指数与指数函数图像及性质(教师版)

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指数函数的图象和性质 PPT课件(高一数学人教A版必修一册)

y
(
1)x 2
的图
象．
高中数学
问题1 你是如何画出函数 y (1)x的图象．
2
底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称．根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象．
高中数学
将指数函数 y=ax 的图象按底数 a 的取值，分作 a>1 和 0<a<1两种类型进行研究．
研究函数性质的三步曲
先做出具体函数的图象，然后通过观察、比较不同函数的图象，最后归纳它们共同的特征．
高中数学
指数函数的图象和性质
研究指数函数 y=2x ．
高中数学
指数函数的图象和性质
研究指数函数 y=2x ．定义域是R；
高中数学
指数函数的图象和性质
研究指数函数 y=2x ．定义域是R；值域是（0，+∞）？
问题3 这几个函数的图象是否能代表一般的指数函数的图象？我们得到的性质是否推广到一般的指数函数的性质？
高中数学
问题3 这几个函数的图象是否能代表一般的指数函数的图象？我们得到的性质是否推广到一般的指数函数的性质？
高中数学
指数函数 y=ax （ a＞0，且 a ≠ 1）的图象和性质．
0<a<1
x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
y
0.35
0.71
1.41
2.83
高中数学
请同学们完成 x，y 的对应值表，并用描点法画出指数函数 y=2x 的图象．观察图象，探究函数的性质．
x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 y 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.41 2 2.83 4

新教材人教b版必修第二册412指数函数的性质与图像课件1

1
.
10
(x
√
)
y=(sin 30°)x在定义域上是增函数.( ✕ )
提示:sin 30°= 1 ,故函数y=(sin 30°)x在定义域上是减函数.
2
y=2x+1的图像可以由y=2x的图像向右平移1个单位长度得到. ( ✕ )
提示:应该是向左平移1个单位长度.
1 |与指数函数有关的复合函数的定义域、值域
1.(★★☆)解下列方程.
(1)81×32x=
1 9
x2
;(2)22x+2+3×2x-1=0.
解析
(1)∵81×32x=
1 9
x
2
,∴32x+4=3-2(x+2),∴2x+4=-2(x+2),解得x=-2.
(2)∵22x+2+3×2x-1=0,
∴4×(2x)2+3×2x-1=0.
令t=2x(t>0),则原方程可化为4t2+3t-1=0,解得t= 1 或t=-1(舍去),
破疑典例
(★★☆) (1)设a,b,c,则a,b,c的大小关系是 ( C )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<a<c D.b<c<a
(2)下列大小关系正确的是 ( B )
3<3<π03<π0<3
3<π00<33
解析 (1)00,又函数yx在(-∞,+∞)上是减函 ,即b<a<c.故选C.
(2)30=1=π0=30<3,故选B.
t <1,∴函数的值域为[0,1).
2|与指数函数有关的复合函数的单调性

指数函数图像和性质名师优质公开课

fx = 0.9x
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
练习： 1、已知下列不等式，试比较m、n的大小：
( 2)m ( 2)n
mn
33
1.1m 1.1n
mn
2、比较下列各数的大小：
10 , 0.42.5 , 20.2
0.42.5 10 20.2
比较指数型值经常借助于指数函数的图像
或直接运用函数的单调性
（0，+∞）上是减函数。
（3）在第一象限，图象向上与 y 轴无限靠近，向右与 x 轴无限靠近。
指数函数的定义：
函数
y a x (a 0且a 1)
叫做指数函数，其中x是自变量函数定义域是R 值域是（0，）
下列函数中，哪些是指数函数？
y 4x y x4
y 4 x1
y 4 x
y 4x y 3x
y 3x y 2x
1
0
1
x
y
y
y 1 x
y2 a x
(a 1)
y 1 x 3
y
y 3x y 2x
y ax
(0 a 1)
1 1
0
x
0
1
1
0x
x
y
y 1 x 2
y 1 x 3
y 3x y 2x
y=1 1
0
1
x
y
y ax
(a 1)
1
0
x
y
y ax
(0 a 1)
或选用适宜的中介值（惯用的特殊值是0和1），再运用单调性比较大小
a>1
0<a<1
图 6
5

