多面体几何折纸教程祥细图解
图形的折叠问题课件
动态折叠问题
要点一
总结词
动态折叠问题涉及到如何将一个动态 变化的二维图形准确无误地折叠成一 个动态变化的三维结构，是图形折叠 问题中的一大挑战。
要点二
详细描述
动态折叠问题需要考虑图形的动态属 性和变化规律，以及如何通过一系列 的动态折叠步骤实现动态的三维结构 。解决这类问题需要深入理解图形的 动态属性和折叠过程中的力学原理。
06 图形折叠问题的 挑战和未来发展
复杂图形的折叠问题
总结词
复杂图形的折叠问题涉及到如何 将复杂的二维图形准确无误地折 叠成三维结构，是图形折叠问题 中的一大挑战。
详细描述
复杂图形的折叠问题需要考虑图 形的形状、大小、对称性、弯曲 角度等因素，以及如何通过折叠 实现预定的三维结构。解决这类 问题需要深入理解图形的几何属 性和折叠过程中的力学原理。
未来发展
随着计算机科学和数学理论的不 断进步，复杂图形的折叠问题有 望得到更深入的研究和解决。未 来的研究可能会集中在开发更有 效的算法和优化技术，以解决更 复杂的图形折叠问题。
多面体的折叠问题
01
总结词
多面体的折叠问题涉及到如何将一个二维的多面体图形折 叠成一个三维的多面体结构，是图形折叠问题中的另一大 挑战。
解析法定义
解析法是一种通过数学公式和逻辑推理来解决问题的策略。在解决图形折叠问题时，解析 法通常用于建立数学模型，以描述图形的折叠过程和结果。
解析法的应用
解析法可以用于解决各种复杂的图形折叠问题，例如平面图形的折叠、三维模型的折纸等 。通过建立数学方程，解析法可以预测折叠后的形状和位置，以及解决折叠过程中的动态 变化问题。
总结词
三角形是具有三条边的多边形，其折叠问题主要涉及到三角 形的边与角的关系以及空间想象。
折正方体的11种方法
折正方体的11种方法折一个正方体有11种方法。
方法一：平面对角线法将一个正方形对角线对折，得到两条线段，两条线段再按照正方形的边界折叠，即可得到一个正方体。
方法二：边中点法将正方形的四个边的中点连线，得到一个十字形。
然后将四条线段按照该十字形折叠，即可得到一个正方体。
方法三：对角线交点法将正方形的两条对角线相交于一点，再以该交点为中心按照正方形的边界折叠，即可得到一个正方体。
方法四：平行四边形法将正方形的两条边分别延长，形成两个平行四边形。
然后将两个平行四边形按照正方形的边界折叠，即可得到一个正方体。
方法五：对边中点法将正方形的相对边的中点连线，得到两条线段。
然后将两条线段按照正方形的边界折叠，即可得到一个正方体。
方法六：三角形法将正方形的一个顶点连线另一个顶点，形成一个直角三角形。
然后将三角形按照正方形的边界折叠，即可得到一个正方体。
方法七：中心点法将正方形的四个顶点连线一个中心点，得到四条线段。
然后将四条线段按照正方形的边界折叠，即可得到一个正方体。
方法八：平行四边形交点法将正方形的两条边向内延长，形成两个平行四边形。
然后将两个平行四边形的交点按照正方形的边界折叠，即可得到一个正方体。
方法九：对角线中点法将正方形的两条对角线分别连线其对角线的中点，得到四条线段。
然后将四条线段按照正方形的边界折叠，即可得到一个正方体。
方法十：平行四边形对角线法将正方形的两条边延长，形成两个平行四边形。
然后将两个平行四边形的对角线按照正方形的边界折叠，即可得到一个正方体。
方法十一：梯形法将正方形的一边向外延长，形成一个梯形。
然后将该梯形按照正方形的边界折叠，即可得到一个正方体。
以上是折正方体的11种方法。
每种方法都是通过在正方形上做特定的折叠线，然后按照该折叠线将正方形折叠成正方体的形状。
这些方法各具特点，可以选择其中一种适合自己的方式来折叠正方体。
折纸 多面体
1将纸片上下两个边进行对折，复原后留下折痕。
2接着再将上下两个边折向上一步形成的折痕，然后复原，留下折痕。
3将右下角折向最靠近下面的折痕。
4.继续折叠右下角，依旧是折向靠近最下面的折痕。
5上角也按照相同的方式进行处理。
6.然后再将上下两个边折向中线。
7接着将左下角向顶边折叠。
8再将右上角折向底边。
9将左下角掖入。
具体操作见图示。
10.右上角也按照相同的方式进行处理。
11将单元模型翻转过来。
