信号课件第三章傅里叶变换
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第三章傅里叶变换的性质.ppt
0
f (t)奇函数：X ()
f (t)sin tdt 2
f (t)sin tdt
0
X () 0
R() 0
可见，R()=R(- )为偶函数； X()= -X(- )为奇函数； 若 f (t)是实偶函数，F(j )=R() 必为实偶函数。 若 f (t)是实奇函数，F(j )=jX() 必为虚奇函数。
1 T
(t
T
)
F( j)
T
根据时域微分特性：
( j)2 F ( j) 1 e jT 2 1 e jT ,
0 2
T
TT
T
F(
j )
2
2T
(1
cosT )
4
2T
sin
2 (T
2
)
TSa2 (T
2
)
第三章第1讲
12
频域微分和积分特性
公式：
( jt)n f (t) F (n) ( j) f (0) (t) 1 f (t) F (1) ( j)
表明信号过延程时都了是t0在秒频并谱不搬会移改的变基其础频上谱完的成幅的度。，但是 使其相位变化了 - t0
频移特性： f (t)e j0 t F[ j( 0 )]
表明信号 f (t)乘以 e j0 t，等效于其频谱 F(j)沿频率右移 0
因为： cos 0 t
1 2
(e
j0 t
e
j0 t
)
sin
0t
1 2j
(e
j0 t
第3章 连续信号的频谱——傅里叶变换
• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波
器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。 • 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。 • 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。 • 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数）， 它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径 和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域 中唯一的变换域方法。
nw1 nw1
0
w
nw1
w1 0 w1
nw1
w
正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。
4.周期信号的功率特性
—时域和频域能量守恒定理
周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。
1 t0 T1 2 f (t )dt P f (t ) t T1 0 1 1 2 2 2 2 2 a0 ( an bn ) c0 cn 2 n 1 2 n 1
其傅里叶级数三角展开式中 仅含基波和奇次谐波
例子
例如：奇谐函数
f (t )
E 2
T1 2
f (t )
E 2
T 1 2
0
E 2
T1 2
t
0
E 2
T1 2
t
sin( w1t )
E 2
f (t )
E 2
T1 2 T 1 2 T1 2
f (t )
0
E 2
t
0
E 2
T1 2
信号与系统课件-第三章离散傅立叶变换DFT
拓展延伸：其他相关变换方法简介
要点一
拉普拉斯变换
要点二
Z变换
用于分析线性时不变系统的稳定性及频率响应特性。
用于分析离散时间线性时不变系统的稳定性及频率响应特 性。
THANKS
感谢观看
高频谱利用率
OFDM技术通过采用正交子载 波的方式，实现了频谱资源的 有效利用，提高了系统的频谱 利用率。
03
抗多径干扰能力强 04
由于OFDM系统采用了多载波调 制方式，每个子载波上的符号周 期相对较长，因此具有一定的抗 多径干扰能力。
适用于高速数据传 输
OFDM技术通过将高速数据流分 解成多个低速子数据流进行传输 ，降低了对单个载波的传输速率 要求从而适用于高速数据传输 场景。
共轭对称性
若x[n]为实序列，则其DFT满足 X[k]=X*[N-k]，其中*表示共轭。
周期性与非周期性信号处理方法
周期性信号处理方法
对于周期性信号，可以通过截取一个周期的信号进行DFT分析，得到该信号的频谱特性。由于DFT具有周期性， 因此可以通过对截取信号的DFT结果进行周期延拓得到整个周期信号的频谱。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
01
离散傅立叶变换（DFT）定义及性质
02
DFT是将连续时间信号在时域和频域上都进行离散化处理的一 种变换方法。
03
DFT具有线性性、时移性、频移性、共轭对称性等基本性质。
关键知识点总结回顾
直接计算法
根据DFT定义直接进行计算，但计算量大，不实用。
快速傅立叶变换（FFT）
仿真实验：不同窗函数对信号重构影响
实验目的
说明本实验的目的在于研究不同 窗函数对信号重构的影响，以便 在实际应用中选择合适的窗函数。
信号与系统第3章 傅里叶变换
P
f
2 (t) 1 T1
t0 T1 t0
f
2 (t)d t
a0 2
1 2
n1
(an
2
bn 2 )
2
Fn _____ 帕塞瓦尔定理
n
结论：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开 式中基波分量及各谐波分量有效值的平方 和，即时域和频域的能量守恒。
五. 周期信f号(t)的频c0 谱 （c三n c角os函(n数1t形 式n )） n1
(1) 偶函数 f (t) f (t)
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
