指数与指数函数图像及性质(教师版)

指数与指数函数图像及性质

【知识要点】 1．根式

（1）如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根.其中1>n ，且*

∈N n 。

（2）如果a x n

=，当n 为奇数时，n a x =；当n 为偶数时，n a x ±=()0>a .其中n a

叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 其中1>n ，且*

∈N n 。

(3)()

()

*∈>==N n n a a n

n

n ,1,

00。

(4)

,||,a n a n ⎧=⎨

⎩为奇数

为偶数 其中1>n ，且*∈N n 。 2. 分数指数幂

(1)正分数指数幂的定义: n m n m

a a =()1,,,0>∈>*n N n m a

(2)负分数指数幂的定义: n

m n

m a

a

1=-

()

1,,,0>∈>*

n N

n m a

(3) 要注意四点：

①分数指数幂是根式的另一种表示形式； ②根式与分数指数幂可以进行互化； ③0的正分数指数幂等于0； ④0的负分数指数幂无意义。 (4)有理数指数幂的运算性质:

①s

r s

r

a a a +=⋅()Q s r a ∈>,,0；

② ()

rs s

r

a a =()Q s r a ∈>,,0；

③()r r r

b a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0.

3.无理数指数幂

(1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。

4．指数函数的概念：

一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。

5．指数函数的图像与性质

第一课时

【典例精讲】

题型一 根式、指数幂的化简与求值

1.n a叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，规定：1a a

=；

2.

(1,)

n a n n N

+

=>∈

,

,

||,

a n

a n

⎧

=⎨

⎩

为奇数

为偶数

；

3.

1

(0,,,)

n

m

n

m

n

a a m n N

m

a

-

+

=>∈且为既约分数

，=

a a

αβαβ

（）.

【例1】计算下列各式的值．

（1

（2

；（3

；（4

)

a b

>

.

正确解析：（1

8 =-

；

（2

|10|10 =-=

；

（3

|3|3

ππ

=-=-

；

（4

||() a b a b a b =-=->

.

温馨提醒：

(1) n

中实数a的取值由n的奇偶性确定，

只要

n

有意义，其值恒等于

a

，即

n a

=；

n的奇偶性限制，a R

∈

n的奇偶

性影响.

【变式1】求下列各式的值：

（1

（*

1,

n n N

>∈

且）；（2

.

【例2

】计算

)

2

130

1

34

1

0.02725631

7

-

-

⎛⎫

--+-+

⎪

⎝⎭

【答案】

)

2

130

1

34

11479 0.027256310.349641

7330 -

-

⎛⎫

--+-+=-+-+=

⎪

⎝⎭

【变式2】化简

3

4

]

的结果为（）

A ．5

B ．

C ．﹣

D ．﹣5

【答案】B

【解析】3234

[(5)]-=

==

，故选B

【变式3】1332-

⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0

＋14

84223

23⎛⎫- ⎪⎝⎭________.

【答案】2

【解析】原式＝1323⎛⎫ ⎪⎝⎭×1＋342×14

2－13

223⎛⎫= ⎪⎝⎭.

题型二 根式、指数幂的条件求值

1. 0a >时，0;b

a > 2. 0a ≠时， 0

1a =；

3. 若

,r s a a =则r s =； 4. 11112

22222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>； 5.

11112222

()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>.

【例3】已知1

12

2

3a a -+=，求下列各式的值.

（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）221

1

1a a a a --++++

【答案】(1)7;(2)47;(3)6. 【解析】（1）将1

12

2

3a a

-+=两边平方得1129a a -++=，所以117a a -+=.

（2）将117a a -+=两边平方得22249a a -++=，所以

2247a a -+=. （3）由（1）（2）可得221

1471

6.171a a a a --+++==+++