12把左下角向上折叠。
13右上角向下折叠。
14.再将模型中间对折。
这样单元模型就制作完成！
6.左。
四方纸的折叠法-概述说明以及解释
四方纸的折叠法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述四方纸的折叠法是一种既古老又现代的艺术形式，通过将纸张按照特定的方式折叠，创造出各种形状、图案和结构。
这项技艺源于古代东方文化，如中国的剪纸和折纸，以及日本的折纸艺术——折鹤和折菊等。
四方纸的折叠法随着时间的推移在全球范围内得到了广泛的使用和发展。
四方纸的折叠法不仅仅是一种手工技巧，更是一门独特的艺术。
通过创造性地将纸张折叠成各种形态和造型，它可以表达出丰富的主题和情感。
这种具有立体感的折叠结构使得纸张成为了可立体展现的艺术品。
同时，四方纸的折叠法也融入了数学和几何的概念与原理，其中包括对对称性、比例和角度的探索和应用。
无论是在艺术、手工制作还是教育领域，四方纸的折叠法都有着广泛的应用和意义。
它可以作为一种有趣的娱乐方式，培养人们的动手能力和创造力。
它还可以作为一种有效的教学工具，帮助学生理解几何概念和发展空间想象力。
此外，四方纸的折叠法还在建筑设计、工程学和科学研究等领域中发挥着独特的作用。
对于未来的发展而言，四方纸的折叠法有着广阔的前景。
随着技术的进步和创新的不断涌现，人们对于纸张折叠的应用和设计也会更加多样化和精细化。
纸艺作品将会更加多样化，将继续成为艺术和设计领域的亮点。
同时，四方纸的折叠法也将进一步融入到科学研究和工程设计中，拓展新的应用领域。
总而言之，四方纸的折叠法是一门兼具传统和现代特色的艺术形式，它既具备了文化传承的价值，又有着广泛的应用前景。
通过对其起源、原理和意义的深入探究，我们能够更好地理解和欣赏四方纸的折叠法所蕴含的无限可能性。
在未来的发展中，它将继续为我们带来创造力、美感和智慧的体验。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将分为以下几个部分来介绍四方纸的折叠法：1.2.1 简介在本部分，将对四方纸的折叠法进行简要介绍。
包括四方纸折叠法是指将一张正方形的纸折叠成不同形状的方法，以及为什么这种折叠法备受关注。
1.2.2 历史背景这一部分将介绍四方纸的折叠法的起源和历史背景。
正十二面体折法
正十二面体折法
正十二面体是一种由 12 个面组成的正多面体，它由一个正方体切割而来。
以下是一种简单的折法:
1. 将一张方形纸对角线对折，然后展开，使对角线相交于一点。
2. 将纸张沿着相交点对折，使得纸张中心线与对角线重合。
3. 将纸张向左侧折叠一半，然后向右侧展开。
4. 将纸张向右侧折叠一半，然后向左侧展开。
5. 将纸张向上方折叠一半，然后向下方展开。
6. 将纸张向下方折叠一半，然后向上方展开。
7. 将纸张向左侧折叠一半，然后向右侧展开。
8. 将纸张向右侧折叠一半，然后向左侧展开。
9. 将纸张向上方折叠一半，然后向下方展开。
10. 将纸张向下方折叠一半，然后向上方展开。
11. 将纸张向左侧折叠一半，然后向右侧展开。
12. 将纸张向右侧折叠一半，然后向左侧展开。
完成后，正十二面体就会出现啦！。
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立体几何折纸建构
立体几何折纸建构作者：常文武来源：《新高考·高一数学》2012年第07期纸，作为文明的载体，其最大的作用曾是书写和印刷.当然,用纸做纸巾、纸尿裤、包装袋等，这些功用也是必不可少的.本文要说明的是，折纸这个我们儿时的游戏不仅反映出纸的另一种用途，而且她还是非常了不起的一种艺术形式，甚至能帮助我们学好数学.我们已经学过平面几何，将要学习立体几何.立体几何是什么呢？通过下面的一系列折纸探索，可以充分地展示平面这一我们熟悉的概念与立体这一陌生的概念是如何联系起来的.探索一取一个信封，用过的也没关系，实在没有就临时制作一个.显然信封是一种平面的物品.现在照下面的步骤就可以使它变成一个立体的正四面体.第一步：将信封竖起来，将底部的一角折向中缝，同时保证折痕通过另一底角，但折痕不需要做出来.如图1所示.