点线面位置关系典型例题
空间点、直线、平面之间的位置关系 经典例题与讲解
求证：两条相交直线确定一个平面.思路点拨：公理2用于确定一个平面.证明：如图：已知直线，在上任取与A不重合的一点B，在a上任取与A不重合的一点C，则A、B、C三点不共线，由公理2，A、B、C三点确定一个平面，设为；∵B、A点在直线上，且B、A点在上，由公理1，；同理；∴两条相交直线a、确定一个平面.总结升华：证明点线共面的主要依据：1．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内；2．经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.举一反三：【变式1】已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.【答案】如图证明：因为a∥b，由公理2的推论，存在平面，使得，.又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，.假设，则，在平面内过点C作，因为，则，这与矛盾，故直线.综上述，a、b、c、d四线共面.【变式2】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.已知：直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，求证：直线AB、BC、CA共面.思路点拨：先依据公理2，由不共线的三点确定一个平面，再依据公理1,证三条直线在平面内.注意文字语言给出的证明题，先根据题意画出图形，然后给出符号语言表述的已知与求证.常根据三条公理，进行“共面”问题的证明.证明：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面，因为，，所以.同理，.所以AB，BC，CA三直线共面.【变式3】在正方体中，（1）与是否在同一平面内？（2）点B，，D是否在同一平面内？（3）画出平面与平面的交线，平面与平面的交线.解：（1）在正方体中，∵，∴由公理2的推论可知，与可确定平面，∴与在同一平面内.（2）∵点B，，D不共线，由公理“过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面”可知，点B，，D可确定平面，∴点B，，D在同一平面内.（3）∵，，∴点O平面，平面，又平面，平面，∴平面平面，同理平面平面.类型二：三点共线问题2．已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD（四条线段首尾相接，且连接点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形）各边AB、AD、CB、CD上的点，且直线EF和HG交于点P，如图所示，求证：点B、D、P在同一条直线上．思路点拨：由题设，我们很容易知道B，D在平面ABD和平面CBD交线上，现只需再证明P也在两平面交线上即可．证明：如上图，∵直线EF∩直线HG=P，∴P∈直线EF，而EF平面ABD，∴P∈平面ABD．同理，P∈平面CBD，即点P是平面ABD和平面CBD的公共点．显然，点B、D也是平面ABD和平面CBD的公共点，由公理3知，点B、D、P都在平面ABD和平面CBD的交线上，即点B、D、P在同一条直线上．总结升华：证明三点共线通常采用如下方法：1．首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在交线上．2．选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点在其上．举一反三：【变式1】已知△ABC在平面外，AB∩=P，AC∩=R，BC∩=Q，如图所示．求证：P、Q、R三点共线．思路点拨：应用公理3，选择恰当的平面，只要证明点都是某两个平面的公共点，即可推出三点在两个平面的交线上．证明：∵AB∩=P，∴P∈AB，P∈平面．又AB平面ABC，∴P∈平面ABC．∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面的交线上．同理可证Q、R也在平面ABC与平面的交线上．∴P、Q、R三点共线．总结升华：证明多点共线问题，找出相关的平面与平面的交线，由公理3，说明这些点都在这两个平面的交线上即可．【变式2】如图所示，在正方体中，E、F分别为CC1和AA1上的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．思路点拨：可根据公理3，如果两个平面有一个公共点，它们就有过这点的一条交线，也只有这一条交线；这条直线的位置还需借助于另一个条件来确定．解析：在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈DA．又∵FD1平面BED1F，AD平面ABCD，∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD．又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，∴连接PB，PB即为平面BED1F，与平面ABCD的交线．总结升华：公理3是两个平面相交的性质，它说明两个平面相交，交线是一条直线．要注意理解两个平面不存在只有一个公共点的情形，如果有一个公共点，那么必定有无数多个公共点，且这些点恰好组成一条直线。
07点线面的位置关系
第七讲 立体几何—点线面的位置关系【知识要点归纳】1. 平面图形知识总结2. 立体图形总结3. 总结线线的位置关系4. 总结线面的位置关系5. 总结面面的位置关系【经典例题】例1：（07广东高考）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）例2：请根据三视图，还原图形，并求体积 （1）（09山东高考改）侧(左)视图俯视图（2）（07山东高考改）（3）（07宁夏高考改）例3：某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（ ）A. 22B. 32C. 4D. 52例4：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，哪些棱与AA 1平行？异面？垂直？例5：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的中，哪些面与AB 平行？垂直？正视图侧视图俯视图例6：判断下列说法是否正确？（1）若,m n α⊥∥β，αβ⊥，则m n ⊥（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行 （3）垂直于同一直线的两条直线相互平行 （4）若αα//,//,n n m m 则⊂（5）如果m n m ,,αα⊄⊂、α//,n n 那么是异面直线 （6）若平面α内有不共线三点到平面β的距离相等，则βα// （7）若βαγβγα//,,则⊥⊥（8）若m 、n 与α所成的角相等，则n ∥m例7：已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线a ，在平面α内一定存在一条直线b ，使得a 与b （ ）A. 平行B. 相交C. 异面D. 垂直【课堂练习】1.将装有水的长方体的水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽的水形成的几何体是（ ） A.棱柱 B.棱台 C.棱柱与棱锥组合体 D.不能确定2.若P 是两条异面直线,l m 外的任意一点，则（ ） A ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都异面3.（09浙江理）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．4.（09宁夏海南理）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c 2m ）为（ ）A ．B ．C ．D ．5.长方体1111ABCD A B C D −中，5,3,41===BB BC AB ，一只蚂蚁从点A 出发沿表面爬行到点1C ，求蚂蚁爬行的最短路线的长.答案：1.A 2.B 3.18 4. 5. 74。
空间几何计算练习题求点线面的位置关系
空间几何计算练习题求点线面的位置关系一、点、线、面的定义在空间几何中，点、线、面是最基本的概念。
点是空间中的一个位置；线是由无数个点按照一定规律排列而成的；面是由无数个线按照一定规律排列而成的。
二、求点、线、面的位置关系在空间中，点、线、面可能存在不同的位置关系。
下面通过一些具体的计算练习题，来求解它们之间的位置关系。
1. 点与线的位置关系设空间中有一条直线L，以及一个点P，求点P与直线L的位置关系。
解题步骤：1) 判断点P是否在直线L上。
通过判断点P是否满足直线L的方程来确定。
若点P满足直线L的方程，则点P在直线L上；若点P不满足直线L的方程，则点P不在直线L上。
2. 点与面的位置关系设空间中有一个平面面，以及一个点P，求点P与平面面的位置关系。
解题步骤：1) 判断点P是否在平面面上。
通过判断点P是否满足平面面的方程来确定。
若点P满足平面面的方程，则点P在平面面上；若点P不满足平面面的方程，则点P不在平面面上。
3. 线与线的位置关系设空间中有两条直线L1和L2，求直线L1与直线L2的位置关系。
解题步骤：1) 判断直线L1是否与直线L2重合。
通过判断直线L1和L2是否满足同一方程来确定。
若直线L1和L2满足同一方程，则直线L1与L2重合；若直线L1和L2不满足同一方程，则直线L1与L2不重合。
4. 线与面的位置关系设空间中有一条直线L和一个平面面，求直线L与平面面的位置关系。
解题步骤：1) 判断直线L是否与平面面平行。
通过判断直线L的方向向量是否与平面面的法向量平行来确定。
若直线L的方向向量与平面面的法向量平行，则直线L与平面面平行；若直线L的方向向量与平面面的法向量不平行，则直线L与平面面不平行。
5. 面与面的位置关系设空间中有两个平面面1和面2，求面1与面2的位置关系。
解题步骤：1) 判断面1是否与面2平行。
通过判断面1的法向量是否与面2的法向量平行来确定。
若面1的法向量与面2的法向量平行，则面1与面2平行；若面1的法向量与面2的法向量不平行，则面1与面2不平行。
高一必修2点线面经典例题
§2.1点、直线、面的位置关系一、平面知识要点1. 点A 在直线上,记作A a ∈；点A 在平面α内,记作A α∈；直线a 在平面α内,记作a α⊂.2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？ 【例2】空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，已知EF 和GH 交于P 点，求证：EF 、GH 、AC 三线共点.解：∵P∈EF ，EF ⊂面ABC ，∴P ∈面ABC. 同理P ∈面ADC.∵ P 在面ABC 与面ADC 的交线上，又 ∵面ABC ∩面ADC=AC ， ∴P ∈AC ，即EF 、HG 、AC 三线共点.【例3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.已知：直线,,AB BC CA 两两相交，交点分别为,,A B C ，求证：直线,,AB BC CA 共面. 证明：因为A ，B ，C 三点不在一条直线上，所以过A ，B ，C 三点可以确定平面α． 因为A ∈α，B ∈α，所以AB α． 同理BC α，AC α.所以AB ，BC ，CA 三直线共面．【例4】在正方体1111ABCD A B C D -中，（1）1AA 与1CC 是否在同一平面内？（2）点1,,B C D 是否在同一平面内？（3）画出平面1AC 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线. 解：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，∵11//AA CC ， ∴由公理2的推论可知，1AA 与1CC 可确定平面1AC ，∴1AA 与1CC 在同一平面内.（2）∵点1,,B C D 不共线，由公理3可知，点1,,B C D 可确定平面1BC D ，∴ 点1,,B C D 在同一平面内.（3）∵AC BD O = ，11D C DC E = ， ∴点O ∈平面1AC ，O ∈平面1BCD ，又1C ∈平面1AC ，1C ∈平面1BC D ， ∴ 平面1AC 平面1BC D 1OC =，同理平面1ACD 平面1BDC OE =．二、空间中直线与直线之间的位置关系 知识要点1.空间两条直线的位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2. 已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）. ,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90]︒，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a b ⊥. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.【例1】已知异面直线a 和b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成角都是30°的直线有且仅有（ ）.A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条解：过P 作a '∥a ，b '∥b ，若P ∈a ，则取a 为a '，若P ∈b ，则取b 为b '．这时a '，b '相交于P 点，它们的两组对顶角分别为50°和130°. 记a '，b '所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与a '，b '都成30°的直线． 过点P 与a '，b '都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是a '，b '所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l 和l '，射影是130°对顶角平分线的直线不存在．故答案选B. 【例2】如图正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为D1C1和B1C1的中点，P 、Q 分别为AC 与BD 、A1C1与EF 的交点. （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若A1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线.证明：（1）∵ 正方体1111ABCD A B C D -中，1BB //1DD ，∴BD //11B D . 又 ∵ 111B D C中，E1A 1CAE 、F 为中点， ∴ EF //1112B D . ∴ //EF BD , 即D 、B 、F 、E 四点共面.（2）∵ 1Q AC ∈平面，Q BE ∈平面，1P AC ∈平面，P BE ∈平面， ∴ 1AC BE PQ = 平面平面.又 1AC BE R = 平面， ∴ 1R AC ∈平面，R BE ∈平面， ∴ R PQ ∈. 即P 、Q 、R 三点共线【例3】已知直线a//b//c ，直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，求证：a 、b 、c 、d 四线共面.证明：因为a//b ，由公理2的推论，存在平面α，使得,a b αα⊂⊂.又因为直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，由公理1，d α⊂. 假设c α⊄，则c C α= , 在平面α内过点C 作//c b '， 因为b//c ，则//c c '，此与c c C '= 矛盾. 故直线c α⊂. 综上述，a 、b 、c 、d 四线共面.【例4】如图中，正方体ABCD —A1B1C1D1，E 、F 分别是AD 、AA1的中点.（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直线AB1和EF 所成的角的大小. 解：（1）如图，连结DC1 ， ∵DC1∥AB1，∴ DC1 和CC1所成的锐角∠CC1D 就是AB1和CC1所成的角.∵ ∠CC1D=45°， ∴ AB1 和CC1所成的角是45°.（2）如图，连结DA1、A1C1， ∵ EF ∥A1D ，AB1∥DC1，∴ ∠A1DC1是直线AB1和EF 所成的角. ∵ΔA1DC1是等边三角形， ∴ ∠A1DC1=60º，即直线AB1和EF 所成的角是60º. 三、直线与平面、平面与平面位置关系 知识要点1. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点）；（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线与平面平行（没有公共点）. 分别记作：l α⊂；l P α= ；//l α.2. 两平面的位置关系：平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）.分别记作//αβ；l αβ= .【例1】已知空间边边形ABCD 各边长与对角线都相等，求异面直线AB 和CD 所成的角的大小.解：分别取AC 、AD 、BC 的中点P 、M 、N 连接PM 、PN ，由三角形的中位线性质知PN ∥AB ，PM ∥CD ，于是∠MPN 就是异面直线AB 和CD 成的角（如图所示）.连结MN 、DN ，设AB=2， ∴PM=PN=1.而MN ⊥AD ，AM=1，得∴MN2=MP2+NP2，∴∠MPN=90°.∴异面直线AB 、CD 成90°角. 【例2】在空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 的中点，若AC + BD = a ，AC ⋅BD =b ，求22EG FH +.解：四边形EFGH 是平行四边形，22EG FH +=222()EF FG +=22211()(2)22AC BD a b +=-.【例3】已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是BC 、CD上的点，且23CF CG CB CD ==.求证：（1）E 、F 、G 、H 四点共面；（2）三条直线EF 、GH 、AC 交于一点. 证明：（1） 在△ABD 和△CBD 中，∵ E 、H 分别是AB 和CD的中点， ∴ EH //12BD.又 ∵ 23CF CG CB CD ==， ∴ FG //23BD. ∴ EH ∥FG. 所以，E 、F 、G 、H 四点共面.A BCDE FGH。
点线面关系练习题(有答案)
//a α//a b//a b点线面位置关系总复习● 知识梳理一、直线与平面平行 1.判定方法（1）定义法：直线与平面无公共点。
（2）判定定理：（3）其他方法：//a αββ⊂2.性质定理：//a abαβαβ⊂⋂=二、平面与平面平行 1.判定方法（1）定义法：两平面无公共点。
（2）判定定理：////a b a b a b Pββαα⊂⊂⋂=//αβ（3）其他方法：a a αβ⊥⊥//αβ;////a γβγ//αβ2.性质定理：//a bαβγαγβ⋂=⋂=三、直线与平面垂直（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。
（2）判定方法 ① 用定义.②判定定理:a ba cb c A b c αα⊥⊥⋂=⊂⊂ a α⊥③ 推论://a a bα⊥ b α⊥（3）性质 ①a b αα⊥⊂ a b ⊥ ②a b αα⊥⊥四、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。
（2）判定定理a a αβ⊂⊥ αβ⊥（3）性质①性质定理la a lαβαβα⊥⋂=⊂⊥ αβ⊥② l P PA Aαβαβαβ⊥⋂=∈⊥垂足为 A l ∈3 l P PA αβαβαβ⊥⋂=∈⊥ PA α⊂● “转化思想”面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直//a b a bαα⊄⊂//a α//a b●求二面角1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.2.在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB 叫做二面角的平面角例1．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。
●求线面夹角定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。
点线面位置关系知识点梳理及经典例题带解析
【知识梳理】（1）四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面它给出了确定一个平面的依据。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。
符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且。
