Fresnel(菲涅尔)公式
菲涅耳公式
讨论： A
i1 iB
i1 i2 / 2
rp 0 rp 0
当
n1 n2 , i1 i2 时
1
rs 0 rs 0
当n
n2 , i1 i2
时
当光从光疏介质向光密介质入射时， 反射光发生相位突变。 B
当
i1 iB
i1 i2 / 2
n1 n2 , i1 i2
反射、折射时的偏振现象
入 射 角 i1 0 反射光偏振态 自然光 部分偏振光（自然光＋S 光） 折射光偏振态 自然光 部 分 偏 振 部分偏振光（自然光＋S 光） 光 自然光
iB
线偏振光（S 光）
2
(ic )
自然光
三、维纳(O.Wiener 1890年)实验证明—— 电场是主要的
光与物质的相互作用，本质上是光与电子的相互作用。运 动的电子既有电荷亦有磁矩，光是电磁波。在光与电子的相互 作用中，是电场起主要作用，还是磁场起主要作用，还是电场 和磁场起等同的作用？-----维纳实验回答了这个问题。
, ,
E 2 s y 0 A2 s
exp i ( k r ' t ) exp i ( k r t )
2 2
其中:
k1 x 0 k1 sin i1 z 0 k1 cos i1 k1 ' x 0 k1 ' cos i1x ' y 0 k1 ' cos i1 y ' z 0 k1 ' cos i1z ' k 2 x 0 k 2 cos i2 x y 0 k 2 cos i2 y z 0 k 2 cos i2 z
fresnel公式
fresnel公式【原创实用版】目录1.Fresnel 公式的定义与含义2.Fresnel 公式的应用领域3.Fresnel 公式的推导过程4.Fresnel 公式的实际应用案例5.Fresnel 公式的局限性与未来发展方向正文【1.Fresnel 公式的定义与含义】Fresnel 公式，又称菲涅耳公式，是由法国物理学家奥古斯特 - 路易 - 菲涅耳（Augustin-Louis Fresnel）于 19 世纪初提出的一种描述光的传播和反射、折射等现象的数学公式。
Fresnel 公式主要描述了光在两种介质之间传播时，反射光和折射光的振幅比值关系。
这一公式在物理学、光学等领域具有重要的理论意义和应用价值。
【2.Fresnel 公式的应用领域】Fresnel 公式在多个领域有广泛的应用，包括但不限于：- 光学领域：Fresnel 公式可以用于解释和预测光的反射、折射等现象，对于光学元件的设计和制造具有重要意义。
- 通信领域：Fresnel 公式在光通信中起到关键作用，例如在光纤通信系统中，通过 Fresnel 公式可以计算光信号在光纤中的传播特性。
- 物理学领域：Fresnel 公式为研究光的基本性质提供了理论基础，有助于我们深入理解光的传播规律。
【3.Fresnel 公式的推导过程】Fresnel 公式的推导过程相对简单，假设光在两种介质之间传播，分别用 A 和 B 表示两种介质，光的入射角为θi，折射角为θr。
设入射光的振幅为 A1，折射光的振幅为 A2，反射光的振幅为 A"1。
根据波动理论，可以得到以下关系式：A1 = A2 * cosθr / cosθiA"1 = A1 * (1 - cosθr / cosθi)通过上述公式，我们可以得到 Fresnel 公式：A"1 / A1 = (1 - cosθr / cosθi)【4.Fresnel 公式的实际应用案例】Fresnel 公式在现实生活中有很多应用案例，例如在光学镜头设计中，通过 Fresnel 公式可以优化镜头的性能，减少光的反射损失，提高成像质量。
Fresnel(菲涅尔)公式
=
n22 cos i1 − in1 n22 cos i1 + in1
n12 sin2 i1 − n22 n12 sin2 i1 − n22
= exp
−iδ p
结论： rs = rp = 1 表示反射比为 1，光能量完全反射回介质 1，因此称作全内反射。
11
Phase Shift r,r ,t,t
s psp
i <i
1B
i
n
1
1
n 2
n 3
n <n <n 123
i >i
1B
i
n
1
1
n 2
n 3
n >n >n 123
i >i
1B
10
3、全反射现象
在 内 反 射 情 况 下 ( 即 n1 > n2 ) ， 根 据 折 射 定 律 n1 sin i1 = n2 sin i2 ，存在
ic
=
arcsin
n2 n1
-0.6
-0.8
-1.0 0
30
60
90
i
1
光密→光疏
2.8
2.6
2.4
2.2
n =1.33 1
n =1
2.0
2
r
r
s
p
1.8
t
t
s
p
1.6
1.4
1.2
i
c
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
i
B
0.0
-0.2 0
10
20
30
40
50
60
i
从Fresnel公式可以直接得到反射率和透射率
tg(i1 i2 ) tg(i1 i2 )
ts
Es 2 Es1
2n1 cos i1
n1 cos i1 n2 cos i2
2 sin i2 cosi1 sin(i1 i2 )
tp
EP2 EP1
2n1 cos i1
n2 cos i1 n1 cos i2
2sin i2 cosi1 sin(i1 i2 ) cos(i1 i2 )
i0 56018
I反 7% I入
i0
······i0
i0
线偏振光
························
玻璃 片堆
接近线偏振光
在玻璃片下表面处的反射，其入射角33.70也正是光从玻璃射向 空气的起偏振角，所以反射光仍是垂直于入射面振动的偏振光。
反射偏振的应用：
1.测量不透明介质的折射率。
也出现光的偏振现象。 反射光中垂直入射面的
n1····i i ····
分量比例大；
n2 r ·
折射光中平行入射面的
分量比例大。 入射角 i 变
自然光反射和折射 后产生部分偏振光
反射、折射光的偏振度也变。
当入射角与折射角之和为 i0+ r0 = 90O 时， 发现反射光中只有垂直入射面的分量。
i0+r0 = 90O.
