长沙市长郡双语实验学校数学一元二次方程单元综合测试(Word版 含答案)
长沙市长郡双语实验学校九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》经典测试题(培优练)
一、选择题1．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程22x ax b +=的方法，类似地可以用折纸的方法求方程210x x +-=的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段EA 上，折出点B 的新位置F ，因而EF EB =，类似地，在AB 上折出点M 使AM AF =，表示方程210x x +-=的一个正根的线段是（ ）A ．线段BMB ．线段AMC ．线段AED ．线段EM B 解析：B【分析】设正方形的边长为1，AF ＝AM ＝x ，根据勾股定理即可求出答案．【详解】解：设正方形的边长为1，AF ＝AM ＝x ，则BE ＝EF ＝12，AE ＝x+12，在Rt △ABE 中，∴AE 2＝AB 2+BE 2，∴（x +12）2＝1+（12）2，∴x 2+x -1＝0，∴AM 的长为x 2+x -1＝0的一个正根，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是根据勾股定理列出方程，本题属于中等题型． 2．方程22(1)110m x m x -++-=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．m≠±lB ．m≥-l 且m≠1C ．m≥-lD ．m ＞-1且m≠1D解析：D【分析】根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件求解可得．【详解】∵方程22(1)110m x m x -++-=是关于x 的一元二次方程，∴210m -≠，解得1m ≠±，10m +≥，解得：1m ≥-，∴1m >-且1m ≠，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．3．据网络统计，某品牌手机2020年一月份销售量为400万部，二月份、三月份销售量连续增长，三月份销售量达到900万部，求二月份、三月份销售量的月平均增长率？若设月平均增长率为x ，根据题意列方程为（ ）．A ．()40012900x +=B ．()40021900x ⨯+=C ．()24001900x +=D ．()()240040014001900x x ++++=C 解析：C【分析】设月平均增长率为x ，根据三月及五月的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设月平均增长率为x ，根据题意得：400（1+x ）2=900．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．4．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-C解析：C【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．【详解】解：22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．5．若关于x 的方程kx²+4x-1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k-4且k≠0B ．k≥-4C ．k>-4且k≠0D ．k>-4B 解析：B【分析】分k=0和k≠0两种情况考虑，当k=0时可以找出方程有一个实数根；当k≠0时，根据方程有实数根结合根的判别式可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出k 的取值范围．结合上面两者情况即可得出结论．【详解】解：当k=0时，原方程为-4x+1=0，解得：x=14， ∴k=0符合题意；当k≠0时，∵方程kx 2-4x-1=0有实数根，∴△=（-4）2+4k≥0，解得：k≥-4且k≠0．综上可知：k 的取值范围是k≥-4．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．关于x 的一元二次方程()25410a x x ---＝有实数根，则a 满足（ ）． A ．5a ≠B ．1a ≥且5a ≠C ．1a ≥D ．1a <且5a ≠B解析：B【分析】 由方程有实数根可知根的判别式b 2-4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a 一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】解：由已知得：()()()25044510a a -≠⎧⎪⎨--⨯-⨯-≥⎪⎩， 解得：a≥1且a≠5．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．7．下列方程中是一元二次方程的是（ ）A ．210x +=B ．220x -=C ．21x y +=D ．211x x+=B 解析：B【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【详解】解：A.210x +=，是一元一次方程，故本选项不符合题意．B.220x -=，是一元二次方程，故本选项符合题意．C.21x y +=，是二元二次方程，故本选项不符合题意．D.211x x+=，该方程分式方程，故本选项不符合题意． 故选B ．【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．8．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学有（ ）A ．6人B ．7人C ．8人D ．9人B解析：B【分析】设参加活动的同学有x 人，从而可得每位同学赠送的贺卡张数为(1)x -张，再根据“共送贺卡42张”建立方程，然后解方程即可得．【详解】设参加活动的同学有x 人，由题意得：(1)42x x -=，解得7x =或6x =-（不符题意，舍去），即参加活动的同学有7人，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．9．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣1＝0的两个根，则x 1•x 2等于（ ） A ．4B ．1C ．﹣1D ．﹣4C 解析：C【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．【详解】解：∵方程x2-4x-1=0的两个根是x1，x2，∴x1∙x2=-1．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系，两根之和是-ba，两根之积是ca．10．如图，BD为矩形ABCD的对角线，将△BCD沿BD翻折得到BC D'△，BC'与边AD 交于点E．若AB＝x1，BC＝2x2，DE＝3，其中x1、x2是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的两个实根，则m的值是（）A．165B．125C．3 D．2A解析：A 【分析】利用根与系数的关系得到x1＋x2＝4，x1x2＝m，AB＋12BC＝4，m＝AB×12BC，再利用折叠的性质和平行线的性质得到∠EBD＝∠EDB，则EB＝ED＝3，所以AE＝AD−DE＝5−2AB，利用勾股定理得到AB2＋（5−2AB）2＝32，解得AB 1025-或AB1025+（舍去），则BC 2045+，然后计算m的值．【详解】∵x1、x2是关于x的方程x2−4x＋m＝0的两个实根，∴x1＋x2＝4，x1x2＝m，即AB＋12BC＝4，m＝AB×12BC，∵△BCD沿BD翻折得到△BC′D，BC′与边AD交于点E，∴∠CBD＝∠EBD，∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB，∴EB＝ED＝3，在Rt△ABE中，AE＝AD−DE＝BC−3＝8−2AB−3＝5−2AB，∴AB 2＋（5−2AB ）2＝32，解得AB ＝105-或AB ＝105+（舍去），∴BC ＝8−2AB ＝205+，∴m ＝12×205+＝165． 故选：A ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根时，x 1＋x 2＝−b a ，x 1x 2＝c a．也考查了矩形的性质和折叠的性质． 二、填空题11．已知x a =是方程2350x x --=的根，则代数式234a a -++的值为________．-1【分析】利用x=a 是方程x2-3x-5=0的根得到a2-3a=5然后利用整体代入的方法计算代数式的值【详解】解：∵x=a 是方程x2-3x-5=0的根∴a2-3a-5=0∴a2-3a=5∴故答案为解析：-1【分析】利用x=a 是方程x 2-3x-5=0的根得到a 2-3a=5，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】解：∵x=a 是方程x 2-3x-5=0的根，∴a 2-3a-5=0，∴a 2-3a=5，∴()223434541a a a a -++=--+=-+=-．故答案为-1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．把方程2230x x --=化为2()x h k +=的形式来求解的方法我们叫配方法，其中h ，k 为常数，那么本题中h k +的值是_________．3【分析】首先把常数项移到等号右边经配方h 和k 即可求得进而通过计算即可得到答案【详解】根据题意移项得配方得：即∴∴故答案是：3【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法解析：3【分析】首先把常数项移到等号右边，经配方，h 和k 即可求得，进而通过计算即可得到答案．【详解】根据题意，移项得223x x -=，配方得：22131x x -+=+，即2(1)4x -=，∴1h =-，4k =∴143h k +=-+=故答案是：3．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法的性质，从而完成求解．13．已知方程2230x x +-=的解是11x =，23x =-，则方程2(3)2(3)30x x +++-=的解是_____．【分析】把（x+3）看成一个整体另一个方程和已知方程的结构形式完全相同所以x+3与已知方程的解也相同根据此题意解题即可【详解】解：∵是已知方程的解由于另一个方程与已知方程的形式完全相同∴x+3=1或 解析：122,6x x =-=-【分析】把（x+3）看成一个整体，另一个方程和已知方程的结构形式完全相同，所以x+3与已知方程的解也相同，根据此题意解题即可．【详解】解：∵ 1213x x ==-，是已知方程2230x x +-=的解，由于另一个方程()()232330x x +++-=与已知方程的形式完全相同，∴x+3=1或x+3=﹣3，解得：1226x x =-=-，．故答案为：1226x x =-=-，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3=1和x+3=-3是解此题的关键，此题属于换元法解方程．14．若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根，则k =______．4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得：；故答案为4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题解析：4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根，∴()224440b ac k ∆=-=--=，解得：4k =；故答案为4．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．15．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积六十步，只云长阔共十六步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为60平方步，只知道它的长与宽共16步，根据题意得，设长为x 步，列出方程_______．x （16-x ）=60【分析】由矩形的长与宽之间的关系可得出矩形的宽为（16-x ）步再利用矩形的面积公式即可得出关于x 的一元二次方程【详解】解：矩形的长为x 步则宽为（16-x ）步∴x （16-x ）=60解析：x （16-x ）=60【分析】由矩形的长与宽之间的关系可得出矩形的宽为（16-x ）步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x 的一元二次方程．【详解】解：矩形的长为x 步，则宽为（16-x ）步，∴x （16-x ）=60．故答案为：x （16-x ）=60【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．关于x 的方程2880kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围______________．且【分析】利用根的判别式b2-4ac 由于原方程有实数根那么判别式大于或等于零【详解】解：∵关于x 的方程有两个实数根且解得：且故答案为且【点睛】关于x 的方程有两个实数根（1）说明这是一个一元二次方程故解析：k 2≤且0k ≠【分析】利用根的判别式b 2-4ac .由于原方程有实数根，那么判别式大于或等于零.【详解】解：∵关于x 的方程2880kx x -+=有两个实数根，2(8)480k ∆=--⋅⋅≥，且0k ≠，解得：k 2≤且0k ≠，故答案为k 2≤且0k ≠，．【点睛】关于x 的方程有两个实数根，（1）说明这是一个一元二次方程，故“二次项系数不能为0”；（2）“根的判别式△的值要大于或等于0”；这两个条件要同时满足，解题时不要忽略了第一个条件.17．已知x 1和x 2是方程2x 2-5x+1=0的两个根，则1212x x x x +的值为_____．5【分析】直接根据根与系数的关系求出再代入求值即可【详解】解：∵x1x2是方程2x2-5x+1=0的两个根∴x1+x2=-∴故答案为：5【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1x2是一元二次方程ax解析：5【分析】直接根据根与系数的关系，求出12x x +，12x x 再代入求值即可．【详解】解：∵x 1，x 2是方程2x 2-5x+1=0的两个根，∴x 1+x 2=--55-=22，121=2x x ． ∴121252==512x x x x + 故答案为：5．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a． 18．已知1x ，2x 是方程2250x x --=的两个实数根，则2212123x x x x ++=__________．—1【分析】根据根与系数之间的关系解题即可【详解】∵是方程的两个实数根∴∴故答案为：-1【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系解题的关键是根据公式正确计算解析：—1【分析】根据根与系数之间的关系解题即可.【详解】∵1x ，2x 是方程2250x x --=的两个实数根，∴122x x +=，125x x =，∴()()2222112*********x x x x x x x x ++++=+-=-=， 故答案为：-1【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是根据公式正确计算. 19．2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛(即每两个队之间比赛一场)一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜__场11【分析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场则共有（x+1）支队伍参加比赛根据一共比赛66场即可得出关于x 的一元二次方程解之取其正值即可得出结论【详解】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场则共有（x解析：11【分析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，根据一共比赛66场，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，依题意，得：12x(x+1)=66， 整理，得：x 2+x-132=0，解得：x 1=11，x 2=-12（不合题意，舍去）．所以，中国队在本届世界杯比赛中连胜11场．故答案为11．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．关于x 的一元二次方程有两个根0和3，写出这个一元二次方程的一个一般式为______．参考答案【分析】根据方程的解的定义可以得到方程【详解】解：根据题意知方程符合题意即：故答案是：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义熟悉相关性质是解题的关键解析：230x x -=【分析】根据方程的解的定义可以得到方程-=(3)0x x ．【详解】解：根据题意，知方程-=(3)0x x 符合题意，即：230x x -=．故答案是：230x x -=．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟悉相关性质是解题的关键．三、解答题21．解方程：（1）26160x x +-=． （2）22430x x --=．解析：（1）18x =-，22x =；（2）1x =，2x =． 【分析】（1）运用因式分解法求解即可； （2）运用公式法求解即可． 【详解】解：（1）26160x x +-=()()820x x +-=解得18x =-，22x =．（2）22430x x --=， ∵2a =，4b =-，3c =-，∴224(4)42(3)162440b ac -=--⨯⨯-=+=，4422242x ±±===⨯，∴1x =，2x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程，在解答中注意计算的正确性． 22．解方程：2410y y --=．解析：12y =22y = 【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简，开方即可得到答案． 【详解】解：2410y y --=24=1y y - 24+4=5y y - 2(2)=5y -2=y -±解得，12y =22y = 【点睛】此题主要考查了解一元二次方程---配方法，熟练掌握各种解法是解答此题的关键． 23．关于x 的一元二次方程()2220x k x k -++=．（1）判断方程根的情况，并说明理由．（2）若1x =是方程的一个根，求k 的值和方程的另一根． 解析：（1）有两个实数根，证明见解析；（2）1k =，2x = 【分析】（1）利用根的判别式进行判断根的情况，即可得到答案；（2）把1x =代入方程，即可求出k 的值，然后解一元二次方程，即可得到另一个根． 【详解】解：（1）根据题意，在一元二次方程()2220x k x k -++=中，∵2(2)42k k ∆=+-⨯，244k k =-+，2(2)0k =-，∴对于任意的实数k ，原方程总有两个实数根．（2）∵1x =是方程2(2)20x k x k -++=的一个根．∴1(2)120k k -+⨯+=， 解得：1k =，∴原方程为2320x x -+=， 解得：11x =，22x =，∴原方程的另一根为22x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程以及根的判别式，牢记当0∆≥时方程有两个实数根是解题的关键．24．按要求的方法解方程，否则不得分． （1）2450x x -=+（配方法） （2）22730x x -+=（公式法） （3）(1)(2)24x x x ++=+（因式分解法） 解析：（1）1215x x ==-，；（2）12132x x ==，；（3）1221x x ，=-=． 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可；（3）方程整理后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）2450x x -=+， 移项得：245x x +=，配方得：24454x x ++=+，即()229x +=，直接开平方得：23x +=±， ∴1215x x ==-，； （2）22730x x -+=， ∵2a =，7b =-，3c =，()2247423250b ac =-=--⨯⨯=>，∴754x ±==， ∴12132x x ==，； （3）(1)(2)24x x x ++=+，整理得：23224x x x ++=+，即220x x +-=， 因式分解得：()()210x x +-=， ∴20x +=或10x -=， ∴1221x x ，=-=． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是会用配方法、公式法、因式分解法解方程． 25．已知关于x 的一元二次方程22210x k x k +++=（）有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为12,x x ，当1k =时，求2212x x +的值．解析：（1）14k >-；（2）7 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可求解． 【详解】（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴()2221410k k +-⨯⨯>，解得14k >-； （2）当1k =时，原方程为2310x x ++=， ∵1x ，2x 是方程的根， ∴123x x +=-，121=x x ，∴()22212121227x x x x x x +=+-=．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及韦达定理，熟练掌握一元二次方程根的判别式及韦达定理是解题的关键． 26．解方程： （1）2237x x +=； （2）x(2x+5)=2x+5． 解析：（1）112x =，23x =；（2）11x =，252x =-【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法求解． 【详解】解：（1）2x 2-7x+3=0， （2x-1）（x-3）=0， 2x-1=0或x-3=0， 所以x 1=12，x 2=3； （3）移项得，x （2x+5）-（2x+5）=0， 因式分解得，（2x+5）（x-1）=0， ∴x-1=0，2x+5=0， ∴11x =，252x =-； 【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．27．物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件，设二、三这两个月月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率；（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顺客，经调查发现，销售单价与月平均销售的关系如下表：解析：（1）25%；（2）35元 【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：256（1+x ）；三月份的销售量为：256（1+x ）（1+x ），又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x 的值，即求出平均增长率； （2）利用销量×每件商品的利润=4250求出即可． 【详解】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x ，根据题意可得： 256（1+x ）2=400，解得：x 1=14=25%，x 2=94（不合题意舍去）．答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；（2）由表可知：该商品每降价1元，销售量增加5件， 设当商品降价m 元时，商品获利4250元，根据题意可得： （40-25-m ）（400+5m ）=4250， 解得：m 1=5，m 2=-70（不合题意舍去）， 40-5=35元．答：销售单价应定为35元，商品获利4250元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．28．如图，在ABC 中，13AB AC ==厘米，10BC =厘米，AD BC ⊥于点D ，动点P 从点A 出发以每秒1厘米的速度在线段AD 上向终点D 运动．设动点运动时间为t 秒．（1）求AD 的长；（2）当PDC △的面积为15平方厘米时，求t 的值；（3）动点M 从点C 出发以每秒2厘米的速度在射线CB 上运动．点M 与点P 同时出发，且当点P 运动到终点D 时，点M 也停止运动．是否存在t ，使得112PMDABCS S =？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）12厘米；（2）6秒；（3）存在t 的值为2或29281+或29281-得S△PMD=112S△ABC．【分析】①根据等腰三角形性质和勾股定理解答即可；②根据直角三角形面积求出PD×DC×12=15即可求出t；③根据题意列出PD、MD的表达式解方程组，由于M在D点左右两侧情况不同，所以进行分段讨论即可，注意约束条件．【详解】解：（1）∵AB=AC=13，AD⊥BC，∴BD=CD=5cm，且∠ADB=90°，∴AD2=AC2-CD2∴AD=12cm．（2）AP=t，PD=12-t，又∵由△PDM面积为12PD×DC=15，解得PD=6，∴t=6．（3）假设存在t，使得S△PMD=112S△ABC．①若点M在线段CD上，即0≤t≤52时，PD=12-t，DM=5-2t，由S△PMD=112S△ABC，即12×(12−t)(5−2t)＝5，2t2-29t+50=0解得t1=12.5（舍去），t2=2．②若点M在射线DB上，即52≤t≤12．由S△PMD=112S△ABC得12(12−t)(2t−5)＝5，2t2-29t+70=0解得 t 1，t 2综上，存在t 的值为2或 294或 294-，使得S △PMD =112S △ABC ． 【点睛】此题关键为利用三角形性质勾股定理以及分段讨论，在解方程时，注意解是否符合约束条件．。
2022-2023学年湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验中学九年级(上)入学数学试卷(word版含解析)
