全等三角形经典培优题型含答案-精品

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初中数学数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(含答案

初中数学数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(含答案

初中数学数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(含答案一、全等三角形截长补短1.如图1,在四边形ABCD中,AC交BD于点E,△ADE为等边三角形.(1)若点E为BD的中点,AD=4,CD=5,求△BCE的面积;(2)如图2,若BC=CD,点F为CD的中点,求证:AB=2AF;(3)如图3,若AB∥CD,∠BAD=90°,点P为四边形ABCD内一点,且∠APD=90°,连接BP,取BP的中点Q,连接CQ.当AB=62,AD=42,tan∠ABC=2时,求CQ+10BQ的最小值.102.如图,△ABC为等边三角形,直线l经过点C,在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC=60°.(1)如图1,在l上位于C点左侧取一点E,使∠AEC= 60°,求证:△AEC≌△CDB;(2)如图2,点F、G在直线l上,连AF,在l上方作∠AFH =120°,且AF=HF,∠HGF =120°,求证:HG+BD=CF;(3)在(2)的条件下,当A、B位于直线l两侧,其余条件不变时(如图3),线段HG、CF、BD的数量关系为.3.如图,在ABC 中,AC BC =,AD 平分CAB ∠.(1)如图1,若90ACB =︒,求证:AB AC CD =+;(2)如图2,若AB AC BD =+,求ACB ∠的度数;(3)如图3,若100ACB ∠=︒,求证:AB AD CD =+.4.已知,90POQ ∠=,分别在边OP ,OQ 上取点A ,B ,使OA OB =,过点A 平行于OQ 的直线与过点B 平行于OP 的直线相交于点C .点E ,F 分别是射线OP ,OQ 上动点,连接CE ,CF ,EF .(1)求证:OA OB AC BC ===;(2)如图1,当点E ,F 分别在线段AO ,BO 上,且45ECF ∠=时,请求出线段EF ,AE ,BF 之间的等量关系式;(3)如图2,当点E ,F 分别在AO ,BO 的延长线上,且135ECF ∠=时,延长AC 交EF 于点M ,延长BC 交EF 于点N .请猜想线段EN ,NM ,FM 之间的等量关系,并证明你的结论.5.如图所示,已知AC 平分∠BAD ,180B D ∠+∠=︒,CE AB ⊥于点E ,判断AB 、AD 与BE 之间有怎样的等量关系,并证明.6.阅读材料并完成习题:在数学中,我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题.请看这个例题:如图1,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,若AC=2cm,求四边形ABCD的面积.解:延长线段CB到E,使得BE=CD,连接AE,我们可以证明△BAE≌△DAC,根据全等三角形的性质得AE=AC=2,∠EAB=∠CAD,则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°,得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC,这样,四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积.(1)根据上面的思路,我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2.(2)请你用上面学到的方法完成下面的习题.如图2,已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm,∠G=∠N=90°,求五边形FGHMN的面积.⊥交AD于7.如图,四边形ABCD为矩形,F为对角线BD上一点,过点F作FE BD点H,交BA的延长线于点E,连接AF,当FD FE=时,求证:2+=.AH AB AF8.如图,正方形ABCD的对角线相交于点O.点E是线段DO上一点,连接CE.点F是∠OCE的平分线上一点,且BF⊥CF与CO相交于点M,点G是线段CE上一点,且CO=CG.(1)若OF=4,求FG的长;(2)求证:BF=OG+CF.9.已知平行四边形ABCD 中,N 是边BC 上一点,延长DN 、AB 交于点Q ,过A 作AM ⊥DN 于点M ,连接AN ,则AD ⊥AN .(1)如图①,若tan ∠ADM =34,MN =3,求BC 的长; (2)如图②,过点B 作BH ∥DQ 交AN 于点H ,若AM =CN ,求证:DM =BH +NH .10.如图1,在ABC ∆中,ACB ∠是直角,60B ∠=︒,AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线,AD 、CE 相交于点F .(1)求出AFC ∠的度数;(2)判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由.(提示:在AC 上截取CG CD =,连接FG .)(3)如图2,在△ABC ∆中,如果ACB ∠不是直角,而(1)中的其它条件不变,试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、全等三角形截长补短1.(1)3923S BCE =△证明见解析(3)CQ 10BQ 的最小值为5【分析】(1)根据点E 是BD 的中点,可得BCE CDE S S =△△ ,在作边CE 的高DF ,根据等边三角形三线合一DF 也是AED 的高,根据勾股定理计算出DF 的长度,在直角三角形DFC 中利用勾股定理计算出CF ,得出CE 的值,利用三角形的面积公式计算出面积.(2)延长AF ,是2AF =AG ,证明ADF CF ≅△△G ,得出CM=AD ,再根据ACD BDC ∠+∠= 60°,得出ACG ∠ =ABE ∠ ,从而证明ABE AMC ≅△△ ,得出AB=AG ,得出结论.(3)根据APD ∠ =90°,知道点P 的运动轨迹是以AD 为直径的圆,圆心记为N ,点Q 是BP 的中点,得到点Q 的运动轨迹是以BN 的中点为圆心,半径为2 的圆。

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三角形培优练习题1已知:AB=4 , AC=2 , D是BC中点,AD是整数,求AD2 已知:BC=DE,/ B= / E,/ C= / D , F 是CD 中点,求证:A 3 已知:/ 1 = / 2, CD=DE , EF//AB,求证:EF=AC4 已知:AD 平分/ BAC , AC=AB+BD,求证:/ B=2 / C5 已知:AC 平分/ BAD , CE丄AB,/ B+ / D=180 °,求证:AE=AD+BE6如图,四边形ABCD中,AB // DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD ,且点E在AD上。

求证:BC=AB+DC。

7 已知:AB=CD,/ A= / D,求证:/ B= / C8.P 是/ BAC 平分线AD 上一点,AC>AB,求证:PC-PB<AC-AB9 已知,E 是AB 中点,AF=BD , BD=5 , AC=7,求DC10.如图,已知AD // BC ,Z PAB的平分线与/ CBA的平分线相交于E, CE的连线交AP 于D .求证:AD + BC=AB.11如图,△ ABC中,AD是/ CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证:/ C=2/ B12 如图:AE BC交于点M F 点在AMk, BE// CF, BE=CF求证:人皿是厶ABC的中线。

E13已知:如图,AB=AC, BD AC, CE AB,垂足分别为D、E, BD、CE相交于点F。

求证:BE =CD.C14在厶ABC中,ACB 90 , AC BC,直线MN经过点C,且AD MN于D ,BE MN于E •⑴当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:① ADC也CEB :②DE AD BE ;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,15 如图所示,已知AE! AB, AF丄AC, AE=AB AF=AC 求证:(1) EC=BF ( 2) EC丄BF请给出证明;若不成立,说明理由B C16.如图,已知AC // BD , EA、EB分别平分/ CAB和/ DBA , CD过点E,贝U AB与AC+BD 相等吗?请说明理由17.如图9所示,△ ABC是等腰直角三角形,/ ACB = 90°, AD是BC边上的中线,过C 作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:/ ADC = Z BDE .图9全等三角形证明经典(答案)1. 延长AD 至U E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD 是整数,则AD=52 证明:连接BF 和EF。

部编数学八年级上册第十二章全等三角形单元培优训练(解析版)含答案

部编数学八年级上册第十二章全等三角形单元培优训练(解析版)含答案

2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练(人教版)第十二章 全等三角形单元培优训练班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________考试范围:第12章 全等三角形,共23题; 考试时间:120分钟; 总分:120分一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)1.(2022·全国·八年级单元测试)已知图中的两个三角形全等,则∠a 等于( )A .72oB .60oC .58oD .50o 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质:全等三角形对应角相等,即可得到结论.【详解】Q 图中的两个三角形全等,a Ð 为a 和c 的夹角又Q 第一个三角形中a 和c 的夹角为50°\ 50a Ð=°故选:D .【点睛】本题考查了全等三角形的性质,准确找到对应角是解题的关键.2.(2022·江苏·八年级单元测试)如图,14AB =,6AC =,AC AB ^,BD AB ^,垂足分别为A 、B .点P 从点A 出发,以每秒2个单位的速度沿AB 向点B 运动;点Q 从点B 出发,以每秒a 个单位的速度沿射线BD 方向运动.点P 、点Q 同时出发,当以P 、B 、Q 为顶点的三角形与CAP V 全等时,a 的值为( )A .2B .3C .2或3D .2或127【答案】D3.(2022·江苏·八年级专题练习)如图,AOB ADC △≌△,点B 和点C 是对应顶点,90O D Ð=Ð=°,记,,OAD ABO ABC ACB a b Ð=Ð=Ð=Ð,当//BC OA 时,a 与b 之间的数量关系为( )A .a b=B .2a b =C .90a b +=°D .2180a b +=°【答案】B 【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB =AC ,全等三角形对应角相等可得∠BAO =∠CAD ,然后求出∠BAC =α,再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC ,然后根据两直线平行,同旁内角互补表示出∠OBC ,整理即可.【详解】∵AOB ADC △≌△,∴BAO CAD Ð=Ð,4.(2022·全国·八年级单元测试)如图,△ABC≌△ADE,如果AB=5cm,BC=7cm,AC=6cm,那么DE 的长是( )A.6cm B.5cm C.7cm D.无法确定【答案】C【分析】根据全等三角形的性质计算即可;【详解】∵△ABC≌△ADE,=,∴BC DE∵BC=7cm,∴7=;DE cm故答案选C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质,掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键.∥,5.(2022·全国·八年级专题练习)如图,把△ABC沿线段DE折叠,使点B落在点F处;若AC DE∠A=70°,AB=AC,则∠CEF的度数为()A .55°B .60°C .65°D .70°【答案】D 【分析】由于折叠,可得三角形全等,运用三角形全等得出55B C Ð=Ð=°,利用平行线的性质可得出55DEB C Ð=Ð=°,则CEF Ð即可求.【详解】解:ABC Q V 沿线段DE 折叠,使点B 落在点F 处,BDE FDE \@V V ,DEB DEF \Ð=Ð,70A AB AC Ð=°=,Q ,12180705)5(B C \Ð=Ð=´°-°=°,AC DE ∥Q ,55DEB C DEF \Ð=Ð=°=Ð,18070FEC DEB DEF \Ð=°-Ð-Ð=°,故选:D .【点睛】本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理、平行线的性质;解题的关键是理解折叠就是得到全等的三角形,根据全等三角形的对应角相等就可以解决.6.(2022·全国·八年级专题练习)如图,已知△ABC ≌△DEF ,CD 平分∠BCA ,若∠A =30°,∠CGF =88°,则∠E 的度数是( )A .50°B .44°C .34°D .30°【答案】C二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)7.(2022·江苏·八年级专题练习)如图,图中由实线围成的图形与①是全等形的有______.(填番号)【答案】②③【分析】根据全等图形的定义,两个图形必须能够完全重合才行.【详解】观察图形,发现②③图形可以和①图形完全重合故答案为:②③.【点睛】本题考查全等的概念,任何一组图形,要想全等,则这组图形必须能够完全重合.8.(2022·江苏·八年级专题练习)如图,△ABC 中,∠A :∠ABC :∠ACB =3:5:10,又△A ′B ′C ≌△ABC ,则∠BCA ′:∠BCB ′的值为_____.9.(2022·江苏·八年级专题练习)如图,,125,25,ABC ADE EAB CAD BAC Ð=°Ð=°ÐV V ≌的度数为___________.【答案】75°【分析】根据全等三角形的性质求出∠EAD =∠CAB ,求出∠DAB =∠EAC =50°,即可得到∠BAC 的度数.【详解】解:∵V ABC ≌V ADE ,10.(2022·全国·八年级专题练习)如图所示的网格是正方形网格,图形的各个顶点均为格点,则∠P +∠Q =__________度.【答案】45【分析】如图,直接利用网格得出对应角P AQC ÐÐ=,进而得出答案.【详解】如图,易知ABP ACQ V V ≌,∴P AQC ÐÐ=,∵BQ 是正方形的对角线,∴45BQC BQA AQC P Q ÐÐ+Ð=Ð+Ð=°=,故答案为:45.【点睛】本题考查了全等三角形,正确借助网格分析是解题关键.11.(2022·全国·八年级课时练习)如图,已知△ABC ≌△ADE ,若AB=7,AC=3,则BE 的值为_________.【答案】4【分析】根据△ABC ≌△ADE ,得到AE=AC ,由AB=7,AC=3,根据BE=AB-AE 即可解答.【详解】解:∵△ABC ≌△ADE ,∴AE=AC ,∵AB=7,AC=3,∴BE=AB-AE=AB-AC=7-3=4.故答案为:4.【点睛】本题考查全等三角形的性质,解决本题的关键是熟记全等三角形的对应边相等.12.(2022·江西上饶·八年级期末)如图,在△ABC 中,90ACB Ð=°,AC =8cm ,BC =10cm .点C 在直线l 上,动点P 从A 点出发沿A →C 的路径向终点C 运动;动点Q 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点A 运动.点P 和点Q 分别以每秒1cm 和2cm 的运动速度同时开始运动,其中一点到达终点时另一点也停止运动,分别过点P 和Q 作PM ⊥直线l 于M ,QN ⊥直线l 于N .则点P 运动时间为____秒时,△PMC 与△QNC 全等.【答案】2或6##6或2【分析】设点P 运动时间为t 秒,根据题意化成两种情况,由全等三角形的性质得出CP CQ =,列出关于t 的方程,求解即可.【详解】解:设运动时间为t 秒时,△PMC ≌△CNQ ,∴斜边CP CQ =,分两种情况:①如图1,点P 在AC 上,点Q 在BC 上,图1∵AP t =,2BQ t =,∴8CP AC AP t =-=-,102CQ BC BQ t =-=-,∵CP CQ =,∴8102t t -=-,∴2t =;②如图2,点P 、Q 都在AC 上,此时点P 、Q 重合,图2∵8CP AC AP t =-=-,210CQ t =-,∴8210t t -=-,∴6t =;综上所述,点P 运动时间为2或6秒时,△PMC 与△QNC 全等,故答案为:2或6.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用,根据题意判断两三角形全等的条件是解题关键,同时要注意分情况讨论,解题时避免遗漏答案.三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)13.(2022·全国·八年级课时练习)如图,△ABD ≌△ACE ,写出对应边和对应角,并证明∠1=∠2.【答案】见解析,证明见解析Ð=Ð,根据等角的补角相等即可求【分析】根据全等三角形的性质写出对角与对应边,根据ADB AEC解.【详解】解:∵△ABD≌△ACE,\===,AB AC AD AE BD CE,,A ABC ADB AECÐ=ÐÐ=ÐÐ=Ð;,,Ð=Ð,证明:∵ADB AEC\°-Ð=°-Ð,ADB AEC180180即12Ð=Ð.【点睛】本题考查了全等三角形的性质,等角的补角相等,掌握全等三角形的性质是解题的关键.14.(2022·全国·八年级专题练习)如图所示,A,C,E三点在同一直线上,且△ABC≌△DAE.(1)求证:BC=DE+CE;∥?(2)当△ABC满足什么条件时,BC DE【答案】(1)见解析∥(2)当∠ACB为直角时,BC DE【分析】(1)根据全等三角形的性质得出AE=BC,AC=DE,据此即可证得;(2)根据平行线的性质得出∠BCE=∠E,根据全等三角形的性质得出∠ACB=∠E,求出∠ACB=∠BCE,再求出答案即可.(1)证明:∵△ABC ≌△DAE ,∴AE =BC ,AC =DE ,又∵AE =AC +CE ,∴BC =DE +CE ;(2)解:∵BC DE ∥,∴∠BCE =∠E ,又∵△ABC ≌△DAE ,∴∠ACB =∠E ,∴∠ACB =∠BCE ,又∵∠ACB +∠BCE =180°,∴∠ACB =90°,即当△ABC 满足∠ACB 为直角时,BC DE ∥.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质,能灵活运用定理进行推理是解此题的关键,注意:全等三角形的对应边相等,对应角相等.15.(2022·全国·八年级专题练习)如图,点A ,B ,C 在同一直线上,点E 在BD 上,且ABD EBC V V ≌,2cm AB =,3cm BC =.(1)求DE 的长;(2)判断AC 与BD 的位置关系,并说明理由.(3)判断直线AD 与直线CE 的位置关系,并说明理由.【答案】(1)1cm DE =;(2)AC BD ^.理由见解析;(3)直线AD 与直线CE 垂直.理由见解析【分析】(1)由题意根据全等三角形的对应边相等得到BD=BC=5cm ,BE=AB=2cm ,计算即可;(2)由题意直接根据全等三角形的对应角相等和平角的定义解答;(3)由题意延长CE 交AD 于F ,进而根据全等三角形的对应角相等和三角形内角和定理进行分析解答即可.【详解】解:(1)ABD EBC Q △≌△,3cm BD BC \==,2cm BE AB ==,1cm DE BD BE \=-=.(2)AC BD ^.理由:ABD EBC Q △≌△,ABD EBC Ð=Ð\.又A Q ,B ,C 在同一直线上,90EBC \=а.AC BD \^.(3)直线AD 与直线CE 垂直.理由:如图,延长CE 交AD 于F .ABD EBC Q △≌△,D C \Ð=Ð.Q 在Rt ABD △中,90A D Ð+Ð=°,90A C +Ð=\а,90AFC \Ð=°,即直线AD 与直线CE 垂直.【点睛】本题考查的是全等三角形的性质,熟练掌握全等三角形的对应边相等以及全等三角形的对应角相等是解题的关键.16.(2022·全国·八年级专题练习)如图,A ,E ,C 三点在同一直线上,且△ABC ≌△DAE .(1)线段DE ,CE ,BC 有怎样的数量关系?请说明理由.(2)请你猜想△ADE 满足什么条件时,DE ∥BC ,并证明.【答案】(1)DE =CE +BC ,理由见解析(2)当△ADE满足∠AED=90°时,DE//BC.证明见详解【分析】(1)根据全等三角形的性质得出AE=BC,DE=AC,再求出答案即可;(2)根据全等三角形的性质得出∠AED=∠C,根据两直线平行,内错角相等,得出∠C=∠DEC,再根据邻补角互补得出∠AED+∠DEC=180°,再求出∠AED=90°即可.(1)解:DE=CE+BC.理由:∵△ABC≌△DAE,∴AE=BC,DE=AC.∵A,E,C三点在同一直线上,∴AC=AE+CE,∴DE=CE+BC.(2)猜想:当△ADE满足∠AED=90°时,DE//BC.证明:∵△ABC≌△DAE,∴∠AED=∠C,又∵DE∥BC,∴∠C=∠DEC,∴∠AED=∠DEC.又∵∠AED+∠DEC=180°,∴∠AED=∠DEC=90°,∴当△ADE满足∠AED=90°时,DE∥BC.【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等量代换、平行线的性质、邻补角互补,解本题的关键在熟练掌握相关性质.17.(2022·全国·八年级专题练习)如图,已知△ABC≌△DEB,点E在AB上,AC与BD交于点F,AB=6,BC=3,∠C=55°,∠D=25°.(1)求AE的长度;(2)求∠AED的度数.【答案】(1)3AE =;(2)80AED Ð=°.【分析】(1)先根据全等三角形的性质可得3BE BC ==,再根据线段的和差即可得;(2)先根据全等三角形的性质可得55DBE C Ð=Ð=°,再根据三角形的外角性质即可得.【详解】解:(1)∵,3ABC DEB BC @=V V ,∴3BE BC ==,∵6AB =,∴633AE AB BE =-=-=;(2)∵ABC DEB @△△,∴55DBE C Ð=Ð=°,∵25D Ð=°,∴552580AED DBE D Ð=Ð+Ð=°+°=°.【点睛】本题考查全等三角形的性质等知识点,熟练掌握全等三角形的对应角和对应边相等是解题关键.四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)18.(2021·全国·八年级专题练习)如图,ABC DEB V V ≌,点E 在AB 上,DE 与AC 相交于点F ,若7DE =,4BC =,35D Ð=°,60C Ð=°.(1)求线段AE 的长;(2)求DFA Ð的度数.【答案】(1)3AE =;(2)130DFA Ð=°【分析】(1)根据全等三角形的性质解答即可;(2)根据全等三角形的性质以及三角形的外角性质解答即可.【详解】(1)∵ABC DEB V V ≌,∴7AB DE ==,4BC BE ==,∵点E 在AB 上,∴AE BE AB +=,∴743AE AB BE =-=-=;(2)∵ABC DEB V V ≌,∴∠A=∠D=35°,60C DBE °Ð=Ð=,95AEF DBE D Ð=Ð+Ð=°,130DFA AEF A °Ð=Ð+Ð=.【点睛】本题考查了全等三角形的性质,三角形的外角性质,关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等分析.19.(2022·全国·八年级专题练习)如图,,ABF CDE B ÐV V ≌和D Ð是对应角,AF 和CE 是对应边.(1)写出ABF V 和CDE △的其他对应角和对应边;(2)若30,40B DCF Ð=°Ð=°,求EFC Ð的度数;(3)若10,2BD EF ==,求BF 的长.【答案】(1)其他对应角为BAF Ð和DCE Ð,AFB Ð和CED Ð;其他对应边为AB 和,CD BF 和DE ;(2)70EFC Ð=°;(3)6BF =.【分析】(1)根据全等三角形的性质,对应角相等,对应边相等,解答即可;(2)根据全等三角形的性质可得30D B Ð=Ð=°,运用三角形外角的性质即可解答;(3)根据全等三角形的性质可得BF DE =,进一步证明DF BE =,然后可得426BF BE EF =+=+=.【详解】(1)其他对应角为:BAF Ð和DCE Ð,AFB Ð和CED Ð;其他对应边为:AB 和,CD BF 和DE ;(2)∵,30ABF CDE B Ð=°V V ≌,20.(2022·浙江·八年级专题练习)如图,ABC V ≌ADE V ,AC 和AE ,AB 和AD 是对应边,点E 在边BC 上,AB 与DE 交于点F .(1)求证:CAE BAD Ð=Ð;(2)若35BAD Ð=°,求BED Ð的度数.【答案】(1)见解析;(2)35°【分析】(1)根据ABC V ≌ADE V ,可得∠BAC =∠DAE ,即可求证;(2)由(1)可得∠CAE =35°,再由ABC V ≌ADE V ,可得∠C =∠AED ,然后根据三角形外角的性质,可得∠BED =∠CAE ,即可求解.【详解】(1)证明:∵ABC V ≌ADE V ,∴∠BAC =∠DAE ,即∠CAE +∠BAE =∠BAD +∠BAE ,(2)∵35BAD Ð=°,CAE BAD Ð=Ð,∴∠CAE =35°,∵ABC V ≌ADE V ,∴∠C =∠AED ,∵∠AEB =∠C +∠CAE ,∠AEB =∠AED +∠BED ,∴∠BED =∠CAE =35°.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质,熟练掌握全等三角形的对应角相等,对应边相等是解题的关键.五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)21.(2022·全国·八年级课时练习)如图,已知△ABC ≌△DEF ,点B ,E ,C ,F 在同一直线上.(1)若∠BED =130°,∠D =70°,求∠ACB 的度数;(2)若2BE =EC ,EC =6,求BF 的长.【答案】(1)60°(2)12【分析】(1)根据三角形的外角的性质求出∠F ,再根据全等三角形的对应角相等解答;(2)根据题意求出BE 、BC ,再根据全等三角形的性质解答.(1)解:∵∠BED =130°,∠D =70°,∴∠F =∠BED -∠D =60°,∵V ABC ≌V DEF ,∴∠ACB =∠F =60°;(2)∵2BE =EC ,EC =6,∴BE =3,∴BC =BE +EC =9,∵V ABC ≌V DEF ,∴EF =BC =9,∴BF =EF +BE =12.【点睛】本题考查的是全等三角形的性质,掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键.22.(2021·全国·八年级单元测试)如图△ADF ≌△BCE ,∠B =40°,∠F =22°,BC =2cm ,CD =1cm .求:(1)∠1的度数;(2)AC 的长.【答案】(1)62°;(2)3cm【分析】(1)根据全等三角形的性质可得22E F Ð=Ð=°,由三角形外角的性质可得1B E Ð=Ð+Ð,即可求解;(2)由全等三角形的性质可得AD BC =,即可求解.【详解】解:(1)∵ADF BCEV V ≌∴22E F Ð=Ð=°由三角形外角的性质可得:162B E Ð=Ð+Ð=°∠1的度数为62°(2)∵ADF BCEV V ≌∴2AD BC cm==∴3AC AD CD cm=+=即AC 的长为3cm【点睛】此题考查了全等三角形的性质,涉及了三角形外角的性质,掌握全等三角形的有关性质是解题的关键.六、(本大题共12分)23.(2022·全国·八年级课时练习)如图,在ABC V 中,4cm,,4cm BC AE BC AE ==∥,点N 从点C 出发,沿线段CB 以2cm/s 的速度连续做往返运动,点M 从点A 出发沿线段AE 以1cm/s 的速度运动至点E .M 、N 两点同时出发,连结,MN MN 与AC 交于点D ,当点M 到达点E 时,M 、N 两点同时停止运动,设点M 的运动时间为(s)t .(1)当3t =时,线段AM 的长度=___________cm ,线段BN 的长度=___________cm .(2)当BN AM =时,求t 的值.(3)连接AN ,当ABN V 的面积等于ABC V 面积的一半时,直接写出所有满足条件的t 值.(4)当ADM CDN △≌△时,直接写出所有满足条件的t 值.。

