选修系列2选修21第二章圆锥曲线与方程2.1圆锥曲线

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高中数学课件-圆锥曲线与方程2

数学选修1-1
第二章圆锥曲线与方程
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
方法二：设所求双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn＜0)．将点 M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得
m＋n＝1， 4m＋25n＝1，
解得mn＝＝－87，17.
所以所求双曲线的标准方程为x72－y72＝1. 8
合作探究课堂互动
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程．题．
1．理解双曲线的定义、几何图形和原则方程的推导过
2．掌握双曲线的原则方程． 3．会运用双曲线的定义和原则方程解决简朴的应用问
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第二章圆锥曲线与方程
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我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰构成第四批护航编队远赴亚丁湾，在索马里流域执行护航任务．
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第二章圆锥曲线与方程
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(3)当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形式．
(4)双曲线的标准形式的特征是数xⅠ2 ＋数yⅡ2 ＝1，数Ⅰ与数Ⅱ 异号，因此双曲线的方程又可写为 mx2＋ny2＝1(m·n<0)，这种形式是焦点所在的坐标轴不易判断时的统一写法．
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第二章圆锥曲线与方程
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(2)由已知得 c＝6，且焦点在 y 轴上，因为点 A(－5,6)在双曲线上，所以点 A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数 2a，即 2a＝| －5－02＋6＋62－－5－02＋6－62|