Fn
Fn
an 2
bn 0
傅里叶级数中不会含有正弦项， 只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数 f (t) f (t)
a0 0 , an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)d t
e j n1t
T1 n 2
画频谱图：
c0
a0
E
T1
an
2E
T1
Sa
n1
2
, n
1,2,
cn an
1）令 m
2
得
2
m
即在
2
m，m为整数处有零点。
2）
2
2
T1
T1
零点间谱线个数
3) c n值为正，相位为0，值为负，相位为π
4)谱线间隔为 1 带宽
2
T1
，第一个过零点带宽定义为信号的
1 3
s in31t
1 4
sin41t
E
1 n1
傅里叶变换专题教育课件
Ω
-
2
３双边奇指数信号
et
f
(t )
e t
旳傅里叶变换为 ：
t 0 t 0
f (t) 1
0
t
F () f (t)e jt dt
-1
0 et e jt dt et e jt dt
0
1
j
2 2 2
| F() |
其幅度频谱和相位频谱为
|
F
()
|
2
2
||
2
() 2
2
0 0
2.在任何有限区间内，只有有限个最大值和最小值。
3.在任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在 每个不连续点上信号都必须取有限值，这时傅里叶 变换收敛于间断点两边函数值旳平均值。
常见非周期信号旳傅里叶变换
１矩形脉冲信号
f(t)
E
E f (t )
0
| t |
2
| t |
2
-
0
t
2
2
E：脉冲幅度，τ：脉冲宽度。其傅里叶变换为
信号可进行傅里叶变换旳条件： 一般来讲，若信号函数满足绝对可积条件，即：
f (t) dt
则信号可进行傅里叶变换。注：此式只是信号函数进行傅里叶变换 旳充分条件。在引入广义函数后，有些不满足此式旳信号函数也能够 进行傅里叶变换。
周期信号旳傅里叶变换：
设有周期性矩形脉冲信号f(t)，
E
f (t )
“非周期信号都能够用正弦信号旳 加权积分来表达”——傅里叶旳第 二个主要论点
§3 傅里叶变换
3.2信号旳傅里叶变换 傅里叶变换有下列积分定义：
： 傅里叶正变换公式
F () F [ f (t )] f (t )e jt dt
第3章--离散傅里叶变换(DFT)(用此参考课件上课)
n0
x(n)
三. DFT的隐含周期性
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 WNkn的周期性，使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性，且周期
均为N。 对任意整数m，总有
1 使DFT具有特殊性质(如循环移位、循环卷积等)的根 本原因，也是学习DFT需要着重理解的性质！ 2 不论原始有限长度序列的性质如何，只要对它做DFT 运算，即将它看做是周期为N的周期序列
xn
W kn 2N
n0
nN
N 1
N 1
x
n
W kn 2N
x n N W2kNnN
n0
n0
N1
k n N 1
kn kN
x n WN2 x n N WN2 WN 2
n0
n0
N 1
x
kn
n WN2
1 e jk
n0
2
X
k 2
,
0，
k 偶数 k 奇数
0 k 2N -1
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
可直接按IDFT{Y(k)}证明
再利用DFS和DFT关系
DFT[x((n m))N RN (n)] DFT[~x (n m)RN (n)] WNmk X~(k )RN (k ) WNmk X (k )
例题：
已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，
令 y n x n N R2N n ，试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。
解：
2 N 1
2 N 1
Y k
y
n
x(n)
三. DFT的隐含周期性
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 WNkn的周期性，使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性，且周期
均为N。 对任意整数m，总有
1 使DFT具有特殊性质(如循环移位、循环卷积等)的根 本原因，也是学习DFT需要着重理解的性质！ 2 不论原始有限长度序列的性质如何，只要对它做DFT 运算，即将它看做是周期为N的周期序列
xn
W kn 2N
n0
nN
N 1
N 1
x
n
W kn 2N
x n N W2kNnN
n0
n0
N1
k n N 1
kn kN
x n WN2 x n N WN2 WN 2
n0
n0
N 1
x
kn
n WN2
1 e jk
n0
2
X
k 2
,
0，
k 偶数 k 奇数
0 k 2N -1
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
可直接按IDFT{Y(k)}证明
再利用DFS和DFT关系
DFT[x((n m))N RN (n)] DFT[~x (n m)RN (n)] WNmk X~(k )RN (k ) WNmk X (k )
例题：
已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，
令 y n x n N R2N n ，试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。
解：
2 N 1
