几何光学中的矩阵方法
几何光学中的光线传输矩阵高斯光束通过光学元件的变换
g1g2
0 g1g2 1
L
L
g1,2
1 2 f1,2
1
R1,2
rs为实数 rs Ce js C*e js
or
rs rmax sins
r0 rmax sin
r1 Ar0 B0 rmax sin
cos A D
2
rmax,
rs
n次往返传播矩阵:
Tn
1
sin
Asin n sinn 1
几何光学中的光线传输矩阵 （ABCD矩阵）
和
高斯光束通过光学元件的变换－ ABCD公式
一、几何光学中的光线传输矩阵（ABCD矩阵）
r z
正,负号规定:
2. 自由空间区的光线矩阵
B
r0 ,0
r,
A
L
1. 表示光线的参数
r － 光线离光轴的距离 － 光线与光轴的夹角
傍轴光线 dr/dz = tan sin
L
1
B
L 2
L f2
C
1 f1
1 f2
1
L f1
D
L f1
1
L f1
1
L f2
rs1 Ars Bs
or
s
1 B
rs1
Ars
s1
1 B
rs2 Ars1
Crs Ds
1 B
rs2
Ars1
Crs
D B
rs1
Ars
rs2
2(
A
2
D
)rs
1
AD
BCrs
0
AD BC 1
rs2
A处 qA = q0+ l
C处 qc= qB+ lc
第3讲_光线传输矩阵
– 程函(eikonal)方程：
– 光线的传播方向，就是程函 r 变化最快的方向 – 在讨论光线和几何光学的强度时，可以推导出光线的微分方程（光线方 程），其中 s 为光线上某点到另外一点的长度，而 r 是该点的位置矢量 ：
2 r x y z
1 d r rS 1 d N ' 1 1 r ' r S 1 f1 f1 N
4.1 透镜波导光线稳定条件
综合可得到从S面到S+1面的光线传播情况
1 0 1 d 1 0 1 d r rS 1 1 S A B rS 1 ' ' ' 1 1 r 0 1 0 1 r C D r S 1 f1 S S f2
4.1 透镜波导光线稳定条件
• 双周期透镜波导的光线稳定条件 • 当θ 为实数时，光线与光轴的距离在rmax和-rmax之间振荡； 即光线传播被约束在透镜孔径形成的波导之中，不会发生 溢出。 • θ 为实数等价于|b|≤1，即：
d d d2 1 1 1 f1 f 2 2 f1 f 2
• 将矩阵形式的传播方程写成方程组的形式
1 rs ' (rs 1 Ars ) B
• 可得到递推关系
1 rs ' B (rs 1 Ars ) 1 rs 1 ' (rs 2 ArS 1) B r ' Cr Dr ' S S 1 S
' o
矩阵光学
矩阵光学 魏光辉第一章 矩阵及其运算 1.1矩阵、矢量和张量矩阵的概念：111212122212n n m m mn a a a a a a A aa a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭对角矩阵：ij ii ij a a δ= （对角矩阵即为除了对角线的元素外，其它元素阶为零） 单位矩阵：ij ij a δ=标量、矢量和张量：三维空间的m 阶张量可以有3m个独立分量，n 维空间的m 阶张量可以有mn 个独立分量。
矢量可以视为一阶张量，标量可以视为零阶张量。
电场是一个矢量。
一个矢量可以用行阵或列阵来表示；一个二阶张量可以用方阵表示；m 阶张量可以用n 行1m n-列矩阵表示。
1.2矩阵的加法和乘法矩阵加法：C A B =+矩阵乘法：A 为m p ⨯矩阵，B 为p n ⨯矩阵，C 为C AB =，C 为m n ⨯矩阵。
其中1,1,2,;1,2,pir ik kr k c a b i m r n ====∑。
若1a n p -=，则B 可以描述P 维空间中的n 阶张量，若m p =，则C 为1a p p-⨯矩阵，由此可见，一个张量矩阵可以被列数与其行数相同的方阵左乘，得到另一个具有相同行列数的矩阵。
