(结构动力学)运动方程的建立

t2 (T V )dt t2 Wncdt 0
t1
t1
对上式中的第一项进行分部积分
t2 muudt t1
t2 mu( d u)dt
t1
dt
t2 mu d (u)dt t1 dt
t2 t1
mud(u)

muu
t2 t1

t2 muudt t2 muudt
分析单自由度体系的意义： 第一，单自由度系统包括了结构动力分析中涉及的所有物理量及基本概念。 第二，很多实际的动力问题可以直接按单自由度体系进行分析计算。
图2.1 结构动力分析中常用的单自由度体系力学模型
2.1 基本动力体系
（a）单层框架结构 （b）弹簧―质点体系
两个典型的单自由度体系
物理元件：
集中质量 m 阻尼系数 c 弹簧刚度 k
结构动力学
（2010）
结构动力学
第二章 运动方程的建立
运动方程：描述结构中力与位移关系的数学表达式 （有时称动力方程）
运动方程是进行结构动力分析的基础 运动方程的建立是结构动力学的重点，也是难点
2.1 基本动力体系
单自由度体系：SDOF（Single－Degree－of－Freedom－System） 结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定
两个力学模型完全等效
两个体系的运动方程相同
2.1 基本动力体系
1. 惯性力（Inertial Force）
惯性：保持物体运动状态的能力 惯性力： 大小等于物体的质量与加速度的乘积，
方向与加速度的方向相反。
fI mu
I — 惯性（Inertial）； m— 质量（mass） ； ü — 质点的加速度。
p(t) fI fD fs 0
图2.8 单质点体系的受力分析
fI mu fD cu fs ku
mu cu ku p(t)
2.2 运动方程的建立
3. 虚位移原理
虚位移原理的优点：虚位移原理是建立在对虚功分析的基础之上，而虚功是 一个标量，可以按代数方式运算，因而比Newton第二定 律，或D’Alembert原理中需要采用的矢量运算更简便。
滞变阻尼——时滞阻尼——复阻尼
2.1 基本动力体系 4. 线弹性体系和粘弹性体系 (Linearly Elastic System and Viscous Elastic System)
线弹性体系：由线性弹簧（或线性构件）组成的体系。 —最简单的理想化力学模型。
粘弹性体系：当线弹性系统中进一步考虑阻尼的影响时的体系。 —结构动力分析中的最基本力学模型。
2.1 基本动力体系 5. 非弹性体系 (Inelastic System)
结构构件的力—变形关系为非线性关系，结构刚度不再为常数 构件（或弹簧）的恢复力可表示为
fs fs(u ,u)
fs是位移和速度的非线性函数。
图2.6 非弹性体系中结构构件的力与位移关系
2.2 运动方程的建立
1. 利用牛顿（Newton）第二定律
,
j 1, 2, , N
T —— 体系的动能；
V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能；
Pncj——与uj相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。
用 Hamilton 原理推导 Lagrange 方程
2.2 运动方程的建立
对于有 N 个自由度的结构体系，体系的动能和位能分别为: T T (u1,u2 ,u N ,u1,u2 ,u N )
t2 T t1 u j
d dt
(u
j
)
dt