2019人教版高中数学【选修 2-1】第二章圆锥曲线与方程

2019人教版精品教学资料·高中选修数学2．1曲线与方程(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；(2)初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；(3)学会根据已有的资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；(4)强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法．2．过程与方法(1)通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；(2)在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；(3)在构建曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力、知识迁移能力、合情推理能力，同时强化“形”与“数”结合并相互转化的思想方法．3．情感、态度与价值观(1)通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；(2)通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质．●重点难点重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．难点：曲线与方程的对应关系．(教师用书独具)“曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系，体现了解析几何的基本思想，对解析几何教学有着深远的影响．从知识上说，曲线与方程的概念对后面所学的求出曲线的方程的准确性来说是很关键的，它在下节课中起到基础性的作用，不仅是本节的重点概念，也是高中学生较难以理解的一个概念．从能力上说，通过本节的学习，提高学生对概念的理解能力，对培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力有重要作用，是培养高二学生的观察分析能力和逻辑思维能力的重要训练内容．“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念是本节的重点，本节课是由几个实例上升到抽象概念的过程，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延，也就是曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系的理解透彻问题．因此可用举反例的方法来解决困惑，通过反例揭示“两者缺一”与直觉的矛盾，从而促使学生对概念表述的严密性进行探索，加强认识曲线与方程的对应关系，从而突破难点．复习旧知识，提出新问题：所给曲线与方程有什么关系？⇒引导学生结合图象及方程得出曲线的方程和方程的曲线的概念.⇒通过引导学生回顾求轨迹的方法，总结出求曲线方程的一般步骤.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握由方程研究曲线的方法.⇒回顾求曲线方程的步骤，完成例3及其变式训练，从而解决直接法求轨迹方程问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.理解曲线的方程与方程曲线的概念，会求一些简单的曲线方程．(重点)2．理解曲线上点的坐标与方程的解的一一对应关系．(难点)曲线的方程与方程的曲线【问题导思】1．在平面直角坐标系中，平分一、三象限的直线与方程x－y＝0有什么关系？【提示】直线上任一点M(x0，y0)，则x0＝y0，即点M(x0，y0)是方程x－y＝0的解；如果(x0，y0)是x－y＝0的解，那么以(x0，y0)为坐标的点都在直线上．2．以(a，b)为圆心，r为半径的圆和方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2有什么关系？【提示】圆上的任一点M(x0，y0)的坐标是方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解；反之，若(x0，y0)是方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解，则以(x0，y0)为坐标的点在圆上．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．求曲线方程的步骤对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．【思路探究】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上，因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y＝0.1．分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义．2．定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可．条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f(x，y)＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性．两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化．判断下列命题是否正确，并说明原因．(1)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y＝x；(2)已知A、B两点的坐标分别为(－1,0)和(1,0)，则满足∠ACB＝90°的动点C的轨迹方程为x2＋y2＝1.【解】(1)不正确．因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹是两条直线，即l1：y＝x和l2：y＝－x.直线l1上的点的坐标都是方程y＝x的解，而直线l2上的点(除原点外)的坐标都不是方程y＝x的解．这显然与曲线和方程关系中的条件(1)，即“曲线上点的坐标都是方程的解”不相符．(2)不正确．根据题意可知，动点C的轨迹是以线段AB为直径的圆(但要除去A，B两点)，因此，尽管动点C的坐标都满足方程x2＋y2＝1，但以方程x2＋y2＝1的解为坐标的点不都在动点C的轨迹上．由方程研究曲线下列方程分别表示什么曲线：(1)(x＋y－1)x－1＝0；(2)2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0.【思路探究】(1)方程(x＋y－1)x－1＝0中“x＋y－1”与“x－1”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)我们在研究形如Ax2＋By2＋Cx＋Dy＋E＝0的方程时常采用什么方法？【自主解答】(1)由方程(x＋y－1)x－1＝0可得{x－1≥0，x＋y－1＝0或{x－1≥0，x－1＝0，即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.故方程表示一条射线x＋y－1＝0(x≥1)和一条直线x＝1.(2)对方程左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0.∵2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，∴{2(x－1)2＝0，(y＋1)2＝0，解得{x＝1，y＝－1.从而方程表示的图形是一个点(1，－1)．1．判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定．2．方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想．下列方程分别表示什么曲线，为什么？(1)x2＋xy－x－y＝0；(2)(x－2)2＋y2－4＝0.【解】(1)原方程化为(x＋y)(x－1)＝0，∴x＋y＝0或x＝1.因此，原方程表示x＋y＝0和x＝1两条直线．(2)由(x－2)2＋y2－4＝0，得{x－2＝0，y2－4＝0，∴{x＝2，y＝2，或{x＝2，y＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2)．求曲线方程设△ABC的周长为18，|AB|＝8，求顶点C的轨迹方程．【思路探究】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】以线段AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－4,0)，B(4,0)，设C(x，y)．曲线的几何特征是|AC|＋|BC|＝18－|AB|＝10.用两点间的距离公式，列出方程(x＋4)2＋(y－0)2＋(x－4)2＋(y－0)2＝10.化简上式，得9x2＋25y2＝225.由于点C 不能在x 轴上，所以y ≠0.故所求顶点C 的方程为9x 2＋25y 2＝225(y ≠0)．1．求曲线方程的一般步骤为：(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点．2．一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程．3．没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系．已知一曲线在x 轴上方，它上面的每一点到点A (0,2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．【解】设曲线上任一点的坐标为M (x ，y )，作MB ⊥x 轴，B 为垂足，则点M 属于集合P ＝{M ||MA |－|MB |＝2}．由距离公式，点M 适合的条件可表示为x 2＋(y －2)2－y ＝2.化简得x 2＝8y .∵曲线在x 轴上方，∴y >0.显然(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线．∴所求曲线的方程为x 2＝8y (y ≠0)．忽略题设条件对变量的限制致误直线l ：y ＝k (x －5)(k ≠0)与圆O ：x 2＋y 2＝16相交于A ，B 两点，O 为圆心，当k 变化时，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．【错解】设M (x ，y )，易知直线恒过定点P (5,0)，再由OM ⊥MP ，得|OP |2＝|OM |2＋|MP |2，∴x 2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝25，整理得(x －52)2＋y 2＝254. 【错因分析】错解中未注意到点M 应在圆内，故所求的轨迹应为圆内部分，应对其加以条件限制．【防范措施】由曲线求方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致误．【正解】设M (x ，y )，易知直线恒过定点P (5,0)，再由OM ⊥MP ，得|OP |2＝|OM |2＋|MP |2，∴x 2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝25，整理得(x －52)2＋y 2＝254.∵点M 应在圆内，故所求的轨迹为圆内的部分．解方程组⎩⎨⎧(x －52)2＋y 2＝254，x 2＋y 2＝16得两曲线交点的横坐标为x ＝165，故所求轨迹方程为(x －52)2＋y 2＝254(0≤x ＜165)．1．曲线与方程的定义的实质是平面曲线的点集{M |p (M )}和方程f (x ，y )＝0的解集为{(x ，y )|f (x ，y )＝0}之间的一一对应关系．由曲线与方程的这一对应关系，既可以求出曲线的方程，又可以通过方程研究曲线的性质．2．