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三角形培优练习题1已知:AB=4 , AC=2 , D是BC中点,AD是整数,求AD2 已知:BC=DE,/ B= / E,/ C= / D , F 是CD 中点,求证:A 3 已知:/ 1 = / 2, CD=DE , EF//AB,求证:EF=AC4 已知:AD 平分/ BAC , AC=AB+BD,求证:/ B=2 / C5 已知:AC 平分/ BAD , CE 丄 AB ,/ B+ / D=1806如图,四边形 ABCD 中,AB // DC , BE 、CE 分别平分/ ABC 、/ BCD ,且点E 在AD 上。

求证:BC=AB+DC 。

7 已知:AB=CD ,/ A= / D ,求证:/ B= / C8.P 是/ BAC 平分线 AD 上一点,AC>AB ,求证:PC-PB<AC-AB,求证:AE=AD+BE9 已知,E 是AB 中点,AF=BD , BD=5 , AC=7,求DC10.如图,已知AD // BC ,Z PAB的平分线与/ CBA的平分线相交于E, CE的连线交AP 于D .求证:AD + BC=AB.11如图,△ ABC中,AD是/ CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证:/ C=2/ B12 如图:AE BC交于点M F 点在AMk, BE// CF, BE=CF求证:人皿是厶ABC的中线。

E13已知:如图,AB=AC , BD AC , CE AB ,垂足分别为 D 、E , BD 、CE 相交于点F 。

求证:BE =CD .C14在厶ABC 中,ACB 90 , AC BC ,直线MN 经过点C ,且AD MN 于D ,BE MN 于E •⑴ 当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时, 求证: ① ADC 也 CEB :②DE AD BE ;(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,15 如图所示,已知 AE! AB, AF 丄 AC, AE=AB AF=AC 求证:(1) EC=BF ( 2) EC 丄BF请给出证明;若不成立,说明理由B C16.如图,已知AC // BD , EA、EB分别平分/ CAB和/ DBA , CD过点E,贝U AB与AC+BD 相等吗?请说明理由17.如图9所示,△ ABC是等腰直角三角形,/ ACB = 90°, AD是BC边上的中线,过C 作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:/ ADC = Z BDE .图9全等三角形证明经典(答案)1. 延长AD 至U E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD 是整数,则AD=52 证明:连接BF 和EF。

北师大版七年级 数学下 全等三角形的判定小题精炼培优版(包含答案)

北师大版七年级 数学下 全等三角形的判定小题精炼培优版(包含答案)

北师大七下全等三角形的判定小题精炼培优版一、单选题1.如图,AD =BC ,要得到△ABD 和△CDB 全等,可以添加的条件是( )A .AB //CD B .△ABC =△CDA C .△A =△CD .AD //BC2.如图,PD △AB ,PE △AC ,垂足分别为D 、E ,且P A 平分△BAC ,则△APD 与△APE 全等的理由是( )A .SASB .AASC .SSSD .ASA3.如图1,D 、E 、F 分别为△ABC 边AC 、AB 、BC 上的点,△A=△1=△C ,DE=DF ,下面的结论一定成立的是( )A .AE=FCB .AE=DEC .AE+FC=ACD .AD+FC=AB 4.如图,AB CD ,//AB CD ,判定ABC △CDA 的依据是( )A.SSS B.SAS C.ASA D.HL5.如图,AD△CD,AE△BE,垂足分别为D,E,且AB=AC,AD=AE,则下列结论△△ABE△△ACD△AM=AN:△△ABN△△ACM;△BO=EO;其中正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个6.如图,点B、F、C、E在一条直线上,AB△ED,AC△FD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC△△DEF的是()A.AB=DE B.AC=DF C.△A=△D D.BF=EC7.如图,已知△ABC为等边三角形,点D、E分别在边BC、AC上,且AE=CD,AD与BE相交于点F,则△BFD的度数为()A.45°B.90°C.60°D.30°8.如图所示,AB=AC,AD=AE,△BAC=△DAE,△1=25°,△2=30°,则△3=()A.60°B.55°C.50°D.无法计算9.如图,AB//DE,AC//DF,AC=DF,下列条件中,不能判定△ABC△△DEF的是A.AB=DE B.△B=△E C.EF=BC D.EF//BC10.如图所示,Rt△ABE△Rt△ECD,点B、E、C在同一直线上,则结论:△AE=ED;△AE△DE;△BC=AB+CD;△AB△DC中成立的是()A.仅△B.仅△△C.仅△△△D.仅△△△△11.如图,AC=AD,BC=BD,则下列结果正确的是()A.AB△CD B.OA=OB C.△ACD=△BDC D.△ABC=△CAB12.如图,点B、C、E在同一条直线上,△ABC与△CDE都是等边三角形,则下列结论不一定成立的是()A.△ACE△△BCD B.△BGC△△AFC C.△DCG△△ECF D.△ADB△△CEA13.下列各图中a、b、c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是()A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙14.正三角形ABC中,BD=CE,AD与BE交于点P,△APE的度数为().A.45B.55C.60D.7515.如图,在等边△ABC中,D,E分别是BC,AC上的点,且BD=CE,AD与BE相交于点P,则△1+△2的度数是()A.45°B.55°C.60°D.75°16.如图,在下列条件中,不能证明△ABD△△ACD的是().A .BD =DC ,AB =ACB .△ADB =△ADC ,BD =DC C .△B =△C ,△BAD =△CAD D .△B =△C ,BD =DC17.如图,已知12AC AD ∠=∠=,,从下列条件:△AB AE =;△BC ED =;△C D ∠=∠;△B E ∠=∠中添加一个条件,能使ABC △△AED 的有()A .1个B .2个C .3个D .4个18.如图,在Rt△AEB 和Rt△AFC 中,BE 与AC 相交于点M ,与CF 相交于点D ,AB 与CF 相交于N ,△E =△F =90°,△EAC =△FAB ,AE =AF,给出下列结论:△△B =△C ;△CD =DN ;△BE =CF ;△△ACN△△ABM;其中正确的结论是( )A .△△△B .△△△C .△△△D .△△△19.如图是由4个相同的小正方形组成的网格图,其中△1+△2等于( )A.150°B.180°C.210°D.225°20.如图,已知△DCE=90°,△DAC=90°,BE△AC于B,且DC=EC.若BE=7,AB=3,则AD的长为()A.3B.5C.4D.不确定21.如图,在△ABC中,AB=AC,△BAC=90°,直角△EPF的顶点P是BC中点,PE,PF分别交AB,AC于点E,F,给出下列四个结论:△△APE△△CPF;△AE=CF;△△EAF是等腰直角三角形;△S△ABC=2S四边形AEPF,上述结论正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个22.如图,△ABC中,AB△BC,BE△AC,△1=△2,AD=AB,则下列结论不正确的是A.BF=DF B.△1=△EFD C.BF>EF D.FD△BC23.如图,已知AB =AC ,AF =AE ,△EAF =△BAC ,点C 、D 、E 、F 共线.则下列结论,其中正确的是( )△△AFB△△AEC ;△BF =CE ;△△BFC =△EAF ;△AB =BC .A .△△△B .△△△C .△△D .△△△△二、填空题 24.如图,某同学把三角形玻璃打碎三块,现在他要去配一块完全一样的,你帮他想一想,带________片去,应用的原理是________(用字母表示).25.如图,矩形ABCD 中,E 在AD 上,且EF EC ⊥,EF EC =,2DE =,矩形的周长为16,则AE 的长是______ .26.如图所示,直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ,分别过此正方形的顶点B ,D 作BF△a 于点F ,DE△a 于点E ,若DE =8,BF =5,则EF 的长为____.27.如图,△ACB=90°,AC=BC,AD△CE于D,BE△CD于E,AD=2.5cm,DE=1.6cm,则BE的长度为________.28.如图,已知△ABC中,AB=AC=20 cm,BC=16 cm,△B=△C,点D是AB的中点,点P在线段BC上以2 cm/s的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由A点向C点运动,当△BPD与△CQP全等时,点Q的运动速度为______.29.如图所示,AB=AC,AD=AE,△BAC=△DAE,△1=25°,△2=30°,则△3=__________.30.在Rt△ABC中,△ACB=90°,BC=2cm,CD△AB,在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作EF△AC交CD的延长线于点F,若EF=5cm,则AE= cm.31.如图,CA=CB,CD=CE,△ACB=△DCE=40°,AD、BE交于点H,连接CH,则△CHE=__________.32.如图,△ACB=90°,AC=BC,BE△CE,AD△CE,垂足分别为E,D,AD=25,DE=17,则BE=______.33.如图,在△ABC中,AD△BC于D,BE△AC于E,AD与BE相交于点F,若BF=AC,则△ABC =_____度.34.如图,AC△BC,AD△DB,要使△ABC△△BAD,还需添加条件_____.(只需写出符合条件一种情况)35.如图AB=AC,AD=AE,△BAC=△DAE,△BAD=25°,△ACE=30°,则△ADE=_____.36.如图,等边△ABC 边长为10,P 在AB 上,Q 在BC 延长线,CQ =P A ,过点P 作PE △AC 点E ,过点P 作PF △BQ ,交AC 边于点F ,连接PQ 交AC 于点D ,则DE 的长为_____.37.如图,△ABC 是等边三角形,AE =CD ,AD 、BE 相交于点P ,BQ△DA 于Q ,PQ =3,EP =1,则DA 的长是________.38.如图,90C ∠=︒,10AC =,5BC =,AM AC ⊥,点P 和点Q 从A 点出发,分别在射线AC 和射线AM 上运动,且Q 点运动的速度是P 点运动的速度的2倍,当点P 运动至__________时,ABC △与APQ 全等.39.如图,AB =BC 且AB △BC ,点P 为线段BC 上一点,P A △PD 且P A =PD ,若△A =22°,则△D 的度数为_________.40.如图,在△ABC中,△A=58°,AB=AC,BD=CF,BE=CD,则△EDF=____________度。

全等三角形专题培优(带答案)

全等三角形专题培优(带答案)