A 光路可逆原理。
Att Arr Art
Ar
n1 At n2
Atr
Ar2 Att A r 2 tt 1
Art
Atr
0
r r 0
r r,
r 2 r 2
r2 1 tt
Stocks倒逆关系
位相关系
如果将公式中的振动量作为复振幅处理， 则反射率、透射率即为两个复数的比值，其幅 角便是相应两列波的位相差的负值。
菲涅耳公式——精选推荐
§1-6 菲涅耳公式一．菲涅耳公式电磁波通过不同介质的分界面时会发生反射和折射，在电动力学中将讲到入射、反射和折射三束波在分界面上振幅的大小和方向之间的关系，这一关系可由菲涅耳公式表达出来，上节提到的在反射过程中发生的半波损失问题，就可以用这个公式来解释，这一公式对以后讲到的许多光学现象，都能圆满地加以说明。
菲涅耳公式的内容说明如下：在任何时刻，我们都可以把入射波、反射波和折射波的电矢量分成两个分量，一个平行于入射面，另一个垂直于入射面。
有关各量的平等分量与垂直分量依次用指标P 和S 来表示。
以1i 、'1i 和2i 分别表示入射角、反射角和折射角，它们确定了各波的传播方向（在大多数情况下，只要注意各波的磁场矢量即可，因为知道了各个波的传播方向，各波的磁场矢量就可按右螺旋关系确定）。
以1A 、'1A 和2A 来依次表示入射波、反射波和折射波的电矢量的振幅，它们的分量相应就是1P A 、1'P A 、2P A 和1s A 、1's A 、2s A 。
由于三个波的传播方向各不相同，必须分别规定各分量的某一个方向作为正方向，这种规定当然是任意的。
但是只要在一个问题材的全部讨论过程中始终采取同一种正方向的选择，由此得到的各个关系式就具有普遍的意义，(a)(b)(图1-16)图1-16中xy 平面为两介质的分界面，z 轴为法线方向，xz 平面为入射面，规定电矢量的s 分量以沿着y +方向的为正，这对于入射、反射和折射三个波都相同，图中III II I 、、三个面依次表示入射、反射和折射三个波的波面。
电矢量的P 分量沿着这三个波面与入射面的交线，它们的正方向分别规定为如图1-16)()(b a 、所示，且S 分量、P 分量和传播方向三者构成右螺旋关系。
在传播过程中，电矢量的方向是在不断变化的，我们所注意的仅是在反射、折射过程这一瞬时的变化，所以菲涅耳公式所表示的有关各量的方向都是指紧靠两介质分界面O 点处而言的（在图中为清楚起见，将通过O 点的三个波面画III II I 、、画在离开O 点较远之处）。
菲涅尔方程式
菲涅尔方程式
菲涅耳方程式（Fresnel Equations）是用来描述光在两种介质界面上反射和透射的现象和规律的方程式。
它由奥古斯汀·菲涅耳（Augustin-Jean Fresnel）在19世纪提出，并成为光学领域中的重要理论工具。
菲涅耳方程式分为反射方程和透射方程，分别描述了光在界面上的反射和折射（透射）行为。
这些方程式基于电磁波的传播和边界条件，可以通过麦克斯韦方程和边界条件进行推导。
反射方程描述了入射光波在介质界面上的反射行为。
对于垂直入射的光，反射系数（反射光强与入射光强之比）可以通过下述菲涅耳反射方程计算：
r = (n1 - n2) / (n1 + n2)
其中，n1和n2分别是两种介质的折射率，r是反射系数。
透射方程描述了入射光波通过介质界面的折射行为。
同样对于垂直入射的光，透射系数（透射光强与入射光强之比）可以通过下述菲涅耳透射方程计算：
t = 2n1 / (n1 + n2)
其中，n1和n2分别是两种介质的折射率，t是透射系数。
需要注意的是，菲涅耳方程式仅适用于垂直入射的光，并且忽略了光在界面上的散射和吸收行为。
在实际应用中，还需要考虑光的入射角度、极化状态和表面特性等因素，并结合其他衍射、干涉等现象来对界面上的光行为进行更全面的描述。
菲涅耳方程式在材料科学、光学器件设计和表面反射控制等领域中具有广泛的应用，并能解释和预测光在界面上的反射和透射现象。
21 23菲涅耳公式
?1
90
n1> n2
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
此时，根据菲涅耳公式有 ?B +?2 = 900，即该入射角
与相应的折射角 互为余角。利用衍射定律，可得该 特定角度满足
tan ? B
?
