Fresnel(菲涅尔)公式

−k2 z
n12 n22
sin 2
i1
⎞ −1⎟⎟⎠ ⋅
exp
⎡⎣i
( k2 x
sin
i2
− ωt
)⎤⎦
⎛
=
( ) A 1
S P
t(
)S
P
⋅ exp ⎜⎜⎝ −k2z
n12 n22
sin2
i1
⎞ − 1 ⎟⎟⎠
⋅ exp
⎡ ⎢i ⎣
⎛ ⎜ ⎝
k2 x
sin
i2
− ωt
+
φ(
)S
P
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦
特征：(1)沿 z 轴方向衰减，称作隐失波(evanescent wave)或者衰逝波(非辐射场)；(2)穿透深度
结论：存在相位突变(π)。
光密→光疏： n1 > n2 则， i1 < i2
0° > i1 − i2 > −90° 180° > i1 + i2 > 0° ，因此， rs > 0
结论：无相位突变。
(2)平行分量：
rp
=
E1′p E1 p
=
n2 cos i1 − n1 cos i2 n2 cos i1 + n1 cos i2
rp > 0 。 有无相位突变？
5
反射情况
光疏→光密( n1 < n2 )
入射角 i1
垂直分量 S
平行分量 P
0 rp > 0
↓
iB
rp = 0
rs < 0
↓ rp < 0
90o
入射角 i1
0
光密→光疏( n1 > n2 )
垂直分量 S
平行分量 P
rp < 0
↓
iB
rs > 0
rp = 0
↓
rp > 0
第三章 光通过各向同性介质及其界面所发生的现象
§ 1 光在各向同性介质界面上的反射和折射
1.1 菲涅尔(Fresnel)反射折射公式
P 1
P' 1
S 1
n 1
k 1
i
1
i'
1
S' 1
k' 1
n 2
k
x
i
2
2
P 2
z
S 2
如果 n1 < n2 ：外反射(光疏→光密)； 如果 n1 > n2 ：内反射(光密→光疏)。
>
ic
=
arcsin
n2 n1
cos i2 = ±i
n12 n22
sin2
i1
−1
入射波与折射波：
E1 (r,t ) = A1 exp ⎡⎣i (k1 ⋅r −ωt )⎤⎦ E2 (r,t ) = A2 exp ⎡⎣i (k2 ⋅r −ωt )⎤⎦
1、复振幅 A1 和 A2 的关系由 Fresnel 公式给出：
16
1.0
n =1 1
n =1.5 2
R
R
s
p
T
T
s
p
R
T
0.5
1.0
n =1.33 1
n =1 2
R
R
s
p
T
T
s
p
R
T
0.5
r,r,t,t s psp r,r,t,t s psp
0.0 0
30
60
90
i
1
0.0 0
30
60
90
i
1
17
1.4 Brewster 角与偏振度 自然光入射时的偏振度：
iC
rs = 1
rp = 1
↓ 90o
( ) rs = exp (−iδs ) rp = exp −iδ p
n1 > n2 时，根据折射定律 n1 sin i1 = n2 sin i2 ，存在
ic
=
arcsin
n2 n1
。当 i1
>
ic
时， n2
sin i2
>
n2
，折射
角 i2 不再具有几何意义。这种现象称作全内反射。 iB
。
当 i1 > ic 时， n2 sin i2 > n2 ，折射角 i2 不再具有几
何意义。这种现象称作全内反射。
注意：存在
iB
= atan
n2 n1
< arcsin
n2 n1
= ic
应当指出：全反射情况下，Fresnel 公式中，包含
折射角 i2 的三角函数项不再适用于角度关系，而
是一个与复振幅有关的数。
2、介于垂直入射和掠入射之间时，入射光线与反射光线之间有一定的夹角，很难判定反射光线 p 分
量的振动方向是否与入射光线 p 分量振动方向一致或者相反。
8
(3) 平行平面薄膜(适合于小角度入射情况)： 折射率中间大、二侧小
折射率中间小、二侧大
i
n
1
1
n 2
n 3
n <n 12
n <n 32
i <i
1B
0.6
n =1 1
n =1.5 2
0.4
r
r
s
p
t
t
s
p
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0 0
30
60
90
i
1
光密→光疏
2.8
2.6
2.4
2.2
n =1.33 1
n =1
2.0
2
r
r
s
p
1.8
t
t
s
p
1.6
1.4
1.2
i
c
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
i
B
0.0
-0.2 0
10
20
i
1
n 1
n 2