数学人教A版必修第一册4.2.2指数函数的图像与性质课件

轴且与轴无交点.
(2)所有图像都过(0,1)
之势;y =
1 x
和y
2
=
1 x
呈下降之势.
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
y=
不同点：
y = 2x 和y = 3x 的图像从左到右呈上升
()
1
3
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
思考2：你认为是什么原因造成y = 2x 和y = 3x 的图像从
的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函
数图像在第一象限内的分布呢？
y=
()
1
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
底数越大，其图像越在上方
y=
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
探
究
新
知
思考4:你能根据对上述四个函数图像及其性质的分
析，填写下表吗？
0<a<1
图像
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
–2 –1 O 1
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
1
解：(1)根据题意，函数 = (2)|| + 的图象过原点，则
有0 = + ，则 = −，
又由 () 的图象无限接近直线 = −2 但又不与该直线相交，
则 = 2，又由 + = 0，则 = −2，

数学人教A版(2019)必修第一册4.2.2指数函数的图象及性质(共32张ppt)

2
4
-1.5
0.35
2.83
-1
0.5
2
-0.5
0.71
1.41
0
1
1
0.5
1.41
0.71
1
2
0.5
2
4
0.25
2 ，
=
1
( ) 的图象.
2
新知1：指数函数图像与性质

问题2：将函数 = 的图象与函数 = ( ) 的图象进行比较，它们有什么联系？
1
2
= 2 的图象与函数 = ( ) 的图象关于轴对称.
，则下列结论中，一定成立的是（
A． < 0, < 0, < 0
C． < 0, = − , > 0
）
B． < 0, ≥ 0, > 0
D．3 + 3 > 2
【答案】D
【解析】由图示可知 < 0 ，的符号不确定， > 0 ，
故A、B错；
( ) = |3 − 1|, ( ) = |3 − 1|，
∴ = 1时， = 0，
当 > 1时，函数 = 2 − 2为 1, +∞ 上的单调递增
函数，且 > 0，
当 < 1时，函数 = 2 − 2 为 −∞, 1 上的单调递减
函数，且 > 0，
故选：B
D．
）
典型例题
题型二：指数函数的图象问题
【对点训练2】（2023·全国·高一专题练习）函数 ( ) = − 的图象如图所示，其中 a，b为常数，则下列结
如上图， < < 0 < 满足 > > ，故

第5讲指数函数及其图像(教师版)

