ｝的通项公式．解设ａｎ＋１＋Ａ（ｎ＋１）＋Ｂ＝３（ａｎ＋Ａｎ＋Ｂ），即ａｎ＋１＝３ａｎ＋２Ａｎ＋２Ｂ－Ａ，与原式对比知２Ａ＝－２，２Ｂ－Ａ＝３，烅烄烆解得Ａ＝－１，Ｂ＝１，烅烄烆即ａｎ＋１－（ｎ＋１）＋１＝３（ａｎ－ｎ＋１），所以ａｎ－ｎ＋１＝－３ｎ－１，故ａｎ＝－３ｎ－１＋ｎ－１．３．“ａｎ＋１＝Ａａｎ＋Ｂｑｎ＋１”型例３已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝－１，ａｎ＋１＝２ａｎ＋４×３ｎ－１，求数列｛ａｎ｝的通项公式．解法１设ａｎ＋１＋α·３ｎ＋１＝２（ａｎ＋α·３ｎ），即ａｎ＋１＝２ａｎ－α·３ｎ，所以α＝－４３，从而ａｎ＋１－４３·３ｎ＋１＝２ ａｎ－４３·３ｎ（），所以ａｎ－４３·３ｎ＝－５·２ｎ－１，即ａｎ＝４·３ｎ－１－５·２ｎ－１．解法２原式化为ａｎ＋１３ｎ＋１＝２３·ａｎ３ｎ＋４９，设ａｎ＋１３ｎ＋１＋α＝２３ａｎ３ｎ＋α（），易得α＝－４３，所以ａｎ＋１３ｎ＋１－４３＝２３ａｎ３ｎ－４３（），即ａｎ３ｎ－４３＝－５３２３（）ｎ－１，所以ａｎ＝４·３ｎ－１－５·２ｎ－１．４．“ａｎ＋１＝Ａａｎ＋Ｂｑｎ＋１＋Ｃ”型例４已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝１，ａｎ＋１＝·２１·《数理天地》高中版数学中的思想和方法２０２１年第２期３ａｎ＋５·２ｎ＋４，求｛ａｎ｝的通项公式．解设ａｎ＋１＋α·２ｎ＋１＋β＝３（ａｎ＋α·２ｎ＋β），①将ａｎ＋１＝３ａｎ＋５·２ｎ＋４代入①式，得３ａｎ＋５·２ｎ＋４＋α·２ｎ＋１＋β＝３（ａｎ＋α·２ｎ＋β），整理得（５＋２α）２ｎ＋４＋β＝３α·２ｎ＋３β．令５＋２α＝３α，４＋β＝３β，烅烄烆解得α＝５，β＝２，烅烄烆代入①式得ａｎ＋１＋５·２ｎ＋１＋２＝３（ａｎ＋５·２ｎ＋２），②由ａ１＋５×２１＋２＝１＋１２＝１３≠０及②式，得ａｎ＋５·２ｎ＋２≠０，所以ａｎ＋１＋５·２ｎ＋１＋２ａｎ＋５·２ｎ＋２＝３，故数列｛ａｎ＋５×２ｎ＋２｝是以１３为首项、３为公比的等比数列，即ａｎ＋５×２ｎ＋２＝１３×３ｎ－１，所以ａｎ＝１３×３ｎ－１－５×２ｎ－２．５．“ａｎ＋１＝Ａａｎ＋Ｂ·Ａｎ＋１＋Ｃ”型例５已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝８，ａｎ＋１＝３ａｎ＋３ｎ＋１＋２，求｛ａｎ｝的通项公式．解设ａｎ＋１＋α３ｎ＋１＝ａｎ＋α３ｎ＋１，整理得ａｎ＋１＝３ａｎ＋３ｎ＋１＋２α，与ａｎ＋１＝３ａｎ＋３ｎ＋１＋２比较，得α＝１，所以ａｎ＋１＋１３ｎ＋１＝ａｎ＋１３ｎ＋１，ａｎ＋１３ｎ＝ａ１＋１３１＋（ｎ－１）×１＝ｎ＋２，故ａｎ＝（ｎ＋２）·３ｎ－１．６．“ａｎ＋１＝Ａａｎ＋Ｂ·ｑｎ＋１＋Ｃｎ＋Ｄ”型例６已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝８，ａｎ＋１＝２ａｎ＋４×３ｎ＋２ｎ＋１，求数列｛ａｎ｝的通项公式．解设ａｎ＋１＋α·３ｎ＋１＋β（ｎ＋１）＋γ＝２（ａｎ＋α·３ｎ＋βｎ＋γ），即ａｎ＋１＝２ａｎ－α·３ｎ＋βｎ＋γ－β，所以α＝－４，β＝２，γ－β＝１，烅烄烆从而γ＝３，ａｎ＋１－４×３ｎ＋１＋２（ｎ＋１）＋３＝２（ａｎ－４×３ｎ＋２ｎ＋３），所以数列｛ａｎ－４×３ｎ＋２ｎ＋３｝是首项为８－４×３＋２＋３＝１、公比为２的等比数列，所以ａｎ－４×３ｎ＋２ｎ＋３＝１×２ｎ－１，故ａｎ＝４×３ｎ＋２ｎ－１－２ｎ－３．７．“ａｎ＋１＝Ａａｎ＋Ｂ·Ａｎ＋１＋Ｃｎ＋Ｄ”型例７已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝６，ａｎ＋１＝３ａｎ＋３ｎ＋１＋２ｎ＋３，求｛ａｎ｝的通项公式．解设ａｎ＋１＋α（ｎ＋１）＋β３ｎ＋１＝ａｎ＋αｎ＋β３ｎ＋１，整理得ａｎ＋１＝３ａｎ＋３ｎ＋１＋２αｎ－α＋２β，所以α＝１，β＝２，即ａｎ＋１＋（ｎ＋１）＋２３ｎ＋１＝ａｎ＋ｎ＋２３ｎ＋１，得ａｎ＋ｎ＋２３ｎ＝ａ１＋１＋２３＋（ｎ－１）×１＝ｎ＋２，故ａｎ＝（ｎ＋２）·３ｎ－ｎ－２．８．“ａｎ＋２＝Ａａｎ＋１＋Ｂａｎ”型例８已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝１，ａ２＝２，且当ｎ≥２时，ａｎ＋１＝ａｎ＋ａｎ－１２，求｛ａｎ｝的通项公式．解设ａｎ＋１－αａｎ＝β（ａｎ－αａｎ－１），即ａｎ＋１＝（α＋β）ａｎ－αβａｎ－１，与ａｎ＋１＝ａｎ＋ａｎ－１２对比得α＋β＝１２，αβ＝－１２，烅烄烆·３１·２０２１年第２期数学中的思想和方法《数理天地》高中版所以α，β是方程ｘ２－１２ｘ－１２＝０的两根，解得α＝１，β＝－１２，烅烄烆或α＝－１２，β＝１，烅烄烆取α＝１，β＝－１２，烅烄烆得ａｎ＋１－ａｎ＝－１２（ａｎ－ａｎ－１），即ａｎ＋１－ａｎａｎ－ａｎ－１＝－１２，所以数列｛ａｎ＋１－ａｎ｝是首项为ａ２－ａ１＝１、公比为－１２的等比数列，即ａｎ＋１－ａｎ＝－１２（）ｎ－１，从而ａｎ＝ａ１＋（ａ２－ａ１）＋（ａ３－ａ２）＋…＋（ａｎ－ａｎ－１）＝１＋１＋－１２（）＋…＋－１２（）ｎ－２＝１＋１－－１２（）ｎ－１１－－１２（）＝５３－２３－１２（）ｎ－１，又ｎ＝１时，ａ１＝５３－２３×－１２（）１－１＝１，故ａｎ＝５３－２３×－１２（）ｎ－１．