2022-2023学年湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验中学九年级（上）入学数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若平行四边形中两内角的度数比为2：3，则其中较小的内角是( )A. 36°B. 45°C. 60°D. 72°2.期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩，邱老师：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，”张老师：“我班大部分的学生都考在85分到90分之间，“依照上面两位老师所叙述的话你认为邱者师、张者师所说的话分别针对( )A. 平均数、众数B. 中位数、众数C. 中位数、方差D. 平均数、中位数3.已知一次函数y=−x+2，那么下列结论正确的是( )A. y的值随x的值增大而增大B. 图象经过第一、二、三象限C. 图象必经过点(0,2)D. 当x<2时，y<04.一组数据2，4，5，6，5.对该组数据描述正确的是( )A. 平均数是4.4B. 中位数是4.5C. 众数是4D. 方差是9.25.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(−1,−2)和点B(−2,0)，一次函数y=2x的图象过点A，则不等式2x<kx+b≤0的解集为( )A. x≤−2B. −2≤x<−1C. −2<x≤−1D. −1<x≤06.某商场销售某种水果，第一次降价60%，第二次又降价10%，则这两次平均降价的百分比是( )A. 35%B. 30%C. 40%D. 50%7.根据表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是( )x00.51 1.52 y=ax2+bx+c−1−0.51 3.57A. 0<x<0.5B. 0.5<x<1C. 1<x<1.5D. 1.5<x<28.已知二次函数y=−x2+2mx−m2−m+1(m为常数)的图象与x轴有交点，且当x<−3时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是( )A. −3≤m<1B. −3≤m≤1C. −3<m<1D. m≤−3或m≥19.已知x=t−1，y=t+3，且−2≤t≤2，令S=xy，则函数S的取值范围是( )A. −4≤S≤5B. −3≤S≤5C. −4≤S≤−3D. −4≤S≤010.设a、b是方程x2+x−2021=0的两个实数根，则a2+ab+2a+b的值是( )A. 2020B. 2021C. −1D. −211.如图，抛物线y=x2−2x−3与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，点M是对称轴上的一个动点.连接AM，BM，当|AM−BM|最大时，点M的坐标是( )A. (1,4)B. (1,2)C. (1,−2)D. (1,−6)12.如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上.在动点F运动的过程中，▱EFGH的面积( )A. 逐渐增大B. 逐渐减小C. 不变D. 先增大，再减小二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.将一次函数y=3x+5的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象表达式为______．14.中国贵州省省内的射电望远镜(FAST)是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜.根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点P到口径面AB的距离是100米，若按如图(2)所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是______ ．15.若关于x的一元二次方程(k+2)x2−2x−1=0有实数根，则实数k的取值范围是______．16.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=135°，AD=4√2，AB=8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为______．17.对于任意实数a，抛物线y=x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是______ ．18.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0；④2c<3b；⑤a+b>m(am+b)，(m≠1的实数)．其中正确的结论有______(填序号)三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。
2023年湖南省长沙市长郡双语实验学校中考二模数学试题(含答案解析)
2023年湖南省长沙市长郡双语实验学校中考二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．．下列运算正确的是（）．．．．．一个等腰三角形的两条边分别是2cm和5cmA ．20︒B ．408．下列说法正确的是（）A ．“经过有交通信号的路口，遇到红灯，B ．已知某篮球运动员投篮投中的概率为C ．处于中间位置的数一定是中位数D ．方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小9．关于x 的一元二次方程2x A ．32k >B ．k 10．如图，在ABC 中，CAB ∠得到AB C ''△，点B ，C 的对应点分别为定正确的是（）A ．70CCB ''︒∠=B ．C 二、填空题11．因式分解：24ax ay -12．方程24133x x+=--13．已知扇形的面积为3π14．在Rt ABC 中，C ∠15．如图，在Rt ABC 中，则DE 的长是__________16．4个人进行游泳比赛，赛前A，B，C，D等4名选手进行预测，A说：“我肯定得第一名”，B说：“我绝对不会得最后一名”，C说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名”，D说：“那只有我是最后一名！”，比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误，预测错误的人是_____．三、解答题(1)求证：四边形BECO是矩形；(1)求坡顶B的高度；(2)求楼顶C的高度CD．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰E，连结DE．(1)求证：BD＝DE；(2)若AB＝13，BC＝10，求CE的长．23．从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价商品每天的利润为W（元）．(1)求W与x之间的函数关系式；(1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线表达式；(2)当PQN V 与ABC 相似时，求(3)当EPQ △的外接圆与线段AO 25．如图1，在线段XY 上找一点XQ QYQY XY=，则我们称点Q 为线段XQ QYQY XYϕ==．显然，品质数参考答案：D 、2222y y y --=-，故D 选项错误，故选：C ．【点睛】本题考查合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解答的关键．5．A【分析】分别求出不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．【详解】解：由21x -≤+，得3x ≥-；由11x +<，得x<0，不等式组的解集为30x -≤<，在数轴上表示为：故选：A ．【点睛】本题考查的是数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答本题的关键．6．B【分析】分类讨论：当等腰三角形的腰长为2cm 时和当等腰三角形的腰长为5cm 时，再根据三角形的三边关系，分析即可得出答案．【详解】解：当等腰三角形的腰长为2cm 时，则三边为2cm 、2cm 、5cm ，∵225+<，∴不能组成三角形；当等腰三角形的腰长为5cm 时，则三边为2cm 、5cm 、5cm ，∵255+>，∴能组成三角形，∴综上可得：第三条边的边长是5cm ．故选：B【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边之间的关系，明确三边能否组成三角形是解本题的关键．7．A【分析】由三角形外角性质求出3∠的度数，再由a 与b 平行，利用两直线平行同旁内角互补，得到342∠+∠+∠的度数，根据3∠与4∠的度数求出2∠的度数即可．【详解】解：∵3∠为三角形的外角，∴3170B ∠=∠+∠=︒，∵a b ，∴342180++=︒∠∠∠，∵490∠=︒，370∠=︒，∴220∠=︒，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．8．D【分析】根据随机事件，概率，中位数，方差的意义，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、“经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是随机事件，故原题说法错误，不符合题意；B 、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次，说法错误，不符合题意；C 、处于中间位置的数一定是中位数，说法错误，不符合题意；D 、方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小，说法正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查了随机事件，概率，中位数，方差，熟练掌握随机事件，概率，中位数，方差的意义是解题的关键．9．D【分析】先整理，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：原方程整理得：24120x x k -+-=，∵一元二次方程2412x x k -+=有两个不相等的实数根，在Rt ABC △中，AB =∴22AC AB BC =-=∴2s n 3i AC B AB ==．故答案为：32．【点睛】本题考查了三角函数值的定义，数值等于对边比斜边．5:12i = ，512BM AM ∴=，13AB = 米，5BM ∴=米，12AM =米，5BM DF ∴==米，即坡顶B 的高度为5米（2）过点E 作EN AD ⊥，设EF 为x 米，则()4BF x =+米，45CBF ∠=︒ ，()4BF CF x ∴==+米，60CEF ∠=︒ ，34tan 601x x+∴︒==，()223x ∴=+米，13【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．23．(1)2105004000W x x =-+-，040x ≤＜(2)销售单价应定为15元(3)W 的最大值为2160元【分析】（1）根据销售1件的利润乘以每天销售量等于每天的总利润，直接列式即可作答；（2）令1250W =，可得：21050040001250x x -+-=，解方程即可求解；（3）根据题意有：104005028y x x =-+≥⎧⎨≥⎩，解得：2835x ≤≤，将2105004000W x x =-+-化为顶点式为：()210252250W x =--+，即可知当25x ＞时，函数值随着x 的增大而减小，问题随之得解．【详解】（1）根据题意，有：()()()101040010W y x x x =⨯-=-+⨯-，化简，得：2105004000W x x =-+-，根据1040000y x x =-+≥⎧⎨⎩＞，解得：040x ≤＜，即函数关系为：2105004000W x x =-+-，040x ≤＜；（2）令1250W =，可得：21050040001250x x -+-=，解得：15x =，或者35x =，当15x =时，销量：10400250y x =-+=（件）；当35x =时，销量：1040050y x =-+=（件）；销量越高，越有利于减少库存，即为了减少库存，将销售单价应定为15元；（3）根据题意有：104005028y x x =-+≥⎧⎨≥⎩，解得：2835x ≤≤，将2105004000W x x =-+-化为顶点式为：()210252250W x =--+，∵100-＜，∴当25x ＞时，函数值随着x 的增大而减小，∵2835x ≤≤，∵点E 为线段AB 的中点，∴()3,4E ，∵QP ⊥直线DE ，垂足为P ，∴4PQ =，6OQ t =-，∴()6,4P t -，()6,0Q t -，∴()363EP t t =--=-，由中点坐标公式得：当M 与y 轴相切时，则M∵正方形的边长为2，依题意，1,2CE EB AB ===，∴5AE =，∵折叠，∴2AG OA ==，FG OF =，【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，坐标与图象，平行线分线段成比例，反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，不等式的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．。
湖南省长沙市长郡双语实验中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试题(含答案与解析)
故A、B、C正确，D不正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．
【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据作图即可求出旋转中心点；
【详解】根据题意可知，A与 、B与 是对称点，连接 ， ，分别作 ， 的垂直平分线，交点即为M的坐标，如图所示：
∴点M的坐标为 ．
故答案是B．
【点睛】本题主要考查了旋转对称的知识点，准确分析作图是解题的关键．
10.如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝ ，则弦BC的最大值为（ ）
1. 的绝对值是（）
A. B. C. D.2021
2.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
4.对于二次函数 的图象，下列说法不正确的是（）
A.开口向下B.对称轴是直线
湖南省长沙市长郡双语实验中学2023-2024学年九年级下学期数学入学考试试卷(pdf、无答案)
2021级2024年寒假作业精选练习数学科目一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列说法正确的是（ ）A ．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B ．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C ．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D ．“a 是实数，0a ≥”是不可能事件 3．已知函数3y x=−的图象上有三点()13,y −，()22,y −，()31,y 则函数值y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．231y y y << B ．321y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y <<4．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么a 、b 、c 的符号为（ ） A ．0a <，0b <，0c > B ．0a >，0b >，0c > C ．0a <，0b >，0c >D ．0a <，0b <，0c <（第4题图） （第5题图） （第8题图） 5．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上两点，若35CAB ∠=︒，则∠D 等于（ ） A ．35° B ．55°C ．65°D ．70° 6．已知圆锥的底面半径为3cm ，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积是（ ）A ．18cm 2B ．18πcm 2C ．27cm 2D ．27πcm 27．在平面直角坐标系中，已知点()4,2A −，()6,4B −−，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是（ ） A ．()2,1−B ．()2,1−C ．()8,4−或()8,4−D ．()2,1−或()2,1−BBA8．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为y 平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB x =米，则y 关于x 的函数关系式为（ ） A ．()814y x x =−B ．()782y x x =−C ．()842y x x =−D ．()844y x x =−9．如图，C 是AB 的中点，弦8AB =，CD ⊥AB ，且2CD =，则AB 所在圆的半径为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．10（第9题图） （第14题图） （第16题图）10．如果m 、n 是一元二次方程25x x −=的两个实数根，那么多项式21m mn n −++的值是（ ） A ．12 B ．10 C ．7 D ．5二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．在一个不透明的盒子中装有n 个规格相同的乒乓球，其中有2个黄色球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到黄色球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n 大约是_________．12．在y =x 的取值范围是_________． 13．若反比例函数2ky x−=的图象分布在第二、四象限，则k 的取值范围是_________．14．如图，△DEC 与△ABC 关于点C 成中心对称，3AB =，1AC =，90D ∠=︒，则AE 的长是_________． 15．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如表：则该函数图象的对称轴是_________．16．如图，△ABC 中，点D 在边AC 上，ABD C ∠=∠，9AD =，7DC =，那么AB =_________．三、解答题（共66分）17．（6分）计算：()111tan 602π−⎛⎫−−︒++ ⎪⎝⎭．D CBAED CBADCBA18．（6分）先化简，再求值：2244122a a a a a −+⎛⎫−÷ ⎪++⎝⎭，其中1a =．19．（6分）如图所示，渔船在A 处看到灯塔C 在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行了12km 到达B 处，在B 处看到灯塔C 在正北方向上． （1）求这时渔船与灯塔C 的距离．（2）若渔船继续向正东方向行驶4km 到达D 处，求sin ∠BCD 的值．20．（8分）为喜迎中国共产党第二十次全国代表大公的召开，某中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生数是_________人，圆心角β=_________度；（2）已知该中学共有1500名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？（3）若在这次竞赛中有A 、B 、C 、D 四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加区级比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A 、C 两人同时参赛的概率．东21．（8分）如图，正方形ABCD的边长为9，E、F分别是AB、BC边上的点，且45EDF∠=︒．将△DAE 绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF FM=；（2）当3AE=时，求EF的长．22．（9分）为了创建国家卫生城市，我县某小区购进A型和B型两种分类垃圾桶，购买A型垃圾桶花费了2500元，购买B型垃圾桶花费了2000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花30元．（1）求购买一个A型垃圾桶需多少元？（2）若小区一次性购买A型，B型垃圾桶共60个，要使总费用不超过4000元，最少要购买多少个A型垃圾桶？23．（9分）已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD．（1）求证：PD是⊙O的切线．（2）若4PD=，1tan2DAB∠=，求直径AB的长．MFEDCBAPA24．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线：2y ax bx c =++交x 轴于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点30,2C ⎛⎫− ⎪⎝⎭．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接OD ，过点B 作BE ⊥OD ，垂足为E ，若2BE OE =，求点D 的坐标；（3）如图2，点M 为第四象限抛物线上一动点，连接AM ，交BC 于点N ，连接BM ，记△BMN 的面积为S 1，△ABN 的面积为S 2，求12S S 的最大值．25．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，点D 为弧AB 的中点，过点D 作AB 的平行线交CB 的延长线于点E ．（1）如图1，求证：△ADC ∽△DEC ； （2）若⊙O 的半径为3，求CA •CE 的最大值；（3）如图2，连接AE ，设tan ABC x ∠=，tan AEC y ∠=，①求y 关于x 的函数解析式；②若35CB BE =，求y 的值．AEEA。
长沙市长郡双语实验学校数学代数式单元综合测试(Word版 含答案)
一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）1．双11购物节期间，某运动户外专营店推出满500送50元券，满800送100元券活动，先领券，再购物。
某校准备到此专营店购买羽毛球拍和羽毛球若干．已知羽毛球拍60元1个，羽毛球3元一个，买一个羽毛球拍送3个羽毛球．（1）如果要购买羽毛球拍8个，羽毛球50个，要付多少钱？（2）如果购买羽毛球拍x个（不超过16个），羽毛球50个，要付多少钱？用含x的代数式表示．（3）该校买了羽毛球50个若干个羽毛球拍，共花费712元，请问他们买了几个羽毛球拍．【答案】（1）解：60×8+（50-8×3）×3-50=508（元）（2）解：x≤6时，60x+(50-3x)×3=150+51x; 7≤x≤12时，60x+(50-3x)×3-50=100+51x; 13≤x≤16时，60x+(50-3x)×3-100=50+51x（3）解：设共买了x个羽毛球拍，根据题意得，60x+(50-3x)×3-50=712，解得，x=12. 答：共买了12个羽毛球拍.【解析】【分析】（1）根据题意直接列式计算。
（2）根据满500送50元券，满800送100元券活动，分三种情况讨论：x≤6时；7≤x≤12时；13≤x≤16时，分别用含x的代数式表示出要付的费用。
（3）根据一共花费712元，列方程求解即可。
2．电话费与通话时间的关系如下表：；（2）计算当a＝100时，b的值．【答案】（1）解：依题可得：通话1分钟电话费为：0.2×1+0.8，通话2分钟电话费为：0.2×2+0.8，通话3分钟电话费为：0.2×3+0.8，通话4分钟电话费为：0.2×4+0.8，……∴通话a分钟电话费为：0.2×a+0.8，即b＝0.8＋0.2a.（2）解：∵a＝100，∴b＝0.8＋0.2×100＝20.8.【解析】【分析】（1）观察表格可知通话a分钟电话费为：0.2×a+0.8，即b＝0.8＋0.2a.（2）将a＝100代入（1）中代数式，计算即可得出答案.3．已知M＝（a＋24）x3﹣10x2＋10x＋5是关于x的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为b和c，在数轴上A、B、C三点所对应的数分别是a、b、c.（1）则a＝________，b＝________，c＝________.（2）有一动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度向右运动，多少秒后，P到A、B、C 的距离和为40个单位？（3）在（2）的条件下，当点P移动到点B时立即掉头，速度不变，同时点T和点Q分别从点A和点C出发，向左运动，点T的速度1个单位/秒，点Q的速度5个单位/秒，设点P、Q、T所对应的数分别是x P、x Q、x T，点Q出发的时间为t，当＜t＜时，求2|x P ﹣x T|＋|x T﹣x Q|＋2|x Q﹣x P|的值.【答案】（1）﹣24；﹣10；10（2）解：①当点P在线段AB上时，14＋（34﹣4t）＝40，解得t＝2.②当点P在线段BC上时，34＋（4t﹣14）＝40，解得t＝5，③当点P在AC的延长线上时，4t+（4t-14）+（4t-34）=40，解得t= ,不符合题意，排除，∴t＝2s或5s时，P到A、B、C的距离和为40个单位.（3）解：当点P追上T的时间t1= .当Q追上T的时间t2= .当Q追上P的时间t3= =20，∴当＜t＜时，位置如图，∴2|x P﹣x T|＋|x T﹣x Q|＋2|x Q﹣x P|＝2(3t－14)＋34－4t＋2(20－t)6t－28＋34－4t＋40－2t＝74－28＝46.【解析】【解答】解：（1）∵M＝（a＋24）x3﹣10x2＋10x＋5是关于x的二次多项式，∴a＋24＝0，b＝﹣10，c＝10，∴a＝﹣24，故答案为﹣24，﹣10，10.【分析】（1）根据二次多项式的定义，列出方程求解即可；（2）分三种情形，分别构建方程即可解决问题；（3）当点P追上T的时间t1= .当Q追上T的时间t2=.当Q追上P的时间t3= =20，推出当＜t＜时，位置如图，利用绝对值的性质即可解决问题.4．已知（其中是各项的系数，是常数项），我们规定的伴随多项式是，且. 如，则它的伴随多项式.请根据上面的材料，完成下列问题：（1）已知，则它的伴随多项式 ________.（2）已知，则它的伴随多项式 ________；若，x=________（3）已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于的方程有正整数解，求的整数值.【答案】（1）5x4（2）10x-27；x=4；（3）解：∵∴g（x）=2（a+3）x+16=（2a+6）x+16，由g（x）=-2x，得（2a+6）x+16=-2x，化简整理得：（2a+8）x=-16，∵方程有正整数解，，∴，∵a为整数，∴a+4=-1或-2或-4或-8，∴a=-5或-6或-8或-12.【解析】【解答】解：（1）∵，∴g（x）=5x4；故答案为：5x4；（ 2 ）解：∵ = ，∴g（x）=10x-27，由g（x）=13，得10x-27=13，解得：x=4；故答案为：10x-27；x=4；【分析】（1）由题意可知n=5，根据题中的新定义确定出g（x）即可；（2）先变形为 = ，再根据题中的新定义确定出g（x），并求出所求x的值即可；（3）确定出f（x）的伴随多项式g（x）=（2a+6）x+16，由g（x）=-2x得，再根据方程有正整数解，确定出整数a的值即可.5．如图，将连续的奇数1，3，5，7……排成如下的数表，用十字形框框出5个数．（1）探究规律一：设十字框中间的奇数为x，则框中五个奇数的和用含x的整式表示为________，这说明被十字框框中的五个奇数的和一定是正整数n（n＞1）的倍数，这个正整数n是________；（2）探究规律二：落在十字框中间且位于第二列的一组奇数是21，39，57，75，…，则这一组数可以用整式表示为18m+3（m为序数），同样，落在十字框中间且位于第三列的一组奇数可以表示为________；（用含m的式子表示）（3）运用规律一：已知被十字框框中的五个奇数的和为2025，则十字框中间的奇数是________，这个奇数落在从左往右第________列；（4）运用规律二：被十字框框中的五个奇数的和可能是2020吗？若能，请求出这五个数：；若不能，请说明理由.【答案】（1）5x；5（2）（18m+5）（3）405；五（4）这五个数为404、402、406、396、422．【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，设十字框中间的奇数为x，则框中其它五个奇数为：x﹣2，x+2，x﹣18，x+18．∴x+x﹣2+x+2+x﹣18+x+18＝5x，五个奇数的和一定是正整数n（n＞1）的倍数，这个正整数n是5．故答案为：5x、5．2）因为第二列的一组奇数是21，39，57，75，…21＝1×18+339＝2×18+357＝3×18+375＝4×18+3∴这一组数可以用整式表示为18m+3（m为序数）．∴落在十字框中间且位于第三列的一组奇数可以表示为（18m+5）．故答案为：（18m+5）.3）根据题意，得5x＝2025解得：x＝405∴十字框中间的奇数是405．∵18m+9＝405，解得：m＝22，∴405这个奇数落在从左往右第五列．故答案为：405、五；4）十字框框中的五个奇数的和可以是2020．理由如下：5x＝2020解得：x＝404，∴x﹣2＝402，x+2＝406，x﹣18＝396，x+18＝422．答：这五个数为：404、402、406、396、422．【分析】（1）根据表中数据规律即可列出代数式进而求解；（2）根据第二列的一组奇数的规律即可写出第三列的一组奇数的规律；（3）根据探究规律一和探究规律二所得代数式即可求解；（4）根据探究规律一所得代数式列方程即可求解．6．观察下列等式：（1） ________,（2）猜想规律 ________,（3）有以上情形，你能求出下面式子的结果吗？________,（4）已知，求的值.【答案】（1）（2）（3）（4）解：∵∴∴∴x=1∴【解析】【解答】解：（1）,故答案为：（ 2 ）猜想故答案为：（ 3 ）由以上情形,求出下面式子的结果：故答案为：【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则:用一个多项式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项化为最简形式即可；（2）通过观察（1）中两个等式的左右两边的特点即可得出通用公式：；（3）此题直接逆用（2）发现的通过公式即可直接得出答案；（4）由等式的性质，在两边同时乘以（x-1），然后根据（2）发现的通用公式即可得出，解方程即可求出x的值，再代入代数式，按有理数的乘方运算即可算出答案。