求曲线方程的一般步骤为：(1)建系设点，(2)写集合(找条件)，(3)列方程，(4)化简，(5)证明(查缺补漏)．3．求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的．若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处等，即图形的形状、位置、大小都要加以说明、讨论等.1．已知圆C ：(x －2)2＋(y ＋1)2＝4及直线l ：x ＋2y －2＝0，则点M (4，－1)( )A．不在圆C上，但在直线l上B．在圆C上，但不在直线l上C．既在圆C上，也在直线l上D．既不在圆C上，也不在直线l上【解析】把M(4，－1)代入圆、直线方程时，均使方程成立，故点M既在圆C上，也在直线l上．【答案】 C2．方程(x－2)2＋(y＋2)2＝0表示的图形是()A．圆 B．两条直线C．一个点 D．两个点【解析】由(x－2)2＋(y＋2)2＝0得x＝2，y＝－2，故方程表示点(2，－2)．【答案】 C3．动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程为________．【解析】由题意P的轨迹是以(1，－2)为圆心，以3的长为半径的圆，其方程应为(x －1)2＋(y＋2)2＝9.【答案】(x－1)2＋(y＋2)2＝94．观察下表中的方程与曲线，判断它们有怎样的关系：序号方程曲线①y＝x②x＝y③x2＋y2＝1【解】①已知曲线只是方程所表示曲线的一部分；②方程所表示的曲线是已知曲线的一部分；③方程与曲线相对应.一、选择题1．曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是()A．(4,0)和(－1,0)B．(4,0)和(－2,0)C．(4,0)和(1,0) D．(4,0)和(2,0)【解析】在曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0中，令y＝0，则x2－3x－4＝0，∴x＝－1或x＝4.∴交点坐标为(－1,0)和(4,0)．【答案】 A2．(2013·蒙阴高二期末)方程(x2－4)(y2－4)＝0表示的图形是()A．两条直线B．四条直线C．两个点 D．四个点【解析】由(x2－4)(y2－4)＝0得(x＋2)(x－2)(y＋2)(y－2)＝0，所以x＋2＝0或x－2＝0或y＋2＝0或y－2＝0，表示四条直线．【答案】 B3．(2013·吉林高二检测)方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是()【解析】∵x＋|y－1|＝0，∴x≤0，应选B.【答案】 B4．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是()A．x－y－1＝0 B．x－y＋1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0【解析】与A、B两点距离相等的点在AB的垂直平分线上，即：k＝－1k AB＝－1且过AB的中点(3，－2)，∴轨迹方程为y＋2＝－(x－3)，即x＋y－1＝0.【答案】 C5．如图所示，图形与方程对应正确的是()【解析】 A 项不正确，因为x 2＋y 2＝1表示以原点为圆心，半径为1的圆，以方程x 2＋y 2＝1的解为坐标的点不都是曲线上的点，如(22，－22)适合方程x 2＋y 2＝1，但不在所给的曲线上；B 项不正确，理由同上，如点(－1,1)适合x 2－y 2＝0，但不在所给的曲线上；C 项不正确，因为曲线上的点的坐标不都是方程lg x ＋lg y ＝1的解；D 项正确．【答案】 D 二、填空题6．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的________条件．【解析】 “方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．【答案】必要不充分7．方程x －3·(x ＋y ＋1)＝0表示的几何图形是________．【解析】由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0x －3≥0或x －3＝0，即x ＋y ＋1＝0(x ≥3)或x ＝3. 【答案】一条射线和一条直线8．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．【解析】设动点P (x ，y )，依题意|P A |＝2|PB |，∴(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，化简得(x －2)2＋y 2＝4，方程表示半径为2的圆，因此图形的面积S ＝π· 22＝4π. 【答案】 4π三、解答题9．(2013·福州高二检测)已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M (m2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值．【解】 (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，而点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)若点M (m2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10所表示的曲线上，则(m2)2＋(－m －1)2＝10，解之得m ＝2或m ＝－185.10．在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称，且OP →·MN →＝4，求动点P 的轨迹方程．【解】由已知得M (0，y )，N (x ，－y )，∴MN →＝(x ，－2y )， ∴OP →·MN →＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2，依题意知，x 2－2y 2＝4，因此动点P 的轨迹方程为x 2－2y 2＝4.11．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【解】法一设点M 的坐标为(x ，y )，∵M 为线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1、l 2过点 P (2,4)，∴P A ⊥PB ，即k P A ·k PB ＝－1，而k P A ＝4－02－2x ＝21－x(x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0＝2－y1，∴21－x ·2－y1＝－1(x ≠1)，整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0. 综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二设点M 的坐标为(x ，y )，则A 、B 两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y )，连结PM . ∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |. 而|PM |＝(x －2)2＋(y －4)2， |AB |＝(2x )2＋(2y )2，∴2(x －2)2＋(y －4)2＝4x 2＋4y 2，化简，得x ＋2y －5＝0，即为所求的点M的轨迹方程.(教师用书独具)当k 为何值时，曲线xy ＋y ＋(k －5)x ＋2＝0和直线x －y －k ＝0的交点在第一象限？【自主解答】由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＋y ＋(k －5)x ＋2＝0，x －y －k ＝0得x 2－4x ＋2－k ＝0.若曲线的交点落在第一象限，则应满足⎩⎨⎧Δ＝42－4(2－k )≥0，x ＝2±k ＋2＞0，y ＝2±k ＋2－k ＞0，解得－2≤k ＜5－172.∴当－2≤k ＜5－172时，两曲线的交点在第一象限．已知曲线C ：y ＝－x 2＋mx －1，点A (3,0)，B (0,3)，求曲线C 与线段AB 有两个不同交点时m 的取值范围．【解】线段AB 所在的直线方程为x ＋y －3＝0(0≤x ≤3)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，y ＝－x 2＋mx －1，消去y ，得x 2－(m ＋1)x ＋4＝0.令f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋4，则f (x )＝0在[0,3]内有两个不同实数根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m ＋1)2－4×1×4＞0，0＜m ＋12＜3，f (0)＝4＞0，f (3)＝32－3(m ＋1)＋4≥0，解得3＜m ≤103.故所求m 的取值范围是3＜m ≤103.2．2椭圆2．2.1 椭圆及其标准方程(教师用书独具)●三维目标 1.知识与技能(1)了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程； (2)理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程． 2．过程与方法(1)让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想；(2)学会用运动变化的观点研究问题，提高运用坐标法解决几何问题的能力． 3．情感、态度与价值观(1)通过主动探究、合作学习，感受探索的乐趣与成功的喜悦；培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神．(2)通过椭圆知识的学习，进一步体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美，提高学生的审美情趣．●重点难点重点：椭圆定义和标准方程．难点：椭圆标准方程的推导过程．椭圆定义是通过它的形成过程进行定义的，揭示了椭圆的本质属性，也是椭圆方程建立的基石，因此给学生提供动手操作、合作学习的机会，通过实验使学生去探究椭圆的形成过程，进而顺理成章的可以推导出椭圆标准方程，以实现重、难点的化解与突破．(教师用书独具)●教学建议本节课宜采取的教学方法是“问题诱导—启发讨论—探索结果”以及“直观观察—归纳抽象—总结规律”的一种探究式教学方法，注重“引、思、探、练”的结合．引导学生改变学习方式，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围．学法方面，通过利用圆的定义及圆的方程的推导过程，从而启发椭圆的定义及椭圆的标准方程的推导，让学生体会到类比思想的应用；通过利用椭圆定义探索椭圆方程的过程，指导学生进一步理解数形结合思想，产生主动运用的意识；通过揭示由于椭圆位置的不确定所引起的分类讨论，进行分类讨论思想运用的指导．●教学流程创设问题情境，引出问题：按问题要求画出什么样的图形？⇒引导学生共同画图，观察、分析，画出的图形的特点与满足的要求，引出椭圆定义.⇒通过观察椭圆的形状，结合定义，引导学生求出椭圆的标准方程，理解参数a ，b ，c 的意义.⇒通过例1及其变式训练，使学生理解椭圆的定义，学会使用定义解决问题.⇒通过例2及互动探究，使学生掌握用待定系数法求椭圆方程.⇒探究求与椭圆有关的轨迹方程的方法，完成例3及其变式训练，从而解决如何求轨迹方程问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解椭圆标准方程的推导．2.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点、难点)椭圆的定义【问题导思】1．取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个什么图形？【提示】圆．2．