（上接第１１页）球Ｏ的表面积Ｓ＝４πＲ２＝１００π．４．向量法例４已知在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，ＰＡ⊥平面ＡＢＣ，∠ＢＡＣ＝１２０°，ＡＢ＝ＡＰ＝ＡＣ＝２，求三棱锥Ｐ－ＡＢＣ外接球的半径Ｒ．图４解过Ａ作Ａｙ⊥ＢＣ，以Ａ为空间坐标原点，分别以ＡＢ→ ，Ａｙ→ ，ＡＰ→为ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴的正方向，建立如图４所示的空间直角坐标系．设三棱锥Ｐ－ＡＢＣ外接球的球心为Ｏ（ｘ，ｙ，ｚ），由题可知Ｂ（２，０，０），Ｐ（０，０，２），Ｃ（－１，槡３，０），又ＯＰ＝ＯＣ＝ＯＢ＝ＯＡ，ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝ｘ２＋ｙ２＋（ｚ－２）２，ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝（ｘ＋１）２＋（ｙ －槡３）２＋ｚ２，ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝（ｘ－２）２＋ｙ２＋ｚ２，烅烄烆解得ｘ＝１，ｙ＝槡３，ｚ＝１，烅烄烆即球心Ｏ（１，槡３，１），所以三棱锥Ｐ－ＡＢＣ外接球的半径Ｒ＝槡５．５．截面圆法例５已知正四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为４，底面边长为２，则该球的表面积为（）（Ａ）８１４π．（Ｂ）１６π．（Ｃ）９π．（Ｄ）２７４π．解连接ＡＣ，ＢＤ交于Ｅ，连接ＡＯ，ＰＥ，如图５所示．设球心为Ｏ，球Ｏ半径为Ｒ，由题可知，△ＡＯＥ所在的平面是球Ｏ大圆所在的平面，图５在Ｒｔ△ＡＯＥ中，（４－Ｒ）２＋（槡２）２＝Ｒ２，解得Ｒ＝９４，所以该球的表面积为４πＲ２＝８１４π，故选（Ａ）．·４１·《数理天地》高中版数学中的思想和方法２０２１年第２期。
待定系数法在高考递推数列中的应用 (1)
待定系数法在高考递推数列题中的应用模型1：a n ＋1=pa n ＋q （其中p 、q 均为常数，（pq （p －1）≠0）） [解法]（待定系数法）：把原递推公式转化为：a n ＋1－λ=p(a n －λ)其中λ=pq-1，再用换元法令b n =a n －λ，则有b n ＋1=pb n ，从而数列{b n }为等比数列，于是由a n =b n ＋λ可求出数列a n 的通项公式。
例1：已知数列{a n }中，a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1。
求a n 。
解：令a n ＋1＋λ=2(a n ＋λ)即a n ＋1=2a n ＋λ ∴λ=1从而a n ＋1＋1=2 (a n ＋1)，令b n = a n ＋1 则b 1=a 1＋1=2且1111++=++n n n n a a b b =2 故数列{b n }是以b 1=2为首项，以2为公比的等数列。
则b n =2×2n －1=2n ∴a n =2n －1练习1、（06重庆文）在数列{a n }中，若a 1=1，a n ＋1=2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n =练习2、一牧羊人赶着一群羊通过36个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只，过完这些关口后，牧羊人只剩2只羊，牧羊人原来有 只羊。
模型2：a n ＋1= pa n ＋r ·q n （其中p 、q 、r 均为常数，（p ·q ·r ·(p －1)·(q －1)≠0））[解法]一般来说，要先在原递推公式两边同除以q n ＋1，得q r q a q p q a n n n n +=++·11，再令b n =nn q a从而化为b n ＋1=qr b q p n +·，此即为模型1，可用模型1待定系数法解之。
例2：已知数列{a n }中，a 1=65，a n ＋1=31a n ＋(21)n ＋1，求a n 。
数列求通项待定系数法
数列求通项待定系数法摘要：一、引言二、数列求通项的概念三、待定系数法的原理四、使用待定系数法求解数列通项五、总结正文：一、引言在数学中，数列是一个具有特定规律的数字序列。
了解数列的通项公式有助于我们更好地把握数列的性质和规律。
待定系数法是一种常用的求解数列通项的方法，本文将对其进行详细介绍。
