第1章：流体力学基本概念汇总
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连续介质方法
把流体看作连续介质，认为流体是由质点组成的，质点是由分子组 成的，质点在微观上充分大，在宏观上充分小。假设场变量（速度 、密度、压强等）在连续介质的每一点都有唯一确定的值，连续介 质遵守质量、动量和能量守恒定律。从而推导出场变量的微分方程 组。流体力学采用连续介质的方法。
连续介质方法
1.1 连续介质假说
u u(x, y, z,t) (x, y, z,t)
当采用欧拉参考系时，定义了空间的场。
拉格朗日参考系
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
着眼于每个流体质点，描述每个流体质点自始至终的运动过 程，即它们的位置随时间变化的规律，
r r (x0 , y0 , z0 ,t)
式中x0, y0, z0 是 t =t 0 时刻流体质点空间位置的坐标。可以是曲 线坐标，也可以是直角坐标，是流体质点的标号。
z
u v w
t x y z
D 在欧拉参考系下的表达式（在拉格朗日参考系下推导）
Dt
x x(x0 , y0 , z0 ,t)
y y(x0 , y0 , z0 ,t) z z(x0 , y0 , z0 ,t)
此时 x, y, z 不再是独立变量，而是
x0 , y0 , z0 , t 的函数
通常力学和热力学定律都是针对系统的，于是需要在拉格朗日参考系下推导 基本守恒方程，而绝大多数流体力学问题又是在欧拉参考系下求解的，因此 需要寻求联系两种参考系下场变量及其导数的关系式
欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
欧拉参考系：
u u(x, y, z,t)
u t x,y,z
设场变量 Βιβλιοθήκη Baidu，则
D
Dt
表示某一流体质点的
随时间的变化
，即一个观察者随同流体一起运动，并且一直盯着某一特定流
体质点时所看到的 随时间的变化。
D 是拉格朗日参考系下的时间导数。
Dt
D
Dt
在欧拉参考系下的表达式（在欧拉参考系下推导）
t 时刻， (x, y, z,t)
t t 时刻， (x x, y y, z z,t t)
系统和控制体
系统
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
某一确定流体质点集合的总体。随时间改变其空间位置、大小和形状；系统边 界上没有质量交换；始终由同一些流体质点组成。
在拉格朗日参考系中，通常把注意力集中在流动的系统上，应用质量、动量和 能量守恒定律于系统，即可得到拉格朗日参考系中的基本方程组
控制体
流场中某一确定的空间区域，其边界称控制面。流体可以通过控制面流进流 出控制体，占据控制体的流体质点随时间变化。 为了在欧拉参考系中推导控制方程，通常把注意力集中在通过控制体的流体 上，应用质量、动量和能量守恒定律于这些流体，即可得到欧拉参考系中的 基本方程组。
某一空间点上的流体速度变化，称当地导数或局部 导数。
拉格朗日参考系：
u u(x0 , y0 , z0 ,t)
u
t x0 , y0 ,z0
流体质点的速度变化，即加速度。
在欧拉参考系下用 Du 表示流体质点的速度变化。
Dt
随体导数
流体质点携带的物理量随时间的变化率称为质点的随体倒数。 随体导数又称质点导数，物质导数。
当流体分子的平均自由程远远小于流场的最小宏观尺度时， 可用统计平场的方法定义场变量如下：
u lim ( v m) V m
lim ( m)
V V
在微观上充分大，宏观上充分小。
连续介质方法的适用条件
1.1 连续介质假说
1 L3
n
n为单位体积的分子数（特征微观尺度是分子自由程）， L为最小宏观尺度。
(x, y, z,t) x(x0 , y0 , z0 ,t), y(x0 , y0 , z0 ,t), z(x0 , y0 , z0 ,t), t
D
x
x y
z
Dt
t x0 , y0 ,z0
t x t y t z t x,y,z
y , z ,t
x0 , y0 ,z0
x , z ,t
x0 , y0 ,z0
流体质点