n2 n1
(151)
该角 ?B 称为布儒斯特角。例如，当光由空气射向玻 璃时，n1=1，n2=1.52，布儒斯特角为 ?B = 56040?。
T ? Wt ? n2 cos ? 2 t 2 Wi n1 cos ?1
将菲涅耳公式代入，即可得到入射光中 s 分量和 p 分量的反射率和透射率的表示式分别为
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
Rs
?
rs2
?
sin2 (?1 sin2 (?1
射角?1，就可由折射定律确定折射角 ?2，进而可由上
面的菲涅耳公式求出反射系数和透射系数。下图绘 出了在、n1< n2 和 n1 > n2 两种情况下，反射系数、透
射系数随入射角 ? 1的变化曲线。
1.0
tp
0.5
r p ts
0
?B
-0.5
rs 56.3
-1.0
?1
0 30 60 90
n1=1.0, n2=1.5
ki 1 2
n
?i ?r
kr
x
O ?t kt
Hale Waihona Puke 界面2.1 反射定律和折射定律 (Reflection law and refraction
law)
r 是界面上任意点的矢径，在上图所示的坐标情况 下，有
菲涅耳公式
菲涅耳公式
费涅耳公式，也称费涅耳定律，它是由德国物理学家威廉·费涅耳在1850年提出的一种物理公式，主要用于研究不同温度下液体的密度和比重。
它可以用来计算一定温度下液体的密度和比重，也可以用来研究液体的物理性质。
费涅耳公式的表达式为：ρ=ρ0（1-α（t-t0）），其中ρ表示温度t时的液体密度，ρ0表示温度t0时的液体密度，α表示温度变化时的热膨胀系数。
这个公式表明，任何液体的温度变化都会导致其密度和比重发生变化。
费涅耳公式也可以用来研究液体的物理性质，因为液体温度的变化会对液体的物理性质产生影响。
例如，当液体温度升高时，液体的粘度和抗拉强度会降低；当液体温度升高时，液体的比表面张力会增加。
费涅耳公式的发现对于物理学的发展有着重要的意义，它给出了不同温度下液体的密度和比重之间的关系，使得研究液体的物理性质变得更加精确和客观。
它也为控制液体的性质提供了有效的方法，使得很多工业生产变得更加高效和可控。
总之，费涅耳公式是一个重要的物理学公式，它为液体的研究和控制提供了重要的理论基础。
菲涅耳公式汇总.
根据电磁场边界条件，得
cos i1 E2 cos i2 E1 cos i1 E1
H2 H1 H1
n2 E2 n1E1 n1E1
E1(n2 cos i1 n1 cos i2 ) E1 (n2 cos i1 n1 cos i2 ) 0
P光的振幅反射系数（reflectionion cofficient）
O
Y
i2
H2
1s 2 s 1s 2 s
s 光反射与折射时的电磁矢量
S光的等效折射率 s n cos i S光的振幅透射系数（transmission cofficient）
E2 2n1 cos i1 ts E1 n1 cos i1 n2 cos i2
菲涅耳公式
第五章 菲涅耳公式 与薄膜光学
一、菲涅耳公式（Fresnel formula） 电磁场边界条件：
（1）电场强度E 在界面上的平行分量连续。
（2）若界面上没有表面电流，即电流密度 j0 =0 ，磁场强度H 在界面上的平行 分量连续。 （3）磁感应强度B 在界面上的垂直分量连续。 （4）若界面上没有表面电荷，即电荷密度 ρ0 =0 ，电位移矢量D 在界面上的垂 直分量连续。
q
解： tg i 1= 1.33 1 tg i 2= 1.50 1.33
i1
i 1= 53.60 i 2= 48.440
n 1=1
r
n =1.33
2
i2
q
r = 900 i 1 = 36.940
因为三角形内角之和为 1800 ∴ q + ( 900+ r )+ ( 900 i 2 ) =1800
n 3 =1.50
菲涅尔
