现代机械工程系统数学模型的建立

x11 x1
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图4.3 三维状态空间
x2
9
4.3.2 控制系统的状态空间表达式
（1）状态方程：描述系统状态变量与系统输入之间关系的 一阶微分方程组（常用矩阵形式表示）称为～。
线性定常系统的状态方程可写成如下形式
x Ax Bu （4.19）
输入 矩阵
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x1
(4.5) (4.6)
忽略电感：Ra J0 (t) (Ra D KTKe ) (t) KTei (t) (4.7)
进一步忽略电枢电阻为：Ke0 (t) ei (t) (4.8)
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若用(t) 0 (t)表示电动机转子的角速度，
则式(4.6), (4.7)和(4.8)分别变为
数量最少的一组状态变量。
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x1(t)
x (t )
x2
(t )
xn
(t
)
（4.18）
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（4）状态空间：状态向量所有可能值的集合称～。
系统的任意一个状态都可以用状
态空间中的一个点表示；
状态变量随时间变化的过程在状
态空间中表现为一条轨迹。
x3
x31
t0 o
t1 t2 t3 x21
)
a x(n-1) n1 o
(t
)
a1xo (t) a0xo (t)
bm
x(m) i
(t
)
b x(m-1) m-1 i
(t
)
b1xi (t) b0xi (t)
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4.2 控制系统的传递函数
传递函数的定义:
G(s) X o (s) X i (s)
X i (s)
百度文库
X0(s)
输出的拉氏变换
X o (s) G(s)X i (s) 时域中的输出
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xo (t) L1[G(s) X i (s)]
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例4.2 如图4.2所示的质量-阻尼-弹簧系统，试求该系统的传递函数。
xi (t)
x0 (t)
k
m
c
图4.2 略去质量的阻尼—弹簧系统
忽略质量，由达朗贝尔原理可知 (xi xo )k cxo 0 数学模型
(4.2)
电压平衡方程： em (t) Ke0 (t)
(4.3)
动力学方程：
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T (t) J0 (t) D0 (t)
(4.4)
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电压平衡方程： ei (t) Raia (t) Laia (t) em (t) (4.1)
力矩方程：
T (t) KTia (t)
(4.2)
第4章
现代机械工程系统数学模型的建立
4.1 控制系统的微分方程 4.2 控制系统的传递函数 4.3 控制系统的状态空间描述 4.4 状态空间表达式的建立方法 4.5 从系统的状态空间表达式求传递函数阵 4.6 离散控制系统的数学模型 4.7 MATLAB的运用与分析 4.8 工程实例中的数学模型的建立
电压平衡方程： em (t) Ke0 (t)
(4.3)
动力学方程： T (t) J0 (t) D0 (t)
(4.4)
把(4.2)代入(4.4) :
ia (t)
1 KT
[J0 (t)
D0 (t)]
把(4.3)和(4.5)代入(4.1)直流伺服电动机得数学模型 :
La J0(3) (t) (La D Ra J )0 (t) (Ra D KT Ke )0 (t) KTei (t)
R
L
v(t)
i(t)
C
vC(t)
解：此网络的动态微分方程为
L
di(t) dt
C
dvC
(t)
dt
R i(t) i(t)
vC (t)
v(t)
vC (t)
Q C
1 C
i(t)dt
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L
di(t dt
)
R
i
(t
)
vC
(t
)
v(t
)
C
dvC (t)
i(t)
dt
用状态方程可表示为
La J(t) (LaD Ra J )(t) (RaD KT Ke )(t) KTei (t) (4.9)
Ra J(t) (RaD KTKe )(t) KTei (t)
(4.10)
Ke(t) ei (t)
(4.11)
单输入、单输出、线性定常系统数学模型的一般形式：
an
xo(n
)
(t
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4.1 控制系统的微分方程
[例4.1] 建立直流伺服电动机控制系统的数学模型
Ra
La
[解]
ia (t)
ei (t)
0 (t) em
T (t)
D J
电压平衡方程： ei (t) Raia (t) Laia (t) em (t) (4.1)
力矩方程：
T (t) KTia (t)
i(t)
vC
(t
)
R L
1
C
1 L 0
i(t) vC (t)
1 L 0
v(t
)
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（2）输出方程：在指定系统输出的情况下，该输 出与状态变量间的函数关系式，称为系统的～。
线性定常系统的输出方程为：
y Cx Du （4.20）
y1
y
y2
cxo kxo kxi csX o (s) kXo (s) kXi (s) 传递函数 G(s) Xo (s) k 1
X i (s) cs k Ts 1
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4.3 控制系统的状态空间描述
4.3.1 基本概念
（1）状态：就是指系统过去、现在和将来的状况。 （2）状态变量：描述系统状态的变量。 （3）状态向量：能完全描述一个系统运动状态的
G(s)
对数学模型取拉氏变换
(an s n an1s n1 a1s a0 ) X o (s) (bm s m bm1s m1 b1s b0 ) X i (s)
系统的传递函数
G(s)
X o (s) X i (s)
bm s m an s n
bm1s m1 b1s b0 an1s n1 a1s a0
y
m
c11
C
c21
c12
c22
c1n
c2n
d11
D
d
21
d12
d22
d1r
d
2r
cm1
cm2
cmn
d m1
dm2
d
mr
输出向量
输出矩阵
直接转移矩阵
在大多数实际系统中, D = 0。
x
x
2
x
n
状态 变量
a11
A
a21
an1
b11 b12 b1m
B
b21
b22
b2m
bn1
bn2
bn
m
a12 a1n
a22
a
2n
an2
ann
系数 矩阵
u1
u
u
2
u
m
系统 输入
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[例4.3] 无源网络中电流i(t)和电压vC(t)是这个系统的
一组状态变量，输入为v(t)，写出系统的状态方程。