因此，一个用单列矩阵表示的矢量，被列数与其行数相同的方阵左乘，仍得相同行数的矢量。
矩阵的减法：()1A B A B -=+-⨯； 由多项式为元素的矩阵可以进行分解，例：42232432132410001100130010200140x x x A x x x x x x x ⎡⎤---=⎢⎥+-⎣⎦---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦矩阵连乘：A 为m p ⨯矩阵，B 为p q ⨯矩阵，C 为q n ⨯矩阵，则R ABC =，有11qp ij ik kh hj h k r a b c ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑。
（注意：如果矩阵A 和B 中至少有一个是零矩阵，则它们的乘积C=AB 必为零矩阵；但如果C=AB 为零矩阵，则A 和B 不一定为零矩阵。
第三章激光原理光学谐振腔理论(ABCD矩阵)
g1 g 2
0 g1g2 1
L
L
g1,2
1 2 f1,2
1
R1,2
rs为实数 rs Ce js C*e js
or
rs rmax sins
r0 rmax sin
r1 Ar0 B0 rmax sin
2、每一个模在腔内往返一次经受的相对功率损耗 ； 3、每一个模的激光束发散角 。
腔的参数 唯一确定 模的基本特征。
开腔 傍轴 传播模式的纵模特征
傍轴光线 (paraxial ray) ：光传播方向与腔轴线夹角非常小，此时 可认为sin tan
开腔 傍轴 传播模式的纵模频率间隔(F-P腔，平面波)
单位时间内损耗的能量（P）
Q的普 遍定义
E NhV P hV dN
dt
t
N N0e R
Q R
2
nL
c
前面定义 Q 1 2
R 1 2 1 不确定关系
Q
R
1
谐振腔的损耗越小，Q值越高
第二节 共轴球面腔的稳定性条件
一、几何光学中的光线传输矩阵（ABCD矩阵）
纵模间隔
q
q1
q
q
1 c
2L
q
c 2L
c 2L
•纵模间隔与序数q无关，在频率尺度上等距排列；
•纵模间隔大小与腔长成反比。
三、光腔的损耗
1、损耗的种类及举例
a.几何偏折损耗； b.衍射损耗；
选择损耗
（有选模作用）
c.腔镜反射不完全引入损耗；
第六节矩阵光学
1-1.54 1 φ2 1 R2 13.5 0 1 0 1 0 1 1 R1 d 2 27 1 n2 1.54
0 1
0 1 B A 1 0.541.35 1 S21 17.53 1 0 D C 1 0 0.052 0.3 17.53 0.3
' Al2 y' ( ' C ) y n2
垂轴放大率：
' Al2 y' ' C y n2
（一般形式2→K）
S B 'B
Al1 B n 1 0
A ' -Al2 C ' n2
1 SB 'B
' -Al2 ' C n2 0
| S21 | BC AD 1
若系统由K个折射面组成，则
S k1 Rk Tk ( k 1) Rk 1T( k 1)( k 2 ) R2T21 R1 B A D C 1 k
B A Sk 1 D C 1 k
行列式
| S k1 | BC AD 1
1 SN1 0 -d 1 N B A D C
N 1
0 1
1 0
N-1
0 1 1 1 2 1 d 1 0 1 0 1 1 1
A、B、C、D由各薄透镜的光焦度和它们间的间隔所决定 并知A为光焦度，这是有普遍意义的，对于同一介质中的 任何光学系统，高斯常数A均为光焦度，如一光学系统由 光焦度为两块薄透镜组成间隔为d则，
y' 与入射光孔u 1 角无关，近轴区象高y' 和 又∵ 近轴区， 物高 y 成正比，与 u 1 大小无关
第3讲_光线传输矩阵.