第二步：将中缝上的这点标记为P.过P点向两底角做两道折痕，注意正反向都要折一次.让折痕尽量做得尖锐和平直.如图2.第三步：用直角三角尺在P点处画一条水平线，剪去线上的部分.第四步：从开口端撑开，瞧，一个正四面体就做出来了.探索二请你证明：这样得到的果真是个正四面体.也就是说，这个四面体的每个面都是正三角形.探索三现在数一数，四面体有几条棱（E），几个顶点（V），几个面（F）.大数学家欧拉研究过对于其它简单多面体也适用的公式： V+ F- E=2. 对于四面体，你能验证这个公式成立吗？请跟我继续一个新的折纸实验.这次得到的将是更神奇的“一家子”四面体.探索四再取一个信封，如果你上次剪掉的上半个信封是完整的，请将它上面的口封好待用.怎么做呢？如图5所示，第一步：折一个底角的角平分线，即折出45 ° 角.第二步：折出与底边构成45 ° 角的平分线，即22.5 ° 角.第三步：标注翻折后的底角位置P.第四步：用直角三角尺在P点处画一条水平线，剪去线上的部分.第五步：通过对折开口边，找到中点M.第六步：过点M向两底角做两道折痕，注意正反向都要折一次.让折痕尽量做得尖锐和平直.第七步：从开口端撑开，至此一个新的四面体就做成了.这是一个阶段性的结果，或可称作是半成品.探索五这样得到的四面体是怎样的四面体？它的四个面是否全等？每个面的三角形是等腰三角形吗？每个侧面三角形具有怎样的三边长？探索六这个四面体有几种二面角？分别是多少度？继续拿刚才未最终完成的四面体折纸.第八步：把它打开压扁还原成半截信封的样子.第九步：照图6所示再作正反折痕3道：一横两斜.第十步：撑开信封开口端，把半截信封的左上角及右上角先后朝里折到底部的中点N.注意让虚线标注痕折凹陷进去.你将得到一个奇怪的多面体形状.如图7(此图由梁海声提供).这是一个包裹着4个四面体的复合体.脱胎于原来大四面体的新结构，这四个小四面体与原来四面体形状一致.探索七这个复杂多面体有多少个面，顶点，棱，它们符合欧拉定理么？探索八请再制作一个这样的四面体，看看两个这样的四面体可以组合出什么形状的联合体？以上都是用信封在做实验材料，如果没有信封呢？下面再介绍给大家一种名片折纸.探索九取一张名片，请你用它来折出一个四面体，你行吗？超简单！请看：图8所示的折痕一律是凹下去的，作出这些折痕，将四个直角顶点统一向上收拢回来就可以形成一个四面体，当然还需要一些胶带来固定接缝.探索十还是刚才那张名片，你能用它折出两个四面体吗？也很容易！如同一加一等于二一般，我们只要把第一种方法重复一次，一个连体双胞胎四面体就做出来了，如图9所示.当然要注意实线是拱起来的折痕，虚线是凹下去的折痕.探索十一你发现了吗？通常这样做成的四面体有一条棱在长方形的内部，它一定是长方形长边中点的联线！为什么？探索十二如果名片长宽比适当，照上面的办法制作出来的连体四面体从外观上来看，可以认为是由这两个四面体拼成的一个四棱锥.这是怎样的长宽比？问题的本质是，如何通过选择纸的形状得到具有直角二面角的四面体？答案是：2 ∶ 1.这就是通常被人称作是白银长方形的一种长方形.我们用的书、读的报纸、包括这本杂志的形状都是这个比.当然最精确符合这一标准的是 A 4纸.以上通过折纸得到的两种四面体是立体几何中的两个基本对象.但是已经足以让我们了解到立体几何的独特魅力.维数的增加意味着更多的可能性.是折纸让我们从二维空间进入了三维空间.让我们时刻拿起一张纸来折叠吧，说不定你会发现一个定理并以你的名字命名呢！(注：相关的折纸视频可参见网站： /v/default.html)《剖析直线方程的易错点》巩固练习参考答案1 提示：当 m=2 时，直线l的方程为 x=2；当 m≠2 时，直线l的斜率 k=2m－2， 由点斜式得直线方程为 y－1=2m－2（x－2）， 即方程为 2x－（m－2）y+m－6=0， 又当 m=2 时也满足此方程，故所述所求直线l的方程为 2x－（m－ 2）y+ m－6=0.2 提示：若截距不为0，可设直线的方程为 xa+ ya=1， 把点P（3, 2）代入得： 3a+2a=1， 即 a=5， 此时直线的方程为 x+y－5=0； 若截距为0，可设直线的方程为 y=kx， 把点P（3, 2）代入得 k=23， 此时直线方程为 y=23x， 故所求直线的方程为 2x－3y=0 和 x+y－5=0.3 提示：若 a=0 时两条直线显然不平行；若 a≠0， 则 a2=8a≠2－1， 解得 a=4， 故所求a的值为4.4 提示：当斜率不存在时，直线 x=1 与直线l: 2x+y－6=0 的交点为B（1, 4），符合要求；当斜率存在时，可设直线的方程为 y+1= k（x－ 1）， 即 kx－y－k－1=0， 由题意得kx－y－k－1=0， 2x+y－6=0， 解得 x=k+7k+2， y=4k－2k+2. 