高中物理竞赛：振动与波
物理竞赛讲义十四振动、波
当振源按简谐振动的规律振动时，在媒质中所形成的波称为简谐波。
任何复杂形式的机械波，都是由各种不同频率的简谐波叠加而成的。
简谐波的波动方程和它的解——波函数 在播的传播方向上，平衡位置为x 的质点在t 时刻偏离平衡位置的位移的函数形式——波函数y （x 、t ）。
对于平面简谐波的波函数，可以表述为下面三种形式：])(2c o s [])(2c o s [])(c o s [000),(φλνπφλπφϖ+±=+±=+±=xt A x Tt A v x t A y t x 机械波是机械振动在媒质中的传播，而媒质中的每一个质点都在做受迫振动，因而对这些物理量应当分别从波动和振动两个方面去理解。
在坐标系建立后，波函数y （x 、t ）描述的是：在播的传播方向上，平衡位置距离坐标原点为x 处的媒质质点，在t 时刻偏离平衡位置的位移。
波（振）幅A ，从波动角度讲，描述机械波的强度，对于横波，是波峰的高度或是波谷的深度；对于纵波，是从平衡位置到疏部（或密部）中心的距离。
从振动角度讲，是媒质质点做受迫振动的振幅。
在不考虑能量损失的情况下，平面简谐波的波幅由振源决定。
波长λ，从波动角度讲，在同一传播方向上，两个相邻的具有相同振动状态（位相相差2π）的媒质质点的平衡位置之间的距离，从振动角度讲，媒质中的某一质点在完成一次全振动时，这个质点的振动状态在波传播方向上传播的距离。
当波源相对媒质静止不动时，波长由媒质和振源的频率决定。
周期T ，从波动角度讲，媒质中的某一质点的振动状态在波传播方向上传播一个波长的距离所用的时间，从振动角度讲，媒质中的某一质点完成一次全振动所用的时间。
频率ν，从波动角度讲，单位时间通过媒质中的某一质点的完整波的个数，从振动角度讲，媒质中的某一质点在单位时间内完成的全振动的个数。
圆频率ω，从波动角度讲，2π秒内通过媒质中的某一质点的完整波的个数，从振动角度讲，媒质中的某一质点在2π秒内完成的全振动的个数。
2022-2023年高中物理竞赛 振动和波-1课件
cos(t )
复摆运动学方程
简谐振动,定义如下
（1）动力学定义：凡是受弹性力或准弹性力作用
而引起的运动,是简谐振动.也是凡是运动
微分方程为的运动 是简谐振动
d2x 2x 0
dt 2
（2）运动学定义：一个物理量随时间的变化规
律 为
Acos(t )
其中 由系统本身性质决定.则这个物理
Ep
1 kx2 2
1 kA2 2
cos2 (t
)
1 kA2[1 cos 2(t )]
4
v A sin( t )
Ek
1 mv2 2
1 m 2 A2 sin( t )
2
1 kA2[1 cos 2(t )]
4
E
Ep
Ek
1 kA2 2
1 m 2 A2
2
简谐振子总机械能守恒
(1/2)kA2 Ep
o
E x
Ek
Ep Ek
Tt
简谐振动过程中, Ek , E p都随时间变化,
动能增大时势能减小,其总机械能不变
例. 弹簧振子.弹簧原长L,质量ms ,劲度系数k, 振子质量m,计算弹簧振子系统的固有角频率.
解、若弹簧的质量不可 忽略,可以用能量概念近 似计算弹簧质量对系统 固有角频率的影响.
以弹簧自由伸长处为原点建立坐标ox.假设弹簧质 量分布及其形变沿ox方向是均匀的.
距弹簧固定端l处取一元段dl,振子发生位移x,则dl
段的位移为 l x ,速度为 l x ,动能
L
L
dEk '
1 2
( ms L
dl)( l L
x)2
1 2
ms L3
高二物理竞赛课件：振动和波动
dt
23
t 0 ， v 3 (m / s) ， a 2 / 2(m / s 2 )
2）振动曲线：
x
A
o
t
-A
T
振幅：旋转矢量的模A
圆频率：旋转矢量的角速度 位相：旋转矢量与Ox轴的夹角t+
y
M
A
t
M0
P
O
x
x
4．简谐振动的速度和加速度
x Acos(t )
v dx A sin(t ) A cos(t )
dt
2
a dv A 2 cos(t ) A 2 cos(t )
dt
➢ 速度和加速度作与位移同频率的简谐振动
➢ vm A ， am A 2
➢ 速度位相比位移位相超前/2；加速度位相比 位移位相超前。
2A ωAA
a v
x
OO
t
A
T
例 9-1 已知某质点的振动曲线如图所示，求： （1）质点的振动表达式； （2） t 0 时质点的速度和加速度。
x(cm)
4
时间按余弦（或正弦）规律随时间变化：
x Acos(t )
则物体的运动为简谐振动。
2．描述简谐振动的物理量
x Acos(t )
2.1 周期和频率
T 2 , 1
T 2
2.2 振幅 A
2.3 位相与初相
t 时刻的位相: t+ 初相:
3．简谐振动的表示
1）振动表达式：x A cos(t )
§9-1 简谐振动的描述 §9-2 简谐振动的动力学特征 §9-3 简谐振动的合成 *§9-4 阻尼振动 受迫振动 共振
1．简谐振动的定义
1.1 机械振动 物体在一定位置附近作来回往复的运动。
高中物理竞赛—振动与波篇(基础版)45简谐运动的应用(共21张PPT)
A1 A2
x2 A12
y2 A22
1
合振动的轨迹是的圆
讨论6
2
1
2k 2
1
k 0，1，2，
2 1 2k k 0，1，2，
则为任一椭圆方程
综上所述：两个频率相同 的互相垂直的简谐振动合 成后，合振动在一直线上 或者在椭圆上进行当两个 分振动的振幅相等时，椭 圆轨道就成为圆。
五、两个垂直方向不同频率简谐运动的合成
单位时 间内振 动加强 或减弱 的次数 叫拍频
x(t)
拍的应用：
t •用音叉的振动来校准乐器；
•利用拍的规律测量超声波的频率； •在无线电技术中，可以用来测定
2 1
无线电波频率以及调制
四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成
某质点同时参与两个同频率的互相垂直方向的简谐运动
x A1 cos( t 1 ) y A2 cos( t 2 )
复习
单摆和复摆 简谐运动的能量
E＝ 1 m A2 2＝ 1 kA2
2
2
14－6 简谐运动的合成
一、两个同方向同频率简谐运动的合成
某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动
x1 A1 cos t 1 令 x2 A2 cos t 2
Asin A1 sin1 A2 sin2 Acos A1 cos1 A2 cos2
合振动 x x1 x2
x＝Acos cos t Asin sin t
＝Acos t
1、应用解析法
x x1 x2
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
＝A1 cos t 1 ＋A2 cos t 2
A1 cos1 A2 cos 2 cos t A1 sin1 A2 sin 2 sin t
全国高中物理竞赛专题六 机械振动与机械波
