由状态空间表达式求传递函数
系统传递函数与状态空间
0
y c
x x 0 x x p x p x
r 1
1
2
r 1
r
r 1
11
c
12
cc
r
r 1
c x
n
n
n
0 0 0 u 1 1 1
n n n
11
1
12
2
1r
r
r 1
r 1
n
n
x x x x x x
1
2
r 1
r
r 1
n
p 1 p 0
1
1
1 p
1
1 p
1
根据微分方程写出系统的状态空间表达式
0 0 A a
1 0 a
0 1 a
n
n 1
n2
0 a a
2n 1
0 0 B 0 1
C bn an b0
bn1 an1b0
1.5.4 方框图描述导出系统状态空间表达式
5 s4
x1
u
7s 13 s 2 5s 4
y
y
u
2 s 1
x2
1 s2
x3
1 s2
选取如图所示的状态变量，基本原则是当且仅 当一阶惯性环节的输出取为状态变量。列写变
量之间的关系方程组，得
5 x1 (u x3 ) s4 2 x2 (u x3 ) s 1 1 x3 (x1 x2 ) s2
传递函数写状态空间表达式
传递函数写状态空间表达式【导言】在工程学科领域中，状态空间方法是一种十分重要的工具，在控制系统和信号处理方面得到了广泛应用。
在此过程中，传递函数和状态空间表达式便成为了其中不可或缺的两个环节。
本文将从传递函数转化为状态空间表达式这一点入手，给读者详细介绍其操作方法和其中的一些要点。
【一、传递函数和状态空间表达式概述】首先我们需要了解一些基本概念。
传递函数(Transfer Function)指的是在时域和频域之间建立约束关系的函数。
它描述了系统输入与输出之间的关系，是刻画线性时不变系统的一种有效方式。
状态空间表达式(State-Space Representation)指的是在某些符号和运算法则下，将一个时不变系统的整个历史过程表示为一个有限元素向量和矩阵的函数。
它描述了系统在时域和状态空间中的变化、状态之间的相互关系和控制变量和系统状态之间的关联。
传递函数与状态空间模型是描述线性时不变系统常用的两种方法。
传递函数的优点是简单、直接，能够快速得到系统的频率特性，但是只能表达一阶系统。
状态空间模型能够表达高阶、非线性系统，可以更好地反映物理实际。
【二、传递函数转化为状态空间表达式】将传递函数转化为状态空间表达式，原则上可以采用多种方法，本文将以矩阵分式形式为例进行讲解。
假设系统的传递函数为G(s)，那么我们可以按照以下步骤进行转化：1、设系统的状态变量为x，输出变量为y，则系统的状态方程可以表示为：x' = Ax + Buy = Cx + Du其中A、B、C和D是系统的状态矩阵、输入矩阵、输出矩阵和耦合矩阵。
2、用连分式的形式表示传递函数：G(s) = D + C(sI - A)⁻¹ B3、将上式展开，得到：G(s) = D + CB⁻¹(sI - A)⁻¹ B4、令P(s) = (sI - A)，则：G(s) = D + CB⁻¹P⁻¹(s)B5、对P(s)进行分解：P(s) = (s - λ1)Q1(s) ... (s - λn)Qn(s)其中λ1,λ2,...,λn是P(s)的特征值，Q1(s),Q2(s),...,Qn(s)是与特征值相关的特征向量矩阵。
现代控制理论(刘豹)第一章
状态变量
状态向量
状态空间
状态方程
状态：表征 系统运动的信 息和行为 状态变量： 能完全表示系 统运动状态的 最小个数的一 组变量
由状态变量 构成的向量 x1(t) x2(t) : xn(t)
以各状态变量 x1(t),x2(t),…… xn(t)为坐标轴 组成的几维空 间。
S nY ( s ) + an −1S n −1Y ( s ) + ... + a0Y ( s ) = bm S mu ( s ) + ... + b0Y ( s )
(bm S m + bm −1S m −1 + ... + b0 ) Y ( s ) Z ( s ) G ( s) = Y ( s) / U ( s) = = ⋅ n n −1 ( S + an −1S + ... + a0 ) Z ( s) U ( s)
& x3 x3
x2 x1
机电工程系
∫
∫
∫
习题2 习题
已知离散系统的差分方程为
y (k + 2) + 3 y (k + 1) + 2 y (k ) = 2u (k + 1) + 3u (k )
试求系统的状态空间表达式，并画出其模拟结构图。
解：假设初始条件为零，系统微分方程的 Z 变换为：