则Bk+7k+2, 4k－2k+2，又 AB=5，即 k+7k+2－12+4k－2k+2+1。
叠成正方体的11种方法
叠成正方体的11种方法嘿，你知道吗？叠成正方体居然有 11 种方法呢！这是不是很神奇呀！咱就先说说第一种方法，就好像搭积木一样，一块一块稳稳地往上摞，每一块都要放得恰到好处，这样慢慢就能叠出一个正方体啦。
这就像我们做事，一步一个脚印，稳稳当当的。
第二种呢，就有点像变魔术。
把那些纸片呀或者其他能折叠的东西，巧妙地折来折去，哎呀，突然就出现了一个正方体，是不是很有意思呀！这就好像我们的生活，有时候需要一些巧妙的心思和技巧，才能让事情变得有趣又精彩。
第三种方法呢，像是拼图一样。
把不同形状的部分一点点拼凑起来，最后拼成一个完整的正方体。
这多像我们交朋友呀，不同性格的人凑在一起，最后组成了一个温暖的集体。
第四种，就好像是在编织一个正方体的网，横竖交织，丝丝入扣，慢慢就成型啦。
第五种像是在搭建一个小城堡，精心地把每一部分都放置到位，让它变得坚固又好看。
第六种，有点像在玩俄罗斯方块，把那些形状合适的部分准确地放进去，可不就成了正方体嘛。
第七种，就如同在创造一件艺术品，每一个细节都要精心雕琢。
第八种，仿佛是在解一道谜题，通过不断尝试和探索，找到叠成正方体的正确路径。
第九种，好像是在走迷宫，兜兜转转，最后终于找到了出口，也就是那个完美的正方体。
第十种，像是在烹饪一道美味佳肴，各种调料和食材搭配得当，才能做出让人垂涎欲滴的正方体。
第十一种呢，哎呀，那得你自己去发现和体会啦！想想看，这 11 种方法，每一种都有它的独特之处，就像我们每个人都有自己的个性一样。
我们可以尝试用不同的方法去叠这个正方体，就像我们在生活中可以选择不同的道路去走。
有时候可能会遇到困难，但只要我们不放弃，总会找到属于我们自己的那个正方体。
所以呀，不要害怕尝试，不要害怕失败，大胆去探索吧！去发现那 11 种方法的奇妙之处，让我们的生活也像叠正方体一样，变得丰富多彩，充满乐趣！。
四面体折纸盒解题技巧
四面体折纸盒解题技巧
1. 嘿，四面体折纸盒解题有个超棒的技巧你知道不？就好比搭积木一样，要找到关键的那块！像这个纸盒，看着复杂吧，但咱只要找到几个特殊面，一下子就清晰啦！例子嘛，就比如这个有个明显图案的面，那就是关键呀！
2. 哇塞，四面体折纸盒解题，一定要学会看相邻面啊！这就跟交朋友一样，熟悉了他们之间的关系，解题就不难喽。
你看这个例子，这几个面的相邻关系搞清楚，答案不就呼之欲出啦！
3. 哎呀呀，四面体折纸盒的时候要注意方向哦！就好像走路不能走反了方向呀。
来看看这个例子，方向搞对了，那肯定不会错呀！
4. 嘿，别忘了用排除法呀！这可是个大法宝呢，就好像在一堆苹果里挑出坏的一样。
比如这个例子，有些选项明显不符合实际，一下就可以排除掉啦！
5. 哇，四面体折纸盒还要会想象呀！把它在脑子里展开，是不是很神奇？瞧这个例子，想象一下它展开后的样子，解题就轻松多啦！
6. 哎呀，注意相对面哦，它们可不能在同一面出现呀！就像水火不容一样。
看看这个例子，很明显那个相对面出现就不对啦！
7. 嘿，仔细观察细节啊！有时候一个小图案就能决定答案呢。
像这个例子里，那个小小的标记，就是解题的关键呀！
8. 哇塞，有时候可以标记一下呢，这样就不容易混乱啦，跟做标记记路线一样。
看这个例子，标记后是不是清楚很多呀！
9. 四面体折纸盒解题技巧可真重要啊，掌握了这些，那解起题来就得心应手啦！你学会了吗？。
正方体的11种折叠法及背会小窍门小口诀
