九年级数学：一元二次方程竞赛题

九年级数学：一元二次方程竞赛题

实数a、b、c、d满足：一元二次方程x²+cx+d=0的两根为a、b，一元二次方程x²+ax+b=0的两根为c、d，则所有满足条件的数组（a、b、c、d）为······？

题目如上，看着挺扯的，全部都是未知数，然后让求出具体数值，那么就先来分析看看吧。

根据x²+cx+d=0的两根为a、b，可知

a+b=-c，ab=d，

根据x²+ax+b=0的两根为c、d，可知

c+d=-a，cd=b，

那么根据题中的条件只能得出这四个关系式，那么能否顺利求解呢？

a+b=-c可知c=-a-b，

那么c+d=-a就变为-a-b+d=-a，即b=d，

再根据ab=d，可知

①当b=d=0的时候，a貌似有多种选择，

同时a=-c，即a和c互为相反数，

那么方程x²+cx+d=0变为x²+cx=0，两根分别是0和-c，

而方程x²+ax+b=0变为x²+ax=0，两根分别是0和-a，

若c=-a=0，那么a=b=c=d=0，符合题意；

若c=-a≠0，a²+ac=0，c²+ac=0，a²=c²恒成立；

②那么当b=d≠0时，a=c=1，

那么b=d=-2，两个方程都为x²+x-2=0，符合题意；

所以，综上可知a、b、c、d数值为（1，-2,1，-2）或（m，0，-m，0）（m是任意实数，即a和c满足相反数即可），数量当然就是无数组了。