2 N 1
Y k
y
n
傅里叶变换课件
快速傅里叶变换的算法原理
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算DFT的算法，其基本思想是将DFT运算分解为一系列简单 的复数乘法和加法运算。
FFT算法可以分为基于分治策略的递归算法和基于蝶形运算的迭代算法。其中，递归算法将DFT运算 分解为两个子序列的DFT运算，迭代算法则通过一系列蝶形运算逐步逼近DFT的结果。
，实现图像的压缩。
解压缩
通过插值或重构算法，可以恢复 压缩后的图像，使其具有原始的
质量和细节。
压缩与解压缩算法
常见的压缩与解压缩算法包括 JPEG、PNG等。这些算法在压 缩和解压缩过程中都利用了傅里
叶变换。
06
傅里叶变换在通信系统中的应用
调制与解调技术
调制技术
利用傅里叶变换对信号进行调制，将 低频信号转换为高频信号，以便在信 道中传输。
在频域中，可以使用各种滤波器 对图像进行滤波操作，以减少噪 声、平滑图像或突出特定频率的
细节。
边缘增强
通过在频域中增强高频成分，可以 突出图像的边缘信息，使图像更加 清晰。
对比度增强
通过调整频域中的频率系数，可以 改变图像的对比度，使图像更加鲜 明。
图像的压缩与解压缩
压缩
通过减少图像的频域表示中的频 率系数，可以减少图像的数据量
快速傅里叶变换的应用
• FFT在信号处理、图像处理、语音处理等领域有着广泛的应用。例如，在信号处理中，可以通过FFT将时域信号转换为频域 信号，从而对信号进行频谱分析、滤波等操作。在图像处理中，可以通过FFT将图像从空间域转换到频域，从而对图像进行 去噪、压缩等操作。在语音处理中，可以通过FFT对语音信号进行频谱分析，从而提取语音特征、进行语音合成等操作。
分析、系统优化等。
信号与系统课件(郑君里版)第3章
1，带宽与脉宽成反比。
3．系统的通频带>信号的带宽，才能不失真
语音信号 频率大约为 300~3400Hz，
音乐信号
50~15,000Hz，
扩音器与扬声器 有效带宽约为 15~20,000Hz。
29
第三章 傅里叶变换
§3.4 傅里叶变换
•傅里叶变换 •傅里叶变换的表示 •傅里叶变换的物理意义 •傅里叶变换存在的条件
26
第三章 傅里叶变换
4．总结
T1
谱
线
幅度
间隔
1
2π T1
当T1
，时，1
0，E
T1
为无限小，
f t 由周期信号 非周期信号。
矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点： 离散性、谐波性、收敛性。
27
第三章 傅里叶变换
二．频带宽度 1.问题提出
E F (n1 )
18
第三章 傅里叶变换
五．周期信号的功率
P 1 T
T 0
f
2(t)d t
a02
1 2
n1
an2
bn2
a02
1 2
cn2
n1
Fn
n
2
这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现;
表明：
周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量
有效值的平方和；
周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。
12
第三章 傅里叶变换
频谱图
幅度频谱
cn
c1
cn ~
或
c0
c3
信号与系统第三章：傅里叶变换ppt课件
n 可见，A n 是 的偶函数，即有 An An
n 而 n 是 的奇函数，即有 n n 19
可见，任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为
直 流分量
A0 2
，一次谐波或基波
A1cos(1t1)(它
的角 频率与原周期信号相同)，二次谐波 A2cos(21t2)，
以此类推，三次，四次等谐波。
n 一般而言 Ancos(n1tn) 称为 次谐波 ，A n
i1,2,....n...,
，则称该函数集为完备正交函数集。
三角函数集：
1 , c o s 1 t , c o s 2 1 t ,c o s n 1 t ,, s i n 1 t , s i n 2 1 t ,s i n n 1 t ,
在区间 (t0,t0 T) 内组成完备正交函数集。 T 2 /1
8
正交函数集
（1）正交函数 在 [t1, t2 ] 区间上定义的非零实函数
1(t)和 2(t) 若满足条件 tt121(t)2(t)dt0
则函数 1(t)与 2(t)为在区间 [t1, t2 ] 的正交函数。
（2）正交函数集 在区间 [t1, t2上] 的n个函数（非
零）1(t) …… n(t) ,其中任意两个均满足
任意周期信号可分解为许多不同频率的虚指数信号之和其各分量的复数幅度或相量为44444545三角形式傅里叶级数4646指数形式傅里叶级数任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦函数或虚指数函数之和
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傅里叶变换
上海大学机自学院
完整版课件
1
上一章（线性时不变系统的时域分析）回顾
❖ 上一章其实质是在时域中进行系统分析的任务，也就是说解决在给定的时域输入信号 激励作用下，系统在时域中将产生什么样响应的问题。之所以称为时域分析，是由于 在系统分析的过程中，所涉及的函数变量均为时间t，故这一方法称之为“时域分析 法”。该方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。主要内容， 可概括为如下几个方面：
《傅里叶变换》课件
特点
小波变换具有多尺度分析的特点，能够同时获得 信号在时间和频率域的信息，并且在时频域具有 很好的局部化能力。
应用