有一无盖立方体纸箱，若将其沿棱剪成睁开图，问有多少种不一样形式的睁开图？解因总面数是5，不会出现 5 个面所有排成一行（列）的情况.（1）当一行（列）面数最多是4时，有两种情况（注意对称性），如图）（2）当一行（列）面数最多是 3 时，剩下的两个面位于这一行（列）的同一侧有两种不怜悯况，如图15-2 （ b）（3）剩下的两个面位于这一行（列）的异侧有三种不一样情况，如图（4）当一行（列）的面数最多是 2 时，仅一种情况，以下图.总数为 2+2+3+1=8 种，即有8 种不一样的睁开形式.研究正方体的睁开图将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面，共有哪些不一样的图形呢？要搞清这个问题，最好是着手实践，比方找一些正方体纸盒，沿着棱按不一样方式将其剪开（但不要剪断，六个面要经过边连在一同），展成平面，再察看、对照一下不一样形状的图形有哪些。
假如不简单找到足够的正方体纸盒，还能够找一些不太厚、易折叠的正方体纸板，利用逆向思想，先猜想正方体睁开图会有哪些不一样形状，并将它们画在纸板上，再将四周剩余部分剪去，而后沿所画直线直行折叠，看看哪些图形纸板能够折叠成正方体。
这种研究方法虽然有点麻烦，但操作简易易行，迅速有效。
预先可多画一些纸板（六个正方形边与边对齐，随意连结成不一样的平面图形），经过逐一考证，记录下所有能够折叠成正方体的图形，再将这些图形分类，总结并找寻出此中的规律。
那么，沿棱剪睁开开一个正方体，终究有哪些不一样的形状呢？假如不考虑因为旋转或翻折等造成相对地点的不一样，只从实质上讲，有以下三类共11 种。
一、“ 141 型”（共 6 种）特色：这种睁开图中，最长的一行（或一列）有 4 个正方形（图1～图 6）。
理解：有 4 个面直线相连，其他 2 个面分别在“直线”两旁，地点随意。
二、“ 231 型”与“ 33 型”（共 4 种）特色：这种睁开图中，最长的一行（或一列）有 3 个正方形（如图7～图 10）。
正方体11种折叠方法
将一个正方体地表面沿某些棱剪开，展成一个平面，共有哪些不同地图形呢？要搞清这个问题，最好是动手实践，比如找一些正方体纸盒，沿着棱按不同方式将其剪开（但不要剪断，六个面要通过边连在一起），展成平面，再观察、对比一下不同形状地图形有哪些.个人收集整理勿做商业用途如果不容易找到足够地正方体纸盒，还可以找一些不太厚、易折叠地正方体纸板，利用逆向思维，先猜测正方体展开图会有哪些不同形状，并将它们画在纸板上，再将周围多余部分剪去，然后沿所画直线直行折叠，看看哪些图形纸板可以折叠成正方体.这种探究方法虽然有点麻烦，但操作简便易行，快速有效.事先可多画一些纸板（六个正方形边与边对齐，任意连接成不同地平面图形），经过逐个验证，记录下所有可以折叠成正方体地图形，再将这些图形分类，总结并寻找出其中地规律.个人收集整理勿做商业用途那么，沿棱剪开展开一个正方体，究竟有哪些不同地形状呢？如果不考虑由于旋转或翻折等造成相对位置地不同，只从本质上讲，有以下三类共种.个人收集整理勿做商业用途一、“型”（共种）特点：这类展开图中，最长地一行（或一列）有个正方形（图～图）.理解：有个面直线相连，其余个面分别在“直线”两旁，位置任意.二、“型”与“型”（共种）特点：这类展开图中，最长地一行（或一列）有个正方形（如图～图）.理解：在“型”中，“”所在地行（列）必须在中间，“”、“”所在行（列）分属两边（前后不分），且“”与“”同向，“”可以放在“”地任意一个正方形格旁边，这种情况共有种，而“型”只有种.个人收集整理勿做商业用途三、“型”（只有种）特点：展开图中，最多只有个面直线相连（图）.评注：⑴将上面个图中地任意一个，旋转一定角度或翻过来，看上去都与原图似有不同，但这只是图形放置地位置或方式不同.实际上，它与原图能够完全重合，不能算作一个独立地新图，而从上面个图中任取两个，不论怎样操作（旋转、翻折、平移等），它们都不可能完全重合，即彼此是独立地、不同地图形.个人收集整理勿做商业用途⑵对于由大小一样地六个正方形通过边对齐相连组成地平面图，如果图中含有“一”字型、“”字型、“田”字型、“凹”字型，就一定不能折成正方体.概括地说，只要不符合上述“”、“”和“”、“”地特点，就不能折成正方体.如图，如果将其看作“”型，那么，无论怎么看，“”和“”都不是同向，故不能折成正方体.其实，它属于“”（或“”）型.个人收集整理勿做商业用途。
