声波在管道中的传播
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2 0 0
2 c0
P0 0
V0 Cm 2 0 c0 S 2
S 2 1 2 F P S 0 c0 1 Cm V0
9
短管運動方程(質點彈簧系統)
d 2 d 1 i t M m 2 SPa e Rm dt Cm dt
Mm dv 1 Rm v vdt SPa eit dt Cm
| p0 | pi 0
1 | rp | 2 | rp | cos 2k x 4
2
极大
| p0 |max pi 0 1 | rp |2 2 | rp | pi 0 (1 | rp |)
3
极小
| p0 |min pi 0 1 | rp |2 2 | rp | pi 0 (1 | rp |)
a
——聲阻抗
V0 0 l0 Rm ——与V 的 0 Ca ; Ma ; Ra 2 2 S 0 c0 S 形状无关！
赫姆霍茲共振腔作为管道末尾的声负载
4 Ra S 0c0 ( Ra S 0c0 ) 2 ( X a S ) 2
1 Xa Ma Ca
11
——吸声系数与频率有关！
2
4 Ra S 0 c0 ( Ra S 0 c0 ) 2 ( X a S ) 2
收是由于声负载 的阻部分引起的！
7
共振吸声结构
赫姆霍茲共振腔
关键：求赫姆霍茲
共振腔的声阻抗！ 三個假定 1 線度小於波長，即 a, l0 , 3 V0 2 短管體積遠小於腔體體積，即（不考慮彈性)
如果管口存在声源作活塞振动，振动速度为
u u0 eit
那么，声源向管内辐射的平均声功率为
1 1 1 3 2 2 2 W Rr (0)u0 S 2 Ra (0)u0 0c0 Su0 2 2 4 8
2
如果管长等于零，声源辐射的平均声功率
Z a (l ) S i 0 c0 tan kl Z a (0) lim lim Z a (l ) l 0 c iZ (l ) S tan kl l 0 S 0 0 a lim Ra (l )
定义驻波比
| p0 |max pi 0 (1 | rp |) G | p0 |min pi 0 (1 | rp |)
(1 G) | rp | (1 G)
能量吸收系数
法向吸声系数
1 | rp |
2
(1 G ) 2 4G 1 2 (1 G ) (1 G ) 2
pi pr p pi pr ; v vi vr 0c0 0c0
管道中任意一点的声阻抗率为
pi 0 e ikx pr 0 e ikx p pi pr Z s ( x) 0 c0 v vi vr pi 0 e ikx pr 0 e ikx
0 c0 S
U=vS 体积速度 (單位時間 的體積流)
或者声阻抗
1 | rp | ei p p Z a |x 0 i U x 0 vS x 0 1 | rp | e
6
设负载的声阻抗为Za
1 | rp | ei 1 | r | ei p 0 c0 Z a Ra iX a S
pi pi 0 exp[i ( t kx )] pi 0 vi exp[i ( t kx )] 0 c0 pr pr 0 exp[i ( t kx )] pr 0 vr exp[i ( t kx )] 0 c0
13
管道中任意一点的声压和质点速度为
Z s (l ) i 0c0 tan kl 0 c0 0 c0 iZ s (l ) tan kl
——管输入声阻抗率
管口的声阻抗为 Z s (0) 0c0 Z a (l ) S i 0c0 tan kl Z a (0) S S 0c0 iZ a (l ) S tan kl
2
( 0 c0 ) 2 Ra (l ) Ra (0) 2 S 2 X a (l ) ( 0 c0 ) 2 1 X a (0) S 2 X a (l )
20
( 0 c0 ) Ra (l ) iX a (l ) 2 2 S X a (l ) Ra (0) iX a (0)
第5章 声波在管道中的传播
5.1 均匀的有限长管道 5.2 有限长管道的阻抗转移公式 5.3 突变截面管道和有旁支的管道 5.4 声波导理论
*5.5 管道中声波的衰减
1
5.1 均匀的有限长管道