1.1 连续介质假说
由确定流体分子组成的流体团，流体由流体质点连续无间隙地 组成，流体质点的体积在微观上充分大，在宏观上充分小。
流体质点是流体力学研究的最小单元。
当讨论流体速度、密度等变量时，实际上是指流体质点的速 度和密度。
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
欧拉参考系 着眼于空间点，在空间的每一点上描述流体运动随时间的变化。 独立变量x, y, z, t
泰勒级数展开， (x x, y y, z z,t t)
(x, y, z,t) t x y z
t
x
y
z
D lim 1 (x x, y y, z z,t t) (x, y, z,t)
Dt t0 t
lim
t0
t
x t
x
y t
y
z t
独立变量x0, y0, z0, t。
x, y, z 不再是独立变量，x - x0 = u ( t - t0), y - y0 = v (t - t0), z - z0 = w (t - t0), T =T(x0, y0, z0, t), ρ=ρ(x0, y0, z0, t)。
用x0, y0, z0来区分不同的流体质点，而用t来确定流体质点 的不同空间位置。
在通常温度和压强下，边长2微米的立方体中大约包含2×108个气 体分子或2×1011液体分子；在日常生活和工程中，绝大多数场合 均满足上述条件，连续介质方法无论对气体和液体都适用。
1.1 连续介质假说
连续介质方法失效场合 导弹和卫星在高空的稀薄气体中飞行，此时微观特征尺度接近宏 观特征尺度； 研究激波结构，此时宏观特征尺度接近微观特征尺度。
第一章 流体力学基本概念
1.1 连续介质假说
推导流体力学基本方程的两条途径 统计方法
把流体看作由运动的分子组成，认为宏观现象起源于分子运动，采用统 计平均的方法建立宏观物理量满足的方程，并确定流体的性质。 对于偏离平衡态不远的流体可推导出质量、动量和能量方程，给出输运
系数（μ，κ）的表达式。
对于单原子气体已有成熟理论，对多原子气体和液体理论尚不完整。
x, y,t
x0 , y0 ,z0
u v w
t x y z
矢量和张量形式的随体导数
把流体看作连续介质，认为流体是由质点组成的，质点是由分子组 成的，质点在微观上充分大，在宏观上充分小。假设场变量（速度 、密度、压强等）在连续介质的每一点都有唯一确定的值，连续介 质遵守质量、动量和能量守恒定律。从而推导出场变量的微分方程 组。流体力学采用连续介质的方法。
连续介质方法
1.1 连续介质假说
u u(x, y, z,t) (x, y, z,t)
当采用欧拉参考系时，定义了空间的场。
拉格朗日参考系
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
着眼于每个流体质点，描述每个流体质点自始至终的运动过 程，即它们的位置随时间变化的规律，
r r (x0 , y0 , z0 ,t)
式中x0, y0, z0 是 t =t 0 时刻流体质点空间位置的坐标。可以是曲 线坐标，也可以是直角坐标，是流体质点的标号。
z
u v w
t x y z
D 在欧拉参考系下的表达式（在拉格朗日参考系下推导）
Dt
x x(x0 , y0 , z0 ,t)
y y(x0 , y0 , z0 ,t) z z(x0 , y0 , z0 ,t)
此时 x, y, z 不再是独立变量，而是
x0 , y0 , z0 , t 的函数
通常力学和热力学定律都是针对系统的，于是需要在拉格朗日参考系下推导 基本守恒方程，而绝大多数流体力学问题又是在欧拉参考系下求解的，因此 需要寻求联系两种参考系下场变量及其导数的关系式
欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
欧拉参考系：
u u(x, y, z,t)
u t x,y,z
设场变量 Βιβλιοθήκη Baidu，则
D
Dt
表示某一流体质点的
随时间的变化
，即一个观察者随同流体一起运动，并且一直盯着某一特定流
体质点时所看到的 随时间的变化。
D 是拉格朗日参考系下的时间导数。
Dt
D
Dt
在欧拉参考系下的表达式（在欧拉参考系下推导）