用折纸三等分角的原理
用折纸三等分角的原理
折纸三等分角的原理可以通过以下步骤来实现：
1. 用一张正方形的纸，将其对角线对折，然后展开。
2. 将纸的左上角和右下角对齐，再将纸的右上角和左下角对齐，这样就把纸对折成了四个小三角形。
3. 将右边的小三角形对折，使其与中间的小三角形重合，然后将两个小三角形对折，使它们与左边的小三角形重合。
4. 将纸的右上角向下折成一个垂直于底边的直角三角形，使其右边与底边平行。
5. 将左侧的小三角形向上折，与上面的直角三角形的斜边重合。
6. 将纸朝上翻转，将上面的小三角形向下折，使其与下面的直角三角形重合。
7. 将剩下的小三角形向下折，使其从纸的底部垂直向上。
8. 最后，将右侧的直角三角形向上折，使其与纸的底边重合。
这样，纸就被折成了三个等分角。
学习有关正多边形的折纸介绍
【跟踪练习 2】 将正方形 ABCD 折叠，
使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，
折痕交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，边
AB 折叠后与 BC 边交于点 G(如图 4)．
如果 M 为 CD 边的中点，求证：
DE∶DM∶EM＝3∶4∶5． 【解析】 设正方形的边长为 a，DE＝x，则 DM＝2a，EM＝
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【跟踪练习 3】 如图 6，矩形纸片 ABCD 的边长 AB ＝4，AD＝2．翻折矩形纸片，使点 A 与点 C 重 合，折痕分别交 AB，CD 于点 E，F． (1)在图中用尺规作图作出折痕 EF 所在的直线(保 留作图痕迹，不写作法)； (2)求线段 AE 的长．
【解析】 (1)连结 AC，作 AC 的垂直平分线，交 AB 于点 E，交 CD 于 点 F，如解图．
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【解析】 (1)四边形 ABCD 是菱形． (2)观察折叠过程知，△AMG 沿 AG 折叠，AM 落在 AC 上， ∴∠MAD＝∠DAC＝12∠MAC． 同理，可得∠CAB＝∠NAB＝12∠CAN，∠DCA＝∠MCD＝12∠ ACM，∠ACB＝∠NCB＝1∠ACN，
2 ∠MAC＝∠NAC＝12∠MAN，∠MCA＝∠NCA＝12∠MCN． ∵四边形 AMCN 是正方形，∴∠MAN＝∠MCN＝90°， ∴∠DAC＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCA， ∴AD∥BC，AB∥DC，AD＝CD，∴四边形 ABCD 为平行四边形． 又∵AD＝CD，∴四边形 ABCD 为菱形．
正方体的11种折叠法及背会小窍门小口诀
有一无盖立方体纸箱，若将其沿棱剪成睁开图，问有多少种不一样形式的睁开图？解因总面数是5，不会出现 5 个面所有排成一行（列）的情况.（1）当一行（列）面数最多是4时，有两种情况（注意对称性），如图）（2）当一行（列）面数最多是 3 时，剩下的两个面位于这一行（列）的同一侧有两种不怜悯况，如图15-2 （ b）（3）剩下的两个面位于这一行（列）的异侧有三种不一样情况，如图（4）当一行（列）的面数最多是 2 时，仅一种情况，以下图.总数为 2+2+3+1=8 种，即有8 种不一样的睁开形式.研究正方体的睁开图将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面，共有哪些不一样的图形呢？要搞清这个问题，最好是着手实践，比方找一些正方体纸盒，沿着棱按不一样方式将其剪开（但不要剪断，六个面要经过边连在一同），展成平面，再察看、对照一下不一样形状的图形有哪些。
假如不简单找到足够的正方体纸盒，还能够找一些不太厚、易折叠的正方体纸板，利用逆向思想，先猜想正方体睁开图会有哪些不一样形状，并将它们画在纸板上，再将四周剩余部分剪去，而后沿所画直线直行折叠，看看哪些图形纸板能够折叠成正方体。
