一类高阶非线性泛函微分方程解的振动性

一
类高 阶非线性泛函微分方程解 的振动性
丘冠英
（ 嘉应学院 数学 系， 广东 梅州 ５４１） １０ ５
摘 ： 一 高 非 性 函 分 程 ￡ （１Ｆｆ（￡， （ｆ）０ 中 奇 ，究 解 要 对 类 阶 线 泛 微 方 （＋ 一） （ｚ （） ＾） ＝， 为 数研 其 的 ） ，ｇ） （） 其
虑情况 ２． ） 因为当 ￡ １ ≥￡ 时 （ ＞Ｏｚ （ ＞０ 所以 ￡ ） ， ） ， 存在 了 ｔ 和一个正常数 ｄ 和 ｄ 使得 ≥ ｚ
（ （） ≥ ｄ ｇ ￡） ｌ ｄ （ ≥ ｈ ￡ ）
叫）［ ＋ 丽
）（ （
中的 １证 明相似． ）
］ ‘ ×
（ ￡ ￡ ＾（） ） × ＾ （）（ 一 ￡）
Ｉ ｂ １＾￡ 。 （ｚｒ （（） ｛ （（ ） ｈ ￡ （２＾ ） ） ） ，’
ｔ Ｔ ≥ １
Ｉ ） （ ） ㈤ 一 （ ０
县 振 动 的 ， 日微 分 不 等 式 并
因此
， 一『 （ Ｌ ￡ Ｉ ）
振动性 ， 得到 ３ 个新 的解 的振动性准则 ， 得结果推广和 改进 一些文献 中的若干结论． 所
关键 词 ：高阶；非线性；泛 函微分方程 ；振动性
中图分类号 ：Ｏ１５ ７ 文献标识码 ： Ａ
Ｏｓ ｉ ａ ｉｎ ｏ ｌｓ ｆｈ ｇ ｅ － ｒ ｅ ｏ ｌ ｅ ｒ ｆ ｎ ｔｏ ａ ｉｆ ｒ ｎ ｉ ｌｅ ｕ ｔ ｎ ｃｌ ｔｏ ｆａ ｃａ ｓｏ ｉｈ ｒｏ ｄ ｒ ｎ ｎ ｉ ａ ｕｎｙｎ Ｕ ａ －ｉｇ
第４ 期
丘冠英 ： 高阶非线性泛 函微分方程解 的振动性 一类
・１７ ・ ６
砌∽ ≥ ）
因此式 （） ９变为
（（ ） 生 ）
ｔ ７ ≥ ＂ ２
证明
设 Ｊ ｔ方程 （ ） ｃ） （ １ 的一个非振动解， 即当
ｆ ≥ ≥ Ｏ ， ｆ＞０ 和 证 明定 理 １过 程相 同 ， 考 时 （） ． 仅
形如：
＾￡≤￡ （）
＾ （）＞ ０ ￡
当 ∞时 ， ￡一 。 ， （）￣ ｏ假 设 ： （） 。ｇ ｔ－ ｏ． －
（ ＊）存 在 一 个 连续 函数 ｑ （￡， 。 ， Ｏ ∈ ［ ｏ）［， 。 ∞） ，（） ， ） ｑ￡≠Ｏ对于充分大的 ｔ 和正实数 Ｃ Ｃ 使得 ，
２ 主要 结论
定理 １ 假设条 件 （ 满足 ， ＊） 且对于 ≥ 有 ｇ （ ≥Ｏｇ ￡ ． ｔｆ ， （） 如果对所有正常数 ｎ，一１ ２３ ） ≥￡ ｉ ，， ，
方 程
∽≥ （ ’ ＿ （ ） － ） 一 ２（ ２ ２ ） ｔ （ 咒 ） 一旱 ／ ≥。 ８ ！ ， ） ／
的一个非平凡解称为振动的， 否则称它为非振动的．
的一类高阶非线性泛 函微分方程的振动性 ；０４ ２０ 年 米玉珍等［研究高阶多滞量中立型泛 函微分方程的 ５