二、数列求通项的概念数列求通项是指找到一个公式，能够表示数列中任意一项与它的位置之间的关系。
通常用an 表示数列的第n 项，而通项公式则表示为an = f(n)。
三、待定系数法的原理待定系数法是一种求解数列通项的方法，主要思想是在已知数列的前几项情况下，设定一个通项公式，并求解待定系数，使得该公式满足已知的数列项。
待定系数法通常分为两步：1.设定一个通项公式an = a1 * r^(n-1) + b1 * r^(n-2) + ...+ k1 * r^0，其中a1、b1、...、k1 为待定系数，r 为公比。
2.利用已知的数列项，列出关于待定系数的方程组，求解该方程组，得到待定系数的值。
四、使用待定系数法求解数列通项假设我们有一个数列：1, 3, 5, 7, 9，我们可以使用待定系数法求解该数列的通项。
1.设定通项公式an = a1 * 2^(n-1) + b1 * 2^(n-2) + ...+ k1 * 2^0。
2.利用已知的数列项，列出关于待定系数的方程组：a1 * 2^0 + b1 * 2^(-1) + ...+ k1 * 2^(-4) = 1a1 * 2^1 + b1 * 2^0 + ...+ k1 * 2^(-3) = 3a1 * 2^2 + b1 * 2^1 + ...+ k1 * 2^(-2) = 5a1 * 2^3 + b1 * 2^2 + ...+ k1 * 2^(-1) = 7a1 * 2^4 + b1 * 2^3 + ...+ k1 * 2^0 = 93.求解方程组，得到待定系数的值。
4.根据求解得到的待定系数，得到数列的通项公式。
an的求法
数列a n 的求法【知识要点】1.利用递推关系式求数列通项的常用方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐项相减法） 倒数变换法、数学归纳法2.等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求 数列通项公式的最基本方法。
3.求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差 数列或等比数列。
4.数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
【方法分析】 一、累加法、累乘法1．累加法（适用于：1()n n a a f n +=+）--------累加法是最基本的二个方法之一。
若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑【例1】已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
【变式练习】1. 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式..○1○2216n ++=02nn n C +++=是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
常见的裂项途径有：n d 的等差数列，则111n n n n a a ++⎝⎭ 比如：已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.2、累乘法（适用于： 1()n n a f n a += ）--------累乘法是最基本的二个方法之二。
若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n a a af f f n a a a +===，，，两边分别相乘得， 1111()nn k a a f k a +==⋅∏【例2】已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
待定系数法求通项(很全很简洁)
第二类：形如：an+1=Aan+Ban-1
例3：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：法ห้องสมุดไป่ตู้：
设
比较系数得 或 ，不妨取 ，（取-3结果形式可能不同，但本质相同）
则 ，则 是首项为4，公比为3的等比数列
，所以
法2：an+2+Kan+1=(5+k)an+1-6an=(5+k)(an+1-6/(5+k)an)
K=-2或-3
an+2-2an+1=3（an+1-2an）
练习3.数列 中，若 ,且满足 ,求 .
答案： .
第三类：形如：an+1=Aan+f(n)
例4：已知 ,求an.
例5已知a1=-1, an=3an-1+2n(n≥2)，求an.
广州市铁一中学
第一类：形如an+1=A·an+B
例1已知 ，求
解：设 ，则由已知得k=2，即{an-2}成等比数列。
练1：已知数列{an}中，a1=1，an＋1=2an＋1。求an。
例2已知a1=1,n≥2时， ,求an.