z 2Y ( z ) + 3 zY ( z ) + 2Y ( z ) = 2sU ( z ) + 3U ( z )
S n Z ( s ) + an −1S n −1Z ( s ) + ... + a0 Z ( s ) = U ( s ) Y ( s ) = bn −1S
状态空间求传递函数
22
2
11
1
DCx C x D Du
2 11
22
21
状态空间表达式
x 1 x 2
A 1
B 2
C 1
0 A
2
x1 x 2ຫໍສະໝຸດ B 1BD 21u
y D C 21
C 2
x1 x 2
D 2
Du 1
传递函数阵
Y (s) Y (s) G (s)Y (s) G (s)G (s)U (s)
2
2
1
2
1
G(s) G (s)G (s)
2
1
3）反馈连接（u1=u-y2,u2=y,y=y1,D1=D2=0)
U
X1
U1
1(A1,B1,C1,D1) Y1
Y
Y2
2(A2,B2,C2,D2)
U2
x 1 A1x1 B1u1 A1x1 B1u B1C2x2 x 2 A2x2 B2u2 A2x2 B2C1x1
述系统的两组不同的状态变量，则状态变量之间有
非奇异线性变换，即
x P~x ~x P1x
p11 p12 p1n
P
p21
p22
p2n
pn1
pn2
pnn
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
2.串联（前一系统的输出是后一系统的输入）
u=u1,u2=y1,y=y2
X1
X2
U1
1(A1,B1,C1,D1)
Y1 U2
2(A2,B2,C2,D2)
Y2
x A x B u
1
11
1
x A x B C x B D u
2
状态空间表达式
（28） 状态空间方程实现非唯一，书p28, 图1.16b求得其对应的传递函数为： （29）
为求得 令式（29）与式（26）相等，通过对 多项式系数的比较得： 故得： （30）
也可将式(30)写成式(31)的形式，以便记忆。 （31）
将上图a的每个积分器输出选作状念变最，如图所示，得这种结构下的 状态空间表达式：
解：
→
→
u
y
－
＋
例： 解： 比例积分环节： → → u y ＋
例：
解：
综合惯性环节、积分环节模拟结构图得：
u
y
－
＋
u
y
解：选积分器的输出为状态变量得：
u
y
状态方程：
输出方程：
状态空间表达式
1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式
一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动 液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守 恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系 统的输出方程。
同一系统，经非奇异变换后，得：
其特征方程为：
（44）
1.5.2 系统特征值的不变性及系统的不变量
1.系统特征值
式(43)与式(44)形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证明如下：
将特征方程写成多项式形式 由于特征 值全由特征多项式的系数 唯一确定，而特征值 经非奇异变换是不变的，那么这些系统 也是不变 的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。
(3)有共轭复根时，以四阶系统其中有一对共轭复根为例，即 此时
1.6 从状态空间表达式求传递函数阵
1.6.1 传递函数(阵)
《现代控制理论》第三版_.习题答案
1 0 0 3 1 0 5 2 1 52 7 1 5 2 70 125 3 5 7 5 0 0 1 1 B 2 ； 2 5 5
1 0 a1 0 0 1 0 1 0 0 1 a2 3 7 5
0 B 0 1
C (b0 a0bn ) (bn1 an1bn ) 2 1 0
3 1 a 或者 2 2 1 a1 0 a0
e At I At 1 22 1 33 A t A t 2! 3! t2 t4 t6 t3 t5 1 4 16 64 , 4 16 t 2! 4! 6! 3! 5! 3 5 2 4 6 t t t t t t 4 16 64 , 1 4 16 64 3! 5! 2! 4! 6!