２０ 年丁朝刚等［研究一类具有阻尼项的 ６ ］ 如果方程（） １ 的任何非平凡解都是振动的， 那么方程 振动性 ；０９ 国外 ， ９３年 １８ （） １称为振动 的； 如果方程 （） １ 的任何非平凡解都是 高阶泛 函微分 方 程解 的振 动性 质． Ｇ ａｅ 研 究高 阶迟滞 微 分方 程振 动 性理 论 ； ｒｃ 等［ ］ 非振动的， 那么方程（） １称为非振动的． １９ 年 Ｇｒ ｅ］ ９１ ａ Ｌ研究一类高阶泛函微分方程解的振 ｃ 国内外学者在高阶泛函微分方程解的振动性理 动性理论 ；９２ Ｇｒ ｅ ］ １９ 年 ａ ［研究一类带非线性 阻尼 ｃ９
Ｉ ） （ ） 一 （ ０
和
由此可知矛盾 ， 假设不成立． 假设 ２成立． １类似， ￡ ２ ） 和 ） 当 ≥￡ 时式（） ５成立．
由引理 ２ 存在 Ｔ ≥￡ 和正常数 ６０ ＜１ ， １ ｚ ，＜６ 使得
，＋ （ｌ
ｊ ×
ｄ
ｘ（ （） 一 （ （） ＾ （） ） ＾ ￡） ￡ ≥
当 ＋ｍ为偶数时 非负 ， 咒 当 ＋ｍ 为奇数时 ， 乱 ’ 正 ， 得 非 使
，
假设 １成立． ） 因为当 ￡ ｌ ≥￡ 时 （） ￡为一增 函数 ， 所以存在 ｔ ２ ≥￡ 和一个正常数 ｋ 使得
（ （） ≥ ｋ ｇ ） ｔ ｔ ≥ ２ （） ５
将条件（ 和式 （） ＊） ５带人方程（） １得到
Ｘ （ （ （ ） ）＝ ｎ ＿ ｔ ）争（ ） ０ ∽＋ ＿ ， ， Ｆ ｘ ）
（） １
论方面进行大量研究也取得许多有意义的成果． 国 内，９ １ １９ 年催宝同口就研究形如 ： ］ （ ＋ Ｐ ￡ｚ ｇ ￡） ） （ （ （ 一０ ） ） （ 其中 为偶数）
式 中： ， ∈ （ｔ，。 ， ：（ ｇ ｈ Ｉ 。 ）Ｒ） 一∞， ，≥ｔ， ０ ∞） ￡ ０ ＦＥ （ｔ， Ｘ Ｒ 且是连续的． Ｉ ∞） Ｒ ， ） ｏ 对所有 ￡ ≥ 有
式 中 ： ￡一 － ＇ 。（） Ｏ 当 ≥ ￡ 时 ） 因此 ， （） ０ ｔ＞ （ ‘ ｌ ． 式 （） ７ 可写 为
＋ ［
ｔ ｔ ≥ ３
］ ×
） ≤ ） ０
ｙ ＋ 号 ｊ ｌ ｌ × ∽
（ ＾ （）０一 九（） ） × ￡）
（－ ）ｈ ∽（ （ ） ∽ ｔ ～ （
，
高阶泛函微分方程解 的振 动性问题 ；９ ３年王连 １９ 文［研究一类高阶泛函微分方程解 的渐近性质 ， ２ ］ 给
出方程解的渐近分类 ， 得到方程所有解振动的条件 ； １ ９ 年关治洪和刘永清［借助于 Ｌ ｂｓｕ 测度等 ９５ ３ ］ ｅｅｇ ｅ 工具研究一类高阶非线性泛函微分方程解的渐近分 类与振动性 ；０ １ ２０ 年李洁坤［借助测度等工具研究 ］
第３ ７卷
行拓展和补充；０６ Ｃ ｎ ａ 等［ 研究形如 ： ２０ 年 ａ ｄｎ ｎ Ｉ （） （一ｒ ＋ ｘ ｔ＋ ￡ ） （＋ｒ］ ’ ￡ ）‘ ＋
