2020-2021学年全国百强名校“领军考试”高二上学期11月联考数学试题(文)
2024学年浙江强基联盟高二数学上学期11月联考试卷附答案解析
2024学年浙江强基联盟高二数学上学期11月联考试卷考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合{}{}1,2,3,4,5,2,4,6,8A B ==，则A B ⋂=（）A.{}3,4 B.{}2,4,6 C.{}1,3,5 D.{}2,42.如果椭圆的方程是22142x y +=，那么它的焦点坐标是（）A.()2,0± B.()0,2± C.()D.(0,3.已知点()(),1,2,3P a Q --，若5PQ =，则a =（）A.1B.5- C.1或5- D.1-或54.已知圆221:4C x y +=和圆222:86160C x y x y +--+=，则1C 与2C 的位置关系是（）A.外切B.内切C.相交D.外离5.在正方体1111ABCD A B C D -中，以下说法正确的是（）A.若E 为1DD 的中点，则1BD ∥平面AECB.若E 为1DD 的中点，则1BD ⊥平面11A ECC.若E 为11C D 的中点，则1AE BD ⊥D.若E 为11C D 的中点，则CE ∥1BD 6.已知3x，则函数()11f x x x =+-的最小值是（）A.92B.72C.3D.27.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若直线AC 与BD 的交点为M .设11111,,A B a A D b A A c === ，则下列向量中与1B M共线的向量是（）A.22a b c-+-B.2a b c+-C.22a b c --D.2a b c-- 8.如果函数()()()4,2024,9,2024,x x f x f f x x -⎧⎪=⎨+<⎪⎩那么()10f =（）A.2020B.2021C.2023D.2025二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数34i z =-，以下说法正确的是（）A.z 的实部是3B.5z =C.34iz =+D.z 在复平面内对应的点在第一象限10.抛掷一颗质地均匀的骰子，记随机事件i A =“点数为i ”，其中1,2,3,4i =，则以下说法正确的是（）A.若随机事件1B =“点数不大于3”，则1A 与1B 互斥B.若随机事件2B =“点数为偶数”，则22A B ⊆C.若随机事件3B =“点数不大于2”，则3A 与3B 对立D.若随机事件4B =“点数为奇数”，则34A A ⋃与4B 相互独立11.棱长为1的正四面体ABCD 的内切球球心为O ，点P 是该内切球球面上的动点，则以下说法正确的是（）A.记直线AO 与直线AB 的夹角是α，则cos 3α=B.记直线AO 与平面ABC 的夹角是β，则22sin 3β=C.记(),BP xBC yBD x y --∈R 的最小值为n，则0,6n ⎡∈⎢⎣⎦D.记AP 在BC 上的投影向量为BC m BC，则,1212m ⎡∈-⎢⎣⎦三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.点()2,1A 到直线:230l x y --=的距离是__________.13.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3，弧长为2π的扇形，则该圆锥的体积是__________.14.设O 是坐标原点，1F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点，椭圆上的点P 关于O 的对称点是Q ，若1120,PF Q PQ ∠==，则该椭圆的离心率是__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（13分）已知圆22:(4)25C x y -+=，点()1,4P ，且直线l 经过点P .（1）若l 与C 相切，求l 的方程；（2）若l 的倾斜角为3π4，求l 被圆C 截得的弦长.16.（15分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，记ABC 的面积为S ，已知2A B C +=.（1）若2c =，求ABC 外接圆的半径；（2）求()()Sa b c a b c +++-的值.17.（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 是正三角形，四边形ABCD 为等腰梯形，且有222,,AD BC AB CD PB PC E F =====分别是,AD BC 的中点，动点Q 在PF 上.（1）证明：平面PEF ⊥平面PBC ；（2）当EQ PF ⊥时，求平面QAB 与平面QCD 所成角的余弦值.18.（17分）在平面直角坐标系中，已知O 是坐标原点，点()()2,0,2,0A B -，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是14-.记点M 的轨迹是曲线C ，点()()000,0D x y y >是曲线C 上的一点.（1）求曲线C 的方程；（2）若01x =，直线l 过点D 与曲线C 的另一个交点为E ，求ODE 面积的最大值；（3）过点)F 作直线交曲线C 于,P Q 两点，且OD PQ ⊥，证明：211||PQ OD +为定值.19.（17分）在平面直角坐标系xOy 中，我们可以采用公式,x ax by c y mx ny p =++⎧⎨=++⎩''（其中,,,,,a b c m n p 为常数），将点(),P x y 变换成点(),P x y '''，我们称该变换为线性变换，上式为坐标变换公式.常见的线性变换有平移变换和旋转变换.（1）将点(),P x y 向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到点(),P x y '''，求该变换的坐标变换公式，并求将椭圆22143x y +=向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新椭圆的方程；（2）将点(),P x y 绕原点逆时针旋转π4后，得到点(),P x y '''，求上述变换的坐标变换公式，并求将椭圆22143x y +=绕原点逆时针旋转π4后，所得新椭圆的方程；（3）若点(),P x y 满足22220x xy y x y ++++-=，证明：点(),P x y 的轨迹是椭圆.浙江强基联盟2024年11月高二联考数学卷参考答案与评分标准1.D {}2,4A B ⋂=，故选D.2.C 由2222c a b =-=，则它的焦点坐标是()，故选C.3.C 由两点间的距离公式可得222||(2)(13)25PQ a =+++=，解得1a =或5-，选C.4.A 由222:(4)(3)9C x y -+-=，可得1C 与2C 的圆心距是5，又125r r +=，所以1C 与2C 外切，故选A.5.A 如图所示，EF ∥1BD ，则有1BD ∥平面AEC ，故选A.6.B令()12x t t -= ，则()()11,f t t f t t=++在[)2,∞+单调递增，所以()f t 的最小值是()722f =，故选B.7.C由空间向量的线性运算可得()()1111111111111122222B M B B BM A A B D c A D A B c b a a b c =+=+=+-=+-=-++.选项D 中，112222a b c a b c ⎛⎫--=--++ ⎪⎝⎭，与1B M 共线，故选D.8.B记()()()()()11,n n fx f f x f x f x +==，根据()f x 定义可得()()()()()2322422510192820172026f f f f f ===== ，考虑()()()()()20262022,2022203120272023f f f f f ====，()()()()()()()()2023203220282024,20242020,20202029f f f f f f f f =====()()()()()20252021,2021203020262022f f f f f =====，所以5f （2022）=()()()()43220232024202020212022ff f f ====，所以()2022n f 周期为5，取值分别是22522442023,2024,2020,2021,2022(2026)(2022)(2022)2021f f f ⋅===，故选B.9.ABC34i z =-，则z 的实部是3，故A正确；5z ==，B 正确；34i,C z =+正确，z 在复平面内对应的点的坐标是()3,4-，在第四象限，故D 错误.故选ABC.10.BD1B =“点数为1,2,3”，1A =“点数为1”，则11A B ⊆，则1A 与1B 不互斥，A 错误；2B =“点数为2,4,6，2A =”点数为2“，则22A B ⊆，B 正确；3B =”点数为31,2",A =“点数为3”，A B ⋃=“点数为1,2,3”，不是全集，故C 错误；4B =“点数为1,3,5”，34A A ⋃=“点数为3，4”，则()()3443416P A A B P A A ⎡⎤⋃==⋃⎣⎦.()41132P B =⨯，故D 正确.故选BD.11.ACD如图，设内切球的半径为r，易得4,cos ,A 33AH AH r BAO AB α∠α=====正确；直线AO 与平面ABC 的夹角是β，则1sin 3OH AO β==，B 错误；令xBC yBD BQ += ，则Q 是平面BCD 内一动点，BP xBC yBD BP BQ PQ --=-=，即球面上的点到平面BCD 上点之间的距离，最小值n 表示球面上的点到平面BCD 的距离，[]0,2n r ∈，即60,6n ⎡∈⎢⎣⎦，C 正确；点A 在线段BC 上的投影为线段BC 的中心E ，点P 在线段BC 上的投影点0P 位于点E 的左侧或右侧，且0EP 的最大值等于612r =，则66,1212m ⎡∈-⎢⎣⎦，D 选项正确.故选ACD.12.5由点到直线的距离公式5d ==.13.32πl R α==，则圆锥的母线长是3R =，由2π2πl r ==，得圆锥底面半径1r =，则h ==，由圆锥的体积公式可得211ππ333V Sh r h ===.14.12由1120,PF Q PQ ∠==，可得1260,2F PF PO ∠==.【法一】则由椭圆的定义不妨设12,2PF x PF a x ==-，由余弦定理和中线长公式得()()2222222212(2)2||,(2)22cos60x a x OF OP F F x a x x a x ⎧+-=+⎪⎨⎪=+---⎩｡即2222222222515242,688,223644,x ax c a c a c a x ax c a ⎧-=-∴-=-⎪⎨⎪-=-⎩得22122c a =，则211,42e e ==，【法二】设()12221200Δ0,,tan23F PF F PF P x y S b b cy ∠===，220022222001,3,4x y a b x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 即22220242202,33,34b x a a c b x a c ⎧+⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得4222222223343343b a b b a a a c c -+=+=，即2234b a =，得222111,42b e e a =-==.15.解：（1）因为点()1,4P 在圆上，则直线CP 的斜率为43-，则直线l 的斜率是34，可得直线l 的方程是()3414y x -=-，即34130x y -+=.（2）由于直线l 的倾斜角是3π4，则直线l 的斜率是1-，可得:50l x y +-=，则圆心C 到直线l的距离是2d =，则直线l 被圆C截得的弦长是16.解：（1）由2A B C +=，得π3C =，由2c =，可得2sin c R C ==R ABC ∴=∴.（2）()()221sin 2()ab CS a b c a b c a b c =+++-+-2221sin 22ab C a b ab c =⋅++-1sin 22cos 2ab C ab C ab =⋅+1sin 22cos 212C C =⋅=+.17.解：（1）因为四边形ABCD 等腰梯形，,E F 分别为,AD BC 的中点，所以BC EF ⊥，又因为PB PC =，所以PF BC ⊥，又因为,,EF PF F EF PF PEF ⋂=⊂，所以BC ⊥平面PEF ，而BC ⊂平面PBC ，所以平面PEF ⊥平面PBC .（2）当EQ PF ⊥时.假设2BC =，所以EF PF PE ===得到222EF PE PF +=，所以PE EF ⊥.如图建立空间直角坐标系，得()()()2,0,0,,1,A B C -，()2,0,0,0,55D Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面QAB 的一个法向量(),,n x y z =，(),2,55AB AQ ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭.则0,0,0,20,55x AB n AQ n x y z ⎧⎧-+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-++=⎪⎪⎩⎩取1y =得)n =.设平面QCD 的一个法向量()()4323,,,1,,2,,55m a b c DC DQ ⎛=== ⎝⎭0,0,0,20,55a DC m DQ m a ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎪⎩⎩取1b =-得)1,3m =--.设平面QAB 与平面PCD 所成角为θ，则7cos cos ,13m n m n m n θ⋅=<>==，所以平面QAB 与平面QCD 所成角的余弦值为713.18.解：（1）设点(),M x y ，所以直线AM 的斜率为()22AM yk x x =≠-+，同理直线BM 的斜率为()22BMy k x x =≠-，由已知可得()12224y y x x x ⋅=-≠±+-，化简得点M 的轨迹C 的方程是()22124x y x +=≠±.