专题六 机械振动和机械波【基本内容】 一、机械振动1、物体在它的平衡位置附近所作的往复运动．如声源的振动、钟摆的摆动等．2、产生振动的条件：有恢复力的作用且所受阻力足够小．3、回复力：物体离开平衡位置时所受到的指向平衡位置的力． 二、简谐振动1、简谐振动：如果一个物体振动的位移按余弦（或正弦）函数的规律时间变化,称这种运动为简谐振动．2、周期与频率：物体进行一次全振动（振动物体运动状态完全重复一次）所需要的时间,称为振动的周期T ；单位时间的全振动次数称为频率ν,2π秒内的全振动次数称为圆频率ω．3、振幅A ：质点离开平衡位置的最大位移的绝对值,称为振幅．4、相位：振动方程中的t ωϕ+称为相位．5、简谐振动的振动曲线：振动位移时间的变化关系曲线称为振动曲线．如图所示．6、旋转矢量表示法如图所示,当矢量OM 绕其始点（坐标原点）以角速度ω做匀速转动时,其末端在x 轴上的投影点P 的运动简谐振动．三、简谐振动的能量与共振1、以弹簧振子为例,简谐振动的能量为 222212121kA kx mv E E E P K =+=+=2、阻尼振动：在阻尼作用下振幅逐渐减少的振动称为阻尼振动,其振动方程为0cos()t x A e t βωϕ-=+式中, β为阻尼因子,ω为振动的圆频率,它与固有圆频率0ω和阻尼因子β关系为ω=3、受迫振动：在周期性外力作用下的振动,称为受迫振动,在稳定情况下,受迫振动是简谐振动,振动频率等于外力的频率,与振动系统的固有频率无关,其振幅为22'22'220(2)()h A βωωω=+- 当强迫力的频率等于系统固有频率时,系统将有最大的振动振幅,这种现象称为共振．强迫力的频率偏离系统的固有频率越大,振幅则越小． 四、两个简谐振动的合成有如下四种形式的合成：1、同方向、同频率的简谐振动合成,合成的结果仍然是与分振动同方向、同频率的简谐振动,合振动的振幅和相分别为A =11221122sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+2、同方向、频率相近的简谐振动的合成,合成的结果不再是简谐振动,合振动的振幅随时间缓慢地周期性变化,称为“拍”的频率．拍的频率12ννν=-3、相互垂直的同频率简谐振动的合成,合成运动的轨迹方程是22221212212122cos()sin ()x y xy A A A A ϕϕϕϕ+--=- 4、相互垂直、频率之比为整数比的两简谐振动合成,这时是有一定规律的稳定闭合曲线,形成李萨如图形．五、机械波1、机械振动在弹性媒质中的传播,称为机械波．当质点振动方向和波的传播方向垂直时,称为横波；当振动方向与波的传播方向一致时,称为纵波．2、波的周期（频率）、波长和波速一个完整波通过媒质中某点所需的时间,称为波的周期,在波源和观察（接收）者相对媒质静止时,波的周期就是各媒质元的振动周期,用符号T 表示．单位时间内通过媒质中某点的完整波的数目,称为波的频率,波的频率就是各媒质元的振动频率,用符号ν表示,周期和频率反映了波在时间上的周期性,有关系式 1T ν=．沿波的传播方向上相位差为2π的两点间的距离,一个完整波形的长度,称为波的波长,用符号λ表示,波长反映了波在空间的周期性．单位时间内某振动状态传播的距离,称为波速,又称相速,用符号u 表示,上述各量之间有如下关系u Tλλν==．3、波面和波线波动过程中,介质中振动相位相同的点连成的面称为波阵面,简称波面,而某一时刻,最前面的波面,称为该时刻的波前．沿波的传播方向所作的有向曲线称为波射线,简称波线．六、平面简谐波若波源和波线上各质点都作简谐振动的连续波称为简谐波,简谐波是最基本的波,各种复杂的波都可以看成许多不同频率的简谐波的合成．在波动中,每一个质点都在进行振动,对一个波的完整的描述,应该是给出波动中任一质点的振动方程,这种方程称为波函数,平面简谐在理想的无吸收的均匀无限大介质中传播的波函数表达式为2cos ()cos 2()cos ()x t x y A t A A x ut uT πωϕπϕϕλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦式中,“-”代表沿轴正方向传播的波,“+”代表沿轴反方向传播的波． 七、波的能量、能流和能流密度波的能量包括媒质中质元的振动动能和因媒质形变产生的弹性势能,可以采用能量密度表示,即媒质单位体积内的波动能量,称为波的能量密度,用ω表示,有222sin dE x A t dV u ωρωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭考虑一个周期内能量的平均值,称为平均能量,用ω表示,则有220112T dt A T ωωρω==⎰伴随波的传播,波的能量也在传播,将单位时间通过传播方向上单位面积的(平均)能量,称为平均能流密度,又称波的强度．用符号I 表示,有 I u ω= 八、波的干涉和衍射1、惠更斯原理在波的传播过程中,波阵面上的一点都可以看做是发射子波的波源,在其后的任一时刻,这些子波的包迹就成为新的波阵面,这就是惠更斯原理．2、波的叠加原理几列波在同一介质空间相遇时,每一列波都将独立地保持自已原有的特性,并不会因其他波的存在而改变,在它们重叠区域内,一点的振动是各列单独在该点引起振动的矢量和,波的这种性质称为波的叠加原理．3、波的干涉满足相干条件的波在空间相遇叠加时,某些点的振动始终加强,另一些点的振动始终减弱,在空间形成一个稳定的分布,这种现象称为波的干涉,两束相干波的合振幅为A =其中21212()r r πϕϕϕλ∆=---4、波的衍射波在传播中遇到障碍物时改变传播方向,传到障碍“阴影”区域的现象叫做波的衍射．发生明显衍射现象的条件是：障碍物或孔的尺寸比波长小,或者跟波长相差不多． 九、驻波由两列同振幅,相向传播的相干波叠加而成的波,称为驻波,相应的驻波方程为 22cos cos 2y A x ππνλ=十、声波弹性媒质中,各质点振动的传播过程称为“声波”,它是一种机械波．起源于发声体的、振动频率在2020000Hz 的声波能引起人的听觉,又称可听声波,频率在41020Hz - 的机械波称为次声波,频率在48210210Hz ⨯⨯ 的机械波称为超声波．1、声波的反射、干涉和衍射声波遇到障碍物而改变原来传播方向的现象称为声波的反射．围绕发生的音叉转一周听到忽强忽弱的声音,这种现象实际上就是声波的干涉． 由于声波的波长在17cm 17m 之间,声波很容易绕过障碍物进行传播．我们把这一现象叫声波的衍射．2、声音的共鸣共鸣就声音的共振现象． 3乐音与噪音好听、悦耳的声音叫乐音,是由周期性振动的声源发出的．嘈杂刺耳的声音为噪音,是由非周期性振动的声源产生的．4、音调、响度和音品是乐音的三要素 音调：基音频率的高低,基频高则称音调高．响度：声音强弱的主观描述,跟人、声强（单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的能量）等有关．音品：俗称音色,它反映了不同声源发出的声音具有不同的特色,音品由声音所包含的语言的强弱和频率决定． 十一、多普勒效应当波源、观察者相对传播波的介质运动时,观察接受到的频率偏离波源频率的现象,称为多普勒现象,有如下关系RR sR u u νννν±=式中,R ν为观察接收的频率,依赖于观察者相对于媒质的速率(R v )和波源相对于媒质的速率(s v ),s v 为波源的频率,u 为波速．【例题】例1 如图所示，弹簧下端固定在水平桌面上，当质量为1m 的A 物体连接在弹簧的上端并保持静止时，弹簧被压缩了长度a 。