如果把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F 1、F 2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？【提示】椭圆．3．在问题2中，移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？【提示】笔尖到两定点F1、F2的距离和等于常数(绳长)．把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的标准方程【问题导思】1．观察椭圆形状，你认为怎样建系才能使椭圆的方程简单？【提示】以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．2．在椭圆的标准方程中，a2和b2能相等吗？你能否根据椭圆的标准方程判定椭圆的焦点位置？【提示】不能相等．否则就表示圆而不是椭圆了．可以根据x2与y2的分母的大小判定椭圆的焦点位置．若x2项的分母大，则焦点在x轴上；若y2项的分母较大，则焦点在y 轴上．焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)焦点(－c,0)与(c,0)(0，－c)与(0，c) a，b，c的关系c2＝a2－b2求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)．【思路探究】 (1)焦点在x 轴上的椭圆的标准方程是怎样的？(2)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是怎样的？(3)若焦点位置不确定该怎么办？【自主解答】 (1)由于椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵2a ＝(5＋4)2＋(5－4)2＝10，∴a ＝5. 又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝10a 2＋1b 2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1.故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)法一 ①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a 2＋(－2)2b2＝1(－23)2a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2a2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝11a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5b 2＝15，因为a ＞b ＞0，所以无解．所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.法二设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝112m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝115n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.1．利用待定系数法求椭圆的标准方程：(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a ，b ，c 的等量关系；(4)求a ，b 的值，代入所设方程．2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m ＞0，n ＞0)．因为它包括焦点在x 轴上(m ＜n )或焦点在y 轴上(m ＞n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在x 轴上，且a ＝4，c ＝2； (2)经过点A (0,2)和B (12，3)．【解】 (1)a 2＝16，c 2＝4，∴b 2＝16－4＝12 且焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.(2)设所求椭圆的标准方程为Mx 2＋Ny 2＝1(M ＞0，N ＞0，M ≠N )． ∵椭圆经过A (0,2)和B (12，3)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ M ·0＋N ·4＝1M ·14＋N ·3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧M ＝1N ＝14.∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1.椭圆的定义及其应用设P 是椭圆x 225＋y 2754＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．【思路探究】 (1)由椭圆方程，你能写出|PF 1|＋|PF 2|与|F 1F 2|的大小吗？(2)在△F 1PF 2中，根据余弦定理可以得到|F 1F 2|、|PF 1|、|PF 2|之间的关系式吗？(3)怎样求△F 1PF 2的面积？【自主解答】由椭圆方程知，a 2＝25，b 2＝754，∴c 2＝254，∴c ＝52，2c ＝5.在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即25＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|.① 由椭圆的定义得10＝|PF 1|＋|PF 2|，即100＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|.② ②－①，得3|PF 1|·|PF 2|＝75，所以|PF 1|·|PF 2|＝25，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2534.1．椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a .(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．2．椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．在本例中，若把椭圆方程改为“x 24＋y 23＝1”，把∠F 1PF 2＝60°，改为“∠PF 1F 2＝90°”，其余条件不变，试求△PF 1F 2的面积．【解】椭圆方程x 24＋y 23＝1，知a ＝2，c ＝1，由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，且|F 1F 2|＝2，在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝90°.∴|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2.从而(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4，则|PF 1|＝32，因此S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|PF 1|＝32.故所求△PF 1F 2的面积为32.与椭圆有关的轨迹问题图2－2－1如图2－2－1所示，圆x 2＋y 2＝1上任意一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PP ′，P ′为垂足．M 为直线PP ′上一点，且|P ′M |＝λ|PP ′|(λ为大于零的常数)．当点P 在圆上运动时，点M 的轨迹是什么？为什么？【思路探究】 (1)本例适用什么方法求动点的轨迹方程？(2)所求轨迹一定是椭圆吗？【自主解答】设M (x ，y )，P (x 0，y 0)， ∵PP ′⊥x 轴，且|P ′M |＝λ|PP ′|， ∴x ＝x 0，y ＝λy 0，即x 0＝x ，y 0＝1λy .∵点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 20＋y 20＝1. 把x 0＝x ，y 0＝1λy 代入上式得x 2＋y 2λ2＝1. 当0＜λ＜1时，点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆；当λ＝1时，点M 的轨迹是圆；当λ＞1时，点M 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆．1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例所用方法为代入法．2．代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P (x ，y )与另一个已知曲线C ：F (x ，y )＝0上的动点Q (x 1，y 1)存在着某种联系，可以把点Q 的坐标用点P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线C 的方程 F (x ，y )＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．代入法的主要步骤：①设所求轨迹上任意一点P (x ，y )，相对应的已知曲线上的点设为Q (x 1，y 1)；②建立关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y )(※)③将(※)代入已知曲线方程化简就得所求轨迹方程．动点P 在y ＝2x 2＋1上移动，则P 点与Q (0，－1)连线中点的轨迹方程是什么？【解】设P (x 0，y 0)，PQ 的中点M (x ，y )则⎩⎨⎧x ＝x 02，y ＝y 0－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1. ∵P (x 0，y 0)在y ＝2x 2＋1上， ∴ 2(2x )2＋1＝2y ＋1， ∴y ＝4x 2.即PQ 中点的轨迹方程为：y ＝4x 2.忽略椭圆标准方程的隐含条件致误若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，求k 的取值范围．【错解】由⎩⎪⎨⎪⎧5－k ＞0，k －3＞0得3＜k ＜5.【错因分析】错误的原因是没有注意椭圆的标准方程中a ＞b 这个条件，当a ＝b 时，方程并不表示椭圆．【防范措施】椭圆标准方程中，分母都大于零且不相等，在解题时，不仅要注意分母都大于零，还要注意分母相等时该方程就变成了圆的方程．【正解】由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧5－k ＞0，k －3＞0，5－k ≠k －3，解得3＜k ＜5且k ≠4.1．求椭圆的标准方程常用待定系数法．首先，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，可用两种方法来解决问题．2．求轨迹方程的常用方法：(1)直接法当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件转换成x，y间的关系式，从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法．(2)定义法若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法．(3)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．1．到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是()A．椭圆 B．线段C．圆 D．以上都不对【解析】|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|＝4，∴点M的轨迹为线段F1F2.。

