专题：物理模型的建立

物理模型法

目标：理解物理模型的建立在物理学习（特别是解题）中有十分广泛的应用，掌握平抛运动、圆周运动、碰撞、反冲、单摆等一系列物理模型的特点和研究方法，学会将研究对象简化成理想模型、将新的物理情景抽象成我们熟知的物理模型并加以解决，并且在解题中不断建立新的物理模型。

例题：

例题一 试估算金原子

Au 19779的大小，并从α粒子散射实验中估算金核的大小。设α粒子速度s m v /1060.1272-⨯=，质子质量kg m 271067.1-⨯=ρ，元电荷c e 191060.1-⨯=，静电引力恒量为229/100.9c m N k ∙⨯=，金的密度

33/103.19m kg ⨯=ρ，阿伏加德罗常数为1231002.6-⨯=mol N A ，已知试探电荷q 在距点电荷Q 为r 处时具有的电势能r kQq E /=ρ。（计算结果取一位有效数字） 解：金原子的摩尔体积为3533

1002.1103.1910197m M

V --⨯=⨯⨯==ρ 单个分子体积v=32910696.1m N V A

-⨯= 设金原子直径为d ，则由36

1d v π=，代入数据后得m d 10101-⨯= 当α粒子最接近金核时，可以认为α粒子的速度几乎减小为零，此时有

r

Qq k E v m ==ραα21 代入数据得14104-⨯=r m

点评：本题属于物质结构模型的建立。题中要估算金原子的直径，需建立原子的球体模型，用球体积最终求得分子的直径。而在研究金原子核半径时，应与α粒子与金原子核的最近距离作为金属原子核的半径。事实上，本题中粒子与金原子核在作用过程中，只有当两核速度相等时，距离最近。但考虑到金原子核的质量远大于粒质量，故近似的认为金原子核静止不动，这样的模型，虽简单但不影响本题的作答。

例题二 如图所示，小球的质量为m ，带电量为q ，整个区域加一个场强大小为E 的水平方向的匀强电场，小球系在长为L 的绳子的一端，且在与竖直方向成45°角的P 点处于平衡。则 （1）电场力多大？

（2）如果小球被拉至与O 点在同一水平位置的C 点自由释放，则小球到达A 点的速度是多大？此时绳上的拉力又为多大？ （3）在竖直平面内，如果小球以P 点为中心作微小的摆动，其振动周期如何求解？

（4

）若使小球在此竖直平面内恰好做圆周运动时，最大速度和最小速度分别在哪点？大小例2图

分别为多少？

解：

（1）小球在P 处处于平衡，由平衡条件可知 电场力qE=mg

（2）由于小球无论在哪个位置所受重力和电场力均不发生变化，因此重力和电场力可以等效成一个新的合场力F ，大小mg F 2=，方向与竖直方向成45°角斜向左下。 小球从C 点运动到A 点的过程中，合场力F 作功为零，由动能定理，得

0,02

12===A F V W mv 绳中拉力为mg （3）小球可等效在新的合场力F 作用下作单摆，其等效重力加速度g m F g 2//==，则其周期 g L g L T 222/ππ==

（4）小球在等效场中作竖直平面内的圆周运动中。通过与重力场中类比，小球应在速度最

大的P 点（可视为等效最低点）的对称点P /（可视为等效最高点）点的速度最小。

小球在等效最高点P /，由牛顿第二定律mg F L v m P 22/

==

解得 gl V P 2/=

小球从P /到P 点，由动能定理，得

L mg mV mV P P 222

12122⋅=- 解得 gl V P 25=

点评：本题属于运动模型—圆周运动的等效类比。平时在学习物理的过程中要熟知一些常规模型的受力特点、应用规律、使用范围，对相似、相近的物理情景易产生类比联想，从而形成需解决问题与已解决问题的内在联系的桥梁，实现已知物理模型向新物理模型的有效迁移。