0 0 1 B M 1 0 0 0 0 1 M2
1 0 B 1 M1 B1 M2
1 B1 M1 B1 B2 M2
0
0 0 1 0 C 0 0 0 1
1－5. 根据微分方程， 写状态方程， 画模 拟结构图。
1 a2 a2 2 a1 3 2 a a a 1 2 2 a0
1 a2 a1
1 a2
12 b1 b0
b3 b 2 b1 1 b0
凯莱哈密顿法： 1,2 2 j
0 (t ) 1 1 e1t 1 2(e 2 jt e 2 jt ) (t ) 1 2t 4 2 jt 2 jt e j ( e e ) 2 1
实验一MATLAB系统地传递函数和状态空间表达式地转换
实验一 MATLAB 系统的传递函数和状态空间表达式的转换一、实验目的1、学习多变量系统状态空间表达式的建立方法；2、通过编程、上机调试，掌握多变量系统状态空间表达式与传递函数之间相互转换的方法；3、掌握相应的MATLAB 函数。
二、实验原理设系统的模型如式（1.1）所示：⎩⎨⎧+=+=DCx y BuAx x ' x ''R ∈ u ∈R ’’’ y ∈R P (1.1) 其中A 为nXn 维系统矩阵、B 为nXm 维输入矩阵、C 为pXn 维输出矩阵，D 为直接传递函数。
系统的传递函数和状态空间表达式之间的关系如式（1.2）所示G(s)=num(s)/den(s)=C (SI-A)-1 B+D (1.2) 式（1.2）中，num(s)表示传递函数的分子阵，其维数是pXm ，den(s)表示传递函数的按s 降幂排列的分母。
表示状态空间模型和传递函数的MATLAB 函数如下：函数ss （state space 的首字母）给出了状态空间模型，其一般形式是: sys=ss(A,B,C,D)函数tf （transfer function 的首字母）给出了传递函数，其一般形式是: G=tf(num ，den)其中num 表示传递函数中分子多项式的系数向量（单输入单输出系统），den 表示传递函数中分母多项式的系数向量。
函数tf2ss 给出了传递函数的一个状态空间实现，其一般形式是: [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)函数ss2tf 给出了状态空间模型所描述系统的传递函数，其一般形式是: [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)其中对于多输入系统，必须确定iu 的值。
例如，若系统有三个输入u 1，u 2，u 3，则iu 必须是1、2、或3，其中1表示u 1,2表示u 2，3表示u 3。
该函数的结果是第iu 个输入到所有输出的传递函数。
三.实验步骤及结果1、应用MATLAB 对下列系统编程，求系统的A 、B 、C 、D 阵，然后验证传递函数是相同的。
2014《现代控制理论》学习指导书及部分题目答案
现代控制理论学习指导书第一部分重点要点线性系统理论线性系统数学模型稳定性、可控性和可观测性单变量极点配置的条件和方法。
最优控制理论变分法极小值原理最优性原理动态规划最优估计理论参数估计方法掌握最小方差估计和线性最小方差估计方法状态估计方法预测法，滤波系统辨识理论经典辨识方法最小二乘辨识方法系统模型确定方法自适应控制理论用脉冲响应求传递函数的原理和方法。
两种设计方法智能控制理论掌握智能控制的基本概念、基本方法以及智能控制的特点。
了解分级递阶智能控制、专家控制、神经网络控制、模糊控制、学习控制和遗传算法控制的基本概念第二部分练习题填空题1.自然界存在两类系统：______静态系统____和______动态系统____。
2.系统的数学描述可分为___外部描述_______和___内部描述_______两种类型。
3.线性定常连续系统在输入为零时，由初始状态引起的运动称为___自由运动_______。
