信号课件第三章傅里叶变换

第 3 章 傅里叶变换
主讲： 黄 慧
目录
3.1 周期信号的傅里叶级数分析 3.2 典型周期信号的傅里叶级数 3.3 傅里叶变换 3.4 典型非周期信号的傅里叶变换 3.5 傅里叶变换的基本性质 3.6 周期信号的傅里叶变换 3.7 取样信号的傅里叶变换 3.8 系统的频域分析 3.9 信号的传输
3.1 周期信号的傅里叶级数分析
1 3
s
in
31t
1 sin 5
51
)
3.1.2 指数形式的傅里叶级数
f (t)
Fne jn1t
n
其中
Fn
1 T1
t0 T1 f (t)e jn1t dt
t0
Fn与nw1形成函数关系
•f(t)分解为不同频率 指数函数线性组合 的无穷级数。
f(t) →Fn建立一一对应关系。
Fn
Fn
e jn
3.2 典型周期信号的频谱
3.2.1 周期矩形脉冲信号 (1) 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数
f (t)
E
T1 T1 T1
T1
t
2 22 2
a0
2 T1
T1 2
0
f (t)dt 2 T1
2
Edt
E
0
T1
bn 0
4
an T1
T1 2 0
f (t) cos n1tdt
4
T1
2 0
t
0 et e jwt dt et e jwt dt
0
1 1
实偶信号的傅
jw jw
里叶变换也为
2
2 w2
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
E
T
sin(nw1 / 2) nw1 / 2
E
T
Sa(nw1
/ 2)
f
(t)
Fne jnw1t
n
n
E
T
Sa(nw1
f (t) F –1[FF((j))] 1 FF((j))e jt d
2
--------- 傅里叶逆变换
FF(j)) FF((j)) e j()
FF((j)) ------------ 幅度谱
( ) ------------ 相位谱
傅里叶变换： F ( ) f (t )e jwt dt
E
cos
n1tdt
2E
T1
Sa(
n1
2
)
cn
f
(t)
E
T1
2E
T1
n1
Sa(
n1
2
)
cos
n1t
Fn 1
T
T
2 T
2
f (t)e jnw1t dt
1 T
2
e
dt jn w1t
2
f(t)的指数形式的傅里叶级数为
E Sa( nw1 )
T
2
f (t)
Fne jnw1t
E Sa( nw1 )e jnw1t
22
t
F ()
E
2
1 21
4 4 2
2
4
周期信号的离散谱
非周期信号的连续谱
T1
由于
T1 ,
lim
T1
T1Fn
lim
T1
2 T1
2
f (t)e jnw1tdt
f (t)e jwt dt
频谱密度函数 FF((j)) F [ f(t)] f (t)e jt dt ----------- 非周期信号f(t) 的傅里叶变换
所以
f (t)
Fne jnw1t
33
1
- 2w1 -w1 w1 2w1 nw1
n
3 3e jw1t 3e jw1t e j2w1t e j2w1t
3 6cos w1t 2cos 2w1t
3.1.3 周期信号的频谱及其特点
1. 周期信号的频谱 f (t) a0 (an cos n1t bn sin n1t) n1
正弦分量。
（3）奇谐函数
f (t T1 ) f (t) 2
或
f (t T1 ) f (t)
2
（3）奇谐函数 例如
f (t T1 ) f (t) 2
f (t)
f (t T1 ) 2
T1
T1
2
T1
T1
t
T1
2
2
f (t T1 ) f (t) 2
T1
T1
T1
t
2
2
T1 2
n
2
(n 1,3,5 ) (n 1, 3, 5
)
2
Fn E
EE
3 5
频谱的特点
51 31 1 1 31 51
离散性
n
51 31 1
2
1
2
31 5 1
谐波性 收敛性
2. 周期信号频谱的特点
（1）离散性 -------- 频谱是离散的而不是连续的，这种频谱称为 离散频谱
（2）谐波性 -------- 谱线出现在基波频率1 的整数倍上。
n1
n
arctan(
bn an
)
（2） c0 a0
an为 n1 的偶函数， bn 为 n1 的奇函数
cn为 n1 的偶函数， n为 n1 的奇函数
例题 求题图所示的周期矩形信号的三角形式傅里叶级数。
解：一个周期内 f (t) 的表达式为：
f (t)
E 2
E
f
(t
)
2
E 2
0 t T1 2
f (t) c0 cn cos(n1t n )
（1） （2）
n1
f (t)
Fne jn1t
n
f(t) →Fn建立一一对应关系。
（3）
不同时域信号对应的Fn不同，因此可以通过研究Fn来研究 信号的特性。Fn是频率的函数，它反映了组成信号的各次谐波的幅 度和相位变化规律称为频谱函数。直接画出各次谐波对应的Fn的线 状分布图形称为信号的频谱图。
• 从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中， 首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的 傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而 产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
)
2
E 2
0 t T1 2
T1 2
t
T1
T1
0
T1 2
T1
t
2
E 2
Fn 1 T
T
2 T
f (t)e jnw1t dt
2
f (t) jE e j1t jE e j31t jE e j1t jE e j31t
3
3
E
Fn n (n 1, 3, 5 )
幅度频谱和相位频谱
2 T1
)
只与与T1成反比；等效带宽与
成反比。
3.2.2 周期冲激信号
T (t) (t nT1) n
…..
δT(t)
(1)
…..