由于我们使用的无线网桥一般工作在2.4～5.8GHz频段，电磁波具有类似光波的特性。
近距离传输时，由于功率余量大，即使中间有阻挡也能通过反射波或天线旁瓣进行通信。
但远距离时，一定要求收发天线之间实现“视线无阻挡”(clear line of sight)，其含义是，在收发天线之间连一条线，以这条线为轴心，以R为半径的一个类似于管道的区域内，没有障碍物的阻挡。
如图所示，这个管道称为菲涅尔区(Fresnel Zone)，菲涅尔区是一个椭球体，收发天线位于椭球的两个焦点上，图5中R为第一菲涅尔半径，计算公式如下: R=0.5(λD)0.5(4) λ为波长，D为两天线的距离λ=3*108/f m 从(4)式可得当频率固定时，菲涅尔半径随着传输距离的增加而增大。
例: 当D=10Km，f=2.4GHz时λ=0.125m R=17.678m f＝5GHz时λ=0.06m R=12.247m 从上式比较中可得当距离固定时，频率越高，其菲涅尔半径越小。
这表明在低频段通信中影响通信的某些障碍物，在高频段可能不再影响通信。
为保证系统正常通信，收发天线架设的高度要满足使它们之间的障碍物尽可能不超过其菲涅尔区的20％，否则电磁波多径传播就会产生不良影响，导致通信质量下降，甚至中断通信。
例如在海上通信，通信双方高度相同，频率为2.4GHz，通信距离7Km，海浪的高度为2米，那么天线架设的高度要大于L=2+14.790=16.790m。
类比：有时候，我感觉人的眼睛的最有效的视力范围也是一个椭球体。
椭球体之外的东西虽然也能看到，但是已经不是特别的清晰。
一个训练有素的射击运动员，他的有效视力范围一定集中在他和目标的半径非常小的椭球体内。
应用：在无线站址勘测的时候，一定要注意覆盖范围是否有大于菲涅尔半径的阻挡物。
尤其是大的广告牌，高楼等障碍物。
菲涅尔区是一个椭球体，收发天线位于椭球的两个焦点上。
这个椭球体的半径就是第一菲涅尔半径。
fresnel公式
fresnel公式Fresnel公式是描述光在两种介质之间传播时发生反射和折射的规律。
它由奥古斯汀·让·菲涅耳在19世纪初提出。
Fresnel公式分为反射和折射两个部分，分别描述了光的入射、反射和透射的振幅和相位之间的关系。
根据Fresnel公式，入射光线在介质界面上会发生一部分反射，另一部分则会折射进入下一个介质。
对于垂直入射的光线，反射系数和折射系数可以按以下公式计算：反射系数R = |(n1 - n2) / (n1 + n2)|^2折射系数T = 1 - R其中，n1和n2分别为上一个介质和下一个介质的折射率。
反射系数表示入射光线被反射的比例，折射系数表示入射光线被折射的比例。
对于非垂直入射的光线，Fresnel公式还包括极化方向的影响。
在这种情况下，入射光线可以分为垂直极化（s极化）和平行极化（p极化）两部分。
对于s极化，反射和折射系数分别为：反射系数Rs = |(n1*cos(θ1) - n2*co s(θ2)) / (n1*cos(θ1) + n2*cos(θ2))|^2折射系数Ts = 1 - Rs其中，θ1和θ2分别为入射角和折射角。
对于p极化，反射和折射系数分别为：反射系数Rp = |(n2*cos(θ1) - n1*cos(θ2)) / (n2*cos(θ1) + n1*cos(θ2))|^2折射系数Tp = 1 - RpFresnel公式在光学领域和光学器件设计中具有广泛应用。
例如，它可以被用来优化反射镜、透镜和光学薄膜的性能，以及研究光在介质中的传播和吸收等现象。
总结来说，Fresnel公式描述了光线在介质界面上的反射和折射行为，它提供了计算反射和折射系数的数学表达式，便于研究光的传播和相位的变化。
4.3 菲涅耳公式
一、菲涅尔公式
从电磁场的边界条件和振幅关系,可推出菲涅 耳公式,并从菲涅耳公式推出布儒斯特定律, 斯 托克斯定律, 反射光强度和相位的变化.
光是电磁波, 光在界面上反射和折射时应满足电 磁场的边界条件. 即
E1t E2t ,
H1t H 2t .