选修2-1圆锥曲线全章节

问题1：解析几何与坐标法. 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标
法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.
问题2：平面解析几何研究的两个基本问题. （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.
说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明. 另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程.
例2.已知一条直线l 和它上方的一个点F，点F到l 的距离是2. 一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l 的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.
x+2y－7=0. ①
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程. （1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐
标都是方程①的解；
（2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即 x1+2y1－7=0, x1=7－2y1.
点M1到A，B的距离分别是
所以 | M1A || M1B | 即点M在线段AB的垂直平分线上. 由(1)、(2)可知,方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
例3.已知曲线C的方程为 x 4 y2，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．
解：由 x 4 y2 ，得x2＋y2＝4，又x≥0，所以方程 x 4 y2 表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆,从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积 S 1 4 2
第二章圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
1.理解曲线与方程的概念、意义.（重点、难点） 2.了解数与形结合的基本思想.（难点）

高中数学第二章《圆锥曲线与方程》2.1圆锥曲线学案新人教版选修2-1

第2章圆锥曲线与方程2．1 圆锥曲线二、预习指导1．预习目标(1)认识用平面截圆锥面得到的各种曲线；(2)掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义；(3)会根据不同的已知条件，利用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹．2．预习提纲(1)查找有关轨迹的概念，回答下列问题：①平面内到线段两端点距离相等的点的轨迹是____________；②平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是____________；③空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是____________．(2)阅读教材选修4－1的71页到78页，教材选修2－1的25页到27页写下列空格：①一个平面截一个圆锥面，改变平面的位置，可得到如下图形____________，____________，____________，____________，____________；②平面内到两个定点F1，F2的距离_____等于常数(__________)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的__________；③平面内到两个定点F1，F2的距离____________等于常数(______________)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；④平面内到一个定点F和一条定直线l(________________)的距离________的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的_________．(3)阅读课本例1，动手实践借助细绳画椭圆，结合课本27页习题2．1第3题，动手实践借助拉链画双曲线，并说明理由，以此加深对椭圆、双曲线定义的认识．3．典型例题例1 动点P(x，y)与两个定点A(－2，0)、B(2，0)构成的三角形周长为10．(1)试证：动点P在一个椭圆上运动；(2)写出这个椭圆的焦点坐标．分析：找动点P满足的条件，利用圆锥曲线的定义．解：(1)由题意得：PA+PB+AB=10，AB=4，故PA+PB=6>4．由椭圆的定义得：动点P在以A(－2，0)、B(2，0)为焦点的椭圆上运动．(2)由(1)得：这个椭圆的两个焦点坐标为A(－2，0)、B(2，0)．点评：在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义中，条件都有特定的限制，如在具体问题中不加以判断，会造成错解．如本题中PA+PB=6>4是十分必要的．在椭圆的定义中，PF1+PF2等于常数，常数大于F1F2的判断是必不可少的．若常数等于F 1F 2，则轨迹是线段F 1F 2；若常数小于F 1F 2，则不表示任何图形．在双曲线的定义中，注意两个限制：一是常数小于F 1F 2，二是差的绝对值，两者缺一不可．若PF 1－PF 2是正常数且常数小于F 1F 2，则点的轨迹是双曲线以F 2为焦点的一支；若PF 2－PF 1是正常数且常数小于F 1F 2，则点的轨迹是双曲线以F 1为焦点的一支；若|PF 1－PF 2|是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是两条射线；若PF 1－PF 2是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是以F 2为端点与F 1F 2同向的射线；若PF 2－PF 1是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是以F 1为端点与F 1F 2反向的射线．在抛物线的定义中，当点F 在直线l 上时，则点P 的轨迹是过点F 与直线l 垂直的直线．例2 已知圆()221:31C x y ++=和圆()222:39C x y -+=，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，试问动圆圆心M 在怎样的曲线上运动?分析：两圆外切，则圆心距等于半径之和．解：设动圆的半径为R ，则由动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切得：1213MC R MC R =+⎧⎨=+⎩ 消去R 得：MC 2－MC 1=2，故可知动点M 到两定点C 1，C 2的距离之差是常数2．由双曲线的定义得：动圆圆心M 在双曲线的一支(左边的一支)上运动．点评：本题由于动点M 到两定点C 1，C 2的距离之差是常数，而不是差的绝对值为常数，因此其轨迹只能是双曲线的一支．这一点在应用过程中要特别注意．4．自我检测(1)已知点A (1，0)、B (－1，0)，动点P 满足：PA +PB =4，则动点P 的轨迹是__ ．(2)已知点A (－2，0)、B (2，0)，动点M 满足：|MA －MB |=2，则动点M 的轨迹是 ____ ，其两个焦点分别为．(3)已知定点A (1，0)和定直线l ：x = －3，若点N 到定点A 与到定直线l 的距离相等，则点N 的轨迹是，其焦点为，准线为．(4)已知点A (－2，0)、B (2，0)，动点M 满足：|MA －MB |=4，则动点M 的轨迹是 _．(5)在△ABC 中，B (0，－3)，C (0，3)，且AB ，BC ，AC 成等差数列，试证：点A 在以B 、C 为焦点的椭圆上运动．三、课后巩固练习A 组1．用合适的选项填写下列轨迹 ( 要求只填写序号 )①直线；②圆；③椭圆；④双曲线；⑤双曲线的一支；⑥抛物线；⑦线段(1)动点P 到两定点F 1(－4，0)、F 2(4，0)的距离和是8，则动点P 的轨迹为_______； (2)已知椭圆的焦点为F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得PQ =PF 2，那么动点Q 的轨迹是_________；(3)动点P 到直线x +4=0的距离减去它到M (2，0)的距离之差等于2，则动点P 的轨迹是___________；(4)经过定圆外一定点，并且与定圆外切的动圆圆心的轨迹是__________．2．已知O (0，0)、A0)为平面内两个定点，动点P 满足：PO +PA =2，求动点P 的轨迹．3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且b ，a ，c 成等差数列，b ≥c ．已知顶点B 、C 的坐标为B (－1，0)，C (－1，0)．试证：点A 在以B 、C 为焦点的左半椭圆上运动．4．在△ABC 中，A 为动点，(,0)(,0)(0)22a a B C a ->、为定点，且满足：1s i n s i n s i n 2C B A -=，试问动点A 在怎样的曲线上运动?B 组5．圆O 1与圆O 2的半径分别为1和2，O 1O 2=4，动圆与圆O 1内切而与圆O 2外切，则动圆圆心的轨迹是_____________________．6．已知定点A (－3，3)和定直线l ：x =－3，若点N 到定点A 与到定直线l 的距离相等，则点N 的轨迹是．7．已知圆的方程为22100x y +=，点A 的坐标为(－6，0)，M 是圆O 上的任意一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，试证明：点P 在以A 、O 为焦点的椭圆上运动．C 组8．已知A(0，7)、B(0，－7)、C(12，2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，记椭圆的另一个焦点为F ，证明：点F 在以A(0，7)、B(0，－7)为焦点的双曲线的一支上运动．9．已知两个同心圆，其半径分别为R ，r (R >r )，AB 为小圆的一条定直径，求证：以大圆切线为准线，且过A 、B 两点的抛物线的焦点F 在以A 、B 为焦点的椭圆上．10．若一个动点P (x ，y )到定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)距离之和为定值m (m ≥0)，试讨论点P 的轨迹．题号我们身边的圆锥曲线圆锥曲线的发现确实是一个伟大的发现．在笛卡尔直角坐标系中，这些曲线的方程是二次方程，所以圆锥曲线又叫做二次曲线．对于二次曲线的价值大概还没有人会估计得过高．在我们的实际生活中处处都有圆锥曲线．例如，我们的地球绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳系的其他行星的运行轨道都是椭圆．这个事实是由开普勒第一定律确定的，之所以沿着椭圆轨道运动，是因为每一个行星在每一个瞬间都有不超过某一个值的速度．事实证明，假如这个速度过大了，运动就会沿着抛物线或双曲线轨道运行．相对于一个静止的物体，并按照万有引力定律受它吸引的物体运动，不可能有任何其他的轨道．因此，二次曲线实际上是以我们的宇宙为基础的．又如，如果让抛物线绕其轴旋转，就得到一个叫做旋转抛物面的曲面．在抛物面的轴上，有一个具有美妙性质的焦点，任何一条通过该点的直线由抛物面上反射出来之后，在指向上都平行于抛物面的轴．而这意味着如果把探照灯做成抛物面的形状，并且把灯泡放在焦点上，那么从抛物面上反射回来的所有光线就形成一束平行光束．这显然是一个很大的优点，因为正是这样一束光线在空间中，甚至于在离光源距离相当大的情况下，很少扩散．当然，实际上我们得不到理想的平行光束，因为灯泡不是一个点，但对于实用的目的来说，只要接近于这样的光束就够了．天文望远镜上的反射镜也是利用抛物面的形状制作的．它的作用刚好和探照灯的作用相反：探照灯的反射镜把光线反射到空间，天文望远镜的反射面则把来自宇宙的光线聚焦到自己的焦点上．只要用放大镜组瞄准这个焦点就行了，这样，我们就会得到聚焦到其光线的那个星球的信息，这比肉眼观察所能提供的信息要多得多．那条不穿过双曲线的对称轴叫做双曲线的虚轴．如果使双曲线绕这条轴旋转，那么，形成的曲面(这样的曲面称为单叶双曲面)也有许多实际用处．单叶双曲面是直纹曲面．上面有两组母直线族，各组内母线彼此不相交，而与另一组母线永远相交．正是这种性质在技术中得到了应用．例如，用直立木杆造水塔，如果把这些杆垂直地放置，那就只能得到一个很不牢固的建筑物，他会因为非常小的负荷而损坏．如果立杆时，使他们构成一个单叶双曲面(就是两组母线族)，并使他们的交点处连接在一起，就会得到一个非常轻巧而又非常坚固的建筑物．许多化工厂或热电厂的冷却塔就是利用了这个原理．在尝试解决古代名题的过程中，所发现的各种美妙曲线远不限于螺线，蚌线和圆锥曲线．可是，不管找到了多少美妙的曲线，他们还是解决不了古代名题．要知道，正像我们还记得的那样，要求不只是解出这些名题，而是除了直尺和圆规外，不准利用其他任何工具．而仅仅利用这两种工具能否解决其中任何一个问题呢?这个问题该如何回答呢?如果这个答案存在的话，对这个问题给与肯定的回答，原则上显得比给与否定的回答更容易，只不过需要尝试才能找到这个答案．经过或多或少接连不断的寻找，这种题解通常可以找到．在题解不存在的情况下，事情则难办的多．这时，只停留在普通的几何直观上，几乎不可能得到所需要的答案．在这种情况下，可以对问题进行精确的代数分析，以便归结为完成某些代数方程的不可能性证明解答这个问题的不可能性．这样，就要求助于代数！2．1 圆锥曲线自我检测(1)以A,B为焦点的椭圆 (2) 以A,B为焦点的双曲线，A(-2,0)、B(2,0) (3)抛物线，A(1,0) ，l：x= -3 (4) 以A,B为端点的两条射线(5)因为AB，BC，AC成等差数列，所以AB+AC =2BC=12>BC，因此点A在以B、C为焦点的椭圆上运动．课后巩固练习A组1．(1)⑦；(2)②；(3)⑥；(4)⑤ 2．以O,A为焦点的椭圆3．证明略 4．点A在以B，C为焦点的双曲线的右支上B组5．以O1，O2为焦点的双曲线的一支 6．过点A且垂直于l的直线7．8．证明略C组9．证明略10．当m<2时，轨迹不存在；当m=2是，轨迹是以F1F2为端点的线段；当m>2时，轨迹是以F1F2为焦点的椭圆。