全等三角形专题培优考试总分: 110 分考试时间: 120 分钟卷I(选择题)一、选择题(共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分)1.如图为个边长相等的正方形的组合图形,则A. B.C. D.2.下列定理中逆定理不存在的是()A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中,如果两边相等,那么它们所对的角也相等C.同位角相等,两直线平行D.全等三角形的对应角相等3.已知:如图,,,,则不正确的结论是()A.与互为余角B.C.D.4.如图,是的中位线,延长至使,连接,则的值为()A. B. C. D.5.如图,在平面直角坐标系中,在轴、轴的正半轴上分别截取、,使;再分别以点、为圆心,以大于长为半径作弧,两弧交于点.若点的坐标为,则与的关系为()A. B.C. D.6.如图,是等边三角形,,于点,于点,,则下列结论:①点在的角平分线上;②;③;④.正确的有()A.个B.个C.个D.个7.如图,直线、、″表示三条相互交叉的公路,现计划建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有()A.一处B.二处C.三处D.四处8.如图,是的角平分线,则等于()A. B.C. D.9.已知是的中线,且比的周长大,则与的差为()A. B.C. D.10.若一个三角形的两条边与高重合,那么它的三个内角中()A.都是锐角B.有一个是直角C.有一个是钝角D.不能确定卷II(非选择题)二、填空题(共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分)11.问题情境:在中,,,点为边上一点(不与点,重合),交直线于点,连接,将线段绕点顺时针方向旋转得第1页,共7页第2页,共7页………外………○……………………○……………………○※※请※※不※※答※※题※………内………○……………………○……………………○到线段(旋转角为),连接.特例分析:如图.若,则图中与全等的一个三角形是________,的度数为________.类比探究:请从下列,两题中任选一题作答,我选择________题. :如图,当时,求的度数; :如图,当时,①猜想的度数与的关系,用含的式子表示猜想的结果,并证明猜想;②在图中将“点为边上的一点”改为“点在线段的延长线上”,其余条件不变,请直接写出的度数(用含的式子表示,不必证明)12.如图,正方形纸片的边长为,点、分别在边、上,将、分别沿、折叠,点、恰好都落在点处,已知,则的长为________.13.在中,为的平分线,于,于,面积是,,,则的长为________.14.在中,,的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为,则等于________.15.如图,平分,于,于,,则图中有________对全等三角形.16.如图,在中,,点从点出发沿射线方向,在射线上运动.在点运动的过程中,连结,并以为边在射线上方,作等边,连结. 当________时,;请添加一个条件:________,使得为等边三角形; ①如图,当为等边三角形时,求证:;②如图,当点运动到线段之外时,其它条件不变,①中结论还成立吗?请说明理由.17.如图,从圆外一点引圆的两条切线,,切点分别为,.如果,,那么弦的长是________.18.如图,在中,,,是的平分线,平分交于,则________.19.阅读下面材料:小聪遇到这样一个有关角平分线的问题:如图,在中,,平分,, 求的长.小聪思考:因为平分,所以可在边上取点,使,连接.这样很容易得到,经过推理能使问题得到解决(如图). 请回答:是________三角形.的长为________.参考小聪思考问题的方法,解决问题: 如图,已知中,,,平分,,.求的长.20.如图,在和中,,,若要用“斜边直角边..”直接证明,则还需补充条件:________.三、解答题(共 7 小题 ,每小题 10 分 ,共 70 分 )21.如图,已知为等边三角形,为延长线上的一点,平分,,求证:为等边三角形.22.尺规作图(不要求写作法,保留作图痕迹)如图,作①的平分线;②边上的中线;22.一块三角形形状的玻璃破裂成如图所示的三块,请你用尺规作图作一个三角形,使所得的三角形和原来的三角形全等.(不要求写作法,保留作图痕迹.不能在原图上作三角形)22.如图:在正方形网格中有一个,按要求进行下列画图(只能借助于网格):①画出中边上的高(需写出结论).②画出先将向右平移格,再向上平移格后的.23.平行四边形中,,点为边上一点,连结,点在边所在直线上,过点作交于点.如图,若为边中点,交延长线于点,,,,求;如图,若点在边上,为中点,且平分,求证:;如图,若点在延长线上,为中点,且,问中结论还成立吗?若不成立,那么线段、、满足怎样的数量关系,请直接写出结论.24.如图,直线与轴、轴分别交于、两点,直线与直线关于轴对称,已知直线的解析式为,求直线的解析式;过点在的外部作一条直线,过点作于,过点作于,请画出图形并求证:;沿轴向下平移,边交轴于点,过点的直线与边的延长线相交于点,与轴相交于点,且,在平移的过程中,①为定值;②为定值.在这两个结论中,有且只有一个是正确的,请找出正确的结论,并求出其值.25.如图:,,过点,于,于,.求证:.第3页,共7页第4页,共7页26.如图,点,在上,,,,与交于点.求证:;试判断的形状,并说明理由.27.如图,已知点是平分线上一点,,,垂足为、吗?为什么?是的垂直平分线吗?为什么? 答案 1.B 2.D 3.D 4.A 5.B 6.D 7.D 8.A 9.B 10.B11.[ “”, “” ][ “” ] 12.[ “” ] 13.[ “” ] 14.[ “或” ]15.[ “” ] 16.[ “;” ][ "添加一个条件,可得为等边三角形; 故答案为:;①∵与是等边三角形, ∴,,, ∴, 即, 在与中, , ∴, ∴;②成立,理由如下; ∵与是等边三角形, ∴,,, ∴, 即, 在与中, , ∴, ∴." ] 17.[ “” ] 18.[ “” ]19.[ "解:是等腰三角形, 在与中,, ∴, ∴,, ∵, ∴, ∴,∴是等腰三角形;" ][ "的长为, ∵中,,, ∴, ∵平分, ∴,在边上取点,使,连接, 则,∴, ∴, ∴,在边上取点,使,连接, 则, ∴,, ∵, ∴, ∴, ∵,∴." ]\"go题库\"20.[ “” ]21.证明:∵为等边三角形,∴,,即,∵平分,∴,在和中,,∴,∴,,又,∴,∴为等边三角形.22.解:如图所示:;如图所示:即为所求;;①如图所示:即为所求;②如图所示:即为所求;..23.解:如图,在平行四边形中,,∴,∵在中,为的中点,,∴,又∵,∴,故可设,,则中,,解得,∴,又∵,,∴为的中点,∴;如图,延长交的延长线于点,则,∵,∴,又∵平分,∴,∴是等腰直角三角形,∴,又∵,∴,∴,,又∵为的中点,∴,∴,∴,∵,∴;第5页,共7页第6页,共7页…○…………装订…………○…※※请※※不※※内※※答※※题※※…○…………装订…………○…若点在延长线上,为中点,且,则中的结论不成立,正确结论为:. 证明:如图,延长交的延长线于点,则,∵, ∴, ∴, 又∵, ∴, ∴,,又∵为的中点, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴.24.解:∵直线与轴、轴分别交于、两点, ∴,,∵直线与直线关于轴对称, ∴∴直线的解析式为:;如图..∵直线与直线关于轴对称, ∴,∵与为象限平分线的平行线, ∴与为等腰直角三角形, ∴, ∵, ∴ ∴ ∴,,∴;①对,过点作轴于,直线与直线关于轴对称∵,, 又∵, ∴, 则, ∴ ∴ ∴ ∴ ∴.25.证明:连接, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵,, ∴, 在和中,∴.26.证明:∵,∴,即.又∵,,∴,∴.解:为等腰三角形理由如下:∵,∴,∴,∴为等腰三角形.27.解:.理由:∵是的平分线,且,,∴,∴;是的垂直平分线.理由:∵,在和中,,∴,∴,由,,可知点、都是线段的垂直平分线上的点,从而是线段的垂直平分线.第7页,共7页。

八年级数学全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

八年级数学全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

八年级数学全等三角形(培优篇)(Word版含解析)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.如图,点A的坐标是(2,2),若点P在x轴上,且△APO是等腰三角形,则点P有_____个.【答案】4【解析】【分析】由A点坐标可得OA=22,∠AOP=45°,分别讨论OA为腰和底边,求出点P在x轴正半轴和负半轴时,△APO是等腰三角形的P点坐标即可.【详解】(1)当点P在x轴正半轴上,①如图,以OA为腰时,∵A的坐标是(2,2),∴∠AOP=45°,OA=22,当∠AOP为顶角时,OA=OP=22,当∠OAP为顶角时,AO=AP,∴OPA=∠AOP=45°,∴∠OAP=90°,∴OP=2OA=4,∴P的坐标是(4,0)或(22,0).②以OA为底边时,∵点A的坐标是(2,2),∴∠AOP=45°,∵AP=OP,∴∠OAP=∠AOP=45°,∴∠OPA=90°,∴OP=2,∴P点坐标为(2,0).(2)当点P在x轴负半轴上,③以OA为腰时,∵A的坐标是(2,2),∴OA=22,∴OA=OP=22,∴P的坐标是(﹣22,0).综上所述:P的坐标是(2,0)或(4,0)或(22,0)或(﹣22,0).故答案为:4.【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用,注意分类讨论思想的运用是解题关键.∥,2.如图所示,ABC为等边三角形,P是ABC内任一点,PD AB,PE BC++=____cm.PF AC∥,若ABC的周长为12cm,则PD PE PF【答案】4【解析】【分析】先说明四边形HBDP是平行四边形,△AHE和△AHE是等边三角形,然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可.【详解】∥解:∵PD AB,PE BC∴四边形HBDP是平行四边形∴PD=HB∵ABC为等边三角形,周长为12cm∴∠B=∠A=60°,AB=4∥∵PE BC∴∠AHE=∠B=60°∴∠AHE=∠A=60°∴△AHE是等边三角形∴HE=AH∵∠HFP=∠A=60°∴∠HFP=∠AHE=60°∴△AHE是等边三角形,∴FP=PH∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm故答案为4cm.【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质,掌握等边三角形的性质是解答本题的关键.3.△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠D=90°,AB=AC=6.现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起,使△ABC保持不动,△DEF运动,且满足点E在边BC上运动(不与B,C重合),边DE始终经过点A,EF与AC交于点M.在△DEF 运动过程中,若△AEM能构成等腰三角形,则BE的长为______.【答案】363【解析】【分析】分若AE=AM 则∠AME=∠AEM=45°;若AE=EM;若MA=ME 则∠MAE=∠AEM=45°三种情况讨论解答即可;【详解】解:①若AE=AM 则∠AME=∠AEM=45°∵∠C =45° ∴∠AME =∠C又∵∠AME >∠C∴这种情况不成立;②若AE =EM∵∠B =∠AEM =45°∴∠BAE+∠AEB =135°,∠MEC+∠AEB =135°∴∠BAE =∠MEC在△ABE 和△ECM 中,B BAE CENAE EII C ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ABE ≌△ECM (AAS ),∴CE =AB =6,∵AC =BC =2AB =23,∴BE =23﹣6;③若MA =ME 则∠MAE =∠AEM =45°∵∠BAC =90°,∴∠BAE =45°∴AE 平分∠BAC∵AB =AC ,∴BE =12BC =3. 故答案为23﹣6或3.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定,掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键.4.如图,ABC ∆中,90BAC ∠=︒,AD BC ⊥,ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ,AG 平分DAC ∠.给出下列结论:①BAD C ∠=∠;②EBC C ∠=∠;③AE AF =;④//FG AC ;⑤EF FG .其中正确的结论是______.【答案】①③④【解析】【分析】①根据等角的余角相等即可得到结果,故①正确;②如果∠EBC=∠C ,则∠C=12∠ABC ,由于∠BAC=90°,那么∠C=30°,但∠C 不一定等于30°,故②错误;③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线,得到∠ABF=∠EBD .由于∠AFE=∠BAD+∠FBA ,∠AEB=∠C+∠EBD ,得到∠AFE=∠AEB ,可得③正确;④连接EG ,先证明△ABN ≌△GBN ,得到AN=GN ,证出△ANE ≌△GNF ,得∠NAE=∠NGF ,进而得到GF ∥AE ,故④正确;⑤由AE=AF ,AE=FG ,而△AEF 不一定是等边三角形,得到EF 不一定等于AE ,于是EF 不一定等于FG ,故⑤错误.【详解】∵∠BAC=90°,AD ⊥BC ,∴∠C+∠ABC=90°,∠C+∠DAC=90°,∠ABC+∠BAD=90°,∴∠ABC=∠DAC ,∠BAD=∠C ,故①正确;若∠EBC=∠C ,则∠C=12∠ABC , ∵∠BAC=90°,那么∠C=30°,但∠C 不一定等于30°,故②错误;∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线,∴∠ABF=∠EBD ,∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ,∠AEB=∠C+∠EBD ,又∵∠BAD=∠C ,∴∠AFE=∠AEF ,∴AF=AE ,故③正确;∵AG 是∠DAC 的平分线,AF=AE ,∴AN ⊥BE ,FN=EN ,在△ABN 与△GBN 中,∵90ABN GBNBN BNANB GNB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩,∴△ABN≌△GBN(ASA),∴AN=GN,又∵FN=EN,∠ANE=∠GNF,∴△ANE≌△GNF(SAS),∴∠NAE=∠NGF,∴GF∥AE,即GF∥AC,故④正确;∵AE=AF,AE=FG,而△AEF不一定是等边三角形,∴EF不一定等于AE,∴EF不一定等于FG,故⑤错误.故答案为:①③④.【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理,全等三角形的判定和性质定理,直角三角形的性质定理,掌握掌握上述定理,是解题的关键.5.如图,△ABC是等边三角形,高AD、BE相交于点H,BC=43,在BE上截取BG=2,以GE为边作等边三角形GEF,则△ABH与△GEF重叠(阴影)部分的面积为_____.53【解析】试题分析:如图所示,由△ABC是等边三角形,BC=433,∠ABG=∠HBD=30°,由直角三角的性质,得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°,由对顶角相等,得∠MHE=∠BHD=60°,由BG=2,得EG=BE﹣BG=6﹣2=4.由GE为边作等边三角形GEF,得FG=EG=4,∠EGF=∠GEF=60°,△MHE是等边三角形;S△ABC=12AC•BE=12AC×EH×3EH=13BE=13×6=2.由三角形外角的性质,得∠BIF=∠FGE﹣∠IBG=60°﹣30°=30°,由∠IBG=∠BIG=30°,得IG=BG=2,由线段的和差,得IF=FG ﹣IG=4﹣2=2,由对顶角相等,得∠FIN=∠BIG=30°,由∠FIN+∠F=90°,得∠FNI=90°,由锐角三角函数,得FN=1,IN=3.S 五边形NIGHM =S △EFG ﹣S △EMH ﹣S △FIN =223314231442⨯-⨯-⨯⨯=53,故答案为53.考点:1.等边三角形的判定与性质;2.三角形的重心;3.三角形中位线定理;4.综合题;5.压轴题.6.如图,点P 是AOB 内任意一点,5OP cm =,点P 与点C 关于射线OA 对称,点P 与点D 关于射线OB 对称,连接CD 交OA 于点E ,交OB 于点F ,当PEF 的周长是5cm 时,AOB ∠的度数是______度.【答案】30【解析】【分析】根据轴对称得出OA 为PC 的垂直平分线,OB 是PD 的垂直平分线,根据线段垂直平分线性质得出12COA AOP COP ,12POB DOB POD ,PE=CE ,OP=OC=5cm ,PF=FD ,OP=OD=5cm ,求出△COD 是等边三角形,即可得出答案.【详解】解:如图示:连接OC ,OD ,∵点P与点C关于射线OA对称,点P与点D关于射线OB对称,∴OA为PC的垂直平分线,OB是PD的垂直平分线,∵OP=5cm,∴12COA AOP COP,12POB DOB POD,PE=CE,OP=OC=5cm,PF=FD,OP=OD=5cm,∵△PEF的周长是5cm,∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm,∴CD=OD=OD=5cm,∴△OCD是等边三角形,∴∠COD=60°,∴11122230 AOB AOP BOP COP DOP COD,故答案为:30.【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质,轴对称性质和等边三角形的性质和判定,能求出△COD 是等边三角形是解此题的关键.7.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以点M,N为圆心,大于12MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法:①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的垂直平分线上;④S△DAC:S△ABC=1:3.其中正确的是__________________.(填所有正确说法的序号)【答案】4【解析】 【分析】 ①连接NP ,MP ,根据SSS 定理可得△ANP ≌△AMP ,故可得出结论;②先根据三角形内角和定理求出∠CAB 的度数,再由AD 是∠BAC 的平分线得出∠1=∠2=30°,根据直角三角形的性质可知∠ADC =60°;③根据∠1=∠B 可知AD =BD ,故可得出结论;④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°,CD =12AD ,再由三角形的面积公式即可得出结论.【详解】 ①连接NP ,MP .在△ANP 与△AMP 中,∵AN AM NP MP AP AP =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴△ANP ≌△AMP ,则∠CAD =∠BAD ,故AD 是∠BAC 的平分线,故此选项正确;②∵在△ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,∴∠CAB =60°.∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠1=∠2=12∠CAB =30°,∴∠3=90°﹣∠2=60°,∴∠ADC =60°,故此选项正确;③∵∠1=∠B =30°,∴AD =BD ,∴点D 在AB 的中垂线上,故此选项正确;④∵在Rt △ACD中,∠2=30°,∴CD =12AD ,∴BC =BD +CD =AD +12AD =32AD ,S △DAC =12AC •CD =14AC •AD ,∴S △ABC=12AC •BC =12AC •32AD =34AC •AD ,∴S △DAC :S △ABC =1:3,故此选项正确. 故答案为①②③④.【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图,熟知角平分线的作法是解答此题的关键.8.如图,已知30AOB ∠=︒,点P 在边OA 上,14OD DP ==,点E ,F 在边OB 上,PE PF =.若6EF =,则OF 的长为____.【答案】18【解析】【分析】由30°角我们经常想到作垂线,那么我们可以作DM垂直于OA于M,作PN垂直于OB 于点N,证明△PMD≌△PND,进而求出DF长度,从而求出OF的长度.【详解】如图所示,作DM垂直于OA于M,作PN垂直于OB于点N.∵∠AOB=30°,∠DMO=90°,PD=DO=14,∴DM=7,∠NPO=60°,∠DPO=30°,∴∠NPD=∠DPO=30°,∵DP=DP,∠PND=∠PMD=90°,∴△PND≌△PMD,∴ND=7,∵EF=6,∴DF=ND-NF=7-3=4,∴OF=DF+OD=14+4=18.【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质定理,作辅助线构造全等三角形是解题的关键.9.已知,∠MON=30°,点A1、A2、A3在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=a,则△A7B7A8的边长为______.【答案】64a【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3,根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到A2B2=2B1A2,进而得出A3B3=4B1A2=4a,A4B4=8B1A2=8a,A5B5=16B1A2…从而得到答案.【详解】∵△A1B1A2是等边三角形,∴A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°,∴∠2=120°.∵∠MON=30°,∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°.又∵∠3=60°,∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°.∵∠MON=∠1=30°,∴OA1=A1B1=a,∴A2B1=a.∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形,∴∠11=∠10=60°,∠13=60°.∵∠4=∠12=60°,∴A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2∥B2A3,∴∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°,∴A2B2=2B1A2,B3A3=2B2A3,∴A3B3=4B1A2=4a,A4B4=8B1A2=8a,A5B5=16B1A2=16a,以此类推:A7B7=64B1A2=64a.故答案为:64a.【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质,根据已知得出A3B3=4B1A2,A4B4=8B1A2,A5B5=16B1A2进而发现规律是解题的关键.10.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD是∠BAC的平分线.若P,Q 分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是_____.【答案】9.6.【解析】【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD 垂直平分BC ,过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ,BQ 交AD 于点P ,则此时PC +PQ 取最小值,最小值为BQ 的长.在△ABC 中,利用面积法可求出BQ 的长度,此题得解.【详解】∵AB =AC ,AD 是∠BAC 的平分线,∴AD 垂直平分BC ,∴BP =CP .过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ,BQ 交AD 于点P ,则此时PC +PQ 取最小值,最小值为BQ 的长,如图所示.∵S △ABC 12=BC •AD 12=AC •BQ ,∴BQ 12810BC AD AC ⋅⨯===9.6. 故答案为:9.6.【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积,利用点到直线垂直线段最短找出PC +PQ 的最小值为BQ 是解题的关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题(难)11.如图,平面直角坐标系中存在点A(3,2),点B(1,0),以线段AB为边作等腰三角形ABP,使得点P在坐标轴上.则这样的P点有()A.4个B.5个C.6个D.7个【答案】D【解析】【分析】本题是开放性试题,由题意知A、B是定点,P是动点,所以要分情况讨论:以AP、AB为腰、以AP、BP为腰或以BP、AB为腰.则满足条件的点P可求.【详解】由题意可知:以AP、AB为腰的三角形有3个;以AP、BP为腰的三角形有2个;以BP、AB为腰的三角形有2个.所以,这样的点P共有7个.故选D.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质;分类别寻找是正确解答本题的关键.12.在平面直角坐标系中,等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为(0,0)、(2,2),若顶点C落在坐标轴上,则符合条件的点C有()个.A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】要使△ABC是等腰三角形,可分三种情况(①若AC=AB,②若BC=BA,③若CA=CB)讨论,通过画图就可解决问题.【详解】①若AC=AB,则以点A为圆心,AB为半径画圆,与坐标轴有4个交点;②若BC =BA ,则以点B 为圆心,BA 为半径画圆,与坐标轴有2个交点(A 点除外); ③若CA =CB ,则点C 在AB 的垂直平分线上.∵A (0,0),B (2,2),∴AB 的垂直平分线与坐标轴有2个交点.综上所述:符合条件的点C 的个数有8个.故选D .【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识,还考查了动手操作的能力,运用分类讨论的思想是解决本题的关键.13.在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,以ABC ∆的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在ABC ∆的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个?( )A .9个B .7个C .6个D .5个【答案】B【解析】【分析】先以Rt ABC ∆三个顶点分别为圆心,再以每个顶点所在的较短边为半径画弧,即可确定等腰三角形的第三个顶点;也可以作三边的垂直平分线确定等腰三角形的第三个顶点即得.【详解】解:①如图1,以B 为圆心,BC 长为半径画弧,交AB 于点D ,则∆BCD 就是等腰三角形;②如图2,以A 为圆心,AC 长为半径画弧,交AB 于点E ,则∆ACE 就是等腰三角形; ③如图3,以C 为圆心,BC 长为半径画弧,交AB 于M ,交AC 于点F ,则∆BCM 、∆BCF 是等腰三角形;④如图4,作AC 的垂直平分线交AB 于点H ,则∆ACH 就是等腰三角形;⑤如图5,作AB 的垂直平分线交AC 于点G ,则∆AGB 就是等腰三角形;⑥如图6,作BC 的垂直平分线交AB 于I ,则∆BCI 就是等腰三角形.故选:B .【点睛】本题考查等腰三角形的判定的应用,通过作垂直平分线或者画弧的方法确定相等的边是解题关键.14.如图所示,等边三角形的边长依次为2,4,6,8,……,其中1(0,1)A ,()21,13A --,()31,13A -,4(0,2)A ,()52,223A --,……,按此规律排下去,则2019A 的坐标为( )A .(673,6736733-B .(673,6736733--C .(0,1009)D .(674,6746743- 【答案】A【解析】【分析】根据等边三角形的边长依次为2,4,6,8,……,及点的坐标特征,每三个点一个循环,2019÷3=673,A2019的坐标在第四象限即可得到结论.【详解】∵2019÷3=673,∴顶点A2019是第673个等边三角形的第三个顶点,且在第四象限.第673个等边三角形边长为2×673=1346,∴点A2019的横坐标为12⨯1346=673.点A2019的纵坐标为673-134632⨯=673﹣6733.故点A2019的坐标为:()673,6736733-.故选:A.【点睛】本题考查了点的坐标、等边三角形的性质,是点的变化规律,主要利用了等边三角形的性质,确定出点A2019所在三角形是解答本题的关键.15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,在直线AC上取一点P,使得△PAB为等腰三角形,则符合条件的点P共有()A.6个B.5个C.4个D.3个【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论.【详解】解:根据题意,∵△PAB为等腰三角形,∴可分为:PA=PB,PA=AB,PB=AB三种情况,如图所示:∴符合条件的点P共有4个;故选择:C.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题,其关键是根据等腰三角形的判定定理解答.16.如图,点D,E是等边三角形ABC的边BC,AC上的点,且CD=AE,AD交BE于点P,BQ⊥AD于点Q,已知PE=2,PQ=6,则AD等于( )A.10 B.12 C.14 D.16【答案】C【解析】【分析】由题中条件可得△ABE≌△CAD,得出AD=BE,∠ABE=∠CAD,进而得出∠BPD=60°.在Rt△BPQ中,根据30度角所对直角边等于斜边的一半,求出BP的长,进而可得结论.【详解】∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠C=60°.又∵AE=CD,∴△ABE≌△CAD(SAS),∴∠ABE=∠CAD,AD=BE,∴∠BPD=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°.∵BQ⊥AD,∴∠PBQ=30°,∴BP=2PQ=2×6=12,∴AD=BE=BP+PE=12+2=14.故选C.【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质,证明∠BPD=60°是解答本题的关键.17.如图,C为线段AE上一动点(不与点A、E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论:①AD=BE;②AP=BQ;③PQ∥AE;④DE=DP;⑤∠AOE=120°;其中正确结论的个数为()A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】C【解析】【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形,可知AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,从而证出△ACD≌△BCE,可推知AD=BE,故①正确;②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC,加之∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,得到△ACP≌△BCQ (ASA),所以AP=BQ;故②正确;③根据②△CQB≌△CPA(ASA),再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形,又由∠PQC=∠DCE,根据内错角相等,两直线平行,可知③正确;④根据∠QCP=60°,∠DPC=∠BCA+∠PAC>60°,可知PD≠CD,可知④错误;⑤利用等边三角形的性质,BC∥DE,再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO,于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°,由平角的性质可得∠AOE=120°,可知⑤正确;【详解】①∵△ABC和△CDE为等边三角形∴AC=BC,CD=CE,∠BCA=∠DCB=60°∴∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE(SAS)∴AD=BE,故①正确;由(1)中的全等得∠CBE=∠DAC,且BC=AC,∠ACB=∠BCQ=60°∴△CQB≌△CPA(ASA),∴AP=BQ,故②正确;∵△CQB≌△CPA,∴PC=PQ,且∠PCQ=60°∴△PCQ为等边三角形,∴∠PQC=∠DCE=60°,∴PQ∥AE,故③正确,∵∠QCP=60°,∠DPC=∠BCA+∠PAC>60°,∴PD≠CD,∴DE≠DP,故④DE=DP错误;∵BC∥DE,∴∠CBE=∠BED,∵∠CBE=∠DAE,∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°,∴∠AOE=120°,故⑤正确,故选C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,利用了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,平行线的判定与性质,综合性较强,题目难度较大.18.如图,∠AOB=30º,∠AOB 内有一定点P,且OP=12,在OA 上有一动点Q,OB 上有一动点R。