公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。
符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。
（2）空间中直线与直线之间的位置关系1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。
（易知：夹角范围090θ<≤︒）定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
（注意：会画两个角互补的图形）2.位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：//l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点（4）空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ⎧⎨=⎩两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线直线、平面平行的判定及其性质 1.内容归纳总结 ,//b P a βα=⇒//,a bαββ⊂=,//a b a bγγ==⇒直线、平面平垂直的判定及其性质 1.内容归纳总结 （一）基本概念1.直线与平面垂直：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α垂直，记作l α⊥。
空间点、线、面位置关系(经典例题+训练)
空间点、线、面的位置关系【基础回顾】1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过____________的一条直线．公理3：经过____________________的三点，有且只有一个平面．推论1：经过____________________，有且只有一个平面．推论2：经过________________，有且只有一个平面．推论3：经过________________，有且只有一个平面．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内______________的直线是异面直线．(3)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____________叫做异面直线a，b所成的角．②范围：____________.3．公理4平行于____________的两条直线互相平行．4．定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角________．自我检测1．若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是____________．2．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．3．三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为________．4．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为________．5．下列命题：①空间不同三点确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是________(填序号).【例题讲解】1、平面的基本性质例1如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，AH∶HD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连结EH.求证：EH、FG、BD三线共点．变式迁移1如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG 相交于点O.求证：B、D、O三点共线．2、异面直线的判定例2如图所示，直线a、b是异面直线，A、B两点在直线a上，C、D两点在直线b上．求证：BD和AC是异面直线．变式迁移2如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是________(填序号)．3、异面直线所成的角例3已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为____________________________________________________________________ ____．变式迁移3在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，对角线BD＝，AC ＝，求AC和BD所成的角．二、空间的平行关系基础回顾1．空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线a和平面α的位置关系有三种：________、__________、__________.(2)两个平面的位置关系有两种：________和________．2．直线与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果平面外一条直线和这个________________平行，那么这条直线与这个平面平行．(2)性质定理：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．3．平面与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线________．自我检测1．下列各命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；④垂直于同一直线的两个平面平行．不正确的命题个数是________．2．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作______个．3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是________．4．已知α、β是不同的两个平面，直线a?α，直线b?β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的________条件．【例题讲解】1、线面平行的判定例1已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.变式迁移1在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面PAD.2、面面平行的判定例2在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.变式迁移2已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心．求证：平面G1G2G3∥平面ABC；3、平行中的探索性问题例3如图所示，在四棱锥P—ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，AD＝DC＝AB，BC⊥PC.(1)求证：PA⊥BC；(2)试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由．变式迁移3如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P 是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?三、空间的垂直关系基础回顾1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条________直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也________这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内________直线．②垂直于同一个平面的两条直线________．③垂直于同一直线的两个平面________．2．直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的________所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，说它们所成的角为________；直线l∥α或l?α，说它们所成的角是______角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的____________，那么这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们________的直线垂直于另一个平面．4．二面角的平面角以二面角的棱上的任意一点为端点，在两个面内分别作________棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．自我检测1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是________(填序号)．①若l⊥m，m?α，则l⊥α；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若l∥α，m?α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.2．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；③存在直线l?α，直线m?β，使得l∥m；④存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中，可以判定α与β平行的条件有________个．【例题讲解】1、线面垂直的判定与性质例1Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC.求证：BD⊥平面SAC.变式迁移1四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，SA＝SB.证明：SA⊥BC.2、面面垂直的判定与性质例2如图所示，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD内的射影是O.求证：平面O1DC⊥平面ABCD.变式迁移2如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.3、直线与平面、平面与平面所成的角例3如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤2)．(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有AC⊥BE；(2)设二面角C—AE—D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθtanφ＝1，求λ的值．变式迁移3如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC.(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正弦值．(3)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．。
高考数学专题复习八8.2空间点、线、面的位置关系-模拟练习题(附答案)
8.2空间点、线、面的位置关系基础篇考点一点、线、面的位置关系1.(2023届福建厦门联考,5)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述中正确的是()1与B1E是异面直线1与AE共面C.AE与B1C1是异面直线D.AE与B1C1所成的角为60°答案C2.(2019课标Ⅱ,7,5分)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是()A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面答案B3.(2021安徽江南十校一模,7)设a、b为两条直线,则a∥b的充要条件是()A.a、b与同一个平面所成角相等B.a、b垂直于同一条直线C.a、b平行于同一个平面D.a、b垂直于同一个平面答案D4.(2022甘肃二诊,6)正方体上的点M,N,P,Q是其所在棱的中点,则下列各图中直线MN与直线PQ是异面直线的是()ABCD答案B5.(2023届广西桂林月考二,9)已知三条不同的直线a,b,c,平面α,β,下列说法正确的是()A.命题p:经过一个平面上一点有且只有一个平面与已知平面垂直.命题p是真命题B.已知直线a∥b,b∥c,则a∥cC.命题q:已知a∥α,b∥α,则a∥b.命题q是真命题D.已知a⊥b,b⊥c,a∥α,c∥β,则α∥β答案B6.(2023届黑龙江部分学校联考,4)一个封闭的正方体容器ABCD-A1B1C1D1,P,Q,R分别是AB,BC和C1D1的中点,由于某种原因,P,Q,R处各有一个小洞,当此容器内存水的表面恰好经过这三个小洞时,容器中水的上表面的形状是() A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形答案D7.(2022皖南八校三模,15)三棱锥A-BCD中,AB=CD=1,过线段BC中点E作平面EFGH与直线AB、CD都平行,且分别交BD、AD、AC于F、G、H,则四边形EFGH的周长为.答案2考点二异面直线所成的角1.(2018课标Ⅱ,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()答案C2.(2022江西赣州二模,8)在正四棱锥P-ABCD中,点E是棱PD的中点.若直线PB与直线CE则P B的值为()A.1B.2C.2D.22答案C3.(2022黑龙江模拟,8)如图,某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形,点B是底面圆周上的一点,且∠BOC=60°,点M是SA的中点,则异面直线AB与CM所成角的余弦值是()A.13 C.34答案C4.(2023届河南焦作调研一,11)已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形,AB和CD分别是该圆柱上、下底面的一条直径,若四面体ABCD则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()C.12D.13答案D综合篇考法一点、线、面位置关系的判定及其应用1.(2023届昆明一中双测二,4)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,E,F分别为棱A1B1,B1C1的中点,经过E,F,O三点的平面与正方体相交所成的截面为() A.梯形 B.平行四边形C.矩形D.正方形答案A2.(2022黑龙江大庆实验中学月考,11)给出下列命题:①若△ABC的三条边所在直线分别交平面α于P,Q,R三点,则P,Q,R三点共线;②若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c是异面直线;③若三条直线a,b,c两两平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;④对于三条直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b.其中所有真命题的序号是() A.①② B.①③ C.③④ D.②④答案B3.(2019课标Ⅲ,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线答案B4.(2023届山西大同联考一,10)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,AD⊥AA1,AD⊥AB,∠A1AB=60°,M,N分别是棱AB和BC的中点,则下列说法中不正确的是()A.A1,C1,M,N四点共面B.B1N与AB共面C.AD⊥平面ABB1A1D.A1M⊥平面ABCD答案B5.(2021内蒙古赤峰2月月考,16)如图,在棱长为2的正方体中,点M、N在棱AB、BC上,且AM=BN=1,P在棱AA1上,α为过M、N、P三点的平面,则下列说法正确的是.①存在无数个点P,使面α与正方体的截面为五边形;②当A1P=1时,面α与正方体的截面面积为33;③只有一个点P,使面α与正方体的截面为四边形;④当面α交棱CC1于点H时,PM、HN、BB1三条直线交于一点.答案①②④6.(2020新高考Ⅰ,16,5分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为.答案2π2考法二异面直线所成的角的求解1.(2023届贵阳开学测试,12)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2AD=4,点E在棱CC1上,且C1E=2CE,点F在正方形ABCD内.若直线A1F与BB1所成的角等于直线EF与BB1所成的角,则AF的最小值是() A.322 B.32 C.924 D.922答案A2.(2022安徽黄山第二次质检,10)已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AD∥BC,BC=AB=PA=2AD=2,PB=3,AC与BD交于M点,PN=2ND,连接MN,则异面直线MN与AB所成角的余弦值为()A.-18B.23 D.34答案D3.(2021东北三省四市联考,8)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=4,AA1=43.过BC的平面分别交线段AA1,DD1于M、N两点,四边形BCNM为正方形,则异面直线D1M与BD所成角的余弦值为()A.14142114C.14435答案D4.(2018课标Ⅱ,9,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为() A.1556C.52答案C5.(2022四川攀枝花联考(三),10)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D,E分别是BC,A1B1的中点,下列说法中正确的是()A.DE⊥B1C1B.A1C∥平面B1DE1与DE是相交直线D.异面直线B1D与A1C1所成角的余弦值为5答案D6.(2022太原一模,15)已知在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB=2,若三棱锥的外接球体积为43π,则异面直线PB与AC所成角的余弦值为.答案12。
谦姐套路秘笈之点线面位置关系与四大公理