5.互为对偶系统的__特征方程________和___特征值_______相同。
6.任何状态不完全能控的线性定常连续系统，总可以分解成____完全能控______子系统和____完全不能控______ 子系统两部分。
7.任何状态不完全能观的线性定常连续系统，总可以分解成__完全能观测________子系统和____完全不能观测______子系统两部分。
8.对状态不完全能控又不完全能观的线性定常连续系统，总可以将系统分解___能控又能观测、能控但不能观测、不能控但能观测、不能控又不能观测四个子系统。
9.对SISO系统，状态完全能控能观的充要条件是系统的传递函数没有__零极点对消_。
10.李氏稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。
11.经典控制理论讨论的是__在有界输入下，是否产生有界输出的输入输出稳定性问题，李氏方法讨论的是_动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。
12. ___状态反馈_______和__输出反馈________是控制系统设计中两种主要的反馈策略。
状态空间表达式及其与传递函数间的关系
x Ax Bu y Cx Du
u(t)
y(t)
系统
A : 系统（状态）矩阵 （n n）
B : 控制（输入）矩阵 （n p）
C : 输出矩阵 （q n）
D : 前馈矩阵 （q p）
A、B、C、D 为常数阵 定常系统
A、B、C、D 含时变参数 时变系统
9
x Ax Bu y Cx Du
不同状态变量之间存在线性变换关系
13
2.6 两种模型的相互转化
2.6.1由状态空间模型转化为传递函数（阵） 2.6.2由传递函数转化为状态空间描述 应用MATLAB进行模型之间的相互转化（自
学）
14
2.6.1 由状态空间模型转化为传递函数（阵）
设 线 性 定 常 系 统 的 状 态空 间 模 型 为
0 1u
1 G( s ) LCs2 RCs 1
y 1
0
x1 x2
由同一系统的不同状态空间表
达式导出的传递函数（阵）必
然相同
18
2.6.2 由系统传递函数建立状态空间模型
之前已知：由微分方程转
A,B,C,D
化为状态空间模型
u(t)
y(t)
系统
U(s)
x Ax Bu 注意！ u(t)
G(s)
y(t)
y Cx Du
系统
对其进行拉氏变换 sX(s) x(0 ) AX(s) BU(s) Y(s) CX(s) DU(s)
对应的传递函数（阵）为
令初始条件为零， x( 0 ) 0 得：sX(s) AX(s) BU(s)
x n
xn
matlab已知状态方程求传递函数
一、概述在控制系统理论中，状态方程和传递函数是两种描述系统动态特性的重要方法。
状态方程可以描述系统的状态变量随时间的变化规律，而传递函数则可以直观地描述系统的输入和输出之间的关系。
在实际应用中，有时候我们已知系统的状态方程，希望求解系统的传递函数。
本文将介绍如何利用MATLAB工具来求解已知状态方程的系统传递函数。
二、已知状态方程假设我们已知一个系统的状态方程为：\[ \dot{x} = Ax + Bu \]\[ y = Cx + Du \]其中，\[ \dot{x} \] 为系统状态变量的导数，可以理解为状态变量随时间的变化率；x是系统的状态变量；u是系统的输入；y是系统的输出；A、B、C、D为系统的参数矩阵。
三、求解传递函数的步骤1. 我们需要将状态方程进行拉普拉斯变换，得到系统的传递函数。
2. 将状态方程进行拉普拉斯变换，得到：\[ sX(s) - x(0) = AX(s) + BU(s) \]\[ Y(s) = CX(s) + DU(s) \]其中，X(s)是状态变量的拉普拉斯变换，Y(s)是输出的拉普拉斯变换，U(s)是输入的拉普拉斯变换。