全等三角形证明培优题【精】整理版

全等三角形证明培优题【精】整理版

全等三⾓形证明培优题【精】整理版模块⼀:基本辅助线1.如图,已知AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD,求证:AD=BC.2.如图,AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F是CD的中点,(1)求证:AF⊥CD.(2)在你连接BE后,还能得出什么新的结论?请写出三个(不要求证明)3.如图,∠B=∠E,∠C=∠D,BC=DE,M为CD中点,求证:AM⊥CD.4.如图,平⾯上有⼀边长为2的正⽅形ABCD,O为对⾓线的交点,正⽅形OEFG的顶点与O 重合,OE、OG分别与正⽅形ABCD的边交于M、N两点.①如图(1),当OE⊥AB时,四边形OMBN的⾯积为___;②如图(2),当正⽅形OEFG绕点O旋转时,四边形OMBN的⾯积会发⽣变化吗?试证明你的结论.5.如图所⽰,在△ABC中,AB=AC,在AB上取⼀点E,在AC延长线上取⼀点F,使BE=CF,EF交BC于G.求证:EG=FG。

6.如图,在△ABC中,AB=AC,E在线段AC上,D在AB的延长线,连DE交BC于F,过点E 作EG⊥BC于G.(1)若∠A=50°,∠D=30°,求∠GEF的度数;(2)若BD=CE,求证:FG =BF+CG.模块⼆:母⼦型1已知:如图,点C为线段AB上⼀点,△ACM, △CBN都是等边三⾓形,AN交MC于点E,BM交CN于点F.(1)求证:AN=BM;(2)求证:△CEF为等边三⾓形2.如图,已知,等腰Rt△OAB中,∠AOB=90°,等腰Rt△EOF中,∠EOF=90°,连结AE、BF。

求证:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF。

3.如图1,若四边形ABCD、四边形GFED都是正⽅形,显然图中有AG=CE,AG⊥CE;(1)当正⽅形GFED绕D旋转到如图2的位置时,AG=CE是否成⽴?若成⽴,请给出证明;若不成⽴,请说明理由;(2)当正⽅形GFED绕D旋转到如图3的位置时,延长CE交AG于H,交AD于M.①求证:AG⊥CH;4.如图,已知△ABD、△AEC都是等边三⾓形,AF⊥CD于点F,AH⊥BE于点H,问:(1)BE 与CD有何数量关系?为什么?(2)AF、AH有何数量关系?为什么?5.已知:如图①所⽰,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D 在⼀条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三⾓形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针⽅向旋转180°,其他条件不变,得到图②所⽰的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成⽴;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.(2009?丰台区⼀模)如图1,在△ABC中,∠ACB为锐⾓,点D为射线BC上⼀点,连接AD,以AD为⼀边且在AD的右侧作正⽅形ADEF.(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图2,线段CF、BD所在直线的位置关系为______,线段CF、BD的数量关系为______;②当点D在线段BC的延长线上时,如图3,①中的结论是否仍然成⽴,并说明理由;(2)如果AB≠AC,∠BAC是锐⾓,点D在线段BC上,当∠ACB满⾜什么条件时,CF⊥BC(点C、F不重合),并说明理由.模块三倍长中线(1)倍长中线(2)倍长类中线1.已知:如图,△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD,求证:AB=AC.2.已知,如图△ABC 中,AC>AB,AM 是BC 边上的中线,求证:21(AC-AB )<AM <21(AB+AC).3. 如图所⽰,已知△ABC 中,AD 平分∠BAC,E,F 分别在BD,AD 上,DE=CD,EF=AC,求证:EF//AB.4.如图,AD 是△ABC 的中线,E 、F 分别在AB 、AC 上,且DE ⊥DF 求证:BE+CF >EF .5. 证明:直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边上的⼀半。

人教版八年级数学上册《全等三角形》培优专题训练(含答案)

人教版八年级数学上册《全等三角形》培优专题训练(含答案)

《全等三角形》培优专题训练1 全等三角形的概念两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形.把两个全等三角形重合在一起,重合的角叫做对应角,重合的边叫做对应边.全等三角形的对应角相等,对应边相等. 经典例题如图所示,ABC DEF ∆≅∆,30A ∠=︒,50B ∠=︒,2BF =.求DFE ∠的度数与EC 的长.解题策略在ABC ∆中,+180A B ACB ∠∠+∠=︒ (三角形内角和为180°).因为30A ∠=︒,50B ∠=︒(已知),所以1803050100ACB ∠=︒-︒-︒=︒ 因为ABC DEF ∆≅∆ (已知),所以ACB DFE ∠=∠(全等三角形对应角相等) BC EF =(全等三角形对应边相等), 因此100DFE ∠=︒,所以2EC EF FC BC FC BF =-=-== 画龙点睛1. 在解答与全等三角形有关的问题时,要充分利用全等三角形的定义所得到的对应边相等、对应角相等的结论.2. 在本题中求EC 的长时,不能直接求,可将之转化为两条线段的差,这也是将来求线段长的一种常用的转化方法.举一反三1. 如图,若ABC ADE ∆≅∆,则这对全等三角形的对应边是 ;对应角是 .2. 如图,若ABD ACD ∆≅∆,试说明AD 与BC 的位置关系.3. 如图所示,斜折一页书的一角,使点A 落在同一页书内'A 处,DE 为折痕,作DF平分'A DB ∠,试猜想FDE ∠等于多少度,并说明理由.融会贯通4. 如图,ABE ∆和ACD ∆是ABC ∆分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的,若θ∠的度数50°,则BAC ∠的度数是 .2 三角形全等的判定判断两个三角形全等,并非需要证明两个三角形的三条边以及三个角均对应相等,而只需满足全等三角形的判定定理就可以了. 经典例题已知:如图,AO 平分EAD ∠和EOD ∠,求证:(1)AOE AOD ∆≅∆;(2) BOE COD ∆≅∆.解题策略证明:(1)因为AO 平分EAD ∠和EOD ∠,所以OAD OAE ∠=∠,AOE AOD ∠=∠,又因为AO AO =,所以AOE AOD ∆≅∆ ( ASA).(2)由AOE AOD ∆≅∆,得OE OD =,且AEO ADO ∠=∠.又180BEO AEO ∠=︒-∠,180CDO ADO ∠=︒-∠,所以B E O C D O ∠=∠.在AOE ∆和AOD ∆中,因为B E O C D O ∠=∠,OE OD =,BOE COD ∠=∠,所以B O E C O D ∆≅∆(ASA). 画龙点睛1. 判定两个三角形全等,往往需要三个条件,根据题目已知的条件可以得到两个条件(要注意公共角及公共边),这时.设法证明所缺的条件也成立就是证题的关键了. 2. 要证明两条线段或者两个角相等,常用的方法是证明它们是一对全等三角形的对应边或者对应角.举一反三1. 如图,已知AB AD =,那么添加下列一个条件后,仍无法判定ABC ADC ∆≅∆的是( ).(A) CB CD = (B)BAC DAC ∠=∠ (C)BCA DCA ∠=∠ (D)90B D ∠=∠=︒2. 如图所示,点D 、C 在BF 上,//AB EF ,A E ∠=∠,BC DF =.求证AB EF =.3. 如图,AB 交CD 于点O ,AD 、CB 的延长线相交于点E ,且OA OC =,EA EC =,你能证明A C ∠=∠吗?点O 在AEC ∠的平分线上吗?融会贯通4. 如图所示,已知BD 、CE 分别是ABC ∆的边AC 和AB 上的高,点P 在BD 的延长线上,BP AC =,点Q 在CE 上,CQ AB =.求证:(1)AP AQ =;(2)AP AQ ⊥.3 全等三角形的应用全等三角形的判定和性质被广泛地应用于几何证明题中。

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C .△APE ≌△APFD .AP PE PF =+ 2.下列说法中:①如果两个三角形可以依据“AAS ”来判定全等,那么一定也可以依据“ASA ”来判定它们全等;②如果两个三角形都和第三个三角形不全等,那么这两个三角形也一定不全等;③要判断两个三角形全等,给出的条件中至少要有一对边对应相等.正确的是( )A .①和②B .②和③C .①和③D .①②③3.如图8, AD 是ABC △的中线,E ,F 分别是AD 和AD 延长线上的点,且DE DF =,连结BF ,CE .下列说法:①CE =BF ;②△ABD 和△ACD 面积相等;③BF ∥CE ;④△BDF ≌△CDE .其中正确的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个4.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是( )A .形状相同B .周长相等C .面积相等D .全等5.如图9,AD AE =,= = =100 =70BD CE ADB AEC BAE ︒︒,,∠∠∠,下列结论错误的是( )A .△ABE ≌△ACDB .△ABD ≌△ACEC .∠DAE =40°D .∠C =30°6.已知:如图10,在△ABC 中,AB =AC ,D 是BC 的中点,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,则图中共有全等三角形( )A .5对B .4对C .3对D .2对7.将一张长方形纸片按如图11所示的方式折叠,BC BD ,为折痕,则CBD ∠的度数为( ) A .60° B .75° C .90° D .95°8.根据下列已知条件,能惟一画出△ABC 的是( )A .AB =3,BC =4,CA =8 B .AB =4,BC =3,∠A =30° C .∠A =60°,∠B =45°,AB =4D .∠C =90°,AB =6三、用心想一想(本大题共69分) 1.(本题8分)请你用三角板、圆规或量角器等工具,画∠POQ =60°,在它的边OP 上截取OA =50mm ,OQ 上截取OB =70mm ,连结AB ,画∠AOB 的平分线与AB 交于点C ,并量出AC 和OC 的长 .(结果精确到1mm ,不要求写画法).2.(本题10分)已知:如图12,AB =CD ,DE ⊥AC ,BF ⊥AC ,E ,F 是垂足,DE BF =. 求证:(1)AF CE =;(2)AB CD ∥.A DC B 图8 E FA D OC B 图9 A DE C B 图10F G A E C 图11 B A ′ E ′DAD EC B图12F则∠BAC= °.3.把两根钢条AA?、BB?的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳),如图,若测得AB=5厘米,则槽宽为米.4.如图,∠A=∠D,AB=CD,则△≌△,根据是.5.如图,在△ABC和△ABD中,∠C=∠D=90,若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD,则需要加条件或;若利用“HL”证明△ABC≌△ABD,则需要加条件,或.6.△ABC≌△DEF,且△ABC的周长为12,若AB=3,EF=4,则AC= .7.工人师傅砌门时,如图所示,常用木条EF固定矩形木框ABCD,使其不变形,这是利用,用菱形做活动铁门是利用四边形的。

全等三角形经典培优题型(含标准答案)

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三角形培优练习题1已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD2已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠23已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC4已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C5已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE6如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。

求证:BC=AB+DC 。

已知:AB=CD ,∠A=∠D ,求证:∠B=∠C78.P 是∠BAC 平分线AD 上一点,AC>AB ,求证:PC-PB<AC-ABCDBA BC DEF 2 1ADBCA B CD ABACDF2 1 E9已知,E 是AB 中点,AF=BD ,BD=5,AC=7,求DC10.如图,已知AD ∥BC ,∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ,CE 的连线交AP 于D .求证:AD +BC =AB .11如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线,且AB =AC +CD ,求证:∠C =2∠B12如图:AE 、BC 交于点M ,F点在AM 上,BE∥CF ,BE=CF 。

求证:AM 是△ABC 的中线。

13已知:如图,AB =AC ,BD ⊥AC ,CE ⊥AB ,垂足分别为D 、E ,BD 、CE 相交于点F 。

求证:BE =CD .14在△ABC 中,︒=∠90ACB ,BC AC =,直线MN 经过点C ,且MN AD ⊥于D ,MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证: ①ADC ∆≌CEB ∆;②BE AD DE +=;(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.15如图所示,已知AE ⊥AB ,AF ⊥AC ,AE=AB ,AF=AC 。

全等三角形经典培优题型(含答案)

全等三角形经典培优题型(含答案)

全等三角形经典培优题型(含答案)1.已知三角形ABC中,AB=4,AC=2,D是BC的中点,AD是整数,求AD的长度。

解:由题意可得AD=AB-DB,又BD=DC=AC/2=1,故AB=AD+DB=AD+1,代入AB=4得AD=3.2.已知四边形BCDE中,BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD的中点,证明∠1=∠2.解:由于BC=DE,且∠B=∠E,所以△BCE≌△EDC,从而∠1=∠BCE=∠EDC=∠2.3.已知四边形ABCD中,∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,证明EF=AC。

解:由于EF//AB,所以△EFC∼△ABC,从而EF/AC=FC/BC,而CD=DE,所以FC=CD,代入得EF/AC=CD/BC,又由于∠1=∠2,所以△BCD∼△ECD,从而CD/BC=ED/AC,代入得EF/AC=ED/AC,即EF=AC。

4.已知三角形ABC中,AD平分∠BAC,AC=AB+BD,证明∠B=2∠C。

解:由于AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD,从而∠B=∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠ACD,又由于AC=AB+BD,所以BD=AC-AB,代入得∠B=∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠ABC,又由于∠CAD=∠CAB,所以∠B=∠CAB+∠ABC=2∠C。

5.已知三角形ABC中,AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,证明AE=AD+BE。

解:由于AC平分∠BAD,所以∠CAD=∠CAB,从而△ABE∼△DCE,所以AE/AD=BE/CD,又由于∠B+∠D=180°,所以CD=AB,代入得AE/AD=BE/AB,即AE=AD·(BE/AB),又由于CE⊥AB,所以△CEB为直角三角形,从而BE/AB=CE/AC,代入得AE=AD·(CE/AC),又由于AC平分∠BAD,所以△ACD∼△ABC,从而CE/AC=CD/AB,代入得AE=AD·(CD/AB),又由于CD=AB-BD,所以AE=AD·((AB-BD)/AB),即AE=AD+BE·(AB/AD-1),又由于AB>AD,所以AB/AD-1<AB/AD,从而AE<AD+BE·(AB/AD),即AE<AD+BE。

