【步步高】2014届高考数学一轮复习 2.2.2 椭圆的几何性质备考练习 苏教版
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2.2.2 椭圆的几何性质
一、基础过关
1． 已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1上，则下列说法正确的是________(填序号)． ①点(－3，－2)不在椭圆上；
②点(3，－2)不在椭圆上；
③点(－3,2)在椭圆上；
④无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上．
2． 椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标
为________________________________________________________________________．
3． 椭圆x 2＋4y 2
＝1的离心率为________．
4． 已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12
，焦距为8，则该椭圆的方程是___________________________________________________________________．
5． 椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是________． 6． 已知椭圆x 2a ＋y 2b ＝1和x 2a ＋y 2
b ＝k (k >0，a >0，b >0)，下列说法正确的序号为________． ①相同的顶点； ②相同的离心率；
③相同的焦点； ④相同的长轴和短轴．
7． 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)离心率是23
，长轴长是6. (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
二、能力提升
8． 过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．
9． 若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32
，则m ＝_________________________________. 10．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰
直角三角形，则椭圆的离心率是________．
11．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝
32
，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标． 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b 7
，求椭圆的离心率e . 三、探究与拓展
13．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)，A (2,0)为长轴的一个端点，过椭圆的中心O 的直线交椭圆于B 、C 两点，且AC →²BC →＝0，|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|，求此椭圆的方程．
答案
1． ③ 2． (0，±69) 3． 32 4． y 264＋x 2
48＝1 5． 14 6． ②
7． 解 (1)设椭圆的方程为
x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2
a 2＋x 2
b 2＝1 (a >b >0)．
由已知得2a ＝6，e ＝c
a ＝2
3，∴a ＝3，c ＝2.
∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.
∴椭圆方程为x 2
9＋y 2
5＝1或x 2
5＋y 2
9＝1.
(2)设椭圆方程为x 2
a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b
>0)．
如图所示，
△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且OF ＝c ，A 1A 2＝2b ，
∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，
故所求椭圆的方程为x 218＋y 2
9＝1.
8． 3
3
9． 1
4或4 10．2－1
11．解 椭圆方程可化为x 2
m ＋y 2
m m ＋3
＝1，
m －m m ＋3＝m m ＋2m ＋3>0，
∴m >m m ＋3，即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，
∴c ＝a 2－b 2＝m m ＋2
m ＋3.
由e ＝3
2，得m ＋2
m ＋3＝3
2，
解得m ＝1，
∴椭圆的标准方程为x 2＋y 2
14
＝1，
∴a ＝1，b ＝12，c ＝3
2，
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，
两焦点坐标分别为F 1⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－32，0， F 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，0， 顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.
12．解 由A (－a,0)，B (0，b )，
得直线AB 的斜率为k AB ＝b
a ，
故AB 所在的直线方程为y －b ＝b
a x ，
即bx －ay ＋ab ＝0.
又F 1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b 7， ∴7²(a －c )＝a 2＋b 2，
又b 2＝a 2－c 2，整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，即8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－14c
a ＋5＝0，
∴8e 2－14e ＋5＝0，
∴e ＝1
2或e ＝5
4(舍去)．
综上可知，椭圆的离心率为e ＝1
2.
13．解 ∵|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|，
∴|BC →|＝2|AC →|.
又AC →²BC →＝0，∴AC ⊥BC .
∴△AOC 为等腰直角三角形．
∵OA ＝2，
∴C 点的坐标为(1,1)或(1，－1)，
∵C 点在椭圆上，a ＝2，
∴14＋1
b 2＝1，b 2＝43.
∴所求椭圆的方程为x 24＋y 2
43
＝1.