这种研究方法虽然有点麻烦，但操作简易易行，迅速有效。
预先可多画一些纸板（六个正方形边与边对齐，随意连结成不一样的平面图形），经过逐一考证，记录下所有能够折叠成正方体的图形，再将这些图形分类，总结并找寻出此中的规律。
那么，沿棱剪睁开开一个正方体，终究有哪些不一样的形状呢？假如不考虑因为旋转或翻折等造成相对地点的不一样，只从实质上讲，有以下三类共11 种。
一、“ 141 型”（共 6 种）特色：这种睁开图中，最长的一行（或一列）有 4 个正方形（图1～图 6）。
理解：有 4 个面直线相连，其他 2 个面分别在“直线”两旁，地点随意。
二、“ 231 型”与“ 33 型”（共 4 种）特色：这种睁开图中，最长的一行（或一列）有 3 个正方形（如图7～图 10）。
人教七年级数学上册《几何图形初步》课件(共42张PPT)
如下图:OC是∠AOB的平分线，则有 ∠AOC=∠BOC= ∠AOB ∠AOB=2 ∠AOC= 2∠BOC
类似地,还有角的三等分线等。 通过折纸作角的平分线
4.余角和补角
(1)概念 如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角
互为余角。如∠3=35°,∠4=55°,那么∠3和∠4互为余角
。
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互 为补角。如下图∠1+∠2=180°，则∠1和∠2互为补角
同理分别规定出“西北” 、“西南”方向。
(1)方位角的表示 ----------通常先写北或南,再写偏东还是偏西 。例如:“北偏东35°”;“ 南偏西60°”等。
(2)方位角的应用
经常用于航空、航海、测绘中,领航员常用地图和罗盘进 行方位角的测定。
在下图中,射线OA、射线OB、射线OC、射线OD分别表示
3.角的四种表示方法
表示方法
图标
用三个大写的字母
A
表示
B
C
用一个顶点的字母 表示
o
用希腊字母表示
α
用一个数字表示
1
记法
注意事项
ABC 顶点字母在中间
o
顶点处只有 一个角时
α 在靠近顶点处
画弧线， 注上数字 或希腊字母 1
4.角的符号 用“ ” 表示 5.角的分类
小于号是“＜ ”
锐角: 大于0度而小于90度的角
4.线段的大小和比较
度量法
(1)线段的长短比较 叠合法
(2)线段的中点
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中 点。
例如:点B是线段AC的中点
...
则有: AB=BC= AC
ABC
一张纸可以折成多少种形状？
一张纸可以折成多少种形状？首先，要回答这个问题，我们需要了解一下纸的基本特性。
纸是一种柔软、可塑性强的材料，因此可以通过折叠、弯曲等方式实现各种形状的变化。
下面，我们将逐一探讨纸的折叠所能呈现的形式。
1. 折叠成对称形状纸的最基本折叠形式之一是将其对折，形成对称的形状。
这种形状可以是长方形、正方形或三角形。
通过底边和侧边的对称性，这些形状展现出一种平衡美。
而在创作中，设计师们还可以巧妙地运用这种对称性，制造出更多形态独特的作品。
2. 折叠成多面体除了对称形状外，通过多次折叠，纸还能够形成复杂的多面体。
三维的多面体具有独特的几何美，常见的有四面体、六面体和八面体等。
展开来看，这些多面体由许多小三角形组成，从而使我们在审美上体验到了不同的视觉享受。
3. 折叠成立体造型除了基本的对称形状和多面体之外，纸还可以通过特定的折叠方式形成各种立体造型，比如动物、花朵、建筑物等。
这些折纸作品通常需要仔细的构思和灵活的手法，通过精细的打折、折角等操作，才能呈现出立体的效果。
这种立体造型不仅展示了纸质材料的可塑性，也让我们欣赏到了纸张艺术的魅力。
4. 折叠成创意作品随着折纸技艺的不断发展，越来越多的创意作品出现在人们的视野中。
除了基本的形状和立体造型外，有些艺术家甚至通过折纸创作出具有表演性的作品，如纸艺表演和纸质雕塑等。
这些作品不仅具有视觉上的冲击力，还能够引发人们对折纸艺术的好奇和探索。
总结起来，纸作为一种柔软的材料，可以通过折叠、弯曲等方式呈现出多种形态。