谦姐套路秘笈之点线面位置关系与四大公理套路一、点线面位置关系（利用长方体/正方体模型）1．已知m，n是空间中两条异面直线，则过m与n平行的平面（ ）A．不存在 B．至少有两个C．有无数个 D．有且只有一个2．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是（ ）A．l 至少与 l1，l2中的一条相交B．l 与 l1，l2都不相交C．l 与 l1，l2都相交D．l 至多与 l1，l2中的一条相交3．已知点A∈直线l，又A∈α，则（ ）A．l∥α B．l∩α=AC．l⊂α D．l∩α=A或l⊂α套路二、四大公理之确定平面（公理二及推论）1．下列命题一定正确的是（ ）A．三点确定一个平面B．依次首尾相接的四条线段必共面C．直线与直线外一点确定一个平面D．两条直线确定一个平面2．下列说法正确的是（ ）（1）任意三点确定一个平面；（2）圆上的三点确定一个平面；（3）任意四点确定一个平面；（4）两条平行线确定一个平面A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4）3．已知P，Q，R，S分别是所在正方体或四面体的棱的中点，这四个点不共面的一个图是（ ）A．B．C．D．4．棱长为2正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AD，AB，BB1的中点，则过E，F，G三点的平面截正方体所得的截面的面积是（ ）A．6B．3C．6D．35．（综合）已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1，如图，（1）若E、F为AA1、CC1的中点，画出过D1、E、F的截面；（2）若M、N、P为A1B1、BB1、B1C1上的点（均不与B1重合），求证：△MNP是锐角三角形．套路三、四大公理之多点共线（公理三）1．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD 于点M，则下列结论错误的是（ ）A．C1，M，O三点共线 B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，A1，M四点共面 D．D1，D，O，M四点共面2．如图，α∩β=l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l=M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（ ）A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M3．如图，在空间四边形ABCD中，E，H分别为BC，AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DF：FC=DG：GA=2：3，求证：EF、GH、BD交于一点．套路四、异面直线所成的角（平移）1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，A1C1中点，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．2．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体的四条面对角线中是异面直线且垂直有（ ）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=1，AD=2，AA1=3，则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．4．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=60°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）A．B．0 C．D．5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PO⊥平面ABCD，E为线段AP的中点，底面ABCD 为菱形，若BD=2，PC=4，则异面直线DE与PC所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．6．如图，正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC和AD的中点，则直线AE和CF所成的角的余弦值为（ ）A．B．C．D．参考答案套路一、点线面位置关系（利用长方体/正方体模型）1．【解答】解：过m上一点P作n的平行直线l，则m与l确定一平面α，由l⊂α，n⊄α，∴n∥α；这样的平面有且只有1个．故选：D．2．【解答】解：在B中，．l与l1，l2可以相交，如图：∴B选项错误；在C中，l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴C选项错误；在D中，l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴C选项错误；在A中，“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交； ∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴A选项正确．故选：A．3．【解答】解：∵点A∈直线l，又A∈α，∴直线l与平面α有公共点A，∴l∩α=A或l⊂α．故选：D．套路二、四大公理之确定平面（公理二及推论）1．【解答】解：对于A，不在同一直线上的三点确定一个平面，∴A错误；对于B，依次首尾相接的四条线段不一定共面，如空间四边形，∴B错误；对于C，由不在同一直线上的三点确定一个平面的推理知，直线与直线外一点确定一个平面，C正确；对于D，两条相交或平行直线确定一个平面，两条异面直线不能确定一个平面，∴D错误．故选：C．2.【解答】解：在（1）中，不共线的三点才能确定一个平面，故（1）错误．在（2）中，圆上三点不共线，可以确定一个平面，故（2）正确．在（3）中，当四个点共线时能确定无数个平面，当四个点不共线时，能确定一个或三个平面，故（3）错误．在（4）中，两条平行线确定一个平面，故（4）正确．故选：C．3． 【解答】解：在A中，∵P，Q，R，S分别是所在正方体或四面体的棱的中点， ∴PS∥QR，∴P，Q，R，S共面，故A错误；在B中，过P，Q，R，S可作一正六边形，如图，故P，Q，R，S四点共面，故B错误；在C中，分别连接PQ，RS，则PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面，故C错误； 在D中，PS与RQ为异面直线，∴P，Q，R，S四点不共面，故D正确． 故选：D．4． 【解答】解：如图所示：取棱AD，AB，BB1的中点E，F，G，则该截面是一个边长为的正六边形，其面积为6××（）2=3．故选：D．5．【解答】解：（1）连结D1E、BE、BF、D1F，则平面D1EBF是过D1、E、F的截面，如下图：证明：（2）设MB1=a，NB1=b，PB1=c，则MN2=a2+b2，NP2=b2+c2，MP2=c2+a2，则△MNP中，同理可得cosN＞0，cosP＞0，则∠M、∠N、∠P均为锐角，即△MNP是锐角三角形．套路三、四大公理之多点共线（公理三）1．【解答】解：连结A1C1，AC，则AC∩BD=O，A1C∩平面C1BD=M，∴三点C1、M、O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上， ∴C1，M，O三点共线，∴选项A、B、C均正确，选项D错误．故选：D．2．【解答】解：∵直线AB∩l=M，过A，B，C三点的平面记作γ，∴β∩γ=MC，∴γ与β的交线必通过点C和点M，故选：D．3．【解答】证明：连接AC，∵E，H分别为BC，AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DF：FC=DG：GA=2：3，∴HE∥AC，GF∥AC，∴HE∥GF，则E，F，G，H四点共面，而HG与EF不平行，不妨设EF，HG交于点P，∴P∈面BCD，且P∈面ABD，而面BCD∩面ABD=BD，∴P∈BD，∴EF、GH、BD交于一点．套路四、异面直线所成的角（平移）1．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则B（2，2，0），M（2，1，2），A（2，0，0），A1（2，0，2），C1（0，2，2），N（1，1，2），=（0，﹣1，2），=（﹣1，1，2），设BM与AN所成角为θ，则cosθ===．∴BM与AN所成角的余弦值为．故选：C．2．【解答】解：由正方体的平面展开图可得正方体ABCD﹣EFMN，如右图： 在这个正方体的四条面对角线中是异面直线且垂直有AF，CN是异面直线且垂直；BM，DE是异面直线且垂直．故选：B．3．【解答】解：如图，连接BC1，由AB∥A1B1，∴∠C1AB为异面直线A1B1与AC1所成角，由已知可得，则．∴cos∠C1AB=．即异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为．故选：A．4．【解答】解：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=60°，AB=2，BC=CC1=1， AC==，∴BC2+AC2=AB2，∴BC⊥AC，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，，0），B 1（1，0，1），B（1，0，0），C1（0，0，1），=（1，﹣，1），=（﹣1，0，1），设异面直线AB1与BC1所成角的平面角为θ，∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为：cosθ==0．故选：B．5．【解答】解：由题意，连接EO，O是底面ABCD为菱形的中点， 又E为线段AP的中点，∴EO∥PC，则异面直线DE与PC所成角的平面角为∠DEO，∵PO⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，AC⊥BD，POC是直角三角形，∴PC⊥BD，则EO⊥BD，∴△DEO是直角三角形，∵BD=2，PC=4，∴OD=1，EO=2，则ED=．∴cos∠DEO=．故选：A．6．【解答】解：连接BF、EF，∵正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC和AD的中点， ∴BF⊥AD，CF⊥AD，又BF∩CF=F，∴AD⊥面BCF，∴AE在平面BCF上的射影为EF，设异面直线AE和CF所成的角为θ，正四面体棱长为1， 则，．∵cosθ=cos∠AEF•cos∠EFC，∴cosθ==．故直线AE和CF所成的角的余弦值为．故选：B．。
点线面位置关系(知识点加典型例题)
点线面位置关系(知识点加典型例题)2.1 空间中点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 空间点、直线、平面之间的位置关系本节主要介绍空间中点、直线、平面之间的位置关系，其中重点是空间直线和平面的位置关系，难点是三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换。
在介绍空间点、直线和平面之间的位置关系前，我们需要了解三个公理。
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
符号表示为 A∈L，B∈L =。
Lα，A∈α，B∈α。
公理1的作用是判断直线是否在平面内。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为 A、B、C三点不共线 =。
有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2的作用是确定一个平面的依据。
推论有：①一条直线和其外一点可确定一个平面；②两条相交直线可确定一个平面；③两条平行直线可确定一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =。
α∩β=L，且P∈L。
公理3的作用是判定两个平面是否相交的依据。
另外，还有等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等。
在了解了这些公理后，我们可以进一步探讨空间中点、直线和平面之间的位置关系。
空间中两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面。
异面直线所成角θ的范围是<θ≤90°。
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系在空间中，两条直线有如下三种关系：相交直线（同一平面内，有且只有一个公共点）、共面直线、平行直线（同一平面内，没有公共点）和异面直线（不同在任何一个平面内，没有公共点）。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线，a∥b，c∥b。
公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4的作用是判断空间两条直线平行的依据。
另外，等角定理指出，如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
点线面位置关系例题与练习(含答案)
点、线、面的位置关系● 知识梳理 （一）.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理2：不共线．．．的三点确定一个平面. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线 （二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；1.4异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈︒︒；（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.②判定定理：////a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭③性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ 2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。
范围：[]0,90θ∈︒︒ 3.面面平行：①定义：//αβαβ=∅⇒；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：,,,//,////a b ab O a b ααααβ⊂=⇒判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥⇒.③面面平行的性质：（1）////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭；（2）////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
高二数学点线面的位置关系试题答案及解析
高二数学点线面的位置关系试题答案及解析1.如图，在直三棱柱中，，，分别为和的中点.（1）求证：平面；（5分）（2）求三棱锥的体积.（7分）【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）这是常规题，只要在平面寻找到一条直线与平行即可，通常是通过再取中点构造中位线和平行四边形来达到证题目的，这题就是如此；（2）经常是通过体积计算来考查等积变换思想，三棱锥的体积，关键是三棱椎的高，直接求有难度，可通过变换顶点达到有利于求高的目的，这里就是转化为求三棱锥的体积来实现的.试题解析：（1）取边中点，连、，则，且，所以四边形是平行四边形，，且平面，平面. 5分（2）在等腰三角形中，易知⊥，又，∴平面由（1），平面又，，. 12分【考点】1.立体几何中线面位置关系的证明；2.几何体的体积计算，3.等积变换的思想.2.如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，,点在底面内的射影恰好是的中点，且(1)求证:平面平面;(2)若，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】解题思路：（1）作出辅助线，利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）合理转化三棱锥的顶点和底面，利用体积法求所求的点到平面的距离.规律总结：对于空间几何体中的垂直、平行关系的判定，要牢牢记住并灵活进行转化，线线关系是关键；涉及点到平面的距离问题，往往转化三棱锥的顶点，利用体积法求距离.试题解析：(1)取中点，连接，则面，，（2）设点到平面的距离，,【考点】1.空间中垂直的判定；2.点到平面的距离.3.如图所示，正三棱锥中，分别是的中点，为上任意一点，则直线与所成的角的大小是 ( )A．B．C．D．随点的变化而变化.【答案】B【解析】连接,因为为正三棱锥，所以，则有,所以，即直线与所成的角的大小是.【考点】（1）线面垂直的判定与性质应用；（2）线线角.4.设m，n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是（）. A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，，则【答案】B.【解析】对于A选项，可能m与相交或平行，对于选项B，由于，则在内一定有一直线设为与平行，又，则，又，根据面面垂直的判定定理，可知，故B选项正确，对于C选项，可能有，对于D选项，可能与相交.【考点】线面间的位置关系5.如图,在四棱锥中,⊥底面,四边形是直角梯形,⊥,∥,,.(1)求证:平面⊥平面；(2)求点C到平面的距离；(3)求PC与平面PAD所成的角的正弦值。
点线面位置关系学习知识点梳理及经典例题带解析
【知识梳理】（ 1）四个公义公义 1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
符号语言： A l , B l ,且 A, B l。
公义 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
三个推论：①经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面② 经过两条订交直线，有且只有一个平面③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面公义它给出了确立一个平面的依照。
3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。
符号语言：P , 且 P l , P l 。
公义 4：（平行线的传达性）平行与同向来线的两条直线相互平行。
符号语言： a // l ,且 b // l a // b 。
（ 2）空间中直线与直线之间的地点关系1.观点异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
已知两条异面直线a, b ，经过空间随意一点O 作直线a // a,b // b ，我们把 a 与 b 所成的角（或直角）叫异面直线 a,b 所成的夹角。
（易知：夹角范围0 90 ）定理：空间中假如一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
（注意：会画两个角互补的图形）共面直线订交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;平行直线：同一平面内，没有公共点;2. 地点关系：异面直线：不一样在任何一个平面内，没有公共点（ 3）空间中直线与平面之间的地点关系直线在平面内（ l ）有无数个公共点直线与平面的地点关系有三种：直线与平面订交（l A）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（l / / ）没有公共点（ 4）空间中平面与平面之间的地点关系两个平面平行（/ / ）没有公共点平面与平面之间的地点关系有两种：l）有一条公共直线两个平面订交（直线、平面平行的判断及其性质1.内容概括总结（ 1）四个定理定理定理内容直线与平面平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直平行的判断线与此平面平行平面与平面一个平面内的两条订交直线与另一个平面平行，则这平行的判断两个平面平行一条直线与一个平面平行，符号表示a, b ,且 a // b a//a,b,a b P, a //, b ////剖析解决问题的常用方法在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行便可以判断直线与平面平行。
点线面位置关系典型例题