高二物理竞赛振动和波动课件
可以求得波在两介质分界面处折射波的方向问题， 即得到折射定律。
波的叠加原理
☆
几列波可以保持各自的特点通过同一媒质， 好像没有其他波一样；
在它们相重叠的区域内， 每一点的振动都是各个波单独 在该点产生的振动的矢量和。
波的干涉
☆
波的干涉现象
由频率相同、振动方向相同、相位相同 或相位差恒定的两个波源所发出的波，
在空间相遇，出现某些点振动始终加强， 某些点振动始终减弱或完全抵消
的现象称为波的干涉现象。
能产生干涉现象的波叫做相干波， 相应的波源叫做相干波源。
波的相干条件
频率相同、 振动方向相同、 相位相同或相位差恒定
反映了能量的传播过程
能量密度 单位体积媒质的波动能量
☆
w E 2 A2 sin 2 t x
V
u
在一个周期内的平均值 w 1 T wdt 1 2 A2
叫做平均能量密度
T0
2
平均能流密度
单位时间通过垂直于传播方向的单位面积的平均能流
I u 2 A2 / 2 A2
能流密度是矢量，方向与波速方向相同， 它的大小表示波的强度。
y Acost x / u Acos2 t / T x / Acos t 2 x /
“－”表示波沿x 轴正方向传播；“十”表示波x沿 轴负方向传播
波函数的物理意义
☆
它描述了波线上所有质点 离开自己平衡位置的位移随时间的变化规律。
y(t t, x ut) y(t, x) 表示了波的传播。
波长 同一波线上相位差为 2 的两相邻质点之间的距离，
即一个完整波形的长度。它反映波在空间上的周期性。
高二物理竞赛振动和波动课件
了解波的衍射。
比位移的相位超前 。
加速度的相位比速度的相位超前
，
3．掌握简谐振动的基本特征，
单位时间内振动的次数称为频率。
自由运动的物体所组成的振动系统，
这样的振动称为简谐振动。
绳的上端固定，这样的系统叫做单摆。
10．理解机械波产生的条件。
了解波的能量传播特征及能流、能流密度的概念。
，
并理解其物理意义。
M mgLsin 7．了解不同频、相互垂直的两个简谐振动的合成结果。
能够作简谐振动的物体，称为谐振子。 绳的上端固定，这样的系统叫做单摆。
ft
另一端连结一个可以视为质点的
m
理解惠更斯原理和波的叠加原理。
(1)同方向、同频率的两简谐振动的合成，仍为简谐振动。
加速度的相位比速度的相位超前
圆频率 k / m 周期 T 2 / 2 m / k
单摆
一个可以看做质点的小球系于不可伸长、 质量可以忽略不计的细绳的下端，
绳的上端固定，这样的系统叫做单摆。
如果物体振动的位移随时间按正(余)弦函数规律变化 了解波的衍射。 单位时间内振动的次数称为频率。
L T
加速度的相位比速度的相位超前
☆
能够作简谐振动的物体，称为谐振子。
这个物体连同对它施加回复力的物体组成振动系统。
弹簧振子
k
f
一个质量可忽略不计的弹簧一端固定，
m
另一端连结一个可以视为质点的 自由运动的物体所组成的振动系统， 便是一个弹簧振子。
x
O
x
f
d2x kx ma m
m 2 x
dt2
d2 dt
x
2
高中物理竞赛练习5 振动和波
高中物理竞赛练习5 振动和波1．为使飞船飞行时产生人造重力，将宇宙飞船的两部分A和B分开(m1：m2=1：2，相距为L．辅助发动机使它们绕二者连线上的0点旋转，且0点与A、B的距离之比LA：LB=2：1．已知安装在B部分宇航员座舱内的摆钟走得比在地球上走得慢一半，求飞船两部分旋转的周期．2．小车固定着一个摆，摆的摆动周期为0．5 s．小车先在斜面上运动，然后在平面上运动，斜面和平面的夹角为45o．假定：当小车在斜面上和平面上运动时，不会受到摩擦阻力，摆的运动对车的运动没有任何实际影响(小车重，摆轻． (1当小车在斜面上运动时，摆的摆动周期是多少? (2当小车在平面上运动时，摆的摆动周期是多少?3．如图所示，弹簧振子系统中M＝2kg，k＝100 N／m，t＝0时，xo＝10 cm；vo＝0，在h＝1 cm高处有一质量为m=0．4 kg的小物体下落，当M沿x轴负向通过平衡位置时，小物体刚好落在M上，且无反弹，试求此后两物体一起运动的规律．4．如图所示，质量均为m的两物体用细绳相连悬挂于劲度系数分别为k1、k2的两个弹簧上，求绳断后剩余物体的运动规律．5．如图所示，质量为m的圆盘，悬于劲度系数为k的弹簧下端，在盘上方高h=mg／k处有一质量也为m的圆环，由静止开始自由下落，并与盘发生完全非弹性碰撞，碰撞时间很短．求圆环开始下落到圆盘向下运动至最低点共经历多长时间?6．沿地球的直径挖一隧道．求物体从一端自由释放到达另一端所需的时间．设地球密度均匀，地球半径R=6．4×l06m，g=9．8m／s2．7．同一媒质中有两个平面简谐波，波源作同频率、同方向、同振幅振动，两波相向传播，波长为8 m，波传播方向上，A、B两点相距20 m，一波在A处波峰时，另一波在B处位相为－π/2，求AB连线上因干涉而静止的点的位置．8．蝙蝠在洞穴中飞来飞去，能非常有效地用超声波脉冲导航，假如蝙蝠发出的超声波频率为39 kHz，当它以1/40声速的速度朝表面平直的岩壁飞去时，试求它听到的从岩壁反射回来的超声波频率？9．在图O处为波源，向左右两边发射振幅为A、频率为f 的简谐波，波长为λ，当波遇到波密介质界面BC时将发生全反射，反射面与波源0之同的距离为d＝1.25λ．试求波源0两边合成波的波函数．10．不能发生形变的天花板上悬挂着一只轻弹簧，弹簧下端挂着的一铁块处于静止状态，这时弹簧伸长量为L，在离铁块的正下方1．5L处有一弹簧枪口，从枪口射出质量等于铁块质量的橡皮泥做成的子弹，初速度v＝3．子弹击中铁块和铁块一起振动起来，求：(1系统振动周期；(2铁块从击中开始向上运动的最大位移；(3铁块从开始振动到第一次达到最大速度所需时间．11．将一根长为100多厘米的均匀弦线，沿水平的x轴放置，拉紧并使两端固定．现对离固定的左端25 cm处[取该处为原点0，如图(a所示]的弦上一点施加一个沿垂直于弦线方向(即y轴方向的扰动，其位移随时间的变化规律如图(b所示．该扰动将沿弦线传播而形成波(孤立的脉冲波，试在图 (a中作出波形图．(已知该波在弦线中的传播速度为2．5 cm／s，且波在传播和反射过程中无能量损失12．正在报警的警钟每隔0．5 s响一声，并一声接一声地响着．有一个人坐在以60 km／h的速度向警钟方向行驶的火车中，问这个人在5 min内听到几次响声?(取空气声速为340 m／s13．某一作简谐运动的振子，从最大正向位移处开始计时，经1 s回复力的即时功率达到最大值，且在振动过程中回复力的即时功率数值(绝对值最大的两位置间的距离为40 cm，振子质量m为1 kg．(1试作出振子的振动图线； (2求出t从零开始到第一次回复力的即时功率达到最大值时振子的动能Ek和这一过程中振子受到的冲量．。