八年级上册数学 全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

八年级上册数学 全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

八年级上册数学 全等三角形(培优篇)(Word 版 含解析)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.如图,在01A BA △中,20B ∠=︒,01A B A B =,在1A B 上取点C ,延长01A A 到2A ,使得121A A AC =;在2A C 上取一点D ,延长12A A 到3A ,使得232A A A D =;…,按此做法进行下去,第n 个等腰三角形的底角n A ∠的度数为__________.【答案】11()802n -︒⋅.【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1 A 0的度数,再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1,∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数,找出规律即可得出第n 个等腰三角形的底角∠A n 的度数.【详解】解:∵在△A 0BA 1中,∠B=20°,A 0B=A 1B , ∴∠BA 1 A 0= 1801802022B ︒︒︒-∠-= =80°, ∵A 1A 2=A 1C ,∠BA 1 A 0是△A 1A 2C 的外角, ∴∠CA 2A 1= 108022BA A ︒∠= =40°; 同理可得,∠DA 3A 2=20°,∠EA 4A 3=10°,∴第n 个等腰三角形的底角∠A n = 11()802n -︒⋅.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质,根据题意得出∠CA 2A 1,∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数,找出规律是解答此题的关键.2.如图,△ABC 是等边三角形,高AD 、BE 相交于点H ,3,在BE 上截取BG=2,以GE 为边作等边三角形GEF ,则△ABH 与△GEF 重叠(阴影)部分的面积为_____.【答案】53 【解析】试题分析:如图所示,由△ABC 是等边三角形,BC=43,得到AD=BE=3BC=6,∠ABG=∠HBD=30°,由直角三角的性质,得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°,由对顶角相等,得∠MHE=∠BHD=60°,由BG=2,得EG=BE ﹣BG=6﹣2=4.由GE 为边作等边三角形GEF ,得FG=EG=4,∠EGF=∠GEF=60°,△MHE 是等边三角形;S △ABC =12AC•BE=12AC×EH×3EH=13BE=13×6=2.由三角形外角的性质,得∠BIF=∠FGE ﹣∠IBG=60°﹣30°=30°,由∠IBG=∠BIG=30°,得IG=BG=2,由线段的和差,得IF=FG ﹣IG=4﹣2=2,由对顶角相等,得∠FIN=∠BIG=30°,由∠FIN+∠F=90°,得∠FNI=90°,由锐角三角函数,得FN=1,IN=3.S 五边形NIGHM =S △EFG ﹣S △EMH ﹣S △FIN =223314231442⨯-⨯-⨯⨯=53,故答案为53.考点:1.等边三角形的判定与性质;2.三角形的重心;3.三角形中位线定理;4.综合题;5.压轴题.3.如图,点A,B,C 在同一直线上,△ABD 和△BCE 都是等边三角形,AE,CD 分别与BD,BE 交于点F,G ,连接FG ,有如下结论:①AE=CD ②∠BFG= 60°;③EF=CG ;④AD ⊥CD⑤FG ∥AC 其中,正确的结论有__________________. (填序号)【答案】①②③⑤【解析】【分析】易证△ABE ≌△DBC ,则有∠BAE =∠BDC ,AE =CD ,从而可证到△ABF ≌△DBG ,则有AF =DG ,BF =BG ,由∠FBG =60°可得△BFG 是等边三角形,证得∠BFG =∠DBA =60°,则有FG ∥AC ,由∠CDB ≠30°,可判断AD 与CD 的位置关系.【详解】∵△ABD 和△BCE 都是等边三角形,∴BD =BA =AD ,BE =BC =EC ,∠ABD =∠CBE =60°. ∵点A 、B 、C 在同一直线上,∴∠DBE =180°﹣60°﹣60°=60°,∴∠ABE =∠DBC =120°. 在△ABE 和△DBC 中,∵BD BA ABE DBC BE BC ∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴△ABE ≌△DBC ,∴∠BAE =∠BDC ,∴AE =CD ,∴①正确; 在△ABF 和△DBG中,60BAF BDG AB DBABF DBG ∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪==︒⎩,∴△ABF ≌△DBG ,∴AF =DG ,BF =BG . ∵∠FBG =180°﹣60°﹣60°=60°,∴△BFG 是等边三角形,∴∠BFG =60°,∴②正确; ∵AE =CD ,AF =DG ,∴EF =CG ;∴③正确;∵∠ADB =60°,而∠CDB =∠EAB ≠30°,∴AD 与CD 不一定垂直,∴④错误.∵△BFG 是等边三角形,∴∠BFG =60°,∴∠GFB =∠DBA =60°,∴FG ∥AB ,∴⑤正确. 故答案为①②③⑤.【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、平行线的判定和性质,证得△ABE ≌△DBC 是解题的关键.4.如图,在ABC ∆中,ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ,过点O 作//EF BC 交AB 于E ,交AC 于F ,过点O 作OD AC ⊥于D 下列结论:①EF BE CF =+;②点O 到ABC ∆各边的距离相等;③1902BOC A ∠=+∠;④设OD m =,AE AF n +=,则AEF S mn ∆=;⑤1()2AD AB AC BC =+-.其中正确的结论是.__________.【答案】①②③⑤【解析】【分析】由在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,根据角平分线的定义与三角形内角和定理,即可求得③∠BOC=90°+12∠A正确;由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确;由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等,故②正确;由角平分线定理与三角形面积的求解方法,即可求得④设OD=m,AE+AF=n,则S△AEF=12mn,故④错误,根据HL证明△AMO≌△ADO得到AM=AD,同理可证BM=BN,CD=CN,变形即可得到⑤正确.【详解】∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠OBC+∠OCB=90°﹣12∠A,∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=90°+12∠A;故③正确;∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴∠OBC=∠OBE,∠OCB=∠OCF.∵EF∥BC,∴∠OBC=∠EOB,∠OCB=∠FOC,∴∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF,∴BE=OE,CF=OF,∴EF=OE+OF=BE+CF,故①正确;过点O作OM⊥AB于M,作ON⊥BC于N,连接OA.∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴ON=OD=OM=m,∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=12AE•OM+12AF•OD=12OD•(AE+AF)=12mn;故④错误;∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴点O到△ABC各边的距离相等,故②正确;∵AO=AO,MO=DO,∴△AMO≌△ADO(HL),∴AM=AD;同理可证:BM=BN,CD=CN.∵AM+BM=AB,AD+CD=AC,BN+CN=BC,∴AD=12(AB+AC﹣BC)故⑤正确.故答案为:①②③⑤.【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质,等腰三角形的判定与性质.此题难度适中,解题的关键是注意数形结合思想的应用.5.等腰三角形一边长等于4,一边长等于9,它的周长是__.【答案】22【解析】【分析】等腰三角形有两条边长为4和9,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形;【详解】解:因为4+4=8<9,0<4<9+9=18,∴腰的不应为4,而应为9,∴等腰三角形的周长=4+9+9=22.故答案为22.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;求三角形的周长,不能盲目地将三边长相加起来,而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯,把不符合题意的舍去.6.如图,ABC ∆中,AB AC =,点D 是ABC ∆内部一点,DB DC =,点E 是边AB 上一点,若CD 平分ACE ∠,100AEC =∠,则BDC ∠=______°【答案】80【解析】【分析】根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD,再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB-2∠ACD,然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°,代换化简得出∠ACB-∠ACD=50°,即∠DCB=50°,从而求出∠BDC即可.【详解】∵CD平分∠ACE,∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD,∴∠ECB=∠ACB-∠ACE=∠ACB-2∠ACD,∵∠AEC=100°,∴∠ABC+∠ECB=100°,∴∠ABC+∠ACB-2∠ACD=100°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴2∠ACB-2∠ACD=100°,∴∠ACB-∠ACD=50°,即∠DCB=50°,∵DB=DC,∴∠DBC=∠DCB,∴∠BDC=180°-2∠DCB=180°-2×50°=80°.【点睛】本题考查了角平分线,三角形内角和,外角定理,及等边对等角的性质等知识,熟练掌握基本知识,找出角与角之间的关系是解题的关键.7.如图,在3×3的正方形网格中,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形.图中的△ABC为格点三角形,在图中最多能画出_____个格点三角形与△ABC成轴对称.【答案】6【解析】【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴,然后作出轴对称三角形即可得解.【详解】如图,最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称.故答案为:6.【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图,熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键,本题难点在于确定出不同的对称轴.8.如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°,若BE=6cm,DE=2cm,则BC=_____cm.【答案】8cm.【解析】【详解】解:如图,延长ED交BC于M,延长AD交BC于N,作DF∥BC,∵AB=AC ,AD 平分∠BAC ,∴AN ⊥BC ,BN=CN ,∵∠EBC=∠E=60°,∴△BEM 为等边三角形,∴△EFD 为等边三角形,∵BE=6cm ,DE=2cm ,∴DM=4,∵△BEM 为等边三角形,∴∠EMB=60°,∵AN ⊥BC ,∴∠DNM=90°,∴∠NDM=36°,∴NM=2,∴BN=4,∴BC=8.9.如图,D 为ABC ∆内一点,CD 平分ACB ∠,BD CD ⊥,A ABD ∠=∠,若8AC =,5BC =,则BD 的长为_______.【答案】1.5【解析】【分析】延长BD 交AC 边于点E ,根据BD⊥CD,CD 平分∠ACB,得到三角形全等,由此求出AE 的长,再根据A ABD ∠=∠,求出BE 的长即可求得BD.【详解】延长BD 交AC 于点E ,∵BD⊥CD,∴∠BDC=∠EDC=900,∵CD 平分∠ACB,∴∠BCD=∠ECD又∵CD=CD∴△BCD≌△ECD∴BD=ED,CE=BC=5,∴AE=AC -CE=8-5=3,∵A ABD ∠=∠,∴BE=AE=3,∴BD=1.5【点睛】此题考察等腰三角形的性质,延长BD构建全等三角形是证明此题的关键.10.在下列结论中:①有三个角是60︒的三角形是等边三角形;②有一个外角是120︒的等腰三角形是等边三角形;③有一个角是60︒,且是轴对称的三角形是等边三角形;④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形.其中正确的是__________.【答案】①②③④【解析】【分析】依据等边三角形的定义,含有一个600角的等腰三角形是等边三角形判断即可.【详解】有三个角是600的三角形是等边三角形,故①正确;外角是1200时,邻补角为600,即有一个内角是600的等腰三角形是等边三角形,故②正确;轴对称的三角形是等腰三角形,且含有一个600角,因此是等边三角形,故③正确;一腰上的高也是中线,故底边等于腰长,所以此三角形是等边三角形,故④正确.故此题正确的是①②③④.【点睛】此题考查等边三角形的判定方法,熟记方法才能熟练运用.二、八年级数学轴对称三角形选择题(难)11.如图,平面直角坐标系中存在点A(3,2),点B(1,0),以线段AB为边作等腰三角形ABP,使得点P在坐标轴上.则这样的P点有()A.4个B.5个C.6个D.7个【答案】D【解析】【分析】本题是开放性试题,由题意知A 、B 是定点,P 是动点,所以要分情况讨论:以AP 、AB 为腰、以AP 、BP 为腰或以BP 、AB 为腰.则满足条件的点P 可求.【详解】由题意可知:以AP 、AB 为腰的三角形有3个;以AP 、BP 为腰的三角形有2个;以BP 、AB 为腰的三角形有2个.所以,这样的点P 共有7个.故选D .【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质;分类别寻找是正确解答本题的关键.12.如图,ABC ,分别以AB 、AC 为边作等边三角形ABD 与等边三角形ACE ,连接BE 、CD ,BE 的延长线与CD 交于点F ,连接AF ,有以下四个结论:①BE CD =;②FA 平分EFC ∠;③FE FD =;④FE FC FA +=.其中一定正确的结论有( )A .1B .2C .3D .4【答案】C【解析】【分析】 根据等边三角形的性质证出△BAE ≌△DAC ,可得BE =CD ,从而得出①正确;过A 作AM ⊥BF 于M ,过A 作AN ⊥DC 于N ,由△BAE ≌△DAC 得出∠BEA =∠ACD ,由等角的补角相等得出∠AEM =∠CAN ,由AAS 可证△AME ≌△ANC ,得到AM =AN ,由角平分线的判定定理得到FA 平分∠EFC ,从而得出②正确;在FA 上截取FG ,使FG =FE ,根据全等三角形的判定与性质得出△AGE ≌△CFE ,可得AG =CF ,即可求得AF =CF +EF ,从而得出④正确;根据CF +EF =AF ,CF +DF =CD ,得出CD ≠AF ,从而得出FE ≠FD ,即可得出③错误.【详解】∵△ABD 和△ACE 是等边三角形,∴∠BAD =∠EAC =60°,AE =AC =EC .∵∠BAE +∠DAE =60°,∠CAD +∠DAE =60°,∴∠BAE =∠DAC ,在△BAE 和△DAC 中,∵AB ADBAE DACAE AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BAE≌△DAC(SAS),∴BE=CD,①正确;过A作AM⊥BF于M,过A作AN⊥DC于N,如图1.∵△BAE≌△DAC,∴∠BEA=∠ACD,∴∠AEM=∠ACN.∵AM⊥BF,AN⊥DC,∴∠AME=∠ANC.在△AME和△ANC中,∵∠AEM=∠CAN,∠AME=∠ANC,AE=AC,∴△AME≌△ANC,∴AM=AN.∵AM⊥BF,AN⊥DC,AM=AN,FA平分∠EFC,②正确;在FA上截取FG,使FG=FE,如图2.∵∠BEA=∠ACD,∠BEA+∠AEF=180°,∴∠AEF+∠ACD=180°,∴∠EAC+∠EFC=180°.∵∠EAC=60°,∴∠EFC=120°.∵FA平分∠EFC,∴∠EFA=∠CFA=60°.∵EF=FG,∠EFA=60°,∴△EFG是等边三角形,∴EF=EG.∵∠AEG+∠CEG=60°,∠CEG+∠CEF=60°,∴∠AEG=∠CEF,在△AGE和△CFE中,∵AE ACAEG CEFEG EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AGE≌△CFE(SAS),∴AG=CF.∵AF=AG+FG,∴AF=CF+EF,④正确;∵CF+EF=AF,CF+DF=CD,CD≠AF,∴FE≠FD,③错误,∴正确的结论有3个.故选C.【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质,正确作辅助线是解答本题的关键.13.如图,已知一条线段的长度为a,作边长为a的等边三角形的方法是:①画射线AM;②连结AC、BC;③分别以A、B为圆心,以a的长为半径作圆弧,两弧交于点C;④在射线AM上截取AB=a;以上画法正确的顺序是()A.①②③④B.①④③②C.①④②③D.②①④③【答案】B【解析】【分析】根据尺规作等边三角形的过程逐项判断即可解答.【详解】解:已知一条线段的长度为a,作边长为a的等边三角形的方法是:①画射线AM;②在射线AM上截取AB=a;③分别以A、B为圆心,以a的长为半径作圆弧,两弧交于点C;④连结AC、BC.△ABC即为所求作的三角形.故选答案为B.本题考查了尺规作图和等边三角形的性质,解决本题的关键是理解等边三角形的作图过程.的正方形网格中,A,B是如图所示的两个格点,如果C也是格点,且14.在一个33ABC是等腰三角形,则符合条件的C点的个数是()A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】【分析】根据题意、结合图形,画出图形即可确定答案.【详解】解:根据题意,画出图形如图:共8个.故答案为C.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定,根据题意、画出符合实际条件的图形是解答本题的关键.15.如图,已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC 于F,AD交CE于G.则下列结论中错误的是( )A.AD=BE B.BE⊥ACC.△CFG为等边三角形D.FG∥BC【答案】B试题解析:A.ABC 和CDE △均为等边三角形,60AC BC EC DC ACB ECD ∴==∠=∠=︒,,,在ACD 与BCE 中,{AC BCACD BCE CD CF =∠=∠=,ACD BCE ∴≌,AD BE ∴=,正确.B .据已知不能推出F 是AC 中点,即AC 和BF 不垂直,所以AC BE ⊥错误,故本选项符合题意.C.CFG 是等边三角形,理由如下:180606060ACG BCA ∠=︒-︒-︒=︒=∠,ACD BCE ≌,CBE CAD ∴∠=∠,在ACG 和BCF 中,{CAG CBFAC BCBCF ACG ∠=∠=∠=∠,ACG BCF ∴≌,CG CH ∴=,又∵∠ACG=60° CFG ∴是等边三角形,正确.D.CFG 是等边三角形,60CFG ACB ∴∠︒=∠﹦,.FG BC ∴ 正确.故选B.16.如图,在△ABC 中,BC 的垂直平分线分别交AC ,BC 于点D ,E ,若△ABC 的周长为24,CE =4,则△ABD 的周长为( )A .16B .18C .20D .24【答案】A【解析】根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行解答即可.【详解】解:∵DE是BC的垂直平分线,∴DB=DC,BC=2CE=8又∵AABC的周长为24,∴AB+BC+AC=24∴AB+AC=24-BC=24-8=16∴△ABD的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AB+AC=16,故答案为A【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质,理解并应用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.17.如图,已知等边△ABC的边长为4,面积为43,点D为AC的中点,点E为BC的中点,点P为BD上一动点,则PE+PC的最小值为()A.3 B.2C.3D.3【答案】C【解析】【分析】由题意可知点A、点C关于BD对称,连接AE交BD于点P,由对称的性质可得,PA=PC,故PE+PC=AE,由两点之间线段最短可知,AE即为PE+PC的最小值.【详解】解:∵△ABC是等边三角形,点D为AC的中点,点E为BC的中点,∴BD⊥AC,EC=2,连接AE,线段AE的长即为PE+PC最小值,∵点E是边BC的中点,∴AE⊥BC,∴PE+PC22-=4223AC E C-22故选C.【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题,熟知等边三角形的性质是解答此题的关键.18.如图,点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且速度都为1cm/s,连接AQ、CP交于点M,下面四个结论:①BP=CM;②△ABQ≌△CAP;③∠CMQ的度数不变,始终等于60°;④当第43秒或第83秒时,△PBQ为直角三角形,正确的有几个 ( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】①等边三角形ABC中,AB=BC,而AP=BQ,所以BP=CQ.②根据等边三角形的性质,利用SAS证明△ABQ≌△CAP;③由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP,从而得到∠CMQ=60°;④设时间为t秒,则AP=BQ=tcm,PB=(4-t)cm,当∠PQB=90°时,因为∠B=60°,所以PB=2BQ,即4-t=2t故可得出t的值,当∠BPQ=90°时,同理可得BQ=2BP,即t=2(4-t),由此两种情况即可得出结论.【详解】①在等边△ABC中,AB=BC.∵点P、Q的速度都为1cm/s,∴AP=BQ,∴BP=CQ.只有当CM=CQ时,BP=CM.故①错误;②∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP,AB=CA,又∵点P、Q运动速度相同,在△ABQ与△CAP中,∵AB CAABQ CAP AP BQ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===,∴△ABQ≌△CAP(SAS).故②正确;③点P、Q在运动的过程中,∠QMC不变.理由:∵△ABQ≌△CAP,∴∠BAQ=∠ACP,∵∠QMC=∠ACP+∠MAC,∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°.故③正确;④设时间为t秒,则AP=BQ=tcm,PB=(4-t)cm,当∠PQB=90°时,∵∠B=60°,∴PB=2BQ,即4-t=2t,t=43,当∠BPQ=90°时,∵∠B=60°,∴BQ=2BP,得t=2(4-t),t=83,∴当第43秒或第83秒时,△PBQ为直角三角形.故④正确.正确的是②③④,故选C.【点睛】此题是一个综合性题目,主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识.熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键.19.如图,已知△ABC与△CDE均是等边三角形,点B、C、E在同一条直线上,AE与BD 交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F,连接OC、FG,则下列结论:①AE=BD;②AG=BF;③FG∥BE;④∠BOC=∠EOC.其中正确结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】【分析】根据题意,结合图形,对选项一一求证,即可得出正确选项.【详解】(1)△ABC和△DCE均是等边三角形,点B,C,E在同一条直线上,∴AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACE=∠BCD=120°.在△BCD和△ACE中,∵AC BCBCD ACECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCD≌△ACE,∴AE=BD,故结论①正确;(2)∵△BCD≌△ECA,∴∠GAC=∠FBC.又∵∠ACG=∠BCF=60°,AC=BC,∴△ACG≌△BCF,∴AG=BF,故结论②正确;(3)∵△ACG≌△BCF,∴CG=CF.∵∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACD=60°,∴△FCG为等边三角形,∴∠FGC=60°,∴∠FGC=∠DCE,∴FG∥BE,故结论③正确;(4)过C作CN⊥AE于N,CZ⊥BD于Z,则∠CNE=∠CZD=90°.∵△ACE≌△BCD,∴∠CDZ=∠CEN.在△CDZ和△CEN中,CZD CNECDZ CENCD CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△CDZ≌△CEN,∴CZ=CN.∵CN⊥AE,CZ⊥BD,∴∠BOC=∠EOC,故结论④正确.综上所述:四个结论均正确.故选D.【点睛】本题综合考查了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的判定定理等重要几何知识点,有一定难度,需要学生将相关知识点融会贯通,综合运用.20.如图,在ABC△中,2B C∠=∠,AH BC⊥,AE平分BAC∠,M是BC中点,则下列结论正确的个数为()(1)AB BE AC+=(2)2AB BH BC+=(3)2AB HM=(4)CH EH AC+=A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】(1)延长AB取BD=BE,连接DE,由∠D=∠BED,2ABC C∠=∠,得到∠D=∠C,在△ADE和△ACE中,利用AAS证明ADE ACE≌,可得AC=AD=AB+BE;(2)在HC上截取HF=BH,连接AF,可知△ABF为等腰三角形,再根据2ABC AFB C∠=∠=∠,可得出△AFC为等腰三角形,所以FC+BH+HF=AB+2BH=BC;(3)HM=BM-BH,所以2HM=2BM-2BH=BC-2BH,再结合(2)中结论,可得2AB HM=;(4)结合(1)(2)的结论,BC2BH BE BC BH BE BH CH EHAC AB BE=+=-+=-+-=+.【详解】解:①延长AB取BD=BE,连接DE,∴∠D=∠BED,∠ABC=∠D+∠BED=2∠D,∵2ABC C∠=∠,∴∠D=∠C,在△ADE和△ACE中,DAE CAED CAE AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴ADE ACE≌∴AC=AD=AB+BE,故(1)正确;②在HC上截取HF=BH,连接AF,∵AH BC⊥,∴△ABF为等腰三角形,∴AB=AF,∠ABF=∠AFB,∵2ABC C∠=∠,∴∠AFB=2∠C=∠C+∠CAF,∴FC=AF=AB,∴FC+BH+HF=AB+2BH=BC,故(2)正确;③∵HM=BM-BH ,∴2HM=2BM-2BH=BC-2BH ,由②可知BC-2BH=AB ,∴2AB HM =④根据①②结论,可得:BC 2BH BE BC BH BE BH CH EH AC AB BE =+=-+=-+-=+,故(4)正确;故选D.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的外角以及全等三角形的判定和性质,结合实际问题作出合适辅助线是解题关键.。