点线面位置关系典型例题一，直线与平面平行的判定与性质典型例题一例1 简述下列问题的结论，并画图说明：（1）直线⊂a 平面α，直线A a b = ，则b 和α的位置关系如何？（2）直线α⊂a ，直线a b //，则直线b 和α的位置关系如何？分析：（1）由图（1）可知：α⊂b 或A b =α ；（2）由图（2）可知：α//b 或α⊂b ．说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法． 典型例题二例2 P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，Q 是PA 的中点，求证：//PC 平面BDQ ． 分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．证明：如图所示，连结AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是平行四边形∴CO AO =，连结OQ ，则OQ 在平面BDQ 内，且OQ 是APC ∆的中位线，∴OQ PC //．∵PC 在平面BDQ 外，∴//PC 平面BDQ ．说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论．这一个证明线面平行的步骤可以总结为：过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行．典型例题三例3 经过两条异面直线a ，b 之外的一点P ，可以作几个平面都与a ，b 平行？并证明你的结论．分析：可考虑P 点的不同位置分两种情况讨论．解：（1）当P 点所在位置使得a ，P （或b ，P ）本身确定的平面平行于b （或a ）时，过P 点再作不出与a ，b 都平行的平面；（2）当P 点所在位置a ，P （或b ，P ）本身确定的平面与b （或a ）不平行时，可过点P 作a a '//，b b //'．由于a ，b 异面，则a '，b '不重合且相交于P ．由于P b a ='' ，a '，b '确定的平面α，则由线面平行判定定理知：α//a ，α//b ．可作一个平面都与a ，b 平行． 故应作“0个或1个”平面．说明：本题解答容易忽视对P 点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论．可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论．典型例题四例4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面． 已知：直线b a //，//a 平面α，α⊄b ．求证：α//b ．证明：如图所示，过a 及平面α内一点A 作平面β．设c =βα ，∵α//a ，∴c a //．又∵b a //，∴c b //．∵α⊄b ，α⊂c ，∴α//b ．说明：根据判定定理，只要在α内找一条直线b c //，根据条件α//a ，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过a 作平面β与α相交，我们常把平面β称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化．和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的．典型例题五例5 已知四面体ABC S -的所有棱长均为a ．求：（1）异面直线AB SC 、的公垂线段EF 及EF 的长；（2）异面直线EF 和SA 所成的角．分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线ABSC 、的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解．解：（1）如图，分别取AB SC 、的中点F E 、，连结CF SF 、．由已知，得SAB ∆≌CAB ∆．∴CF SF =，E 是SC 的中点，∴SC EF ⊥．同理可证AB EF ⊥∴EF 是AB SC 、的公垂线段．在SEF Rt ∆中，a SF 23=，a SE 21=． ∴22SE SF EF -=a a a 22414322=-． （2）取AC 的中点G ，连结EG ，则SA EG //．∴EF 和GE 所成的锐角或直角就是异面直线EF 和SA 所成的角．连结FG ，在EFG Rt ∆中，a EG 21=，a GF 21=，a EF 22=． 由余弦定理，得 22222124142412cos 222222=⋅⋅-+=⋅⋅-+=∠a a a a a EF EG GF EF EG GEF ． ∴45=∠GEF ．故异面直线EF 和SA 所成的角为 45．说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值．典型例题六例6 如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内．已知：直线α//a ，α∈B ，b B ∈，a b //．求证：α⊂b ．分析：由于过点B 与a 平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面α外，不存在过B 与a 平行的直线，这是否定性命题，所以使用反证法．证明：如图所示，设α⊄b ，过直线a 和点B 作平面β，且'b =αβ ．∵α//a ，∴α//'b ．这样过B 点就有两条直线b 和'b 同时平行于直线a ，与平行公理矛盾．∴b 必在α内．说明：(1)本例的结论可以直接作为证明问题的依据．(2)本例还可以用同一法来证明，只要改变一下叙述方式．如上图，过直线a 及点B 作平面β，设'b =αβ ．∵α//a ，∴α//'b ． 这样，'b 与b 都是过B 点平行于a 的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条，∴b 与'b 重合．∵α⊂'b ，∴α⊂b ．典型例题七例7 下列命题正确的个数是（ ）．(1)若直线l 上有无数个点不在平面α内，则α//l ；(2)若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则α//l ；(3)若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任一直线平行；(4)若直线l 在平面α外，则α//l ．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个分析：本题考查的是空间直线与平面的位置关系．对三种位置关系定义的准确理解是解本题的关键．要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的个数来分类，还可以按照直线是否在平面内来分类．解：(1)直线l 上有无数个点不在平面α内，并没有说明是所在点都不在平面α内，因而直线可能与平面平行亦有可能与直线相交．解题时要注意“无数”并非“所有”．(2)直线l 虽与α内无数条直线平行，但l 有可能在平面α内，所以直线l 不一定平行α．(3)这是初学直线与平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到．当α//l 时，若α⊂m 且l m //，则在平面α内，除了与m 平行的直线以外的每一条直线与l 都是异面直线．(4)直线l 在平面α外，应包括两种情况：α//l 和l 与α相交，所以l 与α不一定平行．故选A ．说明：如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系，解题时更要注意分类要完整，考虑要全面．如直线l 、m 都平行于α，则l 与m 的位置关系可能平行，可能相交也有可能异面；再如直线m l //、α//l ，则m 与α的位置关系可能是平行，可能是m 在α内．典型例题八例8 如图，求证：两条平行线中的一条和已知平面相交，则另一条也与该平面相交． 已知：直线b a //，P a =α平面 ．求证：直线b 与平面α相交．分析：利用b a //转化为平面问题来解决，由b a //可确定一辅助平面β，这样可以把题中相关元素集中使用，既创造了新的线面关系，又将三维降至二维，使得平几知识能够运用． 解：∵b a //，∴a 和b 可确定平面β．∵P a =α ，∴平面α和平面β相交于过点P 的直线l ．∵在平面β内l 与两条平行直线a 、b 中一条直线a 相交，∴l 必定与直线b 也相交，不妨设Q l b = ，又因为b 不在平面α内（若b 在平面α内，则α和β都过相交直线b 和l ，因此α与β重合，a 在α内，和已知矛盾）．所以直线b 和平面α相交．说明：证明直线和平面相交的常用方法有：证明直线和平面只有一个公共点；否定直线在平面内以及直线和平面平行；用此结论：一条直线如果经过平面内一点，又经过平面外一点，则此直线必与平面相交（此结论可用反证法证明）．典型例题九例9 如图，求证：经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行． 已知：a 与b 是异面直线．求证：过b 且与a 平行的平面有且只有一个．分析：本题考查存在性与唯一性命题的证明方法．解题时要理解“有且只有”的含义．“有”就是要证明过直线b 存在一个平面α，且α//a ，“只有”就是要证满足这样条件的平面是唯一的．存在性常用构造法找出（或作出）平面，唯一性常借助于反证法或其它唯一性的结论． 证明：(1)在直线b 上任取一点A ，由点A 和直线a 可确定平面β．在平面β内过点A 作直线'a ，使a a //'，则'a 和b 为两相交直线， 所以过'a 和b 可确定一平面α．∵α⊂b ，a 与b 为异面直线，∴α⊄a ．又∵'//a a ，α⊂'a ， ∴α//a ．故经过b 存在一个平面α与a 平行．(2)如果平面γ也是经过b 且与a 平行的另一个平面，由上面的推导过程可知γ也是经过相交直线b 和'a 的． 由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可知，平面α与γ重合，即满足条件的平面是唯一的．说明：对于两异面直线a 和b ，过b 存在一平面α且与a 平行，同样过a 也存在一平面β且与b 平行．而且这两个平面也是平行的（以后可证）．对于异面直线a 和b 的距离，也可转化为直线a 到平面α的距离，这也是求异面直线的距离的一种方法．典型例题十例10 如图，求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行． 已知：l =βα ，α//a ，β//a ，求证：l a //．分析：本题考查综合运用线面平行的判定定理和性质定理的能力．利用线面平行的性质定理，可以先证明直线a 分别和两平面的某些直线平行，即线面平行可得线线平行．然后再用线面平行的判定定理和性质定理来证明a 与l 平行．证明：在平面α内取点P ，使l P ∉，过P 和直线a 作平面γ交α于b ．∵α//a ，γ⊂a ，b =αγ ，∴b a //．同理过a 作平面δ交β于c ．∵β//a ，δ⊂a ，c =βδ ，∴c a //．∴c b //．∵β⊄b ，β⊂c ，∴β//b ．又∵α⊂b ，l =βα ，∴l b //．又∵b a //，∴l a //．另证：如图，在直线l 上取点M ，过M 点和直线a 作平面和α相交于直线1l ，和β相交于直线2l ．∵α//a ，∴1//l a ，∵β//a ，∴2//l a ，但过一点只能作一条直线与另一直线平行．∴直线1l 和2l 重合．又∵α⊂1l ，β⊂2l ，∴直线1l 、2l 都重合于直线l ，∴l a //．说明：“线线平行”与“线面平行”在一定条件下是可以相互转化的，这种转化的思想在立体几何中非常重要．典型例题十一例11 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各取一点P 、Q ，且DQ AP =．求证：//PQ 面BCE ．分析：要证线面平行，可以根据判定定理，转化为证明线线平行．关键是在平面BCE 中如何找一直线与PQ 平行．可考察过PQ 的平面与平面BCE 的交线，这样的平面位置不同，所找的交线也不同．证明一：如图，在平面ABEF 内过P 作AB PM //交BE 于M ，在平面ABCD 内过Q 作AB QN //交BC 于N ，连结MN ．∵AB PM //，∴AE PE ABPM =． 又∵CD AB QN ////，∴BD BQ DC QN =，即BD BQ AB QN =．∵正方形ABEF 与ABCD 有公共边AB ，∴DB AE =．∵DQ AP =，∴BQ PE =．∴QN PM =．又∵AB PM //，AB QN //，∴QN PM //．∴四边形PQNM 为平行四边形．∴MN PQ //．又∵⊂MN 面BCE ，∴//PQ 面BCE ．证明二：如图，连结AQ 并延长交BC 于S ，连结ES ．∵AD BS //，∴QB DQ QS AQ =． 又∵正方形ABEF 与正方形ABCD 有公共边AB ，∴DB AE =，∵DQ AP =，∴QB PE =．∴QS AQ QBDQ PE AP ==． ∴ES PQ //，又∵⊂ES 面BEC ，∴//PQ 面BEC ．说明：从本题中我们可以看出，证线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定．此题中我们可以把“两个有公共边的正方形”这一条件改为“两个全等的矩形”，那么题中的结论是否仍然成立？典型例题十二例12 三个平面两两相交于三条交线，证明这三条交线或平行、或相交于一点．已知：a =βα ，b =γβ ，c =αγ ．求证：a 、b 、c 互相平行或相交于一点．分析：本题考查的是空间三直线的位置关系，我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系入手，根据共面的两条直线平行或相交来推论三条交线的位置关系．证明：∵a =βα ，b =γβ ，∴β⊂b a 、．∴a 与b 平行或相交．①若b a //，如图∵γ⊂b ，γ⊄a ，∴γ//a ．又∵c =αγ ，α⊂a ，∴c a //．∴c b a ////．②若a 与b 相交，如图，设O b a = ，∴a O ∈，b O ∈．又∵βα =a ，γβ =b ．∴α∈O ，γ∈O又∵c =γα ，∴c O ∈．∴直线a 、b 、c 交于同一点O ．说明：这一结论常用于求一个几何体的截面与各面交线问题，如正方体ABCD 中，M 、N 分别是1CC 、11B A 的中点，画出点D 、M 、N 的平面与正方体各面的交线，并说明截面多边形是几边形？典型例题十三例13 已知空间四边形ABCD ，AC AB ≠，AE 是ABC ∆的BC 边上的高，DF 是BCD ∆的BC 边上的中线，求证：AE 和DF 是异面直线．证法一：（定理法）如图由题设条件可知点E 、F 不重合，设BCD ∆所在平面α．∴⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∉∈∉⊂DF E E A DF αααAE 和DF 是异面直线． 证法二：（反证法）若AE 和DF 不是异面直线，则AE 和DF 共面，设过AE 、DF 的平面为β．(1)若E 、F 重合，则E 是BC 的中点，这与题设AC AB ≠相矛盾．(2)若E 、F 不重合，∵EF B ∈，EF C ∈，β⊂EF ，∴β⊂BC ．∵β∈A ，β∈D ，∴A 、B 、C 、D 四点共面，这与题设ABCD 是空间四边形相矛盾．综上，假设不成立．故AE 和DF 是异面直线．说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用．首先看一个有趣的实际问题：“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？”对于这个问题，同学们可试验做一做．也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的．那么你怎样才能清楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？用反证法可以轻易地解决这个问题．假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则9个单数之和仍为单数，与36这个双数矛盾．只须两句话就解决了这个问题．典型例题十四例14 已知AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 的中点，求证：平面EFG 和AC 平行，也和BD 平行．分析：欲证明AC //平面EFG ，根据直线和平面平等的判定定理只须证明AC 平行平面EFG 内的一条直线，由图可知，只须证明EF AC //．证明：如图，连结AE 、EG 、EF 、GF ．在ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点．∴EF AC //．于是AC //平面EFG ．同理可证，BD //平面EFG ．说明：到目前为止，判定直线和平面平行有以下两种方法：(1)根据直线和平面平行定义；(2)根据直线和平面平行的判定定理．典型例题十五例15 已知空间四边形ABCD ，P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心，求证：ACD PQ 平面//．分析：欲证线面平行，须证线线平行，即要证明PQ 与平面ACD 中的某条直线平行，根据条件，此直线为AD ，如图．证明：取BC 的中点E ．∵P 是ABC ∆的重心，连结AE ，则1∶3=PE AE∶，连结DE ， ∵Q 为BCD ∆的重心，∴1∶3=QE DE∶， ∴在AED ∆中，AD PQ //．又ACD AD 平面⊂，ACD PQ 平面⊄，∴ACD PQ 平面//．说明：(1)本例中构造直线AD 与PQ 平行，是充分借助于题目的条件：P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心，借助于比例的性质证明AD PQ //，该种方法经常使用，望注意把握．(2)“欲证线面平行，只须证线线平行”．判定定理给我们提供了一种证明线面平等的方法．根据问题具体情况要熟练运用．典型例题十六例16 正方体1111D C B A ABCD -中，E 、G 分别是BC 、11D C 的中点如下图．求证：D D BB EG 11//平面．分析：要证明D D BB EG 11//平面，根据线面平等的判定定理，需要在平面D D BB 11内找到与EG 平行的直线，要充分借助于E 、G 为中点这一条件．证明：取BD 的中点F ，连结EF 、F D 1．∵E 为BC 的中点，∴EF 为BCD ∆的中位线，则DC EF //，且CD EF 21=．∵G 为11D C 的中点，∴CD G D //1且CD G D 211=，∴G D EF 1//且G D EF 1=，∴四边形G EFD 1为平行四边形，∴EG F D //1，而111B BDD F D 平面⊂，11B BDD EG 平面⊄，∴11//B BDD EG 平面．典型例题十七例17 如果直线α平面//a ，那么直线a 与平面α内的（ ）．A ．一条直线不相交B ．两条相交直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线都不相交解：根据直线和平面平行定义，易知排除A 、B ．对于C ，无数条直线可能是一组平行线，也可能是共点线，∴C 也不正确，应排除C ．与平面α内任意一条直线都不相交，才能保证直线a 与平面α平行，∴D 正确．∴应选D ．说明：本题主要考查直线与平面平行的定义．典型例题十八例18 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ）．A ．一定平行B ．一定相交C ．一定异面D ．相交或异面解：如图中的甲图，分别与异面直线a 、b 平行的两条直线c 、d 是相交关系；如图中的乙图，分别与异面直线a 、b 平行的两条直线c 、d 是相交关系．综上，可知应选D ．说明：本题主要考查有关平面、线面平行等基础知识以及空间想象能力．典型例题十九例19 a 、b 是两条异面直线，下列结论正确的是（ ）．A ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个平面与a 、b 平行B ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个直线与a 、b 相交C ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个直线与a 、b 都平行D ．过a 可以并且只可以作一平面与b 平行解：A 错，若点与a 所确定的平面与b 平行时，就不能使这个平面与α平行了．B 错，若点与a 所确定的平面与b 平等时，就不能作一条直线与a ，b 相交．C 错，假如这样的直线存在，根据公理4就可有b a //，这与a ，b 异面矛盾．D 正确，在a 上任取一点A ，过A 点做直线b c //，则c 与a 确定一个平面与b 平行，这个平面是惟一的．∴应选Ｄ．说明：本题主要考查异面直线、线线平行、线面平行等基本概念．典型例题二十例20 (1)直线b a //，α平面//a ，则b 与平面α的位置关系是_____________．(2)A 是两异面直线a 、b 外的一点，过A 最多可作___________个平面同时与a 、b 平行． 解：(1)当直线b 在平面α外时，α//b ；当直线b 在平面α内时，α⊂b ．∴应填：α//b 或α⊂b ．(2)因为过A 点分别作a ，b 的平行线只能作一条，（分别称'a ，'b ）经过'a ，'b 的平面也是惟一的．所以只能作一个平面；还有不能作的可能，当这个平面经过a 或b 时，这个平面就不满足条件了．∴应填：1．说明：考虑问题要全面，各种可能性都要想到，是解答本题的关键．典型例题二十一例21 如图，α//a ，A 是α的另一侧的点，a D C B ∈,,，线段AB ，AC ，AD 交α于E ，F ，G ，若4=BD ，4=CF ，5=AF ，则EG =___________．解：∵α//a ，ABD EG 平面 α=．∴EG a //，即EG BD //，∴FC AF AF BD EG CD BC FG EF AC AF CD FG BC EF +==++===．则9204545=+⨯=+⋅=FC AF BD AF EG ．∴应填：920．说明：本题是一道综合题，考查知识主要有：直线与平面平行性质定理、相似三角形、比例性质等．同时也考查了综合运用知识，分析和解决问题的能力．二，面面平行的性质与判定典型例题一例1：已知正方体1111-D C B A ABCD ．求证：平面//11D AB 平面BD C 1．证明：∵1111-D C B A ABCD 为正方体，∴B C A D 11//，又 ⊂B C 1平面BD C 1，故 //1A D 平面BD C 1．同理 //11B D 平面BD C 1．又 1111D B D A D = ，∴ 平面//11D AB 平面BD C 1．说明：上述证明是根据判定定理1实现的．本题也可根据判定定理2证明，只需连接C A 1即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离．典型例题二例2：如图，已知βα//，a A ∈，α∈A β//a ．求证：α⊂a ．证明：过直线a 作一平面γ，设1a =αγ ，b =γβ ．∵βα//∴b a //1又β//a∴b a //在同一个平面γ内过同一点A 有两条直线1,a a 与直线b 平行∴a 与1a 重合，即α⊂a ．说明：本题也可以用反证法进行证明．典型例题三例3：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交．已知：如图，βα//，A l =α ．求证：l 与β相交．证明：在β上取一点B ，过l 和B 作平面γ，由于γ与α有公共点A ，γ与β有公共点B ． ∴γ与α、β都相交．