没有正解 ， 那么方程（） １是振动的． 证明 假设 （） ￡是方程 （） １ 的非振动解 ， 即当 ￡ ≥Ｏ ， （ ＞０ 由引理 １存在一个 ｔ≥ 使 ≥ 时 ｚ￡ ． ） ， １ 得当 ≥ 时， ￡ ． Ｘ （ ＞０需要考虑以下 ３ ） 种情况 ：
问题 ．
（） ０ 彦 １ ＜ ， ；
２ ‘ （） ０ ｚ 一 （） ０ （ ２（ ） ０ … ， ） ≥ ， ” ￡ ＜ ， ｎ ） ＞ ， ’ －
（） ，≥￡， ￡＞Ｏ ￡ １ ３ （（） ，≤ ）ｚ ￡＞Ｏ Ｏ ≤ ， ￡ ￡ １ ≥ ．
１ 预备知识
引理 ｌ 假设 “是［ ， 上正 的 扎 ［ 珀 ｔ ∞） ｏ 次微分 方程 ， 如果 在Ｉ ｏ ） ｔ ≥ 上非 一直 为零且 ｔ ｏ， ， 正负给定 ， 那么存在一个 ｔ≥￡ 和一个 ｍ， ≤ ≤ 。 ０
１ （） Ｏ ” ￡ ＜ Ｏ （ （） ０ … ， ）ｚ‘ ≥ ， 一 （ ） ’ ， ’ ￡＞ ， 一
（ （ 畦 （ ｔ ） ＋ ， －
ｐ ｄ
ｌ （， （＋ ｄ —０ ｘ ｔ 的高阶 中立 型泛 函微分 方程 振动性 问题 ；０ ７年 ２０ Ｚ ａｇ ｈ ｎ 等 研究 脉冲型高 阶泛 函微 分方程振 动性
（） ７
引理 ２ 假设 满足引理 １且对所有 ￡ ［ Ｍ ， ≥ ，
ｌ （）≠ ０ ｉ ａ ｒ ￡ Ｕ－ （） （） ０ ｎ ￡“ ’￡ ≤
那么对所有 ６Ｏ ＜１ ，＜６ 和充分大的 ｔ 有
）≥ ￡ “ （） 州 ￡
由引理 １存在 ｔ ２ ， ３ 使得 ≥￡
Ｆ ｔ ）ｇ ≥ ｔ Ｉ Ｙ （， ， ｓｎ Ｉ 。｝ Ｊ
≠ ０ｔ ｔ ，≥ ｏ
［ （“￡） （ （ ） （ ￡ ］ ＋Ｆ ｔ ￡， （ ） 一 ） ） （， ） （ （ ￡ ） ）
Ｈ （， ￡ ， （ ） ｔ （） （） ）一 Ｏ
如果方程 ｚ ￡的零点集合是无界 的， （） 方程 （ ） １
Ｋｅ ｒ ｓ：ｈ ｇ ｅ ｒ ｅ ；ｎ ｎ ｉｅ ｒｔ ；ｆ ｎ ｔ ｎ ｌ ｉ ｅ ｅ ｔ ｌ ｑ ａｉｎ；ｏ ｃｌ ｔ ｎ ｙ ｗｏ ｄ ｉｈ ｒｏ ｄ ｒ ｏ ｌ ａ ｉｙ ｕ ｃ ｉ ａ ｆ ｒ ｎ ｉ ｕ ｔ ｎ ｏ ｄ ｆ ａｅ ｏ ｓ ｉ ａｉ ｌ ｏ
对 于泛 函微分方 程
第 ３ 卷 第 ４期 ７
２ １ 年 ８月 ０１
兰
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大
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学
报
Ｖｏ． ７ １３ Ｎｏ ４ ．
Ａｕ ． ０ １ ｇ ２ １
Ｊ ｕｎ ｌｏ ａ ｚ ｏ ｉｅｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ ｏ ｒ ａ ｆＬ ｎ ｈ ｕ Ｕｎｖ ｒｉ ｏ ｃ ｎ ｌｇ ｙ
