双曲线的简单几何性质 课件
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3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质(课件)
经典例题
题型二 由几何性质求双曲线的标准方程
总结
1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当
双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论， 为了避免讨论，也可设双曲线的方程为 mx2－ny2＝1(mn＞0)．
经典例题
题型二 由几何性质求双曲线的标准方程
2.中心在原点，实轴长为 10，虚轴长为 6 的双曲线的标准方程是( )
A.2x52 －y92＝1 C.1x020－3y62 ＝1
√B.2x52 －y92＝1 或2y52 －x92＝1
D.1x020－3y62 ＝1 或1y020－3x62 ＝1
经 典 例 题 题型一 根据双曲线方程研究几何性质
例 1 求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率 和渐近线方程． 解：双曲线的方程化为标准形式是x92－y42＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝ 13. 又双曲线的焦点在 x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－ 13，0)，( 13，0)，实轴长 2a＝6，虚轴长 2b＝4，
经典例题
题型三 求双曲线的离心率
跟踪训练3
已知双曲线的一条渐近线方程为 y＝2x，则其离心率为________．
5或
5 2
解析：当焦点在 x 轴上时，ba＝2，这时离心率 e＝ac＝ 1＋22＝ 5.
当焦点在 y 轴上时，ab＝2，即ba＝12，这时离心率 e＝ac＝
1＋122＝
5 2.
当堂达标
小试牛刀
1.思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)双曲线ax22－by22＝1 与ay22－bx22＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．( × )
2.2.2双曲线的简单几何性质(课件)高二数学(北师大版2019选择性)
l' y l
定值是离心率.(定点不在定直线上)
d .M
双曲线
x2 a2
y2 b2
1中:
.
F’ O
右焦点F2 (c，0)，对应的右准线方程是
x
a2 c
;
左焦点 F1 (c，0)对应的左准线方程是
a2 x .
c
.x
F
y
F1 A1
O A2 F2 x
设
c2 a2 b2 ，则 方程化为
x2 a2
y2 b2
1
(a
0,b
0)
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长 分别为 2a、2b的双曲线 .
双曲线的第二定义：
动点 M 与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比
是常数 e c (e 1)，则这个点的轨迹是双曲线. a
“三定”：定点是焦点；定直线是准线；
离心 率
线
x2 y2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
y2 a2
x2 b2
1
(a 0,b 0)
xa
或
x a
ya
或
y a
关于 坐标 轴和
(a,0) y b x
a
e c a
原点
(其中
都对 称
(0,a) y a x
c2 a2 b2)
b
例3求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、
例2 求双曲线 x2-4y2=1的焦点、中心、顶点坐标、实 轴和虚轴长并画出该双曲线.
例2 求双曲线 x2-4y2=1的焦点、中心、顶点坐标、实 轴和虚轴长并画出该双曲线.
4、渐近线 动画演示点在双曲线上情况
⑴双曲线
x2 a2
选修1-1课件2.2.2 双曲线的简单几何性质
b b 2 2 解得y1 25 12 481 12 12 b 5 2 2 y2 13 12 b. 12 12 又塔高为 米, 所以y2 y1 55.即 55 5b b 481 55. 12 12 解得 : b 24.5(米).所以双曲线的 方程为 x y 1. 2 2 12 24.5
2
2
2 ; 渐近
线方程x y; 准线方程y 2 .
练习题:
1.求下列双曲线的实轴和虚轴的 长、顶点和焦点坐标、离心率、 渐近线方程和准线方程：
x y 4 1 49 25
2
2
y x 4 方程化为 1, 于是a 5, b 7, 25 49 c 25 49 74 , 2a 10, 2b 14; 顶 点坐标0, 5 , 0,5 ; 焦点坐标 0, 74 ,
叫做等轴双曲线 .