物理科学与信息工程学院
在任何时刻，都可以把入射波，反射波和折射波的 电矢量分成两个分量。一个平行入射面Ep，另一个垂 直入射面Es
物理科学与信息工程学院
二、 菲涅尔公式的其它形式
利用三角函数公式及折射定律，可将菲涅尔公式 化为另一种形式。 ' AP1 n2 cos i1 n1 cos i2 rP AP1 n2 cos i1 n1 cos i2
As' 1 n1 cos i1 n2 cos i2 rs As1 n1 cos i1 n2 cos i2
As1 在传播过程中，电 矢量的方向是在不断 变化的，我们关注的 仅是反射、折射发生 的瞬间变化。 Ap1
i1
i
A ' s1 1
Ap1′ X
Y
i2
Ap2
As2
Z 菲涅尔公式所表示的有关各量的方向都是指紧靠两 介质分界面的反射点O处而言。 菲涅尔公式如下：
物理科学与信息工程学院
AP1 tg i1 i2 rP AP1 tg i1 i2
A2 t A1
2n1 n1 n2
本节结束
物理科学与信息工程学院
rp、rs称为振幅的反射比
AS1 sin i1 i2 rS As1 sin i1 i2
AP 2 2 sin i2 cos i1 tP AP1 sin i1 i2 cosi1 i2
单面反射率计算公式
单面反射率计算公式
单面反射率（Single-Sided Reflectance）是指光线从一个介质（通常是空气）射入表面，然后反射回同一介质的比率。
对于一个理想的、非吸收的平面表面，单面反射率可以通过菲涅尔公式（Fresnel equations）来计算。
菲涅尔公式涉及到入射角、折射角、光的波长以及介电常数等参数。
对于垂直入射（法线入射）的情况，单面反射率计算公式如下：
R = (n2 - n1) / (n1 + n2 +2 * sqrt(n1 * n2))
其中，R表示单面反射率，n1 和 n2分别表示入射介质和出射介质的折射率。
然而，在实际应用中，表面通常存在一定的粗糙度，这时需要采用更为复杂的算法来计算单面反射率。
例如，漫反射模型（Diffuse Reflectance）和镜面反射模型（Specular Reflectance）分别适用于粗糙表面和光滑表面的反射率计算。
漫反射模型可以使用以下公式计算：
Rd = k * (π * g) / (4 *λ)
其中，Rd表示漫反射率，k表示表面粗糙度，g表示表面微观几何尺寸，λ表示光的波长。
对于镜面反射，通常采用布氏方程（Brewster's Equation）来计算：
Rs = (n2 - n1) * cosθ / (n1 + n2 -2 * cosθ)
其中，Rs表示镜面反射率，θ表示入射角。
菲涅耳公式与薄膜光学
n1 n1
/ /
cos i1 cos i1
0.0085 0.85%
Rs1
rs21
n0 n0
cos i0 cos i0
n1 n1
cos i1 cos i1
2
0.092
9.2%
玻璃-水界面上的反射率为
Rp2
rp22
n1 n1
/ cos i1 / cos i1
X
H2
s 光反射与折射时的电磁矢量
S光的等效折射率 s n cosi
S光的振幅透射系数（transmission cofficient）
ts
E2 E1
2n1 cos i1 n1 cos i1 n2 cos i2
菲涅耳公式
rp
tg(i2 tg(i2
i1) i1)
tp
sin(
optical waveguide）中的光波耦合问题， 必需研究光子隧穿效应；
光子显微镜利用光子隧穿效应来研究 表面物理现象。
例题： 一方形玻璃缸（n1=1.5)中盛有水 （n2=1.3)的水，问自然光以45°入射时，能 透入水中的光强为入射光强的百分之几？
解： 由折射定律得玻璃中的折射角
i1
arcsin
临界角（critical angle） ic arcsin n2 / n1
布氏角（Brewster angle） iB arctgn2 / n1 iB iC 当入射角从零逐渐增大时，P光
的反射率先在布氏角处降低到零，再到临 界角处上升到100%
例：若入射光是振动面平行入射面的
菲涅耳公式
菲涅耳公式
菲涅耳公式，又称为“菲涅耳现象”，是由瑞士天文学家哈维·菲涅耳（Johannes Kepler）所提出的一种数学定律。
菲涅耳公式描述了两个相邻星体之间的关系，即它们之间的距离是衡量它们之间的强度的重要因素。
菲涅耳公式可以用以下方程式表示：F = Gm1m2/r^2，其中F是两个物体之间的引力，m1和m2是两个物体的质量，G是万有引力常数，r是两个物体之间的距离。
该公式表明，两个物体之间的引力是由它们的质量以及它们之间的距离决定的。
菲涅耳公式是物理学和天文学领域中最重要的数学定律之一，它描述了两个物体之间的引力，这种引力是由它们的质量和它们之间的距离决定的。
菲涅耳公式对于解释宇宙中星体之间的运动有着重要的作用，它给天文学家和物理学家带来了深刻的启发，它也是天体力学理论上最有用的数学公式之一。