设a =αγ ，b =γβ ． ∵βα//∴b a //又l 、a 、b 都在平面γ内，且l 和a 交于A ．∵l 与b 相交．所以l 与β相交．典型例题四例4：已知平面βα//，AB ，CD 为夹在a ，β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．求证： α//EF ，β//EF ．证明：连接AF 并延长交β于G ．∵F CD AG =∴ AG ，CD 确定平面γ，且AC =αγ ，DG =βγ ．∵βα//，所以 DG AC //，∴ GDF ACF ∠=∠，又 DFG AFC ∠=∠，DF CF =，∴ △ACF ≌△DFG ．∴ FG AF =．又 BE AE =，∴ BG EF //，β⊂BG ．故 β//EF ．同理α//EF说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理．典型例题六例6 如图，已知矩形ABCD 的四个顶点在平面上的射影分别为1A 、1B 、1C 、1D ，且1A 、1B 、1C 、1D 互不重合，也无三点共线．求证：四边形1111D C B A 是平行四边形．证明：∵α⊥1AA ， α⊥1DD∴11//DD AA不妨设1AA 和1DD 确定平面β．同理1BB 和1CC 确定平面γ．又11//BB AA ，且γ⊂1BB∴γ//1AA同理γ//AD又A AD AA = 1∴γβ//又11D A =βα ，11C B =γα∴1111//C B D A ．同理1111//D C B A ．∴四边形1111D C B A 是平行四边形．典型例题七例7 设直线l 、m ，平面α、β，下列条件能得出βα//的是（ ）．A ．α⊂l ，α⊂m ，且β//l ，β//mB ．α⊂l ，β⊂m ，且m l //C ．α⊥l ，β⊥m ，且m l //D ．α//l ，β//m ，且m l //分析：选项A 是错误的，因为当m l //时，α与β可能相交．选项B 是错误的，理由同A ．选项C 是正确的，因为α⊥l ，l m //，所以α⊥m ，又∵β⊥m ，∴βα//．选项D 也是错误的，满足条件的α可能与β相交．答案：C说明：此题极易选A ，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致．本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况．典型例题八例8 设平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，且α、β分别与γ相交于a 、b ，b a //．求证：平面α//平面β．分析：要证明两平面平行，只要设法在平面α上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与β平行（如图）．证明：在平面α内作直线PQ ⊥直线a ，在平面β内作直线MN ⊥直线b ．∵平面α⊥平面γ，∴PQ ⊥平面γ，MN ⊥平面γ，∴MN PQ //．又∵p a //，Q a PQ = ，N b MN = ，∴平面α//平面β．说明：如果在α、β内分别作γ⊥PQ ，γ⊥MN ，这样就走了弯路，还需证明PQ 、MN 在α、β内，如果直接在α、β内作a 、b 的垂线，就可推出MN PQ //．由面面垂直的性质推出“线面垂直”，进而推出“线线平行”、“线面平行”，最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行”．其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中非常重要．典型例题九例9 如图所示，平面α//平面β，点A 、C α∈，点β∈D B 、，a AB =是α、β的公垂线，CD 是斜线．若b BD AC ==，c CD =，M 、N 分别是AB 和CD 的中点，(1)求证：β//MN ； (2)求MN 的长．分析：（1）要证β//MN ，取AD 的中点P ，只要证明MN 所在的平面β//PMN ．为此证明β//PM ，β//PN 即可．(2)要求MN 之长，在CMA ∆中，CM 、CN 的长度易知，关键在于证明CD MN ⊥，从而由勾股定理可以求解．证明：(1)连结AD ，设P 是AD 的中点，分别连结PM 、PN ．∵M 是AB 的中点，∴BD PM //．又β⊂BD ，∴β//PM ．同理∵N 是CD 的中点，∴AC PN //．∵α⊂AC ，∴α//PN ．∵βα//，P PM PN = ，∴平面β//PMN ．∵MN ⊂平面PMN ，∴β//MN ．(2)分别连结MC 、MD ．∵b BD AC ==，a BM AM 21==，又∵AB 是α、β的公垂线，∴︒=∠=∠90DBM CAM ，∴ACM Rt ∆≌BDM Rt ∆，∴DM CM =，∴DMC ∆是等腰三角形．又N 是CD 的中点，∴CD MN ⊥．在CMN Rt ∆中，22222421c a b CN CM MN -+=-=．说明：(1)证“线面平行”也可以先证“面面平行”，然后利用面面平行的性质，推证“线面平行”，这是一种以退为进的解题策略．(2)空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解．(3)面面平行的性质：①面面平行，则线面平行；②面面平行，则被第三个平面所截得的交线平行．典型例题十例10 如果平面α内的两条相交直线与平面β所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是__________．分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究．解：设a 、b 是平面α内两条相交直线．(1)若a 、b 都在平面β内，a 、b 与平面β所成的角都为︒0，这时α与β重合，根据教材中规定，此种情况不予考虑．(2)若a 、b 都与平面β相交成等角，且所成角在)90,0(︒︒内；∵a 、b 与β有公共点，这时α与β相交．若a 、b 都与平面β成︒90角，则b a //，与已知矛盾．此种情况不可能．(3)若a 、b 都与平面β平行，则a 、b 与平面β所成的角都为︒0，α内有两条直线与平面β平行，这时βα//．综上，平面α、β的位置关系是相交或平行．典型例题十一例11 试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．已知：α平面∉A ，求证：过A 有且只有一个平面αβ//．分析：“有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可． 证明：在平面α内任作两条相交直线a 和b ，则由α∉A 知，a A ∉，b A ∉．点A 和直线a 可确定一个平面M ，点A 和直线b 可确定一个平面N ．在平面M 、N 内过A 分别作直线a a //'、b b //'，故'a 、'b 是两条相交直线，可确定一个平面β． ∵α⊄'a ，α⊂a ，a a //'，∴α//'a ．同理α//'b ．又β⊂'a ，β⊂'b ，A b a ='' ，∴αβ//． 所以过点A 有一个平面αβ//．假设过A 点还有一个平面αγ//，则在平面α内取一直线c ，c A ∉，点A 、直线c 确定一个平面ρ，由公理2知：m =ρβ ，n =ργ ，∴c m //，c n //，又m A ∈，n A ∈，这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立，所以平面β只有一个．所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．典型例题十二例12 已知点S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SC SB SA ==，SG 为SAB ∆上的高，D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 内的位置关系，并给予证明分析1：如图，观察图形，即可判定//SG 平面DEF ，要证明结论成立，只需证明SG 与平面DEF 内的一条直线平行．观察图形可以看出：连结CG 与DE 相交于H ，连结FH ，FH 就是适合题意的直线． 怎样证明FH SG //？只需证明H 是CG 的中点．证法1：连结CG 交DE 于点H ，∵DE 是ABC ∆的中位线，∴AB DE //．在ACG ∆中，D 是AC 的中点，且AG DH //，∴H 为CG 的中点．∵FH 是SCG ∆的中位线，∴SG FH //．又SG ⊄平面DEF ，FH ⊂平面DEF ，∴//SG 平面DEF ．分析2：要证明//SG 平面DEF ，只需证明平面SAB //平面DEF ，要证明平面DEF //平面SAB ，只需证明DF SA //，EF SB //而DF SA //，EF SB //可由题设直接推出． 证法2：∵EF 为SBC ∆的中位线，∴SB EF //．∵⊄EF 平面SAB ，⊂SB 平面SAB ，∴//EF 平面SAB ．同理：//DF 平面SAB ，F DF EF = ，∴平面SAB //平面DEF ，又∵⊂SG 平面SAB ，∴//SG 平面DEF ．典型例题十三例13 如图，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若9=PA ，12=AB ，12=BQ ，ACF ∆的面积为72，求BDE ∆的面积．分析：求BDE ∆的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知ACF ∆的面积，若BDE ∆与ACF ∆的对应边有联系的话，可以利用ACF ∆的面积求出BDE ∆的面积．解：∵平面AF QAF =α ，平面BE QAF =β ，又∵βα//，∴BE AF //．同理可证：BD AC //，∴FAC ∠与EBD ∠相等或互补，即EBD FAC ∠=∠sin sin ．由BE FA //，得212412∶∶∶∶===QA QB AF BE， ∴AF BE 21=由AC BD //，得：73219∶∶∶∶===PB PA BD AC，∴AC BD 37=． 又∵ACF ∆的面积为72，即72sin 21=∠⋅⋅FAC AC AF ．∴EBD BD BE S DBE ∠⋅⋅=∆sin 21FAC AC AF ∠⋅⋅⋅=sin 372121 FAC AC AF ∠⋅⋅⋅=sin 2167847267=⨯=．∴BDE ∆的面积为84平方单位．说明：应用两个平行的性质一是可以证明直线与直线的平行，二是可以解决线面平行的问题．注意使用性质定理证明线线平行时，一定第三个平面与两个平行平面相交，其交线互相平行．典型例题十四例14 在棱长为a 的正方体中，求异面直线BD 和C B 1之间的距离．分析：通过前面的学习，我们解决了如下的问题：若a 和b 是两条异面直线，则过a 且平行于b 的平面必平行于过b 且平行于a 的平面．我们知道，空间两条异面直线，总分别存在于两个平行平面内．因此，求两条异面直线的距离，有时可以通过求这两个平行平面之间的距离来解决．具体解法可按如下几步来求：①分别经过BD 和C B 1找到两个互相平等的平面；②作出两个平行平面的公垂线；③计算公垂线夹在两个平等平面间的长度．解：如图，根据正方体的性质，易证：1111111//////D CB BD A C D B A D B BD 平面平面⇒⎭⎬⎫连结1AC ，分别交平面BD A 1和平面11D CB 于M 和N因为1CC 和1AC 分别是平面ABCD 的垂线和斜线，AC 在平面ABCD 内，BD AC ⊥ 由三垂线定理：BD AC ⊥1，同理：D A AC 11⊥∴⊥1AC 平面BD A 1，同理可证：⊥1AC 平面11D CB。
高中数学《点线面的位置关系》专题训练30题（含解析）
高中数学《点线面的位置关系》专题训练30题（含解析）高中数学《点线面的位置关系》专题训练30题（含解析）1．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为，O是中点，所以，因为平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因为平面，所以.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，则，设,所以，设为平面的法向量，则由可求得平面的一个法向量为．又平面的一个法向量为，所以，解得．又点C到平面的距离为，所以，所以三棱锥的体积为．[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作，垂足为点G．作，垂足为点F，连结，则．因为平面，所以平面，为二面角的平面角．因为，所以．由已知得，故．又，所以．因为，．[方法三]：三面角公式考虑三面角，记为，为，，记二面角为．据题意，得．对使用三面角的余弦公式，可得，化简可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②将①②两式平方后相加，可得，由此得，从而可得．如图可知，即有，根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，结合的正切值，可得从而可得三棱锥的体积为．【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.2．如图,四边形为矩形,且平面,,为的中点.（1）求证:；（2）求三棱锥的体积；（3）探究在上是否存在点,使得平面，并说明理由.【答案】（1）见解析;（2）;（3）见解析.【解析】【分析】(1)连结,由几何体的空间结构可证得,利用线面垂直的定义可知.(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,结合题意转化顶点可得.(3)在上存在中点,使得.取的中点,连结.易证得四边形EGHC是平行四边形,所以EG//CH,结合线面平行的判断定理可知EG//平面PCD.【详解】(1)连结,∵为的中点, ,∴为等腰直角三角形,则,同理可得,∴,∴,又,且,∴,?又∵,∴,又,∴.(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,∴,而是三棱锥的高,∴.(3)在上存在中点,使得.理由如下:取的中点,连结.∵是的中点,∴,且,?又因为E为BC的中点,且四边形ABCD为矩形,所以EC//AD,且EC=AD,所以EC//GH,且EC=GH,所以四边形EGHC是平行四边形,所以EG//CH,又EG平面PCD,CH平面PCD,所以EG//平面PCD.【点睛】本题主要考查线面垂直的判断定理，线面垂直的判断定理，棱锥的体积公式，立体几何中探索问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果．【详解】（1）因为，为的中点，所以，且．连结．因为，所以为等腰直角三角形，且由知．由知平面．（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．由已知得取平面的法向量．设，则．设平面的法向量为．由得，可取所以．由已知得．所以．解得(舍去)，．所以．又，所以．所以与平面所成角的正弦值为．【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．4．如图，在三棱锥中，平面平面，，，若为的中点.（1）证明：平面；（2）求异面直线和所成角；（3）设线段上有一点，当与平面所成角的正弦值为时，求的长.【答案】(1)证明见解析；(2)(3).【解析】【分析】（1）先证明平面平面，再证明平面；（2）分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线和所成角；（3）设，，利用向量法得到，解方程即得t的值和的长.【详解】（1）∵，，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.（2）∵，，∴，，如图，分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系,∵，，，，∴，，∵，∴异面直线和所成角为.（3）设为平面的法向量，∵，，∴，即，设，，∴，设与平面所成角为，∵，∴，，，，（舍），，∴的长为.【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系的证明，考查异面直线所成的角和线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5．如图，在三棱锥中，，，为的中点．?（1）证明：平面；?（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．【答案】（1）详见解析（2）．【解析】【详解】分析：（1）连接，欲证平面，只需证明即可；（2）过点作，垂足为，只需论证的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM 的距离．由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以OM= ，CH==．所以点C到平面POM的距离为．点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.6．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）根据题意求得三棱锥的体积，再求出的面积，利用求得点C到平面的距离，得到结果.【详解】（1）连接，，分别为，中点?为的中位线且又为中点，且且四边形为平行四边形，又平面，平面平面（2）在菱形中，为中点，所以，根据题意有，，因为棱柱为直棱柱，所以有平面，所以，所以，设点C到平面的距离为，根据题意有，则有，解得，所以点C到平面的距离为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.7．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面，是的中点．（1）证明：直线平面；（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）取的中点，连结，，由题意证得∥，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：，，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角的余弦值为．试题解析：（1）取中点，连结，．因为为的中点，所以,,由得，又所以．四边形为平行四边形，．又，，故（2）由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则则，，，，,则因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABC D的法向量，所以，即（x-1）2+y2-z2=0又M在棱PC上,设由①，②得所以M，从而设是平面ABM的法向量，则所以可取.于是因此二面角M-AB-D的余弦值为点睛:（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有|cosθ|＝|cos<m，n>|=．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．8．如图，在四棱锥P?ABCD中，AB//CD，且.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A?PB?C的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【详解】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．由于AB//CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD．又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2）在平面内作，垂足为，由（1）可知，平面，故，可得平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）及已知可得，，，.所以，，，.设是平面的法向量，则即可取.设是平面的法向量，则即可取.则，所以二面角的余弦值为.【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.9．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用长方体的性质，可以知道侧面，利用线面垂直的性质可以证明出，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出平面；（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，，求出相应点的坐标，利用，可以求出之间的关系，分别求出平面、平面的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角的正弦值.【详解】证明（1）因为是长方体，所以侧面，而平面，所以又，，平面，因此平面；（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，，因为，所以，所以，，设是平面的法向量，所以，设是平面的法向量，所以，二面角的余弦值的绝对值为，所以二面角的正弦值为.