高中数学选修21《圆锥曲线及方程》知识点讲义

第二章圆锥曲线与方程一、曲线与方程的定义：设曲线 C，方程 F x, y =0，知足以下两个条件：①曲线 C上一点的坐标x, y 知足 F x, y =0；②方程F x, y=0解x, y都在曲线C上 ..则曲线C 称是方程F x, y =0的曲线，方程F x, y =0是曲线C的方程二、求曲线方程的两种种类：1、已知曲线求方程；用待定系数法2、未知曲线求方程①设动点x, y ;②成立等量关系；③用含 x, y的式子取代等量关系；④化简；别出现不等价状况⑤证明；高中不要求椭圆一、椭圆及其标准方程1、画法2、定义： P PF 1 PF 22a, F 1 F 2 2a3、方程22或②y2 2①x2y 2 1 a b 0 2x 2 1 a b 0 abab二、几何性质：x 2+ y 21 a b 0a2b21、范围： x a, yb.2、对称性：对于 x 、 y 、原点 O 对称 .3、极点 A 1 a,0 , A 2 a,0 , B 1 0, b , B 2 0, b .4、a, b, c 之间的关系： a 2b 2c 2cb 25、离心率： ea1a 2e 1e 0越圆 , e 1越扁扩展：①与椭圆x2+ y 2 =1有同样焦点的椭圆方程为x 2 + y 2 =1 m b 2 a 2b 2a 2m b 2 m②有同样离心率的椭圆为x 2y 21 k0 或 y 2x 2 1 k 0ka 2kb 2ka 2kb 2③椭圆上的点到焦点的最小距离是 a c ，最大距离是 a c.④P 为椭圆上一动点，当点 P 为短轴端点时， F 1PF 2最大 .⑤AB 为过焦点 F 的弦，则 VABF 2的周长为 4a.⑥直线 y kx b 与圆锥曲线订交于 A x 1, y 1 , B x 2 , y 2 两点，则当直线的斜率存在时，弦长l 为 :l1 k 2 x 1 x 21 k 2x 1 x 2 24x 1 x 21 1y 1 y 22或当 k 存在且不为 0时， l12 y 1y 21k 24 y 1 y 2k⑥当椭圆的焦点地点不确准时，可设椭圆的方程为Ax 2 By 21A 0,B 0.1、画法2、定义： P PF 1 PF 2 2a, F 1F 22a3、方程：x 2y 2y 2 x 2① a 2 b21 a, b 0 或② a2b 21 a,b 0二、几何性质：x2 y 222 1 a,b 0 ab1、范围： x a, yR2、对称性：对于 x 轴、 y 轴、原点 O 对称 .3、极点： A 1 a,0 , A 2 a,0实轴 A 1 A 2 = 2a ，虚轴 B 1B 2 2b.4、 a 、 b 、 c 之间的关系： c 2 a 2 b 2 .c1b 2e1 5、离心率 : e2a ae 越大，张口越阔6、渐近线： yb x y 2 x 2 1的渐近线为 y a xaa 2b 2bx 2y 2x 2 y 2 m m 0 有同样离心率 .说明： 2b 21与 2 2 aa b1、定义： P PF且 F ld P l2、标准方程及几何性质标准方程y2 2 px p 0y2 2 px p 0x2 2 py p 0x2 2 py p 0简图焦点p,0p、p、p2,000222准线x p p p px2y y222范围x0x 0y 0y 0对称性x轴y 轴极点0, 0离心率 e 1说明：① P越大，张口越阔.②抛物线无穷向外延展，但它无渐进线.扩展：1、设 Q点分别位于抛物线张口之内，抛物线上，以及张口之外，问过Q点且和抛物线只有一个交点的直线有几条？答：①当 Q位于抛物线张口之内， 1个交点的直线只有一条主轴或其平行线.②当 Q位于抛物线上，1个交点的直线有两条，即主轴或其平行线，和切线.③当 Q位于抛物线外，1个交点的直线有3条，分别是主轴或其平行线，两条切线.2、过焦点的弦长如图，AB AF BFpx Ap 2x B2 p x A x B。

苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程2.1含答案

§2.1圆锥曲线学习目标 1.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.2.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.3.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．知识点一椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考1如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案椭圆思考2图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案PF1＋PF2是常数(大于F1F2)．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点F1或F2，拉开或闭拢拉链，拉链头M经过的点可画出一条曲线，思考下列问题：思考1图中动点M的几何性质是什么？答案|MF1－MF2|为一个正常数．思考2若MF1－MF2＝F1F2，则动点M的轨迹是什么？答案以F2为端点，向F2右边延伸的射线．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，定点C和定直线EF，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点D的轨迹．则动点D的轨迹是什么？其满足什么条件？答案抛物线，动点D到定点C和定直线EF距离相等，且C不在EF上．梳理平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)2．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)3．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)类型一圆锥曲线定义的理解例 1 平面内动点 M 到两点 F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离之和为 3m ，问 m 取何值时 M 的轨迹是椭圆？解 ∵MF 1＋MF 2＝3m ，∴M 到两定点的距离之和为常数，当 3m 大于 F 1F 2 时，由椭圆定义知，M 的轨迹为椭圆， ∴3m ＞F 1F 2＝3－(－3)＝6，∴m ＞2，∴当 m ＞2 时，M 的轨迹是椭圆．反思与感悟在深刻理解圆锥曲线的定义的过程中，一定要注意定义中的约束条件(1)在椭圆中，和为定值且大于 F 1F 2.(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于 F 1F 2. (3)在抛物线中，点 F 不在定直线上．跟踪训练 1 (1)命题甲：动点 P 到两定点 A ，B 的距离之和 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，a 为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．(2)动点 P 到两个定点 A (－2,0)，B(2,0)构成的三角形的周长是 10，则点 P 的轨迹是________．答案 (1)必要不充分 (2)椭圆解析 (1)若 P 点轨迹是椭圆，则 PA ＋PB ＝2a (a ＞0，且为常数)，∴甲是乙的必要条件．反之，若 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，且是常数)，不能推出 P 点轨迹是椭圆．因为仅当 2a ＞AB 时，P 点轨迹才是椭圆；而当 2a ＝AB 时，P 点轨迹是线段 AB ；当 2a ＜AB时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．(2)由题意知 P A ＋PB ＋AB ＝10，又 AB ＝4，∴PA ＋PB ＝6＞4.∴点 P 的轨迹是椭圆．类型二圆锥曲线轨迹的探究例 2 如图，已知动圆 C 与圆 F 1，F 2 均外切(圆 F 1 与圆 F 2 相离)，试问：动点 C 的轨迹是什么曲线？解设动圆 C 的半径为 R ，圆 F 1，F 2 的半径分别为 r 1，r 2，则 CF 1＝R ＋r 1，CF 2＝R ＋r 2. 所以 CF 1－CF 2＝r 1－r 2.跟踪训练 3 在△ABC 中，BC 固定，顶点 A 移动．设 BC ＝m ，且|sin C －sin B |＝ sin A ，则解因为|sin C －sin B |＝ sin A ，由正弦定理可得|AB －AC |＝ BC ＝ m ，且 m <BC ，又 CF 1－CF 2＝r 1－r 2<F 1F 2，故动圆圆心 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 2 的一支．引申探究若把原题中“外切”换成“内切”再求解，结论如何？解动点 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 1 的一支．反思与感悟紧扣圆锥曲线的定义，写出动点满足的条件，然后得到相应的轨迹．跟踪训练 2 已知动点 P 到点 A (－3,0)的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，试判断动点 P 的轨迹．解因点 P 到 A 的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，所以点 P 到点 A 的距离等于它到直线 x ＝3 的距离．因为点 A 不在直线 x ＝3 上，所以点 P 的轨迹是抛物线．类型三圆锥曲线定义的应用例 3 在△ABC 中，B (－6,0)，C (0,8)，且 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列．(1)顶点 A 的轨迹是什么？ (2)指出轨迹的焦点和焦距．解 (1)由 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，得 sin B ＋sin C ＝2sin A ．由正弦定理可得 AB ＋AC＝2BC .又 BC ＝10，所以 AB ＋AC ＝20，且 20>BC ，所以点 A 的轨迹是椭圆(除去直线 BC 与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为 B ，C ，焦距为 10.反思与感悟利用圆锥曲线的定义可以判定动点的轨迹，在判定时要注意定义本身的限制条件，如得到 MF 1＋MF 2＝2a (a 为大于零的常数)时，还需要看 2a 与 F 1F 2 的大小，只有 2a >F 1F 2 时，所求轨迹才是椭圆．若得到MF 1－MF 2＝2a (0<2a <F 1F 2)，轨迹仅为双曲线的一支．除了圆锥曲线定义本身的限制条件外，还要注意题目中的隐含条件．12顶点 A 的轨迹是什么？121 1 12 2 2所以点 A 的轨迹是双曲线(除去双曲线与 BC 的两交点)．F FF1．设F1，2是两个定点，1F2＝6，动点M满足MF1＋MF2＝10，则动点M的轨迹是________．答案椭圆解析因MF1＋MF2＝10>F1F2＝6，由椭圆的定义得动点的轨迹是椭圆．2．若F1，2是两个定点且动点P1满足PF1－PF2＝1，又F1F2＝3，则动点P的轨迹是________．答案双曲线靠近点F2的一支解析因PF1－PF2＝1<F1F2＝3，故由双曲线定义判断，动点P的轨迹是双曲线靠近点F2的一支．3．到定点(1,0)和定直线x＝－1距离相等的点的轨迹是________．答案抛物线解析依据抛物线定义可得．4．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是________．答案两条射线解析据题|MF1－MF2|＝F1F2，得动点M的轨迹是两条射线．5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹是________．答案抛物线解析由正方体的性质可知，点P到C1D1的距离为PC1，故动点P到定点C1和到定直线BC的距离相等，且点C1不在直线BC上，符合抛物线的定义，所以动点P的轨迹是抛物线．1．若MF1＋MF2＝2a(2a>F1F2)，则动点M的轨迹是椭圆．若点M在椭圆上，则MF1＋MF2＝2a.2．若|MF1－MF2|＝2a(0<2a<F1F2)，则动点M的轨迹为双曲线．若动点M在双曲线上，则|MF1－MF2|＝2a.3．抛物线定义中包含三个定值，分别为一个定点，一条定直线及一个确定的比值．2”一、填空题1．平面内到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离的和等于6的点P的轨迹是________．答案线段F1F2解析依题意得PF1＋PF2＝6＝F1F2，故动点P的轨迹是线段F1F2.2．到定点(0,7)和到定直线y＝7的距离相等的点的轨迹是________．答案直线解析因定点(0,7)在定直线y＝7上，故符合条件的点的轨迹是直线．3．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内，动点P的轨迹为双曲线的是________．(填序号)①|PF1－PF2|＝3；②|PF1－PF2|＝4；③|PF1－PF2|＝5；④PF1－PF2＝±4.答案①解析根据双曲线定义知P到F1，F2的距离之差的绝对值要小于F1F2.4．到定点A(2,0)和B(4,0)的距离之差为2的点的轨迹是________．答案一条射线解析要注意两点：一是“差”而不是“差的绝对值；二是“常数”等于两定点间的距离．5．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．答案以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))解析如图，AD＝AE＝8.BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))．6．已知点M(x，y)的坐标满足(x－1)2＋(y－1)2－(x＋3)2＋(y＋3)2＝±4，则动点M的轨迹是________．答案双曲线解析点(x，y)到(1,1)点及到(－3，－3)点的距离之差的绝对值为4，而(1,1)与(－3，－3)距3 10．已知点 A (－1,0)，B (1,0)．曲线 C 上任意一点 P 满足P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0.则曲线解析由P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0，得|P A |＋|PB |＝4，且 4>AB .| 离为 4 2，由定义知动点 M 的轨迹是双曲线．7．下列说法中正确的有________．(填序号)①已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 12 的点的轨迹是椭圆； ②已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆；③到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)两点的距离之和等于点 M (10，0)到 F 1，F 2 的距离之和的点的轨迹是椭圆；④到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．答案 ③解析椭圆是到两个定点 F 1，F 2 的距离之和等于常数(大于 F 1F 2)的点的轨迹，应特别注意椭圆的定义的应用．①中 F 1F 2＝12，故到 F 1，F 2 两点的距离之和为常数 12 的点的轨迹是线段 F 1F 2. ②中点到 F 1，F 2 两点的距离之和 8 小于 F 1F 2，故这样的点不存在．③中点 M (10,0)到 F 1，F 2 两点的距离之和为 (10＋6)2＋02＋ (10－6)2＋02＝20>F 1F 2＝12，故③中点的轨迹是椭圆．④中点的轨迹是线段 F 1F 2 的垂直平分线．故正确的是③.8．若动点 P 到定点 F (1,1)和到直线 l ：x ＋y －4＝0 的距离相等，则动点 P 的轨迹是________．答案直线解析设动点 P 的坐标为(x ，y )，则 (x －1)2＋(y －1)2＝|3x ＋y －4|.整理，得 x －3y ＋2＝0，10所以动点 P 的轨迹为直线．9．平面内有两个定点 F 1，F 2 及动点 P ，设命题甲：PF 1－PF 2|是非零常数，命题乙：动点P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．(“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案必要不充分解析由双曲线的定义可知，若动点 P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则|PF 1－PF 2| 是非零常数，反之则不成立．→ → → →C 的轨迹是______．答案椭圆→ → → →→ →故曲线 C 的轨迹是椭圆．(解析把轨迹方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|写成x2＋y2＝，∴动点M到原点的＝BD，MC＝CE，于是MB＋MC＝BD＋CE＝(BD＋CE)＝×39＝26>24＝BC. 11．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心M的轨迹为________．答案椭圆解析设动圆M的半径为r.因为动圆M与定圆B内切，所以MB＝8－r.又动圆M过定点A，MA＝r，所以MA＋MB＝8＞AB＝6，故动圆圆心M的轨迹是椭圆．二、解答题12．点M到点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，试确定点M的轨迹．解由题意得点M与点F的距离等于它到直线y－2＝0的距离，且点F不在直线l上，所以点M的轨迹是抛物线．13．如图所示，已知点P为圆R：x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹．解由题意，得MP＝MQ，RP＝2a.MR－MQ＝MR－MP＝RP＝2a<RQ＝2c.∴点M的轨迹是以R，Q为两焦点，2a为实轴长的双曲线的右支．三、探究与拓展14．已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是__________．答案抛物线|3x＋4y－12|5距离与到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∵原点不在直线3x＋4y－12＝0上，∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．△15．在ABC中，BC＝24，AC，AB边上的中线长之和等于△39，求ABC的重心的轨迹．解如图所示，以BC的中点O为坐标原点，线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy.设M为△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知M B 222222333333根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为两焦点，26为实轴长的椭圆去掉点(－13,0)，(13,0)．。

版高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程的概念课件新人教B版选修2-1.pptx

答案解析
13
反思与感悟
解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性” 是否都满足，并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.
15
跟踪训练1 设方程 f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，
②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，
则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.
而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距
离的积是常数k，点M1是曲线上的点.由①②可知，xy＝±k是与两条坐标
轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程.
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反思与感悟
解答
∵12＋(－2－1)2＝10，( )22＋(3－1)2＝6≠10， ∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q( ，32)不在此曲线上.
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梳理
(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法.曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上. 定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏. (2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.
解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.