菲涅耳公式可以应用于多种情况，如行星的轨道等。
它也可用于研究太阳系的稳定性，它的应用非常广泛，甚至可以用来计算地球与月球之间的引力。
总之，菲涅耳公式是物理学和天文学领域中一个重要的数学定律，它描述了两个物体之间的引力，这种引力是由它们的质量和它们之
间的距离决定的，它也是天体力学理论上最有用的数学公式之一，广泛应用于多种情况，如行星轨道等。
一、 菲涅耳公式(Fresnel formula)
§ 2 光的吸收（Absorption of Light）
1．一般吸收和选择吸收（normal absorption & selective absorption） 一般吸收 吸收很少，且在某一给定波段内几乎不变。 选择吸收 吸收很多，且随波长而剧烈地变化。 例如石英对可见光吸收甚微，但是对3.5~5.0 m 的红外光却强烈吸收。
色散：物质的折射率随波长改变的现象 dn 不同物质有不同的色散率 D d 在同一物质的光谱中，在不同的波长区内， 色散率也是不同的。
物质的折射率越大，光谱展开得越宽，即 D越大。
第六章 光的吸收、散射和色散（Adsorption Scattering and Dispersion of Light ） 6.4 光的散射（Dispersion of Light）
第三章光通过各向同性介质及其界面所发生的现象 §1 光在各向同性介质界面上的反射和折射 一、 菲涅耳公式（Fresnel formula）
As1 ' sin(i1 i2 ) As1 sin(i1 i2 )
Ap1 ' tan(i1 i2 ) Ap1 tan(i1 i2 )
§
2．朗伯定律 能量观点
dI Idx dI a Idx I dI d I I 0 a dx a 为吸收系数 I I 0 e a d ，
0
d
a AC ，式中A是一个与浓度无关 稀溶液：
的常量，C为溶液的浓度。
§ 3 光的色散（Dispersion of Light） 1．色散的特点
As 2 2 sin i2 cosi1 As1 sin(i1 i2 ) Ap 2 2 sin i2 cosi1 Ap1 sin(i1 i2 ) cos(i1 i2 )
菲涅尔公式教学
该公式由法国物理学 家奥古斯丁·菲涅尔 在19世纪初提出， 是光学领域的基础理 论之一。
背景
STEP 4
定义
公式重要性及应用领域
菲涅尔公式是理解光的传播、反射、折射等现 象的关键，对于光学设计、光电子器件、光通 信等领域具有重要意义。
重要性 广泛应用于光学薄膜设计、偏振光学、光纤通 信、激光技术、光学仪器制造等领域。
当光线从一个介质射向另一个介质时，在两 种介质的分界面上，光线会部分或全部返回 到原介质中的现象。
反射定律
反射光线、入射光线和法线在同一平面内； 反射光线与入射光线分别位于法线两侧；反 射角等于入射角。
镜面反射与漫反射
镜面反射是指反射光线平行，形成清晰像； 漫反射是指反射光线不平行，形成模糊像。
折射现象及定律
菲涅尔公式教学
目录
菲涅尔公式简介 反射与折射基本概念 菲涅尔公式推导过程 菲涅尔公式中参数解析 菲涅尔公式应用实例分析 实验验证与误差分析 课程总结与回顾
ONE
1
菲涅尔公式简介
定义与背景
STEP 1
STEP 2
STEP 3
菲涅尔公式（ Fresnel Equations）描述 了光在两种不同介质 之间的反射和折射行 为，特别是与光的偏 振状态有关的现象。
03
参数间的综合影响
菲涅尔公式中的参数（入射角、折射角和折射率）相互关联，共同 决定了光在不同介质间的行为。通过对这些参数的精确测量和计算 ，可以准确预测光在不同条件下的反射、折射和透射等现象，为光 学设计和应用提供重要依据。
ONE
5
菲涅尔公式应用实例分析
光学薄膜设计中的应 用
增反膜设计
与增透膜相反，通过调整薄膜参数，使得特 定波长的光在薄膜表面发生强烈反射，用于 制作反射镜、滤光片等光学元件。
fresnel公式
fresnel公式【引言】Fresnel公式是光学中一个至关重要的公式，它描述了光在两种介质之间传播时的折射和反射现象。
这个公式由法国物理学家Augustin-Jean Fresnel 在19世纪初提出，为光学研究奠定了基础。
本文将探讨Fresnel公式的原理、应用以及它在现代技术中的实例。
【Fresnel公式简介】Fresnel公式分为两部分，一部分描述了光在两种介质之间传播时的折射现象，另一部分描述了光的反射现象。
折射公式为：1 * sinθ1 = n2 * sinθ2其中，n1和n2分别为第一种介质和第二种介质的折射率，θ1为入射角，θ2为折射角。
反射公式为：1 * cosθ1 = n2 * cosθ2其中，θ1为入射角，θ2为反射角。
【Fresnel公式在光学中的应用】Fresnel公式在光学领域具有广泛的应用，例如在光学镜头设计、光纤通信、光学传感器等方面。
通过计算光在不同介质间的折射和反射角度，可以更好地了解光的传播特性，从而优化光学设备的设计。