t2 t1
T u j
d (u
j)
(g)
|
T u j
u j
t2 t1

t2 t1
d dt
(
T u j
)u
j
dt


t2 t1
d dt
(
T u j
)u
j
dt
式(g)代入式(f)得：
N j
t2
(
t1
d dt
F ma
图2.7单质点体系的受力分析
F p(t) fD fs ma fD fs p(t)
a u
fD cu
fs ku
mu cu ku p(t)
单质点体系运动时要满足的控制方程—运动方程
2.2 运动方程的建立 利用牛顿第二定律的优点： 牛顿第二定律是基于物理学中已有知识的直接应用 以人们最容易接受的知识建立体系的运动方程
2.1 基本动力体系
2. 弹簧的恢复力（Resisting Force of Spring）
对弹性体系，弹簧的恢复力也被称为弹性恢复力 弹性恢复力：大小等于弹簧刚度与位移（弹簧变形）的乘积，
方向指向体系的平衡位置。
fs ku
s— 表示弹簧（Spring） k— 弹簧的刚度（Spring Stiffness） u— 质点位移
D’Alembert原理的贡献：建立了动力平衡概念
2.2 运动方程的建立
3. 虚位移原理
虚位移原理：在一组外力作用下的平衡系统发生一个虚位移时，外力在 虚位移上所做的虚功总和恒等于零。
虚位移是指满足体系约束条件的无限小位移。
设体系发生一个虚位移δ u
平衡力系在δ u 上做的总虚功为:
p(t)u fIu fDu fsu 0
t2 t1
N j
( T u j

V u j
Pncj )u j dt

N j
t2 t1
T u j
u j dt

0
(f)
对式(f)的第二项进行分部积分：
t2 t1
T u j
u
j dt

t2 t1
T u j

( du j dt
)dt

2.1 基本动力体系
阻尼系数c 的确定： 不能像结构刚度k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸等来获得， 因为c是反映了多种耗能因素综合影响的系数，阻尼系数一般是
通过结构原型振动试验的方法得到。
粘滞(性)阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。
其它常用的阻尼： 摩擦阻尼：阻尼力大小与速度大小无关，一般为常数 ； 滞变阻尼：阻尼力大小与位移成正比（相位与速度相同）； 流体阻尼：阻尼力与质点速度的平方成正比 。
2.2 运动方程的建立
4. Hamilton原理(积分形式的动力问题的变分方法)
Hamilton原理的优点：不明显使用惯性力和弹性力，而分别用 对动能和位能的变分代替。因而对这两项来讲，仅涉及处理 纯的标量，即能量。
而在虚位移中，尽管虚功本身是标量，但用来计算虚功的力和 虚位移则都是矢量。
动能：集中质量 T 1 mu2
2
转动质量
T 1 J2 2
位能：拉伸弹簧
V 1 ku2 2
转动弹簧
V

1 2
k 2
： 动能 位能 多自由度体系
T1 2i
j
mijuiu j

1 2
j
m ju j 2
V1 2i
kijuiu j
j
2.2 运动方程的建立
4. Hamilton原理(用Hamilton原理建立单自由度弹簧－质量体系的运动方程)
非保守力做功的变分等于0。
t2 (T V )dt t1
t2 t1
Wncdt

0
Wnc Pncju j
j
其中：
T —— 体系的总动能；
V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能；
Wnc—— 作用于体系上非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）所做的功； δ —— 指（在指定时间段内）所取的变分。
d dt
(
T u j
)

T u j
V u j
Pncj (t)
,
j 1, 2, , N
V
N j
V u j
u
j
(d)
同时，非保守力所做功的变分为：
N
Wnc Pncju j
(e)
j
将式(c)、(d)和(e)代入 Hamilton 原理式(2.11)得：
(1)固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散； (2)结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦； (3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。
粘滞(性)阻尼力可表示为：
fD cu
D — 阻尼（damping） c — 阻尼系数（Damping coefficient） ù — 质点的运动速度
2.1 基本动力体系
单层框架结构的水平刚度
k

24EI c h3

3 3
1 4
Ib /Ic
h—框架结构的高度 E—弹性模量 Ib和Ic—梁和柱的截面惯性矩
ρ
→∞：
k

24EI c h3
ρ
→0
：
k

6EI c h3
2.1 基本动力体系
3. 阻尼力（Damping Force）
阻尼：引起结构能量的耗散，使结构振幅骤渐变小的一种作用 阻尼来源（物理机制）：
5.运动的Lagrange方程
用Lagrange方程方程建立体系的运动方程
体系的动能：T 1 mu2 体系的位能：V p(t)
因此，
d dt
(
T u
)

d dt
(mu)

mu
T 0 u
V ku u
代入Lagrange方程：
d dt