空间几何体的结构特征

空间几何体的结构特征

一、知识要点

1．多面体的概念

一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

2、旋转体的概念

由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．

温馨提示：同一个平面图形绕它所在平面内不同的轴旋转所形成的旋转体不同．

3、简单的旋转体——圆柱、圆锥、圆台、球

旋转体结构特征图形表示法

圆柱以矩形的一边所在直线为旋转

轴，其余三边旋转形成的面所围

成的旋转体叫做圆柱，旋转轴叫

做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转

而成的圆面叫做圆柱的底面；平

行于轴的边旋转而成的曲面叫做

圆柱的侧面；无论旋转到什么位

置，不垂直于轴的边都叫做圆柱

侧面的母线

圆柱用表示它的轴的

字母表示，左图中圆

柱表示为圆柱OO′

圆锥以直角三角形的一条直角边所在

直线为旋转轴，其余两边旋转形

成的面所围成的旋转体叫做圆锥

圆锥用表示它的轴的

字母表示，左图中圆

锥表示为圆锥SO

圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆

锥，底面与截面之间的部分叫做

圆台．与圆柱和圆锥一样，圆台

也有轴、底面、侧面、母线

圆台用表示轴的字母

表示，左图中圆台表

示为圆台OO′

球以半圆的直径所在直线为旋转

轴，半圆面旋转一周形成的旋转

体叫做球

球常用表示球心的字

母表示，左图中的球

表示为球O.

温馨提示：(1)几何体都是由表面及其内部构成．

(2)球的常用性质

用一个平面去截球，截面是圆面，而且球心和截面圆心的连线垂直于截面，球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r＝R2－d2，当d＝0，截面过圆心，叫做大圆，其圆周上两点劣弧的长叫球面上两点间的距离．

4、简单组合体

(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的．

(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．

二、例题讲练

例1、根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称。

（1）由6个平行四边形围成的几何体；

（2）由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形。

（3）由5个面围成的几何体，其中上、下两个面试相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后交于一点。

【活学活用1】

（1）四棱柱的顶点数、棱数、面数分别是（）A、8,12,6 B、8,10,6 C、6,8,12 D、8,6,12

（2）用平行于棱柱的侧棱的平面去截棱柱，所得的截面是。

例2、判断下列各命题是否正确；

(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；

(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；

(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；

(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．

[规律方法]准确理解旋转体的定义、把握其结构特征，多角度思考全面地进行分析才能正确地作出判定．

【活学活用2】下列叙述中正确的个数是()．

①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台。

A．0 B．1 C．2 D．3

例3、若右图中的平面图形绕直线l旋转一周，试说明形成的几何体的结构特征．

[规律方法]对于不规则平面图形绕轴旋转问题，首先要对原平面图形作适当的分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆周)等基本图形，然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．【活学活用3】说出下列几何体的结构特征，如下图所示：

例4、圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径与两底面面积之和．

[规律方法](1)求解有关旋转体的基本量问题，一般借助于轴截面构造直角三角形．

(2)把圆台补成圆锥是求解圆台问题的常用方法技巧．

【活学活用4】已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离为1，那么这个球的半径为多少？

三、练习

1. 下列说法中，正确的个数是（ ）

<1>用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台

<2>两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

<3>有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

2. 将下列几何体按结构分类填空

①集装箱；②油罐；③排球；④羽毛球；⑤橄榄球；⑥氢原子；⑦魔方；⑧金字塔；⑨三棱镜；⑩滤纸卷成的漏斗；⑪量筒；⑫量杯；⑬

十字架． (1)具有棱柱结构特征的有_____；(2)具有棱锥结构特征的有_____；

(3)具有圆柱结构特征的有_____；(4)具有圆锥结构特征的有_____； (5)具有棱台结构特征的有_____；

(6)具有圆台结构特征的有_____； (7)具有球结构特征的有_____；(8)是简单几何体的有_____； (9)其它的有_____．

3. 下列图形中不一定是平面图形的是( ) A.三角形 B.四边相等的四边形 C.梯形 D.平行四边形

4.一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ）

A 、 底面是正方形，有两个侧面是矩形

B 、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面

C 、 底面是正方形，相邻的两个侧面是矩形

D 、每个侧面都是全等的矩形的四棱柱

5．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是( )．

A ．一个棱柱中挖去一个棱柱

B ．一个棱柱中挖去一个圆柱

C ．一个圆柱中挖去一个棱锥

D ．一个棱台中挖去一个圆柱

6．下面几何体的截面一定是圆面的是( )． A ．圆台 B ．球 C ．圆柱 D ．棱柱

7．一个圆锥的母线长为20 cm ，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.

8．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是________．

9．下列说法中正确的是( ) A.以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台

C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆

D.圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径

10. 一圆台上底半径为5cm ，下底半径为10cm ，母线AB 长为20cm ，其中A 在上底面上，B 在下底面上，从AB 中点M ，拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到B 点，则这条绳子最短长为_____cm ．

11、如图，若直角梯形ABCD 及其内部个顶绕边AB 旋转360

，则得到的旋转体是（ ） A 、圆锥 B 、圆台 C 、圆锥与圆台的组合体 D 、圆锥与圆柱的组合体

11题图 12题图

12、如图是一个正方体的表面展开图，则图中“2”在正方体中所在的面的对面上的是（ ）

A 、0

B 、9

C 、快

D 、乐

A B C D E 2009快乐