第五讲指数函数及其图像1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是amn＝1na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质y＝a x a>10<a<1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0,1)(4)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1(5)当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)na n＝(na)n＝a.(×)(2)分数指数幂a mn可以理解为mn个a相乘．(×)(3)(－1)24＝(－1)12＝－1.(×)(4)函数y＝a－x是R上的增函数．(×)(5)函数y＝a21＋x(a>1)的值域是(0，＋∞)．(×) (6)函数y＝2x－1是指数函数．(×)1．若a ＝(2＋3)－1，b ＝(2－3)－1，则(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2的值是( )A ．1 B.14 C.22 D.23答案 D解析 ∵a ＝(2＋3)－1＝2－3，b ＝(2－3)－1＝2＋3， ∴(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2＝(3－3)－2＋(3＋3)－2 ＝112－63＋112＋63＝23.2．函数f (x )＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析函数f (x )的图象恒过(－1,0)点，只有图象D 适合．3．(教材改编)已知0.2m <0.2n ，到m ________n (填“>”或“<”)．答案 >解析设f (x )＝0.2x ，f (x )为减函数，由已知f (m )<f (n )，∴m >n .4．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________．答案 (－2，－1)∪(1，2)解析由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.5．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________．答案 [0,8)解析 ∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴0<23－x ≤23＝8，∴0≤8－23－x <8， ∴函数y ＝8－23－x 的值域为[0,8)．题型一指数幂的运算例1 化简：(1)a 3b 23ab 2(a 14b 12)4a13-b13(a >0，b >0)；(2)()21103227()0.00210(52)(23).8--－－＋－－＋－解 (1)原式＝(a 3b 2a 13b 23)12ab 2a13-b 13＝a 3111263+-+b 111233+--＝ab －1. (2)原式＝1223271()850052--⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋－1－＝122381()527500⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋－10(+2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝_______________________________. (2) (14)12-·(4ab －1)3(0.1)－1·(a 3·b －3)12＝________.答案 (1)0 (2)85解析 (1)原式＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫641 0001552-23－⎝⎛⎭⎫27813－1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4103152()523⨯-⨯－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32313－1＝52－32－1＝0.(2)原式＝2×432×a 32b32-10a 32b32-＝85. 题型二指数函数的图象及应用例2 (1)函数f (x )＝a x －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．0<a <1，b >0 D ．0<a <1，b <0(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．答案 (1)D (2)[－1,1]解析 (1)由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0，故选D. (2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(1)如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.某指数函数y＝a x (a>0，且a≠1)经过点E，B，则a等于()A. 2B.3C．2 D．3(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是() A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0C．2－a<2c D．2a＋2c<2答案(1)A(2)D解析(1)设点E(t，a t)，则点B坐标为(2t,2a t)．因为2a t＝a2t，所以a t＝2.因为平行四边形OABC的面积＝OC×AC＝a t×2t＝4t，又平行四边形OABC的面积为8，所以4t＝8，t＝2，所以a2＝2，a＝ 2.故选A.(2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，∵a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知0<f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D.题型三指数函数的图象和性质命题点1 比较指数式的大小例3 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62 C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1(2)设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 (1)B (2)a >c >b解析 (1)A 中， ∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数， 2．5<3，∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确；C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误； D 中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误．故选B. (2)∵y ＝⎝⎛⎭⎫25x为减函数， ∴⎝⎛⎭⎫2535<⎝⎛⎭⎫2525 即b <c ，又a c ＝⎝⎛⎭⎫35 25⎝⎛⎭⎫25 25＝⎝⎛⎭⎫3225>⎝⎛⎭⎫320＝1， ∴a >c ，故a >c >b .命题点2 解简单的指数方程或不等式例4 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)答案 C解析当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝⎛⎭⎫12a－7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.命题点3 和指数函数有关的复合函数的性质例5 设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．解因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以k －1＝0，即k ＝1，f (x )＝a x －a －x . (1)因为f (1)>0，所以a －1a >0，又a >0且a ≠1，所以a >1.因为f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a >0，所以f (x )在R 上为增函数，原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )，所以x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0，所以x >1或x <－4.所以不等式的解集为{x |x >1或x <－4}． (2)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x ) ＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.令t (x )＝2x －2－x (x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t (x )≥t (1)＝32，所以原函数为ω(t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2，所以当t ＝2时，ω(t )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)．即g (x )在x ＝log 2(1＋2)时取得最小值－2. 思维升华指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．(1)已知函数f (x )＝2|2x－m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．(2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为( ) A.13 B ．1 C ．3D.13或3 答案 (1)(－∞，4] (2)D解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减．而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]． (2)令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1 ＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈[1a ，a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去)．