【Fresnel公式在现代技术中的实例】1.光纤通信：光纤通信利用Fresnel公式来计算光在光纤中的传播损耗，以便优化光纤的结构和材料。
2.光学镜头：在摄影和成像领域，Fresnel公式有助于优化镜头设计，提高成像质量和分辨率。
3.太阳能电池：Fresnel公式在太阳能电池板的设计中也发挥着重要作用，通过调整电池板的倾角和间距，可以减小光的反射和折射损失，提高太阳能的利用率。
【结论】Fresnel公式在光学领域具有重要的理论和实际意义。
掌握这个公式，有助于我们更好地理解光的传播规律，并为光学技术的发展和创新提供理论支持。
从光纤通信到太阳能电池，Fresnel公式在现代技术中的应用无处不在，彰显着其强大的生命力。
PBR技术简介（三）：菲涅尔公式
PBR技术简介（三）：菲涅尔公式上⼀篇⽂章我们讲了Cook-Torrance BRDF模型，我们知道它由三个部分组成：法向分布函数、⼏何函数以及菲涅尔（Fresnel）公式。
这次我们讲菲涅尔公式。
当光线碰撞到⼀个表⾯的时候，菲涅尔公式会返回被反射的光线所占的⽐例，根据能量守恒定律我们就可以相应地计算出折射的光线所占⽐。
这种反射占⽐其实不仅和物体本⾝的材质有关，也和视线和物体本⾝的夹⾓有关。
⽐如说，正对着看⼀个平⾯，看到的⼀定是只有很少的⾼光反射，但是如果从和平⾯近乎90°的⾓度观察的话，那么⾼光的占⽐就会⾮常明显。
综合以上观察，⽤Fresnel-Schlick近似法求得菲涅尔公式的近似解：F Schlick(h,v,F0)=F0+(1−F0)(1−(n⋅v))5F0表⽰平⾯的基础反射率，这是⼀个随材质⽽不同的参数，在⼀些数据库中可以查到不同材质的F0值：观察上表可以发现⼀个有趣的点：⾦属材料和⾮⾦属材料的F0值是存在差异的，⾮⾦属材料的F0三个通道的值⼀般不会⾼于0.17，⾦属材料则可能到1.0；另外⾮⾦属材料三个通道的值是不相等的，⾦属材料相反。
因为⾦属和⾮⾦属在菲涅尔效应上的不同特性，物理学上将⾦属称为导体（Conductor），⾮⾦属称为电介质（Dielectric），所幸通过F0我们可以将导体和电介质的菲涅尔效应⽤Fresnel-Schlick近似的公式统⼀起来。
在实际编码的时候，我们设定⼀个参数metalness，定义了物体材质的⾦属程度,通过它计算出F0。
vec3 F0 = vec3(0.04);F0 = mix(F0, surfaceColor.rgb, metalness);如果是电介质，我们可以输⼊它⾃⼰的F0，对于⾦属则应⽤默认的0.04（⼀个经验值），然后根据metalness的值和物体⾃⾝的颜⾊做中和。
也就是说，如果metalness为1，那么F0完全⽤的是⾦属⾃⼰的颜⾊（此时只有⾼光反射，没有漫反射了）。
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= atan
n2 n1
< arcsin
n2 n1
= ic
6
光疏→光密( n1 < n2 )： 近垂直入射时( i1 ≈ 0° )时， rp > 0 ；
P 1 P'
1
n 1
n
n <n 12 x
2
掠入射( i1 → 90° )时， rp < 0 。
n 1
P 1
n 2
n <n 12
P' 1 x
7
光密→光疏( n1 > n2 )： i1 < iB 时， rp < 0 ； 近垂直入射时( i1 ≈ 0° )时， rp < 0 ；
2.4
2.2
n =1.33 1
n =1
2.0
2
r
r
s
p
1.8
t
t
s
p
1.6
1.4
1.2
i
c
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
i
B
0.0
-0.2 0
10
20
30
40
50
60
i
1
12
全内反射的应用： 1、导波光学 Waveguide / Optical fiber
n 1
n <n , n <n 12 32
n 2
第三章 光通过各向同性介质及其界面所发生的现象
§ 1 光在各向同性介质界面上的反射和折射
1.1 菲涅尔(Fresnel)反射折射公式
P 1
P' 1
S 1
n 1
k 1
i
1
i'
1
S' 1
k' 1
n 2
k
x
i
2
2
P 2
z
S 2
如果 n1 < n2 ：外反射(光疏→光密)； 如果 n1 > n2 ：内反射(光密→光疏)。
ts ≥ 0 则 tp ≥ 0
结论：折射光不发生相位突变！
r,r,t,t s psp
1.0
0.8
0.6
n =1 1
n =1.5 2
0.4
r
r
s
p
t
t
s
p
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0 0
30
60
i
1
90
3
r,r,t,t s psp
r,r ,t,t s psp
光疏→光密
1.0
0.8
=
2 cos i1 sin i2
sin (i1 + i2 )
tp
=
n2
2n1 cos i1 cos i1 + n1 cos i2
=