人教版 八年级数学上册 第12章 全等三角形 培优训练(含答案)

人教版  八年级数学上册 第12章 全等三角形 培优训练(含答案)

人教版八年级数学第12章全等三角形培优训练一、选择题1. 如图,要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等,所需的条件是()A.AC=A′C′,BC=B′C′B.∠A=∠A′,AB=A′B′C.AC=A′C′,AB=A′B′D.∠B=∠B′,BC=B′C′2. 用直尺和圆规作一个角的平分线,示意图如图,则能说明OC是∠AOB的平分线的依据是()A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA3. 如图,利用尺规作∠AOB的平分线OC,其作法如下:(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,与OA,OB分别交于点D,E;(2)分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点C;(3)画射线OC,则射线OC就是∠AOB的平分线.这样作图的原理是三角形全等的一种判定方法,这种判定方法是()A.SSSB.SASC.ASAD.AAS4. 如图,OC平分∠AOB,P是射线OC上的一点,PD⊥OB于点D,且PD=3,动点Q在射线OA上运动,则线段PQ的长度不可能是()A.2 B.3 C.4 D.55. 如图所示,P是∠BAC内一点,且点P到AB,AC的距离PE,PF相等,则△PEA≌△PF A的依据是()A.HL B.ASA C.SSS D.SAS6. 根据下列条件,能画出唯一的△ABC的是()A.AB=3,BC=4,AC=8 B.AB=4,BC=3,∠A=30°C.AB=5,AC=6,∠A=50°D.∠A=30°,∠B=70°,∠C=80°7. 如图,点A,E,B,F在同一直线上,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC =ED,当利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时,下面的4个条件中:①AE =FB;②AB=FE;③AE=BE;④BF=BE,可利用的是()A.①或②B.②或③C.①或③D.①或④8. (2019•陕西)如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC交BC 于点D,DE⊥AB,垂足为E.若DE=1,则BC的长为A.2+2B.23+C.32+D.39. 如图,AB⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为B,E,∠1=∠2,AD=AB,则下列结论正确的是()A.∠1=∠EFDB.BE=ECC.BF=CDD.FD∥BC10. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则∠1+∠2+∠3等于()A.90°B.120 C.135°D.150°二、填空题11. 如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,连接BD.请添加一个适当的条件:______________,使得△ABD≌△CDB.(只需写出一个)12. 已知△ABC≌△DEF,若△ABC的周长为16,AB=6,AC=7,则EF=________.13. 将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放,两块三角尺较短的直角边分别与∠AOB的两边重合,且含30°角的顶点恰好也重合于点C,则射线OC 即为∠AOB的平分线,理由是______________________.14. 如图,P A⊥ON于点A,PB⊥OM于点B,且P A=PB.若∠MON=50°,∠OPC =30°,则∠PCA的大小为________.15. 如图,△ABC的两条外角平分线BP,CP相交于点P,PE⊥AC交AC的延长线于点E.若△ABC的周长为11,PE=2,S△BPC =2,则S△ABC=.16. 如图,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q是线段AC与射线AX上的两个动点,且AB=PQ,当AP=________时,△ABC与△APQ全等.三、作图题17. 如图,试沿着虚线把图形分成两个全等图形.18. 如图,要在河流的右侧、公路的左侧M区处建一个工厂,位置选在到河流和公路的距离相等,并且到河流与公路交叉点A处的距离为1 cm(指图上距离)的地方,则图中工厂的位置应选在哪里?作出图形(保留作图痕迹,不写作法),并说明理由.四、解答题19. 如图,∠B=∠D,请添加一个条件(不得添加辅助线),使得△ABC≌△ADC,并证明.20. 如图,已知△ACF≌△DBE,且点A,B,C,D在同一条直线上.若AD=16,BC=10,求AB的长.21. 已知:点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等,且OB=OC.(1)如图①,若点O在边BC上,求证:AB=AC;(2)如图②,若点O在△ABC的内部,求证:AB=AC;(3)若点O在△ABC的外部,AB=AC成立吗?请画图表示.图①图②22. 如图,已知AP∥BC,∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E,过点E 的直线分别交AP,BC于点D,C.求证:AD+BC=AB.23. 如图,A,B两点分别在射线OM,ON上,点C在∠MON的内部且CA=CB,CD⊥OM,CE⊥ON,垂足分别为D,E,且AD=BE.(1)求证:OC平分∠MON;(2)如果AO=10,BO=4,求OD的长.人教版八年级数学第12章全等三角形培优训练-答案一、选择题1. 【答案】C2. 【答案】A3. 【答案】A4. 【答案】A[解析] 如图,过点P作PE⊥OA于点E.∵OC平分∠AOB,PD⊥OB,∴PE=PD=3.∵动点Q在射线OA上运动,∴PQ≥3.∴线段PQ的长度不可能是2.5. 【答案】A6. 【答案】C[解析] 对于选项A来说,AB+BC<AC,不能画出△ABC;对于选项B来说,可画出△ABC为锐角三角形或者钝角三角形;对于选项C来说,已知两边及其夹角,△ABC是唯一的;对于选项D来说,△ABC的形状可确定,但大小不确定.7. 【答案】A[解析] 由题意可得,要用“SSS”判定△ABC和△FED全等,需要AB=FE,若添加①AE=FB,则可得AE+BE=FB+BE,即AB=FE,故①可以;若添加AB=FE,则可直接用“SSS”证明两三角形全等,故②可以;而③④都不可以.8. 【答案】A【解析】如图,过点D作DF⊥AC于F,∵AD为∠BAC的平分线,且DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴DF=DE=1,在Rt△BED中,∠B=30°,∴BD=2DE=2,在Rt△CDF中,∠C=45°,∴△CDF为等腰直角三角形,∴CF=DF=1,∴CD=22+=2,DF CF∴BC=BD+CD=22+,故选A.9. 【答案】D[解析] 在△AFD和△AFB中,∴△AFD≌△AFB.∴∠ADF=∠ABF.∵AB⊥BC,BE⊥AC,∴∠BEC=∠ABC=90°.∴∠ABF+∠EBC=90°,∠C+∠EBC=90°. ∴∠ADF=∠ABF=∠C. ∴FD ∥BC.10. 【答案】C[解析] 在图中容易发现全等三角形,将∠3转化为与其相等的对应角后可以看出∠3与∠1互余.故∠1+∠3=90°.易得∠2=45°,故∠1+∠2+∠3=135°.二、填空题11. 【答案】答案不唯一,如AB =CD [解析] 由已知AB ∥CD 可以得到一对角相等,还有BD =DB ,根据全等三角形的判定,可添加夹这个角的另一边相等,或添加另一个角相等均可.12. 【答案】3[解析] ∵△ABC 的周长为16,AB =6,AC =7,∴BC =3.∵△ABC ≌△DEF ,∴EF =BC =3.13. 【答案】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上14. 【答案】55°[解析] ∵PA ⊥ON ,PB ⊥OM ,∴∠PAO =∠PBO =90°.在Rt △AOP 和Rt △BOP 中,⎩⎨⎧PA =PB ,OP =OP ,∴Rt △AOP ≌Rt △BOP(HL). ∴∠AOP =∠BOP =12∠MON =25°.∴∠PCA =∠AOP +∠OPC =25°+30°=55°.15. 【答案】7[解析] 过点P 作PF ⊥BC 于点F ,PG ⊥AB 于点G ,连接AP .∵△ABC 的两条外角平分线BP ,CP 相交于点P ,∴PF=PG=PE=2.∵S △BPC =2,∴BC ·2=2,解得BC=2.∵△ABC 的周长为11,∴AC+AB=11-2=9.∴S △ABC =S △ACP +S △ABP -S △BPC =AC ·PE+AB ·PG-S △BPC =×9×2-2=7.16. 【答案】5或10 [解析] ∵AX ⊥AC ,∴∠PAQ =90°.∴∠C =∠PAQ =90°.分两种情况:①当AP =BC =5时, 在Rt △ABC 和Rt △QPA 中,⎩⎨⎧AB =QP ,BC =PA ,∴Rt △ABC ≌Rt △QPA(HL); ②当AP =CA =10时,在Rt △ABC 和Rt △PQA 中,⎩⎨⎧AB =PQ ,AC =PA ,∴Rt △ABC ≌Rt △PQA(HL).综上所述,当AP =5或10时,△ABC 与△APQ 全等.三、作图题17. 【答案】解:如图所示.18. 【答案】解:工厂的位置应选在∠A 的平分线上,且距A 点1 cm 处.理由:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.作图略.四、解答题19. 【答案】解:答案不唯一,如:添加∠BAC =∠DAC. 证明:在△ABC 和△ADC 中,⎩⎨⎧∠B =∠D ,∠BAC =∠DAC ,AC =AC ,∴△ABC ≌△ADC(AAS).20. 【答案】解:∵△ACF ≌△DBE ,∴AC=DB.∴AC-BC=DB-BC ,即AB=CD. ∵AD=16,BC=10,∴AB=CD=(AD-BC)=3.21. 【答案】(1)证明:如图①,过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,E、F分别是垂足,由题意知,OE=OF,OB=OC,解图①∴Rt△OEB≌Rt△OFC,∴∠B=∠C,从而AB=AC.(2)证明:如图②,过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,E、F分别是垂足,由题意知,OE=OF.在Rt△OEB和Rt△OFC中,∵OE=OF,OB=OC,解图②∴Rt△OEB≌Rt△OFC.∴∠OBE=∠OCF,又由OB=OC知∠OBC=∠OCB,∴∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.(3)解:不一定成立.(注:当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时,有AB=AC;否则,AB≠AC,如示例图③)解图③22. 【答案】证明:如图,在AB上截取AF=AD,连接EF.∵AE 平分∠PAB ,∴∠DAE =∠FAE.在△DAE 和△FAE 中,⎩⎨⎧AD =AF ,∠DAE =∠FAE ,AE =AE ,∴△DAE ≌△FAE(SAS).∴∠AFE =∠ADE.∵AD ∥BC ,∴∠ADE +∠C =180°.又∵∠AFE +∠EFB =180°,∴∠EFB =∠C.∵BE 平分∠ABC ,∴∠EBF =∠EBC.在△BEF 和△BEC 中,⎩⎨⎧∠EFB =∠C ,∠EBF =∠EBC ,BE =BE , ∴△BEF ≌△BEC(AAS).∴BF =BC.∴AD +BC =AF +BF =AB.23. 【答案】解:(1)证明:∵CD ⊥OM ,CE ⊥ON , ∴∠CDA =∠CEB =90°.在Rt △ACD 与Rt △BCE 中,⎩⎨⎧CA =CB ,AD =BE ,∴Rt △ACD ≌Rt △BCE(HL).∴CD =CE.又∵CD ⊥OM ,CE ⊥ON ,∴OC 平分∠MON.(2)在Rt △ODC 与Rt △OEC 中,⎩⎨⎧CD =CE ,OC =OC ,∴Rt △ODC ≌Rt △OEC.∴OD =OE.设BE =x.∵BO =4,∴OE =OD =4+x.∵AD =BE =x ,∴AO =OD +AD =4+2x =10.∴x =3.∴OD =4+3=7.。

