对称结构有限元分析

对称结构有限元分析

----3节点三角形单元的分析

一问题分析(对称框架线弹性实体的静力平衡问题)

图是一个方形弹性实体，单位边长、单位厚度、承受等效竖向压力2

1m，其中边界条

KN

件暗示着存在两组相对称的平面，因此现考虑的仅是问题的。每个节点上的自由度号码代表了各自在x和y方向上可能的位移。

结构和单元信息NELS NCE NN NIP

8 2 9 1

AA BB E V

.5 .55 1.E6 .3

约束节点自由度信息NR

5

K , NF(:,K), I=1，NR

10 1 4 0 1 7 0 0 8 1 9 1 0 载荷信息LOADED_NODES

3

(K, LOADS(NF(:,K)), I=1 , LOADED_NODES)

1 .0 -.25

2 .0 -.5

3 .0 -.25

333

3节点三角形单元网络的总体节点和单元编号

3节三角形单元局部坐标系中节点和自由度编号

二理论基础（有限元方法原理）

通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题有限元方法表达格式的基本步骤。最小位能原理的未知场变量是位移，以结点位移为基本未知量，并以最小位能原理为基础建立的有限元为位移元。它是有限元方法中应用最为普遍的单元，也是本书主要讨论的单元。

对于一个力学或无力问题，在建立其数学模型以后，用有限元方法对它进行分析的首要步骤是选择单元形式。平面问题3结点三角形单元是有限元方法最早采用，而且至今仍经常采用的单元形式。我们将以它作为典型，讨论如何应用广义坐标建立单元位移模式与位移插值函数，以及如何根据最小位能原理建立有限元求解方程的原理、方法与步骤，并进而引出弹性力学问题有限元方法的一般表达格式。对于前一问题，着重讨论选择广义坐标和有限元位移模式的一般原则和建立其位移插值函数的一般步骤。对于后一问题，着重讨论单元刚度矩阵和单元载荷向量的形式，总体刚度矩阵和总体载荷向量集成的原理和方法，以及它们各自的特性。

作为一种数值方法，有限元解的收敛性无疑是十分重要的问题，以后将讨论解的收敛准则及其物理意义，所阐明的原则在以后还将得到进一步的应用和具体化。 在建立了有限元的一般表达格式以后，原则上可以将它推广到平面问题以外的其他弹性力学问题和采用任何形式的单元。轴对称问题具有很广泛的应用领域，轴对称问题3结点三角形 单元的表达格式可以看作是平面问题此种单元表达格式的直接推广。

一）弹性力学平面问题的有限元格式

结点三角形单元是有限元方法中最早提出，并且至今仍广泛应用的单元，由于三角形单元对复杂边界有较强的适应能力，因此很容易将一个二维离散成有限个三角形单元，如图1所示。在边界上以若干段直线近似原来的曲线边界，随着单元增多，这种拟合将趋于精确。我们在讨论如何应用有限元方法分析各类具体问题的开始，将以平面问题3结点三角形单元

为例来阐明弹性力学问题有限元分析的表达格式和一般步 1.1）单元位移模式及插值函数的构造

典型的3节点三角形单元节点编码i,j,m ，以逆时针方向编码为正向。每个节点有位移分量如图所示。

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=i i v u i a (i,j,m)

每个单元有6个节点位移即6个节点自由度，亦即

[

]

T

m

m j j i i

m j i e

v u v u v u a a a =⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a

1.2） 单元的位移模式和广义坐标

在有限元方法中单元的位移模式或称位移函数一般采用多项式作为近似函数，因为

多项式运算简便，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。多项式的选取由低次到高次。

3结点三角形单元位移模式选取一次多项式 y x u 321βββ++=

(1)

y x v 654βββ++=

它的矩阵表达式是

φβ=u （2） 其中

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=v u u ⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡=ϕϕφ0

0 []y x

1

=ϕ []T

62

1

ββββ

=

φ称为位移模式，它表示位移作为坐标x ，y 的函数中所包含的项次。对于现在的情况，

单元内的位移是坐标x ，y 的线性函数；61~ββ 是待定系数，称之为广义坐标。6个广义坐标可由单元的6个结点位移来表示。在（1）的1式中代入结点i 的坐标（x ，y ）可得到结点i 在x 方向的位移i μ，同理可得j μ和 m μ。它们表示为

i i i y x u 321βββ++=

j j j y x u 321βββ++= (3) m m m y x u 321βββ++=

解（2）式可以得到广义坐标有结点位移表示的表达式。上式的系数行列式是

A x x y x y x D m

m

j j i

i 21

1

1

== （4） 其实A 是三角形单元的面积。 广义坐标61~ββ为

()m m j j i

i

m

m

j j j i i i u a u a u

a A

y x u y x u y x u D

m

++==

2111β

)(2111112m m j j i i m m j j i i u b u b u b A

y u y u y u D ++==β (5)

)(211

1113m m j j i i m

m

j j i i u c u c u c A

u x u x u x D

++==

β

同理，利用3个结点y 方向的位移，即（a ）式的第2式可求得 )(214m m j j i i v a v a v a A ++=β

)(215m m j j i i v b v b v b A ++=β (6) )(216m m j j i i v c v c v c A

++=β

在（c ）式和（d ）式中 j m m j m

m

j j i y x y x y x y x a -==

m j m j i y y y y b -=-

=1

1 ),,m j i （ (7)

m j m

j i x x x x c +-==1

1

上式（i ，j ，m ）表示下标轮换，如i →j ，j →m ，m →i 。以下同此。

1.3) 位移插值函数

将求得的广义坐标 代入（1）式，可将位移函数表示成结点位移的函数，即 m m j j i i u N u N u N u ++=

m m j j i i v N v N v N v ++= (8) 其中

)(21y c x b a A

N i i i i ++=

(i,j,m) (9)

m j i N N N ,, 称为单元的插值函数或形函数，对于当前情况，他的坐标x 、y 的一次函数。其中的 m i i i c c b a ,,,.

....

,是常熟，取决于单元的3个结点坐标。