当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈[a ，1a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a ]上单调递增，则y max ＝(1a ＋1)2－2＝14，解得a ＝13(负值舍去)．综上知a ＝3或a ＝13.4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用典例 (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12221－＋＋x x 的单调减区间为________________________________．思维点拨 (1)求函数值域，可利用换元法，设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，将原函数的值域转化为关于t 的二次函数的值域．(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求．解析 (1)因为x ∈[－3,2]，所以若令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则t ∈⎣⎡⎦⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数值域为⎣⎡⎦⎤34，57. (2)设u ＝－x 2＋2x ＋1， ∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u在R 上为减函数，∴函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12221－＋＋x x 的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]．答案 (1)⎣⎡⎦⎤34，57 (2)(－∞，1]温馨提醒 (1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．[方法与技巧]1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值，再进行比较．2．指数函数y＝a x (a>0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与0<a<1.3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．[失误与防范]1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来．2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．3．对可化为a2x＋b·a x＋c＝0或a2x＋b·a x＋c≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．A组专项基础训练(时间：35分钟)1．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )答案 B解析 ∵|x －1|≥0，∴f (x )≥1，排除C 、D. 又x ＝1时，|f (x )|min ＝1，排除A.故选项B 正确． 2．函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0) D ．(2,2)答案 D解析 ∵a 0＝1，∴f (2)＝2，故f (x )的图象必过点(2,2)．3．已知a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝(12)2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >b >c 答案 D解析 a >20＝1，b ＝1，c <(12)0＝1，∴a >b >c .4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 答案 B解析由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝(13)|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B.5．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 D解析方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点． ①当0<a <1时，如图(1)，∴0<2a <1，即0<a <12.②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12.6．计算：12104334372()()82()263-⨯--＋＝________.答案 2解析原式＝⎝⎛⎭⎫23×1＋234×214－⎝⎛⎭⎫2313＝2. 7．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．答案 m >n解析 ∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝3x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n .8．已知函数f (x )＝2x －12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．答案 0解析当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13243－＋ax x . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13243－－＋x x ，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.10．已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＝e x －⎝⎛⎭⎫1e x， ∴f ′(x )＝e x ＋⎝⎛⎭⎫1e x ，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )在R 上是增函数．∴f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立， ⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立， ⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立， ⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝⎛⎭⎫t ＋122≤0，又⎝⎛⎭⎫t ＋122≥0，∴⎝⎛⎭⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12. ∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立．B 组专项能力提升 (时间：20分钟)11．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( ) A ．f (－4)>f (1) B ．f (－4)＝f (1) C ．f (－4)<f (1) D ．不能确定答案 A解析由题意知a >1，∴f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)．12．已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 B解析函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象如图所示．由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b得a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．13．关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________．答案 ⎝⎛⎭⎫－23，34 解析由题意，得x <0，所以0<⎝⎛⎭⎫32x<1，从而0<2＋3a 5－a<1，解得－23<a <34.14．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－1,2)解析原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.15．已知定义在实数集R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x 4x ＋1.(1)求函数f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)判断f (x )在(0,1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f (x )＝λ在(－1,1)上有实数解？解 (1)∵f (x )是x ∈R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)， f (－x )＝2－x4－x ＋1＝2x4x ＋1＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 4x＋1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x4x ＋1，x ∈(－1，0)，0，x ＝0，2x 4x＋1，x ∈(0，1).(2)设0<x 1<x 2<1，f (x 1)－f (x 2)＝121212(22)(12),(41)(41)x x x x x x +--=++1212211222(22)(22)(41)(41)x x x x x x x x ++-+-++高三·数学（理）∵0<x 1<x 2<1，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在(0,1)上为减函数． (3)∵f (x )在(0,1)上为减函数， ∴2141＋1<f (x )<2040＋1，即f (x )∈⎝⎛⎭⎫25，12. 同理，f (x )在(－1,0)上时，f (x )∈⎝⎛⎭⎫－12，－25. 又f (0)＝0，当λ∈⎝⎛⎭⎫－12，－25∪⎝⎛⎭⎫25，12，或λ＝0时，方程f (x )＝λ在x ∈(－1,1)上有实数解.1212022221＋，＝，x x x x ∴<>。

