高中数学选修2-2 定积分的简单应用

[学习目标] 1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法.3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用，会求变速直线运动的路程和变力做功的问题.

知识点一 定积分在求几何图形面积方面的应用

1.求由一条曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )及y ＝0所围成的平面图形的面积S . (1)如图①，f (x )＞0，⎠⎛a b f (x )d x ＞0，所以S ＝⎠⎛a

b f (x )d x .

(2)如图②，f (x )＜0，⎠⎛a

b f (x )d x ＜0，所以S ＝⎪⎪⎪

⎪⎠

⎛a

b f (x )d x

＝－⎠⎛a

b f (x )d x .

(3)如图③，当a ≤x ≤c 时，f (x )≤0，⎠⎛a c f (x )d x ＜0；当c ≤x ≤b 时，f (x )≥0，⎠⎛a

b f (x )d x ＞0.所以

S ＝⎪⎪⎪⎪⎠

⎛a

c f (x )

d x

＋⎠⎛c

b f (x )d x ＝－⎠⎛a

c f (x )

d x ＋⎠

⎛c

b f (x )d x .

2.求由两条曲线f (x )和g (x )(f (x )＞g (x ))，直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )所围成平面图形的面积S . (1)如图④，当f (x )＞g (x )≥0时，S ＝⎠⎛a

b [f (x )－g (x )]d x .

(2)如图⑤，当f (x )＞0，g (x )＜0时，S ＝⎠⎛a

b f (x )d x ＋⎪⎪⎪⎪⎠

⎛a

b g (x )d x

＝⎠

⎛a

b [f (x )－g (x )]d x .

3.当g (x )＜f (x )≤0时，同理得S ＝⎠⎛a

b [f (x )－g (x )]d x .思考 (1)怎样利用定积分求不分割型图形的面积？ (2)当f (x )<0时，f (x )与x 轴所围图形的面积怎样表示？

答案 (1)求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可.

(2)如图，因为曲边梯形上边界函数为g (x )＝0，下边界函数为f (x )，所以 S ＝⎠⎛a b (0－f (x ))d x ＝－⎠⎛a

b f (x )d x .

4.利用定积分求平面图形面积的步骤：

(1)画出图形：在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；

(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标(或纵坐标)，确定积分上、下限； (3)确定被积函数；

(4)写出平面图形面积的定积分表达式；

(5)利用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积，写出答案. 知识点二 定积分在物理中的应用 1.在变速直线运动中求路程、位移

路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程s 和位移s ′分别为： (1)若v (t )≥0，则s ＝⎠⎛a b v (t )d t ，s ′＝⎠⎛a

b v (t )d t .

(2)若v (t )≤0，则s ＝－⎠⎛a b v (t )d t ，s ′＝⎠⎛a

b v (t )d t .

(3)若在区间[a ，c ]上v (t )≥0，在区间[c ，b ]上v (t )<0， 则s ＝⎠⎛a c v (t )d t －⎠⎛c b v (t )d t ，s ′＝⎠⎛a

b v (t )d t .

2.定积分在物理中的应用

(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝⎠⎛a

b v (t )d t .

(2)一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s (单位：m)，则力F 所做的功为W ＝Fs ；而若是变力所做的功W ，等于其力函数F (x )在位移区间[a ，b ]上的定积分，即W ＝⎠⎛a

b F (x )d x .

思考 下列判断正确的是 .

(1)路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念； (2)利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子⎠⎛t 1t 2v (t )d t ；

(3)利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子⎠⎛t 1t 2v (t )d t .

答案 (1)(3)

解析 (1)显然正确.对于(2)(3)两个判断，由于当v (t )≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用⎠⎛t 1t 2v (t )d t 求解；当v (t )<0时，求某一时间段内的位移用⎠⎛t 1t 2v (t )d t 求解，这一时段的路程

是位移的相反数，即路程为 －⎠⎛t 1

t 2v (t )d t .所以(2)错(3)正确.

题型一 利用定积分求平面图形的面积问题

例1 求由抛物线y 2＝x

5

，y 2＝x －1所围成图形的面积.

解 在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图形，如图.

方法一 以x 为积分变量.

由⎩⎪⎨⎪⎧

y 2＝x 5，y 2＝x －1，

得两个抛物线的两个交点坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫54，12，B ⎝⎛⎭⎫54

，－1

2. 设点P (1,0)，则所求面积S ＝2⎝ ⎛⎭

⎪⎫⎠⎜⎛0

54

x 5d x －⎠⎜

⎛1

54x

－1d x

＝2()3

5

53

24420

3

12

x x ⎤--⎥⎢⎥⎣⎦

＝2

3. 方法二 以y 为积分变量.

由⎩⎪⎨⎪⎧

y 2＝x 5，y 2＝x －1，

可得两个抛物线的两个交点坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫54，12，B ⎝⎛⎭⎫54

，－1

2. 设点P (1,0)，则所求面积S ＝2⎠⎜

⎛0

1

2 (

y

2＋1－5y 2)d y