只有在管道中才能得到真正的平面波； 管道中声传播能量集中——听诊器； 利用管道进行声学测量——材料的声吸收系数； 工业中的管道消声问题
如果短管的两端都开口：
19
2、当频率和管长满足：kl=(2n-1)/2 1/4波长的奇数倍
l (2n 1)
4
Z a (0)
Z a (0)
0 c0 0 c0
S
2
Z a (l )
0 c0
S
2
0 c0
Ra (l ) iX a (l )
2
( 0 c0 ) Ra (l ) iX a (l ) 2 2 2 S Ra (l ) X a (l )
无限 大 障板
x=0
1、低频：kl<<1
8 0c0 0 c0 kl 0 Z a (0) i ka i i(l l ) i M a 3 S S S
——管口表现为质量抗！— —质量修正——管端修正！
8 l a 0.85a 3 8 l 2 a 1.7a 3
l 0
0 c0
8 c Rr 0 c0 X (ka) 2 ;lim X a (l ) 2r 0 0 ka l 0 S2 2S S 3 S
——管输入声阻抗——不仅与管道长度有关， 而且与管道末端负载的声阻抗有关！
15
意义分析
管道末端刚性：Za(l)
Hale Waihona Puke Baidu
Z a (l ) S 0c0 Z a (0) i cot kl S iZ s (l ) S tan kl S
1、低频：kl<<1
cos kl 1 cot kl sin kl kl
管内声场 入射波和反射波
pi pi 0 exp[i ( t kx)] pr pr 0 exp[i ( t kx )]
2
定义反射系数
为了方便
pi 0 rp | rp | ei pr 0
总声压
p pi 0 exp[i ( t kx)] pr 0 exp[i ( t kx)] pi 0 e ikx | rp | ei ( kx ) ei t | p0 | ei ( t )
0 c0
——串联一个声质量——空气质量的1/3！
2、当频率和管长满足：kl=(2n-1)/2 或者kl=n
0, kl (2n 1) / 2, Z a (0) , kl n ,
n 1, 2,3,.... n 1, 2,3,....
17
——管口阻抗为零——短路！
0c0
1 Z a (0) i i Skl Ca
茲共振腔
0c0
V Ca 2 0c0
——短管口的声阻抗表现为声容！——赫姆霍
16
如果展开保留2项
cos kl 1 kl cot kl sin kl kl 3
M m 0V
(kl ) 2 Z a (0) i 1 3 Skl V 0 Mm 1 1 i i i i 2 2 Ca 3S Ca 3S
——管口阻抗为无限——开路！如 果管口是一个声源，将导致声源
的制动而声辐射停止！
例：闭箱式扬声器，辐射的高频 特性常出现谷点！——x=l处加 吸声材料——低频：能保持容性； 高频：相当于无限长管道！
x=0
x=l
管道末端开口且开口在无限大障板上：Za(l)=？
用无限大障板上的活塞辐射器来近似 (ka<<1)（第6章）
令體積速度 U=vS
M m dU Rm 1 2U Udt Pa ei t S 2 dt S Cm S 2 Ma Ra Ca
聲質量
聲阻 聲容(聲順)
10
dU 1 Ma RaU Udt Pa eit dt Ca
U P Za
P 1 Z a Ra i a M U Ca iX R a
0c0 k 2 8 Rr ( a 2 ) 2 ; X r 0c0 a 2 ka 2 3
18
Z a (l ) Ra (l ) iX a (l )
Rr 0 c0 Ra (l ) 2 (ka) 2 ——注意： S 2S 力阻抗化 X r 8 0 c0 X a (l ) 2 ka 成声阻抗。 S 3 S
pi 0 e ikx | rp | ei ( kx ) ei t v 0 c0
x=0处的声阻抗率
Z s |x 0 1 | rp | ei p v x 0 1 | rp | ei 0 c0
pi 0 Z s (l ) 0 c0 2ikl e pr 0 Z s (l ) 0 c0
14
管口的声阻抗率为
Z s (0) 0 c0