f>0，相对于凸透镜 f<0，相对于凹透镜
3.1 简单光学元件光线传输矩阵
3.不同介质介面（平面） 1 sin ri' 2 sin ro' ' ' 1ri 2ro ri’ ro ri
1 ' ' ro ri 2
ro’ ri ro
1 0 ro ri 1 ' ' ro 0 ri 2
1 2
3.1 简单光学元件光线传输矩阵
4.不同介质介面(球面)
ro ri
ri ri ' R ' ri ro ' R
2 ' 1
'
ro’ ri’ ri ro
2 1 1 ' r ri ri 2 R 2
' o
d A 1 f2 d ) f2 1 1 d C [ (1 )] f1 f 2 f2 d d d D [ (1 )(1 )] f1 f1 f2 B d (2
4.1 透镜波导光线稳定条件
rs 1 Ars Brs' ' rs 1 ' Crs Drs
rt ri dri ' r ' r ' i t
ro rt ro ' rt rt ' f
ro ri dri ' ro' ri ( d 1)ri ' 1 f f
d 1 d 1 1 f f
激光原理与技术·原理部分
第3讲 光线传输矩阵
3.0 光线的传播
几何光学中的光线传输矩阵高斯光束通过光学元件的变换
A处：r0, 0 B处：r’,’
r r0 L0 0
自由空间 光线矩阵
r
A C
B D
r00
TL
r00
1 TL 0
L 1
3. 空气与介质(折射率为n2)的界面
r CA
入射 r0,0 出射 r,
B D
r00
Tn1n2
r00
n1 sin0 n2 sin '
n10
r
L f2
C
1 f1
1 f2
1
L f1
D
L f1
1
L f1
1
L f2
rs1 Ars Bs
or
s
1 B
rs1
Ars
s1
1 B
rs2 Ars1
Crs Ds
1 B
rs2
Ars1
Crs
D B
rs1
Ars
rs2
2(
A 2
D )rs1
AD
BCrs
0
AD BC 1
rs2
2(
A
2
D
)rs
2
f
f
可见，同一谐振腔，不同
的传播次序，往返矩阵T不
相同，但(A+D)/2相同。
s
1
s 1
T1 T2
T13
T23
1 0
0 1
A D
AD
1
L
1
1,1
2 T1
2 T2
f2
AD BC AD BC 1
T1
T2
思考题：
对1和2两种光线顺序， 分别求
rs rmax sins
光学原理习题
第一章 几何光学基本原理习题1.1 用费马原理推导光的反射定律1.2 一根长玻璃棒的折射率为1.6350，将它的左端研磨并抛光成半径为2.50cm的凸球面。
在空气中有一小物体位于光轴上距球面顶点9.0cm处。
求：（1）球面的物方焦距和象方焦距；（2）光焦度；⑶象距；⑷垂轴放大率；(5)用作图法求象。
1.3 将一根40cm长的透明棒的一端切平，另一端磨成半径为12cm的半球面。
有一小物体沿棒轴嵌在棒内，并与棒的两端等距。
当从棒的平端看去时，物的表现深度为12.5cm。
问从半球端看去时，它的表现深度为多少？1.4 一透明玻璃小球的半径为1.50cm， 折射率为1.720，将它浸没在折射率为1.360的透明液体中。
若液体中有一束平行光入射到小球上，求这束平行光将向球的另一侧何处聚焦？1.5 一玻璃空盒的两端是共轴球面，一端是半径γ1＝－1.65cm的凹面，另一端是半径γ2＝1.650cm的凸面，两顶点之间的距离为1.850cm。
将盒在空气中密封后放入水中。
一高为1cm 的物体距凹球面的顶点10cm。
求物体经玻璃盒所成的象。
（假设玻璃的厚度可以略去不计）1.6 在一个直径为30cm的球形玻璃鱼缸中盛满水，鱼缸中心处有一尾小鱼。
若鱼缸薄壁的影响可以忽略不计，求缸外面的观察者所看到的鱼的表观位置及垂轴放大率。
1.7 为了把仪器刻度放大3倍，在它上面置一平凸透镜，并让透镜的平面与刻度紧贴。
假设刻度和球面顶点距离为30mm，玻璃的折射率为1.5，求凸面的半径应为多少？1.8 在半径为20cm的凸面镜右侧距顶点5cm处，有一高为2cm的虚物，试求象的位置和大小，并作图。
虚物的位置应在什么范围内才能形成实象？1.9 在单球面折射系统中，除球心而外尚有一对共轭点Ｐ和Ｐ'可用宽光束严格成象（如图），这一对共轭点称为齐明点或不晕点。
试证齐明点的物、象距满足下列关系：S＝(1+n'/n)r; s＝(1+n/n')r1.9图1.10 玻璃棱镜的折射棱角α为60°，对某一波长的光其折射率n为1.6，计算(1)最小偏向角；(2)此时的入射角；(3)能使光线从α角两侧透过棱镜的最小入射角。
高斯光学的矩阵方法
x 0.429 0.75cm 0.571
例3．
解：
1 1 l ' 1 0 1 ' f1 l' 1 0 1 l A B f1' 1 0 1 C D 1 f1' l l' ll ' ' ' ' f1' 1 l 1 l l ll 1 l 1 l 1 1 1 ' f1
Thank You for Your Attention!