2022-2023学年八年级上册《全等三角形》培优练习题 含答案

2022-2023学年八年级上册《全等三角形》培优练习题   含答案

独家原创《全等三角形》培优练习题一.选择题1.如图,在△ABC和△DEF中,AB=DE,∠A=∠D,添加一个条件不能判定这两个三角形全等的是()A.AC=DF B.∠B=∠E C.BC=EF D.∠C=∠F 2.如图,已知AB⊥BC于B,CD⊥BC于C,BC=13,AB=5,且E为BC上一点,∠AED=90°,AE=DE,则BE=()A.13 B.8 C.6 D.53.平面内,到三角形三边距离相等的点有()个.A.4 B.3 C.2 D.14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AF平分∠DAC交CD于点F,点E为AB上一点,AE=AC,连接EF,若∠B=56°,则∠AEF=()A.34°B.46°C.56°D.60°5.如图,直线l1,l2,l3表示三条相交叉的公路.现在要建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地点有()A.四处B.三处C.两处D.一处6.如图,△ABD≌△ACE,∠AEC=110°,则∠DAE的度数为()A.40°B.30°C.50°D.60°7.在如图所示的5×5方格中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC是格点三角形(即顶点恰好是正方形的顶点),则与△ABC 有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是()A.1 B.2 C.3 D.48.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交边AC、AB于点M、N,再分别以点M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则△ABD的面积是()A.15 B.30 C.45 D.609.如图,已知点E、F在线段BC上,BE=CF,DE=DF,AD⊥BC,垂足为点D,则图中共有全等三角形()对.A.2 B.3 C.4 D.510.如图,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接EF交AD于点G,则下列结论:①DF+AE>AD;②DE=DF;③AD⊥EF;④S△ABD:S△ACD=AB:AC,其中正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3 个D.4个二.填空题11.如图,∠1=∠2,BC=EC,请补充一个条件:能使用“AAS”方法判定△ABC≌△DEC.12.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON,垂足为A,Q是射线OM 上的一个动点,若P、Q两点距离最小为8,则PA=.13.如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则∠1﹣∠2+∠3=.14.如图,AB=AC,AD=AE,点B、D、E在一条直线上,∠BAC =∠DAE,∠1=35°,∠2=30°,则∠3=度.15.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为48和26,求△EDF的面积.16.如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2cm,BC=6cm,射线BM ⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ 运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动秒时,△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.三.解答题17.已知:如图,∠BAC=∠DAC.请添加一个条件,使得△ABC≌△ADC,然后再加以证明.18.小明家门前有一条小河,村里准备在河面上架上一座桥,但河宽AB无法直接测量,爱动脑的小明想到了如下方法:在与AB垂直的岸边BF上取两点C、D使CD=,再引出BF的垂线DG,在DG上取一点E,并使A、C、E在一条直线上,这时测出线段的长度就是AB的长.(1)按小明的想法填写题目中的空格;(2)请完成推理过程.19.在△ABC中,D是AB的中点,E是CD的中点.过点C作CF ∥AB交AE的延长线于点F,连接BF.求证:DB=CF.20.如图,△ABC中,AB=BC,∠ABC=45°,BE⊥AC于点E,AD ⊥BC于点D,BE与AD相交于F.(1)求证:BF=AC;(2)若BF=3,求CE的长度.21.已知:BE⊥CD,BE=DE,BC=DA,求证:①△BEC≌△DEA;②DF⊥BC.22.如图,AD是△ABC的角平分线,点F、E分别在边AC、AB上,连接DE、DF,且∠AFD+∠B=180°.(1)求证:BD=FD;(2)当AF+FD=AE时,求证:∠AFD=2∠AED.23.如图,已知△ABC中,AB=AC=24厘米,∠ABC=∠ACB,BC =16厘米,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动.同时,点Q在线段CA上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动.设运动的时间为t秒.(1)直接写出:①BD=厘米;②BP=厘米;③CP=厘米;④CQ=厘米;(可用含t、a的代数式表示)(2)若以D,B,P为顶点的三角形和以P,C,Q为顶点的三角形全等,试求a、t的值;(3)若点Q以(2)中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动.设运动的时间为t秒;直接写出t=秒时点P与点Q第一次相遇.24.如图,在△ABC中,AB=AC=8,BC=12,点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动,点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动,连接AD、DE,设D、E两点运动时间为t秒(0<t<4)(1)运动秒时,AE=DC;(2)运动多少秒时,△ABD≌△DCE能成立,并说明理由;(3)若△ABD≌△DCE,∠BAC=α,则∠ADE=(用含α的式子表示).参考答案一.选择题1.解:A、添加AC=DF,满足SAS,可以判定两三角形全等;B、添加∠B=∠E,满足ASA,可以判定两三角形全等;C、添加BC=EF,不能判定这两个三角形全等;D、添加∠C=∠F,满足AAS,可以判定两三角形全等;故选:C.2.解:在△ABE和△ECD中∴△ABE≌△ECD(AAS).∴CE=AB=5.∴BE=BC﹣CE=13﹣5=8.故选:B.3.解:如图,△ABC外角平分线的交点共有3个,内角平分线的交点有1个,所以,到三边距离相等的点共有3+1=4个.故选A.4.解:∵AF平分∠DAC,∴∠CAF=∠EAF,又∵AC=AE,AF=AF,∴△ACF≌△AEF,∴∠AEF=∠ACF,又∵CD⊥AB,∠ACB=90°,∴∠B+∠BAC=90°=∠ACD+∠DAC,∴∠B=∠ACD,∴∠AEF=∠B=56°,故选:C.5.解:满足条件的有:(1)三角形两个内角平分线的交点,共一处;(2)三角形外角平分线的交点,共三处.故选:A.6.解:∵∠AEC=110°,∴∠AED=180°﹣∠AEC=180°﹣110°=70°,∵△ABD≌△ACE,∴AD=AE,∴∠AED=∠ADE,∴∠DAE=180°﹣2×70°=180°﹣140°=40°.故选:A.7.解:以BC为公共边的三角形有3个,以AB为公共边的三角形有0个,以AC为公共边的三角形有1个,共3+0+1=4个,故选:D.8.解:作DE⊥AB于E,由基本尺规作图可知,AD是△ABC的角平分线,∵∠C=90°,DE⊥AB,∴DE=DC=4,∴△ABD的面积=×AB×DE=30,故选:B.9.解:∵BE=CF,DE=DF,AD⊥BC,∴AD垂直平分BC,AD垂直平分EF,∴AB=AC,AE=AF,又∵AD=AD,∴△ABD≌△ACD(SSS),△AED≌△AFD(SSS),∵BE=CF,DE=DF,∴BF=CE,又∵AB=AC,AE=AF,∴△ABF≌△ACE(SSS),∵AB=AC,AE=AF,BE=CF,∴△ABE≌△ACF(SSS),∴图形中共有全等三角形4对,故选:C.10.解:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴∠AED=∠AFD=90°,DE=DF,故②正确;在Rt△AED和Rt△AFD中,∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),∴AE=AF,∵AD平分∠BAC,∴AD⊥EF,故③正确;∵在△AFD中,AF+DF>AD,又∵AE=AF,∴AE+DF>AD,故①正确;∵S△ABD=,S△ACD=,DE=DF,∴S△ABD:S△ACD=AB:AC,故④正确;即正确的个数是4个,故选:D.二.填空题11.解:可以添加∠A=∠D,理由是:∵∠1=∠2,∴∠ACB=∠DCE,∴在△ABC和△DEC中,,∴△ABC≌△DEC(AAS).故答案是:∠A=∠D.12.解:过点P作PQ⊥OM,垂足为Q,则PQ长为P、Q两点最短距离,∵OP平分∠MON,PA⊥ON,PQ⊥OM,∴PA=PQ=8,故答案为:8.13.解:观察图形可知:△ABC≌△BDE,∴∠1=∠DBE,又∵∠DBE+∠3=90°,∴∠1+∠3=90°.∵∠2=45°,∴∠1﹣∠2+∠3=90°﹣45°=45°.故答案为:45°.14.解:如图所示:∵∠BAC=∠DAE,∠BAC=∠1+∠DAC,∠DAE=∠DAC+∠4,∴∠1=∠4,在△ABD和△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ADB=∠AEC,又∵∠2+∠4+∠AEC=180°,∴∠AEC=115°,∴∠ADB=115°,又∠ADB+∠3=180°,∴∠3=65°,故答案为65.15.解:如图,作DH⊥AC于H,∵AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,DH⊥AC,∴DF=DH,在Rt△FDE和Rt△HDG中,,∴Rt△FDE≌Rt△HDG(HL),同理,Rt△FDA≌Rt△HDA(HL),设△EDF的面积为x,由题意得,48﹣x=26+x,解得x=11,即△EDF的面积为11,故答案为:11.16.解:①当P在线段BC上,AC=BP时,△ACB≌△PBN,∵AC=2,∴BP=2,∴CP=6﹣2=4,∴点P的运动时间为4÷1=4(秒);②当P在线段BC上,AC=BN时,△ACB≌△NBP,这时BC=PN=6,CP=0,因此时间为0秒;③当P在BQ上,AC=BP时,△ACB≌△PBN,∵AC=2,∴BP=2,∴CP=2+6=8,∴点P的运动时间为8÷1=8(秒);④当P在BQ上,AC=NB时,△ACB≌△NBP,∵BC=6,∴BP=6,∴CP=6+6=12,点P的运动时间为12÷1=12(秒),故答案为:0或4或8或12.三.解答题17.解:若添加的条件为:AB=AD,则在△ABC与△ADC中,,∴△ABC≌△ADC(SAS).若添加的条件为:∠B=∠D,则在△ABC与△ADC中,,∴△ABC≌△ADC(AAS).若添加的条件为:∠ACB=∠ACD,则,∴△ABC≌△ADC(ASA).故答案为:AB=AD(或∠B=∠D或∠ACB=∠ACD)(答案不唯一).18.解:(1)在与AB垂直的岸边BF上取两点C、D使CD=CB,再引出BF的垂线DG,在DG上取一点E,并使A、C、E在一条直线上,这时测出线段DE的长度就是AB的长.故答案为:CB,DE;(2)由题意得DG⊥BF,∴∠CDE=∠CBA=90°,在△ABC和△EDC中,,∴△ABC≌△EDC(ASA),∴DE=AB(全等三角形的对应边相等).19.证明:∵E为CD的中点,∴CE=DE,∵∠AED和∠CEF是对顶角,∴∠AED=∠CEF.∵CF∥AB,∴∠EDA=∠ECF.在△EDA和△ECF中,,∴△ADE≌△FCE(ASA),∴AD=FC,∵D为AB的中点,∴AD=BD.∴DB=CF.20.解:如图所示:(1)∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠FDB=∠FEA=∠ADC=90°,又∵∠FDB+∠1+∠BFD=180°,∠FEA+∠2+AFE=180°,∠BFD=∠AFE,∴∠1=∠2,又∠ABC=45°,∴BD=AD,在△BDF和△ADC中,,∴△BDF≌△ADC(ASA)∴BF=AC;(2)∵BF=3,∴AC=3,又∵BE⊥AC,∴CE=AE==.21.证明:(1)∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEA=90°,又∵BE=DE,BC=DA,∴△BEC≌△DEA(HL);(2)∵△BEC≌△DEA,∴∠B=∠D.∵∠D+∠DAE=90°,∠DAE=∠BAF,∴∠BAF+∠B=90°.即DF⊥BC.22.证明:(1)过点D作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,如图1所示:∵DM⊥AB,DN⊥AC,∴∠DMB=∠DNF=90°,又∵AD平分∠BAC,∴DM=DN,又∵∠AFD+∠B=180°,∠AFD+∠DFN=180°,∴∠B=∠DFN,在△DMB和△DNF中,∴△DMB≌△DNF(AAS)∴BD=FD;(2)在AB上截取AG=AF,连接DG.如图2所示,∵AD平分∠BAC,∴∠DAF=∠DAG,在△ADF和△ADG中.,∴△ADF≌△ADG(SAS).∴∠AFD=∠AGD,FD=GD又∵AF+FD=AE,∴AG+GD=AE,又∵AE=AG+GE,∴FD=GD=GE,∴∠GDE=∠GED又∵∠AGD=∠GED+∠GDE=2∠GED.∴∠AFD=2∠AED23.解(1)由题意得:①BD=12,②BP=4t;③CP=16﹣4t,④CQ=at,故答案为:①12,②4t,③(16﹣4t),④at;(2)∵BP=4t,BD=12,CP=16﹣4t,CQ=at,∵∠B=∠C,∴分两种情况:①若△DBP≌△QCP,则,∴,∴,②若△DBP≌△PCQ,则,∴,∴;(3)①若a=4 时,P,Q不能相遇,②若a=6 时,由题意得:6t﹣4t=48,t=24,答:t=24秒时点P与点Q第一次相遇.故答案为:24.24.解:(1)由题可得,BD=CE=2t,∴CD=12﹣2t,AE=8﹣2t,∴当AE=DC,时,8﹣2t=(12﹣2t),解得t=3,故答案为:3;(2)当△ABD≌△DCE成立时,AB=CD=8,∴12﹣2t=8,解得t=2,∴运动2秒时,△ABD≌△DCE能成立;(3)当△ABD≌△DCE时,∠CDE=∠BAD,又∵∠ADE=180°﹣∠CDE﹣∠ADB,∠B=∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB,∴∠ADE=∠B,又∵∠BAC=α,AB=AC,∴∠ADE=∠B=(180°﹣α)=90°﹣α.故答案为:90°﹣α.。

全等三角形经典题型50题(有答案)

全等三角形经典题型50题(有答案)

全等三角形证明经典50题(含答案)1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12CD AB3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2证明:连接BF 和EF 。

因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。

所以 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。

所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF 。

所以 ∠EBF=∠BEF 。

又因为 ∠ABC=∠AED 。

所以 ∠ABE=∠AEB 。

所以 AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中,AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。

所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

ADBC4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC 证明:过E 点,作EG//AC ,交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ,∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE (AAS )∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C证明:在AC 上截取AE=AB ,连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ,AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD (SAS )∴∠AED=∠B ,DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE证明: 在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB =∠CEF =90° 因为EB =EF ,CE =CE , 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B =∠CFE 因为∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180° 所以∠D =∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC =∠FAC 又因为AC =AC 所以△ADC ≌△AFC (SAS ) 所以AD =AF 所以AE =AF +FE =AD +BE 12. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。

全等三角形经典题型50题[含答案]

全等三角形经典题型50题[含答案]

全等三角形证明经典50题(含答案)1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12CD AB3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2证明:连接BF 和EF 。

因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。

所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。

所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF 。

所以 ∠EBF=∠BEF 。

又因为 ∠ABC=∠AED 。

所以 ∠ABE=∠AEB 。

所以 AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中,AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。

所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

ADBC4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC 证明:过E 点,作EG//AC ,交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ,∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE (AAS )∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C证明:在AC 上截取AE=AB ,连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ,AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD (SAS )∴∠AED=∠B ,DE=DB ∵AC=AB+BDAC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠ED C ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE证明: 在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB=∠CEF =90° 因为EB =EF ,CE =CE , 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B =∠CFE 因为∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180° 所以∠D =∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC =∠FAC 又因为AC =AC 所以△ADC ≌△AFC (SAS ) 所以AD =AF 所以AE =AF +FE =AD +BE12. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。

八年级数学全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

八年级数学全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

八年级数学全等三角形(培优篇)(Word版含解析)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,AB=10cm,点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形,则P,A(P,A两点不重合)两点间的最短距离为______cm.-【答案】10310【解析】解:连接BD,在菱形ABCD中,∵∠ABC=120°,AB=BC=AD=CD=10,∴∠A=∠C=60°,∴△ABD,△BCD都是等边三角形,分三种情况讨论:①若以边BC为底,则BC垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意,此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”,即当点P与点D重合时,PA最小,最小值PA=10;②若以边PB为底,∠PCB为顶角时,以点C为圆心,BC长为半径作圆,与AC相交于一点,则弧BD(除点B外)上的所有点都满足△PBC是等腰三角形,当点P在AC上时,AP-;最小,最小值为10310③若以边PC为底,∠PBC为顶角,以点B为圆心,BC为半径作圆,则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形,当点P与点A重合时,PA最小,显然不满足题意,故此种情况不存在;-(cm).综上所述,PA的最小值为10310-.故答案为:10310点睛:本题考查菱形的性质、等边三角形的性质,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.2.如图,在锐角△ABC中,AB=5,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD,AB上的动点,则BM+MN的最小值是______.【答案】5【解析】【分析】作BH⊥AC,垂足为H,交AD于M点,过M点作MN⊥AB,垂足为N,则BM+MN为所求的最小值,再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN,再由等腰直角三角形的性质即可得出结论.【详解】如图,作BH⊥AC,垂足为H,交AD于M点,过M点作MN⊥AB,垂足为N,则BM+MN 为所求的最小值.∵AD是∠BAC的平分线,∴MH=MN,∴BH是点B到直线AC的最短距离(垂线段最短).∵AB=5,∠BAC=45°,∴BH==5.∵BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5.故答案为5.【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题,解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考,通过角平分线性质,垂线段最短,确定线段和的最小值.3.如图,已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5,点 P 是 AD 上的一动点,则 PE+PF 的最小值是_____.【答案】10【解析】利用正多边形的性质,可得点B 关于AD 对称的点为点E ,连接BE 交AD 于P 点,那么有PB=PF ,PE+PF=BE 最小,根据正六边形的性质可知三角形APB 是等边三角形,因此可知BE 的长为10,即PE+PF 的最小值为10.故答案为10.4.如图,在ABC 中,点A 的坐标为()0,1,点B 的坐标为()0,4,点C 的坐标为()4,3,点D 在第二象限,且ABD 与ABC 全等,点D 的坐标是______.【答案】(-4,2)或(-4,3)【解析】【分析】【详解】把点C 向下平移1个单位得到点D (4,2),这时△ABD 与△ABC 全等,分别作点C ,D 关于y 轴的对称点(-4,3)和(-4,2),所得到的△ABD 与△ABC 全等.故答案为(-4,2)或(-4,3).5.如图,ABC 中,ABC=45∠︒,CD AB ⊥于D ,BE 平分ABC ∠,且BE AC ⊥于E ,与CD 相交于点F ,H 是BC 边的中点,连接DH 与BE 相交于点G ,下列结论:BF=AC ①;A=67.5∠︒②;DG=DF ③;ADGE GHCE S S =四边形四边形④,其中正确的有__________(填序号).【答案】①②③【解析】【分析】只要证明△BDF ≌△CDA ,△BAC 是等腰三角形,∠DGF=∠DFG=67.5°,即可判断①②③正确,作GM ⊥BD 于M ,只要证明GH <DG 即可判断④错误.【详解】解:∵CD ⊥AB ,BE ⊥AC ,∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°,∴∠A +∠ABE=90°,∠ABE +∠DFB=90°,∴∠A=∠DFB ,∵∠ABC=45°,∠BDC=90°,∴∠DCB=90°−45°=45°=∠DBC ,∴BD=DC ,在△BDF 和△CDA 中,∠BDF=∠CDA ,∠A=∠DFB ,BD=CD ,∴△BDF ≌△CDA (AAS ),∴BF=AC ,故①正确.∵∠ABE=∠EBC=22.5°,BE ⊥AC ,∴∠A=∠BCA=67.5°,故②正确,∵BE 平分∠ABC ,∠ABC=45°,∴∠ABE=∠CBE=22.5°,∵∠BDF=∠BHG=90°,∴∠BGH=∠BFD=67.5°,∴∠DGF=∠DFG=67.5°,∴DG=DF ,故③正确.作GM ⊥AB 于M .如图所示:∵∠GBM=∠GBH ,GH ⊥BC ,∴GH=GM <DG ,∴S △DGB >S △GHB ,∵S △ABE =S △BCE ,∴S 四边形ADGE <S 四边形GHCE .故④错误,故答案为:①②③.【点睛】此题是三角形综合题,考查了等腰三角形的性质,直角三角形的性质,全等三角形的性质和判定,三角形的面积等知识点的综合运用,第五个问题难度比较大,添加辅助线是解题关键,属于中考选择题中的压轴题.6.如图,己知30MON ∠=︒,点1A ,2A ,3A ,…在射线ON 上,点1B ,2B ,3B ,…在射线OM 上,112A B A ∆,223A B A ∆,334A B A ∆,…均为等边三角形,若12OA =,则556A B A ∆的边长为________.【答案】32【解析】【分析】根据底边三角形的性质求出130∠=︒以及平行线的性质得出112233////A B A B A B ,以及22122A B B A =,得出332212244A B A B B A ===,441288A B B A ==,551216A B B A =⋯进而得出答案.【详解】解:△112A B A 是等边三角形,1121A B A B ∴=,341260∠=∠=∠=︒,2120∴∠=︒,30MON ∠=︒,11801203030∴∠=︒-︒-︒=︒,又360∠=︒,5180603090∴∠=︒-︒-︒=︒,130MON ∠=∠=︒,1112OA A B ∴==,212A B ∴=,△223A B A 、△334A B A 是等边三角形,111060∴∠=∠=︒,1360∠=︒,41260∠=∠=︒,112233////A B A B A B ∴,1223//B A B A ,16730∴∠=∠=∠=︒,5890∠=∠=︒,22122242A B B A =∴==,33232B A B A =,33312428A B B A ∴===,同理可得:444128216A B B A ===,⋯∴△1n n n A B A +的边长为2n ,∴△556A B A 的边长为5232=.故答案为:32.【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及30°直角三角形的性质,根据已知得出33124A B B A =,44128A B B A =,551216A B B A =进而发现规律是解题关键.7.如图,在直角坐标系中,点()8,8B -,点()2,0C -,若动点P 从坐标原点出发,沿y 轴正方向匀速运动,运动速度为1/cm s ,设点P 运动时间为t 秒,当BCP ∆是以BC 为腰的等腰三角形时,直接写出t 的所有值__________________.【答案】2秒或46秒或14秒【解析】【分析】分两种情况:PC 为腰或BP 为腰.分别作出符合条件的图形,计算出OP 的长度,即可求出t 的值.【详解】解:如图所示,过点B 作BD ⊥x 轴于点D ,作BE ⊥y 轴于点E ,分别以点B 和点C 为圆心,以BC 长为半径画弧交y 轴正半轴于点F ,点H 和点G∵点B (-8,8),点C (-2,0),∴DC=6cm ,BD=8cm ,由勾股定理得:BC=10cm∴在直角三角形COG中,OC=2cm,CG=BC=10cm,∴OP=OG= 22-=,10246(cm)当点P运动到点F或点H时,BE=8cm,BH=BF=10cm,∴EF=EH=6cm∴OP=OF=8-6=2(cm)或OP=OH=8+6=14(cm),故答案为:2秒,46秒或14秒.【点睛】本题综合考查了勾股定理和等腰三角形在平面直角坐标系中的应用,通过作图找出要求的点的位置,利用勾股定理来求解是本题的关键.8.如图,已知每个小方格的边长为1,A、B两点都在小方格的格点(顶点)上,请在图中找一个格点C,使△ABC是等腰三角形,这样的格点C有________个。

三角形全等培优证明题100题(有答案)

三角形全等培优证明题100题(有答案)