t 时刻， (x, y, z,t)
t t 时刻， (x x, y y, z z,t t)
系统和控制体
系统
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
某一确定流体质点集合的总体。随时间改变其空间位置、大小和形状；系统边 界上没有质量交换；始终由同一些流体质点组成。
在拉格朗日参考系中，通常把注意力集中在流动的系统上，应用质量、动量和 能量守恒定律于系统，即可得到拉格朗日参考系中的基本方程组
控制体
流场中某一确定的空间区域，其边界称控制面。流体可以通过控制面流进流 出控制体，占据控制体的流体质点随时间变化。 为了在欧拉参考系中推导控制方程，通常把注意力集中在通过控制体的流体 上，应用质量、动量和能量守恒定律于这些流体，即可得到欧拉参考系中的 基本方程组。
某一空间点上的流体速度变化，称当地导数或局部 导数。
拉格朗日参考系：
u u(x0 , y0 , z0 ,t)
u
t x0 , y0 ,z0
流体质点的速度变化，即加速度。
在欧拉参考系下用 Du 表示流体质点的速度变化。
Dt
随体导数
流体质点携带的物理量随时间的变化率称为质点的随体倒数。 随体导数又称质点导数，物质导数。
当流体分子的平均自由程远远小于流场的最小宏观尺度时， 可用统计平场的方法定义场变量如下：
u lim ( v m) V m
lim ( m)
V V
在微观上充分大，宏观上充分小。
连续介质方法的适用条件
1.1 连续介质假说
1 L3
n
n为单位体积的分子数（特征微观尺度是分子自由程）， L为最小宏观尺度。
(x, y, z,t) x(x0 , y0 , z0 ,t), y(x0 , y0 , z0 ,t), z(x0 , y0 , z0 ,t), t
D
x
x y
z
Dt
t x0 , y0 ,z0
t x t y t z t x,y,z
y , z ,t
x0 , y0 ,z0
x , z ,t
x0 , y0 ,z0
流体质点
1.1 连续介质假说
由确定流体分子组成的流体团，流体由流体质点连续无间隙地 组成，流体质点的体积在微观上充分大，在宏观上充分小。
流体质点是流体力学研究的最小单元。
当讨论流体速度、密度等变量时，实际上是指流体质点的速 度和密度。
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
欧拉参考系 着眼于空间点，在空间的每一点上描述流体运动随时间的变化。 独立变量x, y, z, t
泰勒级数展开， (x x, y y, z z,t t)
(x, y, z,t) t x y z
t
x
y
z
D lim 1 (x x, y y, z z,t t) (x, y, z,t)
Dt t0 t
lim
t0
t
x t
x
y t
y
z t
独立变量x0, y0, z0, t。
x, y, z 不再是独立变量，x - x0 = u ( t - t0), y - y0 = v (t - t0), z - z0 = w (t - t0), T =T(x0, y0, z0, t), ρ=ρ(x0, y0, z0, t)。
用x0, y0, z0来区分不同的流体质点，而用t来确定流体质点 的不同空间位置。
在通常温度和压强下，边长2微米的立方体中大约包含2×108个气 体分子或2×1011液体分子；在日常生活和工程中，绝大多数场合 均满足上述条件，连续介质方法无论对气体和液体都适用。
1.1 连续介质假说
连续介质方法失效场合 导弹和卫星在高空的稀薄气体中飞行，此时微观特征尺度接近宏 观特征尺度； 研究激波结构，此时宏观特征尺度接近微观特征尺度。
第一章 流体力学基本概念
1.1 连续介质假说
推导流体力学基本方程的两条途径 统计方法
把流体看作由运动的分子组成，认为宏观现象起源于分子运动，采用统 计平均的方法建立宏观物理量满足的方程，并确定流体的性质。 对于偏离平衡态不远的流体可推导出质量、动量和能量方程，给出输运
系数（μ，κ）的表达式。
对于单原子气体已有成熟理论，对多原子气体和液体理论尚不完整。
x, y,t
x0 , y0 ,z0
u v w
t x y z
矢量和张量形式的随体导数