2 cos i1 sin i2
sin (i1 + i2 ) cos (i1
− i2 )
0 ≤ i1 < 90°
0 ≤ i1 + i2 < 180°
由于 0 ≤ i2 < 90° ，且存在 0 ≤ i1 − i2 < 90°
rp > 0 。 有无相位突变？
5
反射情况
光疏→光密( n1 < n2 )
入射角 i1
垂直分量 S
平行分量 P
0 rp > 0
↓
iB
rp = 0
rs < 0
↓ rp < 0
90o
入射角 i1
0
光密→光疏( n1 > n2 )
垂直分量 S
平行分量 P
rp < 0
↓
iB
rs > 0
rp = 0
↓
rp > 0
i <i
1B
i
n
1
1
n 2
n 3
n <n <n 123
i >i
1B
i
n
1
1
n 2
n 3
n >n >n 123
i >i
1B
10
3、全反射现象
在 内 反 射 情 况 下 ( 即 n1 > n2 ) ， 根 据 折 射 定 律 n1 sin i1 = n2 sin i2 ，存在
ic
=
arcsin
n2 n1
rs
=
E1′s E1s
=
n1 cos i1 − n2 cos i2 n1 cos i1 + n2 cos i2
=
−
sin sin
( (
i1 i1
− +
i2 i2
) )
rp
=
E1′p E1 p
=
n2 cos i1 − n1 cos i2 n2 cos i1 + n1 cos i2
=
tan (i1 − i2 ) tan (i1 + i2 )
2、介于垂直入射和掠入射之间时，入射光线与反射光线之间有一定的夹角，很难判定反射光线 p 分
量的振动方向是否与入射光线 p 分量振动方向一致或者相反。
8
(3) 平行平面薄膜(适合于小角度入射情况)： 折射率中间大、二侧小
折射率中间小、二侧大
i
n
1
1
n 2
n 3
n <n 12
n <n 32
i <i
1B
结论：存在相位突变(π)。
光密→光疏： n1 > n2 则， i1 < i2
0° > i1 − i2 > −90° 180° > i1 + i2 > 0° ，因此， rs > 0
结论：无相位突变。
(2)平行分量：
rp
=
E1′p E1 p
=
n2 cos i1 − n1 cos i2 n2 cos i1 + n1 cos i2
在全反射情况下的相移为：
δs = 2 arctan
n12 sin2 i1 − n22 n1 cos i1
δ p = 2 arctan n1
n12 sin2 i1 − n22 n22 cos i1
180
150
n =1.33 1
120
n =1 2
δ
s
δ
90
p
60
30
0
i
B
i
c
0
30
60
90
i
1
2.8
2.6
d=z=
2π
λ0
n12 sin2 i1 − n22 ；(3)波矢常数： k2 sin i2 > k2 。
应用：近场光学
15
1.3 反射率和透射率
W1
=
I1σ
cos i1
=
n1 2
ε0 μ0
A1 2 cos i1
W1′ =
I1′σ
cos i1
=
n1 2
ε0 μ0
A1′ 2 cos i1
W2
=
I2σ
cos i2
ts
=
E2 s E1s
=
2n1 cos i1 n1 cos i1 + n2 cos i2
=
2 cos i1 sin i2
sin (i1 + i2 )
tp
=
E2 p E1 p
=
2n1 cos i1 n2 cos i1 + n1 cos i2
=
2 cos i1 sin i2
sin (i1 + i2 ) cos (i1 − i2 )
⎞ ⎟⎟⎠
14
2、相位因子
exp ⎡⎣i (k2 ⋅r −ωt )⎤⎦ = exp ⎡⎣i (k2x x + k2z z −ωt )⎤⎦ = exp ⎡⎣i (k2x sin i2 + k2z cos i2 −ωt )⎤⎦
⎡⎛
=
exp
⎢i ⎢⎣
ik2
z
n12 n22
sin2
。
当 i1 > ic 时， n2 sin i2 > n2 ，折射角 i2 不再具有几
何意义。这种现象称作全内反射。
注意：存在
iB
= atan
n2 n1
< arcsin
n2 n1
= ic
应当指出：全反射情况下，Fresnel 公式中，包含
折射角 i2 的三角函数项不再适用于角度关系，而
是一个与复振幅有关的数。
i1
−1
−
ωt
⎞⎤ ⎟⎟⎠⎥⎦⎥
=
exp
⎛ ⎜⎜⎝
∓k2
z
n12 n22
sin2
i1
⎞ − 1 ⎟⎟⎠
⋅ exp
⎡⎣i
( k2 x
sin
i2
−
ωt
)⎤⎦
因此，透射场具有如下形式：
⎛
( ) E 2
S P
(r, t )
=
( ) A 2
S P
exp
⎡⎣i
(k2
⋅r
−ωt )⎤⎦
=
( ) A 2
S P
exp ⎜⎜⎝
−k2 z
n12 n22
sin 2
i1
⎞ −1⎟⎟⎠ ⋅
exp
⎡⎣i
( k2 x
sin
i2
− ωt
)⎤⎦
⎛
=
( ) A 1