x
双曲线虚轴的变化对双曲线的影响：
性质4—渐近线
y B2
N x ,Y Q M(x,y)
b
A1
o a A2
x
b y x a
B1
b y x a
在第一象限内 双曲线方程化为 , b 2 2 y x a x a a 设M x , y 是双曲线上的任意一 b 点, N x ,Y 是直线y x上与M a b 有相同横坐标的点则Y x . , a
1 x
2
8 y 32
2
x y 1方程化为 1, 于是a 4 2 , 32 4 b 2, c 32 4 6, 2a 8 2 , 2b 4; 顶点坐标 4 2 ,0 , 4 2 ,0 ; 焦点坐 3 标6,0 , 6,0 ; e 2 ; 渐近线方程 4 2 16 y x; 准线方程x . 4 3
3.2.2双曲线的简单几何性质 课件(共24张PPT)
2
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
3.2.2双曲线的简单几何性质(第1课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
双曲线的渐近线方程？
=−
2 2
对于双曲线 2 − 2 = 1和它的渐近线 = ± ，
=
y
(, )
将方程中的与互换，就得到双曲线
即 = ± ．
− 2 = 1 的渐近线方程 = ± ，
2
2
2
(−, )
规律方法：由双曲线方程求渐近线方程，只需把1变成0,
∴当 ∈
2
+
2
2
> 1.
=
(1, +∞)时，
∈
1+
2
(0, +∞),且增大, 也增大
b
离心率越大, 渐近线y x的斜率越大 双曲线的“张口”越大
a
新知探究
方程
2 2
− 2=1
2
2 2
− 2=1
2
图像
范围
对称性
≤ −，或 ≥
≤ −，或 ≥
≤ −，或 ≥
关于轴、轴、原点对称
（ − ，），（，） （， − ），（，）
a
b
y x
y x
渐近线
b
a
= >
离心率
顶点
1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程.
2
2
x
y
2
2
2
2
2
2
(1) x 8 y 32; (2) 9 x y 81; (3) x y 4; (4)
=−
2 2
对于双曲线 2 − 2 = 1和它的渐近线 = ± ，
=
y
(, )
将方程中的与互换，就得到双曲线
即 = ± ．
− 2 = 1 的渐近线方程 = ± ，
2
2
2
(−, )
规律方法：由双曲线方程求渐近线方程，只需把1变成0,
∴当 ∈
2
+
2
2
> 1.
=
(1, +∞)时，
∈
1+
2
(0, +∞),且增大, 也增大
b
离心率越大, 渐近线y x的斜率越大 双曲线的“张口”越大
a
新知探究
方程
2 2
− 2=1
2
2 2
− 2=1
2
图像
范围
对称性
≤ −，或 ≥
≤ −，或 ≥
≤ −，或 ≥
关于轴、轴、原点对称
（ − ，），（，） （， − ），（，）
a
b
y x
y x
渐近线
b
a
= >
离心率
顶点
1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程.
2
2
x
y
2
2
2
2
2
2
(1) x 8 y 32; (2) 9 x y 81; (3) x y 4; (4)
高中数学课件第课一时双曲线的简单几何性质
Catalogue
目录
O1 理解教材新知
O3 应用创新演练
O5 考点一
O2 把握热点考向
O4 第二章
O6 考点二
2.3.2 双曲线的简单几何性 质
#O1
有一首歌，名字叫做《悲伤的双曲线》， 歌词如下：如果我是双曲线，你就是那 渐近线．如果我是反比例函数，你就是 那坐标轴．虽然我们有缘，能够生在同 一个平面．然而我们又无缘，漫漫长路 无交点……
返回
[精解详析] (1)设双曲线的标准方程为xa22－by22＝1 或ay22－ xb22＝1(a>0，b>0)．
由题意知 2b＝12，ac＝54且 c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8， ∴标准方程为6x42－3y62 ＝1 或6y42 －3x62＝1.
返回
(2)法一：当焦点在 x 轴上时， ba＝32且 a＝3， ∴b＝92. ∴所求的方程为x92－48y12＝1. 当焦点在 y 轴上时， ab＝32且 a＝3， ∴b＝2. ∴所求的方程为y92－x42＝1.