3. 整理上述方程，可以得到系统的传递函数表达式：\[ Y(s) = [C(sI - A)^{-1}B + D]U(s) + (sI - A)^{-1}x(0) \]其中，I为单位矩阵。
4. 最终得到系统的传递函数为：\[ G(s) = [C(sI - A)^{-1}B + D] \]四、MATLAB求解在MATLAB中，我们可以通过以下步骤求解已知状态方程的传递函数：1. 将系统的参数矩阵A、B、C、D以及初始状态x(0)输入MATLAB。
2. 利用MATLAB中的矩阵运算函数（如inv()、ctranspose()等）对状态方程进行拉普拉斯变换，并求解传递函数表达式。
3. 将得到的传递函数表达式进行化简，得到系统的传递函数G(s)。
4. 最终利用MATLAB绘制传递函数的频率响应曲线，可以直观地观察系统的频域特性。
现代控制理论从状态空间表达式求传递函数矩阵
《现代控制理论》MOOC课程1.4从状态空间表达式求传递函数矩阵一. 传递函数矩阵的定义定义：对于多输入－多输出线性定常系统，输入向量为,输出向u =u 1u 2⋯u r T 量为, 且假定初始状态为零。
分别表示的拉氏y =y 1y 2⋯y m T ෝu i s ,ෝy i s u i ,y i ොy 1s =w 11s ොu 1s +w 12s ොu 2s +⋯+w 1r s ොu r sොy 2s =w 21s ොu 1s +w 22s ොu 2s +⋯+w 2r s ොu r s⋮ොy m s =w m1s ොu 1s +w m2s ොu 2s +⋯+w mr s ොu r sෝy (s)=ොy 1(s)⋮ොy m (s)=w 11s⋯w 1r s⋮⋯⋮w m1s⋯w mr s ොu 1(s)⋮ොu r (s)=W (s )ෝu (s )写成向量形式：称为系统的传递函数矩阵。
W (s )变换，表示第j 个输入端到第i 个输出端的传递函数，系统的输入输出关系可描述为：w ij (s )x=A x+Bu x0=0y=C x+Du结论：对应于状态空间描述W(s)=C(sI−A)−1B+D 其传递函数矩阵为:证明：lims→∞W s=D且有：W(s)并且，当D≠0时，为真有理分式矩阵，当D=0时，为严格真有理分式矩阵，W s对状态空间表达式取拉氏变换：s X(s)=AX(s)+BU(s)Y(s)=CX(s)+DU(s)由状态方程的拉氏变换表达式可得：X(s)=(sI−A)−1B U(s)Y(s)=(C(sI−A)−1B+D )U(s)代入输出方程的拉氏变换表达式可得：故传递函数矩阵为：W(s)=C(sI−A)−1B+D对于传递函数矩阵：W(s )=C (sI −A )−1B +D 考虑：(sI −A)−1=Τadj(sI −A )det (sI −A )且伴随矩阵每个元素多项式的最高次幂都小于的最高次幂，故adj (sI −A )det (sI −A )lim s→∞W s =D因此有：lim s→∞(sI −A )−1=0当D ＝0时，为严格真有理分式；W s 故当D ≠0时，为真有理分式；W s三. 传递函数矩阵的唯一性证明：一个系统的状态空间表达式是非唯一的，但其传递函数矩阵是唯一的。
状态空间表达式求传递函数
从状态空间表达式求传递函数
1 W ( s) = [Cadj ( sI − A) B + D sI − A ] sI − A
与经典控制理论的传递函数相比较，可得到如下结论
N ( s ) b0 s + b1s + ... + bn−1s + bn W (s) = = n n −1 D( s ) s + a1s + ... + an−1s + an
… + +
∫
xn
cn
λn
λ1 0 0 λ 2 & x= ... ... 0 0 y = [1 1 ...
...பைடு நூலகம்...