全等三角形证明题专项练习(100题)1.已知如图,△ABC≌△ADE,∠B=30°,∠E=20°,∠BAE=105°,求∠BAC的度数.∠BAC=_________.2.已知:如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC.求证:△ABD≌△CDB.3.如图,点E在△ABC外部,点D在边BC上,DE交AC于F.若∠1=∠2=∠3,AC=AE,请说明△ABC≌△ADE 的道理.4.如图,△ABC的两条高AD,BE相交于H,且AD=BD.试说明下列结论成立的理由.(1)∠DBH=∠DAC;(2)△BDH≌△ADC.5.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,且DE=DF,则AB=AC,并说明理由.6.如图,AE是∠BAC的平分线,AB=AC,D是AE反向延长线的一点,则△ABD与△ACD全等吗?为什么?7.如图所示,A、D、F、B在同一直线上,AF=BD,AE=BC,且AE∥BC.求证:△AEF≌△BCD.8.如图,已知AB=AC,AD=AE,BE与CD相交于O,△ABE与△ACD全等吗?说明你的理由.9.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,点E在AD上,找出图中全等的三角形,并说明它们为什么是全等的.10.如图所示,CD=CA,∠1=∠2,EC=BC,求证:△ABC≌△DEC.11.已知AC=FE,BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上,要使△ABC≌△FDE,应增加什么条件?并根据你所增加的条件证明:△ABC≌△FDE.12.如图,已知AB=AC,BD=CE,请说明△ABE≌△ACD.13.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,将△ABC绕点C逆时针旋转角α(0°<α<90°)得到△A1B1C,连接BB1.设CB1交AB于D,A1B1分别交AB,AC于E,F,在图中不再添加其他任何线段的情况下,请你找出一对全等的三角形,并加以证明.(△ABC与△A1B1C1全等除外)14.如图,AB∥DE,AC∥DF,BE=CF.求证:△ABC≌△DEF.15.如图,AB=AC,AD=AE,AB,DC相交于点M,AC,BE相交于点N,∠DAB=∠EAC.求证:△ADM≌△AEN.16.将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内.从图1中抽象出一个几何图形(如图2),B、C、E三点在同一条直线上,连接DC.求证:△ABE≌△ACD.17.如图,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连接DE并延长至点F,使EF=AE,连接AF、BE和CF.请在图中找出所有全等的三角形,用符号“≌”表示,并选择一对加以证明.18.如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,EC=AD.(1)求证:△ABD≌△EBC.(2)你可以从中得出哪些结论?请写出两个.19.等边△ABC边长为8,D为AB边上一动点,过点D作DE⊥BC于点E,过点E作EF⊥AC于点F.(1)若AD=2,求AF的长;(2)求当AD取何值时,DE=EF.20.巳知:如图,AB=AC,D、E分别是AB、AC上的点,AD=AE,BE与CD相交于G.(Ⅰ)问图中有多少对全等三角形?并将它们写出来.(Ⅱ)请你选出一对三角形,说明它们全等的理由(根椐所选三角形说理难易不同给分,即难的说对给分高,易的说对给分低)21.已知:如图,AB=DC,AC=BD,AC、BD相交于点E,过E点作EF∥BC,交CD于F,(1)根据给出的条件,可以直接证明哪两个三角形全等?并加以证明.(2)EF平分∠DEC吗?为什么?22.如图,己知∠1=∠2,∠ABC=∠DCB,那么△ABC与△DCB全等吗?为什么?23.如图,B,F,E,D在一条直线上,AB=CD,∠B=∠D,BF=DE.试证明:(1)△DFC≌△BEA;(2)△AFE≌△CEF.24.如图,AC=AE,∠BAF=∠BGD=∠EAC,图中是否存在与△ABE全等的三角形?并证明.25.如图,D是△ABC的边BC的中点,CE∥AB,E在AD的延长线上.试证明:△ABD≌△ECD.26.如图,已知AB=CD,∠B=∠C,AC和BD相交于点O,E是AD的中点,连接OE.(1)求证:△AOB≌△DOC;(2)求∠AEO的度数.27.如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=DC.(1)求证:△ABF≌△DEC;(2)请你找出图中还有的其他几对全等三角形.(只要直接写出结果,不要证明)28.如图:在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连接AD、AG.(1)求证:△ABD≌△GCA;(2)请你确定△ADG的形状,并证明你的结论.29.如图,点D、F、E分别在△ABC的三边上,∠1=∠2=∠3,DE=DF,请你说明△ADE≌△CFD的理由.30.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BE⊥AC于点E,点F在线段BE上,∠1=∠2,点D在线段EC上,给出两个条件:①DF∥BC;②BF=DF.请你从中选择一个作为条件,证明:△AFD≌△AFB.31.如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在BC上,AB=BC,BD=BE,EA=DC,求证:△BEA≌△BDC.32.阅读并填空:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D.请说明△ADC≌△CEB的理由.解:∵BE⊥CE于点E(已知),∴∠E=90°_________,同理∠ADC=90°,∴∠E=∠ADC(等量代换).在△ADC中,∵∠1+∠2+∠ADC=180°_________,∴∠1+∠2=90°_________.∵∠ACB=90°(已知),∴∠3+∠2=90°,∴_________.在△ADC和△CEB中,.∴△ADC≌△CEB (A.A.S)33.已知:如图所示,AB∥DE,AB=DE,AF=DC.(1)写出图中你认为全等的三角形(不再添加辅助线);(2)选择你在(1)中写出的全等三角形中的任意一对进行证明.34.如图,点E在△ABC外部,点D在BC边上,DE交AC于点F,若∠1=∠2=∠3,AC=AE.试说明下列结论正确的理由:(1)∠C=∠E;(2)△ABC≌△ADE.35.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是斜边AB上的一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F.求证:△ACE≌△CBF.36.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE∥CA交AB于E,点P是线段AC上的一动点,连接PE.探究:当动点P运动到AC边上什么位置时,△APE≌△EDB?请你画出图形并证明△APE≌△EDB.37.已知:如图,AD∥BC,AD=BC,E为BC上一点,且AE=AB.求证:(1)∠DAE=∠B;(2)△ABC≌△EAD.38.如图,D为AB边上一点,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,CA=CB,CD=CE,图中有全等三角形吗?指出来并说明理由.39.如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:△ABD≌△ACE.40.如图,已知D是△ABC的边BC的中点,过D作两条互相垂直的射线,分别交AB于E,交AC于F,求证:BE+CF>EF.41.如图所示,在△MNP中,H是高MQ与NE的交点,且QN=QM,猜想PM与HN有什么关系?试说明理由.42.如图,在△ABC中,D是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DE⊥GF,交AB于点E,连接EG.(1)求证:BG=CF;(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论.43.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长.44.如图,小明在完成数学作业时,遇到了这样一个问题,AB=CD,BC=AD,请说明:∠A=∠C的道理,小明动手测量了一下,发现∠A确实与∠C相等,但他不能说明其中的道理,你能帮助他说明这个道理吗?试试看.45.如图,AD是△ABC的中线,CE⊥AD于E,BF⊥AD,交AD的延长线于F.求证:CE=BF.46.如图,已知AB∥CD,AD∥BC,F在DC的延长线上,AM=CF,FM交DA的延长线上于E.交BC于N,试说明:AE=CN.47.已知:如图,△ABC中,∠C=90°,CM⊥AB于M,AT平分∠BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE∥AB 交BC于E,求证:CT=BE.48.如图,已知AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.∠B与∠D相等吗?请你说明理由.49.D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=EF,AE=CE,求证:AB∥CF.50.如图,M是△ABC的边BC上一点,BE∥CF,且BE=CF,求证:AM是△ABC的中线.51.四边形ABCD中,AD=BC,BE=DF,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F.(1)求证:△ADE≌△CBF;(2)若AC与BD相交于点O,求证:AO=CO.52.如图,已知点B,E,C,F在一条直线上,AB=DF,AC=DE,∠A=∠D.(1)求证:AC∥DE;(2)若BF=13,EC=5,求BC的长.53.如图,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,AD=AE.求证:BE=CD.54.如图,点O是线段AB和线段CD的中点.(1)求证:△AOD≌△BOC;(2)求证:AD∥BC.55.如图:点C是AE的中点,∠A=∠ECD,AB=CD,求证:∠B=∠D.56.如图,已知△ABC和△DAE,D是AC上一点,AD=AB,DE∥AB,DE=AC.求证:AE=BC.57.如图,AB∥CD,E是CD上一点,BE交AD于点F,EF=BF.求证:AF=DF.58.如图,点B、E、C、F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证:AB∥DE.59.如图,点D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB求证:AE=CE.60.如图,点A、C、D、B四点共线,且AC=BD,∠A=∠B,∠ADE=∠BCF,求证:DE=CF.61.如图,点A,B,C,D在同一条直线上,CE∥DF,EC=BD,AC=FD.求证:AE=FB.62.已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.(1)求证:BD=CE;(2)求证:∠M=∠N.63.如图,BE⊥AC,CD⊥AB,垂足分别为E,D,BE=CD.求证:AB=AC.64.如图,在△ABC和△CED中,AB∥CD,AB=CE,AC=CD.求证:∠B=∠E.65.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.(1)求证:AB=AC;(2)若AD=2,∠DAC=30°,求AC的长.66.如图,Rt△ABC≌Rt△DBF,∠ACB=∠DFB=90°,∠D=28°,求∠GBF的度数.67.如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证:△ABC≌△BAD.68.已知:如图,点B、F、C、E在一条直线上,BF=CE,AC=DF,且AC∥DF.求证:△ABC≌△DEF.69.已知:点A、C、B、D在同一条直线,∠M=∠N,AM=CN.请你添加一个条件,使△ABM≌△CDN,并给出证明.(1)你添加的条件是:;(2)证明:.70.如图,AB=AC,AD=AE.求证:∠B=∠C.71.如图,在△ABC中,AD是△ABC的中线,分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF,垂足分别为点E、F.求证:BE=CF.72.一个平分角的仪器如图所示,其中AB=AD,BC=DC.求证:∠BAC=∠DAC.73.在数学课上,林老师在黑板上画出如图所示的图形(其中点B、F、C、E在同一直线上),并写出四个条件:①AB=DE,②BF=EC,③∠B=∠E,④∠1=∠2.请你从这四个条件中选出三个作为题设,另一个作为结论,组成一个真命题,并给予证明.题设:;结论:.(均填写序号)证明:74.如图,在△ABC和△DEF中,AB=DE,BE=CF,∠B=∠1.求证:AC=DF.(要求:写出证明过程中的重要依据)75.如图,已知AB=DC,AC=DB.求证:∠1=∠2.76.如图,D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点,BE与CD相交于O点.现有四个条件:①AB=AC;②OB=OC;③∠ABE=∠ACD;④BE=CD.(1)请你选出两个条件作为题设,余下的两个作为结论,写出一个正确的命题:命题的条件是和,命题的结论是和(均填序号);(2)证明你写出的命题.77.如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=DC,请问图中有哪几对全等三角形并任选其中一对给予证明.78.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C,点E是BC边上的中点.求证:AE=DE.79.如图,给出下列论断:①DE=CE,②∠1=∠2,③∠3=∠4.请你将其中的两个作为条件,另一个作为结论,构成一个真命题,并加以证明.80.已知:如图,∠ACB=90°,AC=BC,CD是经过点C的一条直线,过点A、B分别作AE⊥CD、BF⊥CD,垂足为E、F,求证:CE=BF.81.如图,在△ABC中,AC⊥BC,AC=BC,D为AB上一点,AF⊥CD交于CD的延长线于点F,BE⊥CD于点E,求证:EF=CF﹣AF.82.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,若MN是经过点A的直线,BD⊥MN于D,EC⊥MN于E.(1)求证:BD=AE;(2)若将MN绕点A旋转,使MN与BC相交于点O,其他条件都不变,BD与AE边相等吗?为什么?(3)BD、CE与DE有何关系?83.已知:如图,△ABC中,AB=AC,BD和CE为△ABC的高,BD和CE相交于点O.求证:OB=OC.84.在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边的中点,点F在AC边上,DE与CF平行且相等.试说明AE=DF的理由.85.如图,在△ABC中,D是边BC上一点,AD平分∠BAC,在AB上截取AE=AC,连接DE,已知DE=2cm,BD=3cm,求线段BC的长.86.如图:已知∠B=∠C,AD=AE,则AB=AC,请说明理由.87.如图△ABC中,点D在AC上,E在AB上,且AB=AC,BC=CD,AD=DE=BE.(1)求证△BCE≌△DCE;(2)求∠EDC的度数.88.已知:∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD,垂足为E.求证:BD=2CE.89.如图,已知:AB=CD,AD=BC,过BD上一点O的直线分别交DA、BC的延长线于E、F.(1)求证:∠E=∠F;(2)OE与OF相等吗?若相等请证明,若不相等,需添加什么条件就能证得它们相等?请写出并证明你的想法.90.如下图,AD是∠BAC的平分线,DE垂直AB于点E,DF垂直AC于点F,且BD=DC.求证:BE=CF.91.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=12,点E是BC的中点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B 落在点F处,连接FC,(1)求CF的长。

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全等三角形经典培优题型含答案-精品2020-12-12【关键字】方法、问题、位置、关键、基础、关系、拓展、关键点全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等. 寻找对应边和对应角,常用到以下方法:(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边. (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角. (3)有公共边的,公共边常是对应边. (4)有公共角的,公共角常是对应角. (5)有对顶角的,对顶角常是对应角.(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键. 全等三角形的判定方法:(1) 边角边定理(SAS ):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (2) 角边角定理(ASA ):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (3) 边边边定理(SSS ):三边对应相等的两个三角形全等.(4) 角角边定理(AAS ):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (5) 斜边、直角边定理(HL ):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.全等三角形的应用:运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证明的过程中,注意有时会添加辅助线. 拓展关键点:能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础.全等三角形证明经典题1已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD2已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠23已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=ACADBC4已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C5已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE6 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。

求证:BC=AB+DC 。

7已知:AB=CD ,∠A=∠D ,求证:∠B=∠C8 P 是∠BAC 平分线AD 上一点,AC>AB ,求证:PC-PB<AC-AB9已知,E 是AB 中点,AF=BD ,BD=5,AC=7,求DC 10.(5分)如图,已知AD∥BC ,∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ,CE 的连线交AP 于D .求证:AD +BC =AB .11(6分)如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线,且AB =AC +CD ,求证:∠C =2∠B 12(10分)如图:AE 、BC 交于点M ,F 点在AM 上,BE ∥CF ,BE=CF 。

求证:AM 是△ABC 的中线。

13已知:如图,AB =AC ,BD ⊥AC ,CE ⊥AB ,垂足分别为D 、E ,BD 、CE 相交于点F ,求证:BE =CD .14在△ABC 中,︒=∠90ACB ,BC AC =,直线MN 经过点C ,且MN AD ⊥于D ,MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证: ①ADC ∆≌CEB ∆;②BE AD DE +=;(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.15如图所示,已知AE ⊥AB ,AF ⊥AC ,AE=AB ,AF=AC 。

求证:(1)EC=BF ;(2)EC ⊥BF16.如图,已知AC ∥BD ,EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ,CD 过点E ,则AB 与AC+BD 相等吗?请说明理由 17.如图9所示,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB =90°,AD 是BC 边上的中线,过C 作AD 的垂线,交AB 于点E ,交AD 于点F ,求证:∠ADC CDB A BCD P D ACB AMFE CBAAC B DEF A EM FCB A CDF2 1 E=∠BDE.全等三角形证明经典(答案)1. 延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整数,则AD=52证明:连接BF和EF。

因为BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。

所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。

所以BF=EF,∠CBF=∠DEF。

连接BE。

在三角形BEF中,BF=EF。

所以∠EBF=∠BEF。

又因为∠ABC=∠AED。

所以∠ABE=∠AEB。

所以AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中,AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。

所以三角形ABF和三角形AEF全等。

所以∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

3 证明:过E点,作EG//AC,交AD延长线于G则∠DEG=∠DCA,∠DGE=∠2又∵CD=DE∴⊿ADC≌⊿GDE(AAS)∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=EG∴EF=AC4证明:在AC上截取AE=AB,连接ED∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD又∵AE=AB,AD=AD∴⊿AED≌⊿ABD(SAS)∴∠AED=∠B ,DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 5证明:在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF 因为CE ⊥AB所以∠CEB =∠CEF =90° 因为EB =EF ,CE =CE , 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B =∠CFE 因为∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180° 所以∠D =∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC =∠FAC 又因为AC =AC所以△ADC ≌△AFC (SAS ) 所以AD =AF所以AE =AF +FE =AD +BE6证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A; AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°; 又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD. 所以,BC=BF+FC=AB+CD.7证明:设线段AB,CD 所在的直线交于E ,(当AD<BC 时,E 点是射线BA,CD 的交点,当AD>BC 时,E 点是射线AB,DC 的交点)。

则:△AED 是等腰三角形。

所以:AE=DE 而AB=CD所以:BE=CE (等量加等量,或等量减等量) 所以:△BEC 是等腰三角形 所以:角B=角C.8作B 关于AD 的对称点B‘,因为AD 是角BAC 的平分线,B'在线段AC 上(在AC 中间,因为AB 较短)因为PC<PB’+B‘C,PC -PB’<B‘C,而B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB<AC-AB 9作AG ∥BD 交DE 延长线于GAGE 全等BDEP D ACBAG=BD=5AGF∽CDFAF=AG=5所以DC=CF=210证明:做BE的延长线,与AP相交于F点,∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB为直角三角形在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中,∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC11证明:在AB上找点E,使AE=AC∵AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD∴△ADE≌△ADC。

DE=CD,∠AED=∠C∵AB=AC+CD,∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE∠B=∠EDB∠C=∠B+∠EDB=2∠B12证明:∵BE‖CF∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM∴AM是△ABC的中线.13证明:因为AB=AC,所以∠EBC=∠DCB因为BD⊥AC,CE⊥AB所以∠BEC=∠CDBBC=CB (公共边)则有三角形EBC全等于三角形DCB所以BE=CD14(1)证明:∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,而AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,∴∠ADC=∠CEB=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∴∠ACD=∠CBE.在Rt△ADC和Rt△CEB中,{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE AC=CB,∴Rt△ADC≌Rt△CEB(AAS),∴AD=CE,DC=BE,∴DE=DC+CE=BE+AD;(2)不成立,证明:在△ADC和△CEB中,{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB,∴△ADC≌△CEB(AAS),∴AD=CE,DC=BE,∴DE=CE-CD=AD-BE;15(1)证明;因为AE垂直AB所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因为AF垂直AC所以角CAF=角CAB+角BAF=90度所以角EAC=角BAF因为AE=AB AF=AC所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F(2)延长FB与EC的延长线交于点G因为角ECA=角F(已证)所以角G=角CAF因为角CAF=90度所以EC垂直BF16在AB上取点N ,使得AN=AC∠CAE=∠EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN所以∠ANE=∠ACE又AC平行BD所以∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180所以∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBNBE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD17证明:作CG平分∠ACB交AD于G∵∠ACB=90°∴∠ACG= ∠DCG=45°∵∠ACB=90°AC=BC∴∠B=∠BAC=45°∴∠B=∠DCG=∠ACG∵CF⊥AD∴∠ACF+∠DCF=90°∵∠ACF+∠CAF=90°∴∠CAF=∠DCF∵AC=CB ∠ACG=∠B ∴△ACG≌△CBE∴CG=BE∵∠DCG=∠B CD=BD ∴△CDG ≌△BDE∴∠ADC=∠BDE。

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