n 3
n >n 12
n >n 32
i <i
1B
i
1
n 1
n 2
n 3
n <n 12
n <n 32
i >i
1B
i
1
n 1
n 2
n 3
n >n 12
n >n 32
i >i
1B
9
折射率依次递增
i
n
1
1
n 2
n 3
n <n <n 123
i <i
1B
折射率依次递减
i
n
1
1
n 2
n 3
n >n >n 123
=
tan (i1 − i2 ) tan (i1 + i2 )
存在一个特殊点： i1 + i2 = 90° 时 rp = 0 。
Brewster
角(起偏角)，记作 iB
=
atan
n2 n1
。
光疏→光密( n1 < n2 )：i1 < iB 时，rp > 0 ；i1 > iB 时，
rp < 0 。
光密→光疏( n1 > n2 )：i1 < iB 时，rp < 0 ；i1 > iB 时，
30
40
50
60
i
1
4
2、反射比与相位跃变
(1)垂直分量：
rs
=
E1′s E1s
=
n1 cos i1 − n2 cos i2 n1 cos i1 + n2 cos i2
=
−
sin sin
( (
i1 i1
− +
i2 i2
) )
光疏→光密： n1 < n2 则， i1 > i2
90° > i1 − i2 > 0° 180° > i1 + i2 > 0° ，因此， rs < 0
ts
=
E2s E1s
=
2n1 cos i1 n1 cos i1 + n2 cos i2
tp
=
E2 p E1 p
=
2n1 cos i1 n2 cos i1 + n1 cos i2
譬如
ts
=
⎛ 2 cos i1 ⎜1−
⎝
n22 n12
⎞−
1 2
⎟
⎠
⎛ exp ⎜⎜⎝ ∓i sec i1
sin 2
i1
−
n22 n12
在全反射情况下的相移为：
δs = 2 arctan
n12 sin2 i1 − n22 n1 cos i1
δ p = 2 arctan n1
n12 sin2 i1 − n22 n22 cos i1
180
150
n =1.33 1
120
n =1 2
δ
s
δ
90
p
60
30
0
i
B
i
c
0
30
60
90
i
1
2.8
2.6
=
n22 cos i1 − in1 n22 cos i1 + in1
n12 sin2 i1 − n22 n12 sin2 i1 − n22
= exp
−iδ p
结论： rs = rp = 1 表示反射比为 1，光能量完全反射回介质 1，因此称作全内反射。
11
Phase Shift r,r ,t,t
s psp
1
Stocks 公式：
A
Ar
Att'
Ar
Arr
Art
At
Atr'
At
Arr + Att′ = A 可知： Art + Atr′ = 0
r2 + tt′ = 1 r + r′ = 0
2
1.2 振幅反射(透射)比 相位跃变(相移) 1、透射比与相位跃变
ts
=
2n1 cos i1 n1 cos i1 + n2 cos i2
n 3
2、菲涅尔菱形棱镜 Fresnel Prism
n=1.5
i i1
1
i =48.50 or 54.50
1
δ=δ -δ =450 ps
1/4 波片：线偏振入射光转化为椭圆偏振光。
13
全内反射情况下的透射场
P 1
P' 1
S 1
n 1
k 1
i
1
i'
1
S' 1
k' 1
n 2
k
x
i
2
2
P 2
z
S 2
i1
=
n2 2
ε0 μ0
A2 2 cos i2
R = W1′ = W1
A1′ 2 A1 2
=
r2
T = W2 = n2 cos i2 A2 2 = n2 cos i2 t 2 W1 n1 cos i1 A1 2 n1 cos i1
R+T =1
σ cosi 1
σ cosi 1
i
n
1
1
n
σ
2
i
2
σ cosi 2
i <i
1B
i
n
1
1
n 2
n 3
n <n <n 123
i >i
1B
i
n
1
1
n 2
n 3
n >n >n 123
i >i
1B
10
3、全反射现象
在 内 反 射 情 况 下 ( 即 n1 > n2 ) ， 根 据 折 射 定 律 n1 sin i1 = n2 sin i2 ，存在
ic
=
arcsin
n2 n1
d=z=
2π
λ0
n12 sin2 i1 − n22 ；(3)波矢常数： k2 sin i2 > k2 。
应用：近场光学
15
1.3 反射率和透射率
W1
=
I1σ
cos i1
=
n1 2
ε0 μ0
A1 2 cos i1
W1′ =
I1′σ
cos i1
=
n1 2
ε0 μ0