例题三 如图所示，是一种记录地震装置的水平摆，摆球固定在边长为L ，质量可忽略不计的等边三角形的顶点A 上，它的对边BC 跟竖直线成

不大的夹角α，摆球可绕固定轴BC 摆动，求摆球微小摆动时的周期。 解：如图所示，过A 点作BC 垂线，交BC 于O 点，OA 即为等效单摆的

摆长，其长度为L /=Lsin60°=L 23。摆球在平衡位置时，把摆球的重力G 分解为与BC 平行的分力G 1和与BC 垂直的分力G 2，则G 2=Gsin α,等效重力加速度g /=G 2/m=gsin α,因而摆球做微小振动的周期α

ππsin 2322g L g L T =''= 点评：本题属于运动模型—单摆模型。是地震仪中水平摆测周期的实际

问题，实质上是单摆周期公式的变通应用。

2

例题四 如图所示，宽为d 、质量为M 的正方形木静止在光滑水

平面上，一质量m 的小球由静止开始沿“Z ”字通道从一端运动到另

一端，求木块-和小球的对地位移。

解：把小球和木块看成一个系统,由于水平方向所受合外力为零,

则水平方向动量守恒.设小球的水平速度为v 1、木块的速度为v 2，则

有 mv 1=Mv 2

若小球对地位移为 s 1、木块对地位移为s 2，则有 ms 1=Ms 2

且 s 1+s 2=d 解得 m M Md s +=1 m

M md s +=2 点评：本题属于作用过程模型—人船模型。这不仅是动量守恒问题中典型的物理模型，也是最重要的力学综合模型之一。利用人船模型及其典型变形，通过类比和等效，可使许多动量守恒问题的分析思路和解答步骤变得极为简单，有时可直接看出答案。

习题：

1、现有一定质量的氢气，装在密闭的绝热气缸内，如图所示。若稍稍向

下移动活塞压缩气体，下列叙述符合事实的是

A 、气体的内能一定增加

B 、气体的温度一定升高

C 、气体的温度可能不变

D 、气体分子平均间距不变

（友情提示：建立物质结构模型—理想气体）

2、近几年我国北方地区常遭遇到沙尘暴天气。现把沙尘上扬后的情况简化为如下情景：v 为竖直向上的风速，沙尘颗粒被扬起后悬浮在空中（不动）。这时风对沙尘的作用力相当于空气不动而沙尘以速度v 竖直向下运动时所受的阻力，此阻力可用下式表示f= αρsv 2，其中α为一系数，s 为沙尘颗粒的载面积，ρ为空气密度。若沙粒的密度s ρ=2.8×103Kg/m 3,沙尘颗粒为球形，半径r=2.5×10-4m,地球表面处空气密度ρ0=1.25Kg/m 3

,α=0.45,试估算在地面附近，上述v 的最小值v 1。

（友情提示：建立运动模型—终极速度模型）

3、如图所示，电容器固定在一个绝缘座上，绝缘座放在光滑水平面上，平行板电容器板间距离为d ，右极板有一个小孔，通过孔有一绝缘杆，左端固定在左极板上，电容器极板连

同底座、绝缘杆总质量为M 。给电容器充电后，有一质量为m

的带正电环恰套在杆上以某一初速度v 0对准小孔向左运动，设

带电环不影响电容器板间电场的分布。带电环进入电容器后距

左板的最小距离为d/2，试求带电环与左极板相距最近时的速度

v ，并求出此过程中电容器移动的距离。 （友情提示：建立作用过程模型—子弹打木块）

4、由长度依次为L 和2L 的AC 和BC 两根细绳悬挂着小球G ，如图所示，每根细绳跟竖直方向的夹角均为30°。当该小球向纸外做微小摆动时，其摆动周期为多少？

（友情提示：建立运动模型—单摆）

5、在水平地面上建有相互平行的A 、B 两竖直墙，墙高h=20m ，相距d=1m ，墙面光滑。从一高墙上以水平速度v 0=5m/s 抛出一个弹性小球，与两墙面反复碰撞后落地（如右图所示）。试求：

第1题图

例4图

第3题图