高中物理竞赛机械振动和机械波知识点讲解
高中物理竞赛机械振动和机械波知识点讲解知识点击1．简谐运动的描述和基本模型⑴简谐振动的描述：当一质点，或一物体的质心偏离其平衡位置x ，且其所受合力F 满足(0)F kx k =->，故得2ka x x m ω=-=-，k mω= 则该物体将在其平衡位置附近作简谐振动。
⑵简谐运动的能量：一个弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，即222111222E m kx kA υ=+=∑⑶简谐运动的周期：如果能证明一个物体受的合外力F k x =-∑，那么这个物体一定做简谐运动，而且振动的周期22mT kππω==，式中m 是振动物体的质量。
⑷弹簧振子：恒力对弹簧振子的作用：只要m 和k 都相同，则弹簧振子的振动周期T 就是相同的，这就是说，一个振动方向上的恒力一般不会改变振动的周期。
多振子系统：如果在一个振动系统中有不止一个振子，那么我们一般要找振动系统的等效质量。
悬点不固定的弹簧振子：如果弹簧振子是有加速度的，那么在研究振子的运动时应加上惯性力．⑸单摆及等效摆：单摆的运动在摆角小于50时可近似地看做是一个简谐运动，振动的周期为2lT gπ=，在一些“异型单摆”中，l g 和的含义及值会发生变化。
（6）同方向、同频率简谐振动的合成：若有两个同方向的简谐振动，它们的圆频率都是ω，振幅分别为A 1和A 2，初相分别为1ϕ和2ϕ，则它们的运动学方程分别为111cos()x A t ωϕ=+ 222cos()x A t ωϕ=+因振动是同方向的，所以这两个简谐振动在任一时刻的合位移x 仍应在同一直线上，而且等于这两个分振动位移的代数和，即12x x x =+由旋转矢量法，可求得合振动的运动学方程为cos()x A t ωϕ=+这表明，合振动仍是简谐振动，它的圆频率与分振动的圆频率相同，而其合振幅为221212212cos()A A A A A ϕϕ=++-合振动的初相满足11221122sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+2．机械波：（1）机械波的描述：如果有一列波沿x 方向传播，振源的振动方程为y=Acos ωt ，波的传播速度为υ，那么在离振源x 远处一个质点的振动方程便是cos ()x y A t ωυ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，在此方程中有两个自变量：t 和x ，当t 不变时，这个方程描写某一时刻波上各点相对平衡位置的位移；当x 不变时，这个方程就是波中某一点的振动方程．（2）简谐波的波动方程：简谐振动在均匀、无吸收的弹性介质中传播所形成的波叫做平面简谐波。
振动和波高中的物理公式及答题技巧
振动和波高中的物理公式及答题技巧振动和波高中的物理公式1.简谐振动F=-kx {F:回复力，k:比例系数，x:位移，负号表示F的方向与x始终反向}2.单摆周期T=2π(l/g)1/2 {l:摆长(m)，g:当地重力加速度值，成立条件:摆角θ100;lr｝3.受迫振动频率特点：f=f驱动力4.发生共振条件:f驱动力=f固，A=max，共振的防止和应用5.机械波、横波、纵波6.波速v=s/t=λf=λ/T{波传播过程中，一个周期向前传播一个波长;波速大小由介质本身所决定}7.声波的波速(在空气中)0℃：332m/s;20℃:344m/s;30℃:349m/s;(声波是纵波)8.波发生明显衍射(波绕过障碍物或孔继续传播)条件：障碍物或孔的尺寸比波长小，或者相差不大9.波的干涉条件：两列波频率相同(相差恒定、振幅相近、振动方向相同)10.多普勒效应:由于波源与观测者间的相互运动，导致波源发射频率与接收频率不同{相互接近，接收频率增大，反之，减小高考物理答题技巧物理学是十分严谨的科学，这一特征决定了考生答题的书写必须符合物理专业术语，例如书本上“探究加速度和力的关系”的实验，需要做平衡摩擦力工作，实际情况不太可能方刚好全部平衡摩擦力，将导致实验得到的a-F图像可能有两种，其中一种是木板倾角太小(没有平衡摩擦力)、另一种是木板倾角太大(过平衡摩擦力)，答题书写时不能笼统地写成“没有平衡摩擦力”。
物理学的逻辑美要求考生书写必须有条理，书写最好有中文、英文字母及必要的图形标注。
书写出所应用的物理学概念、规律，列出相应的方程式，标注于①②③…式，代入数据及数据计算可以在草稿纸上完成(不需写在答题卡上)，最后需书写答案，有些考生不注重书写答案，就有可能漏答速度的方向、电荷的正负、气体是吸热还是放热等要素，造成失分。
高考物理怎样复习好高考物理复习要认真钻研大纲、全面系统复习(1)高考物理大纲对照，即将考试大纲中的考试目标与教学大纲中的教学目标进行对照。
高中物理竞赛 第5部分《振动和波》教案 新人教版
第五部分 振动和波 第一讲 基本知识介绍《振动和波》的竞赛考纲和高考要求有很大的不同，必须做一些相对详细的补充。
一、简谐运动1、简谐运动定义：∑F = －k x①凡是所受合力和位移满足①式的质点，均可称之为谐振子，如弹簧振子、小角度单摆等。
谐振子的加速度：a= －mk x2、简谐运动的方程回避高等数学工具，我们可以将简谐运动看成匀速圆周运动在某一条直线上的投影运动（以下均看在x 方向的投影），圆周运动的半径即为简谐运动的振幅A 。
依据：∑F x = －m ω2Acos θ= －m ω2x对于一个给定的匀速圆周运动，m 、ω是恒定不变的，可以令：m ω2= k这样，以上两式就符合了简谐运动的定义式①。
所以，x 方向的位移、速度、加速度就是简谐运动的相关规律。
从图1不难得出——位移方程：x= Acos(ωt + φ) ②速度方程：v= －ωAsin(ωt +φ) ③加速度方程：a = －ω2A cos(ωt +φ) ④相关名词：(ωt +φ)称相位，φ称初相。
运动学参量的相互关系：a = －ω2xA = 202)v (x ω+ tg φ= －x v ω 3、简谐运动的合成a 、同方向、同频率振动合成。
两个振动x 1 = A 1cos(ωt +φ1)和x 2 = A 2cos(ωt +φ2) 合成，可令合振动x = Acos(ωt +φ) ，由于x = x 1 + x 2 ，解得A = )cos(A A 2A A 12212221φ-φ++ ，φ= arctg 22112211cos A cos A sin A sin A φ+φφ+φ显然，当φ2－φ1 = 2k π时（k = 0，±1，±2，…），合振幅A 最大，当φ2－φ1 = （2k + 1）π时（k = 0，±1，±2，…），合振幅最小。
