常见曲线的极坐标方程

（1）经过极点和点A（6，π/5) （2）经过点B（5，π),且垂直于极轴 （3）经过点C（8，π/6),且平行于极轴
（4）经过点D（2 3 ，0),且倾斜角为2π/3
小结：直线的几种极坐标方程
l
1、过极点
r q (r R)
2、过某个定点垂直于极轴
r cosq a
3、过某个定点平行于极轴 r sin q ＝a
易得
4
q

5 (r

0)
2坐、标求方过程极。点q，倾角或 为q4
4
的直线的极
5
4
4
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形
式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不
方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？
r0
为了弥补这个不足，可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为
(1) r cosq=4 (2) r = 5 (3) r = 2r sinq
直线与圆的极坐标
方程百度文库
l

﹚4
o
x

例题1：求过极点，倾角为 的极坐标方程。
4
的射线
M

﹚4
o
x
极径可以取任意的非负数。故所求
直线的极坐标方程为 q (r 0)
4
思考：
1、求过极点，倾角为5 的射线的极
坐标方程。
r＝2asin q
(４)中心在Ｃ(r0,q０)，半径为r。
r2+ r0 2 -2 r r0 cos( q- q０)= r2
例4:按下列条件写出圆的极坐标方程 （1）以A（3，0）为圆心，且过极点的圆 （2）以B（8，π/2）为圆心，且过极点的圆
（3）以极点O与点C（-4，0）连接的线段为 直径的圆
（4）圆心在极轴上，且过极点与点D（2 ，
π/6）3的圆
复习回顾：
求曲线极坐标方程的基本步骤：
第一步 建立适当的极坐标系；
第二步 在曲线上任取一点P( r , q )
第三步 根据曲线上的点所满足的条件写出等 式；
第四步 用极坐标r 、q表示上述等式，并化简
得极坐标方程； 第五步 证明所得的方程是曲线的极坐标程。
特别地,
我们知道,在直角坐标系中，x=k(k为常数)表示 一条平行于y轴的直线；y=k(k为常数)表示一条平行 于x轴的直线。
q (r R)
4
或
q 5 (r R)
4
q (r 0)表示极角为的一条射线。 q＝(r R)表示极角为的一条直线。
例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直 于极轴的直线L的极坐标方程。
r cosq a
M
r
﹚q o Ax
练习：设点P的极坐标为A(a, 0) ，直 l
线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直
线l 的极坐标方程。
解：如图，设点 M(r,q ) r
M
为直线 l上异于A的点
连接OM，在MOA 中有
o
q ﹚ A
x
ra sin( ) sin( q )
即
显然A点也满
r sin( q ) a sin 足上方程。
例3 :下列条件写出直线的极坐标方程
我们可以证明（具体从略），在极坐标系中，
r＝k(k为常数)表示圆心在极点、半径为k的圆；
θ＝k(k为常数)表示极角为k的一条直线（过极点）。
数学运用
例3、 （1）化在直角坐标方程x2+y2-8y=0为极坐标方程；
（2）化极坐标方程ρ=6cos(q -π/3) 为直角坐标方程。
变式训练3：
1、把下列下列极坐标方程化为直角坐标方程：
o ﹚q
M
r
﹚q
o
Ax
AM r
﹚q
o
x
4、过某个定点，且与极轴成一定的角度
r sin( q ) r1 sin( q1 )
M
r
r1 P ﹚q1 ﹚
o
Ax
求下列圆的极坐标方程
(１)中心在极点，半径为2；
r＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
r＝2acos q
(３)中心在(a,/2)，半径为a；