湖南省长沙市长郡双语实验中学、雨花外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题(原卷版)
2024年春季七年级期中限时检测试卷数学时量120分钟，满分120分一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列各数是无理数的是（ ）A. B. C. D. 2. 点所在象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 如图，，若，则的度数是（ ）A. B. C. D. 4. 下列是二元一次方程组的解的是（ ）A B. C. D. 5. 将含30°的直角三角板与直尺如图所示放置，若∠2=40°，则∠1的度数为（ ）A. B. C. D. 6. 下列命题是假命题的是（ ）A 两条直线被第三条直线所截，同位角相等B. 同旁内角互补，两直线平行C. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直7. 如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系以正东方向为轴的正方向，以正北方向为轴的正方向，并且综合楼和教学楼的坐标分别是和，则食堂的坐标是（ ）的..π2271.010010001()2,3P -AB DE ∥25∠=︒BDE B ∠55︒30︒25︒20︒235x y +=22x y =⎧⎨=-⎩32x y =⎧⎨=-⎩23x y =-⎧⎨=⎩53x y =⎧⎨=-⎩30︒40︒50︒60︒x y (4,1)--(1,2)A. B. C. D. 8. 《九章算术》中曾记载：“今有牛五羊二，直金十两；牛二羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，则可列方程组为（ ）A. B. C. D. 9. 图，面积为7的正方形ABCD 的顶点A 在数轴上，且表示的数为1，若点E 在数轴上（点E 在点A 的右侧），且AB ＝AE ，则点E 所表示的数为（ ）A. B.D. +210. 如图，点是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形，…，依此规律，则点的坐标是（ ）A. B. C. D. (3,5)(2,3)-(2,4)(1,2)-5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩2510528x y x y +=⎧⎨+=⎩51058x y x y +=⎧⎨+=⎩21028x y x y +=⎧⎨+=⎩()()0,0,0,1O A 1OAA B 1OA 121OA A B 121OA A B 2OA 232OA A B 2024A ()10122,0()10122,0-()10120,2()10120,2-二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 49的平方根是_____．12. 在中，用含的代数式表示：____________________13. 点A （2，7）到x 轴的距离为_____．14. 如图，把长方形ABCD 沿EF 对折，若∠1=50°，则∠AEF 的度数等于__.15. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，若将点向左平移3个单位长度后刚好落在轴上，则的值为_______．16. 我校在本学期4月上旬举行了“古诗词大赛”，最后有小涵、小颖和小睿三位同学进入最后的冠军角逐，决赛共分为六轮．规定：每轮分别决出第一，第二，第三名（不并列），对应名次的得分分别为（，且均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况：第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮最后得分小颖26小睿12小涵10根据题中所给的信息，下列说法正确的是________（填序号）．①可求得；②小睿每轮比赛都没有获得第一名；③小涵一定有两轮且只有两轮获得第三名；27x y +=y x A ()2,21m m -+A y m ,,a b c a b c >>,,a b c ab c b 8a b c ++=④每轮比赛第二名得分为2分．三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 计算：（1（2．18 解二元一次方程组．（1）；（2）．19. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每一个小方格都是边长为个单位长度的正方形．（1）将先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，请在坐标系中作出；（2）求四边形的面积．20. 甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b ，得到方程组的解为，试计算的值．21. 如图，，．.+12-32923x y x y -=⎧⎨+=⎩31422132x y x y +=⎧⎪--⎨-=⎪⎩ ABC 1 ABC A B C ''' A B C ''' AA C C ''51542ax y x by +=⎧⎨-=-⎩①②31x y =-⎧⎨=-⎩54x y =⎧⎨=⎩20252024110a b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭180ABC ECB ∠+∠=︒P Q ∠=∠求证：．根据图形和已知条件，请补全下面这道题的解答过程．证明：∵ ，∴ ．∴ ．又∵（已知），∴ ．∴ ．又∵ ， ，∴（等量代换）．22. 如图，直线、交于点，，且．（1）求证：；（2）若平分，，求的度数．23. 长郡开福中学在今年3月29日组织了一场有声有色的“爱心义卖”活动．在这次活动中，学生会组织的“衫衫来了，爱心义卖”成为活动焦点.活动前一个月左右学生会购进黑白两种纯色文化衫共200件，组织学校美术爱好者进行手绘设计，计划设计好后全部在义卖活动中售出（颜料由学校提供，不计入成本），预计获利3360元．已知每种文化衫的成本和售价如下表：白色文化衫黑色文化衫12∠=∠180ABC ECB ∠+∠=︒AE ED ∥ABC BCD ∠=∠P Q ∠=∠PB PBC ∠=1ABC ∠=∠-2BCD ∠=∠-12∠=∠CD EF O AO BO ⊥1290∠+∠=︒AB CD OB DOE ∠2:32:5∠∠=AOF ∠DIY成本（元/件）1012售价（元/件）2630（1）他们购进两种文化衫各多少件？（2）由于活动时间有限，白色文化衫按原价售出后，剩余的七五折销售，黑色文化衫原价售出55件后，剩余的八折销售，最后全部卖出．他们将实际获利全部捐赠，求他们在这次“爱心义卖”活动中实际捐款多少元？24. 规定：若是以为未知数的二元一次方程的整数解，则称此时点为二元一次方程的“理想点”．请回答以下关于的二元一次方程的相关问题．（1）已知，请问哪些点是方程的“理想点”？哪些点不是方程的“理想点”？并说明理由；（2）已知为非负整数，且，若“理想点”，求的平方根；（3）已知是正整数，且是方程和的“理想点”，求点的坐标．25. 如图，直线PQ//MN ，一副三角尺中，，，，．（1）若如图①摆放，当平分时，求证：平分；（2）如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线相交于点（图③），求的度数；（3）若图②中固定，将绕点逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间．的23(),P x y ,x y ax by c +=P ax by c +=,x y ()()()2,2,2,1,3,2A B C ---35x y +=35x y +=,m n 5P24x y +=2m n +k (),P x y 22x y +=26kx y +=P ,ABC DEF ∆∆90EDF ∠=︒45A B C B A C ∠=∠=︒60DEF ∠=︒30DFE ∠=︒DEF ∆ED PEF ∠FD EFM ∠ABC ∆AB MN DEF ∆D PQ EF AC ABC ∆DEF ∆AC DF PQ G FGQ ∠GFA ∠,GH FH H GHF ∠DEF ∆ABC ∆B BC BM ABC ∆DEF ∆。
长沙市长郡双语实验学校数学分式填空选择单元综合测试(Word版 含答案)
长沙市长郡双语实验学校数学分式填空选择单元综合测试（Word 版含答案）一、八年级数学分式填空题（难）1．若x+1x ，则x-1x=____________. 【答案】±2【解析】【分析】先对等式x+1x 21()8x x +=，整理得到2216x x+=，再用完全平方公式求出21()x x-的值，再开平方求出1x x -的值. 【详解】解：∵x+1x ， ∴21()8x x += ∴22128x x ++= ∴2216x x += ∴22211()2624x x x x -=+-=-= ∴12x x-=± 故答案是： ±2.【点睛】 本题考查了互为倒数的两个数的和与差的完全平方公式的应用，利用当两数互为倒数时积为1这个特征去解题是关键.2．已知关于x 的方程12x a x +=--有解且大于0，则a 的取值范围是_____． 【答案】a <2 且 a ≠－2【解析】【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，令其解大于0，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集，即可得到a 的范围.【详解】解：原分式方程去分母得：x+a=-x+2，解得：22a x -=， 根据题意得：22a -＞0且22a -≠2， 解得：a<2，a ≠-2.故答案为：a<2，a ≠-2.【点睛】 本题考查了分式方程的解，弄清题意和理解分式有意义的条件是解本题的关键.3．若方程81877--=--x x x有增根，则增根是____________. 【答案】7【解析】 ∵分式方程81877x x x--=--有增根, ∴x-7=0,∴原方程增根为x=7,因此，本题正确答案是7.4．计算22111m m m ---的结果是_____． 【答案】11m - 【解析】 【分析】根据分式的加减法法则进行计算即可得答案．【详解】原式=22111m m m +-- =()()111m m m ++- =11m -， 故答案为11m -. 【点睛】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式加减的运算法则是解题的关键，本题属于基础题.5．关于x 的分式方程12122a x x-+=--的解为正数，则a 的取值范围是_____．【答案】5a <且3a ≠【解析】【分析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a 的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．【详解】去分母得：122a x -+=-，解得：5x a =-，50a ->，解得：5a <，当52x a =-=时，3a =不合题意，故5a <且3a ≠．故答案为：5a <且3a ≠．【点睛】此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意义是解题关键．6．若关于x 的方程2134416x m m x x ++=-+-无解，则m 的值为__． 【答案】-1或5或13- 【解析】【分析】 直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案.【详解】去分母得：()443x m x m ++-=+，可得：()151m x m +=-，当10m +=时，一元一次方程无解，此时1m =-，当10m +≠时， 则5141m x m -==±+， 解得：5m =或13-.故答案为：1-或5或13-.【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键.7．使分式的值为0，这时x=_____．【答案】1【解析】 试题分析：根据题意可知这是分式方程，＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，解之得x=1，经检验可知x=1是分式方程的解.答案为1.考点：分式方程的解法8．某公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%，则这种电子产品的标价为_________元.【答案】28【解析】设这种电子产品的标价为x 元，由题意得：0.9x −21=21×20%，解得：x=28，所以这种电子产品的标价为28元．故答案为28.9．某市为治理污水，需要铺设一段全长600 m 的污水排放管道，铺设120 m 后，为加快施工进度，后来每天比原计划多铺设20 m ，结果共用8天完成这一任务，则原计划每天铺设管道的长度为_________．【答案】60 m【解析】设原计划每天铺设x m 管道，则加快施工进度后，每天铺设（20x +）m ，由题意可得，120600120820x x -+=+，解得：60x =，或5x =-（舍去），故答案为：60 m ． 10．（内蒙古包头市2018届九年级中考全真模拟试卷一数学试题）化简2x 4x 1-+÷（1−3x 1+）的结果为_________. 【答案】2 【解析】原式2x 4x 13x 1x 1x 1-+⎛⎫=÷- ⎪+++⎝⎭ ()2x 22x 4x 2x 1 2.x 1x 1x 1x 2---+=÷=⋅=+++- 故答案为2.二、八年级数学分式解答题压轴题（难）11．已知分式 A =2344(1)11a a a a a -++-÷-- （1）化简这个分式；（2）当 a ＞2 时，把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B ，问：分式 B 的值较原来分式 A 的值是变大了还是变小了？试说明理由；（3）若 A 的值是整数，且 a 也为整数，求出符合条件的所有 a 值的和．【答案】（1）22a a +-；（2）原分式值变小了，见解析；（3）11 【解析】【分析】（1）根据分式混合运算顺序和运算法则化简即可得；（2）根据题意列出算式2622a a A B a a ++-=--+，化简可得16(2)(2)A B a a -=-+，结合a 的范围判断结果与0的大小即可得；（3）由24122a A a a +==+--可知，2a -=±1、±2、±4，结合a 的取值范围可得． 【详解】 解：（1）A=2344(1)11a a a a a -++-÷-- =221311(2)a a a a ---⨯-- =2(2)(2)11(2)a a a a a +--⨯-- =22a a +-； （2）变小了，理由如下： ∵22a A a +=-， ∴62a B a +=+， ∴261622(2)(2)a a A B a a a a ++-=-=-+-+； ∵2a >，∴20a ->，24a +>，∴0A B ->，∴分式的值变小了；（3）∵A 是整数，a 是整数， 则24122a A a a +==+--，∴21a -=±、2±、4±，∵1a ≠，∴a 的值可能为：3、0、4、6、-2；∴3046(2)11++++-=；∴符合条件的所有a 值的和为11．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．12．某公司开发的960件新产品必须加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工48件产品的时间与乙工厂单独加工72件产品的时间相等，而且乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，在加工过程中，公司需每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导.(1)甲、乙两个工厂每天各能加工多少件产品？(2)该公司要选择既省时又省钱的工厂加工产品，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，有望加工这批产品？【答案】(1)甲工厂每天加工16件产品，则乙工厂每天加工24件；(2)乙工厂向公司报加工费用每天最多为1225元时，有望加工这批产品.【解析】【分析】(1)此题的等量关系为：乙工厂每天加工产品的件数=甲工厂每天加工产品的件数+8；甲工厂单独加工48件产品的时间=乙工厂单独加工72件产品的时间，设未知数，列方程求出方程的解即可；(2)先分别求出甲乙两工厂单独加工这批新产品所需时间，再求出甲工厂所需费用，然后根据乙工厂所需费用要小于甲工厂所需费用，设未知数，列不等式，再求出不等式的最大整数解即可.【详解】(1)设甲工厂每天加工x 件产品，则乙工厂每天加工(x+8)件产品， 根据题意得：48728x x =+， 解得：x=16，检验：x(x+8)=16(16+8)≠0，∴x=16是原方程的解，∴x+8=16+8=24，答：甲工厂每天加工16件产品，则乙工厂每天加工24件.(2)解：甲工厂单独加工这批新产品所需时间为：960÷16=60，所需费用为：60×800+50×60=51000，乙工厂单独加工这批新产品所需时间为：960÷24=40，解：设乙工厂向公司报加工费用每天最多为y 元时，有望加工这批产品则：40y+40×50≤51000解之y≤1225∴y 的最大整数解为：y=1225答：乙工厂向公司报加工费用每天最多为1225元时，有望加工这批产品.【点睛】本题考查分式方程的应用，涉及到的公式：工作总量=工作效率×工作时间；分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．13．在计算23224x x x x +-++-的过程中，三位同学给出了不同的方法： 甲同学的解法：原式=222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+-----==----； 乙同学的解法：原式=3231312(2)(2)222x x x x x x x x x x +-++--=-=++-+++=1； 丙同学的解法：原式=（x+3）（x ﹣2）+2﹣x=x 2+x ﹣6+2﹣x=x 2﹣4．（1）请你判断一下， 同学的解法从第一步开始就是错误的， 同学的解法是完全正确的．（2）乙同学说：“我发现无论x 取何值，计算的结果都是1”．请你评价一下乙同学的话是否合理，并简要说明理由．【答案】（1）丙，乙；（2）不合理，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据分式的加减法，由分解因式和同分母的分式加减，可知甲第2步去括号时没变号；乙正确；丙第一步的计算漏掉了分母，由此可知答案；（2）根据乙的正确化简结果可知最终结果与x 值无关，但是要注意所选取的x 不能使分式无意义.试题解析：（1）丙同学的解法从第一步开始就是错误的，乙同学的解法是完全正确的； 故答案为：丙，乙；（2）不合理，理由：∵当x≠±2时，22232(3)(2)22444x x x x x x x x x +-+--+=-+---=222262444x x x x x x +--+-=--=1， ∴乙同学的话不合理，14．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．甲工程队施工一天，需付工程款1万元；乙工程队施工一天，需付工程款0.6万元．根据甲、乙工程队的投标书测算，可有三种施工方案：（A ）甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；（B ）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用4天；（C ）若甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．为了节省工程款，同时又能如期完工，你认为应选择哪一种方案？并说明理由．【答案】为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C 方案．【解析】试题分析：设完成工程规定工期为x 天，根据等量关系：甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工，列方程，求解即可得到甲、乙工程队单独完成所需的天数，然后求出每种方案所需的工程款，比较即可得出结论．试题解析：解：设完成工程规定工期为x 天，依题意得： 1133()144x xx x -++=++ 解得：x =12． 经检验，x =12符合原方程和题意，∴x +4=16．∴甲工程队单独完成需12天，乙工程队单独完成需16天．∵B 方案不能按时完成，∴要舍弃．A 方案的工程款为12×1=12（万元），C 方案的工程款为3×1＋12×0.6=10.2（万元）， ∴应选C 方案．答：为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C 方案．15．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，乙工程队工程款1万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用12天；（3）若甲，乙两队合做6天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．【答案】在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．【解析】【分析】关键描述语为：“甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成”；说明甲队实际工作了3天，乙队工作了x 天完成任务，工作量=工作时间×工作效率等量关系为：甲3天的工作量+乙规定日期的工作量=1列方程．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．【详解】解：设规定日期为x 天．由题意得66611212x x x x -++=++， ∴6112x x x +=+， ∴2267212x x x x ++=+，∴12x =；经检验：x=12是原方程的根．方案（1）：2.4×12=28.8（万元）；方案（2）比规定日期多用12天，显然不符合要求；方案（3）：2.4×6+1×12=26.4（万元）．∵28.8＞26.4，∴在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．在既有工程任务，又有工程费用的情况下．先考虑完成工程任务，再考虑工程费用．。
长沙市长郡双语实验学校八年级数学下册第一单元《二次根式》测试(有答案解析)