无论是对称形状、多面体还是立体造型，纸张都展示了自己独特的艺术魅力。
而随着折纸技艺的不断进步，我们相信未来还会有更多创意作品的出现，让我们在折纸艺术的世界里享受无限的惊喜和乐趣。
五角三四面体制作方法
五角三四面体制作方法
五角三四面体是一种具有独特美感和几何意义的立体多面体，它由五个三角形组成，其中每个三角形都和其它三个三角形相邻，它们共同构成四个面。
五角三四面体不仅在学术界和艺术领域得到广泛关注和应用，同时也可以作为手工制作项目，让我们一起来看看如何制作一个五角三四面体。
首先，需要准备五张三角形的纸片，如果有色彩丰富的彩纸就更好了。
其次，将其中一张三角形的其中一个棱沿中垂线剪开，把剪口沿着对角线稍微撑开，使得三角形的两个邻边相互垂直。
然后将另外四个三角形的一个角沿着相邻两个角的边缘塞入这个剪口中，使得五个三角形的边缘都尽量贴在一起。
接下来，使用胶水或者可调节的夹子将三角形固定在一起，让其变成一个完整的五角三四面体。
此时需要注意，每个三角形的位置必须正确，使得它们组合而成的立体形状符合几何学规则。
此外，需要确保每个三角形之间的缝隙大小相同，让五个三角形都能够完美地贴合在一起。
最后，将胶水彻底干燥之后即可完成制作。
通过以上步骤，你就可以轻松地制作出一个漂亮的五角三四面体了。
不仅可以作为手工艺品，还可以应用在许多场合，例如数学教学中的立体几何、装饰盘点中的新颖元素等等。
在创作制作的同时也可以激发自己的创造力和观察力，进一步发掘这个世界丰富多彩的几何文化。
折纸拼组多面体--正四面体
肆、拋磚引玉篇
113
摺紙拼組多面體（一）──正四面體
材料：A4影印紙 (或利用回收月曆紙，截成邊長比為 1:2的矩形亦可) 1張。
步驟：
1.將長方形紙片對摺。
5.再將左下方頂點摺到 對邊上。
9.將最下面摺痕所形成
的直角三角形塞進最
2.攤開後，兩邊往內摺到先前的摺痕。
3.將左下方的直角頂摺到正中央的摺痕上，且直角頂與右下方頂點成一直線。
4.將右下方的頂點摺到對邊上。
6.再將右下方頂點摺到 對邊上。
7.最後把剩下的一個直 角頂往內摺，形成一 個正三角形。
8.將紙攤開成步驟2的 形狀。
上面的直角三角形內 。
（慢慢塞，這個步 驟最難做，也是最關 鍵的步驟。
）
10.完成一個正四面體。
（可將正四面體的每個 稜邊的摺痕加深，視 覺效果更佳。
）
※ 要一刀將此正四面體模型切成兩個全等的立體模型，你辦的到嗎？
只有一種切法嗎？。
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多面体几何折纸教程祥细图解-花球折
纸教程
今天介绍一款花球组图折纸方法，也就是一个多面体几何图形的组合折纸。
多面体几何组合折纸成品图欣赏
介绍折纸教程中折叠方法的符号与基本折法（点击查看）
1.首先准备一张方形的纸，将纸四等分，留下三条折痕，其中中间的折痕为谷折线，另外两条为山折线。
2.顺着第一步折好的痕迹进行压折。
3.按照图示，将左上角折向底边，形成一个45°的折痕。
4.再将右边矩形按图中所示进行折叠。
5.将矩形再度翻折回去。
6.将矩形的右上角折向左边，形成一个45°的折痕。
7.将第5步所折进行复原，留下折痕。
8.将矩形的右边往回翻折。
9.按照第5步所示，再度向内折起矩形。
10.此时将第4步时左上角形成的三角形进行对折，这样就会形成如图示中的山折线，最终模块效果应如图中所示。
11.将其旋转过来即如图中所示。
接下来组装模块
12.将两个模块按照图示中所示摆放好。
13.顺着折痕，将黄色模块的左边插入到红色模块在上面的折叠中所形成的“口袋”（即夹层）中。
14.顺着折痕，将红色模块的右边插入到黄色模块右边的“口袋”中。
15.重复12到14步，制作3个这样的组合模块。
将3个模块按照图中所示样式摆好。
16.首先将橙色的角插入到黄色的“口袋”中，再将黄色的角插入到红色的“口袋”中，红色则插入黄色的“口袋”中。
17.注意固定好已经插入的部分。
18.为了中间的角可以组合好，可能部模块会出现散架，如图中橘色的模块。
19.将橘色的模块修整好，一个角就完成了。
20.这是制作好后的俯视图。
21.按照上面的办法，继续制作就可以了。