对称性
x轴、y轴
坐标原点 对称轴
， 对称中心
xa22－by22＝1 标 准(－方 程a,0)，(a,0)
ay22－xb22＝1
(a＞0，b (a＞0，b
(0，＞ 0－) a)，(0＞，0a) )
性质
2a
2b
顶 点e＝ac(e＞1)
xa±by＝0轴长
实轴 ＝
长＝xb±ay＝，0虚轴长
y＝±bax离心率 渐近线
化为标准方程
xm2－yn2＝1(m>0，n>0)，
由此可知，半实轴长 a＝ m，
半虚轴长 b＝ n，c＝ m＋n，
焦点坐标为( m＋n，0)，(－ m＋n，0)，
目录
O1 理解教材新知
O3 应用创新演练
O5 考点一
O2 把握热点考向
O4 第二章
O6 考点二
2.3.2 双曲线的简单几何性 质
#O1
有一首歌，名字叫做《悲伤的双曲线》， 歌词如下：如果我是双曲线，你就是那 渐近线．如果我是反比例函数，你就是 那坐标轴．虽然我们有缘，能够生在同 一个平面．然而我们又无缘，漫漫长路 无交点……
返回
[精解详析] (1)设双曲线的标准方程为xa22－by22＝1 或ay22－ xb22＝1(a>0，b>0)．
由题意知 2b＝12，ac＝54且 c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8， ∴标准方程为6x42－3y62 ＝1 或6y42 －3x62＝1.
返回
(2)法一：当焦点在 x 轴上时， ba＝32且 a＝3， ∴b＝92. ∴所求的方程为x92－48y12＝1. 当焦点在 y 轴上时， ab＝32且 a＝3， ∴b＝2. ∴所求的方程为y92－x42＝1.
对称性
x轴、y轴
坐标原点 对称轴
， 对称中心
xa22－by22＝1 标 准(－方 程a,0)，(a,0)
ay22－xb22＝1
(a＞0，b (a＞0，b
(0，＞ 0－) a)，(0＞，0a) )
性质
2a
2b
顶 点e＝ac(e＞1)
xa±by＝0轴长
实轴 ＝
长＝xb±ay＝，0虚轴长
y＝±bax离心率 渐近线
化为标准方程
xm2－yn2＝1(m>0，n>0)，
由此可知，半实轴长 a＝ m，
半虚轴长 b＝ n，c＝ m＋n，
焦点坐标为( m＋n，0)，(－ m＋n，0)，
双曲线的简单性质课件ppt课件
04 双曲线的标准方程的推导
推导过程
设双曲线上任意一点为$P(x,y)$， 根据双曲线的定义，点$P$到两 个焦点的距离之差为常数，即 $2a$。
利用距离公式和双曲线的定义， 可以得到点$P$到两个焦点的距 离分别为$sqrt{(x+a)^2+y^2}$ 和$sqrt{(x-a)^2+y^2}$。
对称性
01
02
03
对称性
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
总结词
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
详细描述
双曲线上的任意一点关于 x轴和y轴的对称点都在双 曲线上。
顶点
顶点
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
总结词
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
详细描述
顶点是双曲线与对称轴的 交点，也是双曲线离准线 最远的点。
比例常数。
性质
双曲线的焦点到任意一点的距离之 差等于常数2a，即|PF1| - |PF2| = 2a。
应用
通过焦点可以计算出双曲线的离心 率和准线方程。
焦距
定义
双曲线的两个焦点之间的距离称 为焦距，记作2c。
性质
焦距与半主轴长a和半次轴长b有 关，关系为c^2 = a^2 + b^2。
应用
通过焦距可以计算出双曲线的离 心率和准线方程。
双曲线的简单性质课件ppt课件
目录
• 双曲线的定义与标准方程 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的焦点与焦距 • 双曲线的标准方程的推导 • 双曲线的应用
01 双曲线的定义与标准方程
定义
总结词
双曲线是由两个无限延伸的分支组成的，其形状类似于开口 的抛物线。
双曲线的简单几何性质课件
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
y b x a
例3：
x2 y2 1 16 9
1、双曲线 9x2-16y2=144的实半轴长
等于 4 虚半轴长等于 3 顶点坐
标是 4,0 渐近线方是y
3 4
x (或 x
4
y
.3
0)
5
离心率e= 4 。
2、离充心要率e=条件2 是。双（曲用线“为充等分轴条双件曲”线“的必要 条件”“充要条件”填空。）
双曲线定义的简单几何性质
定义
图象
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1
o
F2
x
x
F1
x2 a2
y2 b2
1
x≤－a或x≥a
y2 a2
x2 b2
1
y≤－a或y≥a
关于坐标轴、原点对称（实轴、虚轴、中心）
(－a, 0) (a, 0)
法二 由双曲线的渐近线方程为 y＝±12x， 可设双曲线方程为x222－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即 λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y82－3x22 ＝1.