一、选择题 1．己知172178a a b -+-=+，则a b -的值是（ ）． A ．3± B ．3 C ．5D ．5± 2．下列计算中，正确的是( ) A ．235+=B ．235⨯=C ．2(23)＝12D ．633÷= 3．当x 为何值时，1x -在实数范围内有意义（ ） A ．1x > B ．1≥x C ．1x < D ．1x ≤ 4．如x 为实数，在“(31)-□x ”的“□”中添上一种运算符号（在“＋”、“－”、“×”、“÷”中选择），其运算结果是有理数，则x 不可能是（ ）A ．31-B ．31+C ．33D ．13- 5．下列式子中是二次根式的是（ ）A ．aB ．x 1+C ．2x 2x 1++D ．2- 6．下列运算正确的有（ ）个.①()22233633-=-⨯= ②85042572+=+= ③3232=+- ④1y y y-= ⑤3242122⨯=⑥()()221312*********-=+-= A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．如图为实数a ，b 在数轴上的位置，则222()()()b a a b +---=( )A ．-aB ．bC ．0D ．a-b8．下列计算正确的是（ ）A 532=B 5315=C ．2(22)16=D 13= 9．下列各式正确的是（ ）．A ．2-10=10B 3+7=10C ．25=10D ()22-10=1010．已知y =443x x -+-+，则x y 的值为（ ）． A ．43 B ．43- C ．34 D ．34- 11．若()()4545x x x x --=-⋅-则x 可取的整数值有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个 12．下列计算正确的是（ ） A ．3236362⨯== B ．164=±C ．()()15242⎛⎫-÷-⨯-=± ⎪⎝⎭D ．()25235410-⨯+⨯++= 二、填空题13．把四张形状大小完全相同宽为1cm 的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为21cm ，宽为4cm ）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是_________．1413a 13b ，那么2(2)b a +-的值是________． 15．已知2443y x x x =-++，当x 分别取1,2,3,,2020⋯时，所对应的y 值的总和是_________．16．计算：22)=___________．17．若3，m ，522(2)(8)--m m ________． 18．1112|13()23--+的值是_____ 19．2121=+3232=+4343=+，请从上述等式找出规律，并利用规律计算(20082)32435420082007++⋅⋅⋅++=++++_________． 20．220x y -=，则x y +=________．三、解答题21．-． 22．（1）计算2011(20181978)|242-⎛⎛⎫-⨯----- ⎪ ⎝⎭⎝⎭ （2）先化简，再求值：2256111x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，x 从0，1，2，3四个数中适当选取． 23．解答下列各题：（1）计算：2(1-． （2）解方程组：125x y x y +=⎧⎨-=⎩①②． （3）解不等式组331213(1)8x x x x -⎧+>+⎪⎨⎪---⎩①②，并把解集在数轴上表示出来．24．（1）计算：4 （2）计算：（3）解方程组：25214323x y x y -=-⎧⎨+=⎩（4）解方程组：4314x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 25．计算下列各题：（1）313(8.5)424⎛⎫⎛⎫⎛⎫---++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）()()53910 2.510⨯⨯⨯（3（4）2214336(2)6213⎛⎫⎛⎫-+÷---⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭26．计算：（12-（2） 248(31)(31)(31)(31)1++++-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据二次根式的性质求出a=17，b=-8【详解】∵a-17≥0，17-a ≥0，∴a=17，∴b+8=0，解得b=-8， ∴5==，故选：C ．【点睛】此题考查二次根式的性质，化简二次根式，熟记二次根式的性质是解题的关键． 2．C解析：C【分析】根据二次根式加法法则、乘法法则、除法法则依次计算得到结果，即可作出判断.【详解】A 、原式不能合并，不符合题意；B 、原式==C 、原式12=，符合题意；D、原式.故选：C.【点评】 此题考查了二次根式的乘除法，以及二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.3．A解析：A【分析】根据分式的分母不等于0的条件及二次根式非负性解答．【详解】由题意得：x-1>0，解得x>1，故选：A．【点睛】此题考查未知数的取值范围的确定，掌握分式的分母不等于0的条件及二次根式非负性是解题的关键．4．C解析：C【分析】根据题意，添上一种运算符号后逐一判断即可．【详解】-=，故选项A不符合题意；解：A、1)1)0⨯=，故选项B不符合题意；B、1)1)2C1与C符合题意；+-=，故选项D不符合题意．D、1)(10故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则以及平方差公式是解答本题的关键．5．C解析：C【分析】利用二次根式的定义进行解答即可．【详解】a<时，不是二次根式，故此选项不符合题意；A中，当0x<-时，不是二次根式，故此选项不符合题意；B1x+≥恒成立，因此该式是二次根式，故此选项符合C=()210题意；-<，不是二次根式，故此选项不符合题意；D20故选：C．【点睛】a≥)的式子叫做二次根式．(06．A解析：A【分析】根据二次根式的运算法则分别进行计算，计算出正确结果即可作出判断．【详解】①-===①错误.②21122===②错误.=22=-2=，故③错误.④==④错误.⑤12=⨯122=⨯24=，故⑤错误.==5=，故⑥正确.∴①②③④⑤⑥中只有⑥1个正确.故选A.．【点睛】本题主要考查二次根式的运算，解题的关键是能熟练运用二次根式的性质和运算法则进行计算．7．C解析：C【分析】由数轴可得a、b和a-b的正负，再由二次根式性质去根号、合并同类项即可．【详解】根据实数a、b在数轴上的位置得知：-1＜a＜0＜b＜1，∴a-b＜0，则原式=b-a-（b-a）=b-a-b+a=0．故选：C．【点睛】考查了数轴及二次根式的化简，解题关键是由数轴得出a、b和a-b的正负情况．8．B解析：B【分析】根据二次根式加减法、乘除法的法则分别计算即可得到答案．【详解】AA错误；B ==B 正确；C 、28=，故选项C 错误；D==D 错误； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算方法是解题的关键．9．D解析：D【分析】根据二次根式的加法法则，乘法计算法则计算后依次判断.【详解】AB 不是同类二次根式，不能计算，故该项错误；C 、=≠D 2=，故该项正确；故选：D.【点睛】此题考查二次根式的计算，掌握二次根式的加法计算法则，二次根式的乘法计算法则，二次根式的化简是解题的关键.10．A解析：A【分析】由二次根式有意义的条件可得出x 的值，即可得出y 的值，计算出x y 的值即可． 【详解】因为3y =，4040x x -≥⎧∴⎨-≥⎩， ∴x =4，∴y =3， ∴43x y =． 故选：A ．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解题关键．11．B解析：B【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x 的范围，得到答案．【详解】解：由题意得，40x -≥，50x -≥，解得，45x ≤≤，则x 可取的整数是4、5，共2个，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．12．D解析：D【分析】根据乘方运算，算术平方根的定义，有理数的乘除运算以及二次根式的加减的混合运算进行判断．【详解】A 、32322754⨯=⨯=，故A 错误；B 4=，故B 错误；C 、()()()11155252224⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-=-⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误；D 、(22346410-⨯+=-+=，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的乘方，算术平方根的定义，有理数的乘除运算以及二次根式的加减的混合运算，熟记运算法则是解题的关键． 二、填空题13．16cm 【分析】根据题意分别列出关系式得出关于图②中两块阴影部分的长和宽再利用周长公式时行计算去括号合并即可得到结果【详解】解：设小长方形卡片的长为xcm 小长方形卡片的宽为根据题意得：x ＝－2则图② 解析：16cm【分析】根据题意分别列出关系式，得出关于图②中两块阴影部分的长和宽，再利用周长公式时行计算，去括号合并即可得到结果．【详解】解：设小长方形卡片的长为xcm ，小长方形卡片的宽为1cm ，根据题意得： x 2，则图②－2和2，宽分别为：2和4－x ＝6∴图②中两块阴影部分的周长和是：22＋2）＋2（2＋6）＝16－16（cm ）．故答案为：16cm ．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，在解题时要根据题意结合图形得出两块阴影部分的长和宽是解题的关键．14．【分析】直接利用的取值范围得出ab 的值进而求出答案【详解】解：故答案为：【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小正确得出ab 的值是解题关键解析：11-【分析】a 、b 的值，进而求出答案．【详解】 解：3134<<，3a ∴=，3b ∴=-，()))22223231311b a ∴+-=+-=-=-故答案为：11-【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出a ，b 的值是解题关键．15．2022【分析】将原式化简为然后根据x 的不同取值求出y 的值最后把所有的y 值加起来即可【详解】解：当时当时当时∴当分别取时所有值的总和是：故答案是：2022【点睛】本题考查二次根式的化简解题的关键是掌解析：2022 【分析】将原式化简为23y x x =--+，然后根据x 的不同取值，求出y 的值，最后把所有的y 值加起来即可．【详解】解：3323y x x x x =+=+=--+，当2x ≥时，231y x x =--+=，当2x <时，2352y x x x =--+=-，当1x =时，523y =-=，∴当x 分别取1,2,3,,2020⋯时，所有y 值的总和是：312019320192022+⨯=+=． 故答案是：2022．【点睛】本题考查二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质进行化简．16．2【分析】根据二次根式的性质化简即可【详解】2故答案为：2【点睛】此题考查二次根式的性质掌握二次根式的性质：是解答此题的关键解析：2【分析】根据二次根式的性质化简即可. 【详解】2=2，故答案为：2【点睛】此题考查二次根式的性质.掌握二次根式的性质：2a a ==，是解答此题的关键. 17．【分析】先根据三角形三边的关系判断2-m 和m-8的正负然后根据二次根式的性质化简即可【详解】解：∵3m5为三角形的三边长∴5-3<m<5+3∴2<m<8∴2-m<0m-8<0∴=-(2-m)+(m-解析：210m -【分析】先根据三角形三边的关系判断2-m 和m-8的正负，然后根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：∵3，m ，5为三角形的三边长，∴5-3<m<5+3，∴2<m<8，∴2-m<0，m-8<0，∴=-(2-m)+(m-8)=-2+m+m-8=2m-10．故答案为：2m-10．【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，以及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．18．【分析】直接利用二次根式的性质绝对值以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算以及负整数指数幂的性质正确掌握相关运算法则是解题关键解析：3【分析】直接利用二次根式的性质，绝对值以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】11|1()2---+21=3=．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算以及负整数指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．19．2006【分析】所求代数式第一个括号内可由已知的信息化简为：然后利用平方差公式计算【详解】解：原式故答案为：2006【点睛】本题考查了数字型规律二次根式的混合运算解答此类题目的关键是认真观察题中式子解析：2006【分析】 所求代数式第一个括号内可由已知的信息化简为：，然后利用平方差公式计算．【详解】解：1===⋯ ∴原式==20082=-2006=．故答案为：2006．【点睛】本题考查了数字型规律，二次根式的混合运算，解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的抵消规律．20．2【分析】先根据非负数的性质得出关于xy 的方程求出xy 的值代入x+y 进行计算即可【详解】解得故答案为：2【点睛】本题考查的是非负数的性质解题的关键是掌握非负数的性质即几个非负数的和为0时这几个非负数解析：2【分析】先根据非负数的性质得出关于x 、y 的方程，求出x 、y 的值，代入x+y 进行计算即可．【详解】220x y -+=，20x ∴-=，0y =，解得2x =，202x y +=+=．故答案为：2．【点睛】本题考查的是非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质，即几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．三、解答题21 【分析】直接化简二次根式进而计算得出答案． 【详解】-===． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题的关键．22．（1）12）12x -，12- 【分析】（1）由二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义进行化简，然后进行计算，即可得到答案；（2）先去括号，把分式进行化简，然后结合分式有意义的条件，取到合适的值，再代入计算，即可得到答案．【详解】解：（1）原式(141241212⎛=-⨯--=--+= ⎝⎭； （2）原式12(2)(3)3111111(2)(3)2x x x x x x x x x x x x -----⎛⎫=-÷=⋅= ⎪-------⎝⎭； ∵10x -≠，20x -≠，30x -≠，∴1,2,3x ≠， x 只能取0，当0x =时， 原式11122==--． 【点睛】 本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．23．（1）4+；（2）21x y =⎧⎨=-⎩；（3）21x -<，画图见解析． 【分析】（1）先用完全平方公式运算括号里的，再进行根式乘法运算，最后计算加减； （2）运用加减消元法运算求解即可；（3）先分别计算两个不等式，画出数轴可判断出解集．【详解】（1）2(1+13=++4=+（2）125x y x y +=⎧⎨-=⎩①②， ①+②得36,2x x ==，把2x =代入①， 21,1y y +==-，∴方程组的解为21x y =⎧⎨=-⎩． （3）()33121318x x x x -⎧+>+⎪⎨⎪---⎩①②，由①得6232x x +>+-2236x x ->+-1x ->-1x <；由②得1338x x -+-1383x x +--24x -2x -，∴不等式组解集为21x -<，∴数轴表示如下：【点睛】本题考查实数的混合运算，二元一次方程组的求解，一元一次不等式组的求解，属于基础题，需要有一定的运算求解能力，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．24．（1）72；（2）5-2）25x y =⎧⎨=⎩；（4）368x y =⎧⎨=⎩【分析】（1）由二次根式的性质进行化简，再计算加减运算即可；（2）由二次根式的性质和乘法运算进行化简，再计算加减运算即可；（3）利用加减消元法解二元一次方程，即可得到答案；（4）利用加减消元法解二元一次方程，即可得到答案；【详解】解：（1）503248-=5242422 =142-=72； （2）1615)32=326532-=65-；（3）25214323x y x y -=-⎧⎨+=⎩①②， 由②-①⨯2，得1365y =，∴5y =，把5y =代入①，得22521x -=-，∴2x =，∴方程组的解为25x y =⎧⎨=⎩； （4）4314x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②， 由①-②，得334x x -=， ∴36x =，把36x =代入①，得124y -=，∴8y =， ∴方程组的解为368x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．25．（1）9；（2）92.2510⨯；（3）720；（4） 2.- 【分析】（1）先把运算统一为省略加号的和的形式，再把互为相反数的两个数先加，从而可得答案；（2）把原式化为：()()539 2.51010⨯⨯⨯，再计算乘法运算，结果写成科学记数法的形式；（3）先化简二次根式，再计算减法运算即可；（4）先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可得到答案．【详解】解：（1）313(8.5)424⎛⎫⎛⎫⎛⎫---++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3138.5424⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭ 18.52=+ 9.=（2）()()53910 2.510⨯⨯⨯ ()()539 2.51010=⨯⨯⨯822.510=⨯92.2510=⨯（30.5=- 30.520=-1037,2020-== （4）2214336(2)6213⎛⎫⎛⎫-+÷---⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1349364213=-+÷-⨯ 992=-+-2.=-【点睛】本题考查的是含乘方有理数的混合运算，同底数幂的乘法，二次根式的化简，掌握以上运算是解题的关键．26．（1）52；（2）16332- 【分析】（1）先由二次根式的性质、立方根、绝对值的意义进行化简，然后进行计算，即可得到答案；（2）由平方差公式进行化简，然后得到答案．【详解】解：（1）原式31322=++52=； （2）原式248(31)(31)(31)(31)(31)12-++++=-16163133122--=-=． 【点睛】本题考查了平方差公式，实数的混合运算，二次根式的性质，以及绝对值的化简，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．。
长沙市长郡双语实验学校九年级上册期末精选试卷检测题
长沙市长郡双语实验学校九年级上册期末精选试卷检测题一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠． 【解析】 【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可； （2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可. 【详解】（1）设平均每次下调x%，则7000（1﹣x ）2=5670，解得：x 1=10%，x 2=190%（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为10%．（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x ）2=（1﹣10%）2=81%． ∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．2．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根．()1求k 的取值范围；()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．【答案】（1）134k ≤；（2）2k =-． 【解析】 【分析】()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥，解之可得．()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】 解：()1关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根，0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，解得134k ≤．()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+， 221223x x +=，224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，134k ≤， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-． 【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．3．如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OA=2，OA 和AB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+a=0的两个实数根． （1）求弦AB 的长度； （2）计算S △AOB ；（3）⊙O 上一动点P 从A 点出发，沿逆时针方向运动一周，当S △POA =S △AOB 时，求P 点所经过的弧长（不考虑点P 与点B 重合的情形）．【答案】（1）AB=2；（2）S △AOB 33）当S △POA =S △AOB 时，P 点所经过的弧长分别是43π、83π、103π． 【解析】试题分析：（1）OA 和AB 的长度是一元二次方程的根，所以利用一元二次方程的根与系数的关系即可求出AB 的长度；（2）作出△AOB 的高OC ，然后求出OC 的长度即可求出面积； （3）由题意知：两三角形有公共的底边，要面积相等，即高要相等． 试题解析：（1）由题意知：OA 和AB 的长度是x 2﹣4x+a=0的两个实数根， ∴OA+AB=﹣41-=4， ∵OA=2， ∴AB=2；（2）过点C作OC⊥AB于点C，∵OA=AB=OB=2，∴△AOB是等边三角形，∴AC=12AB=1，在Rt△ACO中，由勾股定理可得：OC=3，∴S△AOB=12AB﹒OC=12×2×3=3；（3）延长AO交⊙O于点D，由于△AOB与△POA有公共边OA，当S△POA=S△AOB时，∴△AOB与△POA高相等，由（2）可知：等边△AOB的高为3，∴点P到直线OA的距离为3，这样点共有3个①过点B作BP1∥OA交⊙O于点P1，∴∠BOP1=60°，∴此时点P经过的弧长为：1202180π⨯=43π，②作点P2，使得P1与P2关于直线OA对称，∴∠P2OD=60°，∴此时点P经过的弧长为：2402180π⨯=83π，③作点P3，使得B与P3关于直线OA对称，∴∠P3OP2=60°，∴此时P经过的弧长为：3002180π⨯=103π，综上所述：当S△POA=S△AOB时，P点所经过的弧长分别是43π、83π、103π．【点睛】本题主要考查了一元二次方程与圆的综合知识．涉及等边三角形性质，圆的对称性等知识，能综合运用所学知识，选择恰当的方法进行解题是关键．4．在等腰三角形△ABC中，三边分别为a、b、c，其中ɑ＝4，若b、c是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC的周长．【答案】△ABC的周长为10．【解析】【分析】分a为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k = 当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4． ∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形． ∴△ABC 的周长为10． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．5．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在正方形EFGH 的四条边上，我们称正方形EFGH 是正方形ABCD 的外接正方形．探究一：已知边长为1的正方形ABCD ，是否存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 的2倍． 因为正方形ABCD 的面积为1，则正方形EFGH 的面积为2， 所以EF ＝FG ＝GH ＝HE 2EB ＝x ，则BF 2﹣x ， ∵Rt △AEB ≌Rt △BFC ∴BF ＝AE 2﹣x在Rt △AEB 中，由勾股定理，得 x 2+2﹣x ）2＝12 解得，x 1＝x 2＝22∴BE＝BF，即点B是EF的中点．同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点．所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）探究三：已知边长为1的正方形ABCD，一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）【答案】不存在，详见解析【解析】【分析】探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答．【详解】探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+x）2=12，整理得x2x+1=0，b2﹣4ac=3﹣4＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍；探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4，所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE=2﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+（2﹣x）2=12，整理得2x2﹣4x+3=0，b2﹣4ac=16﹣24＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍，故答案为不存在；探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n，所以EF =FG =GH =HE =n ，设EB =x ，则BF =n ﹣x ， ∵Rt △AEB ≌Rt △BFC ， ∴BF =AE =n ﹣x ，在Rt △AEB 中，由勾股定理，得， x 2+（n ﹣x ）2=12， 整理得2x 2﹣2n x +n ﹣1=0， b 2﹣4ac =8﹣4n ＜0， 此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的n 倍． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）6．如图，抛物线2y ax 2x c =++经过,,A B C 三点，已知()()1,0,0,3.A C -()1求此抛物线的关系式；()2设点P 是线段BC 上方的抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段BC 于点,D 当BCP 的面积最大时，求点D 的坐标；()3点M 是抛物线上的一动点，当()2中BCP 的面积最大时，请直接写出使45PDM ∠=︒的点M 的坐标【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）点33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）点M 的坐标为()0,3或113113++⎝⎭【解析】 【分析】（1）由2y ax 2x c =++经过点()(),1,00,3A C -，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式.（2）首先设点()2,23,P t t t -++令2230x x -++=，求得()3,0B ，然后设直线BC 的关系式为y kx b =+，由待定系数法求得BC 的解析式为3y x =-+，可得()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+，BCP 的面积为()21333,22S PD t t =⨯=-+利用二次函数的性质即可求解； （3）根据PD y 轴，45PDM ∠=︒，分别设DM y x b =+，DM y x b =-+，根据点33D(22，）坐标即可求出b ，再与抛物线联系即可得出点M 的坐标． 【详解】()1将()(),1,00,3A C -分别代入22,y ax x c =++可解得1,3,a c =-=即抛物线的关系式为2y x 2x 3=-++．()2设点()2,23,P t t t -++令2230,x x -++=解得121,3,x x =-= 则点()3,0B ．设直线BC 的关系式为(y kx b k =+为常数且0k ≠)， 将点,B C 的坐标代入，可求得直线BC 的关系式为3y x =-+．∴点()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+设BCP 的面积为,S 则()21333,22S PD t t =⨯=-+ ∴当32t =时，S 有最大值，此时点33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭．()3∵PD y 轴，45PDM ∠=︒第一种情况：令DM y x b =+,33D(22，） 解得：b=0∴223y x y x x =⎧⎨=-++⎩解得：113x 2=∴M 第二种情况：令DM y x b =-+,33D(22，）解得：b=3 ∴2323y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩解得：x=0或x=3（舍去） ∴M 03（，）满足条件的点M 的坐标为()0,3或113113,⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】此题主要考查待定系数法求函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.7．已知点P(2，﹣3)在抛物线L ：y ＝ax 2﹣2ax+a+k （a ，k 均为常数，且a≠0）上，L 交y 轴于点C ，连接CP ．（1）用a 表示k ，并求L 的对称轴及L 与y 轴的交点坐标； （2）当L 经过(3，3)时，求此时L 的表达式及其顶点坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a ＜0时，若L 在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a 的取值范围；（4）点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是L 上的两点，若t≤x 1≤t+1，当x 2≥3时，均有y 1≥y 2，直接写出t 的取值范围．【答案】（1）k=-3-a ；对称轴x ＝1；y 轴交点(0，-3)；（2）2y=2x -4x-3，顶点坐标(1，-5)；（3）-5≤a ＜-4；（4）-1≤t ≤2． 【解析】 【分析】（1）将点P(2，-3)代入抛物线上，求得k 用a 表示的关系式；抛物线L 的对称轴为直线2ax==12a--，并求得抛物线与y 轴交点； （2）将点(3，3)代入抛物线的解析式，且k=-3-a ，解得a=2，k=-5，即可求得抛物线解析式与顶点坐标；（3）抛物线L 顶点坐标(1，-a-3)，点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1，可得1＜-a-3≤2，即可求得a 的取值范围；（4）分类讨论取a ＞0与a ＜0的情况进行讨论，找出1x 的取值范围，即可求出t 的取值范围． 【详解】解：（1）∵将点P(2，-3)代入抛物线L ：2y=ax -2ax+a+k ， ∴-3=4a 4a a+k=a+k -+ ∴k=-3-a ；抛物线L 的对称轴为直线-2ax=-=12a，即x ＝1； 将x=0代入抛物线可得：y=a+k=a+(-3-a)=-3，故与y 轴交点坐标为(0，-3)；（2）∵L 经过点(3，3)，将该点代入解析式中， ∴9a-6a+a+k=3，且由（1）可得k=-3-a ， ∴4a+k=3a-3=3，解得a=2，k=-5，∴L 的表达式为2y=2x -4x-3；将其表示为顶点式：2y=2(x-1)-5， ∴顶点坐标为(1，-5)；（3）解析式L 的顶点坐标(1，-a-3)，∵在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1， ∴1＜-a-3≤2， ∴-5≤a ＜-4；（4）①当a ＜0时，∵2x 3≥，为保证12y y ≥，且抛物线L 的对称轴为x=1， ∴就要保证1x 的取值范围要在[-1,3]上， 即t ≥-1且t+1≤3，解得-1≤t ≤2；②当a ＞0时，抛物线开口向上，t ≥3或t+1≤-1，解得：t ≥3或t ≤-2，但会有不符合题意的点存在，故舍去， 综上所述：-1≤t ≤2． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．8．二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．（1）当m =1时，求顶点P 的坐标；（2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ． ①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．【答案】（1）P （2，13）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4． 【解析】 【分析】（1）把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可；（2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63m my x x m m =-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可；（3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可． 【详解】解：（1）当m =1时，二次函数为212163y x x =-+，∴顶点P的坐标为（2，13）；（2）∵点Q（a，b）在二次函数22(0)63m my x x m m=-+>的图象上，∴2263m mb a a m=-+，即：2263m mb m a a-=-∵0b m->，∴2263m ma a-＞0，∵m＞0，∴2263a a-＞0，解得：a＜0或a＞4，∴a的取值范围为：a＜0或a＞4；（3）①如下图，过点D作DE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥DE于点F，∵二次函数的解析式为2263m my x x m=-+，∴顶点P（2，3m），当x=0时，y=m，∴点A（0，m），∴OA=m；设直线AP的解析式为y=kx+b(k≠0)，把点A（0，m），点P（2，3m）代入，得：23m bmk b=⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：3m k b m⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AP 的解析式为y=3m -x+m ， 当y=0时，x=3，∴点B （3，0）；∴OB=3；∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°，且∠OAB+∠FAB =90°，∴∠DAF=∠OAB ，在△ADF 和△ABO 中， DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△ABO （AAS ），∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，∴点D 的坐标为：（m ，m+3）；②由①同理可得：C （m+3，3），∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，∴当x =m 时，3y m ≤+，可得322363m m m m -+≤+，化简得：32418m m -≤． ∵0m >，∴2184m m m -≤，∴218(2)4m m--≤， 显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，当5m ≥时，2(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4； 当x = m +3时，y ≥3，可得2(3)2(3)363m m m m m ++-+≥， ∵0m >，∴21823m m m ++≥，即218(1)2m m++≥， 显然：m =1不是上述不等式的解，当2m ≥时，2(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4．【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．9．定义：函数l与l'的图象关于y轴对称，点(),0P t是x轴上一点，将函数l'的图象位于直线x t=左侧的部分，以x轴为对称轴翻折，得到新的函数w的图象，我们称函数w是函数l的对称折函数，函数w的图象记作1F，函数l的图象位于直线x t=上以及右侧的部分记作2F，图象1F和2F合起来记作图象F．例如：如图，函数l的解析式为1y x=+，当1t=时，它的对称折函数w的解析式为()11y x x=-<．（1）函数l的解析式为21y x=-，当2t=-时，它的对称折函数w的解析式为_______；（2）函数l的解析式为1²12y x x=--，当42x-≤≤且0t=时，求图象F上点的纵坐标的最大值和最小值；（3）函数l的解析式为()2230y ax ax a a=--≠．若1a=，直线1y t=-与图象F有两个公共点，求t的取值范围．【答案】（1）()212y x x=+<-；（2）F的解析式为2211(0)211(0)2y x x xy x x x⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩；图象F上的点的纵坐标的最大值为32y=，最小值为3y=-；（3）当3t=-，3171t-<≤，3175t+<<时，直线1y t=-与图象F有两个公共点．【解析】【分析】（1）根据对折函数的定义直接写出函数解析式即可；（2）先根据题意确定F的解析式，然后根据二次函数的性质确定函数的最大值和最小值即可；（3）先求出当a=1时图像F 的解析式，然后分14t -=-、点(),1t t -落在223()y x x x t =--≥上和点(),1t t -落在()223y x x x t =--+<上三种情况解答，最后根据图像即可解答．【详解】解：（1）()212y x x =+<-（2）F 的解析式为2211(0)211(0)2y x x x y x x x ⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩当4x =-时，3y =-，当1x =-时，32y =， 当1x =时，32y =-，当2x =时，1y =， ∴图象F 上的点的纵坐标的最大值为32y =，最小值为3y =-. （3）当1a =时，图象F 的解析式为2223()23()y x x x t y x x x t ⎧=--≥⎨=--+<⎩∴该函数的最大值和最小值分别为4和-4；a ：当14t -=-时，3t =-，∴当3t =-时直线1y t =-与图象F 有两个公共点；b ：当点(),1t t -落在223()y x x x t =--≥上时，2123t t t -=--，解得132t -=，232t = c ：当点(),1t t -落在()223y x x x t =--+<上时，2123t t t -=--+，解得34t =-（舍），41t =14t -=，∴55t =∴当312t <≤或352t <<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点； 综上所述：当3t =-1t <≤5t <<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点.【点睛】 本题属于二次函数综合题，考查了“称折函数”的定义、二次函数的性质、解二元一次方程等知识，弄清题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．10．如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）存在．P（﹣34，1916）．（3）1539(,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M【解析】【分析】（1）将A,B,C三点代入y＝ax2+bx+4求出a,b,c值，即可确定表达式；（2）在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，构建△DCB≌△GCB，求直线BG的解析式，再求直线BG与抛物线交点坐标即为P点，（3）根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论.【详解】解：如图：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．∴4016440a ba b-+=⎧⎨++=⎩解得13ab=-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）存在．理由如下：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣32）2+254．∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上，∴m＝4，∴D（3，4），∵C（0，4）∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．连接CD，∴CD∥x轴，∴∠DCB＝∠OBC＝45°，∴∠DCB＝∠OCB，在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，∴△DCB≌△GCB（SAS）∴∠DBC＝∠GBC．设直线BP解析式为y BP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（4，0）代入，得k＝﹣14，b＝1，∴BP解析式为y BP＝﹣14x+1．y BP＝﹣14x+1，y＝﹣x2+3x+4当y＝y BP时，﹣14x+1＝﹣x2+3x+4，解得x1＝﹣34，x2＝4（舍去），∴y＝1916，∴P（﹣34，1916）．（3）1539 (,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M理由如下，如图B(4，0),C(0，4) ，抛物线对称轴为直线32x=，设N(32，n)，M(m, ﹣m2+3m+4)第一种情况：当MN与BC为对边关系时，MN∥BC,MN=BC,∴4-32=0-m，∴m=52-∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴1539 (,)24M--；或∴0-32=4-m，∴m=11 2∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴21139 (,) 24M-；第二种情况：当MN与BC为对角线关系，MN与BC交点为K,则K(2,2)，∴322 2m∴m=5 2∴﹣m2+3m+4=21 4∴3521 (,) 24M综上所述，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为1539 (,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M.【点睛】本题考查二次函数与图形的综合应用，涉及待定系数法，函数图象交点坐标问题，平行四边形的性质，方程思想及分类讨论思想是解答此题的关键.三、初三数学旋转易错题压轴题（难）11．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，AP＝13AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，连接PC，且ABE为等边三角形．（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是，AP 与EC的数量关系是．（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为93，求线段AC的长．【答案】（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3）7 7【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，AB＝BE，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP＝∠EBC，∴△ABP≌△EBC（SAS），∴AP＝EC；故答案为：∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，理由如下，∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，AB＝BE，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP＝∠EBC，∴△ABP≌△EBC（SAS），∴AP＝EC；（3）过点C作CD⊥m于D，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴△PBC是等边三角形，∴3293∴PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，∴AC＝2t，∵m∥n，∴∠CAD＝∠AEB＝60°，∴AD＝12AC＝t，CD＝3AD＝3t，∵PD2+CD2＝PC2，∴（2t）2+3t2＝9，∴t＝377（负值舍去），∴AC＝2t＝677．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得解．12．在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．(1) 如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，求证：PC＝PE；(2) 如图2，把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，探索PC与PE的数量关系，并说明理由．(3) 如图3，把图2中的△AEF绕着点A顺时针旋转，点F落在边AB上．其他条件不变，问题(2)中的结论是否发生变化？如果不变，请加以证明；如果变化，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）PC＝PE，理由见解析；（3）成立，理由见解析【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可；（2）先判断△CBP≌△HPF，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（3）先判断△DAF≌△EAF，再判断△DAP≌△EAP，然后用比例式即可；【详解】解：（1）证明：如图：∵∠ACB＝∠AEF＝90°，∴△FCB和△BEF都为直角三角形．∵点P是BF的中点，∴CP＝12BF，EP＝12BF，∴PC＝PE．（2）PC＝PE理由如下：如图2，延长CP，EF交于点H，∵∠ACB＝∠AEF＝90°，∴EH//CB，∴∠CBP＝∠PFH，∠H＝∠BCP，∵点P是BF的中点，∴PF＝PB，∴△CBP≌△HFP(AAS)，∴PC＝PH，∵∠AEF＝90°，∴在Rt△CEH中，EP＝12CH，∴PC＝PE．（3）(2)中的结论，仍然成立，即PC＝PE，理由如下：如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，∵∠DAF＝∠EAF，∠FDA＝∠FEA＝90°，在△DAF和△EAF中，DAF,,,EAF FDA FEA AF AF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAF≌△EAF(AAS)，∴AD＝AE，在△DAP≌△EAP中，,,,AD AEDAP EAP AP AP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAP≌△EAP (SAS)，∴PD＝PF，∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，∴FD//BC//PM，∴DM FPMC PB=，∵点P是BF的中点，∴DM＝MC，又∵PM⊥AC，∴PC＝PD，又∵PD＝PE，∴PC＝PE．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边一半，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线是解本题的关键也是难点．13．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析【解析】试题分析：（1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；（2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式，得出，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ．试题解析：（1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．14．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。
湖南省长沙市长郡双语实验中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题
初中代表队 a
85
b
S初2 中
高中代表队 85
c
100
160
(1)根据条形图计算出 a，b，c 的值：a _________，b _________，c _________．
(2)计算初中代表队决赛成绩的方差 S初2 中 ，并判断哪一个代表队选手的成绩较为稳定．
20．如图，直线 l1：y kx 1与 x 轴交于点 D ，直线 l2：y x b 与 x 轴交于点 A ，且经
abc 0 ；② 4a 2b c 0 ；③ a b c 0；④ 1 a 2 ；其中正确结论的个数有（ ）
3
3
试卷第 2 页，共 6 页
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、填空题 11．因式分解： y3 6y2 9y ．
12．计算： 8 3 6 ．
13．如果将抛物线 y x2 2 向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位，那么所得到的 新抛物线的表达式是． 14．清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小， 也学牡丹开”，若苔花的花粉直径约为 0.0000084 米，用科学记数法表示为米． 15．如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠DAB，交 DC 于 E，AD＝5，AB＝8，则 EC 的长为．
湖南省长沙市长郡双语实验中学 2023-2024 学年九年级上学 期开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个数中，最大的一个数是（ ）
A． 1
B．2
2．下列运算正确的是（ ）
C． 1 5
长沙市长郡中学九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》经典测试(培优练)
一、选择题1．下列方程属于一元二次方程的是（ ）A ．222-=x x xB ．215x x +=C ．220++=ax bx cD ．223x x += 2．当分式2369x x x --+的值为0时，则x 等于（ ） A ．3 B ．0 C ．3± D ．-33．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，下列列式正确是（ ）A ．(1)81x x x ++=B ．2181x x ++=C ．1(1)81x x x +++=D ．(1)81x x += 4．若关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜－2B ．a ＞－2C ．－2＜a ＜0D ．－2≤a ＜0 5．下列关于一元二次方程23210x x ++=的根的情况判断正确的是（ ） A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个不相等的实数根 6．某中学举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间只比赛1场，共比赛10场，则参加此次比赛的球队数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．210x x +=B ．ax 2+bx +c ＝0C ．(x ﹣1)(x ﹣2)＝0D ．3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)28．若关于x 的一元二次方程260x x c -+=有两个相等的实数根，则常数c 的值为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．9 9．已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m -+＝-有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．0m ≠B ．14mC ．14m <D ．14m >10．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．290x +=B ．24410x x -+=C ．210x x ++=D ．210x x +-= 11．已知a 、b 、m 、n 为互不相等的实数，且(a +m )( a +n )＝2，(b +m )( b +n )＝2，则ab ﹣mn的值为（ ）A ．4B ．1C ．﹣2D ．﹣1 12．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A ．x 2＝0B ．x ﹣3＝0C ．x 2﹣5＝0D ．x 2+2＝0 13．已知一元二次方程x 2﹣6x+c ＝0有一个根为2，则另一根及c 的值分别为（ ） A ．2，8B ．3，4C ．4，3D ．4，8 14．如果2是方程x²−3x+k=0的一个根,则此方程的另一根为( ) A ．2B ．1C ．−1D ．−2 15．一元二次方程x （x ﹣2）＝x ﹣2的解是（ ） A ．x 1＝x 2＝0 B ．x 1＝x 2＝1 C ．x 1＝0，x 2＝2 D ．x 1＝1，x 2＝2 二、填空题16．若关于x 的一元二次方程210(0)ax bx a +-=≠有一根为2020x =，则一元二次方程2(1)(1)1a x b x +++=必有一根为________．17．将一元二次方程(32)(1)83x x x -+=-化成一般形式是_____．18．某商贸公司2017年盈利100万元，2019年盈利144万元，且2017年到2019年每年盈利的增长率相同，则该公司2018年盈利_____万元．19．已知一元二次方程2x 2+3x ﹣1＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1•x 2＝_____．20．已知方程22610x x -+=的两根为12,x x ，则2212x x +=_______．21．将一元二次方程x 2﹣8x ﹣5＝0化成（x +a ）2＝b （a ，b 为常数）的形式，则b ＝_____．22．一件商品原价300元，连续两次降价后，现售价是243元，若每次降价的百分率相同，那么这个百分率为______．23．当m ______时，关于x 的一元二次方程2350mx x -+=有两个不相等的实数根． 24．函数()2835my m x -=+-是一次函数，则m =______． 25．若()22214x y +-=，则22x y +=________．26．已知a 2+1＝3a ，b 2+1＝3b ，且a ≠b ，则11a b+＝_____． 三、解答题27．水果店张阿姨以每斤4元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出150斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出30斤，为保证每天至少售出360斤，张阿姨决定降价销售．（1）设这种水果每斤的售价降低x 元（02x ≤≤），每天的销售量为y 斤，求y 与x 的关系式；（2）销售这种水果要想每天盈利450元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 28．（1）解方程290x （直接开平方法）（2）若关于x 的一元二次方程()221534m x x m m +++-=的常数项为0，求m 的值．29．已知关于x 的一元二次方程x 2-2x+k=0．（1）若方程有实数根，求k 的取值范围；（2）在（1）的条件下，如果k 是满足条件的最大的整数，且方程x 2-2x+k=0一根的相反数是一元二次方程(m-1)x 2-3mx-7=0的一个根，求m 的值．30．用一块边长为70cm 的正方形薄钢片制作一个长方体盒子．（1）如果要做成一个没有盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图①），然后把四边折合起来（如图②）．当做成的盒子的底面积为2900cm 时，求该盒子的容积；（2）如果要做成一个有盖的长方体盒子，制作方案要求同时符合下列两个条件： ①必须在薄钢片的四个角上截去一个四边形（如图③阴影部分），②沿虚线折合后薄钢片即无空隙又不重叠地围成各盒面，求当底面积为2800cm 时，该盒子的高．。