【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.10．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面；（2）由（1）可知，，由平面知识可知，，由相似比可求出，再根据四棱锥的体积公式即可求出．【详解】（1）因为底面，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．（2）[方法一]：相似三角形法由（1）可知．于是，故．因为，所以，即．故四棱锥的体积．[方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法?由（2）知,所以．建立如图所示的平面直角坐标系，设．因为，所以，，，．从而．所以，即．下同方法一.[方法三]【最优解】：空间直角坐标系法?建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以，，，，．所以，，．所以．所以，即．下同方法一.[方法四]：空间向量法?由，得．所以．即．又底面，在平面内，因此，所以．所以，由于四边形是矩形，根据数量积的几何意义，得，即．所以，即．下同方法一.【整体点评】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解；方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长.11．如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN ，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1 AMN所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由分别为，的中点，，根据条件可得，可证，要证平面平面，只需证明平面即可；（2）连接，先求证四边形是平行四边形，根据几何关系求得，在截取，由（1）平面，可得为与平面所成角，即可求得答案.【详解】（1）分别为，的中点，，又，，在中，为中点，则，又侧面为矩形，，，，由，平面，平面，又，且平面，平面，平面，又平面，且平面平面，，又平面，平面，平面，平面平面.(2)[方法一]：几何法如图，过O作的平行线分别交于点，联结，由于平面，平面，，平面，面，所以平面平面．又因平面平面，平面平面，所以．因为，，，所以面．又因，所以面，所以与平面所成的角为．令，则，由于O为的中心，故．在中，，由勾股定理得．所以．由于，直线与平面所成角的正弦值也为．[方法二]【最优解】：几何法因为平面，平面平面，所以．因为，所以四边形为平行四边形．由（Ⅰ）知平面，则为平面的垂线．所以在平面的射影为．从而与所成角的正弦值即为所求．在梯形中，设，过E 作，垂足为G，则．在直角三角形中，．[方法三]：向量法由（Ⅰ）知，平面，则为平面的法向量．因为平面，平面，且平面平面，所以．由（Ⅰ）知，即四边形为平行四边形，则．因为O为正的中心，故．由面面平行的性质得，所以四边形为等腰梯形．由P，N为等腰梯形两底的中点，得，则．设直线与平面所成角为，，则．所以直线与平面所成角的正弦值．[方法四]：基底法不妨设，则在直角中，．以向量为基底，从而，，．，，则，．所以．由（Ⅰ）知平面，所以向量为平面的法向量．设直线与平面所成角，则．故直线与平面所成角的正弦值为．【整体点评】(2)方法一：几何法的核心在于找到线面角，本题中利用平行关系进行等价转化是解决问题的关键；方法二：等价转化是解决问题的关键，构造直角三角形是求解角度的正弦值的基本方法；方法三：利用向量法的核心是找到平面的法向量和直线的方向向量，然后利用向量法求解即可；方法四：基底法是立体几何的重要思想，它是平面向量基本定理的延伸，其关键之处在于找到平面的法向量和直线的方向向量.12．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．【答案】（1）见详解；（2）18【解析】【分析】（1）先由长方体得，平面，得到，再由，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）先设长方体侧棱长为，根据题中条件求出；再取中点，连结，证明平面，根据四棱锥的体积公式，即可求出结果.【详解】（1）因为在长方体中，平面；平面，所以，又，，且平面，平面，所以平面；?（2）设长方体侧棱长为，则，由（1）可得；所以，即，又，所以，即，解得；取中点，连结，因为，则；所以平面，所以四棱锥的体积为.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，依据四棱锥的体积，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.13．如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．（1）证明：点在平面内；（2）若，，，求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）方法一:连接、，证明出四边形为平行四边形，进而可证得点在平面内；（2）方法一：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出二面角的余弦值，进而可求得二面角的正弦值.【详解】（1）［方法一］【最优解】：利用平面基本事实的推论在棱上取点，使得，连接、、、，如图1所示.在长方体中，，所以四边形为平行四边形，则，而，所以，所以四边形为平行四边形，即有，同理可证四边形为平行四边形，，，因此点在平面内.［方法二］：空间向量共线定理以分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图2所示．设，则．所以．故．所以，点在平面内．［方法三］：平面向量基本定理同方法二建系，并得，所以．故．所以点在平面内．［方法四］：根据题意，如图3，设．在平面内，因为，所以．延长交于G，平面，平面．，所以平面平面①．延长交于H，同理平面平面②．由①②得，平面平面．连接，根据相似三角形知识可得．在中，．同理，在中，．如图4，在中，．所以，即G，，H三点共线．因为平面，所以平面，得证．［方法五］：如图5，连接，则四边形为平行四边形，设与相交于点O，则O 为的中点．联结，由长方体知识知，体对角线交于一点，且为它们的中点，即，则经过点O，故点在平面内．（2）［方法一］【最优解】：坐标法以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如图2.则、、、，，，，，设平面的一个法向量为，由，得取，得，则，设平面的一个法向量为，由，得，取，得，，则，，设二面角的平面角为，则，.因此，二面角的正弦值为.［方法二］：定义法在中，，即，所以．在中，，如图6，设的中点分别为M，N，连接，则，所以为二面角的平面角．?在中，．所以，则．［方法三］：向量法由题意得，由于，所以．如图7，在平面内作，垂足为G，则与的夹角即为二面角的大小．由，得．其中，，解得，．所以二面角的正弦值．［方法四］：三面角公式由题易得，．所以．．．设为二面角的平面角，由二面角的三个面角公式，得，所以．【整体点评】（1）方法一：通过证明直线，根据平面的基本事实二的推论即可证出，思路直接，简单明了，是通性通法，也是最优解；方法二：利用空间向量基本定理证明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事实三通过证明三点共线说明点在平面内；方法五：利用平面的基本事实以及平行四边形的对角线和长方体的体对角线互相平分即可证出．（2）方法一：利用建立空间直角坐标系，由两个平面的法向量的夹角和二面角的关系求出；方法二：利用二面角的定义结合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的两个向量夹角和二面角的关系即可求出，为最优解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出．14．如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面平面；（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．【答案】(1)见解析.(2)1.【解析】【详解】分析：(1)首先根据题的条件，可以得到=90，即，再结合已知条件BA⊥AD，利用线面垂直的判定定理证得AB⊥平面ACD，又因为AB平面ABC，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD⊥平面ABC；(2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积.详解：（1）由已知可得，=90°，．又BA⊥AD，且，所以AB⊥平面ACD．又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．（2）由已知可得，DC =CM=AB=3，DA=．又，所以．作QE⊥AC，垂足为E，则．由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE =1．因此，三棱锥的体积为．点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可.15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求证：平面.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【解析】【分析】（1）欲证，只需证明即可；（2）先证平面，再证平面平面；（3）取中点，连接，证明，则平面.【详解】（Ⅰ）∵，且为的中点，∴.∵底面为矩形，∴，∴；（Ⅱ）∵底面为矩形，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴.又，，、平面，平面，∵平面，∴平面平面；（Ⅲ）如图，取中点，连接.∵分别为和的中点，∴，且.∵四边形为矩形，且为的中点，∴，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面.【点睛】证明面面关系的核心是证明线面关系，证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的方法：（1）线面平行的性质定理；（2）三角形中位线法；（3）平行四边形法.证明线线垂直的常用方法：（1）等腰三角形三线合一；（2）勾股定理逆定理；（3）线面垂直的性质定理；（4）菱形对角线互相垂直.16．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P?ABC的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知可得，进而有≌，可得，即，从而证得平面，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线和底面半径的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形边长，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出结论.【详解】（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面，在上，，是圆内接正三角形，，≌，，即，平面平面，平面平面；（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，，解得，，在等腰直角三角形中，，在中，，三棱锥的体积为.?【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.17．如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【解析】【详解】分析：（1）先证,再证，进而完成证明．（2）判断出P为AM中点，，证明MC∥OP，然后进行证明即可．详解：（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M为上异于C，D 的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP．MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P为AM中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题．18．四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面,（1）证明：直线平面;（2）若△面积为，求四棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】【分析】试题分析：证明线面平有两种思路，一是寻求线线平行，二是寻求面面平行；取中点，由于平面为等边三角形，则，利用面面垂直的性质定理可推出底面ABCD，设，表示相关的长度，利用的面积为，求出四棱锥的体积.试题解析：（1）在平面内，因为,所以又平面平面故平面（2）取的中点，连接由及得四边形为正方形，则.因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，所以底面因为底面，所以,设，则，取的中点，连接，则,所以，因为的面积为，所以，解得（舍去），于是所以四棱锥的体积【详解】19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）.【解析】【分析】（I）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果；（II）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果；（III）利用线面角的平面角的定义得到为直线与平面所成的角，放在直角三角形中求得结果.【详解】（I）证明：连接，易知，，又由，故，又因为平面，。
点线面位置关系(知识点加典型例题)(K12教育文档)
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2。
1空间中点、直线、平面之间的位置关系2。
1空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点重点：空间直线、平面的位置关系.难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言)的转换 2、三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为A ∈LB ∈L =〉 L α ,A ∈α ，B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用:确定一个平面的依据。
推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面（3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号表示为:P ∈α∩β =〉α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 (4)公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行LA·α C·B·A· αP· αLβ等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤9002。
8.2点线面的位置关系-高考数学历年(十年)真题题型归纳+模拟预测(原卷版)
第八章立体几何与空间向量8.2 点线面的位置关系立体几何问题既是高考的必考点，也是考查的难点，其在高考中的命题形式较为稳定，保持“一小一大”或“两小一大”的格局．多以选择题或者填空题的形式考查空间内点线面的关系为主，空间几何体的体积或表面积的计算.题型一.点线面的位置关系1．（2016•浙江）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（）A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 2．（2015•福建）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（2019•新课标Ⅲ）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线4．（2017•新课标Ⅲ）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．5．（2017•新课标Ⅲ）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC 6．（2021•浙江）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（）A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCDB．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCDD．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1题型二.证明平行1．（2016•新课标Ⅲ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．（Ⅲ）证明：MN∥平面P AB；（Ⅲ）求四面体N﹣BCM的体积．2．（2013•新课标Ⅲ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点（Ⅲ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅲ）AA1＝AC＝CB＝2，AB=2√2，求三棱锥C﹣A1DE的体积．3．（2014•安徽）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2√17，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．（Ⅲ）证明：GH∥EF；（Ⅲ）若EB＝2，求四边形GEFH的面积．4．（2011•安徽）如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形（Ⅲ）证明直线BC∥EF；（Ⅲ）求棱锥F﹣OBED的体积．题型三.证明垂直1．（2020•新课标Ⅲ）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．证明：（1）当AB＝BC时，EF⊥AC；（2）点C1在平面AEF内．2．（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的四边形ACGD的面积．3．（2019•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E 为CD的中点．（Ⅲ）求证：BD⊥平面P AC；（Ⅲ）若∠ABC＝60°，求证：平面P AB⊥平面P AE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面P AE？说明理由．̂所在平面垂直，M是CD̂上异于4．（2018•新课标Ⅲ）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CDC，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．5．（2021•乙卷）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM，证明：平面P AM⊥平面PBD．6．（2021•甲卷）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1，已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE．一．选择题（共4小题）1．已知α，β是两个不同的平面，直线m ⊂α，下列命题中正确的是（ ）A ．若α⊥β，则m ∥βB ．若α⊥β，则m ⊥βC ．若m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥β，则α⊥β2．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q 分别为A 1D 1，D 1C 1的中点，在平面ABCD 中，过AB 的中点M 作平面DPQ 的平行线交直线BC 于N ，则BN BC 的值为（ ）A ．13B ．12C ．1D ．233．已知直线l ⊄平面α，直线m ⊂平面α，给出下面四个结论：①若l 与m 不垂直，则l 与α一定不垂直；②若l 与m 所成的角为30°，则l 与α所成的角也为30°；③l ∥m 是l ∥α的必要不充分条件；④若l 与α相交，则l 与m 一定是异面直线．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P ，Q 分别是线段AD 1和B 1C 上的动点，且满足AP ＝B 1Q ，则下列命题错误的是（ ）A ．存在P ，Q 的某一位置，使AB ∥PQB ．△BPQ 的面积为定值C ．当P A ＞0时，直线PB 1与AQ 是异面直线D ．无论P ，Q 运动到任何位置，均有BC ⊥PQ二．多选题（共2小题）5．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别为棱A 1D 1，D 1D ，A 1B 1的中点．则下列结论正确的是（ ）A ．AC 1⊥EGB ．GC ∥EDC ．B 1F ⊥平面BGC 1D ．EF 和BB 1所成角为π46．一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中下列结论正确的是（ ）A．AB⊥EF B．AB与CM所成的角为60°C．MN∥CD D．EF与MN所成的角为60°三．解答题（共5小题）7．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ADD1⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且∠ADC=π2，AB∥CD．点E为棱D1D上的一点（异于点D1）．（1）求证：C1D1∥平面ABE；（2）求证：平面ABE⊥平面A1ADD1．8．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB＝2AA1，M是AB的中点，N是BC的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上的一点．（1）求证：M，N，A1，C1四点共面；（2）若DE∥平面A1MC1，求CEEB；（3）求直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值．9．在直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，D为AC的中点，以BD为折痕将△ABD折起，使点A到达点P的位置且PB⊥CD．（1）求证：PD⊥CD；（2）求A点到平面PBC的距离．10．如图，四棱锥E﹣ABCD，平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD为矩形，AD＝6，AB ＝5，BE＝3，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；（2）设M在线段DE上，且满足EM＝2MD，试在线段AB上确定一点N，使得MN∥平面BCE，并求MN的长。