(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章圆锥曲线与方程2.2.1

数学选修2-1
第二章圆锥曲线与方程
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
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椭圆的标准方程
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
c2＝a2－b2
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第二章圆锥曲线与方程
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椭圆标准方程中注意的几个问题 (1)a2＝c2＋b2，a>b>0，a最大，其中a，b，c构成如图的直角三角形，我们把它称为“特征三角形”．
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由题意知点M在线段CQ上，
从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.
又点M在AQ的垂直平分线上，
则|MA|＝|MQ|，∴|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.
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人教A版-数学-选修2-1-第二章-圆锥曲线与方程-2.1曲线与方程-第一课时-课件-32页文档资料

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曲线与方程的概念
思考 4 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0 的解，能否说 f(x，y)＝0 是曲线 C 的方程？
思考 5 判断下列命题是否正确． (1)以坐标原点为圆心，半径为 r 的圆的方程是 y＝ r2－x2； (2)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线 l 的方程为|x|＝2.
规律方法 (1)判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．从而建立方程的解与曲线上点的坐标的一一对应关系． (2)定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的准则，缺一不可．因此，在证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须证明两个条件同时成立．
思考 2 到两坐标轴距离相等的点都在直线 y＝x 上，对吗？
思考 3 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？
答 y＝±x. 理由：在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点 M 的坐标(x0，y0) 满足 y0＝x0 或 y0＝－x0，即(x0，y0)是方程 y＝±x 的解；反之，如果(x0，y0)是方程 y＝x 或 y＝－x 的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．
解析 ∵题设命题只说明“曲线C上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0的解”，并未指出“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”， ∴A，B，C都是假命题，如曲线C：平面直角坐标系一、三象限角平分线上的点，与方程f(x，y)＝x2－y2＝0，满足题设条件，但却不满足选项A，B，C的结论，根据逆否命题是原命题的等价命题知，D是正确的．答案 D
11
利用定义理解曲线的方程与方程的曲线

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程课件

(1)曲线上_点__的__坐__标__都是这个方程的解 (2)以这个方程的_解_为_坐__标__的__点_都是曲线上的点
方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线
正确理解曲线与方程的概念 (1)定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．
x－1≥0， x＋y－1＝0
或x－1≥0， x－1＝0，
即 x＋y－1＝0(x≥1)或 x＝1，
故方程表示直线 x＝1 或射线 x＋y－1＝0(x≥1)．
(2)由(x－2)2＋ y2－4＝0 可得
x－2＝0， y2－4＝0，
即yx＝＝22，
或xy＝＝－2，2，
答案： (x－1)2＋y2＝1
4．到两坐标轴距离相等的点满足的方程是x－y＝0吗？为什么？
解析：显然不对(只具备条件(2)，而不具备条件(1))．这是因为，到两坐标轴距离相等的点的轨迹是两条直线：l1：x－ y＝0和l2：x＋y＝0，直线l1上的点的坐标都是方程x－y＝0的解，但直线l2上的点(除原点外)的坐标不是方程x－y＝0的解，方程x－y＝0只是直线l1的方程，它不是所求轨迹的方程.
第二章圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
自主学习新知突破
1．结合实例，了解曲线与方程的对应关系． 2．了解求曲线方程的步骤． 3．会求简单曲线的方程．
在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程中．
[问题1] 直线y＝－x上任一点M到两坐标轴的距离相等吗？
[提示1] 相等．
[问题2] [提示2] [问题3] [提示3]

高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程(1)(精编版)

第二章圆锥曲线与方程目录§2.1求曲线的方程（新授课)§2.2.1椭圆的标准方程（新授课）§2.2.2椭圆的简单几何性质（新授课）§2.3.1双曲线的标准方程（新授课）§2.3.2双曲线的简单几何性质（新授课）§2.4.1抛物线及其标准方程（新授课）§2.4.1抛物线的简单几何性质（新授课）直线与圆锥曲线的位置关系（专题课）第二章圆锥曲线与方程单元小结（复习课）第二章圆锥曲线单元检测题（一）第二章圆锥曲线单元检测题（一）参考答案第二章圆锥曲线单元检测题（二）第二章圆锥曲线单元检测题（二）参考答案第二章圆锥曲线单元检测题（三）第二章圆锥曲线单元检测题（三）参考答案第二章圆锥曲线与方程一、课程目标在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上,在本模块中,学生将学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步体会数形结合的思想。

二、学习目标：（1）、圆锥曲线：①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。

③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。

④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。

⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。

三、本章知识结构框图：四、课时分配本章教学时间约需9课时，具体分配如下：2.1 曲线与方程约1课时2.2 椭圆约2课时2.3 双曲线约2课时2.4 抛物线约2课时直线与圆锥曲线的位置关系约1课时小结约1课时2.1 求曲线的轨迹方程（新授课）一、教学目标知识与技能：结合已经学过的曲线及方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，了解两条曲线交点的求法；能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，并初步学会通过方程来研究曲线的性质。

人教A版数学选修21-第二章-圆锥曲线与方程-21曲线方程第二课时PPT课件

说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.
求曲线（图形）的方程步骤： (1)建系意一点M的坐标； (2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)}
(3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；
曲线上。
例3、已知线段AB, B点的坐标（3,0），A点在曲线 y=2x2+1上运动，求AB的中点M的轨迹方程.
解；设AB的中点M的坐标为（x，y），
又设A（x1，y1），则
x
=
x1+ 3 2
y
=
y1
2
∴
x1 y1
= =
2 2
x y
-
3
y
10
y=2x2+1
8
A 6
点A（x1，y1）在曲线y=x2+3上，则
依据曲线求方程的过程
1．解析几何与坐标法：我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科. 2．平面解析几何研究的主要问题：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质.
∴ x2y7 0
综上所述,线段 AB 的垂直平分线的方程是 x 2y 7 0 .
总结求曲线方程的一般步骤：
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标
(2)列出在限制条件p的点M集合P={M|p(M)} (3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0. (4)化方程f(x,y)=0为最简形式。 (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在

《圆锥曲线与方程》人教版高二数学选修2-1PPT课件(第2.1.1课时)

l （1）上点的坐标都是方程x-y=0的解 l （2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在上
∴说直线 l 的方程是 x y 0 , 又说方程 x y 0 表示的直线是 l .
y l
1
O1
x
课前导入
请同学们独立思考，迅速回答
思考2：画出函数y=2x2(1 x 2)的图象C，考察曲线C与方程2x2 y=0 ①的关系？曲线
新知探究
例2.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
思考1：我们有哪些可以求直线方程的方法？
y
B
0
x
A
新知探究
例2.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
法一: 运用直线方程的知识来求.
解:∵
kAB
7 3
(1) (1)
即x1y1 k,即 x1 • y1 k
而
x1
,
y1
正是点M
到
1
纵轴、横轴的距离，
因此点M1到两条直线的距离的积是常数k,
点M1是曲线上的点. 由(1),(2)可知，xy k是与两条坐标轴的
距离的积为常数k(k 0)的点的轨迹方程.
y
M
o
x
新知探究
请同学们思考，必要的可以进行小组讨论，统一答案，派代表回答证明已知曲线的方程的方法和步骤： 1.设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是方程f(x0,y0)=0的解. 2.设(x0,y0)是方程f(x,y)=0的解，证明点M(x0,y0)在曲线C上.
• ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解； • ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 • 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。