指数函数的性质与图像公开课优质课件一等奖

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人口增长模型
人口增长模型
假设人口增长率保持不变，则人口数量与时间之间的关系可以用指数函数来描述。即N(t) = N0e^(rt)，其中N(t)表示t时刻的人口数量，N0表示初始人口数量，r表示人口增长率。
指数函数在人口增长模型中的应用
通过指数函数模型，可以预测未来人口数量的变化趋势，为城市规划、资源分配等提供决策依据。
指数函数的性质与图像公开课优质课件一等奖
2024/1/27
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目录
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• 指数函数基本概念 • 指数函数性质分析 • 指数函数图像特征 • 指数函数在生活中的应用举例 • 求解指数方程和不等式方法探讨 • 总结回顾与拓展延伸
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01
指数函数基本概念
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指数函数定义
指数函数是形如 f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1) 的函数，其中 a 是底数，x 是指数。
当a=1时，指数函数f(x)=1是偶函数，因为 f(-x)=f(x)对于所有的x都成立。
当a=-1时，指数函数f(x)=(-1)^x是奇函数，因为f(-x)=-f(x)对于所有的x都成立。
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指数函数图像特征
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ห้องสมุดไป่ตู้
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图像形状及位置
指数函数图像是一条从左下方向右上方延伸的曲线，形状类似于指数增长的曲线。
指数函数的单调性可以通过其导数进行证明。对于底数a>1的指数函数，其导数恒大于0，因此函数单调增加；对于0<a<1的指数函数，其导数恒小于0，因此函数单调减少。

指数与指数函数图像及性质（教师版）

指数与指数函数图像及性质（教师版）指数与指数函数图像及性质【知识要点】 1．根式（1）如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次⽅根.其中1>n ，且*∈N n 。

（2）如果a x n=，当n 为奇数时，n a x =；当n 为偶数时，n a x ±=()0>a .其中n a叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开⽅数. 其中1>n ，且*∈N n 。

(3)()()*∈>==N n n a a nnn ,1,00。

(4),||,a n a n ?=?为奇数为偶数其中1>n ，且*∈N n 。

2. 分数指数幂(1)正分数指数幂的定义: n m n ma a =()1,,,0>∈>*n N n m a(2)负分数指数幂的定义: nm nm aa1=-()1,,,0>∈>*n Nn m a(3) 要注意四点：①分数指数幂是根式的另⼀种表⽰形式；②根式与分数指数幂可以进⾏互化；③0的正分数指数幂等于0；④0的负分数指数幂⽆意义。

(4)有理数指数幂的运算性质:①sra a a +=?()Q s r a ∈>,,0；② ()rs sra a =()Q s r a ∈>,,0；③()r r rb a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0.3.⽆理数指数幂(1)⽆理数指数幂的值可以⽤有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适⽤于⽆理数指数幂。