Z s (l ) e ikl e ikl 0c0 e ikl e ikl Z s (l ) e ikl e ikl 0c0 e ikl e ikl
共振条件
1 Xa Ma 0 Ca
1 fr 2
1 M a Ca
——吸声达到极大！
——共振吸声结构在影院、厅堂声学设计中已获得广 泛应用！——穿孔吸声结构！ 墙与穿孔 板有一定 的距离， 以形成共 振腔！
V0 孔
墙 体
12
5.2 有限长管道的阻抗转移公式
管道末端负载的声阻抗对管口声源的影响。 入射波和反射波
Sl0 V0
3 腔體內，媒質壓縮與膨脹時腔璧不變形(剛性)
8
短管空氣整體振動 质量： M l S m 0 0 摩擦(黏滯)：Rm 彈性力：腔内絕熱過程，物態方程 PV P0 V0 常数
P
0
P 1
V
0
S P0 V0
S P c 1 V0
4
法向吸声系数的测量 测量驻波比 法向吸声系数
驻波管法测量材料的 法向吸声系数
问题
高频限制：平面条件（见后讨论）； 低频限制：管长至少要半波长——存在一个驻 波！——低频吸声系数测量是个难题！
5
法向吸声系数与负载声阻抗的关系
p pi 0 e ikx | rp | ei ( kx ) eit
已知管道末端负载的声阻抗为Zs(l), 故
pi 0 e ikl pr 0 e ikl ( pi 0 / pr 0 ) e ikl e ikl Z s (l ) 0c0 0c0 ikl ikl pi 0 e pr 0 e ( pi 0 / pr 0 ) e ikl e ikl
| rp | ei
Z a S 0c0 Z a S 0 c0 a
( Ra S 0 c0 ) 2 ( X a S ) 2 | rp |2 ( Ra S 0 c0 ) 2 ( X a S ) 2
( Ra S 0 c0 ) 2 ( X a S ) 2 1 | rp | 1 ( Ra S 0 c0 ) 2 ( X a S ) 2 ——声能量的吸
2 c0
P0 0
V0 Cm 2 0 c0 S 2
S 2 1 2 F P S 0 c0 1 Cm V0
9
短管運動方程(質點彈簧系統)
d 2 d 1 i t M m 2 SPa e Rm dt Cm dt
Mm dv 1 Rm v vdt SPa eit dt Cm
| p0 | pi 0
1 | rp | 2 | rp | cos 2k x 4
2
极大
| p0 |max pi 0 1 | rp |2 2 | rp | pi 0 (1 | rp |)
3
极小
| p0 |min pi 0 1 | rp |2 2 | rp | pi 0 (1 | rp |)
a
——聲阻抗
V0 0 l0 Rm ——与V 的 0 Ca ; Ma ; Ra 2 2 S 0 c0 S 形状无关！
赫姆霍茲共振腔作为管道末尾的声负载
4 Ra S 0c0 ( Ra S 0c0 ) 2 ( X a S ) 2
1 Xa Ma Ca
11
——吸声系数与频率有关！
2
4 Ra S 0 c0 ( Ra S 0 c0 ) 2 ( X a S ) 2
收是由于声负载 的阻部分引起的！
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共振吸声结构
赫姆霍茲共振腔
关键：求赫姆霍茲
共振腔的声阻抗！ 三個假定 1 線度小於波長，即 a, l0 , 3 V0 2 短管體積遠小於腔體體積，即（不考慮彈性)
如果管口存在声源作活塞振动，振动速度为
u u0 eit
那么，声源向管内辐射的平均声功率为
1 1 1 3 2 2 2 W Rr (0)u0 S 2 Ra (0)u0 0c0 Su0 2 2 4 8
2
如果管长等于零，声源辐射的平均声功率
Z a (l ) S i 0 c0 tan kl Z a (0) lim lim Z a (l ) l 0 c iZ (l ) S tan kl l 0 S 0 0 a lim Ra (l )
定义驻波比
| p0 |max pi 0 (1 | rp |) G | p0 |min pi 0 (1 | rp |)
(1 G) | rp | (1 G)
能量吸收系数
法向吸声系数
1 | rp |
2