解：取倒数得 ,设 ,则 ,即归结为求{bn}的通项。
若c≠0,则可设常数k、m满足： ,转为求 的通项。
用待定系数法求解递推数列的通项公式
用待定系数法求解递推数列的通项公式
1待定系数法概述
待定系数法（待实例后，又称勒让德法）是一种求解递推数列通项公式的数学方法。
它以建立恰当的通项公式和找出隐含其中的待定系数为任务来处理数学问题。
因此，它属于一种推广了线性代数知识的计算方法，能够解决较为复杂的数列序列求解问题。
2基本步骤
第一步：准备递推数列，也就是给足够的项，然后依此保持一定的规律，确定n的范围，比如n的取值从0开始，一直到n-1；
第二步：将所有系数都放回到等式左边，将等号右边的数字转化为系数，并写作公式的右边：
第三步：用矩阵解法求解。
假设A=（aij），B=（bi）是m方系数矩阵和m向量，其中i、j可取从1到m，那么求解相应线性代数方程组AX=B，则X=AB-1；
第四步：最后将得到的X中所有的数给出，即得出该递推数列的通项公式。
3示例及应用
以下例子来说明如何使用待定系数法求解递推数列的通项公式：例如：求数列an的通项公式
由给定的递推关系an=an-1-1，可得a0=1
根据待定系数法求解，设an=a0xn：
a0xn=a0x(n-1)-1
化简成：xn-xn-1=-1
可以得出答案：an=a0(xn+1)=a0[(1/2)(-1)n+1]
它最简之形式便是an=1+[(-1/2)n]
待定系数法广泛用于建模和求解相关数列问题，也可用于研究不同类型的递推关系，如定组成规律、数值递推关系、数学表达式和函数表达式等。
有时可以用来解决具有特殊条件的复杂系统，比如比较整数组的格局，或者计算连续随机变量的概率分布等。
巧用待定系数法求an +1 =pan +q 型递推数列通项公式
纵观近年的高考试题可以发现,求形如a n+1=pan+q()p≠0，q≠1的递推数列的通项公式问题出现的频率越来越高，这类题目恰恰是很多同学常常丢分的题目.而待定系数法是解答此类问题的有力“武器”.本文将结合实例来探讨一下用待定系数法求a n+1=pan+q型递推数列的通项公式的思路.用待定系数法求形如a n+1=pa n+q()p≠0，q≠1递推数列的通项公式，需先引入一个待定系数k,使an+1+k=p()a n+k,将其化简可得a n+1=pa n+()p-1k，然后将这个式子与原数列递推式对比可以求得k=qp-1，于是便构造出一个形如{}an+qp-1的等比数列.通过计算可求得该数列的首项为a1+q p-1，公比为p.那么我们就可以运用等比数列的通项公式来求出{}an+qp-1的通项公式,进而得到原数列的通项公式a n=æèçöø÷a1+q p-1p n-1-q p-1.例1.已知数列{}a n中a1=2，a n+1=(2-1)(a n+2)，n∈N.求数列的通项公式.解:设a n+1+t=()2-1()a n+t，将其展开可得()2-2t=2()2-1，由a n+1=()2-1()a n+2得t=-2，则a n+1-2=()2-1()a n-2，所以数列{}an-2是首项为2-2，公比为2-1的等比数列，故a n-2=2()2-1n，所以a n=2()2-1n+2，即{}a n的通项公式为a n=2éëêùûú()2-1n+1.通过引入待定系数t,便构造出首项为2-2，公比为2-1的等比数列,根据等比数列的通项公式便可求出原数列的通项公式.例2.在数列{}a n中，a1=3，a n+1=2a2n()n∈N*，求数列{}a n的通项公式.解:在a n+1=2a2n的两边取对数可得lg a n+1=lg2a2n，即lg a n+1=2lg a n+lg2.令b n=lg a n，则b n+1=2b n+lg2.设b n+1+t=2()b n+t，则t=lg2，可得b n+1+lg2=2()b n+lg2，所以数列{}b n+lg2是首项为lg3+lg2，公比为2的等比数列，所以b n+lg2=()lg3+lg22n-1，即b n=()lg6∙2n-1-lg2，所以lg an=lg62n-1-lg2=lg62n-12，即a n=62n-12.由a n+1=Aa m n()A>0，an>0，m为常数递推式求数列的通项公式,我们需先将递推式变形,即在递推式两边取对数,以便将指数m消去，把递推式转化为an+1=pa n+q的形式,再引入一个待定系数，将其构造成一个新的等比数列的通项，借助等比数列的通项公式求得结果.例3.在数列{}a n中，a1=2，a n=4a n-1+2n，求数列{}a n的通项公式.解:在a n=4a n-1+2n的两边同除以2n,可得an2n=2a n-12n-1+1，令b n=2b n-1+1,则b n+1+1=2()b n-1+1,则{}b n+1是以b1+1=a12+1=2为首项，以2为公比的等比数列.所以b n+1=2∙2n-1=2n，所以b n=2n-1，即a n2n=2n-1，所以a n=4n-2n.对于形如a n+1=pa n+q n()p≠1，q≠0的数列递推式，在求其通项公式时,我们需将q n转化,可以在等式两边同时除以q n，再令b n=a n+1q n，这样便构造出等比数列{}b n+1,求得数列{}b n+1的通项公式，便能快速求得数列{}a n的通项公式.用待定系数法求a n+1=pa n+q型递推数列的通项公式的关键是通过引入待定系数,构造出等比数列.当出现较为复杂的数列递推式时,我们要先将递推式进行适当的变形,如取对数、取倒数等，将其转化为an+1=pa n+q的形式，然后用待定系数法来解题.（作者单位：江苏省无锡市第三高级中学）巧用待定系数法求a n+1=pa n+q孙成成学考方略50Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
待定系数法求通项公式
待定系数法求通项公式
待定系数法是一种求解递推数列通项公式的常用方法。
递推数列是一种按照一定规律递推生成的数列，而通项公式则是这个数列的第n项与n的函数的关系式。
我们可以通过待定系数法来求递推数列的通项公式。
具体地说，待定系数法是一种猜测法，我们假设通项公式为某个形式，再通过数列前几项的值和递推式来确定该形式中出现的未知系数，最终得到通项公式。
以下是待定系数法的具体步骤：
1. 根据数列的性质和规律猜测通项公式的形式，如等差数列通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 根据数列前几项的值和递推式来确定未知系数的值。
3. 验证得到的通项公式是否符合数列的性质和规律。
举例来说，假设我们要求递推数列{an}的通项公式，其中a1=1，a2=2，a3=4，递推式为an=3an-2+2an-1，我们可以按照以下步骤来使用待定系数法求解：
1. 假设通项公式为an=2n+k，其中k为待定系数。
2. 根据数列前几项的值和递推式，得到以下方程组：
a1=2+k
a2=4+k
a3=8+k
an=3an-2+2an-1
将an=2n+k代入递推式得到：
2n+k=3(2n-2+k)+2(2n-1+k)
