向量的叉积及其性质

ab


a2 b2
a3 b3
,
a3 a1 b3 b1
,
a1 a2 b1 b2


A
S平行四边形 a b
a2 a3 2 a3 a1 2 a1 a2 2 b2 b3 b3 b1 b1 b2
思考：向量的叉积与法向量的关系？
ab
B
b
O a
A
总结提高
沈阳市第二十七中学 敬畅
数学诗:《我的向量》
给你一个方向,你就是我的向量。 给你一个坐标系,你就在我心中飞翔。 给你一组基底,带着我,扬帆启航。 繁复的几何关系,变成纯代数的情殇； 优美的动态结构,没有人情冷暖世态炎凉。 哪怕山高路远,哪怕风雨苍茫,不管起点在哪,
你始终在水一方。 啊,我的向量,你是一股无穷的力量,溶进了
对任意三个向量a,
b,
c和实数，有：
(1)a
பைடு நூலகம்

b

b

a;
(2)(a)

b


(a

b);

(3)(a b ) c a c b c
向量叉积的坐标表示式
e3
设e1, e2 , e3为单位正交基底， 而且它们构成右手系
思考: 右图三角形面积
a
S

1 2
a
b
s in

b
则以a,b为邻边的平行四边形的 面积为 ___a_b__s_in____
ab
B
b
O a
A
即S平行四边形 c
向量叉积的运算律
规定：如果向量
a,
b 共线，则
a

b


___0___
向量叉积的运算律
a,b,c
向量是如何进入数学的 复数运算
平面向量运算
威塞尔
(1745-1818)
空间向量的发展
四元数
空间向量运算
汉密尔顿
数量积和向量积
向量叉积的定义：
c
ab
B
b
O
a
A
设a,

b 的夹角为，定义
向称量c为ca方模与向：bc的：叉ca积ba，s,icn记作bc且 符a合 b右手系
向量叉积的坐标表示式
则 如a果 ab(a(a1,1ea12

,
a3
),b
a2e2
(b1,b2, a3e3)
b3
)
(b1e1

b2e2

b3e3
)



(a2b3 a3b2 )e1 (a3b1 a1b3 )e2 (a1b2 a2b1)e3

a2 a3 b2 b3
e1
a3 a1 b3 b1
e2

a1 a2 b1 b2
e3
即a b


a2 a3 b2 b3
,
a3 a1 b3 b1
,
a1 a2 b1 b2


行列式
ab c d ad bc
思考：空间向量所张成的平行四边形的 面积该如何表达？
ab
B b
O a
向量的前世今生
向量180的6年前阿世尔冈今生
(R. Argand,1768-1822)
AB
1827年莫比乌斯 ( Mobius,1790-1868)
AB
起点为A,终点为B的向量
哈密尔顿 (W.R. Hamilton,1805一1865)
古布斯
(J.W. Gibbs,1839-1903)
,,
1912年兰格文
e2
则e1
e1

e2
e2

e3
e3

__0___
e1


e1 e2
e2 e3

__e_3__

__e_1 __

e2 e1 e3 e2
___e_3_ ___e_1_
e3 e1 __e_2__ e1 e3 ___e_2_
我的身体,在我的心中,静静地流淌!
向量的前世今生
向量在物理学中的应用
向量的前世今生
向量在物理学中的应用
磁感应强度
电场强度
向量的前世今生
向量在最初阶段的应用
亚里士多德
( Aristotle,公元前384一前322)
向量的前世今生
历史上哪些科学家为向量的表示做出了贡献
牛顿 ( Newton,1642-1727)