B 0 l l'
ll ' f1'
A 1
1
l' 1 l ' 2 f1' f1'
1 1 l ' 20 1 0 1 f 2'
0 1 1 1 ' f1
2
例1．
•长2.8cm
• h=1.6
•两头半径r=2.4cm •2cm高的位于距左顶点8cm的地方
B0
成像矩阵为，
D
1 1 A M
A 0 C D
M C
0 1 M
例1．
解：物像所在平面仍为两参考平面像的位置离右顶点x处
1 I 0 2 .8 0 1 0 1 8 1 1.6 (1.6 1) 1 1 0 1 2 .4 0 1 0.5625 0.3910 x 6.250 2.56 x A B 0.3910 2.56 C D 1 x 1 1 .6 1 2 . 4
华罗庚的矩阵几何学推导过程
华罗庚的矩阵几何学推导过程
首先，我们必须首先了解什么是矩阵几何学。
矩阵几何学是一种应
用矩阵理论和数学对空间三维结构的描述和研究的方法。
这些方法可
以被用来解释曲率变化的空间数学语言，定义在曲空间的距离和曲率，以及这些曲空间的形状。
矩阵几何学是由著名的英国数学家华罗庚在
20世纪20年代开始发展起来的。
华罗庚的矩阵几何学推导过程主要步骤如下：
1. 首先，他定义了一个坐标系，这个坐标系中包含三个基本方向，即
x,y和z方向，每个方向都定义了一系列矩阵，这些矩阵组成了三维空
间的矩阵几何学。
2. 然后，他定义了一组关系式，这些关系式用于表示三维空间的相对
变换，即矩阵的变换。
这些关系式有助于计算两个视图之间的变换参数。
3. 最后，他研究了空间点云之间的相对变换，即在三维空间中，如何
从点云A变换到点云B。
这种变换可以通过计算空间两个点云之间的
变换矩阵来实现。
以上就是华罗庚的矩阵几何学推导过程的基本步骤。
2 光学谐振腔
光学谐振腔光学谐振腔是常用激光器的三个主要组成部分之一。
组成：在简单情况下，它是在激活物质两端适当地放置两个反射镜。
目的：就是通过了解谐振腔的特性，来正确设计和使用激光器的谐振腔，使激光器的输出光束特性达到应用的要求。
光学谐振腔的理论：近轴光线处理方法的几何光学理论、波动光学的衍射理论无源腔：又称为非激活腔或被动腔，即无激活介质存在的腔。
有源腔(激活腔或主动胺)：当腔内充有工作介质并设有能源装置后。
一、构成、分类及作用1、谐振腔的构成和分类构成：最简单的光学谐振腔是在激光工作物质两端适当位置放置两个镀高反射膜的反射镜。
与微波腔相比光频腔的主要特点是：侧面敞开没有光学边界，以抑制振荡模式，并且它的轴向尺寸(腔长)远大于振荡波长：L》λ，一般也远大于横向尺寸即反射镜的线度。
因此，这类腔为开放式光学谐振腔，简称开腔。
开式谐振腔是最重要的结构形式----气体激光器、部分固体激光器谐振腔2、激光器中常见的谐振腔的形式1)平行平面镜腔。
由两块相距上、平行放置的平面反射镜构成2)双凹球面镜腔。
由两块相距为L，曲率半径分别为R1和R2的凹球面反射镜构成当R1＝R2＝L时，两凹面镜焦点在腔中心处重合，称为对称共焦球面镜腔；当R1+R2＝L表示两凹面镜曲率中心在腔内重合，称为共心腔。
3)平面—凹面镜腔。
相距为L的一块平面反射镜和一块曲率半径为R的凹面反射镜构成。
当R＝2L时，这种特殊的平凹腔称为半共焦腔4)特殊腔。
如由凸面反射镜构成的双凸腔、平凸腔、凹凸腔等，在某些特殊激光器中，需使用这类谐振腔5)其他形状的3、谐振腔的作用(1) 提供光学正反馈作用谐振腔为腔内光线提供反馈，使光多次通过腔工作物质，不断地被放大，形成往复持续的光频振荡；取决因素：组成腔的两个反射镜面的反射率，反射率越高，反馈能力越强；反射镜的几何形状以及它们之间的组合方式。
上述因素的变化会引起光学反馈作用大小的变化，即引起腔内光束能量损耗的变化。