（2）计算得1,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则直线:2OD y x =，当直线l '∥OD 且与C 相切，切点为E ，此时ODE 的面积取最大值，设直线:2l y x m =+'，联立方程组22,244,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2210x m ++-=，()222Δ34140m m m =--=-=，解得2m =±，直线l '与OD之间的距离477d ==，所以1112227ODE S OD d ==⨯= .（2）由题知直线PQ 的斜率存在且不为0，设直线):0PQ x ty t =+≠，设()()1122,,,P x y Q x y ，联立方程组2244,x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得()22410t y ++-=，则122122,41,4y y t y y t ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以()2122414t PQ y t +=-=+，因为OD PQ ⊥，则直线:OD y tx =-，联立方程组22,44,y tx x y =-⎧⎨+=⎩得()22144t x +=，所以D OD ==，得()22241||14t OD t +=+，所以()()22222114145||44141t t PQ OD t t +++=+=++，为定值.19.解：（1）由平移可得()1,2PP '=- ，所以1,2.x x y y =-⎧⎨=+⎩''此即为坐标变换公式.设22143x y +=上任一点(),P x y ，向左平移1个单位，向上平移2个单位.得到的新的椭圆上一点(),P x y '''，则1,2,x x y y =-⎧⎨=+⎩''所以1,2,x x y y =+⎧⎨=-''⎩所以()()2212143x y '+-+='.所以新椭圆的方程为22(1)(2)143x y +-+=.（2）设将x 轴逆时针转到OP 的角为θ点，点(),P x y 绕原点逆时针旋转α得到点(),P x y '''由三角函数可得()()cos ,cos ,sin ,sin ,x OP x OP y OP y OP θθαθθα⎧⎧==+⎪⎪⎨⎨==+⎪⎪⎩'⎩'当π4α=时，,22,22x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩''此即为坐标变换式.设将22143x y +=上任一点(),P x y ，绕原点逆时针旋转π4后，得到的新的椭圆上一点(),P x y '''.则,2222,22x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩''得()(),22,2x x y y y x ⎪'''⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎩'所以()()22186x y y x '-'+'+='，即22727240x x y y -+'-='''.所以新的椭圆方程为22727240x xy y -+-=.（3）利用待定系数法或者猜测均可，得到π4α=.先把点(),P x y 绕原点逆时针旋转π4，得到点(),P x y '''，此时()(),22,2x x y y y x ⎪'''⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎩'所以()()())()2222111202222x y y x y x x y y x '''''-'++-+++-''+-=''化简得2213202222x y x y +++-=''''.利用配方法或者猜测均可，得到左右平移的单位.把点(),P x y '''向右平移2，向上平移2，得到点(),P x y ''''''，则,2,2x x y y '⎪'⎧=-⎪⎪⎨''''⎪=-⎩所以22132022222222x y x y ⎛⎫⎛-+-+-+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''''''⎝⎭⎭'⎝'.化简得22162x y +=''''，是焦点在x 轴上的椭圆.所以点(),P x y 的轨迹是椭。
陕西省汉中市2024-2025学年高二上学期11月期中校际联考数学试题(含答案)
2024~2025学年度第一学期期中校际联考试题高二数学注意事项：1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.第I 卷（选择题共58分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（ ）A. B. C. D.2.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.（0，1）3.过点，的直线的倾斜角为（ ）A. B. C.D.4.圆心为（-2，-1），且与轴相切的圆的方程是（ ）A. B.C. D.5.从标有数字1，2，3，4的四张卡片中任取两张，则这两张卡片上的数字相邻的概率是（ ）A.B.C.D.6.已知点关于轴的对称点为，则等于（ ）A. B. C.2D.7.若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C.（-6，1）D.i 1i =+11i 22+11i 22-+11i 22--11i 22-{11}M xx =-<<∣{02}N x x =≤≤∣M N = [0,1)(1,2]-(1,2]()1,2P ()3,4Q π4-π3-π4π3x ()()22211x y -+-=()()22211x y +++=()()22214x y -+-=()()22214x y +++=13231234()2,1,1A -y B AB()()12,1,52lg ,1a x x f x x x ⎧-+≤=⎨-->⎩R a [6,1)-(),1-∞(),6-∞-8.已知过椭圆中心的直线交椭圆于、两点，是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为（ ）A.7B.8C.9D.10二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知直线，则下列选项中正确的有（ ）A.直线在轴上的截距为2B.直线的斜率为C.直线的一个方向向量为D.直线不经过第一象限10.关于，的方程表示的曲线可以是（ ）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线11.在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为、，过双曲线上的一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为、，则（ ）A.双曲线B.焦点到渐近线的距离为C.四边形OMAN 可能为正方形D.四边形的面积为定值第II 卷（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若圆与圆交于，两点，则直线的方程为______.13.已知正四棱台的体积为14，若，，则正四棱台的高为______.14.已知/都是锐角，，，则的值为______.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）已知直线和直线.（I ）当时，求实数的值；（II ）当时，求两直线，间的距离.16.（本小题满分15分）如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，设，，.22:194y x C +=C A B F C ABF △:2l y =-y ()v =x y 22142x y m m +=--xOy 22:1C x y -=1F 2F C A M N C 12OMAN 122240x y y ++=224240x y x y ++--=A B AB ABCD A B C D ''''-2AB =4A B ''=ABCD A B C D ''''-αβ4sin 5α=()5cos 13αβ+=cos β1:10l x y ++=2:260l x my ++=12l l ⊥m 12l l ∥1l 2l 111ABC A B C -D E 11B C AB AB a = AC b = 1AA c =（第16题图）（I ）用，，表示向量；（II）若，，，求.17.（本小题满分15分）已知椭圆，且过点.（I ）求椭圆的方程；（II ）若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值.18.（本小题满分17分）已知圆过三点，，.（I ）求圆的标准方程；（II ）斜率为1的直线与圆交于，两点，若为等腰直角三角形，求直线的方程.19.（本小题满分17分）已知动点到点的距离与点到直线的距离相等.（I ）求点的轨迹的方程；（II ）设点，为轨迹上不同的两点，若线段的中垂线方程为，求线段的长.a b cDE 11AB AC AA ===160A AB BAC ︒∠=∠=190A AC ︒∠=DE BC ⋅()2222:10x y E a b a b +=>>)E :l y x m =+E m C ()1,3()2,2-()4,2C C M N CMN △P 3,02⎛⎫⎪⎝⎭P 32x =-P C M N C MN 50x y +-=MN2024~2025学年度第一学期期中校际联考试题高二数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.A2.B3.C4.B5.C6.D7.A8.D二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；若有3个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分；有选错的得0分）9.BCD10.ABC11.ACD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.13.14.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.解：（I ）直线和直线.当时，，得.（II ）当时，，得，此时直线和直线的距离.16.解：（I ）.（II），，，则.17.解：（I ）椭圆过点，解得椭圆的方程为：.2320x y --=3263651:10l x y ++=2:260l x my ++=12l l ⊥20m +=2m =-12l l ∥20m -=2m =1:10l x y ++=2:30l x y ++=d ==()1111111111222DE DA A A AE A B A C AA AB b c =++=-+-+=--11AB AC AA ===160A AB BAC ︒∠=∠=190A AC ︒∠=()2111111110111122222224DE BC b c b a b b c a b a c ⎛⎫⋅=--⋅-=--⋅+⋅+⋅=--+⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭()2222:10x y E a b a b+=>>)222261,c e a a a b c ⎧==⎪⎪⎪∴=⎨⎪=+⎪⎪⎩2226,2,4,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴E 22162x y +=（II ）由（I ）知椭圆的方程为：，联立得，由，得18.解：（I ）设圆的方程是，其中，圆过三点，，，解得圆的一般方程为，故圆的标准方程为.（II ）由（I ）知圆的圆心为（1，-2），半径为5，设直线的方程为：，为等腰直角三角形，圆心到直线的距离，即，得或-8，直线的方程为：或.19.解：（I ）设点，根据题意有上式两边同时平方得：，化简得，点的轨迹的方程为.（注：学生若用其它方法解答，只要解答正确，可参照给分.）（II ）设，，线段的中点，线段的中垂线方程为，E 22162x y +=221,62,x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩2246360x mx m ++-=()223644360m m ∆=-⨯-=m =±C 220x y Dx Ey F ++++=2240D E F +-> C ()1,3()2,2-()4,21030,8220,20420,D E F D E F D E F +++=⎧⎪∴-++=⎨⎪+++=⎩2,4,20,D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴C 2224200x y x y +-+-=C ()()221225x y -++=C 0x y c -+=CMN △∴C 5d =35c +=2c =∴20x y -+=80x y --=(),P x y 32x +=2223322x x y ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭26y x =∴P C 26y x =()11,M x y ()22,N x y MN ()00,A x y MN 50x y +-=直线的斜率，由点，在抛物线上，可知，即，，故，直线的方程为，即，联立方程消去整理得，易知，，即线段的长为.∴MN 21211y y k x x -==-()11,M x y ()22,N x y 2:6C y x =2112226,6,y x y x ⎧=⎨=⎩()()()1212126y y y y x x ∴+-=-126y y +=03y ∴=02x =∴MN 32y x -=-10x y -+=26,10,y x x y ⎧=⎨-+=⎩y 2410x x -+=0∆>12124,1x x x x +==MN ∴===MN。
山东省顶级名校2020-2021学年高二上学期11月学分认定考试数学答案
所以原点 C 到直线的距离 d 1 CM 5 .