5 离心率
与椭圆类似,双曲线的焦距与实轴长的比 c , a
叫做双曲线的离心率.因为c a 0,所以双
2 2
y2 b2
1
渐进线方程
k
b a
B2
b
k
y
(a,b)
b a
yb x a
可由双曲线
e c (e 1) a
y b x a
例3：
x2 y2 1 16 9
1、双曲线 9x2-16y2=144的实半轴长
等于 4 虚半轴长等于 3 顶点坐
标是 4,0 渐近线方是y
3 4
x (或 x
4
y
.3
0)
5
离心率e= 4 。
2、离充心要率e=条件2 是。双（曲用线“为充等分轴条双件曲”线“的必要 条件”“充要条件”填空。）
双曲线定义的简单几何性质
定义
图象
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1
o
F2
x
x
F1
x2 a2
y2 b2
1
x≤－a或x≥a
y2 a2
x2 b2
1
y≤－a或y≥a
关于坐标轴、原点对称（实轴、虚轴、中心）
(－a, 0) (a, 0)
法二 由双曲线的渐近线方程为 y＝±12x， 可设双曲线方程为x222－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即 λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y82－3x22 ＝1.
5 离心率
与椭圆类似,双曲线的焦距与实轴长的比 c , a
叫做双曲线的离心率.因为c a 0,所以双
2 2
y2 b2
1
渐进线方程
k
b a
B2
b
k
y
(a,b)
b a
yb x a
可由双曲线
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(可编辑图片版)
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±
n m
x的双曲线方程可设为
x2 m2
－
y2 n2
＝λ(λ≠0，
m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的
方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)．
(2)与双曲线
x2 a2
－ by22
＝1或
y2 a2
－
x2 b2
长：____b____
离心率
e＝ac∈_(_1_，__＋__∞_ )
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
【方法技巧】(1)双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭
圆则是封闭曲线．
(2)当|x|无限增大时，|y|也无限增大，即双曲线的各支是向外无
限延展的．
(3)双曲线的渐近线决定了双曲线的形状．由双曲线的对称性可
因为 e＝32，所以λ2－5－16λ＝94－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准 方程为x2－y2＝1.