在信号处理、图像处理、语音识别等领域广泛应 用。
周期性和共轭对称性
总结词
周期性和共轭对称性是傅里叶变换的重要性质。
详细描述
由于傅里叶变换将时间域的函数映射到频率域，因此频谱具有周期性，即F(ω) = F(ω+2πn)，其中n为整数。此 外，频谱还具有共轭对称性，即F*(ω) = F(-ω)，这意味着频谱在频率轴上关于原点对称。这些性质在信号处理 、图像处理等领域有着广泛的应用。
线性性质
如果a和b是常数，f(t)和g(t)是可傅里叶变换的函数，那么 a*f(t)+b*g(t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为 a*F(ω)+b*G(ω)。
时移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t+a)也是可傅里叶变换 的，并且其频域表示为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t)e^(iω0t)也是可傅里叶 变换的，并且其频域表示为F(ω-ω0)。
04
傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义
01
傅里叶逆变换是将频域函数转 换为时域函数的过程。
02
它与傅里叶变换是可逆的，即 给定一个频域函数，通过傅里 叶逆变换可以恢复原始的时域 函数。
03
傅里叶逆变换的公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(iωt)dω，其中f(t)是 时域函数，F(ω)是频域函数。
傅里叶逆变换的性质
在图像处理中的应用
图像频域滤波
通过傅里叶变换将图像从空间域 转换到频域，可以在频域中对图 像进行滤波处理，如去除噪声、
小波变换具有多尺度分析的特点，能够同时获得 信号在时间和频率域的信息，并且在时频域具有 很好的局部化能力。
应用
在信号处理、图像处理、语音识别等领域广泛应 用。
周期性和共轭对称性
总结词
周期性和共轭对称性是傅里叶变换的重要性质。
详细描述
由于傅里叶变换将时间域的函数映射到频率域，因此频谱具有周期性，即F(ω) = F(ω+2πn)，其中n为整数。此 外，频谱还具有共轭对称性，即F*(ω) = F(-ω)，这意味着频谱在频率轴上关于原点对称。这些性质在信号处理 、图像处理等领域有着广泛的应用。
线性性质
如果a和b是常数，f(t)和g(t)是可傅里叶变换的函数，那么 a*f(t)+b*g(t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为 a*F(ω)+b*G(ω)。
时移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t+a)也是可傅里叶变换 的，并且其频域表示为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t)e^(iω0t)也是可傅里叶 变换的，并且其频域表示为F(ω-ω0)。
04
傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义
01
傅里叶逆变换是将频域函数转 换为时域函数的过程。
02
它与傅里叶变换是可逆的，即 给定一个频域函数，通过傅里 叶逆变换可以恢复原始的时域 函数。
03
傅里叶逆变换的公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(iωt)dω，其中f(t)是 时域函数，F(ω)是频域函数。
傅里叶逆变换的性质
在图像处理中的应用
图像频域滤波
通过傅里叶变换将图像从空间域 转换到频域，可以在频域中对图 像进行滤波处理，如去除噪声、
3章-经典傅里叶变换讲解ppt课件
n=1
n>1
直流分量 基波分量 n次谐波分量
整理ppt
7
式中，n
arctan
bn an
cn
an2bn2
Opposite Hypotenuse
为n次谐波初始相位。 为n次谐波振幅。
！ 并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开！
f ( t ) 可展开为傅里叶级数的条件：
（1）f ( t 绝) 对可积，即：t2 f (t) dt t1
f(t)a0 (ancosn1tbnsinn1t) n1
称为傅里叶级数
系
an
t2 t1
f(t)cos(n1t)dt
t1 t2cos2(n1t)dt
2 t21 t1
t2t1
t2 t1
f(t)cos(n1t)dt,
t2 f(t)dt, n0
t1
n0
数
bn
t2 t1
f(t)sin(n1t)dt
t1 t2sin2(n1t)dt
2 t2t1
t2 t1
f(t)sin(n1t)dt
整理ppt
6
或 f(t)a 2 0n 1(a nc o sn1 t b nsinn1 t)
傅里叶级数的 三角展开式
2
ant2t1
t2 t1
f(t)cos(n1t)dt
同上式
另一种形式
f(t)a 20n 1cncos(n1tn) t
nn002T
Sa(n1)
2
整理ppt
21
（2）双边频谱：
1
FnT
/2ejn1tdt1ejn1t /2 2sinn21
/2
Tjn1/2 T n1
b b24ac 2a
《傅里叶变换详解》课件
单击添加标题
原理：利用信号的稀疏性，通过测量矩阵将高维信号投影到低维空间，再 利用优化算法重构出原始信号。
单击添加标题
应用：在图像处理、通信、雷达、医学成像等领域有广泛应用，能够实现 高分辨率和高帧率成像，降低数据采集成本和存储空间。
单击添加标题
展望：随着压缩感知技术的不断发展，未来有望在人工智能、物联网、无 人驾驶等领域发挥重要作用，为信号处理领域带来更多创新和突破。