2
2
a 即
5 ，解得 a=
10
经验证满足条件．
22
2，
所以存在点 M ，使得四边形 CAMB ．
此时，直线为 2x 2y 10 0 或 2x 2y 10 0
22. 【解析】(1)设圆 O 的半径长为 r ，圆心到直线 x 3y 2 0 的距离为 d
（法一）
设 C 的圆心为 (1,t) ，则有 1 32 t 02 (1 0)2 t 32 , 解得 t 1．
则圆 C 的半径为 1 32 (1 0)2 5
所以圆 C 的方程为 (x 1)2 ( y 1)2 5.
（法二）
设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0 ，则
x3z 2
令 z 2 3 ，则 x 3 3 ， y 5 ，所以 n (3 3, 5, 2 3) ，
所以 cosm, n m n
23
3，
| m | | n | 1 27 25 12 4
所以平面 AEFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 3 . 4
21.【解析】(1)曲线 y x2 2x 3 与 y 轴的交点为 (0, 3) ，与 x 轴的交点为 3, 0 , (1, 0).
因为与圆相切，所以 k 2 k 2 2 ， k2 1
化简得 k2 8k 7 0 ，解方程得 k1 1,或k2 7 所以反射光线方程分别为 x y 1 0，7x y+5 0
解得与
x
轴的交点为
1,
0
,
5 7
,
0
所以反射点横坐标的取值范围为
5 7
，1
18.【解析】（1）由已知设圆 C 的方程为 x a2 y2 a2
全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二上学期11月联考 英语试题 Word版含解析
全国百强名校2020－2021学年高二上学期“领军考试”英语2020.11 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上，录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话，每段对话后有一个小题。
从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例: How much is the shirt?A. £19.15.B. £9.18.C. £9.15.答案是C。
1. Where will the speakers probably go?A. A garage.B. A petrol station.C. A parking lot.2. How much should the woman pay for two hats?A. ￥20.B. ￥96.C. ￥60.3. Which pet can be kept in the apartment?A. A turtle.B. A dog.C. A cat.4. What's the probable relationship between the speakers?A. Friends.B. Brother and sister.C. Classmates.5. When did the conversation take place?A. On Wednesday.B. On Friday.C. On Sunday.第二节(共15小题，每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
河南省豫北名校2020-2021学年高二上学期11月质量检测数学(理)试卷及解析
河南省豫北名校2020-2021学年高二上学期11月质量检测数学（理）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.命题“00x ∃>，)0lg 11x +>”的否定是（ ） A.00x ∃≤，()0lg 11x +≤ B.00x ∃>，()0lg 11x +> C.0x ∀>，()lg 11x +≤D.0x ∀>，()lg 11x +>2.设P 为双曲线22146x y -=上一点，1F ，2F 分别为左、右焦点，若1||5PF =，则2||PF =（ ） A.1B.9C.3或7D.1或93.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a c =，cos C =，则sin A =（ ） A.27B.47C.57D.674.现有下面三个命题1:p 常数数列既是等差数列也是等比数列；20:p x R ∃∈， 200x ≤；3:p 椭圆离心率可能比双曲线的离心率大.下列命题中为假命题的是（ ） A. 12p p ∨ B. ()()13p p ⌝∨⌝ C. ()13p p ⌝∧ D. ()()23p p ⌝∨⌝5.设n S 为数列{}n a 的前n 项和， 11a =， 12n n a S +=，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为（ ） A.1931223-⨯ B. 1971443-⨯ C. 1831223-⨯ D. 1871443-⨯ 6.过点()2,0P -的直线与抛物线2:4C y x =相交于,A B 两点，且12PA AB =，则点A 的横坐标为（ ）A.13 B. 23C. 3D. 37.椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的右焦点为F(c,0)，定点M(14a 29c,0)，若椭圆C 上存在点N ，使得ΔFMN 为等腰钝角三角形，则椭圆C 的离心率的取值可以是 A. 13 B. 12 C. √22 D. √33第II 卷（非选择题）二、解答题8.已知抛物线C ： 22y px =（0p >）上一点7,2M t ⎛⎫⎪⎝⎭到焦点F 的距离是点M 到直线x p =的距离的3倍，过F 且倾斜角我45︒的直线与抛物线C 相交于P 、Q 两点．（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）设p N ∈，直线l 是抛物线C 的切线， A 为切点，且//l PQ ，求APQ ∆的面积．参考答案1.C【解析】1.根据特称命题的否定的性质进行判断即可. 因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“00x ∃>，()0lg 11x +>”的否定是0x ∀>，()lg 11x +≤. 故选：C 2.B【解析】2.由双曲线的定义计算，注意焦半径的范围即可． ∵12||||||24PF PF a -==，且1||5PF =，∴2||1PF =或9，但2|1021PF c a -=>∣，故2||9PF =. 故选：B ． 3.D【解析】3.根据同角的三角函数关系式，结合正弦定理进行求解即可. 因为角C 是三角形的内角，所以(0,)C π∈，由cos 7C =，可得：3sin 7C ===，由正弦定理可知：sin sin a cA C =，因为2a c =，3sin 7C =，所以6sin 2sin 7A C ==. 故选：D4.C【解析】4.1:p 常数数列既是等差数列也是等比数列为假命题（常数为零时），1p ⌝为真命题， 20:p x R ∃∈， 200x ≤为真命题， 2p ⌝为假命题；因为椭圆的离心率小于1 ，双曲线的离心率对于1 ，所以3p 为假命题， 3p ⌝为真命题，故选C. 5.D【解析】5.12n n a S +=， ∴ 12n n a S -= 相减得()132n n a a n +=≥ 由11a =得出2212,3a a a =≠()21,1{23,2n n n a n -==≥ ，1na =21,1{ 11,223n n n -=⎛⎫≥ ⎪⎝⎭011812201111111......1......2333a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦191911113131111222313⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+=+⋅-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦= 1871443-⨯ 故选D6.B【解析】6.设()()1122,,,A x y B x y ，分别过,A B 作直线2x =-的垂线，垂足分别为,D E ，()12123221,{ 23x x PA AB y y +=+=∴=，又2112224{ 4y x y x ==，解得123x =，故选B.7.C【解析】7.由题意，椭圆C 上存在点N ，使得ΔFMN 为等腰钝角三角形，只可能|FM|=|FN|，且∠MFN >π2，而|FM|=14a 29c−c ，|FN|∈[a −c,a +c]，通径为2b 2a ，所以b2a<14a 29c−c <a +c ，通过这一不等式可得到离心率的范围，进而得到选项.由题意，椭圆C 上存在点N ，使得ΔFMN 为等腰钝角三角形，只可能|FM|=|FN|，且∠MFN >π2，而|FM|=14a 29c−c ，|FN|∈[a −c,a +c]，通径为2b 2a ，所以b2a<14a 29c−c <a +c ，得{18e 2+9e −14>09e 3−9e 2−9e +14>00<e <1，所以23<e <1. 故答案为：C. 8.（Ⅰ）2p =或285p =;（Ⅱ）【解析】8.试题分析：（1）由抛物线定义得722pMF =+，所以773222p p +=-，解出p 的值；（2）设直线l 的方程为y x b =+，联立直线方程与抛物线方程，由判别式为零可得1b =， 利用韦达定理可求出PQ ，再根据点到直线距离公式可得高，最后代入面积公式求APQ ∆的面积．试题解析：（Ⅰ）由题意可知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则773222p MF p =+=-，解得2p =或285p =．（Ⅱ）∵p N ∈，∴2p =，设直线l 的方程为y x b =+，代入24y x =， 得()22240x b x b +-+=，∵l 为抛物线C 的切线，∴()222440b b ∆=--=，解得1b =， 易知直线PQ 的方程为1y x =-，代入24y x =，得2610x x -+=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，∴126x x +=，121x x =，∴8PQ ==，∵l 到直线PQ 的距离d ==∴APQ ∆的面积182S =⨯=。
2020-2021学年高二数学上学期11月段考试题
2020-2021学年高二数学上学期11月段考试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，{1,3,5}B =，则()U C A B =∩（ ）A ．{1}B ．{3,5}C ．{1,3,5}D ．{2,3,4,5}2.已知点(1,1)A -，(2,)B t ，若向量(1,3)AB =，则实数t =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．-23.已知直线l 过点(1,1)，且与直线6540x y -+=平行，则l 的方程为（ ）A ．56110x y +-=B ．5610x y -+=C ．65110x y --=D ．6510x y --=4.已知角α的始边为x 轴的正半轴，点(1,3)是角α终边上的一点，则tan α=（ ）A ．-3B ．13- C.13D ．3 5.已知函数32,0,()log ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1[()]3f f 的值是（ ） A ．1 B ．12C.-1 D ．-2 6.执行如图所示的程序框图，若输入1x =，则输出k 的值为（ ）A ．3B ．4 C. 5 D ．67.下列函数()f x 中，满足“对任意12,(0,1)x x ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x <”的是（ ）A ．()|1|f x x =-B ．1()f x x = C. 1()1()2x f x =- D ．()sin 2f x x = 8.已知实数,x y 满足约束条件5315,1,53,x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的取值范围是（ ）A ．[5,9]-B ．[7,9]- C.[5,3]- D ．[7,7]-11.在区间[0,2]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“1x y +≤”的概率，2p 为事件“1xy ≥”的概率，则（ ）A ．1212p p <<B ．2112p p << C.1212p p << D ．2112p p << 12.已知数列{}n a 满足132a =，111n n a a +=-，则数列1{}1n a -的前100项和为（ ） A ．4950 B ．5050 C. 217 D ．215 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13函数()sin(2)f x x ϕ=+（其中ϕ为常数，||2πϕ=）的部分图象如图所示，则ϕ=_______.15.