0 c1 c 0 x + 2 u ... ... ... 0 λn cn 1] x
c1
∫
x1
λ1
c2
n ci c12 c11 + ... + + +∑ ( s − λ1 ) 2 ( s − λ1 ) i =q +1 ( s − λi )
... & xq −1 = λ1 xq −1 + xq & xq = λ1 xq + u & xq +1 = λq +1 xq +1 + u ... & xn = λn xn + u y = c1q x1 + c1( q −1) x2 + ...c12 xq −1 + c11 xq + ... + cn xn
状态空间求传递函数
x P~ x p11 p P 21 pn1
1 ~ xP x
p12 p1n p22 p2 n pn 2 pnn
例：线性系统的状态空间表达式为
1 0 x x 2 0 3 x 1 1 y 0 0 0
1 4 1
0 x1 0 x 1 3 2 2 x3 0
0 u1 0 u2 1
1.6系统状态空间表达式的标准型（规范型）
对于系统，由于状态变量选择的非唯一性，
可以得到不同形式的状态空间表达式，描述
同一系统的不同状态变量之间有什么关系？
状态空间表达式是否可相互转换？是否可得
到系统状态空间表达式的标准型（规范型）？
系统状态的线性变换 对于n阶系统，令 x1 , x2 , xn ; ~ x1 , ~ x2 ~ xn 是描 述系统的两组不同的状态变量，则状态变量之间有 非奇异线性变换，即
1 1
X ( s ) ( sI A) BU ( s ) 零初始条件下， Y ( s ) [C ( sI A) B D]U ( s ) G (s)U ( s ) G (s) C ( sI A) B D 系统传递函数阵
1
它是m×r维,反映了系统输入和输出之间的传递关系。
x1 0 x 2 1 x3
求系统的传递函数矩阵。
G(s) C sI A B
1
s 1 1 0 0 0 0 1 0 s 4 1 1 s2 s 3 6 s 2 11s 3 -( s 1) 3 2 s 6 s 11s 3
1 2 2 2 2
2
由状态空间表达式求传递函数
由状态空间表达式求传递函数传递函数可以通过状态空间表达式直接计算得出。
首先，写出状态空间表达式：
$\begin{cases} \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) \\ y(t)= Cx(t) + Du(t) \end{cases}$
其中，
- $A$、$B$、$C$、$D$ 分别为系统的状态、输入、输出矩阵；
- $x(t)$、$u(t)$、$y(t)$ 分别为系统的状态、输入、输出向量。
接着，对状态空间表达式进行变换，得到传递函数的表达式。
令 $X(s)$、$U(s)$、$Y(s)$ 分别为拉普拉斯变换后的状态、输入、输出向量，
则有：
$\begin{aligned} sX(s) &= AX(s) + BU(s) \\ Y(s) &= CX(s) + DU(s) \end{aligned}$ 将 $X(s)$ 化简，得到：
$X(s) = (sI - A)^{-1}BU(s)$
再将 $X(s)$ 代入 $Y(s)$，得到：
$Y(s) = C(sI - A)^{-1}BU(s) + DU(s)$
将 $U(s)$ 提取出来，有：
$\frac{Y(s)}{U(s)}= C(sI - A)^{-1}B + D$
此即为系统的传递函数。
需要注意的是，此传递函数是一个矩阵，通常我们会简化为一个标量传递函数。
第一章控制系统的状态空间表达式
K1
(S
1)3
1 S(S 1)3
S1
1
K2
d
ds
(S
1)3
1 S(S 1)3
S 1
1
K3
1 d2
2!