Fn 1 0.5T1 f (t)e jnw1t dt
T1 0.5T1
-2T1 -T1 0 T1 2T1
t
1
1 0.5T1 (t)e jnw1t dt 1
推导
bn
2 T1
t0 T1 t0
f
(t) sin n1tdt
基波，二次谐波….n次谐波
傅里叶级数表明信号中各次谐波的分布。
f (t) a0 (an cos n1t bn sin n1t) n1
三角形式的傅里叶级数也可表示成：
f (t) c0 cn cos(n1t n )
其中 cn2 an2 bn2
t
a0 0
0
an
4
T1
T1
2 0
f (t) cosn1tdt
0
bn
4
T1
T1
2 0
f (t) sin n1tdt
(n 2,4,6) (n 1,3,5) (n 2,4,6) (n 1,3,5)
可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次 谐波的正弦、余弦分量，而不会包含直流和偶次谐波分量。
• 例题：已知信号f(t)=cos100t,求其频谱Fn。
Fn
0.5
解• ：例题所f ：(以t)已知F12信(1e号j1F01f0t(t12)e,的 j频其100谱余t )FFnn如图0，所n示，1求信号-wf1 (t)w。1 nw1
解： F0 2, F1 F1 2, F2 F2 1
所以 f (t) Fne jnw1t n
- 2w1
Fn 22
1
-w1 w1 2w1 nw1
2 2e jw1t 2e jw1t e j2w1t e j2w1t
2 4cos w1t 2cos 2w1t
例题 求题图所示的周期矩形信号指数形式的傅里叶级数，并画出
频谱图。
f (t)
E
解：一个周期内 f (t) 的表达式为：
2
E
f
(t
T1 2
t
T1
T1
0
T1 2
T1
t
2
E 2
a0
1 T1
T1 f (t)dt 0
0
an
2 T1
T1 0
f
(t) cos n1tdt
0
2E
2
bn T1
T1 0
f
(t) sin n1tdt
n
0
n 1,3,5 n 2,4,6
因此
f
(t)
2E
n1,3,5
1 n
sin
n1t
2E
(sin1t
/ 2)e jnw1t
• 例题：已知信号f(t)=cos100t,求指数形式的傅里叶级数系数Fn。
解：
f (t) 1 (e j100t e j100t ) 2
所以
F1
F1
1 2
,
其余Fn 0，n 1
• 例题：已知指数形式的傅里叶级数系数Fn如图所示，求信号f(t)
Fn
解： F0 3, F1 F1 3, F2 F2 1
1. 若 不变，T1 扩大一倍，即 T1 4 T1 8
f (t)
E
T1
f (t)
E
t
2T1
t
T1
E Fn
4
2 1
E Fn
8
2
1
4
4
2.若T1 不变， 减小一半，即 T1 4 T1 8
f (t)
E
E Fn
T1
f (t)
E
t
2T1
4
2
1
4
E Fn
8
t
1
2
T1
2T1
谱线间隔
1 (
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
3.1.1 三角形式的傅里叶级数
设周期信号为f(t),
其重复周期是T1,角频率1
2f1
百度文库
2
T1
f (t) a0 (an cos n1t bn sin n1t)
其中
n1
a0
1 T1
t0 T1 f (t )dt
t0
an
2 T1
t0 T1 t0
f
(t) cos n1tdt
•f(t)分解为不同频率三 角函数线性组合的无穷 级数。
T1 0.5T1
T1
Fn T1
Fn
T
(t)
1 T1
e jnw1t
n
1/T1
…..
…..
-2w1 -w1 0 w1 2w1
w
周期冲激信号的频谱为常数。
3.3 傅里叶变换及典型信号的傅里叶变换
一.傅里叶变换 f (t) E
T1 T1 T1 2 222
E Fn
T1
f (t)
E
T1
t
T1
1 2
(an
jbn )
Fn
1 2
an2
bn2
1 2
cn
n arctan
( bn ) an
• 例题：如图所示信号f(t)的指数形式的傅里叶级数。
分析：要求级数只要确定了系数Fn即可。 E
解： Fn 1 T /2 f (t)e jnw1tdt
-Ts -τ/2 τ/2
T T /2
1
/2
E
e
jnw1t
（3）收敛性 -------- 幅度谱的谱线幅度随着 n 而逐渐
衰减到零。 3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系
如果f(t)是实函数而且它的波形满足某种对称性，则在傅里叶级 数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也将变得比较 简单。
（1）偶函数
f (t) f (t)
bn
2 T1
12
n
T n
2
（2）频谱图
Fn E Sa( nw1 )
T
2
当T1 4时
F E E n
T1 4
2
1 21
4
一般情况： 若 1 则
T1 n
第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有n-1根谱线。
有效带宽：
2 B
或
1
Bf
结论：矩形脉冲的频带宽度与脉冲宽度成反比。
（3）频谱结构与波形参数的关系（T1, ）
（2）奇函数 f (t) f (t)
1 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
f (t)dt
0
T12
2 T1
f (t) cos n1tdt
0
2
2
bn T1
T1
2 T1
2
f (t) sin n1tdt
4
T1
T1
2 0
f (t) sin n1tdt
在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流与余弦分量，只可能包含
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
周期信号：
f (t)
Fne jn1t
n
------ 连续谱
Fn
1 T1
t0 T1 f (t )e jn1t dt
t0
------ 离散谱
Fn与F(w)关系
Fn 1 F (w)
T1
wnw1
二. 典型非周期信号的傅里叶变换
1、单边指数信号
et f (t)
t 0 etu(t)
0 t0