(2) 对振荡光束的控制作用主要在方向和频率的限制，其功能为：①有效地控制腔内实际振荡的模式数目，使大量的光子集结在少数几个沿轴向、且满足往返一次位相变化为2π的整数倍的光子状态中，提高了光子简并度，从而获得单色性好、方向性好及相干性强的优异辐射光。
光线传输矩阵学习笔记
ro’ ro
1 2
简单光学元件光线传输矩阵
4.不同介质介面(球面)
ro ri
ri R
ri '
'
ri R
ro '
2 ' 1
ro'
2 1 2R
ri
1 2
ri'
ro ro'
1
2 1 2R
0
1 2
ri ri'
ri’
ri
R
1
'
ro’ ro
2
简单光学元件光线传输矩阵
5.球面反射镜
1
rt,rt' ro,ro'
ri,ri'
rrtt
'
ri ri
'
dri'
ro ro'
rt
rt f
rt'
ro ro'
ri
dri' ri ( f
d f
1)ri'
1
d
2f 3
CA
B D
1 1
f
d d
1
1 1
f f
10
1 0
d 1
ri ri'
f>0，相对于凸透镜 f<0，相对于凹透镜
ri,ri’
ro,ro’ fri’
f 焦平面
简单光学元件光线传输矩阵
3.不同介质介面（平面）
1 sin ri' 2 sin ro'
1ri' 2ro'
ro ri
ro'
1 2
ri'
ro ro'
光线转换矩阵
物像矩阵： A = T S T
d e t A=1
x x xx x y ( S 21 S 22 S11 S12 )n11 ( S 22 S12 ) y n1 nm n1nm nm
在近轴条件时，y´与α1 应无关系，即自物 点发出的所有光线经系统成像后都会聚于对 应的像点上。
2 1 对于反射镜： n n 1, r f 1 1/ f R 0 1
二、过渡矩阵和系统矩阵
若一个光学系统由两个相邻的共轴单 球面组成，d21 为两单球面之间的距离。 入射光线 r1 出射光线 r 2 ´
P1 和 P2 的状态分别为 r1´和 r2
Q处的光线经过系统到 Q´时的矩阵转换， 只需按光线进行的前后将这两过渡矩阵依次 作用于系统矩阵，即
TQm ST1Q rQ rQ
m 1 0 S11 S12 1 0 n11 nm y y S S x / n 1 x / n 1 m 21 22 1 0 S11 ( x / n1 ) S12 S12 n11 1 y S ( x / n )S S x / n 1 m 1 22 22 21 S11 ( x / n1 ) S12 S12 n11 y S ( x / n ) S ( x / n ) S xx /( n n ) S S x / n S 1 22 m 11 1 m 12 22 m 12 21
S12
厚透镜：透镜的厚度 d21 不可忽略
S R2T21R1
0 1 1 1 2 1 0 1 0 1 d / n 1 21 1 1 2 1 0 1 d / n d / n 1 21 1 21 1 1d 21 / n 1 1 2 d 21 / n 2 d /n d / n 1 21 1 21
几何光学中的光线传输矩阵
0
1
1
0
1
L
1
2 R2
0
1
1
0
L
1
r1
1
A C
B D
r1
1
T
r1
1
傍轴光线在腔内完成一次往返总的变换矩阵为
T
A C
B D
1 2
R1
0 1
1 0
L
1
1 2
R2
0 1
1 0
L
1
TR1TLTR 2TL
A 1 2L R2
B 2L(1
L)
The sign of R is the same as that of the
一 光线传输矩阵
• 腔内任一傍轴光线在某一给定的横截面内都 可以由两个坐标参数来表征：光线离轴线的
距离r、光线与轴线的夹角。规定：光线出 射方向在腔轴线的上方时， 为正；反之，
为负。
• 光线在自由空间行进距离L时所引起的坐标
变换为
1 L
TL 0
1
球面镜对傍轴光线的 变换矩阵为（R为球 面镜的曲率半径）
otherwise.