高一数学点线面的位置关系试题
高一数学点线面的位置关系试题1.若，是异面直线，直线∥，则与的位置关系是（）A．相交B．异面C．异面或相交D．平行【答案】C【解析】空间中直线与直线有三种位置关系：相交，平行，异面；当直线与直线在同一个平面内，则相交，不在任何一个平面内，则是异面直线；要是，由平行公理得，这与为异面直线相矛盾，故位置关系是相交或异面.【考点】空间中直线和直线的位置关系.2.若、、是互不相同的直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若∥，，，则∥B．若，则C．若，∥，则D．若，则∥【答案】C【解析】对于，直线可能平行，可能异面；对于没有说明直线垂直交线；对于由平面与平面垂直的性质得正确；对于，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、异面.【考点】空间中点、线、面的位置关系.3.如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱中，，，，，点是的中点.（1）求证：；（2）求证：（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明：在中，由勾股定理得为直角三角形，即．又面，，，面，；（2）证明：设交于点，则为的中点，连接，则为的中位线，则在中，∥，又面，则∥面；(3).【解析】（1）由勾股定理得，由面得到，从而得到面，故；（2）连接交于点，则为的中位线，得到∥，从而得到∥面；（3）过作垂足为，面，面积法求，求出三角形的面积，代入体积公式进行运算.试题解析：（1）证明：在中，由勾股定理得为直角三角形，即．又面，，，面，.（2）证明：设交于点，则为的中点，连接，则为的中位线，则在中，∥，又面，则∥面．（3）在中过作垂足为，由面⊥面知，面，．而，，.【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．4.已知m,n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m,n，则m n B．若C．若D．若【答案】D【解析】A选项中m,n可以相交；B选项中可能相交，不同于平面中的垂直于同一直线的两直线平行；C选项中m有可能与的相交线平行，同时也与平行，但平面不平行；综合选D.【考点】直线与平面的位置关系.5.已知在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=4，EF AB，则EF与CD所成的角为（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】设为的中点，连接，由三角形中位线定理可得，则即为与所成的角，结合，在中，利用三角函数即可得到答案．【考点】异面直线及其所成的角．三角形中位线定理.6.下列命题中正确的是（）A．空间三点可以确定一个平面B．三角形一定是平面图形C．若既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合.D．四条边都相等的四边形是平面图形【答案】B【解析】对于A，当三个点在同一直线上时，不能确定一个平面，故A不正确；对于B，三角形三条直线两两相交，有不共线的三点，因此一定是平面图形，故B正确；对于C，当在一条直线上时，平面和平面也可能相交，故C不正确；对于D，当四边形的对边所在直线是异面直线时，四边形不是平面图形，故D不正确，故选B．【考点】平面的基本性质．7.已知△中，，，平面，，、分别是、上的动点，且．（1）求证：不论为何值，总有平面平面；（2）当为何值时，平面平面？【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）通过证明⊥平面，说明平面平面；（2）将平面平面作为条件，利用三角形关系求解．试题解析：（1）∵⊥平面，∴⊥．∵⊥且，∴⊥平面，又∵，∴不论为何值，恒有，∴⊥平面．又平面，∴不论为何值，总有平面⊥平面．（2）由（1）知，⊥，又平面⊥平面，∴⊥平面，∴⊥．∵，，，∴，，∴，由，得，∴，故当时，平面平面．【考点】两平面的位置关系的证明．8.下列四个结论：⑴两条不同的直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行.⑵两条不同的直线没有公共点，则这两条直线平行.⑶两条不同直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行.⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行.其中正确的个数为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】两条不同的直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行、相交或异面的位置关系.所以（1）不正确；两条不同的直线没有公共点，则这两条直线平行，或异面，所以（2）不正确；两条不同直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行、相交或异面，所以（3）不正确；一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行或直线在平面内，所以（4）不正确.故选A.【考点】1.直线与平面的位置关系.2.直线与直线的位置关系.3.相关的判断定理.9.在正四面体（所有棱长都相等）中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．平面平面B．平面C．平面平面D．平面平面【答案】C【解析】由AF⊥BC，PE⊥BC，可得BC⊥平面PAE，而DF//BC，所以，DF⊥平面PAE,故A正确．若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE，故DF⊥平面PAE，故B正确．由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确．故选C．【考点】正四面体的几何特征，平行、垂直关系。
点线面位置关系知识点梳理及例题带解析
【知识梳理】（1）四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面它给出了确定一个平面的依据。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。
符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈I 且。
公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。
符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。
（2）空间中直线与直线之间的位置关系1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。
（易知：夹角范围090θ<≤︒）定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
（注意：会画两个角互补的图形）2.位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：//l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩I 直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点（4）空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ⎧⎨=⎩I 两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线直线、平面平行的判定及其性质 1.内容归纳总结直线、平面平垂直的判定及其性质 1.内容归纳总结 （一）基本概念1.直线与平面垂直：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α垂直，记作l α⊥。
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点线面位置关系典型例题一，直线与平面平行的判定与性质典型例题一例1简述下列问题的结论，并画图说明：（1）直线a平面，直线b a A,则b和的位置关系如何?（2）直线a，直线b//a，则直线b和的位置关系如何？分析：（1）由图（1）可知：b 或b A；说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法. 典型例题二例2 P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC//平面BDQ .分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了.证明：如图所示，连结AC ,交BD于点0 ,•.•四边形ABCD是平行四边形AO CO，连结0Q，则0Q在平面BDQ0Q是APC的中位线，PC // 0Q•/ PC在平面BDQ外,... PC//平面BDQ .说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论•这一个证明线面平行的步骤可以总结为：过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行.典型例题三例3经过两条异面直线a, b之外的一点P，可以作几个平面都与a, b平行？并证明你的结论.分析：可考虑P点的不同位置分两种情况讨论.解：（1）当P点所在位置使得a, P （或b, P ）本身确定的平面平行于b （或a）时，过P 点再作不出与a, b都平行的平面；（2）当P点所在位置a, P （或b , P ）本身确定的平面与b （或a）不平行时，可过点P 作alia , b //b •由于a, b异面，则a , b不重合且相交于P •由于a b P, a , b 确定的平面，则由线面平行判定定理知：a//, b//•可作一个平面都与a, b平行.故应作“ 0个或1个”平面.说明：本题解答容易忽视对P点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论•可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论.典型例题四例4平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另已知：直线a//b , a//平面，b求证：b// •证明：如图所示，过a及平面内一点A作平面••/ a//a//c又all b ,:.b//c .• b , c , ：.b// .说明：根据判定定理，只要在内找一条直线c//b ，根据条件a// ，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过 a 作平面 与 相交，我们常把平面 称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化.和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如， 本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的.典型例题五例5已知四面体S ABC 的所有棱长均为a •求:(1)异面直线SC 、AB 的公垂线段EF 及EF 的长; (2)异面直线EF 和SA 所成的角.分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线SC 、AB的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可 采取平移构造法求解.解: (1)如图，分别取 sc 、AB 的中点E 、F ,连结SF 、CF .•: SF CF , E 是SC 的中点,：.EF SC 同理可证EF AB：.EF 是SC 、AB 的公垂线段.由已知，得SAB B CABE占GEF 45 .故异面直线EF 和SA 所成的角为45 说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来, 然后再求值.典型例题六例6如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在 这个平面内. 已知：直线 a// , B , B b , b//a .求证：b .分析：由于过点 B 与a 平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面 夕卜，不 存在过B 与a 平行的直线，这是否定性命题，所以使用反证法.SF在Rt SEF 中，SE.• EF SF 2 SE 23 2 1 2 _a - a4 4(2)取AC 的中点G ,连结EG ,则EG//SA ..EF 和GE 所成的锐角或直角就是异面直线EF 和SA 所成的角.1 EG -a GF 连结FG ,在Rt EFG 中，2 ,由余弦定理，得1aEFcos GEFEG 2 EF 2 GF 2 2 EG EF证明：如图所示，设b ，过直线a和点B作平面，且•/ all b //这样过B点就有两条直线b和b'同时平行于直线a,与平行公理矛盾.••• b必在内.说明：(1)本例的结论可以直接作为证明问题的依据.(2)本例还可以用同一法来证明，只要改变一下叙述方式.I如上图，过直线a及点B作平面，设b.•.• a//, • b'〃.这样，b'与b都是过B点平行于a的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条,• b 与b'重合.••• b' ,.•• b典型例题七例7下列命题正确的个数是( ).(1)若直线I上有无数个点不在平面内，则I 〃；(2)若直线1平行于平面内的无数条直线，则1〃；(3)若直线I与平面平行，则I与平面内的任一直线平行；⑷若直线1在平面夕卜，则1〃 .A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个分析：本题考查的是空间直线与平面的位置关系•对三种位置关系定义的准确理解是解本题的关键•要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的个数来分类，还可以按照直线是否在平面内来分类.解：(1)直线1上有无数个点不在平面内，并没有说明是所在点都不在平面内，因而直线可能与平面平行亦有可能与直线相交.解题时要注意“无数”并非“所有”.⑵直线I虽与内无数条直线平行，但 I 有可能在平面 内，所以直线I 不一定平行 平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到•当 在平面 内，除了与 m 平行的直线以外的每一条直线与 I 都是异面直线.（4）直线I 在平面 外，应包括两种情况：I 〃 和I 与 相交，所以I 与 不一定平行. 故选A .说明：如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系，解题时更要注意分类要完整，考虑要全面•如直线I 、m 都平行于 ，则I 与m 的位置关系可能平行，可能相交也有可能异面； 再如直线I //m 、I// ，则m 与 的位置关系可能是平行，可能是 m 在 内. 典型例题八例8如图，求证：两条平行线中的一条和已知平面相交，则另一条也与该平面相交. 已知：直线a//b ,a平面 P .求证：直线b 与平面 相交.分析：利用a//b 转化为平面问题来解决，由 a//b 可确定一辅助平面，这样可以把题中相关元素集中使用，既创造了新的线面关系，又将三维降至二维，使得平几知识能够运用. 解：a//b••• a 和b 可确定平面…a P• ?•平面 和平面相交于过点P 的直线I .•在平面 内I 与两条平行直线a 、b 中一条直线a 相交， • I 必定与直线b 也相交，不妨设b I Q ,又因为b 不在平面 内（若b 在平面 内，则 和 都过相交直线b 和I ，因此 与 重合，a 在 内，和已知矛盾） 所以直线b 和平面相交.说明：证明直线和平面相交的常用方法有：证明直线和平面只有一个公共点；否定直线在平 面内以及直线和平面平行；用此结论：一条直线如果经过平面内一点，又经过平面外一点， 则此直线必与平面相交（此结论可用反证法证明）典型例题九 例9如图，求证：经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行. 已知：a 与b 是异面直线•求证：过 b 且与a 平行的平面有且只有一个.（3）这是初学直线与 I// 时，若m 且m//l ，则分析：本题考查存在性与唯一性命题的证明方法•解题时要理解“有且只有”的含义. “有”就是要证明过直线b存在一个平面，且a〃, “只有”就是要证满足这样条件的平面是唯一的.存在性常用构造法找出（或作出）平面，唯一性常借助于反证法或其它唯一性的结论.证明：（1）在直线b上任取一点A，由点A和直线a可确定平面在平面内过点A作直线a'，使a'//a，则a'和b为两相交直线，I所以过a和b可确定一平面.••• b, a与b为异面直线，a .I I又a//a , a ,.a// .故经过b存在一个平面与a平行.（2）如果平面也是经过b且与a平行的另一个平面，由上面的推导过程可知也是经过相交直线b和a'的.由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可知，平面与重合，即满足条件的平面是唯一的.说明：对于两异面直线a和b，过b存在一平面且与a平行，同样过a也存在一平面且与b平行•而且这两个平面也是平行的（以后可证）•对于异面直线a和b的距离，也可转化证明：在平面 内取点P ，使P \，过P 和直线a 作平面交于b .•/ all , aallb同理过a 作平面...a|| , aallc -bllc• bll又.b ,blll又all b ,alll为直线a 到平面 的距离，这也是求异面直线的距离的一种方法. 典型例题十例10如图，求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行. 分析：本题考查综合运用线面平行的判定定理和性质定理的能力.利用线面平行的性质定理， 可以先证明直线a 分别和两平面的某些直线平行，即线面平行可得线线平行.然后再用线面平行的判定定理和性质定理来证明 a与1平行.另证：如图，在直线I 上取点M , 过M 点和直线a 作平面和相交于直线11，和 相交于直线12 .