ds
2
( S
1)3
1 S( S 1)3
S 1
1
K4
S
S(
1 S 1)3
S 0
1
因此，
F(s)
(S
1 1)3
(S
1 1)2
1 S 1
1 S
查拉普拉斯关系对照表，得：
比例环节的传递函数为： G(s) C(s) K
R(s)
作比例环节的阶跃响应曲线图
R(t)
X0
0
C(t)
t
KX0
0
t
图2-10 比例环节的阶跃响应曲线
2、积分(Integral)环节
积分环节的微分方程为： c(t) 1
t
r(t)dt
Ti 0
式中，Ti—积分时间。
积分环节的传递函数为
G(s) C(s) 1 R(s) TiS
fr
式中fr—阀门局部阻力系数。
动态数学模型
▪ 动态
----运动中的自动调节系统（或环节），当输入 信号和输出信号随时间变化时，称系统（或 环节）处于不平衡状态或动态。
▪ 动态数学模型（动态特性）---在不平衡状态时，输出信 号和引起它变化的输入信号之间的关 系，称为系统（或环节）的动态特性。
1.数学模型的建立
例2 求的反变换
※解：
F(s)
S2
S
3 2S
2
F(s)
S 3
状态空间表达式求传递函数
2009年 4月20日
bm s m + bm −1s m −1 + ... + b1s + b0 已知系统的传递函数 W ( s ) = n s + an −1 s n −1 + ... + a1s + a0
5.3.3 系统的并联型实现
1）具有互异根时 n cn ci c1 c2 W (s) = + + ... + =∑ ( s − λ1 ) ( s − λ2 ) ( s − λn ) i =1 ( s − λi )
X (s) = ( sI − A) −1 B U (s) Y ( s) U-Y间的传递函数为 W ( s ) = = C ( sI − A) −1 B + D U ( s)
6
当系统是多输入-多输出系统时，传递函数是一个 mXr矩阵函数，其中矩阵中的各元素Wij ( s ) 都是标量 函数，表示第j个输入对第i个输出的传递关系。 系统传函还可以计算为
n
n −1
（1）系统矩阵A的特征多项式等同于传递函数的分 母多项式。 （2）传递函数的极点就是系统矩阵A的特征值 （3）由于状态变量选择的不同，同一系统的状态 空间描述不是唯一的，但是从表征系统状态空间描 述的不同的A,B,C和D变换到表征系统输入输出描述 的传递函数W（s）是唯一的。
6.2 传递函数的不变性 −1 当做坐标变换 z = T x ，则系统的状态表达式为
+
... 0 1 0 λ ... 0 1 2 x + u & x= ... ... ... ... ... 1 0 0 0 λn y = [ c1 c2 ... cn ] x 0
求系统的传递函数的方法
求系统的传递函数的方法在控制系统中，传递函数是描述输入信号和输出信号之间关系的数学模型。
它是系统的重要属性，能够帮助我们分析系统的稳定性、动态响应和频率特性等。
求系统的传递函数的方法有多种，取决于系统的性质和所采用的建模方法。
以下是一些常见的方法：1. 物理建模法：对于具有明确物理意义和参数的系统，可以通过建立系统的物理方程来求解传递函数。
例如，对于机械系统可以通过牛顿力学方程，对于电路系统可以通过欧姆定律和基尔霍夫定律等来建立方程并求解传递函数。
2. 线性化法：对于非线性系统，可以通过在某一工作点处进行线性化来近似系统的动态行为。
线性化可以将非线性系统转化为线性系统，并利用线性系统的数学工具来求解传递函数。
线性化方法通常包括泰勒级数展开和小信号假设等。
3. 系统辨识法：对于未知系统或无法准确建立物理方程的系统，可以通过实验数据来识别系统的传递函数。
系统辨识方法可以分为基于时域数据的辨识和基于频域数据的辨识。
常用的系统辨识方法包括最小二乘法、极大似然法和频域辨识法等。
4. 转移函数法：对于线性时不变系统，可以通过拉普拉斯变换将系统的微分方程转化为复频域的代数方程。
然后通过对代数方程进行处理，可以得到系统的传递函数。
转移函数法适用于具有连续时间和离散时间的线性系统。
5. 状态空间法：对于具有多个输入和输出的系统，可以使用状态空间描述来求解传递函数。
状态空间法是一种基于系统的状态变量和状态方程的建模方法，通过矩阵运算可以得到系统的传递函数。
状态空间法适用于具有连续时间和离散时间的线性系统。
无论采用哪种方法，求解系统的传递函数都需要系统的特性和参数的输入。