三 共轴球面腔的稳定性条件
(mode stability criteria)
• 傍轴光线能在腔内往返任意多次而不横向逸 出腔外，要求n次往返变换矩阵Tn的各个元
素An、Bn、Cn、Dn对任意n值均保持有限
1 1 ( A D) 1 简单共轴
2
球面腔
0 (1 L )(1 L ) 1
二 腔内光线往返传播的矩阵表示
• 由曲率半径为R1和R2的两个球面镜M1和M2组 成的共轴球面腔，腔长为L，开始时光线从M1 面上出发，向M2方向行进
Mathematica在几何光学中的一般应用
!" !" ! " ! " !" ! " ! "
0 1 φk- 1 a 11 a1 2 1 φk 1 = a 21 a 22 0 1 - dk/n k 1 0 1 1 φk 1 φk-1 = 0 1 - dk/nk 1- φ k- 1dk/nk 1- φkdk/nk φk+ φ k- 1 φ kφ k-1d k/nk = 1φ - dk/n k k-1dk/nk
可简写为
(6 )
Lk- 1, r=R k- 1 Lk- 1, i (7 ) 这就是第 K- 1 面将光线 Lk-1, i 变换为光线 Lk- 1, r 的表达式。
按照图形的几何关系, 我们有第 K- 1 面到第 K 面的过渡关系:
nkuk= n' k- 1u' k- 1+0 yk =- dku' k- 1+ y' k- 1 同样, 可改写为: 1 0 n 'k - 1 u 'k- 1 = ( 8) yk - d k /n ' k - 1 1 y' k - 1 其中 2 ×2 矩阵为过渡矩阵, 用它将光线由 Mk-1 过渡到 Mk, 记作
A ≡R k Tk, k-1 Rk- 1
即
( 14 )ຫໍສະໝຸດ A=光线 S k-1 M , 有 k- 1 在第 K- 1 表面 , 根据公式
n' k- 1 - nk- 1 = n' k- 1- nk- 1 = φ (1 ) k- 1 S' k- 1 Sk- 1 rk- 1 其中 φ k- 1 为第 K- 1 面的 光焦度 , 两端 均乘以 yk- 1 并引 入- uk -1= yk- 1 , - u' = yk -1 , 则有 k-1 - Sk-1 - Sk-1 n' k-1- u' k- 1= nk- 1uk- 1+ yk-1 φk- 1 (2 ) yk-1 为入射光线在第 K- 1 表面上的入射点 Mk- 1 的离轴高度, 也是 第 K- 1 表面上折射光线的高度 y' k- 1, 即 y' k- 1= 0+ yk-1
矩阵投影是什么原理的应用
矩阵投影是什么原理的应用引言在计算机图形学中，矩阵投影是一种常用的技术，它用于将三维空间中的物体投影到二维平面上，以便在屏幕上显示。
矩阵投影的原理是将三维场景的坐标转换为二维屏幕上的坐标，从而实现透视效果或正交投影。
本文将介绍矩阵投影的原理以及它在计算机图形学中的应用。
矩阵投影的原理矩阵投影的原理可以用线性代数中的矩阵乘法来描述。
通常情况下，矩阵投影可以分为透视投影和正交投影两种类型。
透视投影透视投影是模拟人眼视角的投影方式，它可以产生透视效果。
透视投影通常使用透视投影矩阵来实现，该矩阵可以将三维场景中的坐标映射到二维屏幕上。
透视投影矩阵的计算公式如下：P = M * V * P其中，P是透视投影矩阵，M是模型变换矩阵，V是视图变换矩阵，P是投影变换矩阵。