b 、方向垂直、同频率振动合成。
当质点同时参与两个垂直的振动x = A 1cos(ωt + φ1)和y = A 2cos(ωt + φ2)时，这两个振动方程事实上已经构成了质点在二维空间运动的轨迹参数方程，消去参数t 后，得一般形式的轨迹方程为212A x +222A y －221A A xy cos(φ2－φ1) = sin 2(φ2－φ1) 显然，当φ2－φ1 = 2k π时（k = 0，±1，±2，…），有y = 12A A x ，轨迹为直线，合运动仍为简谐运动；当φ2－φ1 = （2k + 1）π时（k = 0，±1，±2，…），有212A x +222A y = 1 ，轨迹为椭圆，合运动不再是简谐运动；当φ2－φ1取其它值，轨迹将更为复杂，称“李萨如图形”，不是简谐运动。
物理竞赛--振动和波复习
1 cos 0
3
cos
2
1(m)
tan 0
Asin 0 A cos0
3
0 3或4 3 据题意 0 3
27
[解法二] 因为x x1 x2 cos t 3 cos( t 2)
x
12
3
2
1 cos t
12 32123来自32sint
2 1 cos t 3 sin t
0
作t=0时刻矢量图
AArr22
ArAr
20
x2
100
rr AA11
x
x1
x
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 20 10 )
tan 0
A s in 0 Acos 0
A1 sin10 A1 cos 10
A2 sin20 A2 cos 20
注意:
Asin0 0
Acos0
0 (0,
xB 5
5cm
2;
5 4
5
Acos(
2
)
Asin
振动方程为: x 5
2
cos(
4
t
5 4
)cm
v x
t 6s
t 4s
5
2
4
sin(4
t
5 4
)
vA v0 5
2
4
sin
5 4
A
B
o
x
5 cm s1
4
t0
t 2s
习题集p50题2. 如图为用余弦函数表示的一质
点作谐振动曲线, 振动圆频率为
E1212kkAx22mEp1022ckoA12s2k2cA(o2s02t(120mt)02 A) 2
高中物理竞赛讲义：振动和波
专题八 振动和波【扩展知识】1．参考圆可以证明，做匀速圆周运动的质点在其直径上的投影的运动，是以圆心为平衡位置的简谐运动。
通常称这样的圆为参考圆。
2. 简谐运动的运动方程及速度、加速度的瞬时表达式振动方程：x =A cos(ωt +φ).速度表达式： v =-ωA sin(ωt +φ).加速度表达式：a =-ω2A cos(ωt +φ).3. 简谐运动的周期和能量振动的周期：T =2πkm . 振动的能量：E =21mv 2+21kx 2=21kA 2. 4．多普勒效应 设v 为声速，v s 为振源的速度，v 0是观察者速度，f 0为声音实际频率，f 为相对于观察者的频率.（1）声源向观察者：s v v v f f -=0;（2）声源背观察者：sv v v f f +=0; （3）观察者向声源：v v v f f 00+=;（4）观察者背声源：v v v f f 00-=; （5）两者相向：s v v v v f f -+=00; （6）两者相背：sv v v v f f +-=00. 5.平面简谐波的振动方程 设波沿 x 轴正方向传播，波源在原点O 处，其振动方程为y = A cos(ωt +φ).x 轴上任何一点P （平衡位置坐标为x ）的振动比O 点滞后v x t =',因此P 点的振动方程为 y = A cos 〔ω(t –t ˊ) +φ〕= A cos 〔ω(t –vx ) +φ〕. 6．乐音与噪音乐音的三要素：音调、响度和音品。
音调：乐音由一些不同频率的简谐波组成，频率最低的简谐波称为基音。
音调由基音频率的高低决定，基音频率高的乐音音调高。
响度：响度是声音强弱的主观描述，跟人的感觉和声强（单位时间内通过垂直于声波传播方向上的单位面积的能量）有关。
音品：音品反映出不同声源、发出的声音具有不同的特色，音品由声音的强弱和频率决定。
【典型例题】例题1．简谐运动的判断并计算周期假设沿地球直径开凿一“隧道”，且地球视作一密度ρ=5.5×103kg/m3的均匀球体。
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高中物理竞赛：振动与波一、知识网络与概要1.机械振动(1)弹簧振子,简谐运动,简谐运动的振幅、周期和频率,简谐运动的位移—时间图象.(2)单摆,在小振幅条件下单摆做简谐运动,周期公式.(3)振动中的能量转化.(4)自由振动和受迫振动,受迫振动的振动频率,共振及其常见的应用.2.机械波(1)振动在介质中的传播——波,横波和纵波,横波的图象,波长、频率和波速的关系.(2)波的叠加,波的干涉、衍射现象. (3)声波、超声波及其应用. (4)多普勒效应.二、巩固：夯实基础1.机械振动的意义：物体(或物体的一部分)在某一中心位置两侧所做的往复运动，叫机械振动.回复力：使偏离平衡位置的振动物体回到平衡位置的力，叫回复力.回复力总是指向平衡位置，它是根据作用效果命名的，类似于向心力.振动物体所受的回复力可能是物体所受的合外力，也可能是物体所受的某一个力的分力.2.描述振动的物理量(1)位移x ：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段表示振动位移，是矢量.(2)振幅A ：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量.表示振动的强弱.(3)周期T 和频率f ：物体完成一次全振动所需的时间叫周期，而频率则等于单位时间内完成全振动的次数.它们是表示振动快慢的物理量.二者互为倒数关系：T=f1. 当Ｔ和f 是由振动系统本身的性质决定时(非受迫振动)，则叫做固有周期和固有频率.3.简谐运动：物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动.(1)受力特征：回复力F=-kx.(2)运动特征：加速度a=-kx/m ，方向与位移方向相反，总指向平衡位置.简谐运动是一种变加速运动.在平衡位置时，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大.判断一个振动是否为简谐运动，依据就是看它是否满足上述受力特征或运动特征.(3)振动能量：对于两种典型的简谐运动——单摆和弹簧振子，其振动能量与振幅有关，振幅越大，能量越大.简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能守恒.（4）物体做简谐运动时，其位移、回复力、加速度、速度等矢量都随时间做周期性变化，它们的变化周期就是简谐运动的周期T.物体的动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为21T. 4.