4．指数函数的概念：⼀般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是⾃变量，函数的定义域是R 。

5．指数函数的图像与性质第⼀课时【典例精讲】题型⼀根式、指数幂的化简与求值1.n a叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，规定：1a a2.(1,)n a n n N+=>∈,,||,a na n=?为奇数为偶数；3.1(0,,,)nmnmna a m n Nma-+=>∈且为既约分数，=a a（）.【例1】计算下列各式的值．（1（2；（3；（4)a b>.正确解析：（18 =-；（2|10|10 =-=；（3|3|3ππ=-=-；（4||() a b a b a b =-=->.温馨提醒：中实数a的取值由n的奇偶性确定，只要n有意义，其值恒等于a，即n a=；n的奇偶性限制，a R∈n的奇偶性影响.【变式1】求下列各式的值：（1（*1,n n N>∈且）；（2.【例2】计算)213010.027256317----+-+【答案】)213013411479 0.027256310.349641 7330 ----+-+=-+-+=【变式2】化简34]的结果为（）A ．5B ．C ．﹣D ．﹣5【答案】B【解析】3234，故选B【变式3】1332-?×76- ?0＋148422323??- ________.【答案】2【解析】原式＝1323?? ???×1＋342×142－13223??= .题型⼆根式、指数幂的条件求值1. 0a >时，0;ba > 2. 0a ≠时， 01a =；3. 若,r s a a =则r s =； 4. 1111222222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>； 5. 11112222()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>.【例3】已知11223a a -+=，求下列各式的值.（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++【答案】(1)7;(2)47;(3)6. 【解析】（1）将11223a a-+=两边平⽅得1129a a -++=，所以117a a -+=.（2）将117a a -+=两边平⽅得22249a a -++=，所以2247a a -+=. （3）由（1）（2）可得2216.171a a a a --+++==+++【变式1】已知,a b是⽅程2640x x-+=的两根，且0,a b>>求a ba b-+的值.【答案】5【⽅法规律技巧】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，⼀般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代⼊，简化解题过程.【变式2】已知12,9,x y xy+==且x y<，求11221122x y-+的值.【答案】3【变式3】已知11223a a-+=，求33221122a aa a----的值.易错分析：本题解答⼀是难以想到应⽤“⽴⽅差”公式，⼆是应⽤“⽴⽅差”公式时易出现错误．正确解析：由于3311332222()()a aa a ---=-，所以331111122222211112222()()a a a a a a a a a aa a--------++?=--=1118.a a -++=温馨提醒：条件求值问题，化简已知条件、所求代数式是进⼀步代⼊计算的基础，熟记公式，准确化简是关键.【变式4】（1）已知122+=xa，求xx xx a a a a --++33；（2）已知a x=+-13，求6322--+-x ax a .【例4】计算下列各式的值：（1）246347625---+-；（2）()2x 3442<--+-x x x ；（3）121217++++++n n ；（4）()54 2222233=++--xxxx x 其中.【变式5】化简或计算出下列各式：（1）121316324(12427162(8)--+-+-；（2）化简65312121132ab b a b a ---???? ??；（3【课堂练习】1. 若()0442-+-a a 有意义,则a 的取值范围是( )A.2≥aB.42<≤a 或4>aC. 2≠aD. 4≠a 2. 下列表述中正确的是( )A.()()()2733362213421313a a aa a a ===? C.⽆理数指数幂na (n 是⽆理数)不是⼀个确定的实数 D. ()()()?≤-≥=00a a a a a nn3. 已知0>a ,则的值2313123131--???? ??+--a a a a 为 ( )A.3232-+a a C. 3232--a a D. 4-4. 计算：()=-+-0430625.0833416π ______.【思维拓展】1.化简???? ??+????+ ++???? ??+-----2141811613212121212121的结果是 ( ) A.13212121--???? ??- B.132121--- C.32121-- D. --3212121第⼆课时题型三指数函数的概念【例1】已知函数()2()33xf x a a a =-+是指数函数，求实数a 的值。

4.2.2指数函数的图像和性质教学说课课件高一上学期数学人教A版

“授之以鱼,不如授之以渔”,方法的掌握,思想的形成,才能使学生受益终身，所以我进行了以下学法指导: (1)类比学习法: 与幂函数类比学习指数函数的图象和性质. (2)探究定向性学习法: 学生在教师建立的情境下,通过思考、分析、操作、探索，归纳出指数函数的图象和性质. (3)主动合作式学习法: 学生在归纳得出指数函数的图象和性质时,通过小组讨论,使问题得以圆满解决.
类比幂函数的研究方法和过程研究指数函数：背景→定义→图象→性质→应用
问题1、你准备归纳指数函数的哪些性质？如何归纳其性质？
设计意图：让学生亲自在课前准备好的坐标系里画图，而不是采用几何画板直接得到图象，目的是使学生更加信服，从而加深学生对图象的印象，从而为以后画图解题，采用数形结合的思想方法打下基础.小组合作的方式共同探究性质，自己归纳并设计表格展示性质，整个过程体现了“从具体到抽象，从特殊到一般”的思维方式，使学生的思维得到升华.培养学生的抽象概括、归纳能力、语言表达能力以及主动性．
必做题：教科书135页习题1-3，140页到141页习题4.4第2、4题选做题：习题4.4 的12、13题
设计意图：检验学生指数函数的图象和性质的掌握，以及指数函数的图象和性质的应用. 在选做题部分是对指数函数的图象和性质的拓展与延伸，目的是提高学生运用所学知识解决问题的能力.
设计意图：这样的板书简明清楚,重点突出,加深学生对图象和性质的理解,便于记忆,有利于提高教学效果.
4.2.2 指数函数的图象和性质
课堂教学
一、情景引入
问题1、这两个是什么函数？
二、探索新知
类比幂函数的研究方法和过程研究指数函数：背景→定义→图象→性质→应用
问题1、你准备归纳指数函数的哪些性质？如何归纳其性质？