A1′ 2 cos i1
W2
=
I2σ
cos i2
ts
=
E2 s E1s
=
2n1 cos i1 n1 cos i1 + n2 cos i2
=
2 cos i1 sin i2
sin (i1 + i2 )
tp
=
E2 p E1 p
=
2n1 cos i1 n2 cos i1 + n1 cos i2
=
2 cos i1 sin i2
sin (i1 + i2 ) cos (i1 − i2 )
P 1
P' 1
n 1
n
n >n 12 x
2
i1 > iB 时， rp > 0 。 掠入射( i1 → 90° )时， rp > 0 。
n 1
P 1
n 2
n >n 12
P' 1 x
注意：1、右图这种情况只有当 n1 稍大于 n2 时才可能发生，因为 iB
< i1
< ic
= arcsin
n2 n1
< 90° 。
rs
=
E1′s E1s
=
n1 cos i1 − n2 cos i2 n1 cos i1 + n2 cos i2
=
−
sin sin
( (
i1 i1
− +
i2 i2
) )
rp
=
E1′p E1 p
=
n2 cos i1 − n1 cos i2 n2 cos i1 + n1 cos i2
=
tan (i1 − i2 ) tan (i1 + i2 )
rs
=
n1 cos i1 n1 cos i1
− n2 cos i2 + n2 cos i2
=
n1 cos i1 n1 cos i1
−i +i
( ) n12 sin2 i1 − n22Baidu Nhomakorabea
n12 sin2 i1 − n22
= exp
−iδ s
( ) rp
=
n2 cos i1 − n1 cos i2 n2 cos i1 + n1 cos i2
ts ≥ 0 则 tp ≥ 0
结论：折射光不发生相位突变！
r,r,t,t s psp
1.0
0.8
0.6
n =1 1
n =1.5 2
0.4
r
r
s
p
t
t
s
p
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0 0
30
60
i
1
90
3
r,r,t,t s psp
r,r ,t,t s psp
光疏→光密
1.0
0.8
= atan
n2 n1
< arcsin
n2 n1
= ic
6
光疏→光密( n1 < n2 )： 近垂直入射时( i1 ≈ 0° )时， rp > 0 ；
P 1 P'
1
n 1
n
n <n 12 x
2
掠入射( i1 → 90° )时， rp < 0 。
n 1
P 1
n 2
n <n 12
P' 1 x
7
光密→光疏( n1 > n2 )： i1 < iB 时， rp < 0 ； 近垂直入射时( i1 ≈ 0° )时， rp < 0 ；
2.4
2.2
n =1.33 1
n =1
2.0
2
r
r
s
p
1.8
t
t
s
p
1.6
1.4
1.2
i
c
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
i
B
0.0
-0.2 0
10
20
30
40
50
60
i
1
12
全内反射的应用： 1、导波光学 Waveguide / Optical fiber
n 1
n <n , n <n 12 32
n 2
⎞ ⎟⎟⎠
14
2、相位因子
exp ⎡⎣i (k2 ⋅r −ωt )⎤⎦ = exp ⎡⎣i (k2x x + k2z z −ωt )⎤⎦ = exp ⎡⎣i (k2x sin i2 + k2z cos i2 −ωt )⎤⎦
⎡⎛
=
exp
⎢i ⎢⎣
⎜⎜⎝
k2
x
sin
i2
±
ik2
z
n12 n22
sin2
=
2 cos i1 sin i2
sin (i1 + i2 )
tp
=
n2
2n1 cos i1 cos i1 + n1 cos i2
=
2 cos i1 sin i2
sin (i1 + i2 ) cos (i1
− i2 )
0 ≤ i1 < 90°
0 ≤ i1 + i2 < 180°
由于 0 ≤ i2 < 90° ，且存在 0 ≤ i1 − i2 < 90°
i1
−1
−
ωt
⎞⎤ ⎟⎟⎠⎥⎦⎥
=
exp
⎛ ⎜⎜⎝
∓k2
z
n12 n22
sin2
i1
⎞ − 1 ⎟⎟⎠
⋅ exp
⎡⎣i
( k2 x
sin
i2
−
ωt
)⎤⎦
因此，透射场具有如下形式：
⎛
( ) E 2
S P
(r, t )
=
( ) A 2
S P
exp
⎡⎣i
(k2
⋅r
−ωt )⎤⎦
=
( ) A 2
S P
exp ⎜⎜⎝