已知:1, all , a// ，求证：all\... a// a〃h ,--a// - a//12. ，… ,但过一点只能作一条直线与另一直线平行.• ••直线l1和l2重合.又. l1 , l2 ,•直线11、12都重合于直线1,a//l .说明：“线线平行”与“线面平行”在一定条件下是可以相互转化的，这种转化的思想在立体几何中非常重要.典型例题十一例11正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各取一点P、Q,且AP DQ •求证：PQ//面BCE .分析：要证线面平行，可以根据判定定理，转化为证明线线平行•关键是在平面BCE中如何找一直线与PQ平行.可考察过PQ的平面与平面BCE的交线，这样的平面位置不同，所找的交线也不同. 证明一：如图，在平面ABEF内过P作PM 〃AB交BE于M ,在平面ABCD内过Q作QN//AB交BC于N，连结MN .EPM PE•/PM//AB AB AE又QN // AB // CD ,QN BQ QN BQDC BD，即AB BD .•正方形ABEF与ABCD有公共边AB ,AE DB ...AP DQ . PE BQ• ，…... PM QN .又• PM //AB , QN //AB ,... PM //QN ....四边形PQNM为平行四边形.PQ//MN又• MN 面BCE ,PQ//面BCE .证明二：如图，连结AQ并延长交BC于S，连结ES .AQ DQ•- BS//AD - QS QB* ? ■■ •又••正方形ABEF与正方形ABCD有公共边AB , AE DB ,AP DQ... PE QBAP DQ AQPE QB QS .PQ//ES.ES面BEC ,PQ〃面BEC .说明：从本题中我们可以看出，证线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定•此题中我们可以把“两个有公共边的正方形”这一条件改为“两个全等的矩形”，那么题中的结论是否仍然成立？典型例题十二例12三个平面两两相交于三条交线，证明这三条交线或平行、或相交于一点.已知:求证：a、b、c互相平仃或相交于一点.分析：本题考查的是空间三直线的位置关系，我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系入手, 根据共面的两条直线平行或相交来推论三条交线的位置关系.证明:••• a与b平行或相交.又c, a a//ca//b//c.又••• a又•••a、b、c交于同一点O.说明：这一结论常用于求一个几何体的截面与各面交线问题, 如正方体ABCD 中,M、N分别是CCi、AiBi的中点，画出点D、M、N的平面与正方体各面的交线，并说明截面多边形是几边形?典型例题十三例13已知空间四边形ABCD , AB AC , AE是ABC的BC边上的高, DF 是BCD 的BC边上的中线，求证: AE和DF是异面直线.证法一：（定理法）如图证法二：(反证法) 若 AE 和 DF 不是异面直线，则 AE 和 DF 共面，设过 AE 、 DF 的平面为⑴若E 、F 重合，则E 是BC 的中点，这与题设AB AC 相矛盾.(2) 若 E 、 F 不重合， •/ B EF , C EF , EFBC..AD• , ,••• A 、B 、C 、D 四点共面，这与题设 ABCD 是空间四边形相矛盾.综上，假设不成立． 故 AE 和 DF 是异面直线．说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用． 首先看一个有趣的实际问题：“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？” 对于这个问题，同学们可试验做一做．也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的．那么你怎样才能清 楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？ 用反证法可以轻易地解决这个问题．假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则 单数之和仍为单数，与 36 这个双数矛盾．只须两句话就解决了这个问题． 典型例题十四例14已知AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段， E 、F 、G 分别是AB 、CD 的中点，求证：平面EFG 和AC 平行，也和BD 平行.分析：欲证明 AC // 平面 EFG ，根据直线和平面平等的判定定理只须证明 内的一条直线，由图可知，只须证明 AC// EF ．DF AE DFAE 和DF 是异面直线.9个BC 、AC 平行平面 EFG证明：如图，连结AE、EG、EF、GF 在ABC中，E、F分别是AB、BC的中点..• AC//EF •于是AC // 平面EFG同理可证，BD II平面EFG .说明：到目前为止，判定直线和平面平行有以下两种方法：（1）根据直线和平面平行定义；（2）根据直线和平面平行的判定定理.典型例题十五例15已知空间四边形ABCD , P、Q分别是ABC和BCD的重心，求证：PQ〃平面ACD .分析：欲证线面平行，须证线线平行，即要证明PQ与平面ACD中的某条直线平行，根据条件，此直线为AD，如图.证明：取BC的中点E .P是ABC的重心，连结AE ,则AE：PE 3：1，连结DE ,•/ Q为BCD的重心，.DE ：QE 3： 1•••在AED 中, PQ II AD又AD 平面ACD , PQ 平面ACD ,... PQ// 平面ACD .说明：(1)本例中构造直线AD与PQ平行，是充分借助于题目的条件：P、Q分别是ABC和BCD的重心，借助于比例的性质证明PQ//AD，该种方法经常使用，望注意把握.(2) “欲证线面平行，只须证线线平行”.判定定理给我们提供了一种证明线面平等的方法. 根据问题具体情况要熟练运用.典型例题十六例16正方体ABCD A1B1C1D1中，E、G分别是BC、Cl D1的中点如下图.求证：EG//平面BB1D1D分析：要证明EG//平面BBQQ，根据线面平等的判定定理，需要在平面BBDD内找到与EG平行的直线，要充分借助于E、G为中点这一条件.证明：取BD的中点F ,连结EF、D1F.E为BC的中点，1EF -CDEF为BCD的中位线，则EF // DC，且2 .G为GD的中点，1 D1G —CD... D1G//CD 且12,... EF//DG 且EF D1G•••四边形EFDG为平行四边形,... EG //平面 BDD i B i典型例题十七解：根据直线和平面平行定义，易知排除 A 、B.对于C ,无数条直线可能是一组平行线，也 可能是共点线，.C 也不正确，应排除 C. 与平面 内任意一条直线都不相交，才能保证直线 a与平面 平行，D 正确..应选D.说明：本题主要考查直线与平面平行的定义. 典型例题十八例18分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ）.A. —定平行B . —定相交解：如图中的甲图，分别与异面直线a 、b 平行的两条直线 C 、d 是相交关系;如图中的乙图，分别与异面直线 a 、b 平行的两条直线C 、d 是相交关系. 综上，可知应选 D.说明：本题主要考查有关平面、线面平行等基础知识以及空间想象能力. 典型例题十九例19 a 、b 是两条异面直线，下列结论正确的是（）. A .过不在a 、b 上的任一点，可作一个平面与 a、b 平行B. 过不在a 、b 上的任一点，可作一个直线与 a 、b 相交 C.过不在a 、b 上的任一点，可作一个直线与 a 、b 都D i F //EG ，而 D i F平面 BDD 1B 1 EG 平面 BDD i B i例17如果直线a //平面 ，那么直线a 与平面内的（ )•A. —条直线不相交B .两条相交直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线都不相交平行D.过a可以并且只可以作一平面与b平行解：A错，若点与a所确定的平面与b平行时，就不能使这个平面与平行了.B错，若点与a所确定的平面与b平等时，就不能作一条直线与a，b相交.C错，假如这样的直线存在，根据公理4就可有a//b，这与a, b异面矛盾.D正确，在a上任取一点A,过A点做直线c//b,则c与a确定一个平面与b平行，这个平面是惟一的.应选D.说明：本题主要考查异面直线、线线平行、线面平行等基本概念. 典型例题二十例20 ⑴ 直线a//b, a//平面，则b与平面的位置关系是________________________ .⑵ A是两异面直线a、b外的一点，过A最多可作 ______________ 个平面同时与a、b平行. 解：(1) 当直线b在平面外时, b//；当直线b在平面内时, b.应填：b//或b .(2)因为过A点分别作a, b的平行线只能作一条，I I I I(分别称a , b)经过a , b的平面也是惟一的.所以只能作一个平面；还有不能作的可能，当这个平面经过a或b时，这个平面就不满足条件了..应填：1 .说明：考虑问题要全面,各种可能性都要想到,是解答本题的关键. 典型例题二十一例21如图，a//, A是的另一侧的点，B，C,D a，线段AB , AC, AD交于E ,F ，G ，若BD 4 ，CF 4，AF 5 ，则EG = ________________ .a//EG ,即卩 BD//EG ,EFFGAF EFFG EGAFBC CD ACBC CD BD AF FC EG 则 AF BD 5 420AF FC5 49 .20•••应填：9 .说明：本题是一道综合题，考查知识主要有：直线与平面平行性质定理、相似三角形、比例 性质等•同时也考查了综合运用知识，分析和解决问题的能力.二，面面平行的性质与判定典型例题一例1：已知正方体ABCD - A I B I C I D I 求证：平面AB I D I //平面GBD . 证明：••• ABCD - A 1B 1C 1D 1为正方体,D .A//GB故 D 1A// 平面 C 1BD • 同理 D 1 Bi //平面C 1BD 又 D 1A D 1B 1 D 1平面ABD平面 C 1BD平面AB i D i //平面C i BD说明：上述证明是根据判定定理1实现的•本题也可根据判定定理2证明，只需连接AC即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离.典型例题二a〃例2:如图，已知〃，A a , A求证：a•证明：过直线a作一平面，设b...//...a j 〃b又a〃a//b在同一个平面内过同一点A有两条直线a，ai与直线b平行.a与ai重合，即a•说明：本题也可以用反证法进行证明.典型例题三例3 :如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交.已知：如图，〃，丨A.求证：1与相交.，由于证明：在上取一点B，过1和B作平面 .与、都相交.设a, b.•- //a//b又I、a、b都在平面内，且I和a交于A .I与b相交.所以I与相交.典型例题四例4 :已知平面〃，AB, CD为夹在a,中占1八求证EF // EF //• ? .证明:连接AF并延长交于G .AG CD F且AC , AG , CD确定平面,DG .〃，所以AC//DG,ACF GDF又AFC DFG , CF DF△ ACF 也厶DFG .AF FG .又AE BE ,EF//BG BG故EF〃同理EF //说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理.典型例题六例6如图，已知矩形ABCD的四个顶点在平面上的射影分别为A、B i、C i、D i，且A、B1、C1、D1互不重合，也无三点共线. 求证：四边形A iB iC iD i是平行四边形. 证明：AAi, DDiAA i // DD i不妨设AAi和D Di确定平面. 同理BB i和CC i确定平面 .又AA）// BB i且BB i... AA i //同理AD //又AA AD A//B i CA i D iA i D i //B iC i同理A i B i //C i D i.•••四边形ABICQ是平行四边形.典型例题七例7设直线I、m，平面、，下列条件能得出〃的是（）.A. I，且l//m〃B. I m，且l〃mc. I , m，且l//m D. I// , m//，且l〃m分析：选项A是错误的，因为当l〃m时，与可能相交•选项B是错误的，理由同A.选项C是正确的，因为1, m//l，所以m ，又••• m〃•选项D也是错误的，满足条件的可能与相交.答案：C说明：此题极易选A,原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致.本例这样的选择题是常见题目要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况.典型例题八例8设平面平面，平面平面，且、分别与相交于a、b, a//b .求证：平面〃平面 . 分析：要证明两平面平行，只要设法在平面上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们证明：在平面内作直线PQ直线a,在平面内作直线MN 直线b.•••平面平面，••• PQ平面，MN平面，... PQ//MN .又a// p , PQ a Q , MN b N ,•平面〃平面 .说明：如果在、内分别作PQ, MN,这样就走了弯路，还需证明PQ、MN在、内，如果直接在、内作a、b的垂线，就可推出PQ〃M N .由面面垂直的性质推出“线面垂直”，进而推出“线线平行”、“线面平行”，最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行” •其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中非常重要.典型例题九例9如图所示，平面〃平面，点A、C ，点B、D ，AB a是、的公垂线，CD是斜线.若AC BD b, CD c , M、N分别是AB和CD的中点，⑴求证：MN // ；⑵求MN的长.分析：(1)要证MN〃，取AD的中点P,只要证明MN所在的平面PMN //•为此证明PM // ,PN//即可.⑵要求MN之长，在CMA中，CM、CN的长度易知，关键在于证明MN CD，从而由勾股定理可以求解.证明：⑴连结AD，设P是AD的中点，分别连结PM、PN .•/ M 是AB 的中点，••• PM //BD .又BD ... PM //同理••• N是CD的中点，••• PN//AC .•/ AC PN //// , PN PM P•.平面PMN // .•/ MN 平面PMN MN // .(2)分别连结MC、MD .1AM BM —a•/ AC BD b 2又AB 是、的公垂线，••• CAM DBM 90 ,Rt ACM 也Rt BDM , • CM DM ,• DMC是等腰三角形.又N是CD的中点，• MN CD •MN JCM2 CN2丄—a2 c2在Rt CMN 中， 2 •说明：(1)证“线面平行”也可以先证“面面平行”，然后利用面面平行的性质，推证“线面平行”，这是一种以退为进的解题策略.(2)空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解.⑶面面平行的性质：①面面平行，则线面平行；②面面平行，则被第三个平面所截得的交线平行. 戏线干行线面平行面面干行典型例题十例10如果平面内的两条相交直线与平面所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究.解：设a、b是平面内两条相交直线.(1)若a、b都在平面内，a、b与平面所成的角都为°，这时与重合，根据教材中规定，此种情况不予考虑.⑵若a、b都与平面相交成等角，且所成角在(°，90 )内；•••a、b与有公共点，这时与相交.若a、b都与平面成90角，贝y a〃b，与已知矛盾•此种情况不可能.(3)若a、b都与平面平行，则a、b与平面所成的角都为0, 内有两条直线与平面平行，这时〃•综上，平面、的位置关系是相交或平行.典型例题十一例11 试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．已知：A 平面，求证：过A 有且只有一个平面//．分析：“有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可．证明：在平面内任作两条相交直线a和b，则由A 知，A a , A b .点A和直线a可确定一个平面M，点A和直线b可确定一个平面N .在平面M、N内过A分别作直线a //a、b'//b，故a'、b'是两条相交直线，可确定一个平面．I I I•••a, a, a//a,•••a //.同理 b '// ．又 a ' b ' a ' b ' A • //所以过点 A 有一个平面 // ．假设过A 点还有一个平面 〃，则在平面内取一直线c , A c ,点A 、直线c 确定一个平面，由公理2知：m， n ，• m//c , n//c ,又 A m , A n , 这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾,因此假设不成立, 所以平面 只有一个．所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． 典型例题十二例12已知点S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且 SA SB SC , SG 为高，D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 内的位置关系，并 给予证明 分析1：如图，观察图形，即可判定 SG//平面DEF ，要证明结论成立，只需证明 SG 与平面DEF 内的一条直线平行.观察图形可以看出：连结 CG 与DE 相交于H ，连结FH , FH 就是适合题意的直线. 怎样证明SG//FH ?只需证明H 是CG 的中点.证法1 ：连结CG 交DE 于点H,SAB 上的••• DE是ABC的中位线,DE // AB .在ACG中，D是AC的中点，且DH // AG ,••• H为CG的中点.•/ FH 是SCG 的中位线，• FH //SG .又SG 平面DEF , FH 平面DEF ,• SG// 平面DEF .分析2：要证明SG//平面DEF，只需证明平面SAB//平面DEF，要证明平面DEF //平面SAB，只需证明SA// DF , SB// EF而SA// DF , SB// EF可由题设直接推出.证法2: EF为SBC的中位线，... EF //SB.•/ EF 平面SAB, SB 平面SAB ,EF// 平面SAB.同理：DF //平面SAB, EF DF F平面SAB//平面DEF，又:SG平面SAB••• SG// 平面DEF .典型例题十三例13如图，线段PQ分别交两个平行平面、于A、B两点，线段PD分别交、于C、D两点，线段QF分别交、于F、E两点，若PA 9，AB 12，BQ 12，ACF 的面积为72,求BDE 的面积.分析：求BDE的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知ACF的面积，若BDE与ACF的对应边有联系的话，可以利用ACF的面积求出BDE的面积.解：•••平面QAF AF，平面QAF BE ,又•••// AF // BE .同理可证：AC// BD FAC与EBD相等或互补，即sin FAC sin EBD .由FA//BE，得BE : AF QB ： QA 12 : 24 1：2 ,1BE -AF2BD - AC由BD // AC，得：AC： BD PA： PB 9： 21 3：7 ,•. 3 .1AF AC sin FAC 72又ACF的面积为72,即2 .1S DBE BE BD sin EBD21 1 7AF —AC sin FAC2 2 37 1AF AC sin FAC62772 846BDE的面积为84平方单位.说明：应用两个平行的性质一是可以证明直线与直线的平行，二是可以解决线面平行的问题•注意使用性质定理证明线线平行时，一定第三个平面与两个平行平面相交，其交线互相平行.典型例题十四例14在棱长为a的正方体中，求异面直线BD和B i C之间的距离.分析：通过前面的学习，我们解决了如下的问题：若a和b是两条异面直线，则过a且平行于b的平面必平行于过b且平行于a的平面.我们知道，空间两条异面直线，总分别存在于两个平行平面内•因此，求两条异面直线的距离，有时可以通过求这两个平行平面之间的距离来解决.具体解法可按如下几步来求：①分别经过BD和B J C找到两个互相平等的平面；②作出两个平行平面的公垂线；③计算公垂线夹在两个平等平面间的长度.解：如图，根据正方体的性质，易证:AB//DQ 平面AB"平面CB1D1连结AC1，分别交平面A1B D和平面CBP于M和N因为CC1和AC1分别是平面ABCD的垂线和斜线，AC在平面ABCD内，AC BD 由三垂线定理：A C1 BD，同理：AG A1DAC1平面A1BD，同理可证：AC1平面CB1D1...平面ABD和平面CB F D1间的距离为线段MN长度.如图所示：在对角面AC1中，Ol为AlCl的中点，°为AC的中点AM MN NC1- AC1—a3 3.3 a ••• BD和B I C的距离等于两平行平面A i BD和CB i D i的距离为3说明：关于异面直线之间的距离的计算，有两种基本的转移方法：①转化为线面距.设。