数量积向量积混合积

第三节 数量积 向量积 混合积

分布图示

★ 两向量的数量积 ★ 数量积的运算

★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5

★ 向量积概念的引入 ★ 向量积的定义 ★ 向量积的运算

★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10

★ 向量的混合积 ★ 混合积的几何意义

★ 例11 ★ 例12 ★ 例13

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题8-3 ★ 返回

内容要点

一、两向量的数量积

定义1设有向量a 、b ，它们的夹角为θ，乘积θcos ||||b a 称为向量a 与b

的数量积（或称为内积、点积），记为b a

⋅，即

θcos ||||b a b a

=⋅.

根据数量积的定义，可以推得：

（1） b j a a j b b a a b

Pr ||Pr ||==⋅;

（2） 2

||a a a

=⋅;

（3） 设a 、b

为两非零向量，则 b a ⊥的充分必要条件是 0=⋅b a .

数量积满足下列运算规律：

（1）交换律 ;a b b a

⋅=⋅

（2）分配律 ;)(c b c a c b a

⋅+⋅=⋅+

（3）结合律 )()()(b a b a b a

λλλ⋅=⋅=⋅,（λ为实数）.

二、两向量的向量积

定义2 若由向量a 与b 所确定的一个向量c

满足下列条件：

（1）c 的方向既垂直于a 又垂直于b , c 的指向按右手规则从a

转向b 来确定（图

8-3-4）；

（2）c 的模 θsin ||||||b a c =，(其中θ为a 与b

的夹角)，

则称向量c

为向量a 与b 的向量积（或称外积、叉积），记为

b a c

⨯=.

根据向量积的定义，即可推得

（1）0 =⨯a a ；

（2）设a 、b

为两非零向量，则 b a //的充分必要条件是 0=⨯b a .

向量积满足下列运算规律:

（1）;a b b a

⨯-=⨯

（2）分配律 ;)(c b c a c b a

⨯+⨯=⨯+

（3）结合律 )()()(b a b a b a

λλλ⨯=⨯=⨯,（λ为实数）. 三、向量的混合积

例题选讲

两向量的数量积

例1(E01) 已知},2,2,1{},4,1,1{-=-=b a

求

(1) ;b a ⋅ (2) a 与b 的夹角θ; (3) a 与b

上的投影.

解 (1) b a

⋅2)4()2(111⋅-+-⋅+⋅=.9-=

(2) 222222cos z

y x z y x z

z y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=

θ,2

1-

= ∴.4

3π

θ=

(3) ,Pr ||a j b b a b =⋅.3|

|Pr -=⋅=∴a b

a a j b

例2 证明向量c

与向量a c b b c a )()(⋅-⋅垂直.

证 c a c b b c a ⋅⋅-⋅])()[(])()[(c a c b c b c a

⋅⋅-⋅⋅=])[(c a c a c b ⋅-⋅⋅=,0= ∴.])()[(c a c b b c a ⊥⋅-⋅

例3 试用向量方法证明三角形的余弦定理.

证 如图所示(见系统演示), 设在ABC ∆中, ,θ=∠BCA ,||a CB =,||b CA =,||c AB =

现要证.cos 22

22θab b a c -+=记,a B C =,c B A =,b A C =则有,b a c -=从而 c c c ⋅=2||)()(b a b a -⋅-=b a b b a a

⋅-⋅+⋅=2.cos ||||2||||22θb a b a ⋅-+= 由,||a a = ,||b b = ,||c c =

即得.cos 2222θab b a c -+=

例4 (E02) 设b a 3+与b a 57-垂直, b a 4-与b a 27-垂直, 求a 与b

之间的

夹角θ.

解 b a b a

573-⊥+所以0)57()3(=-⋅+b a b a ,即016||15||722=⋅+-b a b a (1) 又b a b a

274-⊥-所以0)27()4(=-⋅-b a b a 即030||8||722=⋅-+b a b a

(2) 联立方程(1), (2)得 b a b a

⋅==2||||22

所以 |

|||,cos b a b a b a ⋅=><∧

，.3,π

=><∧b a

例5 (E03) 设液体流过平面S 上面积为A 的一个区域, 液体在这区域上各点处的流速均为(常向量) v . 设n 为垂直于S 的单位向量(图7-3-3a), 计算单位时间内经过这区域流向n 所指一方的液体的质量P (液体的密度为ρ).

解 如图(见系统演示)，单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A 、斜高为||v 的斜柱体,

这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v 与n

的夹角,θ所以这柱体的高为,cos ||θv

体积为

n v A v A ⋅=θcos ||

从而，单位时间内经过这区域流向n

所指一方的液体的质量为.n v A P ⋅=ρ

两向量的向量积

例6 (E04) 求与k j i b k j i a

2,423-+=+-=都垂直的单位向量.

解 b a c

+=z

y

x

z y x

b b b a a a k j i =2

1

1

42

3--=k j i ,510k j +=

||c 22510+=,55= ∴||c c c

±=.515

2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=k j