应用：傅里叶逆变换在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用
逆变换的应用场景
信号处理：用于信号的滤波、去噪、压缩等 图像处理：用于图像的增强、去噪、边缘检测等 音频处理：用于音频的滤波、去噪、压缩等 通信系统：用于信号的调制、解调、编码、解码等
06
傅里叶变换的计算机实现
离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换的分类
连续傅里叶变换：适用于连续信号，将信号分解为不同频率的正弦波
离散傅里叶变换：适用于离散信号，将信号分解为不同频率的正弦波
快速傅里叶变换：适用于快速计算傅里叶变换，通过FFT算法实现 短时傅里叶变换：适用于分析非平稳信号，将信号分解为不同频率的正弦 波，同时考虑时间因素
03
傅里叶变换的性质
04
傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
滤波器设计：设计滤波器以 消除或增强特定频率的信号
信号分解：将信号分解为不 同频率的谐波
信号压缩：通过傅里叶变换 进行信号压缩，减少数据量
信号分析：分析信号的频率 成分，了解信号的特性和变
化规律
在图像处理中的应用
傅里叶变换可以用于图像的平滑处理，去除噪声 傅里叶变换可以用于图像的锐化处理，增强图像的细节 傅里叶变换可以用于图像的频域滤波，去除图像中的特定频率成分 傅里叶变换可以用于图像的压缩和编码，减少图像的数据量
原理：利用信号的稀疏性，通过测量矩阵将高维信号投影到低维空间，再 利用优化算法重构出原始信号。
单击添加标题
应用：在图像处理、通信、雷达、医学成像等领域有广泛应用，能够实现 高分辨率和高帧率成像，降低数据采集成本和存储空间。
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展望：随着压缩感知技术的不断发展，未来有望在人工智能、物联网、无 人驾驶等领域发挥重要作用，为信号处理领域带来更多创新和突破。
应用：傅里叶逆变换在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用
逆变换的应用场景
信号处理：用于信号的滤波、去噪、压缩等 图像处理：用于图像的增强、去噪、边缘检测等 音频处理：用于音频的滤波、去噪、压缩等 通信系统：用于信号的调制、解调、编码、解码等
06
傅里叶变换的计算机实现
离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换的分类
连续傅里叶变换：适用于连续信号，将信号分解为不同频率的正弦波
离散傅里叶变换：适用于离散信号，将信号分解为不同频率的正弦波
快速傅里叶变换：适用于快速计算傅里叶变换，通过FFT算法实现 短时傅里叶变换：适用于分析非平稳信号，将信号分解为不同频率的正弦 波，同时考虑时间因素
03
傅里叶变换的性质
04
傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
滤波器设计：设计滤波器以 消除或增强特定频率的信号
信号分解：将信号分解为不 同频率的谐波
信号压缩：通过傅里叶变换 进行信号压缩，减少数据量
信号分析：分析信号的频率 成分，了解信号的特性和变
化规律
在图像处理中的应用
傅里叶变换可以用于图像的平滑处理，去除噪声 傅里叶变换可以用于图像的锐化处理，增强图像的细节 傅里叶变换可以用于图像的频域滤波，去除图像中的特定频率成分 傅里叶变换可以用于图像的压缩和编码，减少图像的数据量
第三章傅里叶变换90页PPT
• 例题：已知信号f(t)=cos100t,求其频谱Fn。
Fn
0.5
解：
f(t)1(ej10t0ej10t0)
所以
2 F1
F1
1 2
,
其F余 n0， n1
-w1
w1
nw1
• 例题：已知信号f(t)的频谱Fn如图所示，求信号f(t)。
解： F 0 2 ,F 1 F 1 2 ,F 2 F 2 1
三角形式的傅里叶级数也可表示成：
f(t)c0 cncos(n1tn)
其中 c n 2 a n 2 b n 2
n1n a rc ta n ( a b n n)
（2）
c 0 a 0
an为 n 1 的偶函数， b n 为 n 1 的奇函数
cn为 n 1 的偶函数， n为 n 1 的奇函数
例题 求题图所示的周期矩形信号的三角形式傅里叶级数。
其中
aan0 n 1T21T11tt00tt0T 01Tf1(tf)c(t)odnst1tdt•角级f(函数t)分数。解线为性不组同合频的率无三穷
推导
2
bn
T1
t0T1 t0
f(t)s
in1tdt
基波，二次谐波….n次谐波
傅里叶级数表明信号中各次谐波的分布。
f(t)a0 (anco ns1tbnsinn 1t) n1
（2）谐波性 -------- 谱线出现在基波频率 1 的整数倍上。
（1）
n 1
f(t)c0 cncon s1(tn)
（2）
n1
f (t)
Fnejn1t
n
f(t) →Fn建立一一对应关系。
（3）
不同时域信号对应的Fn不同，因此可以通过研究Fn来研究 信号的特性。Fn是频率的函数，它反映了组成信号的各次谐波的幅 度和相位变化规律称为频谱函数。可直观地看出各频率分量的相对 大小和相位情况，这样的图就称为信号的幅度频谱和相位频谱。
三章傅里叶变换
r
n 1
cr
g
r
(t
))
2
]dt
ci
f t2
t1 t2
t1
(t)gi (t)dt gi2 (t)dt
1 Ki
t2 t1
f
(t)gi (t)dt
在最佳近似条件下给定项数的 2 :
2
1 [
t2 t1
t2 t1
f
2 (t)dt
n
cr 2Kr ]
r 1
归一化正交函数集：
t2 t1
g
2 i
[cos(1t )
4
3
cos(21t )
4
15
cos(41t )
...]