通过将模型变换、视图变换和投影变换相乘，可以得到最终的透视投影矩阵。
正交投影正交投影是一种无透视效果的投影方式，它可以保持物体在不同距离上的大小不变。
正交投影通常使用正交投影矩阵来实现，该矩阵可以将三维场景中的坐标映射到二维屏幕上。
正交投影矩阵的计算公式如下：P = M * V * P其中，P是正交投影矩阵，M是模型变换矩阵，V是视图变换矩阵，P是投影变换矩阵。
通过将模型变换、视图变换和投影变换相乘，可以得到最终的正交投影矩阵。
矩阵投影的应用矩阵投影在计算机图形学中有广泛的应用，它可以用于实现透视效果、画面裁剪、阴影效果等。
透视效果透视投影可以产生透视效果，使得物体在不同距离上呈现出不同的大小。
这种效果可以让场景更加逼真，增强观察者的沉浸感。
透视投影广泛应用于三维游戏、虚拟现实等领域。
画面裁剪矩阵投影可以通过设置投影矩阵的参数，实现对场景的裁剪。
裁剪可以提升渲染效率，减少不必要的计算和绘制。
画面裁剪常用于遮挡剔除、镜头裁剪等场景。
阴影效果矩阵投影可以用于实现阴影效果。
通过将物体的阴影投影到二维屏幕上，可以模拟出真实世界中的阴影效果。
阴影效果可以使得场景更加逼真，增强观察者的沉浸感。
矩阵在几何光学中的应用
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
工科物理 1998 年第 8 卷第 6 期 光学中的所有公式. 例如, 当光学系统为置于 空气 + k2 f ′ n′ 1
= (n ′ 1) 1 1
r1
17
总之, 利用矩阵方法, 的确可以很简便地 处理近轴几何光学中的主要问题. 当然, 这种 处理方法还可推广到非近轴几何光学中.
参 考 文 献
[ 1 ] 吴百诗 1 大学物理 1 西安: 西安交通大学出版
-
1
r2
+
n′ 1 1 l′ 1 n′ 1 r1 r2
这是几何光学中著名的透镜制造者方程.
nΑ 1 = nΑ x 1 = l Α+ x
1 传播矩阵与折射矩阵
在几何光学中, 借助于光线概念来研究 光在均匀介质中的传播或光通过某一光学系 统的传播及成像等问题. 利用矩阵作为数学 工具, 可以简化对上述问题的研究. 如图 1 所示, 设光线靠近光轴在折射率 为 n 的均匀介质中通过 P、 . 为了确定 Q 两点 光线的踪迹, 需要离光轴的横向位置 x 和光 线与光轴之间的夹角 Α这两个参量. 对于近 轴光线应有PQ ∆ l , 且
作了修改. 现将修改后的图刊登如下:
图 1 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
n′ ′ 1Α 1 x′ 1
=
1
-
n′ n1 1 r1
n1Α 1 x1
( 6) ( 5)
n′ n′ 1- n1 2- n2 其中, k 1 = , k2= , 并且 n 2 = n ′ . 1 r1 r2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
几何光学中的矩阵方法
几何光学是基于几何学研究光学的基本方法。
几何光学，尤其是矩阵方法在研究光学系统成像时有着巨大的优势。
本文通过论述矩阵方法在几何光学中的应用，介绍描述傍轴光线成像的光学ABCD矩阵。
同时进一步将矩阵方法拓展至非傍轴光线，得到描述任意光线成像的严格ABCD矩阵。