高中数学人教版必修指数函数的图像和性质课件(1) (共2张PPT)

4．已知 a＝ 52－1，函数 f(x)＝ax，若实数 m，n 满足 f(m)>f(n)，则 m，n 的大小关系为________.
【答案】m<n ∴m<n.]
[∵a＝ 52－1∈(0,1)，∴f(x)＝ax 在 R 上是减函数，又 f(m)>f(n)，
5．设 f(x)＝3x，g(x)＝13x. (1)在同一坐标系中作出 f(x)，g(x)的图象； (2)计算 f(1)与 g(－1)，f(π)与 g(－π)，f(m)与 g(－m)的值，从中你论？
解：（1）观察图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20 万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年．（２）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番．因此，从80 万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人．
0<a<1
y
图
y=1
象
y=ax
(a>1)
(0,1)
y=ax
y
(0<a<1)
x
x
: 定义域
R
值域:
(0,+ ∞ )
性
质
：必过点
(0,1)
x>0,y>1;
x<0, 0<y<1
x<0,y>1;
x>0,0<y<1
在 R 上是
增函数
在 R 上是
减函数
典例解析
例3：说出下列各题中两个值的大小：
3
—1--2
6．已知函数 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)的图象经过点2，19. (1)比较 f(2)与 f(b2＋2)的大小； (2)求函数 g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域．【答案】 (1)由已知得 a2＝19，解得 a＝13，因为 f(x)＝13x 在 R 上递减，则 2≤b2 ＋2，所以 f(2)≥f(b2＋2)． (2)因为 x≥0，所以 x2－2x≥－1，所以13x2－2x≤3，即函数 g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域为(0,3]．

2024版高一数学指数函数及其性质PPT课件图文

学习方法建议
深入理解指数函数的概念
掌握指数函数的定义、图像和性质，理解底数、指数和幂的含义。
多做练习题
通过大量的练习题，加深对指数函数的理解和掌握，提高解题能力。
系统学习指数函数的运算
学习指数函数的四则运算，掌握运算规则和技巧。
解题技巧分享
换元法
通过将指数函数中的变量进行换元，简化问题，使问题更容易解决。
指数函数在数学模型中的应用举例
在经济学中，指数函数被用来描述复利、折旧等问题；在物理学中，指数函数被用来描述放射性元素的衰变等问题；在工程学中，指数函数被用来描述材料的疲劳寿命等问题。
数学模型在解决实际问题中的价值
提高解决问题的效率
揭示问题的本质和规律
通过建立数学模型，可以将实际问题转化为数学问题，利用数学方法和技术进行求解，从而提高解决问题的效率。
05
指数函数与数学模型
数学模型简介
01
数学模型的定义
数学模型是描述客观事物或它的本质和本质的一系列数学形式。它或能利用现有的数学形式如数学公式、数学方程、数学图形等加以表述，或能抽象出数学的基本概念和基本结构。
02
数学模型的分类
根据研究目的，可以将数学模型分为描述性模型和预测性模型。
03
数学模型的作用
指数方程求解
通过对方程两边取相同的底数的对数或者利用换元法等方法求解指数方程。
指数函数性质应用
利用指数函数的单调性、奇偶性、周期性等性质解决相关问题。
03
指数函数性质探究
单调性
01
指数函数的单调性取决于底数a的大小
02
当a>1时，指数函数在整个定义域上是增函数；