E
2E
n1
1 (n2 1)
cos( n
2
) cos(n1t)
其中1
2
T1
频谱只含有直流,基波和偶次谐波频率分量.
谐波幅度以
1 n2
规律收敛.
周期全波余弦信号
E f (t)
T 0 T
t
2
f (t) E | cos(0t) |
函数旳对称性与傅里叶 系数旳关系
(1)偶函数 : f (t) f (t)
系数为: an
4 T1
T1 2
0
f (t) cos n1tdt
bn 0
信号分解为f (t) a0 an cos n1t n1
(2)奇函数 : f (t) f (t)
系数为: an a0 0
4
bn T1
T1 2
x(t)gi (t)dt
0
(i为任意正整数)
则此函数集成为完备正交函数集.
{1, cos1t, sin 1t, cos 21t, sin 21t,...,
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• 从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中， 首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的 傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而 产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
E
T
sin(nw1 / 2) nw1 / 2
E
T
Sa(nw1
/ 2)
f
(t)
Fne jnw1t
n
n
E
T
Sa(nw1
1 2
(an
jbn )
Fn
1 2
an2
bn2
1 2
cn
n arctan
( bn ) an
• 例题：如图所示信号f(t)的指数形式的傅里叶级数。
分析：要求级数只要确定了系数Fn即可。 E
解： Fn 1 T /2 f (t)e jnw1tdt
-Ts -τ/2 τ/2
T T /2
1
/2
E
e
jnw1t
22
t
F ()
E
2
1 21
4 4 2
2
4
周期信号的离散谱
非周期信号的连续谱
T1
由于
T1 ,
lim
T1
T1Fn
lim
T1
2 T1
2
f (t)e jnw1tdt
f (t)e jwt dt
频谱密度函数 FF((j)) F [ f(t)] f (t)e jt dt ----------- 非周期信号f(t) 的傅里叶变换
推导
bn
2 T1
t0 T1 t0
f
(t) sin n1tdt
基波，二次谐波….n次谐波
傅里叶级数表明信号中各次谐波的分布。
f (t) a0 (an cos n1t bn sin n1t) n1
三角形式的傅里叶级数也可表示成：
f (t) c0 cn cos(n1t n )
其中 cn2 an2 bn2
3.2 典型周期信号的频谱
3.2.1 周期矩形脉冲信号 (1) 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数
f (t)
E
T1 T1 T1
T1
t
2 22 2
பைடு நூலகம்
a0
2 T1
T1 2
0
f (t)dt 2 T1
2
Edt
E
0
T1
bn 0
4
an T1
T1 2 0
f (t) cos n1tdt
4
T1
2 0
（3）收敛性 -------- 幅度谱的谱线幅度随着 n 而逐渐
衰减到零。 3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系
如果f(t)是实函数而且它的波形满足某种对称性，则在傅里叶级 数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也将变得比较 简单。
（1）偶函数
f (t) f (t)
bn
2 T1
12
1 3
s
in
31t
1 sin 5
51
)
3.1.2 指数形式的傅里叶级数
f (t)
Fne jn1t
n
其中
Fn
1 T1
t0 T1 f (t)e jn1t dt
t0
Fn与nw1形成函数关系
•f(t)分解为不同频率 指数函数线性组合 的无穷级数。
f(t) →Fn建立一一对应关系。
Fn
Fn
e jn
T1 2
t
T1
T1
0
T1 2
T1
t
2
E 2
a0
1 T1
T1 f (t)dt 0
0
an
2 T1
T1 0
f
(t) cos n1tdt
0
2E
2
bn T1
T1 0
f
(t) sin n1tdt
n
0
n 1,3,5 n 2,4,6
因此
f
(t)
2E
n1,3,5
1 n
sin
n1t
2E
(sin1t
• 例题：已知信号f(t)=cos100t,求其频谱Fn。
Fn
0.5
解• ：例题所f ：(以t)已知F12信(1e号j1F01f0t(t12)e,的 j频其100谱余t )FFnn如图0，所n示，1求信号-wf1 (t)w。1 nw1