已知一个四棱锥的底面边长是边长为2的正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心，侧棱长为5，则这个四棱锥的内切球的表面积为__________.16.在平面四边形ABCD 中，2BC =，4DC =，四个内角的角度比为:::3:7:4:10A B C D =，则边AB 的长为__________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知向量(sin ,1)(1,cos )a x b x x R ==∈，，，设()f x a b =•.（1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）若2()(0,)432f ππθθ+=∈，，求()4f πθ-的值. 18.（本小题满分12分）从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a b ，的值；（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率；（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率.19.（本小题满分12分）20.（本小题满分12分）.如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90ABC ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABC ，D ，E 分别为AB ，AC 中点．21.（本小题满分12分）已知直线20x y +-=被圆222:C x y r +=所截得的弦长为8.（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 与圆C 切于点P ，当直线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的三角形面积最小时，求点P 的坐标.22.（本小题满分12分）(3)方程f （|2x ﹣1|）+k （ ﹣3）有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．数学试题参考答案及评分标准一、选择题1-5:BADDB 6-10:CCAAB 11、12：AD二、填空题 13. 3π 14. 322+ 15. 43π 16.32 三、解答题17.解：（1）()sin cos f x a b x x ==+•222(sin cos )22x x =+所以函数()f x 的对称轴方程为()4x k k Z ππ=+∈.………………4分 （2）由（1）得，()2sin()4f x x π=+. 因为2()43f πθ+=，所以()2sin()444f πππθθ+=++………………5分22sin()2cos 23πθθ=+==.……6分所以1cos 3θ=.……7分 因为(0,)2πθ∈，所以222sin 1cos 3θθ=-=.………………8分所以()2sin()2sin 444f πππθθθ-=-+=………………9分 224233=⨯=.………………10分 18.解：（1）因为样本中家庭月均用水量在[4,6)上的频率为100.2540=， 在[6,8)上的频率为160.440=， 所以0.250.1252a ==，0.40.22b ==.………………2分 （2）根据频数分布表，40个家庭中月均用水量不低于6吨的家庭共有16+8+4=28个， 所以样本中家庭月均用水量不低于6吨的概率是280.740=. 利用样本估计总体，从该小区随机选取一个家庭，可估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率约为0.7.………………4分（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，则在[6,8)上应抽取167428⨯=人，记为,,,A B C D ，………………5分 在[8,10)上应抽取87228⨯=人，记为,E F ，………………6分 在[10,12]上应抽取47128⨯=人，记为G .………………7分 设“从中任意选取2个家庭，求其中恰有1个家庭的月均用水量不低于8吨”为事件，则所有基本事件有：{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}A B A C A D A E A F A G B C ，，，，，，{,}{,}{,}B D B E B F ，，，， {,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}B G C D C E C F C G D E D F D G E F E G ，，，，，，，，，{,}F G ，，共21种.…………9分事件包含的基本事件有：{,}{,}{,}A E A F A G ，，，{,}{,}B E B F ，，{,}B G ，{,}{,}{,}{,}{,}{,}C E C F C G D E D F D G ，，，，，，共12种.………………11分所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率为124217=.………………12分 21.解：（1）因为圆C 的圆心到直线20x y +-=的距离为22|002|211d +-==+，……1分所以222228()(2)4182r d =+=+=. 所以圆C 的方程2218x y +=.………………3分 （2）设直线l 与圆C 切于点0000(,)(0,0)P x y x y >>，则220018x y +=.…4分 因为00OP y k x =，所以圆的切线的斜率为00x y -.……5分 则切线方程为0000()x y y x x y -=--，即0018x x y y +=.………………6分 则直线l 与x 轴正半轴的交点坐标为018(,0)x ，与y 轴正半轴的交点坐标为018(0,)y . 所以围成的三角形面积为0000118181622S x y x y =⨯⨯=.………………9分 因为220000182x y x y =+≥，所以009x y ≤. 当且仅当003x y ==时，等号成立.…10分因为00x >，00y >,所以00119x y ≥，所以00162162189S x y =≥=. 所以当003x y ==时，S 取得最小值18.………………11分所以所求切点P 的坐标为(3,3).………………12分22. 1）解：g （x ）=a （x ﹣1）2+1+b ﹣a ， 当a ＞0时，g （x ）在[2，3]上为增函数， 故 ，可得 ，⇔ ．当a ＜0时，g （x ）在[2，3]上为减函数．故 可得 可得 ，∵b＜1∴a=1，b=0 即g （x ）=x 2﹣2x+1．f （x ）=x+ ﹣2．（2）解：方程f （2x ）﹣k •2x ≥0化为2x + ﹣2≥k •2x ， k≤1+ ﹣ 令 =t ，k≤t 2﹣2t+1，∵x∈[﹣1，1]，∴t ，记φ（t ）=t 2﹣2t+1， ∴φ（t ）min =0， ∴k≤0．（3）解：由f（|2x﹣1|）+k（﹣3）=0 得|2x﹣1|+ ﹣（2+3k）=0，|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程|2x﹣1|+ ﹣（2+3k）=0有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象（如下图）知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1，记φ（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则或∴k＞0．【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我每天更新】。
2020年11月全国百强名校领军考试高二上学期联考文科数学试题
因为数列an 是等比数列, a1 0, a12 0 ,
又
q
0,1
q
q2
q
1 2
2
3 4
0
,
所以 2a12q 1 q q2 0 , a12 a22 a32 > a1 a2 a3 2 ...................................................................（6 分）
高二数学试题
高二数学试题
高二数学试题
高二数学试题
1~5 BCBCA
13.【答案】 0, 5
高二数学试题
2020—2021 学年上学期全国百强名校
“领军考试”高二数学参考答案（文科）
6~10 CBBBD
11~12 BD
33
14.【答案】
4
15.【答案】 , 15 15,
16.【答案】④
高二文数参考答案 第 1 页 共 4 页
高二数学试题
= 2a1 a1q 2a1 a1q 2 2a1q a1q 2 2a12q 1 q q 2 ..........................................................................（3 分）
17.【解析】(1)由 a2
3, S3
2a4
3
成等比数列得
a1 3a1
d
3 3d
2a1
6d
3
,......................................(2 分)
解得
d
3 2
,
a1
3 2
,.........................................................................................................................................(4
全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二上学期11月联考试题数学(文)Word版含解析
2021－2021学年上学期全国百强名校“领军考试〞高二数学(文科)2021.11考前须知：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.答复选择题时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答复非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1.数列：2，－5，8，－11，…，(－1)n －1(3n －1)，(－1)n (3n ＋2)，…的第2n 项为A.6n －1B.－6n ＋1C.6n ＋2D.－6n －22.命题“对∀x ∈(1，＋∞)，lnx>x －1，的否认为A.对∀x ∈(1，＋∞)，lnx ≤1x x- B.∃x 0∈(1，＋∞)，lnx 0>001x x - C.∃x 0∈(1，＋∞)，lnx 0≤001x x - D.∃x 0∈(0，1]，lnx 0≤001x x - 3.实数a ，b ，c 满足a ＋b<b<0<a ＋c ，那么A.a<b<cB.ac ＋bc<0C.c －b>c －aD.11a c> 4.?算法统宗?是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。
〞大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为A.96B.126C.192D.252y≤x＋15.实数x，y满足约束条件y x1y2x2y2x2≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥--⎩，那么3x－2y＋1的最大值是A.5B.4C.2D.－16.给出以下命题：①2021≤2021；②a>b⇔a2>b2；③a＋1a≥2。
高二数学上学期领军考试试题含解析 试题
八重点高中联盟2021-2021学年高二数学上学期领HY 考试试题〔含解析〕考前须知：1.答卷前，所有考生必须将本人的姓名，准考证号填写上在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.答复选择题时，选出每一小题答案后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答复非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.在在考试完毕之后以后，将本试题和答题卡一起交回。