文章编号 ：１ ７—１ ６２ １） ４０ ６ －４ ６ ３５ ９ （０ １０ —１ ５０
ｆ 。 （ （１Ｆ ） （ ） ｏ ｈ ａｎｄ ｕ ｅｗ ｄｒ ｏ ｆ ￡ 一） （ ｒ ） ” （ ） ）一， ｅ ｗ 。 ｍ ｒ ａｔ ｄ ｅ ｍ ＋ ， ） ｗｒ ｓ ｄ ｂ， ｓｕ ａ ｔｅ ｅ ａ ｎ ｓ ｎｈ
ｎ ｗ ｓ ｉ ａ ｉｎｃ ｉｅｉ ｒ ｂ ａｎ ｄ ｆｒｉｓｓ ｌ ｔ ｎ ｅ ｏ ｃｌ ｔ ｒｔｒａｗｅ ｅｏ ｔｉ ｅ ｏ ｏｕ ｉ ．Ｔｈ ｅ ｕｔｗａ ｅ ｅ ａｉｅ ｎ ｓ ｄｔ ｍｐ ｏ ｅｓ ｍ ｅ ｌ ｏ ｔ ｏ ｅｒ ｓ ｌ ｓｇ ｎ ｒ ｌ ｄａ ｄｕ ｅ ｏｉ ｒ ｖ ｏ ｚ ｃ ｎ ｌ ｓｏ ｓｉ ｏ ｅｌ ｅａ ｕ ｅ ． ｏ ｃｕ ｉｎ ｓ ｍ ｉ ｒ ｔ ｒ ｓ ｎ ｔ
×
（） ￡≥
志ｃ
（ （）（ （ ） ） （ ￡ ￡ ， × ￡ ｈ ￡） ｇ（）一 ）‘ ｃ ｒ
（ —２ ）！）
］ ） （） （
ｔ ７１ ≥ ＂
砌 ∽
（） ９
Ｉ ） ｎ（ （ 硼
。
（） ４
式中： （ 一ｚ （ ＞０ 当 “ ） ‘ ￡ ） （ ≥Ｔ ） 由引理 １ １． 存在 ７ ≥Ｔ 使得 ＂ １ ２
） ｑ （ ） ≥ ∽（ ） ‘ ）
ｔ ｔ ≥ ２ （） ６
（）＞ ０ ￡
（ １ 一 ） （）＞ ０
０≤ ｋ≤ ｍ
ｍ ≤ ｋ≤ ７ ／ ＂
令 （） ￡一 （）￡ ｆ， ￡， ２得 ≥
ｔ （）≥ ｋ ｑ ￡ （） （ （ （） ） ， ￡ （）（ ￡） ） ｔ ｔ ≥ ２
（ ｅ ｏ ｌ ｆ ｔ ｅ ｔ ｓ ｉｙｎ ｉｅｓｔ ，Ｍｅ ｈ ｕ ５ ４ １ ，Ｃ ｉａ Ｓ ｈ ｏ ｏ Ｍａ ｈ ｍａ ｉ ，Ｊ ｉｇ Ｕｎｖ ｒ ｉ ｃ ａ ｙ ｉ ｏ １０ ５ ｈｎ） ｚ
Ａｂ ｔａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｔｈ ｓ ｉ ａｉｎ ｏ ｈ ｏｕ ｉｎ ｏ ａｃａ ｓｏ ｉｈ ｒｏ ｄ ｒｆ ｎ ｔｏ ａ ｉ ｅｅ ｔａ ｑ ａ ｉｎ ｎ ｔ ｅ ｅｏ ｃｌ ｔｏ ｆｔ ｅｓ ｌ ｔ ｓｔ ｌｓ ｆｈｇ ｅ－ ｒ ｅ ｕ ｃｉｎ ｌ ｆ ｒ ｎ ｉｌ ｕ ｔ ｓｉ ｈ ｌ ｏ ｄｆ ｅ ｏ
收稿 日期 ：２ １－２２ ０ １０ —６
作者简介 ： 丘冠英 （９ ４） 男 ， １６ 一 ， 广东梅县人 ， 副教授．
项的迟滞 微分方程 解 的渐近 性质 和振动性 理论 ； １９ 年 Ａ ａｗ ｌ 对文献 ［ ］ ９９ ｇｒ ａ 等［ ９ 的振动性准则 进
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１６ ・ ６
兰 州 理 工 大 学 学 报