解： F0 2, F1 F1 2, F2 F2 1
所以 f (t) Fne jnw1t n
周期信号：
f (t)
Fne jn1t
n
------ 连续谱
Fn
1 T1
t0 T1 f (t )e jn1t dt
t0
------ 离散谱
Fn与F(w)关系
Fn 1 F (w)
T1
wnw1
二. 典型非周期信号的傅里叶变换
1、单边指数信号
et f (t)
t 0 etu(t)
0 t0
n1
n
arctan(
bn an
)
（2） c0 a0
an为 n1 的偶函数， bn 为 n1 的奇函数
cn为 n1 的偶函数， n为 n1 的奇函数
例题 求题图所示的周期矩形信号的三角形式傅里叶级数。
解：一个周期内 f (t) 的表达式为：
f (t)
E 2
E
f
(t
)
2
E 2
0 t T1 2
n
2
(n 1,3,5 ) (n 1, 3, 5
)
2
Fn E
EE
3 5
频谱的特点
51 31 1 1 31 51
离散性
n
51 31 1
2
1
2
31 5 1
谐波性 收敛性
2. 周期信号频谱的特点
（1）离散性 -------- 频谱是离散的而不是连续的，这种频谱称为 离散频谱
（2）谐波性 -------- 谱线出现在基波频率1 的整数倍上。
n
T n
2
（2）频谱图
Fn E Sa( nw1 )
T
2
当T1 4时
F E E n
T1 4
2
1 21
4
一般情况： 若 1 则
T1 n
第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有n-1根谱线。
有效带宽：
2 B
或
1
Bf
结论：矩形脉冲的频带宽度与脉冲宽度成反比。
（3）频谱结构与波形参数的关系（T1, ）
t
a0 0
0
an
4
T1
T1
2 0
f (t) cosn1tdt
0
bn
4
T1
T1
2 0
f (t) sin n1tdt
(n 2,4,6) (n 1,3,5) (n 2,4,6) (n 1,3,5)
可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次 谐波的正弦、余弦分量，而不会包含直流和偶次谐波分量。
第 3 章 傅里叶变换
主讲： 黄 慧
目录
3.1 周期信号的傅里叶级数分析 3.2 典型周期信号的傅里叶级数 3.3 傅里叶变换 3.4 典型非周期信号的傅里叶变换 3.5 傅里叶变换的基本性质 3.6 周期信号的傅里叶变换 3.7 取样信号的傅里叶变换 3.8 系统的频域分析 3.9 信号的传输
3.1 周期信号的傅里叶级数分析
3.1.1 三角形式的傅里叶级数
设周期信号为f(t),
其重复周期是T1,角频率1
2f1
2
T1
f (t) a0 (an cos n1t bn sin n1t)
其中
n1
a0
1 T1
t0 T1 f (t )dt
t0
an
2 T1
t0 T1 t0
f
(t) cos n1tdt
•f(t)分解为不同频率三 角函数线性组合的无穷 级数。
2 T1
)
只与与T1成反比；等效带宽与
成反比。
3.2.2 周期冲激信号
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
E
T
sin(nw1 / 2) nw1 / 2
E
T
Sa(nw1
/ 2)
f
(t)
Fne jnw1t
n
n
E
T
Sa(nw1
1 2
(an
jbn )
Fn
1 2
an2
bn2
1 2
cn
n arctan
( bn ) an
• 例题：如图所示信号f(t)的指数形式的傅里叶级数。
分析：要求级数只要确定了系数Fn即可。 E
解： Fn 1 T /2 f (t)e jnw1tdt
-Ts -τ/2 τ/2
T T /2
1
/2
E
e
jnw1t
22
t
F ()
E
2
1 21
4 4 2
2
4
周期信号的离散谱
非周期信号的连续谱
T1
由于
T1 ,
lim
T1
T1Fn
lim
T1
2 T1
2
f (t)e jnw1tdt
f (t)e jwt dt
频谱密度函数 FF((j)) F [ f(t)] f (t)e jt dt ----------- 非周期信号f(t) 的傅里叶变换
推导
bn
2 T1
t0 T1 t0
f
(t) sin n1tdt
基波，二次谐波….n次谐波
傅里叶级数表明信号中各次谐波的分布。
f (t) a0 (an cos n1t bn sin n1t) n1
三角形式的傅里叶级数也可表示成：
f (t) c0 cn cos(n1t n )
其中 cn2 an2 bn2
3.2 典型周期信号的频谱
3.2.1 周期矩形脉冲信号 (1) 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数
f (t)
E
T1 T1 T1
T1
t
2 22 2
பைடு நூலகம்