45 答案：x2－y2＝1
45
【方法技巧】
由几何性质求双曲线标准方程的解题思路 1．由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系 数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注 意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为 mx2－ny2＝ 1(mn>0)．
3．过点(2,0)，与双曲线
y2 64
－
x2 16
＝1离心率相等的双曲线方程
为________．
解析：当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为
x2 64
－
y2 16
＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝
《双曲线的简单几何性质》课件
其中，$a > 0, b > 0, c = sqrt{a^2 + b^2}$。
当焦点在$x$轴上时，双曲线的标准 方程为$frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$，此时双曲线 的实轴在$x$轴上，顶点坐标为 $(pm a, 0)$，焦点坐标为$(pm c, 0)$。
当焦点在$y$轴上时，双曲线的标准 方程为$frac{y^2}{b^2} frac{x^2}{a^2} = 1$，此时双曲线 的实轴在$y$轴上，顶点坐标为$(0, pm a)$，焦点坐标为$(0, pm c)$。
其中，定点$F_1$和$F_2$称为双曲线的焦点，距离差称为双曲线的 实轴长，常数$2a$称为实轴长，定点$F_1$和$F_2$之间的距离称为 焦距，记作$2c$。
标准方程
双曲线的标准方程为 $frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2}
= 1$或$frac{y^2}{b^2} frac{x^2}{a^2} = 1$。
详细描述
双曲线的渐近线是与双曲线无限接近但不会相交的直线，它们的方程为y=±(b/a)x。渐近线的斜率等于b/a，与x 轴的夹角等于arctan(b/a)。当双曲线的焦距逐渐增大或减小时，渐近线将逐渐接近于x轴或y轴。
离心率
总结词
双曲线的离心率是用来描述双曲线形状 和大小的参数，它等于焦距除以半轴长 。
02
双曲线的几何性质
焦点位置
总结词
双曲线的焦点位于x轴上，且距离原点的距离等于半轴长。
详细描述
双曲线有两个焦点，它们位于x轴上，且与原点的距离分别为 a和c，其中a为半短轴长，c为半焦距。根据双曲线的性质， 焦点到原点的距离c满足关系式c²=a²+b²，其中b为半长轴长 。
当焦点在$x$轴上时，双曲线的标准 方程为$frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$，此时双曲线 的实轴在$x$轴上，顶点坐标为 $(pm a, 0)$，焦点坐标为$(pm c, 0)$。
当焦点在$y$轴上时，双曲线的标准 方程为$frac{y^2}{b^2} frac{x^2}{a^2} = 1$，此时双曲线 的实轴在$y$轴上，顶点坐标为$(0, pm a)$，焦点坐标为$(0, pm c)$。
其中，定点$F_1$和$F_2$称为双曲线的焦点，距离差称为双曲线的 实轴长，常数$2a$称为实轴长，定点$F_1$和$F_2$之间的距离称为 焦距，记作$2c$。
标准方程
双曲线的标准方程为 $frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2}
= 1$或$frac{y^2}{b^2} frac{x^2}{a^2} = 1$。
详细描述
双曲线的渐近线是与双曲线无限接近但不会相交的直线，它们的方程为y=±(b/a)x。渐近线的斜率等于b/a，与x 轴的夹角等于arctan(b/a)。当双曲线的焦距逐渐增大或减小时，渐近线将逐渐接近于x轴或y轴。
离心率
总结词
双曲线的离心率是用来描述双曲线形状 和大小的参数，它等于焦距除以半轴长 。
02
双曲线的几何性质
焦点位置
总结词
双曲线的焦点位于x轴上，且距离原点的距离等于半轴长。
详细描述
双曲线有两个焦点，它们位于x轴上，且与原点的距离分别为 a和c，其中a为半短轴长，c为半焦距。根据双曲线的性质， 焦点到原点的距离c满足关系式c²=a²+b²，其中b为半长轴长 。
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第二章 圆锥曲线与方程
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7.双曲线上两个重要的三角形 (1)实轴端点、虚轴端点及__对__称__中_心___构成一个直角三角 形，边长满足c2＝a2＋b2，称为双曲线的特征三角形． (2)焦点F、过F作渐近线的垂线，垂足为 D ， 则 |OF| ＝ c ， |FD| ＝ __b__ ， |OD| ＝ a ， △OFD 亦 是 直 角 三 角 形 ， 满 足 |OF|2 ＝ |FD|2 ＋|OD|2，也称为双曲线的特征三角形． (3)实轴长与虚轴长_相__等____的双曲线叫做等轴双曲线，其 离心率为___2_____，其两条渐近线互相__垂__直____．
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过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴 的平行线，它们围成一个矩形，其两条_对_角__线______所在直线 即为双曲线的渐近线．
“渐近”两字的含义：当双曲线的各支向外延伸时，与这 两条直线__逐__渐____接近，接近的程度是无限的．
3．设 P(x，y)是双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)上一点，则 x≥a 或 x≤－a，y∈R.