单摆：（1）周期公式：T=2πgl 其中摆长l 指悬点到小球重心的距离，重力加速度为单摆所在处的测量值.（2）单摆的等时性：在振幅很小的条件下，单摆的振动周期跟振幅无关（单摆的振动周期跟振子的质量也没有关系）.（3）单摆的应用：A.计时器.（摆钟是靠调整摆长而改变周期，使摆钟与标准时间同步）B.测重力加速度：g=224Tl . 5.简谐运动的位移—时间图象如图所示为一弹簧振子做简谐运动的图象.它反映了振子的位移随时间变化的规律，而其轨迹并非正弦曲线.6.受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动.做受迫振动的物体，它的周期或频率等于驱动力的周期或频率，而与物体的固有周期或频率无关.7.共振：做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大,当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象.8、机械波的产生：的条件有两个：一是要有作为波源的机械振动，二是要有能够传播机械振动的弹性介质。
有机械波必有机械振动，有机械振动不一定有机械波. 但是，已经形成的波跟波源无关，在波源停止振动时仍会继续传播，直到机械能耗尽后停止.9、横波和纵波：质点的振动方向与波的传播方向垂直的叫横波.凸起部分叫波峰，凹下部分叫波谷.质点的振动方向与波的传播方向在同一直线上的叫纵波.质点分布密的叫密部，分布疏的叫疏部.10、描述机械波的物理量(1)波长λ：两个相邻的、在振动过程中对平衡位置的位移总是相等的质点间的距离叫波长.(2)频率f：波的频率由波源决定，在任何介质中频率不变.(3)波速v：单位时间内振动向外传播的距离.波速与波长和频率的关系：v=λ f. 波的频率由波源决定,波速大小由介质决定.11、机械波的特点：(1)每一质点都以它的平衡位置为中心做简谐运动；后一质点的振动总是落后于带动它的前一质点的振动.(2)波传播的只是运动形式(振动)和振动能量，介质中的质点并不随波迁移.12、声波：一切振动着发声的物体叫声源.声源的振动在介质中形成纵波.频率为20 Hz 到20 000 Hz 的声波能引起听觉.频率低于20 Hz的声波为次声波，声波具有反射、干涉、衍射等波的特有现象.13、如图所示为一横波的图象.它反映了在波传播的过程中，某一时刻介质中各质点的位移在空间的分布.简谐波的图象为正弦(或余弦)曲线。
根据机械波的传播规律，利用该图象可以得出以下的判定：(1)介质中质点的振幅A、波长λ以及该时刻各质点的位移和加速度的方向.(2)根据波的传播方向确定该时刻各质点的振动方向,画出在Δt前或后的波形图象.(3)根据某一质点的振动方向确定波的传播方向.14、波的叠加：几列波相遇时，每列波都能够保持各自的状态继续传播而不互相干扰.只是在重叠的区域里，任一质点的总位移等于各列波分别引起的位移的矢量和.15、衍射：波绕过障碍物继续传播的现象.产生明显衍射现象的条件是：障碍物或孔的尺寸比波长小或与波长相差不多.16、干涉：频率相同的两列波叠加，使某些区域的振动加强，使某些区域的振动减弱，并且振动加强和振动减弱的区域相互间隔的现象.产生稳定的干涉现象的必要条件：两列波的频率相同.干涉和衍射是波所特有的现象.波同时还可以发生反射，如回声.17、多普勒效应：由于波源和观察者之间的相对运动，使观察者感到频率发生变化的现象，叫做多普勒效应.当波源与观察者有相对运动时，如果二者相互接近，观察者接收到的频率增大；如果二者远离，观察者接收到的频率减小.多普勒效应是所有波动过程共有的特征.根据声波的多普勒效应可以测定车辆行驶的速度；根据光波的多普勒效应可以判断遥远天体相对地球的运行速度.三、重点热点透析1、 单摆的周期的使用：T=2πg l 是实验中总结出来的.单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大回复力越大，加速度(gsin θ)越大.由于摆球的轨迹是圆弧，所以除最高点外，摆球的回复力并不等于合外力.在有些振动系统中l 不一定是绳长，g 也不一定为9.8 m/s 2，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题.(1)等效摆长：在图中，三根等长的绳l 1、l 2、l 3共同系住一密度均匀的小球m ，球直径为d,l 2、l 3与天花板的夹角α＜30°.若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在O 1处，故等效摆长为l=l 1+2d . 若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O 处，故等效摆长为l=l 1+l 2sinα+2d . (2)等效重力加速度：公式中的g 由单摆所在的空间位置决定.由g=2)(h R GM 可知，g 随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，应求出单摆所在处的等效值g ′代入公式，即g 不一定等于9.8 m/s 2.2、简谐运动的位移—时间图象简谐运动的位移—时间图象为图，利用该图象可以得出以下的判定：(1)振幅A 、周期T 以及各时刻振子的位置.(2)各时刻回复力、加速度、速度、位移的方向.(3)某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况.(4)某段时间内振子的路程.3、振动图象和波的图象振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象，波动是全部质点联合起来共同呈现的现象.简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦(余弦)曲线形状，但两图象是有本质区别的.见表：4、波的图象的应用(1)确定各质点的振动方向如图所示(实线)为一沿x轴正方向传播的横波，试确定质点A、B、C、D的速度方向.判断方法：将波形沿波的传播方向做微小移动(如图中虚线),由于质点仅在y轴方向上振动，所以A′、B′、C′、D′即为质点运动后的位置，故该时刻A、B沿y轴正方向运动，C、D沿y轴负方向运动.可看出：波形相同方向的“斜坡”上,速度方向相同.(2)确定波的传播方向知道波的传播方向,利用“微平移”的办法可以很简单地判断出各质点的振动方向.反过来知道某一质点的运动方向，也可利用此法确定该波的传播方向.另外还有一简便实用的判断方法，同学们也可以记住.如图所示，若已知A点速度方向向上，则可假想在最靠近它的波谷内有一小球.不难看出：A 向上运动时，小球将向右滚动，此即该波的传播方向.(3)已知波速v和波形，画出再经Δt时间的波形图①平移法：先算出经Δt时间波传播的距离Δx=v·Δt，再把波形沿波的传播方向平移Δx即可.