a0
2 T1
T1 2
0
f (t)dt 2 T1
2
Edt
E
0
T1
bn 0
4
an T1
T1 2 0
f (t) cos n1tdt
4
T1
2 0
（3）收敛性 -------- 幅度谱的谱线幅度随着 n 而逐渐
衰减到零。 3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系
如果f(t)是实函数而且它的波形满足某种对称性，则在傅里叶级 数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也将变得比较 简单。
（1）偶函数
f (t) f (t)
bn
2 T1
12
1 3
s
in
31t
1 sin 5
51
)
3.1.2 指数形式的傅里叶级数
f (t)
Fne jn1t
n
其中
Fn
1 T1
t0 T1 f (t)e jn1t dt
t0
Fn与nw1形成函数关系
•f(t)分解为不同频率 指数函数线性组合 的无穷级数。
f(t) →Fn建立一一对应关系。
Fn
Fn
e jn
T1 2
t
T1
T1
0
T1 2
T1
t
2
E 2
a0
1 T1
T1 f (t)dt 0
0
an
2 T1
T1 0
f
(t) cos n1tdt
0
2E
2
bn T1
T1 0
f
(t) sin n1tdt
n
0
n 1,3,5 n 2,4,6
因此
f
(t)
2E
n1,3,5
1 n
sin
n1t
2E
(sin1t
• 例题：已知信号f(t)=cos100t,求其频谱Fn。
Fn
0.5
解• ：例题所f ：(以t)已知F12信(1e号j1F01f0t(t12)e,的 j频其100谱余t )FFnn如图0，所n示，1求信号-wf1 (t)w。1 nw1
解： F0 2, F1 F1 2, F2 F2 1
所以 f (t) Fne jnw1t n
周期信号：
f (t)
Fne jn1t
n
------ 连续谱
Fn
1 T1
t0 T1 f (t )e jn1t dt
t0
------ 离散谱
Fn与F(w)关系
Fn 1 F (w)
T1
wnw1
二. 典型非周期信号的傅里叶变换
1、单边指数信号
et f (t)
t 0 etu(t)
0 t0
n1
n
arctan(
bn an
)
（2） c0 a0
an为 n1 的偶函数， bn 为 n1 的奇函数
cn为 n1 的偶函数， n为 n1 的奇函数
例题 求题图所示的周期矩形信号的三角形式傅里叶级数。
解：一个周期内 f (t) 的表达式为：
f (t)
E 2
E
f
(t
)
2
E 2
0 t T1 2
n
2
(n 1,3,5 ) (n 1, 3, 5
)
2
Fn E
EE
3 5
频谱的特点
51 31 1 1 31 51
离散性
n
51 31 1
2
1
2
31 5 1
谐波性 收敛性
2. 周期信号频谱的特点
（1）离散性 -------- 频谱是离散的而不是连续的，这种频谱称为 离散频谱
（2）谐波性 -------- 谱线出现在基波频率1 的整数倍上。
n
T n
2
（2）频谱图
Fn E Sa( nw1 )
T
2
当T1 4时
F E E n
T1 4
2
1 21
4
一般情况： 若 1 则
T1 n
第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有n-1根谱线。
有效带宽：
2 B
或
1
Bf
结论：矩形脉冲的频带宽度与脉冲宽度成反比。
（3）频谱结构与波形参数的关系（T1, ）
t
a0 0
0
an
4
T1
T1
2 0
f (t) cosn1tdt
0
bn
4
T1
T1
2 0
f (t) sin n1tdt
(n 2,4,6) (n 1,3,5) (n 2,4,6) (n 1,3,5)
可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次 谐波的正弦、余弦分量，而不会包含直流和偶次谐波分量。
第 3 章 傅里叶变换
主讲： 黄 慧
目录
3.1 周期信号的傅里叶级数分析 3.2 典型周期信号的傅里叶级数 3.3 傅里叶变换 3.4 典型非周期信号的傅里叶变换 3.5 傅里叶变换的基本性质 3.6 周期信号的傅里叶变换 3.7 取样信号的傅里叶变换 3.8 系统的频域分析 3.9 信号的传输
3.1 周期信号的傅里叶级数分析
3.1.1 三角形式的傅里叶级数
设周期信号为f(t),
其重复周期是T1,角频率1
2f1
2
T1
f (t) a0 (an cos n1t bn sin n1t)
其中
n1
a0
1 T1
t0 T1 f (t )dt
t0
an
2 T1
t0 T1 t0
f
(t) cos n1tdt
•f(t)分解为不同频率三 角函数线性组合的无穷 级数。
2 T1
)
只与与T1成反比；等效带宽与
成反比。
3.2.2 周期冲激信号