湖南省长沙市长郡双语实验中学2025届九年级数学第一学期开学考试试题【含答案】
湖南省长沙市长郡双语实验中学2025届九年级数学第一学期开学考试试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）周长为的正方形对角线的长是（）A ．B ．C ．D ．2、（4分）如图1，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝AC ＝m ，DE ＝DF ＝n ，∠BAC ＝∠EDF ，点D 与点A 重合，点E ，F 分别在AB ，AC 边上，将图1中的△DEF 沿射线AC 的方向平移，使点D 与点C 重合，得到图2，下列结论不正确的是()A ．△DEF 平移的距离是m B ．图2中，CB 平分∠ACE C ．△DEF 平移的距离是n D ．图2中，EF ∥BC 3、（4分）如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将ACB ∆绕点A 逆时针旋转得到AC B ''∆，则C '点的坐标为（）A ．51,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．81,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,1+D ．(1,3-4、（4分）某数学兴趣小组6名成员通过一次数学竞赛进行组内评比，他们的成绩分别是89，92，91，93，96，91，则关于这组数据说法正确的是（）A ．中位数是92.5B ．平均数是92C ．众数是96D ．方差是55、（4分）下列说法中正确的是（）A ．在△ABC 中，AB 2+BC 2＝AC 2B ．在Rt △ABC 中，AB 2+BC 2＝AC 2C ．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB 2+BC 2＝AC 2D ．AB 、BC 、AC 是△ABC 的三边，若AB 2+BC 2＝AC 2，则△ABC 是直角三角形6、（4分）若平行四边形的两个内角的度数之比为1：5，则其中较小的内角是（）A ．30B ．45C ．60D ．907、（4分）若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（）A ．5B ．6C ．7D ．88、（4分）某组数据方差的计算公式是(22221281[(4)(4)4)8S x x x ⎤=-+-+⋯-⎦中，则该组数据的总和为()A ．32B ．8C ．4D ．2二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）已知一组数据3，5，9，10，x ，12的众数是9，则这组数据的平均数是___________．10、（4分）计算=_______.11、（4分）a 的取值范围是______．12、（4分）正十边形的外角和为__________．13、（4分）方程x 2＝x 的解是_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A ，B 两种健身器材若干件，经了解，B 种健身器材的单价是A 种健身器材的1．5倍，用7200元购买A 种健身器材比用5400元购买B 种健身器材多10件．（1）A ，B 两种健身器材的单价分别是多少元？（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A ，B 两种健身器材共50件，且费用不超过21000元，请问：A 种健身器材至少要购买多少件？15、（8分）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC ，AF ⊥DC ，垂足分别是E ，F ，并且BE=DF ，求证；四边形ABCD 是菱形．16、（8分）计算（1）分解因式：2232x y xy y -+；（2）解不等式组2(1)431212x x x x +-<⎧⎪⎨-≤+⎪⎩．17、（10分）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．销售量y（千克）…34.83229.628…售价x（元/千克）…22.62425.226…（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？18、（10分）武汉某文化旅游公司为了在军运会期间更好地宣传武汉，在工厂定制了一批具有浓郁的武汉特色的商品．为了了解市场情况，该公司向市场投放A ，B 型商品共250件进行试销，A 型商品成本价160元/件，B 商品成本价150元/件，其中A 型商品的件数不大于B 型的件数，且不小于80件，已知A 型商品的售价为240元／件，B 型商品的售价为220元／件，且全部售出．设投放A 型商品x 件，该公司销售这批商品的利润y 元．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式：_______；（2）为了使这批商品的利润最大，该公司应该向市场投放多少件A 型商品？最大利润是多少？（3）该公司决定在试销活动中每售出一件A 型商品，就从一件A 型商品的利润中捐献慈善资金a 元，当该公司售完这250件商品并捐献资金后获得的最大收益为18000元时，求a 的值．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）因式分解：224x x -=_________．20、（4分）设a 是π可以用π表示为______.21、（4分）已知关于x 的一元二次方程(2)0mx x x ++=有两个相等的实数根，则m 的值是__________．22、（4分）已知点P （-1，m ）,Q （-2，n ）都在反比例函数2y x =-的图像上，则m____n （填“>”或“<”或“=”）．23、（4分）在湖的两侧有A，B 两个消防栓，为测定它们之间的距离，小明在岸上任选一点C，并量取了AC 中点D 和BC 中点E 之间的距离为16米，则A，B 之间的距离应为_________米．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）已知：如图，在四边形ABCD 中AB CD =，过A 作AE BD ⊥交BD 于点E ，过C 作CF BD ⊥交BD 于F ，且AE CF =.求证：四边形ABCD 是平行四边形.25、（10分）已知关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=1．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．26、（12分）定义：如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁，称之为直线与曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点．（1）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，以点3(0,)A -为圆心，5为半径作圆A ，交x 轴的负半轴于点B ，求过点B 的圆A 的切线的解析式；（2）若抛物线2y ax =（0a ≠）与直线y kx b =+（0k ≠）相切于点()2,2，求直线的解析式；（3）若函数()21124y x n k x m k =+--++-的图象与直线y x =-相切，且当12n -≤≤时，m 的最小值为k ，求k 的值．一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D【解析】先根据正方形的性质得到正方形的边长为1cm，然后根据勾股定理得到正方形对角线的长．【详解】解：∵正方形的周长为4cm，∴正方形的边长为1cm，∴正方形的对角线的长为=cm．故选：D．本题考查了正方形的性质和勾股定理，根据正方形的四条边相等得出直角三角形的两直角边长是解决此题的关键．2、C【解析】根据平移的性质即可得到结论．【详解】∵AD=AC=m，∴△DEF平移的距离是m，故A正确，C错误，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∵DE∥AB，∴∠EDB=∠ABC，∴∠ACB=∠ECB，∴CB平分∠ACE，故B正确；由平移的性质得到EF∥BC，故D正确．故选C．本题考查了平移的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练正确平移的性质是解题的关键．3、C 【解析】根据旋转的性质可得AC=AC′，求出AC 的长，得到C′的纵坐标，再根据点A 的横坐标可得结果.【详解】解：如图，=由于旋转，∴，∵A （1，1），∴C′（1+1），故选C.本题考查了旋转的性质，解题的关键是根据旋转的性质得到AC=AC′.4、B 【解析】试题解析：这组数据按照从小到大的顺序排列为：89，91，91，92，93，96，则中位数为：91+92=91.52，故A 错误；平均数为：89+91+91+92+93+96=926，故B 正确；众数为：91，故C 错误；方差S 2=2222221[(8992)(9192)(9192)(9292)(9392)(9692)]6-+-+-+-+-+-=143，故D 错误．故选A ．5、D【解析】根据勾股定理即可解答【详解】A 、在△ABC 中，不一定能够得到AB 2+BC 2＝AC 2，故选项错误；B 、在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB 2+BC 2＝AC 2，故选项错误；C 、在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB 2+BC 2＝AC 2，故选项错误；D 、AB 、BC 、AC 是△ABC 的三边，若AB 2+BC 2＝AC 2，则△ABC 是直角三角形，故选项正确．故选：D ．此题考查勾股定理，解题关键在于掌握勾股定理的内容6、A 【解析】根据平行四边形的性质即可求解.【详解】设较小的角为x ，则另一个角为5x ，∵平行四边形的对角互补，∴x+5x=180°，解得x=30°，故选A 此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的对角互补.7、B 【解析】试题分析：根据内角和定理180°×（n-2）即可求得．解：180°×（n-2）=720°，解得n=1．考点：多边形的内角和定理．8、A 【解析】样本方差(2222121[()()n S x x x x x x n ⎤=-+-+⋯+-⎦，其中n 是这个样本的容量，x 是样本的平均数.利用此公式直接求解．【详解】由(22221281[(4)(4)4)8S x x x ⎤=-+-+⋯-⎦知共有8个数据，这8个数据的平均数为4，则该组数据的综合为4832⨯=，故选：A ．本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式及公式中的字母所表示的意义．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1．【解析】试题分析：：∵数据3，5，9，10，x ，12的众数是9，∴x=9，∴这组数据的平均数是（3+5+9+10+9+12）÷6=1．故答案是1．考点：1.算术平均数2.众数．10、【解析】利用二次根式的减法法则计算即可.【详解】解：原式=-=故答案为：本题考查二次根式的减法运算，熟练掌握二次根式的减法运算法则是解题关键.11、52a ≥-.【解析】a ≥0.【详解】解：由题意得2a +5≥0，解得：52a ≥-.故答案为52a ≥-.本题考查了二次根式的意义和性质，对于二次根式而言，关键是要注意两个非负性：一是a ≥0≥0；在各地试卷中是高频考点.12、360°【解析】根据多边形的外角和是360°即可求出答案．【详解】∵任意多边形的外角和都是360°，∴正十边形的外交和是360°，故答案为：360°．此题考查多边形的外角和定理，熟记定理是解题的关键．13、x1＝0，x2＝1【解析】利用因式分解法解该一元二次方程即可.【详解】解：x2＝x，移项得：x2﹣x＝0，分解因式得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故答案为：x1＝0，x2＝1本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）A，B单价分别是360元，540元；（2）34件．【解析】（1）设A种型号健身器材的单价为x元/套，B种型号健身器材的单价为1．5x元/套，根据“B种健身器材的单价是A种健身器材的1．5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件”，即可得出关于x，y的分式方程，解之即可得出结论；（2）设购买A种型号健身器材m套，则购买B种型号的健身器材(50﹣m)套，根据总价＝单价×数量结合这次购买两种健身器材的总费用不超过21000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【详解】解：（1）设A种型号健身器材的单价为x元/套，B种型号健身器材的单价为1．5x元/套，根据题意，可得：72005400101.5x x-=，解得：x＝360，经检验x＝360是原方程的根，1.5×360＝540(元)，因此，A，B两种健身器材的单价分别是360元，540元；（2）设购买A种型号健身器材m套，则购买B种型号的健身器材(50﹣m)套，根据题意，可得：360m+540(50﹣m)≤21000，解得：m≥1 33 3，因此，A种型号健身器材至少购买34套．本题考查的知识点是分式方程以及一元一次不等式的实际应用，读懂题意，找出题目中的等量关系式是解此题的关键．15、见解析【解析】平行四边形的对角相等，得∠B=∠D，结合AE⊥BC，AF⊥DC和BE=DF，由角边角定理证明△ABE全等△ADF，再由全等三角形对应边相等得DA=AB，最后根据邻边相等的平行四边形是菱形判定四边形ABCD是菱形.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥DC∴∠AEB=∠AFD=90°又∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF(AAS)∴DA=AB，∴平行四边形ABCD是菱形此题主要考查菱形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质及菱形的判定定理.16、（1）y（x−y）1；（1）−3≤x＜1．【解析】（1）直接提取公因式y，再利用公式法分解因式得出答案；（1）分别解不等式进而得出不等式组的解集．【详解】解：（1）x1y−1xy1＋y3＝y（x1−1xy＋y1）＝y （x−y ）1；（1）2(1)431212x x x x +-<⎧⎪⎨-≤+⎪⎩①②，解①得：x ＜1，解②得：x≥−3，故不等式组的解集为：−3≤x ＜1．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式、不等式组的解法，正确掌握解题方法是解题关键．17、（1）当天该水果的销售量为2千克；（2）如果某天销售这种水果获利150元，该天水果的售价为3元．【解析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y 与x 之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论；（2）根据总利润每千克利润销售数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】（1）设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b ，22.634.82432k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：280k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数关系式为y=﹣2x+1．当x=23.5时，y=﹣2x+1=2．答：当天该水果的销售量为2千克．（2）根据题意得：（x ﹣20）（﹣2x+1）=150，解得：x 1=35，x 2=3．∵20≤x ≤32，∴x=3．答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为3元．本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．18、（1）()101750080125y x x =+≤≤；（2）应投放125件A ，最大利润为18750元；（3）满足条件时a 的值为6【解析】（1）根据利润=（售价-成本）⨯数量即可求出y 与x 之间的函数关系式.（2）y 与x 之间是一次函数关系式，根据一次函数的性质可知当x=125时y 有最大值；（3）捐献资金后获得的收益为1017500y x ax =+-()1017500a x =-+；当100a ->时125x =时y 有最大值18000，即可求出a 值.【详解】（1）()101750080125y x x =+≤≤（2）由题意可知80250x x -≤≤，即80125x ≤≤由一次函数的性质可知．x 越大，y 越大当125x =时12501750018750y =+=∴应投放125件A ，最大利润为18750元．（3）一共捐出ax 元∴1017500y x ax =+-()1017500a x =-+∴当100a -<时()1017500y a x =-+最大值小于18000当100a ->时125x =时y 有最大值．即()12510500a -=∴6a =即满足条件时a 的值为6.本题考查一次函数的应用知识，解题的关键是理解题意，学会构建一次函数解决问题．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、2(2)x x -【解析】直接提取公因式即可．【详解】2242(2)x x x x -=-．故答案为：2(2)x x -．本题考查了因式分解——提取公因式法，掌握知识点是解题关键．20、1π+【解析】根据题意用π表示出a ，代入原式化简计算即可得到结果．【详解】解：根据题意得：a=3π-，则原式==1π+，故答案为：1π+.此题考查了估算无理数的大小，根据题意表示出a 是解本题的关键．21、12-【解析】根据方程有两个相等的实数根，可得b 2-4ac=0，方程化为一般形式后代入求解即可.【详解】原方程化为一般形式为：mx 2+(2m+1)x=0，∵方程有两个相等的实数根∴（2m+1）2-4m×0=012m =-本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．22、＞【解析】根据反比例函数的图像特点即可求解.【详解】∵点P （-1，m ）,Q （-2，n ）都在反比例函数2y x =-的图像上，又-1＞-2，反比例函数在x ＜0时，y 随x 的增大而增大，∴m ＞n 此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是熟知反比例函数的图像特点.23、32【解析】分析：可得DE 是△ABC 的中位线,然后根据三角形的中位线定理,可得DE∥AB,且AB=2DE,再根据DE 的长度为16米,即可求出A、B 两地之间的距离.详解：∵D、E 分别是CA,CB 的中点,∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE∥AB,且AB=2DE,∵DE=16米,∴AB=32米.故答案是:32.点睛：本题考查了三角形的中位线定理的应用，解答本题的关键是：明确三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、证明见解析.【解析】根据HL 证明Rt ABE Rt CDF ∆∆≌，从而得到ABE CDF ∠=∠，再根据平等线的判断得到AB CD ∕∕，从而得到结论.【详解】∵AE BD ⊥，CF BD ⊥，∴90AEB CFD ∠=∠=︒，在Rt ABE ∆和Rt CDF ∆中，AB CD AE CF =⎧⎨=⎩∴()Rt ABE Rt CDF HL ∆∆≌∴ABE CDF ∠=∠，∴AB CD ∕∕，∵AB CD =，∴四边形ABCD 是平行四边形．考查了平行四边形的判断，解题关键是证明Rt ABE Rt CDF ∆∆≌得到ABE CDF ∠=∠，从而证明AB CD ∕∕.25、（1）见详解；（2）4＋或4＋【解析】（1）根据关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=1的根的判别式的符号来证明结论.（2）根据一元二次方程的解的定义求得m 值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算.【详解】解：（1）证明：∵△=（m ＋2）2－4（2m －1）=（m －2）2＋4，∴在实数范围内，m 无论取何值，（m －2）2+4≥4＞1，即△＞1.∴关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=1恒有两个不相等的实数根.（2）∵此方程的一个根是1，∴12－1×（m ＋2）＋（2m －1）=1，解得，m=2，则方程的另一根为：m ＋2－1=2+1=3.①当该直角三角形的两直角边是1、3，该直角三角形的周长为1＋3=4.②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为1＋3＋=4＋.26、（1）41633y x =+；（2）22y x =-；（3）1或3【解析】（1）连接AB ，由3OA =、5AB =可求4OB =，即(4,0)B -．因为AB ⊥过点B 的A 切线，故有90ABE AOB ∠=∠=︒，再加公共角OAB ∠，可证OAB BAE ∆∆∽，由对应边成比例可求AE 的长，进而得点E 坐标，即可求直线BE 解析式．（2）分别把点(2,2)代入抛物线和直线解析式，求得抛物线解析式为212y x =，直线解析式可消去b 得22y kx k =+-．由于直线与抛物线相切（只有一个交点），故联立解析式得到关于x 的方程有两个相等的实数根，即△0=，即求得k 的值．（3）因为二次函数图象与直线相切，所以把二次函数和直线解析式联立，得到关于x 的方程有两个相等是实数根，即△0=，整理得式子2()2m n k k =--+，可看作m 关于n 的二次函数，对应抛物线开口向上，对称轴为直线x k =．分类讨论对称轴在12n - 左侧、中间、右侧三种情况，画出图形得：①当对称轴在1-左侧即1k <-时，由图象可知12n - 时m 随n 的增大而增大，所以1n =-时m 取得最小值，把1n =-、m k =代入得到关于k 的方程，方程无解；②当对称轴在12n - 范围内时，n k =时即取得最小值k ，得方程2k k -+=，解得：1k =；③当对称轴在2的右侧即2k >时，由图象可知12n - 时m 随n 的增大而减小，所以2n =时m 取得最小值，把2n =、m k =代入即求得k 的值．【详解】解：（1）如图1，连接AB ，记过点B 的A 切线交y 轴于点E 5AB ∴=，90ABE ∠=︒(0,3)A -，90AOB ∠=︒3OA ∴=4OB ∴===(4,0)B ∴-OAB BAE ∠=∠，90AOB ABE ∠=∠=︒OAB BAE∴∆∆∽∴AB OA AE BA =253AB BA AE OA ∴==2516333OE AE OA ∴=-=-=16(0,)3E ∴设直线BE 解析式为：163y kx =+16403k ∴-+=，解得：43k =∴过点B 的A 的切线的解析式为41633y x =+;（2）抛物线2y ax =经过点(2,2)42a ∴=，解得：12a =∴抛物线解析式：212y x =直线y kx b =+经过点(2,2)22k b ∴+=，可得：22b k =-∴直线解析式为：22y kx k =+-直线与抛物线相切∴关于x 的方程21222x kx k =+-有两个相等的实数根方程整理得：22440x kx k -+-=∴△2(2)4(44)0k k =---=解得：122k k ==∴直线解析式为22y x =-；（3）函数21(1)24y x n k x m k =+--++-的图象与直线y x =-相切∴关于x 的方程21(1)24x n k x m k x +--++-=-有两个相等的实数根方程整理得：21()204x n k x m k +-++-=∴△21()4(2)04n k m k =--⨯+-=整理得：2()2m n k k =--+，可看作m 关于n 的二次函数，对应抛物线开口向上，对称轴为直线x k =当12n - 时，m 的最小值为k ①如图2，当1k <-时，在12n - 时m 随n 的增大而增大1n ∴=-时，m 取得最小值k 2(1)2k k k ∴---+=，方程无解；②如图3，当12k - 时，n k =时，m 取得最小值k 2k k ∴-+=，解得：1k =；③如图4，当2k >时，在12n - 时m 随n 的增大而减小2n ∴=时，m 取得最小值k 2(2)2k k k ∴--+=，解得：13k =+，23k =-（舍去）综上所述，k的值为1或3 ．本题考查了圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法及根与系数的关系，二次函数的图象与性质．第（3）题的解题关键是根据相切列得方程并得到含m、n的等式，转化为m关于n的二次函数，再根据画图讨论抛物线对称轴情况进行解题．。
一元二次方程单元测试卷
3
26、 （3+3+4=10 分）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。例如，对于函数 y x 1 ，令 y=0，可 得 x=1，我们就说 1 是函数 y x 1 的零点。 己知函数 y x 2mx 2(m 3) ( m 为常数)。 （1）当 m =0 时，求该函数的零点； （2）证明：无论 m 取何值，该函数总有两个零点； （3）若函数的两个零点分别为 x1 和 x2 ，且
2
b b 2 4ac C. x 2a 4a 2
请将选择题的答案填入表格中 题号 答案 二、填空题（3 分 10） 1 2 3 4 5
b 4ac b 2 D. x 2a 4a 2
6 7 8 9 10
11、关于 x 的一元二次方程 3 x x 2 4 的一般形式是 12、方程 ( m 2) x
2
（2）
2 x 2 3x 5
（3）
x (2 x 3) 4 x 6
（4）
x 2 3x
1 0 4
22、 （7 分）如图所示，某学校有一道长为 16 米的墙，计划用 32 米长的围栏靠墙围成一个面积为 120 平方 米的矩形草坪 ABCD。求该矩形草坪 BC 边的长。 16 米 A D