(1 G ) 2 4G 1 2 (1 G ) (1 G ) 2
pi pr p pi pr ; v vi vr 0c0 0c0
管道中任意一点的声阻抗率为
pi 0 e ikx pr 0 e ikx p pi pr Z s ( x) 0 c0 v vi vr pi 0 e ikx pr 0 e ikx
0 c0 S
U=vS 体积速度 (單位時間 的體積流)
或者声阻抗
1 | rp | ei p p Z a |x 0 i U x 0 vS x 0 1 | rp | e
6
设负载的声阻抗为Za
1 | rp | ei 1 | r | ei p 0 c0 Z a Ra iX a S
pi pi 0 exp[i ( t kx )] pi 0 vi exp[i ( t kx )] 0 c0 pr pr 0 exp[i ( t kx )] pr 0 vr exp[i ( t kx )] 0 c0
13
管道中任意一点的声压和质点速度为
Z s (l ) i 0c0 tan kl 0 c0 0 c0 iZ s (l ) tan kl
——管输入声阻抗率
管口的声阻抗为 Z s (0) 0c0 Z a (l ) S i 0c0 tan kl Z a (0) S S 0c0 iZ a (l ) S tan kl
2
( 0 c0 ) 2 Ra (l ) Ra (0) 2 S 2 X a (l ) ( 0 c0 ) 2 1 X a (0) S 2 X a (l )
20
( 0 c0 ) Ra (l ) iX a (l ) 2 2 S X a (l ) Ra (0) iX a (0)
第5章 声波在管道中的传播
5.1 均匀的有限长管道 5.2 有限长管道的阻抗转移公式 5.3 突变截面管道和有旁支的管道 5.4 声波导理论
*5.5 管道中声波的衰减
1
5.1 均匀的有限长管道
只有在管道中才能得到真正的平面波； 管道中声传播能量集中——听诊器； 利用管道进行声学测量——材料的声吸收系数； 工业中的管道消声问题
如果短管的两端都开口：
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2、当频率和管长满足：kl=(2n-1)/2 1/4波长的奇数倍
l (2n 1)
4
Z a (0)
Z a (0)
0 c0 0 c0
S
2
Z a (l )
0 c0
S
2
0 c0
Ra (l ) iX a (l )
2
( 0 c0 ) Ra (l ) iX a (l ) 2 2 2 S Ra (l ) X a (l )
无限 大 障板
x=0
1、低频：kl<<1
8 0c0 0 c0 kl 0 Z a (0) i ka i i(l l ) i M a 3 S S S
——管口表现为质量抗！— —质量修正——管端修正！
8 l a 0.85a 3 8 l 2 a 1.7a 3
l 0
0 c0
8 c Rr 0 c0 X (ka) 2 ;lim X a (l ) 2r 0 0 ka l 0 S2 2S S 3 S
——管输入声阻抗——不仅与管道长度有关， 而且与管道末端负载的声阻抗有关！
15
意义分析
管道末端刚性：Za(l)
Hale Waihona Puke Baidu
Z a (l ) S 0c0 Z a (0) i cot kl S iZ s (l ) S tan kl S
1、低频：kl<<1
cos kl 1 cot kl sin kl kl
管内声场 入射波和反射波
pi pi 0 exp[i ( t kx)] pr pr 0 exp[i ( t kx )]
2
定义反射系数
为了方便
pi 0 rp | rp | ei pr 0
总声压
p pi 0 exp[i ( t kx)] pr 0 exp[i ( t kx)] pi 0 e ikx | rp | ei ( kx ) ei t | p0 | ei ( t )
0 c0
——串联一个声质量——空气质量的1/3！
2、当频率和管长满足：kl=(2n-1)/2 或者kl=n
0, kl (2n 1) / 2, Z a (0) , kl n ,
n 1, 2,3,.... n 1, 2,3,....