因此，在实际应用中，需要通过实验数据、物理模型或者系统辨识等方式来获取系统的特性和参数。
传递函数的求解对于系统分析、控制器设计和系统优化等方面都具有重要意义，是控制工程中的基础内容。
第1章控制系统的状态空间表达式
u
X
y
●状态方程的一般形式为：
x Ax Bu
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
五. 输出方程
在指定系统输出y 的情况下，输出y 与状态变量x 及系统输入u 的
函数关系式，称为系统的输出方程 。
●系统的状态和输入决定了系统输出的变化 。
2.根据给定的数学模型，画出相应的加法器和比例器。
3.用箭头将这些元件连接起来。
§1－2 状态空间表达式的模拟结构图
二. 绘制状态空间模拟结构图的例子
例1 一阶标量微分方程x： ax bu
u
b+
x x
+
a
§1－2 状态空间表达式的模拟结构图
二. 绘制状态空间模拟结构图的例子
例2 三阶微分方程 ： x a2 x a1x a0 x bu
值以及t≥t0时间的输入，就完全能够确定系统在任何t≥t0时间的动态行 为；
●状态变量的最小性，体现在减少变量个数就不能够完全表征系统的动态
行为，而增加变量数则是完全表征系统动态行为所不需要的。
●状态变量在数学上是线性无关的。
●状态变量的选取不是唯一的。
●对于一个实际的物理系统,状态变量个数等于系统独立储能元件的个数。
Kn
J2 x2
x1
Kb
x2
x1
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
由以上方框图可知：x1 x2
x2
J2 Kb
x4
x3 K n x4
状态方程：
x4
1 J1
x3
Kp J1
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5
例8-3-1续 G(s) Y (s) C[sI A]1 B U (s)
s2 2s 3 s 2 1
[3
2 1]
5
s(s 2)
s
5s (3s 5) s2
s3 2s2 3s 5
0 0
1
1
s3
[3 2s2ຫໍສະໝຸດ 21] 3s 5s s
2
s3
3 2s s2 2s2 3s 5
例8-3-1续
G(s) Y (s) C[sI A]1 B U (s)
s2 2s 3 s 2 1
[3
2 1]
5
s(s 2)
s
5s (3s 5) s2
s3 2s2 3s 5
0 0
1
1
s3
[3 2 2s2
1] 3s
5
s s2
s3
3 2s s2 2s2 3s
A11 A21
adjA
A12
A22
A1n A2n
An1
An2
Ann
2×2矩阵求逆
余因子
A11 a22
A
a11
a12
a21 a22
A12 a21
A21 a21
A22 a11
adjA
A11 A12
A21 A22
a22 a21
a12 a11
有 X (s) [sI A]1 BU (s)
带入（2）式有
Y (s) C[sI A]1 BU (s)
于是得到传递函数 G(s) Y (s) C[sI A]1 B U (s)
一个系统状态变量选取不同，状态空间表达式不同，但求 出的传递函数是相同的。
例8-3-1 x1 0 1 0 x1 0
x2
0
0
1
x2
0
u
x3 5 3 2 x3 1
x1
y [3
2
1]
x2
x3
解：
s [sI A]1 0
5
1
0
1
s
1
adj[sI A] sI A
3 s 2
s2 2s 3 s 2 1
s3
1 2s2
3s
5
5 5s
s(s 2)
s
(3s 5) s2
由状态空间表达式求传递函数
设单输入单输出（SISO)系统 在零初始条件下取拉氏变换
X AX Bu
sX (s) AX (s) BU (s) (1)
y CX du
一般d 0
Y (s) CX (s)
(2)
由（1）式整理得到 [sI A]X (s) BU (s) 左乘 [sI A]1
矩阵求逆 A1 adjA 其中：adjA伴随矩阵，| A | 是 A的行列式
| A|
子式 Mij : 从n n矩阵A中去掉第i行，第j列后所得到
的(n-1)(n-1)矩阵的行列式称
矩阵
Ann
的子式
M
。
ij
余因子 Aij (1)i j Mij
A 的伴随矩阵 adjA 是以 A 的余因子
Aij为元素构成的矩阵的转置矩阵