草坪
B
2
C
23、 （7 分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元。为了迎接 “六一”国际儿童节，商场决定采取降价措施，扩大销售量，增加盈利。经市场调查发现：如果每件童装降 价 1 元，那么平均每天就可以多售出 2 件。要想平均每天销售这种童装盈利 1200 元，为了尽快减少库存， 那么每件童装应降价多少元？
长沙市长郡双语实验学校数学分式填空选择单元综合测试(Word版 含答案)
长沙市长郡双语实验学校数学分式填空选择单元综合测试（Word 版含答案）一、八年级数学分式填空题（难）1．若关于x 的分式方程1x a x -+＝a 无解，则a 的值为____． 【答案】1或－1【解析】根据方程无解，可让x+1=0，求出x=-1，然后再化为整式方程可得到x-a=a （x+1），把x=-1代入即可求得-1-a=（-1+1）×a ，解答a=-1；当a=1时，代入可知方程无解.故答案为1或-1.2．如果在解关于x 的方程212212x x kx x x x x ++-=+-+-时产生了增根，那么k 的值为_____________．【答案】5-或12-． 【解析】【分析】分式方程的增根是分式方程在去分母时产生的，分式方程的增根是使公分母等于0的x 值，所以先将分式方程去分母得整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，将增根代入整式方程可得关于k 的方程，根据解方程，可得答案．【详解】 解：原方程变形为122(1)1(2)x kx x x x x x ++-+=-+-， 方程去分母后得：(1)(1)(2)2x x x x kx -+-+=+，整理得：(2)3k x +=-，分以下两种情况：令1x =，23k +=-，5k ∴=-；令2x =-，2(2)3k -+=-，12k ∴=-， 综上所述，k 的值为5-或12-． 故答案为：5-或12-． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，利用分式方程的增根得出关于k 的方程是解题关键．3．已知关于x 的方程4433x m m x x---=--无解，则m=________．【答案】－3或1【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程()348m x m +=+，分两种情况：（1）()348m x m +=+无实数根，（2）整式方程()348m x m +=+的根是原方程的增根，分别求解即可.【详解】去分母得：()()434x x m m ---+=-，整理得()348m x m +=+，由于原方程无解，故有以下两种情况：（1）()348m x m +=+无实数根，即30m +=且480m +≠，解得3m =-；（2）整式方程()348m x m +=+的根是原方程的增根， 即4833m m +=+，解得1m =； 故答案为：3m =-或1m =.【点睛】此题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解，有两种情况，①整式方程本身无解；②整式方程有解，但使得分式方程的最简公分母为零（即为增根）．4．阅读下面计算1111...133557911++++⨯⨯⨯⨯的过程，然后填空 解：111113213⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭ ，111135235⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭，…，11119112911⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭ ∴1111...133557911++++⨯⨯⨯⨯ 111111111111...2132352572911⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111...2133557911⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎝⎭ 1112111⎛⎫=- ⎪⎝⎭511= 以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成： (1)112446+=⨯⨯_______.(2)当1116 (13355713)x ++++=⨯⨯⨯时，最后一项x =_____. 【答案】（1）16；（2）1143. 【解析】【分析】(1)根据题中方法计算即可；(2)设()()12121x n n =-+，根据题中方法，解方程即可.【详解】 解：（1）由题可知：111124224⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭， 111146246⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭ ∴112446+⨯⨯ 111111224246⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111122446⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ 111226⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 16= （2）设()()12121x n n =-+ ∵1116 (13355713)x ++++=⨯⨯⨯ ∴()()11116...133557212113n n ++++=⨯⨯⨯-+()()1111111111116 (2132352572212113)n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()1111111116 (2133557212113)n n ⎛⎫-+-+-++-= ⎪-+⎝⎭ ()1116212113n ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭ 解得：6n =，经检验6n =是原方程的解.∴()()11261261143x ==⨯-⨯+ 【点睛】此题考查的是阅读材料和解分式方程，根据材料给出的方法解决类似计算和用换元法列方程并解方程是解决此题的关键.5．若32a b =，则a b a -的值为____________ 【答案】12-【解析】【分析】利用32a b =，在a b a -中，将b 用a 表示，约掉a 得到结果. 【详解】∵32a b =，∴3=2a b 代入a b a-得： 3122aa a -=- 故答案为：12-【点睛】本题考查分式的运算，解题关键是运用已知字母间的关系，将分式中的字母简化，以至可约分求得.6．将1111100m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，222199m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，333198m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，…10010010011m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，依次代入1111y m n =+++得到1y ，2y ，3y …100y ，那么123100y y y y ++++=__________． 【答案】100.【解析】【分析】用m 表示n ，然后化简11n +，再分别表示123100y y y y 、、、、，再求和即可. 【详解】解：分析可知n=1101m-，∴n+1=1101m -+1=102101m m --， ∴1n 1+=101m 102m --=1-1102m-， ∴1y =12+1-1101，2y =13+1-1100，3y =14+1-199，…，100y =1101+1-12， ∴1231001y y y y 2++++=+13+14+…+1101-（1111101100992+++⋯+）+100=100 故答案是：100.【点睛】本题考查了分式的规律性问题，逐个计算找到规律是解题关键，体现了由特殊到一般的数学思想.7．已知关于x 的分式方程233x k x x -=--有一个正数解，则k 的取值范围为________. 【答案】k <6且k≠3【解析】分析：根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零． 详解：233x k x x -=--， 方程两边都乘以（x-3），得x=2（x-3）+k ，解得x=6-k≠3，关于x 的方程程233x k x x -=--有一个正数解， ∴x=6-k ＞0，k ＜6，且k≠3，∴k 的取值范围是k ＜6且k≠3．故答案为k ＜6且k≠3．点睛：本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k 的范围是解此题的关键．8．若0x y -=，则x y-3的值为 【答案】12【解析】【分析】根据非负数的性质列出方程求出x 、y 的值，代入所求代数式计算即可．【详解】∵0x y -+=， ∴0{20x y y -=-=， 解得22x y =⎧⎨=⎩， ∴x y-3=22-3=12， 故答案为12.9．关于x 的分式方程111x k k x x +-=+-的解为非负数，则k 的取值范围为_____． 【答案】k ≤12且k ≠0 【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数求出k 的范围即可．【详解】解：去分母得：（x +k ）（x ﹣1）﹣k （x +1）＝（x +1）（x ﹣1），整理得：x 2﹣x +kx ﹣k ﹣kx ﹣k ＝x 2﹣1，解得：x ＝1﹣2k ，∵分式方程的解为非负数，得到1﹣2k ≥0，且1﹣2k ≠1，解得：k ≤12且k ≠0， 故答案为：k ≤12且k ≠0 【点睛】此题考查了分式方程的解的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.此题方程的解为非负数，即为x ≥0且x ≠1.其中x ≠1容易漏掉，为易错点.10．（内蒙古包头市2018届九年级中考全真模拟试卷一数学试题）化简2x 4x 1-+÷（1−3x 1+）的结果为_________. 【答案】2【解析】原式2x4x13x1x1x1-+⎛⎫=÷-⎪+++⎝⎭()2x22x4x2x12.x1x1x1x2---+=÷=⋅=+++-故答案为2.二、八年级数学分式解答题压轴题（难）11．某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用20 天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的23，公司需付甲工厂加工费用为每天 80 元，乙工厂加工费用为每天 120 元．（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 15 元的午餐补助费，请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．【答案】（1）甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品. （2）甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．见解析．【解析】【分析】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，根据题意找出等量关系：甲厂单独加工这批产品所需天数﹣乙工厂单独加工完这批产品所需天数＝20，由等量关系列出方程求解．（2）分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用，比较大小，选择既省时又省钱的加工方案即可．【详解】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，则：解得：x＝16经检验，x＝16 是原分式方程的解∴甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品（2）方案一：甲工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷16＝60 天需要的总费用为：60×（80+15）＝5700 元方案二：乙工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷24＝40 天需要的总费用为：40×（120+15）＝5400 元方案三：甲、乙两工厂合作完成此项任务，设共需要 a 天完成任务，则16a+24a＝960∴a＝24∴需要的总费用为：24×（80+120+15）＝5 160 元综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案．12．阅读下面的解题过程：已知21 13 xx=+，求241xx+的值。
长沙市长郡双语实验学校必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试(有答案解析)
一、选择题1．已知0x >，0y >，且1x y xy +=-，则（ ）A ．xy 的最大值为322+B ．xy 的最大值为6C ．2x y +的最小值为332+D ．2x y +的最小值为72．若正数x ，y 满足2440x xy +-=，则x y +的最小值是（ ）A ．3B ．45C ．2D ．623．已知0a >，0b >，若不等式122m a b a b+≥+恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．74．已知关于x 的不等式210mx mx ++>恒成立，则m 的取值范围为（ ）．A ．()0,4B ．[)0,4C ．[]0,4D ．(](),04,-∞⋃+∞5．若正数a ，b 满足21a b +=，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 有最大值12B ．224a b +有最小值12C ．ab 有最小值18 D ．224a b +有最大值146．已知m ＞0，xy ＞0，当x +y ＝2时，不等式4m x y +≥92恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．1,)2⎡+∞⎢⎣B ．[1,)+∞C ．](01，D ．1(02⎤⎥⎦，7．已知A 、B 、C 为ABC 的三内角，且角A 为锐角，若tan 2tan B A =，则11tan tan B C+的最小值为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．18．若不等式()()2||20x a b x x ---≤对任意实数x 恒成立，则a b +=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．29．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与AB ，AD 所在直线分别交于点M ，N ，若AB ＝m AM ，AN ＝n AD （m ＞0，n ＞0），则mn的最大值为（ ）A ．22B ．1C ．22D ．210．若直线20(,1)ax by a b +-=>始终把圆222220x y x y +---=的周长分为1:2．则11a b+的最大值为（ ） A ．423-B ．22-C ．21-D ．211．已知m ，0n >，4121m n+=+，则m n +的最小值为（ ） A ．72B ．7C ．8D ．412．已知0x >，0y >，23x y +=，则23x yxy+的最小值为（ ）A ．322-B ．221+C ．21-D ．21+参考答案二、填空题13．若不等式210ax ax +-≤的解集为实数集R ，则实数a 的取值范围为__________. 14．某企业开发一种产品，生产这种产品的年固定成本为3600万元，每生产x 千件，需投入成本c （x ）万元，c （x ）＝x 2+10x ．若该产品每千件定价a 万元，为保证生产该产品不亏损，则a 的最小值为_____．15．若关于x 的不等式2410x x m -+->的区间[]1,4内有解，则实数m 的取值范围为______．16．有一批材料可以建成360m 长的图墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为______2(m 围墙厚度不计)．17．不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是______． 18．已知函数3()3f x x x =-，若对任意的实数x ，不等式()()(0)f x t f x t t +>+≠恒成立，则实数t 的取值范围__________．19．如图，在半径为4（单位：cm ）的半圆形（O 为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其顶点,A B 在直径上，顶点,C D 在圆周上，则矩形ABCD 面积的最大值为____（单位：2cm ）.20．已知a ，b 均为正实数，且1a b +=，则231a ab+的最小值为__________，此时a 的值为__________.三、解答题21．对于四个正数x y z w ，，，，如果xw yz <，那么称()x y ，是()z w ，的“下位序对”． （1）对于23711，，，，试求()27，的“下位序对”； （2）设a b c d ，，，均为正数，且()a b ，是()c d ，的“下位序对”，试判断c a a cd b b d++，，之间的大小关系.22．某工厂进行废气回收再利用，把二氧化硫转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为200吨，最多为500吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为2150400004y x x =-+，且每处理一吨二氧化硫得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的月平均处理成本最低？（2）该工厂每月进行废气回收再利用能否获利？如果获利，求月最大利润；如果不获利，求月最大亏损额.23．已知0,0x y >>，且440x y +=. （1）求xy 的最大值； （2）求11x y+的最小值.24．已知函数()()255f x x x a a =---. （1）当1a =时，求当()0,x ∈+∞时，函数()()f xg x x=的值域； （2）解关于x 的不等式()0f x ≤.25．已知函数21()(2)()2f x x m x m R =+-∈ （1）若关于x 的不等式()4f x <的解集为(2,4)-，求m 的值；（2）若对任意[0x ∈，4]，()20f x +恒成立，求m 的取值范围.26．已知正数,,a b c 满足3a b c ++=. （Ⅰ）若221a b +=，求c 的取值范围；（Ⅱ）求证：3bc ac ab a b c++≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用公式x y +≥，将等式转化为不等式，求xy 的范围；由条件转化为11x y x +=-，代入2x y +后，利用基本不等式求最小值. 【详解】0,0x y >>，x y +≥1xy ∴-≥210-≥，10x y xy +=->1>1t =>，即2210t t --≥，解得：1t ≥或1t ≤1≥，(213xy ≥=+，所以xy 的最小值是3+AB 不正确；10,0,1011x x y x y xy y x x +>>+=-⇒=>⇒>- ()11222222121111x x x y x x x x x x +-++=+=+=-+++---()2213371x x =-++≥=-，当()2211x x -=-时，即2x =时等号成立，所以2x y +的最小值是7，故D 正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查根据条件等式，利用基本不等式求最值，条件等式除了基本变形，同时也需注意变量的范围，比如本题中的1,1xy x >>等条件.2．A解析：A 【分析】首先条件变形为2404x y x-=>，代入x y +后利用基本不等式求最小值.【详解】0,0x y >>，22444004x x xy y x-+-=⇒=>，解得：02x <<243144x x x y x x x -∴+=+=+≥=，当314x x =，即3x =时等号成立，即x y + 故选：A 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方3．C解析：C 【分析】 由已知可得()122m a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，即求()122a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值，由基本不等式可得答案. 【详解】因为0a >，0b >，则()122m a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，所以()1242448b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+⎪⎝⎭，当且仅当4b aa b=即2b a =等号成立，要使不等式恒成立，所以8m ≤ 所以实数m 的最大值为8.故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．B解析：B 【分析】分0m =和0m ≠两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】因为关于x 的不等式210mx mx ++>恒成立，分以下两种情况讨论： （1）当0m =时，可得10>，合乎题意；（2）当0m ≠时，则有240m m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得04m <<. 综上所述，实数m 的取值范围是[)0,4. 故选：B. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆<⎩； ②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩； ③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆≤⎩. 5．B解析：B 【分析】利用基本不等式分析22,4ab a b +的最值，注意取等条件的分析，由此得到结果. 【详解】因为21a b +=，所以12a b =+≥18ab ≤，取等号时11,24a b ==， 所以ab 有最大值18，所以A ，C 错误； 又因为()22211241414824a b ab b a ab =+-=-≥-⨯=+，取等号时11,24a b ==， 所以224a b +有最小值12，所以B 正确，D 错误， 故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.6．B解析：B 【分析】根据“乘1法”，可得()4142m m x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后，利用基本不等式可推出其最小值，则可得不等式(19422m ++≥，解不等式即可. 【详解】 解：xy ＞0，且x +y ＝2，0,0x y ∴>>，()(41414114442222m m y mx x y m m m x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++≥++=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当4y mxx y=2y =时，等号成立， 不等式4m x y +≥92恒成立，(19422m ∴++≥，化简得50m +≥ 解得m 1≥.∴m 的取值范围是[1,)+∞故选：B ． 【点睛】本题考查利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握“乘1法”是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题7．C解析：C 【分析】将11tan tan B C +化为关于tan A 的式子，然后利用基本不等式可以求出最小值. 【详解】在ABC 中，()tan tan C A B =-+，111111tan tan tan tan tan tan tan tan tan A BB C B A B B A B，tan 2tan B A =， 211tan tan 112tan 12tan tan tan tan 2tan 3tan 6tan 3A B AAB A B A AA ,角A 为锐角,tan 0A ∴>，12tan 12tan 226tan 36tan 33A AA A ， 当且仅当12tan 6tan 3A A ，即1tan 2A =时，等号成立，∴11tan tan B C +的最小值为23. 故选：C. 【点睛】本题考查三角形中角的互化，和的正切公式的应用，以及利用基本不等式求最值，属于中档题.8．D解析：D 【分析】可采用分类讨论法，分别讨论22x x -与x a b --的正负，确定,a b 之间的关系即可求解. 【详解】当220x x -≥时，即[]02x ,∈时，||0x a b --≤恒成立，所以b a x b a -+≤≤+恒成立，所以2a b +≥且a b ≤； 当220x x -≤时，即(][),02,x ∈-∞+∞时，||0x a b --≥恒成立所以x a b ≥+或x a b ≤-恒成立，所以2a b +≤且a b ≥，综上，2a b += 故选：D 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，由含参数绝对值不等式求参数关系，分类讨论的数学思想，属于中档题9．B解析：B 【分析】根据向量共线的推论，结合向量的线性运算求得12m n+=，再用基本不等式即可求得结果.【详解】因为1122AO AB AD=+，又AB＝m AM，AN＝n AD，故可得122mAO AM ANn=+，又,,O M N三点共线，故可得1122mn+=，即12mn+=.故211114mm mn n n⎛⎫=⨯≤+=⎪⎝⎭，当且仅当1m n==时取得最大值.故选：B.【点睛】本题考查平面向量共线定理的推论以及基本不等式的应用，属综合中档题.10．B解析：B【分析】由圆的方程得圆心和半径，根据圆的周长被分为1:2，可推出圆心到直线的距离为1，即2221a ba b+-=+，化简整理后，再结合基本不等式的性质可得ab的最小值，再求出11a b+的最大值．【详解】把圆222220x y x y+---=化成标准形式为22(1)(1)4x y-+-=，其中圆心为(1,1)，半径为2．设直线与圆交于A、B两点，圆心为C，因为直线把圆的周长分为1:2，所以13601203ACB∠=⨯︒=︒，所以圆心(1,1)C到直线20ax by+-=的距离为12221a ba b+-=+，因为a，1b>，所以202()aab b-++=，由基本不等式的性质可知，22()4ab a b ab+=+，当且仅当a b =时，等号成立，此时有2(22)ab +，所以1(2)111112222(2ab a b a b ab ab ab+++===++=+． 所以11a b +的最大值为2- 故选：B ． 【点评】本题主要考查直线与圆的综合问题，除圆的标准方程、点到直线的距离公式等基础知识外，还涉及利用基本不等式的性质求最值，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11．A解析：A 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出. 