化简得到k=-1，因此通项公式为an=2n-1。
3. 验证通项公式是否符合数列的性质和规律，可以发现该通项公式满足递推式和数列前几项的值，因此是正确的。
总之，待定系数法是一种简单有效的方法，可以帮助我们求解各种递推数列的通项公式。
待定系数法求数列通项例题
待定系数法求数列通项例题待定系数法是一种求解数列通项公式的重要方法。
通过设定通项公式，然后利用已知条件构造方程组，再求解方程组得到通项公式中的待定系数，最后验证解的正确性。
这种方法在数学竞赛、中学数学教学等领域具有广泛的应用。
待定系数法求数列通项的步骤如下：1.设通项公式假设数列的通项公式为：an = c1 * q^(n-1) + c2 * q^(n-2) + ...+ c_k * q + a，其中c1, c2, ..., c_k为待定系数，q为公比，a为首项。
2.构造方程组根据已知条件，如前n项和、前n-1项和等，可以列出方程组。
以前n项和为例，设Sn为前n项和，有：Sn = c1 * q^n + c2 * q^(n-1) + ...+ c_k * q + a3.求解方程组求解方程组得到待定系数c1, c2, ..., c_k的值。
这里可以使用代入法、消元法等方法求解。
4.验证解的正确性将求得的待定系数代入通项公式，验证是否满足已知条件。
例如，检查前n项和是否与已知值相等。
以下是一个待定系数法求数列通项的实例分析：已知等比数列的前五项分别为1，2，4，8，16。
求该数列的通项公式。
设数列的通项公式为：an = c1 * q^(n-1) + c2 * q^(n-2) + c3 * q^(n-3) + ...+ c_k * q + a。
根据已知条件，我们可以列出方程组：a1 = c1 + c2 + c3 + ...+ c_k + 1a2 = c1 * q + c2 * q^2 + c3 * q^3 + ...+ c_k * q^k + 2a3 = c1 * q^2 + c2 * q^3 + c3 * q^4 + ...+ c_k * q^(k+1) + 4a4 = c1 * q^3 + c2 * q^4 + c3 * q^5 + ...+ c_k * q^(k+2) + 8a5 = c1 * q^4 + c2 * q^5 + c3 * q^6 + ...+ c_k * q^(k+3) + 16解方程组得到：c1 = 1，c2 = 0，c3 = 0，...，ck = 0。
例析用待定系数法求几类递推数列的通项公式_陈增武
例析用待定系数法求几类递推数列的通项公式_陈增武待定系数法是一种常见的求解递推数列通项公式的方法，通过假设数列的通项公式并利用递推关系逐步确定待定系数的值。
本文将以几类典型的递推数列为例，详细阐述待定系数法的应用。
首先考虑等差数列：数列的通项公式一般形式为 an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
假设数列的通项公式为 an = an-1 + d，其中d为公差。
根据递推关系an = an-1 + d，我们可以令an = a1 + (n-1)d，再将an-1 = a1 + (n-2)d代入等式中，经过化简得到 an = a1 +(n-1)d，即数列的通项公式。
其次考虑等比数列：数列的通项公式一般形式为 an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
假设数列的通项公式为 an = a1 * q^n ，其中q为公比。
根据递推关系an = a1 * q^n，我们可以令an = a1 * q ^ (n-1)，再将an-1 = a1 * q ^ (n-2)代入等式中，经过化简得到 an =a1 * q ^(n-1)，即数列的通项公式。
再次考虑斐波那契数列：数列的通项公式一般形式为 an = an-1 +an-2，其中a1 = 1，a2 = 1、假设数列的通项公式为 an = ax ^ n + by ^ n，其中x、y为待定系数。
根据递推关系an = an-1 + an-2，我们可以令an = ax ^ (n-1) + by ^ (n-1)，再将an-1 = ax ^ (n-2) + by ^ (n-2)、an-2 = ax ^ (n-3) + by ^ (n-3)代入等式中，经过化简得到 an = (x + y) * (ax ^ (n-2) + by ^ (n-2)) - aux^(n-3) - by^(n-3)，即数列的通项公式。
最后考虑二次递推数列：数列的通项公式一般形式为 an = a1 * n^2 + b1 * n + c1，其中a1、b1、c1为常数。
用待定系数法求an+1=qan+f(n)类递推数列通项公式的技巧
用待定系数法求an+1=qan+f(n)类递推数列通项公式的技巧
伴随着互联网科技的发展，群体的智慧逐步被推广和释放，越来越多的学习者
和工作者正在潜心研究如何有效地解决数学递推问题。
今天我们来学习一种求解递推数列通项公式的经典方法：待定系数法。
待定系数法用于求解形式为an+1=qan+f(n)的递推数列的通项公式，其原理是
将递推式变形，令an+1−qan=f(n)=(f1,f2,...，fn)T，可以推出
an+1−∑n−1k=1a(n−k+1)q(k−1)=(f1,f2,...，fn)T，有n个未知数a1,a2,...，an，构成一个n阶方程组，可用解联立方程的办法求出构成的递推数列的通项公式。
那么，该如何使用待定系数法呢？首先，理清题目中递推式的形式，即
an+1=qan+f(n)；然后，将递推式变形，令an+1−qan=f(n)=(f1,f2,...，fn)T；再
把联立方程构成的n阶方程组展开，然后就可以用解联立方程的方法求得构成递推数列的通项公式了。
最后，实际应用中，待定系数法用来求解递推数列的通项公式是十分有效的，
然而在使用过程中也有一些注意事项。
首先，待定系数法只能用于求解形式为
an+1=qan+f(n)的递推数列；其次，当求解的递推数列有多重解时，应另行作出选择；最后，求解联立方程这一步骤可能存在求解困难，因此要对待定系数法应用时要慎重。
总结起来，待定系数法是求解递推数列通项公式的有效方法，尤其在互联网科
技领域，有助于提高程序开发者和算法工程师的处理能力，取得更佳的研究成果。
待定系数法构造等比数列求通项公式
待定系数法构造等比数列求通项公式待定系数法的基本思想是通过设定适当的待定系数，将已知的数列进行递推，然后再通过已知的条件来确定系数的值。
对于等比数列，假设其通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
我们需要确定a1和q的值。
首先，我们需要获得等比数列中的两个已知条件，这些条件可以是数列的一些项的值，或者是数列的前n项和。
根据这些已知条件，我们可以设立方程并求解出待定系数的值。
下面，我们将以具体的例子来说明待定系数法的具体步骤。
例1：已知等比数列的前两项分别是a1=2和a2=6，求该数列的通项公式。
步骤1：根据已知条件设立方程。
首先，我们可以根据等比数列的定义得到：a2/a1=q。