因为波动图象的重复性，若知波长λ，则波形平移ｎλ时波形不变，当Δx=nλ+x时，可采取去整留零的方法，只需平移x即可.②特殊点法：(若知周期T则更简单)在波形上找两特殊点，如过平衡位置的点和与它相邻的峰(谷)点，先确定这两点的振动方向，再看Δt=nT+t.由于经nT波形不变，所以也采取去整nT留零t的方法，分别作出两特殊点经t后的位置，然后按正弦规律画出新波形.(4)已知振幅A和周期T，求振动质点在Δt时间内的路程和位移求振动质点在Δt时间内的路程和位移，由于牵扯质点的初始状态，用正弦函数较复杂，但Δt 若为半周期的整数倍则很容易.在半周期内质点的路程为2A.（5）应用Δx=v ·Δt 时注意①波动的重复性和波传播的双向性. ②多解性.5、干涉图样两列波在空间相遇发生干涉，其稳定的干涉图样如图所示.其中a点是两列波的波峰相遇点,为加强的点，b 点为波峰和波谷的相遇点,是减弱的点.加强的点只是振幅大了，并非任一时刻的位移都大；减弱的点只是振幅小了，也并非任一时刻的位移都小.若两波源的振动步调一致，某点到两波源的距离之差为波长的整数倍，则该点为加强点；某点到两波源的距离之差为半波长的奇数倍，则该点为减弱点.【例1】 如图所示为一单摆及其振动图象，由图回答：(1)单摆的振幅为_____，频率为_____，摆长为_____；一周期内位移x(F 回、a 、E p )最大的时刻为_____.(2)若摆球从E 指向G 为正方向，α为最大摆角，则图象中O 、A 、B 、C 点分别对应单摆中的__________点.一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是__________,势能增加且速度为正的时间范围是__________.(3)单摆摆球多次通过同一位置时，下列物理量变化的是（ ）A.位移B.速度C.加速度D.动量E.动能F.摆线张力(4)在悬点正下方O ′处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且E O '=41OE ,则单摆周期为________s.比较钉挡绳前后瞬间摆线的张力.(5)若单摆摆球在最大位移处摆线断了,此后摆球做什么运动?若在摆球过平衡位置时摆线断了，摆球又做什么运动?【例2】一弹簧振子沿x轴振动,振幅为4 cm,振子的平衡位置位于x轴上的0点.图中的a、b、c、d为四个不同的振动状态:黑点表示振子的位置,黑点上的箭头表示运动的方向.图7-1-6给出的①②③④四条振动图线,可用于表示振子的振动图象( )A.若规定状态a时t=0,则图象为①B.若规定状态b时t=0,则图象为②C.若规定状态c时t=0,则图象为③D.若规定状态d时t=0,则图象为④【例3】(2004全国高考理综Ⅲ)一简谐波在图中x轴上传播,实线和虚线分别是t1和t2时刻的波形图,已知t2-t1=1.0 s.由图判断下列哪一个波速是不可能的( )A.1 m/sB.3 m/sC.5 m/sD.10 m/s【例4】如图所示，S1、S2是两个相干波源，它们振动同步且振幅相同.实线和虚线分别表示在某一时刻它们所发出的波的波峰和波谷.关于图中所标的a、b、c、d四点，下列说法中正确的有（）①该时刻a质点振动最弱，b、c质点振动最强，d质点振动既不是最强也不是最弱②该时刻a质点振动最弱，b、c、d质点振动都最强③a质点的振动始终是最弱的，b、c、d质点的振动始终是最强的④再过T/4后的时刻,a、b、c三个质点都将处于各自的平衡位置，因此振动最弱A.①②B.③④C.②③D.①④【例5】一列简谐横波在t1=0时刻波形如图所示,传播方向向左;当t2=0.7 s时,P点第二次出现波峰,Q点坐标是(-7,0),则以下判断中正确的是( )=1.26 s末,Q点第一次出现波峰A.tB.t4=0.9 s末,Q点第一次出现波峰C.质点Q位于波峰时,质点P处于波谷D.P、Q两质点运动方向始终相反6．初赛中的几个对数学要求较高的方程：振动方程：x=Acos(wt+a) 振动的速度：v=-Awsin(wt+a)波动方程：y=Acosw(t-x/v)四、训练题：1．如图所示，在直线PQ的垂线OM上有A、B两个声源，A、B分别距O点6 m和1 m，两个声源同时不断向外发出波长都是2 m的完全相同的声波.在直线PQ上从-∞到+∞的范围内听不到声音的小区域共有________个.2．如图所示，在光滑水面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，振幅质量为M，当振子在最大位移为A的时刻把质量为m的物体轻放其上，要使物体和振子一起振动，则两者间动摩擦因数的最小值为__________.3．如图,S1、S2、S3、S4是在同一介质中频率相同的波源.在波的传播过程中,显示出干涉现象的是_________,显示出衍射现象的是__________〔填序号(a)(b)(c)〕.4．将在地球上校准的摆钟拿到月球上去，若此钟在月球记录的时间是1 h，那么实际的时间应是_______h(月球表面的重力加速度是地球表面的1/6).若要把此摆钟调准，应使摆长L0调节为_________.5．如图，在光滑水平面上，用两根劲度系数分别为k1与k2的轻质弹簧系住一个质量为m的小球.开始时，两弹簧均处于原长，后使小球向左偏离x后放手，可以看到小球将在水平面上做往复运动.试问小球是否做简谐运动？6．一秒摆摆球的质量为0.2 kg ，它摆动到最大位移时距离最低点的高度为0.4 cm ，它完成10次全振动回到最大位移时，距最低点的高度变为0.3 cm.如果每完成10次全振动给它补充一次能量，使摆球回到原来的高度，在60 s 内总共应补充多少能量？7．摆长为l 的单摆做小角度摆动，若摆球的质量为m ，最大摆角为θ(θ＜10°)，则： （1）摆球经过圆弧最低点时的速度是多大？（2）摆球从最大位移处摆向平衡位置的全过程中，重力的冲量是多大？合力的冲量是多大？振动与波答案例1 解析：(1)由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为3 cm.从横坐标可直接读取完成一次全振动即一个完整的正弦曲线所占据的时间轴长度就是周期T=2 s ，进而算出频率f=T1=0.5 Hz ，算出摆长l=224gT =1 m. 从图中看出纵坐标有最大值的时刻为0.5 s 末和1.5 s 末.(2)图象中O 点位移为零，O 到A 的过程位移为正，且增大，A 处最大，历时四分之一周期，显然摆球是从平衡位置E 起振并向G 方向运动的，所以O 对应E ，A 对应G.A 到B 的过程分析方法相同，因而O 、A 、B 、C 对应E 、G 、E 、F 点.摆动中E 、F 间加速度为正，且靠近平衡位置过程中加速度逐渐减小，所以是从F 向E 的运动过程，在图象中为C 到D 的过程，时间范围是1.5 ～2.0 s 间.