第二章 圆锥曲线与方程
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思维导航 2．椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在 双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎 样描述双曲线的“张口”大小呢？ 新知导学 4．双曲线的半焦距c与实半轴长a的比值e叫做双曲线的 _离__心__率_____，其取值范围是_(_1，__＋__∞_)___ ．e越大，双曲线的 张口越大_______．
第二章 圆锥曲线与方程
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新知导学
5．双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)位于第一象限部分上一点 b|x－ x2－a2|
P(x，y)到直线 y＝bax 的距离 d＝____a_2_＋__b_2___ (用 x 表示)，d 随 x 的增大而___减__小___．
第二章 圆锥曲线与方程
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新知导学 1．在双曲线方程中，以－x、－y代替x、y方程不变，因 此双曲线是以x轴、y轴为对称轴的轴_对__称_____图形；也是以原 点 为 对 称 中 心中心的对__称_________ 图 形 ， 这 个 对 称 中双心曲叫线 做 __的__中_心_____ _________．
这表明，随着 x 的增大，点 P 到直线 y＝bax 的距离越来越
__小____，称直线 y＝bax 为双曲线ax22－by22＝1 的一条___渐__近__线___，
由
对Байду номын сангаас
称
性
知
，
直
线
__y_＝__－__ba_x__
也
是
双
曲
线
x2 a2
－
y2 b2
＝
1
的一条
__渐__近__线____．
第二章 圆锥曲线与方程
对称性
对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：原点
对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：原点
顶点 轴长
(－a,0)、(a,0) (0，－b)、(0，b) 长轴长 2a，短轴长 2b
(－a,0)、(a,0) 实轴长 2a 虚轴长 2b
离心率
e＝ac，(0<e<1)
e＝ac，(__e_>_1___)
渐近线
无
有两条，其方程为__y＝__±__ba_x _
对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，渐近线是 刻画双曲线的一个重要概念，画双曲线时应先画出它的渐近 线．
双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为___y_＝__±_ba_x__．
第二章 圆锥曲线与方程
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6．对比是数学研究的重要方法，双曲线的几何性质与椭 圆的几何性质有不少相同或类似之处，要注意它们的区别与联 系，不能混淆，列表如下：
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双曲线的简单几何性质
第二章 圆锥曲线与方程
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双曲线的几何性质 温故知新 回顾复习椭圆的定义、标准方程和几何性质，回顾复习双 曲线的定义与标准方程． 思维导航 1．类比椭圆几何性质及其研究方法，结合图象，你能得到 双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的哪些几何性质？
第二章 圆锥曲线与方程
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2．双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的_顶__点__， 双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的顶点是_(_±__a_,0_)__，这两个顶点之 间的线段叫做双曲线的__实__轴___，它的长等于_2_a___.同时在另一 条对称轴上作点 B1(0，－b)，B2(0，b)，线段 B1B2 叫做双曲线 的__虚__轴__，它的长等于__2_b___，a、b 分别是双曲线的__实__半__轴__长__ 和__虚__半__轴__长__．
方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
图形
范围
|x|≤a，|y|≤b
_|x_|_≥_a_，__y_∈__R____
第二章 圆锥曲线与方程
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方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
第二章 圆锥曲线与方程
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第二章 圆锥曲线与方程
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思维导航 3．在双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的右支上位于第一象限的 部分上任取一点 P(x，y)，计算 P 到直线 y＝bax 的距离 d，利用 P 在双曲线上及 x≥a，y>0 消去 y 可得 d 关于 x 的函数 d＝f(x)， 研究函数 f(x)的单调性，你发现了什么？