代入已知条件a1=2和a2=6，我们得到6/2=q，即q=3步骤2：利用求得的待定系数来确定通项公式。
将q=3代入等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1)，我们可以求得an=2*3^(n-1)。
至此，我们求得了该数列的通项公式。
通过这个例子，我们可以了解到待定系数法的基本步骤：根据已知条件设立方程，然后通过求解方程来确定待定系数的值，并最终求得数列的通项公式。
在实际应用中，有时我们需要确定的是数列的前n项和，而不仅仅是数列的一些项的值。
在这种情况下，需要额外使用求和公式来设立方程。
例2：已知等比数列的前两项分别是a1=2和a2=6，其前三项和为S3=54，求该数列的通项公式。
步骤1：根据已知条件设立方程。
首先，我们可以根据等比数列的定义得到：a2/a1=q。
代入已知条件a1=2和a2=6，我们得到6/2=q，即q=3然后，根据等比数列前n项和的公式Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)，我们可以得到S3=2*(3^3-1)/(3-1)=54步骤2：利用求得的待定系数来确定通项公式。
将q=3代入等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1)，我们可以得到an=2*3^(n-1)。
至此，我们求得了该数列的通项公式。
数列求通项公式的五种重要方法
求通项公式的5种重要方法一、Sn 法，根据等差数列、等比数列的定义求通项an=Sn-S n-1*121{}(1)()3(1),;(2):{}.n n n n n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列二、累加、累乘法1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=例1例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
2、累乘法 适用于： 1()n n a f n a += 若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na a a f f f n a a a +===，，， n a例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
例5 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.例6 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。
三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+分析：通过凑配可转化为1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+;解题基本步骤：1、确定()f n2、设等比数列{}1()n a f n λ+，公比为2λ3、列出关系式1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+4、比较系数求1λ，2λ5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式例7 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。
浅谈用待定系数法求数列通项公式
33
3
a1与通项an公式.
2. （2009年全国Ⅱ理科卷）设数列{an}的前n项
和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2.
（1）设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式.
筲参考答案
1. a1=2，an=4n-2n.
2.（1） 证略 ，{bn}是 以3为 首 项 ，2 为 公 比 的 等 比
恰恰是解题的关键所在. 实际上是利用了待定系数
法得以实现.
设an-san-1=t（an-1-san-2），即an=（s+t）an-1-stan-2，比较
≥ 系数，得 ss+t=t-=32，，所以s，t是一元二次方程x2-2x-3=0的
≥ ≥ 两根，解得
st==-31，或
s=-1， t=-3.
因此 ，便 得 到 an - 3an-1=-（an-1-3an-2）以及an+an-1=
3（an-1+an-2）这两个关键的式子.
下面，我们来看看由此演变出来的各个高考试
题或模拟试题.
例 1 （% 2007年天津文科卷第20题）在数列{an}
中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*.证明数列{an-n}是等比 数列.
证明 设an+1-x（n+1）=4（an-xn），则an+1=4an-3xn+x.
例 4 （% 2005年江西卷）已知数列{an}各项为正
数，且满足a1=1，an+1=
1 2
a（n 4-an）（n∈N*）.
（1）求证：an<an+1<2（n∈N*）； （2）求数列{an}的通项公式.
递推数列待定系数法
递推数列待定系数法
递推数列是指每一项数值都由前面的项数值来递推得到的数列。
在递推数列待定系数法中，我们可以通过设定一些待定系数来得到递推式，然后通过求解这些待定系数的值，找到数列的通项公式。
设递推数列的通项公式为：
an = c1an-1 + c2an-2 + ... + ckan-k，
其中c1, c2, ..., ck为待求系数，k为递推的步长。
为了求解这些待定系数，我们需要已知数列中的一些初始条件。
通常，我们需要知道数列的前几项，如a1, a2, a3, ...，作为初
始条件。
假设我们已知数列的前几项a1, a2, a3，我们可以代入这些初
始条件到递推式中，得到一系列的等式。
然后，通过求解这些等式中的待定系数，可以得到数列的通项公式。
举个例子，假设已知数列的前三项是1, 2, 3，我们设递推式为an = c1an-1 + c2an-2，代入初始条件得到以下等式：
a2 = c1a1 + c2a0
a3 = c1a2 + c2a1
将初始条件代入这两个等式，得到：
2 = c1 * 1 + c2 * a0
3 = c1 * 2 + c2 * 1
然后，通过解这个方程组，求解出c1和c2的值，进而得到数列的通项公式。
递推数列待定系数法可以用于求解各类递推数列问题，但需要正确设定递推式和初始条件，并使用合理的数学方法来求解。
数列待定系数法公式
数列待定系数法公式数列待定系数法是解决递推关系式问题的一种常用方法，它的基本思路是：设出数列的通项公式并求出待定系数的值，从而得到数列的通项公式，进而求出数列中任意一项的值。
接下来，本文将详细介绍数列待定系数法的公式和具体步骤，希望能为大家提供一些参考和帮助。