摆球远离平衡位置势能增加，即从E 向两侧摆动，而速度为正，显然是从E 向G 的过程,在图象中为从O 到A 的过程，时间范围是0—0.5 s 间.(3)过同一位置，位移、回复力和加速度不变；由机械能守恒知，动能不变，速率也不变，摆线张力mgcos α+m lv 2也不变；相邻两次过同一点，速度方向改变，从而动量方向也改变，故选BD.如果有兴趣的话，可以分析一下，当回复力由小变大时，上述哪些物理量的数值是变小的?(4)放细钉后改变了摆长，因此单摆周期应分成钉左侧的半个周期和钉右侧的半个周期，前已求出摆长为1 m ，所以t 左=πg l =1 s ；钉右侧的半个周期，t 右=πgl 4=0.5 s ，所以T=t 左+t 右=1.5 s. 由受力分析得，张力F=mg+m lv 2，因为钉挡绳前后瞬间摆球速度不变，球的重力不变，挡后摆线长为挡前的41，所以挡后绳的张力变大. (5)问题的关键要分析在线断的瞬间，摆球所处的运动状态和受力情况.在最大位移处线断，此时球的速度为零，只受重力作用，所以做自由落体运动. 在平衡位置处线断，此时球有最大水平速度，又只受重力，所以球做平抛运动.答案：(1)3 cm 0.5 Hz 1 m 0.5 s 末和1.5 s 末(2)E 、G 、E 、F 1.5 s —2.0 s 0—0.5 s(3)BD (4)1.5 张力变大 (5)自由落体运动 平抛运动点评：在学习过程中要把全部精力放在基本概念和基本规律的理解和应用上.做简谐运动的物体，其各物理量的变化情况具有周期性和对称性，在解题过程中要善于利用这些特点.【例2】解析：状态a 时,振子正从位移为3 cm 处向正方向运动,若从该时刻开始计时,其位移—时间图象应为①,即选项A 正确.状态b 时,振子正由位移为2 cm 处向平衡位置移动,若从此时开始计时,t=0时,振子位移应为2 cm,图象①②③④均不能反映其运动规律.类似地分析可知选项D 也是正确的. 答案：AD点评：图象可直观、形象地反映某一物理量随另一物理量变化的规律,因此物理上常用图象描述某些物理量的变化规律.但同一物理量的规律变化图象并不是一成不变的,如振动物体的位移—时间图象的形状是由开始计时的时刻和正方向的选取共同决定的.【例3】解析：若波沿x 轴正方向传播,则t 2-t 1=(n+41)T,所以T=14)(412+-n t t ,由图中读出波长λ=4 m,所以波速v=T λ=)(4)14(12t t n -+λ=0.114+n m/s(n=0,1,2,3,…) 若波沿x 轴负方向传播,则t 2-t 1=(n+43)T,所以T=34)(412+-n t t ,波速v=T λ=)(4)34(12t t n -+λ=0.134+n m/s(n=0,1,2,3,…) 经计算后可知,选项D 正确.点评：求解波的问题时,一定要注意由于波的传播方向不明确和波形图的空间重复性引起的多解,避免漏解.【例4】解析：该时刻a 质点振动最弱，b 、c 质点振动最强，这不难理解.但是d 既不是波峰和波峰叠加，又不是波谷和波谷叠加，如何判定其振动强弱？由于S 1、S 2是两个相干波源且它们振动同步，所以某点到两波源的路程之差是波长的整数倍时，该点振动最强，从图中可以看出，d 是S 1、S 2连线的中垂线上的一点，到S 1、S 2的距离相等，所以必然为振动最强点.描述振动强弱的物理量是振幅，而振幅不是位移.每个质点在振动过程中的位移是在不断改变的，但振幅是保持不变的，所以振动最强的点无论处于波峰还是波谷，振动始终是最强的.故②③正确，选C.点评：正确理解振动加强和振动减弱的意义,并弄清楚振动加强点和振动减弱点的空间分布规律,是讨论此类问题的关键.【例5】 解析：由波形图的物理意义知,t=0时,质点P 正经平衡位置向波谷方向运动,经43周期恰好第一次运动至波峰处,经143周期恰好第二次出现波峰,所以143T=0.7 s,T=0.4 s.又由图知波长λ=4 m,所以v=T =10 m/s. 离Q 点最近的波峰距Q(2+|-7|) m=9 m,所以波峰第一次传至Q 点历时t=109 s=0.9 s,可见选项A 错B 对.又P 、Q 两点相距s PQ =10 m=2.5λ,为半波长的5倍,故P 、Q 两质点振动步调恰好相反,所以选项CD 正确. 答案：CD点评：在波动过程中,在波的传播方向上,相距波长整数倍的质点的振动步调相同,相距半波长奇数倍的质点振动步调相反.这是一个重要的结论,必须熟记.另外,将质点振动的非匀速运动(变加速运动)问题转化为波形图的匀速运动问题,是本题解法中的一个突出技巧,也应理解并掌握. 四、训练题：1．5解析：因A 、B 处两列波振动情况完全相同，所以听不到声音的点P 振幅为0，即为干涉减弱的点.由|PA-PB|=（2n+1），n=0，1，2，…及三角形两边之差小于第三边得|PA-PB|≤AB=5，得（2n+1）≤5，n=0，1，2，…由对称性知：满足条件的n为0，±1，±2，即听不见声音的点共5处（取等号时，对应0点）2．解析：对M+m，振动的最大回复力F=kA所以产生的最大加速度a==,则对物体m，回复力是振子给它的静摩擦力.设最大静摩擦力为μmg,当μmg≥ma时一定振动.所以μ≥=.3．解析:衍射现象是波绕过障碍物继续传播,波动和能量传到阴影区域去,故(a)和(c)是衍射现象.干涉现象是两列频率相同的波叠加,使某些区域的振动总加强,某些区域的振动总减弱的现象,故(b)是干涉现象. 答案:(b) (a)(c)4．解析：设在地球上标准钟周期为T0，指示时间为t0；月球上周期为T，指示时间为t.由于指示时间t与振动次数N成正比，即t∝N；一定时间内振动次数N与振动周期T 成反比，即N∝；由单摆周期公式可知T∝.由以上推知：t∝，则有=.所求实际时间为t 0=t=h.要把它调准，需将摆长调为L0/6.5．是做简谐运动解析：以小球为研究对象，竖直方向受力平衡，水平方向受到两根弹簧的弹力作用.设小球位于平衡位置O左方某处时，偏离平衡位置的位移为x,则左方弹簧压缩，对小球F1=k1x,方向向右.右方弹簧拉伸，对小球F2=k2x，方向向右.则F=F1+F2=（k1+k2)x,方向向右. 令k1+k2=k，则F=kx由于小球所受回复力的方向与位移方向相反，考虑方向后，则F=-kx故小球将在两根弹簧的作用下在水平面上做简谐运动.6．5.88×10-3 J解析：秒摆就是周期为2 s的单摆，秒摆10次全振动所用的时间为20 s,60 s内共振动30次，共补充3次能量. 应补充能量为E=3mgh=3×0.2×9.8×0.001 J=5.88×10-3 J.7．（1）（2）解析：（1）如图所示，摆球在最大摆角位置时对平衡位置的高度h=l(1-cosθ)①由题意知，单摆做简谐运动，摆球在摆动过程中，绳子拉力不做功，只有重力做功，机械能守恒.设摆球运动经过圆弧最低点时的速度为v，则由机械能守恒定律得mv2=mgh ②①②式联立得v=. ③（2）摆球从最大位移处摆至平衡位置所用时间为t=·2π④重力冲量为I G=mgt=mg·m⑤由动量定理求得合力的冲量为I合=mv=m. ⑥。