一、选择题〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕ABC ∆中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，且222c a b ab =++，那么角C 的大小为〔 〕 A.6π B.3π C.56π D.23π 【答案】D 【解析】分析：根据余弦定理的推论求得cos A ，然后可求得23A π=． 详解：∵222a b c bc =++， ∴222b c a bc +-=-．由余弦定理的推论得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，又0A π<<，∴23A π=． 应选D ．点睛：此题考察余弦定理推论的应用，解题时容易出现的错误是在求得角的三角函数值后无视了角的范围，从而得到错误的结果．{}n a 的前4项为：12-，34，58-，716，那么数列{}n a 的通项公式是〔 〕A. 212n nn a -= B. ()()1212nnnn a-⋅-=C. 212n nn a +=D. ()()1212nnnn a-⋅+=【答案】B 【解析】 【分析】根据前四项的特点即可归纳出数列的通项公式.【详解】观察数列{}n a 的前4项，可知分母为2n ，分子是奇数，为21n -， 同时符号是正负相间，为()1n-，所以()()1212nnnn a-⋅-=. 应选B.【点睛】此题主要考察数列通项公式的求解，根据条件观察数列项和项数之间的关系是解决此题的关键．3.n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，假设28a =-，6378S S =，那么357a a a =〔 〕A. -1B.12- C.12D. 1【答案】D【解析】【分析】先判断公比能否为1，结合条件求出公比，进而利用等比数列下标和性质及通项公式得到结果.【详解】设等比数列{}n a的公比为q，显然1q≠，那么()()61363311711811a qS qqS a qq--==+=--，解得12q=-.又()33333357521812a a a a a q⎡⎤⎛⎫===-⨯-=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.应选：D.【点睛】此题考察等比数列通项公式及前n项和公式，考察计算才能，属于常考题型.ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，3b==，60B =，那么ABC∆的面积为〔〕D. 【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可得30A =，从而可得90C =，利用面积公式得到答案.【详解】由可得a =sin 1sin 322a B Ab ===. 又a b <，所以A B <.所以30A =，所以90C =，所以113222ABC S ab ∆===. 应选：C.【点睛】此题考察正弦定理解三角形，考察推理才能与计算才能，属于根底题.5.n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设15915a a a ++=，728S =，那么20202021S =〔 〕 A. 1009 B. 1010C. 2021D. 2021【答案】B 【解析】 【分析】由15915a a a ++=可得55a =，布列方程组解得根本量，从而得到结果. 【详解】由可得1595315a a a a ++==，所以55a =， 设等差数列{}n a 的公差为d ，那么51714572128a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11a d ==， 所以n a n =，所以()20202020202011010202122021S ⨯+==⨯.应选：B.【点睛】此题考察等差数列通项公式与前n 项和公式，考察等差数列下标和性质，考察学生的运算才能，属于中档题.6.ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列，且sin sin c Ba A=，那么该三角形的形状是〔 〕 A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由角A ，B ，C 成等差数列，得3B π=，由sin sin c B a A=可知b c =，从而作出判断. 【详解】由角A ，B ，C 成等差数列，得3B π=；由sin sin c B a A =，根据正弦定理得c b a a=，所以b c =，该三角形是等边三角形， 应选：C.【点睛】此题考察三角形形状的判断，考察利用正弦定理进展边角的转化，考察合理恒等变形，属于常考题型.ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()()()sin sin sin b c B C a A C -+=，那么B =〔 〕A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理结合条件可得222a c b +-=，进而利用余弦定理可得所求角.【详解】因为()()()sin sin sin b c B C a A C -+=+，那么由正弦定理可得()()()b c b c a a -+=+，即222a c b +-=.那么由余弦定理，可得222cos 2a c b B ac +-==.又0B π<<， 所以56B π=. 应选：D.【点睛】此题考察正余弦定理的应用，考察学生合理边角转化的才能，属于中档题.8.n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设117a =，且21a +，51a -，81a +成等比数列，那么n S 的最大值为〔 〕 A. 77 B. 79 C. 81 D. 83【答案】C 【解析】 【分析】利用21a +，51a -，81a +成等比数列，可得34d 9=或者2d =-.分类讨论即可得到等差数列的前n 项和的最值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为21a +，51a -，81a +成等比数列. 所以()()()2528111a a a -=++，即()()()216418187d d d +=++， 整理得2916680d d --=，解得34d 9=或者2d =-. 当34d 9=时，显然数列{}n a 单调递增，n S 不存在最大值. 所以2d =-，所以()1721219n a n n =--=-+， 所以910a =>，1010a =-<，所以n S 的最大值为981S =.应选：C .【点睛】此题考察等差数列根本量的计算，考察等差数列前n 项和的最值，考察运算才能，属于中档题.{}n a 是正项等比数列，假设数列{}n b 满足：21n n b a -=，2212n n b a +=，且1290a b +=，那么n b =〔 〕A. 23nB. 213n -C. 3nD. 13n -【答案】A 【解析】 【分析】对n 赋值可得232b a =，35b a =，从而得到225a a =，解得1n n a q +=，再结合1290a b +=，可得3q =，得到结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，所以11n n a a q -=.那么由，得当1n =时，由2212n n b a +=，可得232b a =；当3n =时，由21n n b a -=，可得35b a =，所以225a a =，即()2411a q a q =，解得21a q =，所以1n n a q +=，那么22412390a b q a q q +=+=+=，解得3q =， 所以13n n a +=，所以2213n n n b a -==.应选：A.【点睛】此题考察数列通项的求法，考察等比数列通项公式，考察赋值法，考察推理才能与计算才能，属于中档题.10.如图，AD 是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD ，假设某科研小组在坝底A 点测得15BAD ∠=，沿着坡面前进40米到达E 点，测得45BED ∠=，那么大坝的坡角〔DAC ∠〕的余弦值为〔 〕31B.31221D.212【答案】A 【解析】 【分析】由15BAD ∠=，45BED ∠=，可得30ABE ∠=，在ABE ∆中，由正弦定理得2062BE =，在BED ∆中，由正弦定理得sin 31BDE ∠=，进而由()sin sin 90BDE DAC ∠=∠+可得结果.【详解】因为15BAD ∠=，45BED ∠=，所以30ABE ∠=.在ABE ∆中，由正弦定理得sin 30sin15AE BE=，解得2062BE =.在BED ∆中，由正弦定理得sin sin 45BE BDBDE =∠，所以220622sin 3120BDE ∠==.又90ACD ∠=，所以()sin sin 90BDE DAC ∠=∠+，所以cos 31DAC ∠=.应选：A.【点睛】此题考察正弦定理解三角形，考察诱导公式，考察学生合理进展边角转化的才能，属于中档题.11.梅赛德斯-奔驰〔Mercedes-Benz 〕创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星〞商标象征着陆上、水上和空中的机械化.该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成〔如图〕，点O 为圆心，15OAB ∠=，假设在圆内任取一点，那么此点取自阴影局部的概率为〔 〕233- 233- 639- D.639- 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出圆与阴影局部的面积，作商即可得到结果. 【详解】由可得60AOB ∠=，那么105ABO ∠=.又()231sin15sin 4530222⎛⎫=-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭624=，()21sin105sin 456022⎛=+=⨯ ⎝⎭=. 不妨设4OA =，那么由正弦定理可得4sin158sin105OA OB ⨯⋅===-，那么(148sin 6083122AOB S ∆=⨯⨯-⨯=， 所以阴影局部的面积为'336AOB S S ∆==，圆O 的面积为16S π=， 那么在圆内任取一点，那么此点取自阴影局部的概率为'369164S P S ππ===. 应选：D.【点睛】此题考察几何概型的面积概型，合理求出阴影局部的面积是解题的关键，考察学生的计算才能，属于中档题.{}n a 中，11a =，()2111111n na a n +⎡⎤=-⋅⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，假设2nn a b n =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，那么100S =〔 〕 A.100101B.200101C.300101D.400101【答案】B 【解析】【分析】由题意变形可得1211n n n n a a n n +++⋅=⋅+，即数列1n n a n +⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭是常数列，从而得到21nn a n =+， 又()221n n a b n n n ==+，利用裂项相消法求和即可. 【详解】因为()2111111n na a n +⎡⎤=-⋅⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，化简可得1211n n n n a a n n +++⋅=⋅+，所以数列1n n a n +⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭11121a +⋅=， 所以12n n a n +⋅=，解得21n na n =+，那么()2211211n n ab n n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，所以1111122122311n n S n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪++⎝⎭， 所以100200101S =. 应选：B.【点睛】此题考察数列的递推关系，数列通项的求法，裂项相消法求和，考察推理才能与计算才能，属于中档题.二、填空题〔本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分〕{}n a 中，22a=，56a =，那么8a =______.【答案】18 【解析】 【分析】利用等比数列下标和性质即可得到结果。
河南省“领军考试”2020-2021学年下学期高二联考文科数学试题
2020—2021学年下学期全国百强名校“领军考试”高二数学（文）2021.07注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色签字笔写在答题卡上。