一、数列待定系数法公式假设有一个数列 {an}，它的通项公式为 an = a1 + (n-1)d +c1n + c2n² + c3n³ + … + ck nk，其中 d 为公差，c1、c2、c3、…、ck 为待定系数，k 为低于 n 的正整数。
那么，我们可以通过数列待定系数法求出 c1、c2、c3、…、ck 的值，从而确定数列的通项公式。
二、数列待定系数法具体步骤1. 带入部分已知项首先需要将前几项数列的值带入公式中，得到一个关于 c1、c2、c3、…、ck 的方程组。
例如，若已知数列的前三项分别为 a1、a2、a3，则可得以下方程组：a1 = a1 + c1 + c2 + c3 + … + cka2 = a1 + d + 2c1 + 4c2 + 8c3 + … + 2k-1cka3 = a1 + 2d + 3c1 + 9c2 + 27c3 + … + 3k-1ck2. 确定待定系数的个数由于方程组中未知数的个数是无穷多的，因此需要根据已知项的个数来确定待定系数的个数。
通常可以根据公式的形式和题目要求来确定，一般来说，待定系数的个数要等于公式中多项式的最高项次数。
3. 解方程组求解待定系数将步骤1中得到的方程组进行化简和求解，得到待定系数的值。
这一步需要采用数学中的代数方法，如高斯消元法、克莱姆法则等。
4. 求解数列的通项公式将待定系数的值代入数列通项公式中，即可求得数列的通项公式。
例如，若经过求解得到 c1 = 1、c2 = 1、c3 = 1，则数列的通项公式为 an = a1 + (n-1)d + n + n² + n³。
数列求通项待定系数法
数列求通项——待定系数法数列是数学中研究的一种有规律的数值序列，其中的数字按照一定的顺序排列。
在数学和实际问题中，我们常常需要找出数列中的通项公式，即由前n项推导出第n+1项的规律，以便求解更高项的数值。
待定系数法是数列求通项的一种常见方法。
在这种方法中，我们通过假设通项公式的形式，并运用数学技巧和已知条件来得到待定系数的值，从而求得数列的通项公式。
下面我们将详细介绍待定系数法的具体步骤和应用。
一、待定系数法的步骤1. 观察数列规律首先，我们需要观察数列的规律，找出其中的特点和规律性模式。
我们可以先计算数列的前几项，并观察相邻项之间的变化和关系。
通过观察，我们可能会发现一些特殊的关系，如等差数列（公差为常数）或等比数列（公比为常数）。
2. 假设通项公式在观察数列规律的基础上，我们可以假设数列的通项公式。
通项公式用一般的数学符号表示，并含有待定的系数。
假设数列的通项公式为an = a0 + b n + c n^2 +d*n^3 + … ，其中a0、b、c、d等均为待定系数。
3. 运用已知条件建立方程接下来，我们需要利用已知条件建立方程。
已知条件通常是数列的前几项或其他与数列相关的信息。
我们将已知条件带入假设的通项公式中，得到一个或多个方程。
4. 解方程求解待定系数再利用代数运算和方程解法的方法，求解出方程中的待定系数。
这些待定系数的值就是使通项公式成立的解。
我们可以使用代数的方法求解方程，如消元法、因式分解、配方法等。
5. 验证通项公式最后，我们需要验证求得的通项公式是否正确。
通过将待定系数的值带入通项公式，计算数列的前几项，看是否与已知条件相符。
如果符合条件，则得到了数列的通项公式；如果不符合条件，可能是在前面的步骤中出现了错误，需要重新检查和修改。
二、待定系数法的应用举例待定系数法可以应用于各种类型的数列，下面我们以常见的等差数列和等比数列为例进行说明。
1. 等差数列假设我们有一个等差数列，已知前三项分别为a1、a2、a3。
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用待定系数法求an=Aan－1＋B型数列通项例:数列{an}满足a1=1且an＋1＋2an=1，求其通项公式。
解：由已知，an＋1＋2an=1，即an=－2 an—1＋1令an＋x=－2（an－1＋x），则an=－2 an－1－3x，于是－3x=1，故x=－13∴an－13 =－2（an－1－13 ）故{ an－13 }是公比q为－2，首项为an－13 =23 的等比数列∴an－13 =23 （－2）n－1=1－（－2）n3评注：一般地，当A≠1时令an＋x=A（an－1＋x）有an=A an－1＋（A－1）x，则有（A－1）x=B知x=BA－1 ，从而an＋BA－1 =A（an－1+BA－1 ），于是数列{an＋BA－1 }是首项为a1+BA －1 、公比为A的等比数列，故an＋BA－1 =（a1+BA－1 ）An－1，从而an=（a1+BA－1 ）An－1－BA－1 ；特别地，当A=0时{an}为等差数列；当A≠0，B=0时，数列{an}为等比数列。
推广：对于an=A an－1＋f（n）（A≠0且A∈R）型数列通项公式也可以用待定系数法求通项公式。
例:数列{an}满足a1=1且an=2an－1＋13n（n≥2），求an。
解：令an＋x•13n=2（an＋x•13n-1）则an=2an－1+ 2x•13n-1－x•13n=53 x•13n-1=5x•13n而由已知an=2an－1＋13n故5x=1，则x=15 。
故an＋15 •13n＝2（an－1＋15 •13n-1）从而{an＋15 •13n}是公比为q=2、首项为a1＋15 •13=1615 的等比数列。
于是an＋15 •13n=1615 ×2n－1，则an=1615 ×2n－1－15 •13n=115 （2n+3－13n－1）评注：一般情况，对条件an=Aan－1+f（n）而言，可设an+g（n）=A[an－1+g（n－1）]，则有Ag（n －1）－g（n）=f（n），从而只要求出函数g（n）就可使数列{ an+g（n）}为等比数列，再利用等比数列通项公式求出an。
值得注意的是an+g（n）与an－1+g（n－1）中的对应关系。
特别地，当f（n）=B（B 为常数）时，就是前面叙述的例8型。
这种做法能否进一步推广呢？对于an=f（n）an－1+g（n）型数列可否用待定系数法求通项公式呢？我们姑且类比做点尝试：令an+k（n）=f（n）[an－1+k（n－1）]，展开得到an =f（n）an－1+f（n）k（n－1）－k（n），从而f（n）k（n－1）－k（n）= g（n），理论上讲，通过这个等式k（n）可以确定出来，但实际操作上，k（n）未必能轻易确定出来，请看下题：数列{an}满足a1=1且an=n2nan－1+1n+1 ，求其通项公式。
在这种做法下得到n2nk（n－1）－k（n）=1n+1 ，显然，目前我们用高中数学知识还无法轻易地求出k （n）来。
通过Sn求an例10：数列{an}满足an =5Sn－3，求an。
解：令n=1，有a1=5an－3，∴a1=34 。
