由状态空间表达式求传递函数

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例8-3-1续 G(s) Y (s) C[sI A]1 B U (s)
s2 2s 3 s 2 1
[3
2 1]
5
s(s 2)
s
5s (3s 5) s2
s3 2s2 3s 5
0 0
1
1
s3
[3 2s
2 2
1] 3s
5
s s
2
s3
3 2s s2 2s2 3s 5
矩阵求逆 A1 adjA 其中：adjA伴随矩阵，| A | 是 A的行列式
| A|
子式 Mij : 从n n矩阵A中去掉第i行，第j列后所得到
的(n-1)(n-1)矩阵的行列式称
矩阵
Ann
的子式
M
。
ij
余因子 Aij (1)i j Mij
A 的伴随矩阵 adjA 是以 A 的余因子
Aij为元素构成的矩阵的转置矩阵
A11 A21
adjA
A12
A22
A1n A2n
An1
An2
Ann
2×2矩阵求逆
余因子
A11 a22
A
a11
a12
a21 a22
A12 a21
A21 a21
A22 a11
adjA
A11 A12
A21 A22
a22 a21
a12 a11
x2Biblioteka Baidu
0
0
1
x2
0
u
x3 5 3 2 x3 1
x1
y [3
2
1]
x2
x3
解：
s [sI A]1 0
5
1
0
1
s
1
adj[sI A] sI A
3 s 2
s2 2s 3 s 2 1
s3
1 2s2
3s
5
5 5s
s(s 2)
s
(3s 5) s2
有 X (s) [sI A]1 BU (s)
带入（2）式有
Y (s) C[sI A]1 BU (s)
于是得到传递函数 G(s) Y (s) C[sI A]1 B U (s)
一个系统状态变量选取不同，状态空间表达式不同，但求 出的传递函数是相同的。
例8-3-1 x1 0 1 0 x1 0
由状态空间表达式求传递函数
设单输入单输出（SISO)系统 在零初始条件下取拉氏变换
X AX Bu
sX (s) AX (s) BU (s) (1)
y CX du
一般d 0
Y (s) CX (s)
(2)
由（1）式整理得到 [sI A]X (s) BU (s) 左乘 [sI A]1
例8-3-1续
G(s) Y (s) C[sI A]1 B U (s)
s2 2s 3 s 2 1
[3
2 1]
5
s(s 2)
s
5s (3s 5) s2
s3 2s2 3s 5
0 0
1
1
s3
[3 2 2s2
1] 3s
5
s s2
s3
3 2s s2 2s2 3s