4．考试结束后，将本试题与答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．()()312i i -=（ ） A ．88i -B ．88i --C ．22i +D ．22i --2．已知集合A y y⎧⎫==⎨⎩，{}ln B x y x ==，则（ ） A ．A B = B ．AB C ．B A D ．A B ⋂3．已知命题p ：“对()0,x ∀∈+∞，2221112x x x +<++”，则p ⌝为（ ） A ．(]0,0x ∃∈-∞，20221112x x x +<++ B ．对()0,x ∀∈+∞，2221112x x x +≥++ C ．()00,x ∃∈+∞，20221112x x x +≥++ D ．对(],0x ∀∈-∞，2221112x x x +≥++ 4．若函数()()2223af x x x a =+-+是偶函数，则124a -=（ ）A ．92B ．9C ．18D ．325．双曲线C ：22143x y m m-=（0m >）的渐近线与圆D ：(226x y +=相切，则m =（ ）A ．1BC ．2D 6．若π3π,22α⎛⎫∈⎪⎝⎭，且tan 3α=，则()sin πα+=（ ）A B C ． D7．已知向量AB ，AC 均为单位向量，且()21,1AB AC +=，则BC =（ ） ABCD8．统计某学校100名学生的课外阅读时间，得到如下的频率分布直方图，则这100名学生课外阅读时间的中位数约为（保留一位小数）（ ）A ．1.2B ．1.4C ．1.5D ．1.69．已知菱形ABCD 中2AB BD ==，把ABD △沿BD 折起，使点A 到达P 处，且3PC =，若点E 为线段PD 中点，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值为（ ） A．2B．4C ．12D ．51210．若函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象向左平移π6个单位后得到一个偶函数的图象；若()f x 向右平移π12个单位后得到一个奇函数的图象，则ω的值可以是（ ） A ．6 B ．8 C ．12D ．1411．我们把函数()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数给出下列结论：①()()D x D x =；②()()1D x D x +=；③()()()D D x D x =；④(){}{}0,1y y D x ===，其中正确的命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的一个焦点为()1,0F ，一个顶点为()2,0A ，设(),0B t ，点P 是椭圆C 上的动点，若PB AB ≥恒成立，则t 的取值范围是（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[]2,2-D ．()2,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x ，y 满足102030x y x y x ++≤⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值________．14．函数()()22e cos xf x x x x =-+的图象在0x =处的切线方程为________．15．已知ABC △的三边a ，b ，c 满足2a c b +=，且ABC △，则c a 的值为________．16．已知球O 内有3个半径为3的小球，则球O 的表面积的最小值为________．三、解答题：共70分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且3412a a +=，13a ，23a ，3a 成等差数列． （1）求n a ； （2）设,,n n n n b a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项的和2n S ．18．已知四棱锥E ABCD -中，三角形ADE 所在平面与正三角形ABE 所在平面垂直，四边形ABCD 是菱形，2AE =，BD =（1）求证：平面ABCD ⊥平面ACE ； （2）求三棱锥A BCE -的体积．19．受2020年春季疫情的影响，在线教育前所未有的广为人知，也迎来了加速发展的新机遇，下图为2016—2020年中国在线教育市场规模，设2016年—2020年对应的代码x 分别为15，市场规模为y （单位：亿元）．（1）由图中数据看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数（系数精确到0.01）加以说明；（2）建立y 关于x 的回归方程，并预测2021年中国在线教育市场规模． 附注：参考数据：5117407ii y==∑；5158732i i i x y ==∑2062.7≈ 3.2≈参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑ˆˆˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii nii x x y y b x x ----=-∑∑，ˆˆay bx =-． 20．已知点A ，B 分别是直线22y x =+及抛物线C ：22y px =（0p>）上的点，且AB 的最小值为（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线()1y k x =-与抛物线C 交于点P ，Q ，线段PQ 中点为M ，判断x 轴上是否存在点N ，使得2214MN PQ -为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由． 21．已知函数()()321e 31xf x x ax ax =+---． （1）若0a =，求()f x 在[],0m （0m <）上的最小值； （2）若()f x 在()3,2-上有3个极值点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程1x y t⎧=+⎪⎨⎪⎩（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求直线l 的极坐标方程； （2）若射线θα=（0π2α<<，0ρ>）与直线l 及双曲线C 分别交于点A ，B ，且2OA OB =，求tan α．23．[选修4—5：不等式选讲] 已知()241f x x x =+-．（1）求不等式()31f x x ≥+的解集； （2）若()22113116f x a b ≥+-对任意实数x 恒成立，求证：2a b ab +≤． 2020—2021学年下学期全国百强名校 “领军考试”高二数学参考答案与解析（文科）1．【答案】B【命题意图】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养． 【解析】因为()()()()31i 2i 1i 8i 88i -=--=--，故选B ． 2．【答案】A【命题意图】本题考查集合的交集运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养．【解析】集合{}0A y y y y ⎧⎫===>⎨⎩，{}{}ln 0B x y x x x ===>，所以A B =，故选A ． 3．【答案】C【命题意图】本题考查称命题的否定，考查数学抽象的核心素养．【解析】根据“x M ∀∈，()p x ”的否定是“0x M ∃∈，()0p x ⌝”，可知选C ． 4．【答案】A【命题意图】本题考查二次函数的性质及指数的运算，考查数学运算与数学抽象的核心．【解析】由()()2223af x x x a =+-+是偶函数，可的230a-=，23a =，所以()21229422a a -==，故选A ．5．【答案】C【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式．考查数学运算的核心素养．【解析】双曲线C的渐近线与圆D相切，则圆心)到直线y x=的距离d==，解得2m=，故选C．6．【答案】A【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式．考查数学运算的核心素养．【解析】由π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭及tan3α=可得sin0α<，由2222sin sin9cos1sinαααα==-，得29sin10α=，sinα=，所以()sinπsinαα+=-=A．7．【答案】C【命题意图】本题考查平面向量的数量积，考查数学运算与数学抽象的核心素养．【解析】因为向量AB，AC均为单位向量，()21,1AB AC+=两边平方得542AB AC+⋅=，所以34AB AC⋅=-，所以2222BC AC AB AB AC=-=-⋅=+C．8．【答案】B【命题意图】本题考查频数分布直方图，考查数学运算及数据分析的核心素养．【解析】设中位数为x，由()0.10.40.50.250.5+⨯=<，()0.10.40.60.50.550.5++⨯=>，可得1 1.5x<<，由()()0.10.40.510.60.5x+⨯+-⨯=，解得 1.4x≈，故选B．9．【答案】B【命题意图】本题考查异面直线所成的角，考查直观想象与数学运算的核心素养．【解析】取CD中点F，连接BE，EF，则BEF∠就是异面直线BE与PC所成角，如图所示，由题意可得BE BF=32EF=，所以12cosEFBEFBE∠==B．10．【答案】D【命题意图】本题考查三角函数的图象，考查数学抽象与直观想象的核心素养．【解析】由题意可得π662πππk ω+=+（k ∈Z ），6π12ππn ω-+=（n ∈Z ），整理得62k ω=+（k ∈Z ），122n ω=-+（n ∈Z ），取2k =，1n =-得14ω=，故选D ．11．【答案】C【命题意图】本题考查狄利克雷函数的性质，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养．【解析】当x 为有理数时x ，1x +均为有理数，()()0D x D x ==，()()11D x D x +==，当x 为无理数时x ，1x +均为无理数，()()0D x D x ==，()()10D x D x +==，所以①②正确，当x 为无理数时()0D x =，()()()01D D x D ==，③错误，④正确，故选C ．12．【答案】B【命题意图】本题考查椭圆的方程及二次函数的最值，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．【解析】设()00,P x y ，则22220000131434x y x y ⎛⎫+=⇒=- ⎪⎝⎭，因为PB AB ≥，所以22PB AB ≥，所以()()222222200002231444x x t y t x tx t t t ⎛⎫-+≥-⇒-++-≥-+ ⎪⎝⎭．因为()()()200000222412244x x x tx t t x -+-+≥⇒-≥，因为022x -≤≤，所以020x -≥，所以0224x t +≥恒成立，所以0max212142x t t +⎛⎫≥=⇒≥ ⎪⎝⎭，即1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭． 13．【答案】1【命题意图】本题考查线性规划，考查数学运算与直观想象的核心素养．【解析】如图所示，作出不等式组表示的可行域，是以点()3,2A -，()3,5B --，13,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭为顶点的三角形区域，由2z x y =+得1222y x =-+，当122zy x =-+经过点A 时，其在y 轴上的截距最大，z 最大，所以max 3221z -+=⨯=．14．【答案】210x y +-=【命题意图】本题考查导数的几何意义，考查数学抽象与数学运算的核心素养．【解析】由()()22e cos x x x f x x =-+可得()()22e sin xx f x x '=--，所以()01f =，()02f '=-，所以()f x 的图象在0x =处的切线方程为()120y x -=--，即210x y +-=． 15．【答案】1或73【命题意图】本题考查解三角形，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．【解析】由ABC △得1sin 2ab C =，所以sin C =，π3C =或2π3， 若π3C =，则2222222a c a c c a b ab a a ++⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得a c =，若2π3C =，则 2222222a c a c c a b ab a a ++⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得()()370c a c a +-=，所以73c a =，故1c a=或73．16．【答案】(84π+【命题意图】本题考查球的性质与表面积，考查逻辑推理与直观想象的核心素养．【解析】设3个半径为3的小球的球心分别为1O ，2O ，3O ，则球O 的表面积最小时，3个小球两两相切，每个小球都与球O 相切，此时123OO O △的中心为O ，1223316OO O O O O ===，所以1OO =以球O 的半径最小值为3，球O 的表面积的最小值为()(24π384π=+．17．【命题意图】本题考查等比数列的通项与求和，考查数学运算的核心素养．【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q （1q ≠），由3412a a +=得()21112a q q +=，由13a ，22a ，3a 成等比数列得1334a a +=，即211134a a q a q +=， 因为10a ≠，所以2430q q -+=，即()()130q q --=， 因为1q ≠，所以3q =，代入()21112a q q +=得113a =， 所以11211333n n n n a a q---==⨯=．