由于an =5Sn－3………①则an-1 =5 Sn-1－3………②①－②得到an－an-1=5（Sn－Sn-1）∴an－an－1 =5an故an=－14 an-1，则{an}是公比为q=－14 、首项an=34 的等比数列，则an=34 （－14 ）n-1评注：递推关系中含有Sn，通常是用Sn和an的关系an=Sn－Sn－1（n≥2）来求通项公式，具体来说有两类：一是通过an=Sn－Sn－1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为项与项的关系，再根据新的递推关系求出通项公式；二是通过an=Sn－Sn－1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为前n 项和与前n－1项和的关系，再根据新的递推关系求出通项公式1 观察法2 逐减法对an-a(n-1)=f(n)型3 累商法对a(n+1)/a(n)=f(n)型4 迭代法5 待定系数法6 对数转换法7 倒数转换法8 公式法有一个相当复杂的公式基本不会用到9 a(n+1)=pan+q型设a(n+1)-m=p(an-m)a(n+1)=pan+m-pmm-pm=q 就能求出mx=px+q叫特征方程10 a(n+1)=pan+f(n)型a(n+1)/[p^(n+1)]=an/p^n+f(n)/[p^(n+1)]设bn=an/p^nb(n+1)=bn+ f(n)/[p^(n+1)]11 a(n+2)=pa(n+1)+qn 型an=pa(n-1)+qa(n-2)设an-ma(n-1)=k[a(n-1)-ma(n-2)]an=(m+k)a(n-1)-kma(n-2)m,k是x^2-px+q=0两根x^2-px+q=0是特征方程求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。
通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。
1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a n +k }的形式求解例1、数列{a n }满足a 1=1，a n =21a 1-n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。
解：由a n =21a 1-n +1（n ≥2）得a n －2=21（a 1-n －2），而a 1－2=1－2=－1， ∴数列{ a n －2}是以21为公比，－1为首项的等比数列 ∴a n －2=－（21）1-n ∴a n =2－（21）1-n 说明：这个题目通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{ a n －2}，从而达到解决问题的目的。
一般地，形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解：设a 1+n +k=p （a n +k ）与原式比较系数可得pk －k =q ，即k=1-p q ，从而得等比数列{a n +k }。
例2、数列{a n }满足a 1=1，0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式。
解：由0731=-++n n a a 得37311+-=+n n a a 设a )(311k a k n n +-=++，比较系数得373=--k k 解得47-=k ∴{47-n a }是以31-为公比，以43471471-=-=-a 为首项的等比数列 ∴1)31(4347--⨯-=-n n a ∴1)31(4347--⨯-=n n a 2、通过分解系数，可转化为特殊数列}{1--n n a a 的形式求解例3、数列{a n }满足23,5,21221+-==++n n a a a a n a =0，求数列{a n }的通项公式。
分析：递推式02312=+-++n n n a a a 中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项1+n a 的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列}{1--n n a a 。
解：由02312=+-++n n n a a a 得0)(2112=---+++n n n n a a a a即）n n n n a a a a -=-+++112(2，且32512=-=-a a∴}{1n n a a -+是以2为公比，3为首项的等比数列∴1123-+⋅=-n n n a a利用逐差法可得112111)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=-++=2232323021+⋅++⋅+⋅-- n n=2)1222(321+++++⋅-- n n =221213+--⋅n=123-⋅n∴1231-⨯=-n n a说明：这种方法适用于n n n qa pa a +=++12型的递推式，通过对系数p 的分解，可得等比数列}{1--n n a a ：设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++，比较系数得q hk p k h =-=+,，可解得k h ,。
例4、数列{a n }中，n n n a a a a a +===++122123,2,1，求数列{a n }的通项公式。
解：由n n n a a a +=++1223得,313212n n n a a a +=++设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++ 比较系数得3132=-=+kh h k ，，解得31,1-==h k 或1,31=-=h k 若取31,1-==h k ，则有)(31112n n n n a a a a --=-+++ ∴}{1n n a a -+是以31-为公比，以11212=-=-a a 为首项的等比数列 ∴11)31(-+-=-n n n a a 由逐差法可得112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =11)31()31()31()31(232++-+-++-+--- n n=1311)31(11++---n =11)31(43471)31(143---⨯-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n n 说明：若本题中取1,31=-=h k ，则有n n n n a a a a 3131112+=++++即得 }31{1n n a a ++为常数列，故373123131311211=+=+==+=+-+a a a a a a n n n n 可转2。
高中数学解题基本方法——待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a 值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：① 利用对应系数相等列方程；② 由恒等的概念用数值代入法列方程；③ 利用定义本身的属性列方程；④ 利用几何条件列方程。