在光学研究中，当光波长远小于研究对象的尺寸时，通常会利用几何光学方法来研究光线的传播。
几何光学中光线的传播遵循三个基本定律：1. 光在自由空间中沿直线独立传播；2. 光的折射定律；3. 光的反射定律。
虽然几何光学忽略了光的波动性，无法解释干涉、衍射等物理现象，但是其在光学系统成像性质的研究中有着巨大的优势。
光学系统成像的核心是光学系统变换。
1840年C. Gauss建立了高斯光学，用来研究理想光学系统傍轴成像（即满足傍轴近似的光线的成像）性质。
傍轴近似下，光线与光学系统中心轴的夹角很小，可以使用小角近似关系，。
在这种近似下，光学系统变换退化为线性变换，因此可以用矩阵方法来进行描述。
矩阵方法最初是由R. A. Sampson引入几何光学，用来处理几何像差等问题错误！未找到引用源。
之后矩阵方法拓展至研究非傍轴成像，为非傍轴成像的研究提供了新的方法。
本文分为两部分，第一部分着重于傍轴近似下的矩阵方法，介绍ABCD矩阵对光学系统变换的描述。
第二部分拓展至包括非傍轴光线的任意光线的传播，介绍并推导严格ABCD矩阵。
一傍轴光线成像与矩阵
上述结论基于傍轴近似，研究的是理想光学系统的傍轴成像。
然而实际成像系统中，非傍轴光线成像造成的影响往往是不可忽略的。
非傍轴光线与傍轴光线往往不是成像于同一点，即非傍轴光线与傍轴光线成像之间存在差异，称之为几何像差。
实际成像中，我们需要关注成像质量，即需要去衡量几何像差的大小。
这种情况下，傍轴ABCD矩阵是无法解决的。
我们需要引入可以描述非傍轴光线的ABCD矩阵，即严格ABCD矩阵。
二任意光线成像与严格ABCD矩阵
对于任意光线的成像，我们希望同样能够用矩阵进行描述，同时能够保持与傍轴ABCD矩阵相似的形式。
因此我们尝试去除傍轴近似，来得到严格的变换关系，即严格ABCD矩阵错误！未找到引用源。
对于共轴光学系统，光线成像依旧可以分成自由空间传播、折射与反射三种情况。
首先我们讨论折射情况。
从几何学的角度，我们首先作出入射光线与折射光线所在直线。
设折射点为，在入射光线所在的直线上作，在折射光线所在直
线上作，同时作到半径的垂线，如错误！未找到引用源。
可以看出，球面折射和自用空间传播的严格ABCD矩阵与傍轴ABCD矩阵保持了形式上的一致性。
特别的，当光线传播过程中满足傍轴近似是，严格ABCD 矩阵（22）和（26）会退化为傍轴ABCD矩阵（11）和（6）。
由于严格ABCD 矩阵不仅仅依赖光学系统本身的几何性质，还依赖于入射光线的光线矢量，因此我们无法通过直接的矩阵乘法得到复杂系统的严格ABCD矩阵。
然而我们可以利用严格ABCD矩阵对几何光学中光线的严格传播进行模拟。
三总结
矩阵方法是几何光学中处理光学系统成像的基本方法。
本文对当前几何光学中常用的矩阵方法进行了介绍与总结。
传统的傍轴ABCD矩阵方法可以很好的描述高斯光学中的相关问题，放大率、拉格朗日-赫姆霍兹不变式等都可以由傍轴ABCD理论直接得出。
然而由于傍轴ABCD矩阵的使用需要满足傍轴近似，非傍轴光线成像中的几何像差无法由传统傍轴ABCD得出。
严格ABCD矩阵在保持了傍轴ABCD矩阵的同时，能够描述非傍轴光线的严格传播，虽然在形式上难以进行直接的计算，然而在计算机技术蓬勃发展的今天，严格ABCD矩阵为计算机模拟光线的严格传播提供了有效的理论基础。
综上所述，矩阵方法是处理几何光学中光学系统成像的有效工具。