（2）因为,,n nn n b a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()21321242n n n S b b b b b b -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()2221321133n n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()21191219121988n n n n n ⨯-+-=⨯+=+--．18．【命题意图】本题考查垂直关系的证明及空间向量的应用，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养．【解析】（1）取AE 中点O ，连接DO ，BO ， 因为ABE △为正三角形， 所以BO AE ⊥，面ADE ⋂面ABE AE =，且BO 在面ABE 内 所以BO ⊥平面ADE ， 因为DO ⊂平面ADE ， 所以BO DO ⊥，由题意知BD =BO =，所以DO =因为2AD =，1AO =， 所以222AO DO AD +=， 所以DO AE ⊥ 因为DO BO O ⋂=， 所以AE ⊥平面DOB ， 因为BD ⊂平面ABCD ， 所以平面ABCD ⊥平面ACE ． （2）由（1）知，BO DO ⊥， 又2AD =，1AO =，DO ，222AD AO DO ∴=+DO AO ⊥（即DO AE ⊥），又因为AE BO O ⋂=又DO =//AB DC ， 所以三棱锥C ABE -因为ABE △是边长为2的正三角形， 所以ABE △的面积为224=，所以113A BCE C ABE V V --==．19．【命题意图】本题考查回归分析，考查数据分析、数学应用及数学运算的核心素养． 【解析】（1）由图中数据和附注中参考数据得3x =，()25110ii x x =-=∑，()()555111587323174076511iii iii i i x x y y x y x y===--=-=-⨯=∑∑∑，()()565110.993.22062.7iix x y y r --=≈≈⨯∑因为y 与x 的相关系数0.75r >，说明y 与x 的线性相关程度比较高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）由（1）得()()()515216511ˆ651.110iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑， 因为174073481.45y ==，ˆˆ3481.4651.131528.1a y bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的回归方程为ˆ651.11528.1yx =+ 将2021年对应的6x =代入回归方程得ˆ651.11528.15434.7yx =+=． 所以预测2021年中国在线教育市场规模为5434.7亿元．20．【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学运算及逻辑推理的核心素养．【解析】（1）设点2,2t B t p⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线C 上任意一点，则AB≥=，因为AB2p-=4p=，所以抛物线C的方程为28y x=．（2）设()11,P x y，()22,Q x y，(),0N t，把直线()1y k x=-与28y x=联立得()2222280k x k x k-++=，由题意可得0k≠，所以212222882kx xk k++==+，121x x=，所以()()22221144MN PQ NM PQ MN MP NM MQ-=-=+⋅+()()()()1122,1,1x tNP NQ k x x t k x--=-=⋅⋅-()()()()2121211x t x t k x x=--+--()()()222212121k x x t k x x t k=+-++++()22222812k t k t kk⎛⎫=+-++++⎪⎝⎭22827tt tk=---所以当0t=时22174MN PQ-=-．所以x轴上存在点()0,0N，使得2214MN PQ-为定值7-．21．【命题意图】本题考查用导数研究函数的性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．【解析】（1）当0a=时()()1e1xf x x=+-，()()2e xf x x'=+，若20m-≤<，[],0x m∈时()0f x'≥，()f x在[],0m是增函数，()f x的最小值为()()1e1mf m m=+-，若2m <-，[],2x m ∈-时()0f x '≤，()f x 是减函数，[]2,0x ∈-时()0f x '≥，()f x 是增函数，()f x 最小值为()2121e f =---， 综上可得20m -≤<时()f x 的最小值为()1e 1m m +-，2m <-时()f x 的最小值为211e -- （2）因为()()321e 31x x ax a f x x =+---， 所以()()()()()2e 322e 3x x x ax x x ax f x =+'-+=+-， ()f x 在()3,2-上有3个极值点，则()0f x '=在()3,2-有3个不同实根，则方程e 30xax -=在()3,2-上有2个不等于2-的实根， 显然0x =不是方程e 30xax -=的根， 所以问题转化为直线3y a =与函数()e xg x x=（32x -<<）的图象有2个横坐标不等于2-的交点， ()()21e x x g x x -'=，()g x 在()3,0-，(]0,1上是减函数，在[)1,2上是增函数，当()3,0x ∈-时，()31,3g x e ⎛⎫∈ ⎪⎝--⎭∞，当(]0,1x ∈时()[)e,g x ∈+∞，当[)1,2x ∈时，()2,2g e e x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭所以当232e e a <<，即236e e a <<时()f x 在()3,2-上有3个极值点， 所以a 的取值范围是2,36e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．22．【命题意图】本题考查曲线的直角坐标方程、参数方程及极坐标方程；考查数学运算及逻辑推理的核心素养．【解析】（1）直线l的参数方程1x y t⎧=+⎪⎨=⎪⎩，消去参数t得40x -=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得直线l的极坐标方程为()cos 4ρθθ=， 即πcos 23ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（2）因为射线θα=（π02α<<，0ρ>）与直线l 及曲线C 分别交于点A ，B ，所以2πcos 3OA α=⎛⎫- ⎪⎝⎭，2cos OB α=， 因为2OA OB =， 所以πcos 2cos 3αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1cos 2cos 2ααα+=，3cos 2αα=，tan α= 23．【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法及不等式的证明，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．【解析】（1）(][)2220,0170,0,01,4120,4x x x x x x x x x x ⎧⎪-≥<⎪⎪-≥≤<⇒∈-∞⋃+∞⎨⎪⎪+-≥≥⎪⎩ 所以不等式()31f x x ≥+的解集为(][),01,-∞⋃+∞．（2）当14x ≥时()22111141444416x x f x ⎛⎫=+-≥+⨯-= ⎪⎝⎭， 当14x <时()2211141414416x x f x ⎛⎫=-+>+⨯-= ⎪⎝⎭， 所以()116f x ≥，当且仅当14x =时取等号． 所以22113111616a b +-≤，即22112a b +≤， 所以222111124a b a b ⎛⎫+≤+≤ ⎪⎝⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎭， 所以112a b +≤，即2a b ab +≤．。
2020_2021学年高二数学上学期11月领军考试试题理
2020-2021学年高二数学上学期11月领军考试试题理注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“对∀x∈(0，＋∞)，sin2x<()2x12+”的否定为A.对∀x∈(0，＋∞)，sin2x≥()2x12+B.∃x0∈(0，＋∞)，sin2x0<()2x12+C.∃x0∈(0，＋∞)，sin2x0≥()2x12+D.∃x0∈(－∞，0]，sin2x0()2x12+2.已知数列{a n}的前4项依次为2，0，2，0，则数列{a n}的通项不可能是A.a n＝2n0n⎧⎨⎩，为奇数，为偶数B.a n＝1＋(－1)n＋1C.a n＝2|sin2nπ| D.a n＝1(1)22n--3.已知实数a，b，c满足a＋b<b<0<a＋c，则A.a<b<cB.ac＋bc<0C.c－b>c－aD.11 a c >4.《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。
”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为A.96B.126C.192D.2525.已知实数x，y满足约束条件y x1y2x2y2x2≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥--⎩，则3x－2y的取值范围是A.[－3，4]B.[－3，1]C.[1，4]D.[－4，3]6.△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是A.a>b⇔sinA>sinBB.a>b⇔cosA<cosBC.a>b⇔sin2A>sin2BD.a>b⇔cos2A<cos2B7.若a∈(0，1)，则指数函数f(x)＝(am)x在(－∞，＋∞)上为减函数的一个充分不必要条件是A.m<1B.0<m<1C.m>0D.0<m<1 a8.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＋2a7＝0，则A.S5＝S6，S13＝0B.S5＝S6，S11＝0C.S6＝S7，S13＝0D.S6＝S7，S11＝09.已知命题p：2020≤2021，命题q：若a2＋b2>50，则|a|＋|b|>7，则下列命题为真命题的是A.p∧qB.p∧(⌝q)C.(⌝p)∧qD.(⌝p)∧(⌝q)10.若对∀y∈(1，＋∞)，2231x yx y<+-，则x的取值范围是A.(－2，6)B.(－∞，－3)∪(－2，＋∞)C.(－3，－2)∪(6，＋∞)D.(－∞，－3)∪(－2，6)11.已知数列{a n}满足a n＝2n－1，在a n，a n＋1之间插入n个1，构成数列{b n}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，则数列{b n}的前100项的和为A.211B.232C.247D.256，则A的最大值是12.△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b3cosBc cosC=-，则A的最大值是A.56πB.23πC.6πD.3π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二11月联考生物试卷 Word版含解析
2020－2021学年上学期全国百强名校“领军考试”高二生物（必修3）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共25小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 下列人体内的生理过程，发生在内环境中的是（）A. 血红蛋白与氧气的分离与结合B. 丙酮酸与水反应产生还原氢C. 脱氧核苷酸连接形成DNA分子D. 淋巴因子作用到B细胞上【答案】D【解析】【分析】内环境又叫细胞外液，由血浆、组织液和淋巴组成，凡是发生在血浆、组织液或淋巴中的反应都属于发生在内环境中的反应，发生在细胞内的反应不属于发生在内环境中的反应。
【详解】A、血红蛋白与氧气的分离与结合，发生在红细胞内，不是发生在内环境中，A错误；B、丙酮酸与水反应产生还原氢，发生在线粒体内，不是发生在内环境中，B错误；C、脱氧核苷酸连接形成DNA分子，主要发生在细胞核内，不是发生在内环境中，C错误；D、淋巴因子由T细胞分泌到细胞外液，作用到B细胞上，是发生在内环境中，D正确。
故选D。
2. 内环境是细胞与外界环境进行物质交换的媒介，图示②④⑤构成内环境。