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——管口阻抗为零——短路！
0c0
1 Z a (0) i i Skl Ca
茲共振腔
0c0
V Ca 2 0c0
——短管口的声阻抗表现为声容！——赫姆霍
16
如果展开保留2项
cos kl 1 kl cot kl sin kl kl 3
M m 0V
(kl ) 2 Z a (0) i 1 3 Skl V 0 Mm 1 1 i i i i 2 2 Ca 3S Ca 3S
——管口阻抗为无限——开路！如 果管口是一个声源，将导致声源
的制动而声辐射停止！
例：闭箱式扬声器，辐射的高频 特性常出现谷点！——x=l处加 吸声材料——低频：能保持容性； 高频：相当于无限长管道！
x=0
x=l
管道末端开口且开口在无限大障板上：Za(l)=？
用无限大障板上的活塞辐射器来近似 (ka<<1)（第6章）
令體積速度 U=vS
M m dU Rm 1 2U Udt Pa ei t S 2 dt S Cm S 2 Ma Ra Ca
聲質量
聲阻 聲容(聲順)
10
dU 1 Ma RaU Udt Pa eit dt Ca
U P Za
P 1 Z a Ra i a M U Ca iX R a
0c0 k 2 8 Rr ( a 2 ) 2 ; X r 0c0 a 2 ka 2 3
18
Z a (l ) Ra (l ) iX a (l )
Rr 0 c0 Ra (l ) 2 (ka) 2 ——注意： S 2S 力阻抗化 X r 8 0 c0 X a (l ) 2 ka 成声阻抗。 S 3 S
pi 0 e ikx | rp | ei ( kx ) ei t v 0 c0
x=0处的声阻抗率
Z s |x 0 1 | rp | ei p v x 0 1 | rp | ei 0 c0
pi 0 Z s (l ) 0 c0 2ikl e pr 0 Z s (l ) 0 c0
14
管口的声阻抗率为
Z s (0) 0 c0
Z s (l ) e ikl e ikl 0c0 e ikl e ikl Z s (l ) e ikl e ikl 0c0 e ikl e ikl
共振条件
1 Xa Ma 0 Ca
1 fr 2
1 M a Ca
——吸声达到极大！
——共振吸声结构在影院、厅堂声学设计中已获得广 泛应用！——穿孔吸声结构！ 墙与穿孔 板有一定 的距离， 以形成共 振腔！
V0 孔
墙 体
12
5.2 有限长管道的阻抗转移公式
管道末端负载的声阻抗对管口声源的影响。 入射波和反射波
Sl0 V0
3 腔體內，媒質壓縮與膨脹時腔璧不變形(剛性)
8
短管空氣整體振動 质量： M l S m 0 0 摩擦(黏滯)：Rm 彈性力：腔内絕熱過程，物態方程 PV P0 V0 常数
P
0
P 1
V
0
S P0 V0
S P c 1 V0
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法向吸声系数的测量 测量驻波比 法向吸声系数
驻波管法测量材料的 法向吸声系数
问题
高频限制：平面条件（见后讨论）； 低频限制：管长至少要半波长——存在一个驻 波！——低频吸声系数测量是个难题！
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法向吸声系数与负载声阻抗的关系
p pi 0 e ikx | rp | ei ( kx ) eit
已知管道末端负载的声阻抗为Zs(l), 故
pi 0 e ikl pr 0 e ikl ( pi 0 / pr 0 ) e ikl e ikl Z s (l ) 0c0 0c0 ikl ikl pi 0 e pr 0 e ( pi 0 / pr 0 ) e ikl e ikl
| rp | ei
Z a S 0c0 Z a S 0 c0 a
( Ra S 0 c0 ) 2 ( X a S ) 2 | rp |2 ( Ra S 0 c0 ) 2 ( X a S ) 2
( Ra S 0 c0 ) 2 ( X a S ) 2 1 | rp | 1 ( Ra S 0 c0 ) 2 ( X a S ) 2 ——声能量的吸