下列叙述错误的是（）A. 图中淋巴管壁细胞直接生活的液体环境是淋巴液B. ③代谢活动增强，则导致②组织液的液体量增加C. 镰刀型细胞贫血症，会导致⑥红细胞的形态结构发生变化D. 某人手指被烫后出现了水泡，水泡内的液体主要是②【答案】A【解析】【分析】1、体液是由细胞内液和细胞外液组成，细胞内液是指细胞内的液体，而细胞外液即细胞的生存环境，它包括血浆、组织液、淋巴等，也称为内环境，内环境是细胞与外界环境进行物质交换的媒介。
广东省2021版高二上学期数学11月月考试卷A卷
广东省2021版高二上学期数学11月月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高二上·西城期末) 直线的倾斜角为（）A .B .C .D .【考点】2. （2分）过点（5，2）且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线有（）A . 1条B . 2条C . 3条D . 不能确定【考点】3. （2分） (2018高一下·东莞期末) 已知向量，，若，则x的值为A . 1B . 2C .D . 5【考点】4. （2分） (2020高二上·宣城期中) 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为（）A .B .C .D .【考点】5. （2分） (2020高二上·哈尔滨开学考) 直线在两坐标轴上的截距之积是（）A . 1B . -1C .D .【考点】6. （2分） (2020高三上·深圳月考) 在中，点P为中点，点D在上，且，则（）A .B .C .D .【考点】7. （2分）已知直线l过点(1，2），且在x轴截距是在y轴截距的2倍，则直线l的方程为（）A . x+2y-5=0B . x+2y+5=0C . 2x-y=0或x+2y-5=0D . 2x-y=0或x-2y+3=0【考点】8. （2分）已知点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）【考点】9. （2分） (2019高二下·青浦期末) 直线的一个方向向量是（）．A .B .C .D .【考点】10. （2分） (2016高二上·抚州期中) 若向量（1，0，x）与向量（2，1，2）的夹角的余弦值为，则x 为（）A . 0B . 1C . ﹣1D . 2【考点】二、多选题 (共2题；共6分)11. （3分） (2020高二上·沧县月考) 下列四个结论正确的是（）A . 任意向量，，若，则或或B . 若空间中点，，，满足，则，，三点共线C . 空间中任意向量都满足D . 已知向量，，若，则为钝角【考点】12. （3分） (2019高一上·滕州月考) 当一个非空数集满足条件“若，则a+b，a-b，，且当时，”时，称为一个数域，以下四个关于数域的命题：其中，真命题为（）A . 0是任何数域的元素B . 若数域有非零元素，则C . 集合为数域D . 有理数集为数域【考点】三、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020·济宁模拟) 已知向量满足 ,其中 ,那么________【考点】14. （1分） (2019高二上·上海月考) 设是给定的平面向量，且为非零向量，关于的分解，有如下4个命题：① 给定向量，总存在向量，使得；② 给定不共线向量和，总存在实数和，使得；③ 给定向量和整数，总存在单位向量和实数，使得；④ 给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使得；若上述命题中的向量在同一平面内且两两不共线，则其中真命题的序号为________.【考点】15. （1分） (2020高二上·毕节月考) 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成的角的余弦值为________.【考点】16. （1分） (2016高一下·江阴期中) 直线y=x﹣1的倾斜角为________度．【考点】四、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）已知直线l1：ax+2y+6=0，直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0 ．（1）若l1⊥l2 ，求a的值；（2）若l1∥l2 ，求a的值．【考点】18. （5分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE 的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于G，H两点．（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥平面ABCDE，且PA=AE，求平面PCD与平面ABF所成角（锐角）的余弦值，并求线段PH的长．【考点】19. （15分） (2021高三上·公主岭期末) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.（1）求角A；（2）若，，求△ABC的面积.【考点】20. （10分） (2017高三上·西湖开学考) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=AD=2，BC=1，CD= ．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若PM=3MC，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．【考点】21. （10分） (2020高二上·重庆期中) 已知点和点关于直线：对称．（1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，求直线的方程；（2）若直线过点且与直线交于点，的面积为2，求直线的方程．【考点】22. （15分） (2020高二上·重庆期中) 直三棱柱被平面截去一部分后得到如图所示几何体，，，是中点.（1）求证：平面⊥平面；（2）若三棱锥体积为，求二面角的正弦值.【考点】参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、多选题 (共2题；共6分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：三、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：四、解答题 (共6题；共65分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
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全国百强名校“领军考试”2020-2021学年
高二上学期11月联考试题（文）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列：2，－5，8，－11，…，(－1)n －1(3n －1)，(－1)n (3n ＋2)，…的第2n 项为
A.6n －1
B.－6n ＋1
C.6n ＋2
D.－6n －2
2.命题“对∀x ∈(1，＋∞)，lnx>x －1，的否定为
A.对∀x ∈(1，＋∞)，lnx≤1x x
- B.∃x 0∈(1，＋∞)，lnx 0>001x x - C.∃x 0∈(1，＋∞)，lnx 0≤001x x - D.∃x 0∈(0，1』，lnx 0≤00
1x x - 3.已知实数a ，b ，c 满足a ＋b<b<0<a ＋c ，则
A.a<b<c
B.ac ＋bc<0
C.c －b>c －a
D.11a c
> 4.《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。
”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为
A.96
B.126
C.192
D.252
5.已知实数x，y满足约束条件
y x1
y2x2
y2x2
≤+
⎧
⎪
≥-
⎨
⎪≥--
⎩
，则3x－2y＋1的最大值是
A.5
B.4
C.2
D.－1
6.给出以下命题：①2019≤2020；②a>b⇔a2>b2；③a＋1
a
≥2。
其中真命题的个数
A.3
B.2
C.1
D.0
7.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1>0，a2＋a10＝0，则
A.n＝6或7时S n取得最大值
B.n＝5或6时S n取得最大值
C.n＝6或7时S n取得最小值
D.n＝5或6时S n取得最小值
8.△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋2c＝2acosB，则
222
b c a
bc
+-
＝
A.1
B.－1
C.1
2
D.－
1
2
9.若a∈(0，1)，则指数函数f(x)＝(am)x在(－∞，＋∞)上为减函数的一个充分不必要条件是
A.m<1
B.0<m<1
C.m>0
D.0<m<1 a
10.数列{a n}是各项为负数的等比数列，若2a1＋a2>a3，则公比q的取值范围是
A.(－1，2)
B.(0，2)
C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D.(2，＋∞)
11.已知命题p：指数函数f(x)＝(a－2
3
)x在(－∞，＋∞)是减函数，命题q：log a(a2＋1)<log a(2a)<0，
若p∨q为真命题，则a的取值范围是
A.(1
2
，
2
3
) B.(
1
2
，
5
3
) C.(
2
3
，＋∞) D.(
5
3
，＋∞)
12.已知数列{a n}满足a n＝2n－1，在a n，a n＋1之间插入n个1，构成数列{b n}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，则数列{b n}的前100项的和为
A.211
B.232
C.247
D.256
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
，
13.若－2<a<b<3，则b－a的取值范围是。
14.△ABC中AB＝1，BC＝3，CA
△ABC的面积为。
15.若存在x ，y ∈(1，＋∞)，
使得1
x x x +=+则实数a 的取值范围为 。
16.已知公比为q(q>0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，给出下列命题：
①若a n ＋1>a n ，则a 1>0，q>1；②若a 1>0，则a 3＋a 9>2a 6；③若S n ＝2n ＋
2＋m ，则m ＝－1；④2n n
S S ＝1＋q n 。
其中真命题的序号为 。
三、解答题：本题共6个小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
已知等差数列{a n }满足公差d>0，前n 项的和为S n ，a 2＝3，S 3＝2a 4－3。
(1)求{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝(－1)n a n ，求数列{b n }的前100项的和T 100。
18.(12分)
已知命题p ：方程x 2－2x ＋a ＝0有实根，命题q ：a ∈{x|x 2＋y 2－2y －3＝0}。
(1)若p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围；
(2)若m －2<a<m ＋2是p ∧q 为真命题的必要条件，求实数m 的取值范围。
19.(12分)
已知数列{a n }是等比数列，且公比q<0。
(1)比较a 12＋a 22＋a 32与(a 1＋a 2＋a 3)2的大小；
(2)解关于x 的不等式：()()222222123123x 3x x 3x log
(a a a )log ( a a a )--++<++。
20.(12分)
△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝ccosB ＋13
b 。
(1)求cosC ；
(2)若c ＝3，求a ＋b 的最大值。
21.(12分)
某中学高二甲乙两名学生在学习了解三角形知识后决定利用所学知识去测量学校附近的一个高灯的高度，已知高灯在一立柱的最上方，甲在立柱正前方，站立测得眼睛观察立柱底端B 与灯的顶端A 的俯角与仰角分别为θ，θ＋
4π，且tanθ＝15，已知甲的眼睛到地面距离为1.6m 。
(1)求灯的顶端A 到地面的距离AB ；
(2)若乙(身高忽略不计)在地面上选两点P ，Q ，∠PBQ ＝60°，且在点P 处观察A 的仰角为α，在点Q 处观察A 的仰角为β，且sinα
＝
5，tanβ＝4，求P ，Q 两点之间的距离(精确到0.1m)。
22.(12分)
已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且93
9S S =。
(1)求573
a a a +的值； (2)若数列a 1，a 2，1
b a ，2b a ，…，b a n ，…成等比数列，求b n 及数列{b n }的前n 项和T n 。
期中考试数学试卷
11。