【详解】 ∵m ，0n >，4121m n+=+， ∴()()4111411911554122122n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫++=+++⨯=++≥+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 当且仅当411n m m n +=+且4121m n+=+，即2m =，32n =时取等号， 故m n +的最小值72.故选：A. 【点睛】本题主要考查了均值不等式求最值，“1”的变形使用，属于中档题. 12．B解析：B 【分析】把要求的式子变形为21x y y x++，再利用基本不等式求得它的最小值． 【详解】已知0x >，0y >，23x y +=，则22223(2)2221211x y x x y y x xy yx y x yxy xy xy y x y x+++++===+++=， 当且仅当222x y = 时，即当3x =-，且y ，等号成立，故23x y xy+的最小值为1+ 故选：B ．【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查常数代换法，注意最值取得的条件，考查运算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】分三种情况讨论：（1）当等于0时原不等式变为显然成立；（2）当时根据二次函数的图象与性质可知解集为不可能；（3）当时二次函数开口向下需时由此可得结论【详解】解：（1）当时得到所以不等式的解集 解析：[]4,0-【分析】分三种情况讨论：（1）当a 等于0时，原不等式变为10-<，显然成立；（2）当0a >时，根据二次函数的图象与性质可知解集为R 不可能；（3）当0a <时，二次函数开口向下，需0∆≤时，由此可得结论．【详解】解：（1）当0a =时，得到10-<，所以不等式的解集为R ；（2）当0a >时，二次函数21y ax ax =+-开口向上，函数值y 不是恒小于等于0，所以解集为R 不可能．（3）当0a <时，二次函数21y ax ax =+-开口向下，由不等式的解集为R ，得240a a ∆=+≤，即(4)0a a +≤，解得40a -≤≤，所以40a -≤<；综上，a 的取值范围为[]4,0-．故答案为：[]4,0-．【点睛】易错点点睛：对于一元二次不等式型的不等式恒成立问题，注意需讨论二次项系数为零的情况，当系数不为零时，再从根的判别式的符号上考虑． 14．130【分析】本题先根据题意建立函数与不等式关系再运用参变分离化简最后运用基本不等式求最值即可【详解】解：有题意建立利润函数关系：（）整理得：为保证生产该产品不亏损则（）即当且仅当即取最小值130此 解析：130【分析】本题先根据题意建立函数与不等式关系，再运用参变分离化简，最后运用基本不等式求最值即可.【详解】解：有题意建立利润函数关系：2()(103600)f x ax x x =-++，（0x >）整理得：2()(10)3600f x x a x =-+--，为保证生产该产品不亏损，则2()(10)36000f x x a x =-+--≥，（0x >）即36001010130a x x ≥++≥=， 当且仅当3600x x=即60x =，a 取最小值130，此时产品不亏损 故答案为：130.【点睛】 本题考查函数与不等式关系、参变分离法，基本不等式解决实际问题中的最值问题，是基础题.15．【分析】不等式在区间内有解等价于然后求出的值域即可【详解】不等式在区间内有解等价于因为函数在上单调递减在单调递增所以的值域为所以故答案为：【点睛】本题考查的是不等式存在性问题考查了学生对基本方法的掌 解析：(],1-∞【分析】不等式2410x x m -+->在区间[]1,4内有解等价于()2max 4+1x x m ≤-，然后求出()24+1f x x x =-的值域即可.【详解】不等式2410x x m -+->在区间[]1,4内有解等价于()2max 4+1x x m ≤-，因为函数()24+1f x x x =-在()1,2上单调递减，在()2,4单调递增，()()()12,23,41f f f =-=-=，所以()f x 的值域为[]31-，，所以1m ≤， 故答案为：(],1-∞.【点睛】本题考查的是不等式存在性问题，考查了学生对基本方法的掌握情况，属于中档题. 16．8100【分析】设小矩形的高为把面积用表示出来再根据二次函数的性质求得最大值【详解】解：设每个小矩形的高为am 则长为记面积为则当时所围矩形面积的最大值为故答案为8100【点睛】本题考查函数的应用解题解析：8100【分析】设小矩形的高为acm ，把面积用a 表示出来，再根据二次函数的性质求得最大值．【详解】解：设每个小矩形的高为am ，则长为()136043b a m =-，记面积为2Sm则()2336044360(090)S ab a a a a a ==⋅-=-+<< ∴当45a =时，()28100max S m =∴所围矩形面积的最大值为28100m故答案为8100．【点睛】本题考查函数的应用，解题关键是寻找一个变量，把面积表示为此变量的函数，再根据函数的知识求得最值．本题属于基础题． 17．(－13)【解析】由题意得解析：(－1,3)【解析】由题意得222min (23)2122113x x a a a a a -+>--∴>--⇒-<<18．【分析】代入函数解析式可得不等式等价于任意的实数恒成立利用判别式小于0即可求解【详解】不等式恒成立即恒成立整理得恒成立可知则任意的实数恒成立解得（舍去）或实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查一 解析：()4,+∞【分析】代入函数解析式可得不等式等价于223340x tx t 任意的实数x 恒成立，利用判别式小于0即可求解.【详解】 3()3f x x x =-，不等式()()(0)f x t f x t t +>+≠恒成立，即()()3333x t x t x x t +-+>-+恒成立，整理得2233340tx t x t t 恒成立，可知0t >，则223340x tx t 任意的实数x 恒成立，2234340t t ，解得4t <-（舍去）或4t >， ∴实数t 的取值范围是()4,+∞.故答案为：()4,+∞.【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立，属于基础题.19．【分析】设BC=x 连结OC 求出OB 得到矩形面积表达式然后利用基本不等式求出函数的最值即可【详解】设BC=x 连结OC 得OB=所以AB ＝2所以矩形面积S ＝2x ∈（04）S ＝2即x2＝16﹣x2即x ＝2时解析：16【分析】设BC=x,连结OC ，求出OB ，得到矩形ABCD 面积表达式，然后利用基本不等式求出函数的最值即可．【详解】设BC=x,连结OC ，得OB=216x -，所以AB ＝2216x -，所以矩形ABCD 面积S ＝22x 16x -，x ∈（0，4）,S ＝2()22222x 162161616x x x x x -=-≤+-= ．即x 2＝16﹣x 2，即x ＝22时取等号，此时y max ＝16故答案为16 【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查利用基本不等式求函数最值问题，考查计算能力． 20．6【分析】首先由条件变形为化简后利用基本不等式求最小值【详解】所以当时等号成立即解得：所以即的最小值为6此时故答案为：6；【点睛】本题考查基本不等式求最值重点考查转化思想计算能力属于基础题型本题的关 解析：613【分析】 首先由条件变形为()222331a a b a ab ab+++=，化简后利用基本不等式求最小值. 【详解】 1a b +=，()21a b ∴+=所以()222223314242a a b a a b ab a b ab ab ab b a +++++===++， 444a b a b b a b a+≥⨯=， 当4a b b a =时，等号成立，即120,0a b b a a b +=⎧⎪=⎨⎪>>⎩，解得：12,33a b ==， 所以231426a ab+≥+=， 即231a ab+的最小值为6，此时13a =.故答案为：6；13【点睛】 本题考查基本不等式求最值，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型，本题的关键是利用()21a b =+变形，化简. 三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无。
长沙市长郡中学九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》经典练习题(课后培优)
一、选择题1．722x -=⨯是下列哪个一元二次方程的根（ ） A ．22730x x ++=B ．22730x x --=C ．22730x x +-=D ．22730x x -+=C解析：C【分析】 根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案．【详解】A 、22730x x ++=的解为722x -±=⨯，不符合题意；B 、22730x x --=的解为x =C 、22730x x +-=的解为x =D 、22730x x -+=的解为x =故选：C ．【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的根，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 2．已知4是关于x 的方程()2120x m x m -++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（ ）A ．7B ．7或10C ．10或11D ．11C解析：C【分析】把x=4代入已知方程求得m 的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【详解】解：把x=4代入方程得16-4（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x 2-7x+12=0，解得x 1=3，x 2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，①当△ABC 的腰为4，底边为3时，则△ABC 的周长为4+4+3=11；②当△ABC 的腰为3，底边为4时，则△ABC 的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC 的周长为10或11．故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了三角形三边的关系．3．已知一元二次方程2210x x --＝的两个根分别是1x ，2x ，则2112x x x -+的值为（ ）．A ．-1B ．0C ．2D ．3D解析：D【分析】分别根据一元二次方程的根的意义和一元二次方程根与系数的关系分别得到21112210,2x x x x --=+=，变形代入求值即可得到答案．【详解】解：由题意得21112210,2x x x x --=+=，即21121x x -=， ∴原式211122123x x x x =-++=+=．故选：D ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解的根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解答此题的关键．4．x=－2是关于x 的一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0的一个根，则a 的值为（ ） A ．1或4B ．－1或－4C ．－1或4D ．1或－4D解析：D【分析】根据一元二次方程的解的定义知，x=－2满足关于x 的一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0，可得出关于a 的方程，通过解方程即可求得a 的值．【详解】解：将x=－2代入一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0，得：()()222-23-2-20a a ⨯+⋅=，化简得：2+340a a -=，解得：a=1或a=-4．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的所有解都满足该一元二次方程的关系式．5．小刚在解关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 时，只抄对了1a =，4b =，解出其中一个根是1x =-．他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2．则原方程的根的情况是A ．不存在实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有一个根是xD ．有两个相等的实数根A 解析：A【分析】直接把已知数据代入进而得出c 的值，再利用根的判别式求出答案．【详解】∵小刚在解关于x 的方程20ax bx c ++=(0a ≠)时，只抄对了1a =，4b =，解出其中一个根是1x =-，∴()()21410c -+⨯-+=， 解得：3c =，∵核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2，故原方程中5c =，则224441540b ac =-=-⨯⨯=-<，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选：A ．【点睛】本题主要考查了根的判别式，正确利用方程的解得出c 的值是解题关键．6．方程23x x =的根是（ ）A ．3x =B ．0x =C ．123,0x x =-=D ．123,0x x ==D解析：D【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得x （x ﹣3）＝0，方程就可转化为两个一元一次方程x ＝0或x ﹣3＝0，然后解一元一次方程即可．【详解】解：∵x 2＝3x ，∴x 2﹣3x ＝0，∴x （x ﹣3）＝0，∴x ＝0或x ＝3，故选：D ．【点睛】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可．7．用一条长40cm 的绳子怎样围成一个面积为75cm 2的矩形？设矩形的一边为x 米，根据题意，可列方程为（ ）A ．x （40－x ）＝75B ．x （20－x ）＝75C ．x （x ＋40）＝75D ．x （x ＋20）＝7B 解析：B根据长方形的周长可以用x 表示另一边，然后根据面积公式即可列出方程.【详解】解：设矩形的一边为x 米，则另一边为（20-x ）米，∴x （20－x ）＝75，故选：B.【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，根据题意抽象出一元二次方程是解题的关键. 8．已知2x 2+x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．12D ．12-D 解析：D【分析】直接利用根与系数的关系解答．【详解】解：∵2x 2+x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2， ∴x 1•x 2＝12-＝﹣12． 故选：D ．【点睛】 此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a． 9．方程23x x =的解为（ ） A ．3x =B ．3x =-C ．10x =，23x =D ．10x =，23x =-C解析：C【分析】方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】解：方程变形得：x 2-3x=0，分解因式得：x （x-3）=0，可得x=0或x-3=0，解得：x 1=3，x 2=0．故选：C ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）A．x2＝0 B．x﹣3＝0 C．x2﹣5＝0 D．x2+2＝0C解析：C【分析】利用直接开平方法分别求解可得．【详解】解：A．由x2＝0得x1＝x2＝0，不符合题意；B．由x﹣3＝0得x＝3，不符合题意；C．由x2﹣5＝0得x1=x2=，符合题意；D．x2+2＝0无实数根，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．二、填空题11．生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出多少个小分支？设这种植物每个支干长出x个小分支，可列方程___________．1+x+x2=91【分析】如果设每个支干分出x个小分支根据每个支干又长出同样数目的小分支可知：支干的数量为x个小分支的数量为x•x=x2个然后根据主干支干和小分支的总数是91就可以列出方程【详解】解解析：1+x+x2=91【分析】如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为x•x=x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程．【详解】解：依题意得支干的数量为x个，小分支的数量为x•x=x2个，那么根据题意可列出方程为：1+x+x2=91，故答案为：1+x+x2=91．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．12．若关于x的一元二次方程240++=有两个相等的实数根，则k=______．4x x k【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得：；故答案为：4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解解析：4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，∴224440b ac k ∆=-=-=，解得：4k =；故答案为：4．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．13．关于x 的方程()210x k x x -++=有两个相等的实数根，则k =_______．-1【分析】根据方程有两个相等的实数根可得判别式△=0可得关于k 的一元二次方程解方程求出k 值即可得答案【详解】∵方程有两个相等的实数根∴解得：k1=k2=-1故答案为：-1【点睛】此题主要考查了根的解析：-1【分析】根据方程()210x k x x -++=有两个相等的实数根可得判别式△=0，可得关于k 的一元二次方程，解方程求出k 值即可得答案．【详解】∵方程()221(1)0x k x x x k x k -++=---=有两个相等的实数根， ∴()2140k k =-+=， 解得：k 1=k 2=-1，故答案为：-1．【点睛】此题主要考查了根的判别式，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0），根的判别式△=b 2-4ac ，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根；熟练掌握相关知识是解题关键．14．方程230x -=的解为___________．【分析】先移项然后利用数的开方直接求出即可【详解】移项得解得：故答案为：【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程用直接开方法求一元二次方程的解要仔细观察方程的特点解析：x =【分析】先移项，然后利用数的开方直接求出即可.【详解】x=，移项得，23解得：x=故答案为：x=【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.15．一元二次方程（x+2）（x﹣3）＝0的解是：_____．x1＝﹣2x2＝3【分析】利用因式分解法把原方程化为x+2＝0或x﹣3＝0然后解两个一次方程即可【详解】（x+2）（x﹣3）＝0x+2＝0或x﹣3＝0所以x1＝﹣2x2＝3故答案为x1＝﹣2x2＝3解析：x1＝﹣2，x2＝3【分析】利用因式分解法把原方程化为x+2＝0或x﹣3＝0，然后解两个一次方程即可．【详解】（x+2）（x﹣3）＝0，x+2＝0或x﹣3＝0，所以x1＝﹣2，x2＝3．故答案为x1＝﹣2，x2＝3．【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．16．一元二次方程（x＋1）（x﹣3）＝3x＋4化为一般形式可得_________．x2﹣5x﹣7＝0【分析】利用多项式乘多项式的法则展开再利用等式的性质进行移项合并进行计算【详解】（x＋1）（x﹣3）＝3x＋4x2﹣2x﹣3＝3x＋4x2﹣5x﹣7＝0故答案是：x2﹣5x﹣7＝0解析：x2﹣5x﹣7＝0．【分析】利用多项式乘多项式的法则展开，再利用等式的性质进行移项、合并，进行计算．【详解】（x＋1）（x﹣3）＝3x＋4，x2﹣2x﹣3＝3x＋4，x2﹣5x﹣7＝0．故答案是：x2﹣5x﹣7＝0．【点睛】本题考查一元二次方程的变形，属于基础题型．17．已知一元二次方程2x 2+3x ﹣1＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1•x 2＝_____．﹣【分析】由根与系数的关系即可求出答案【详解】解：∵一元二次方程2x2+3x ﹣1＝0的两个根是x1x2∴x1x2＝﹣故答案为：﹣【点睛】本题考查了根与系数的关系解题的关键是掌握根与系数的关系进行解题解析：﹣12 【分析】由根与系数的关系，即可求出答案．【详解】解：∵一元二次方程2x 2+3x ﹣1＝0的两个根是x 1，x 2，∴x 1x 2＝﹣12， 故答案为：﹣12． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系进行解题．18．用配方法解方程x 2+4x+1＝0，则方程可变形为（x+2）2＝_____．3【分析】先移项再两边配上4写成完全平方公式即可【详解】解：∵∴即故答案为：3【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程掌握用配方法解一元二次方程的步骤即可 解析：3【分析】先移项，再两边配上4，写成完全平方公式即可．【详解】解：∵241x x +=-，∴24414x x ++=-+，即()223x +=，故答案为：3．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步骤即可． 19．北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻．在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨．若设平均每次用钢量降低的百分率为x ，根据题意，可得方程_______54（1-x ）2=42【分析】根据题意经过两次的钢量减少最后的结果应该是原来的（1-x ）2倍列出方程即可【详解】解：根据题意有：54（1-x ）2=42故答案为：54（1-x ）2=42【点睛】本题考查解析：5.4（1-x ）2=4.2【分析】根据题意，经过两次的钢量减少，最后的结果应该是原来的（1-x ）2倍，列出方程即可．【详解】解：根据题意有：5.4（1-x ）2=4.2故答案为：5.4（1-x ）2=4.2【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用问题，属于基础题．20．已知a 、b 是方程2320190x x +-=的两根，则24a a b ++的值为________．2016【分析】将x=a 代入可得然后由根与系数之间的关系得到整理即可得到答案【详解】解：由题意可知【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数之间的关系熟练掌握基础知识是解题的关键解析：2016【分析】将x=a 代入2320190x x +-=，可得2320190a a +-=，然后由根与系数之间的关系得到3a b +=-，整理即可得到答案．【详解】解：由题意可知，2320190a a +-=，3a b +=-，232019a a ∴+=，24a a b ∴++23()a a a b =+++20193=-2016=．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数之间的关系，熟练掌握基础知识是解题的关键．三、解答题21．解方程：（1）26160x x +-=．（2）22430x x --=．解析：（1）18x =-，22x =；（2）122x +=，222x =． 【分析】（1）运用因式分解法求解即可；（2）运用公式法求解即可．【详解】解：（1）26160x x +-= ()()820x x +-=解得18x =-，22x =．（2）22430x x --=，∵2a =，4b =-，3c =-，∴224(4)42(3)162440b ac -=--⨯⨯-=+=，x ===∴122x +=，222x =． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，在解答中注意计算的正确性．22．关于x 的一元二次方程()2220x k x k -++=． （1）判断方程根的情况，并说明理由．（2）若1x =是方程的一个根，求k 的值和方程的另一根．解析：（1）有两个实数根，证明见解析；（2）1k =，2x =【分析】（1）利用根的判别式进行判断根的情况，即可得到答案；（2）把1x =代入方程，即可求出k 的值，然后解一元二次方程，即可得到另一个根．【详解】解：（1）根据题意，在一元二次方程()2220x k x k -++=中， ∵2(2)42k k ∆=+-⨯，244k k =-+，2(2)0k =-，∴对于任意的实数k ，原方程总有两个实数根．（2）∵1x =是方程2(2)20x k x k -++=的一个根．∴1(2)120k k -+⨯+=，解得：1k =，∴原方程为2320x x -+=，解得：11x =，22x =，∴原方程的另一根为22x =． 【点睛】本题考查了解一元二次方程以及根的判别式，牢记当0∆≥时方程有两个实数根是解题的关键．23．某地区2018年投入教育经费2000万元，2020年投入教育经费2420万元（1）求2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2022年需投入教育经费2900万元，如果按（1）中教育经费投入的增长率，到2022年该地区投入的教育经费是否能达到2900万元?请说明理由．解析：（1）10%；（2）可以，理由见解析【分析】（1）设年平均增长率是x ，列式()2200012420x +=，求出结果；（2）利用（1）中算出的增长率算出2022年的教育经费，看是否超过2900万元．【详解】解：（1）设年平均增长率是x ，()2200012420x +=1 1.1x +=±10.1x =，2 2.1x =-（舍去），答：年平均增长率是10%；（2）2022年的教育经费是()2242010.12928.2⨯+=（万元）， 2928.22900>，答：教育经费可以达到2900万元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握增长率问题的列式方法．24．我们知道20x ≥，2()0a b ±≥，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如，探究多项式2245x x +-的最小值时，我们可以这样处理：解：原式()2225x x =+- ()22222115x x =++-- 222(1)15x ⎡⎤=+--⎣⎦22(1)25x =+--22(1)7x =+-因为()210x +≥，所以()221707x +-≥-，即()22177x +-≥-所以()2217x +-的最小值是7-，即224 5x x +-的最小值是7-．请根据上面的探究思路，解答下列问题：（1）多项式()2531x -+的最小值是_________；（2）求多项式24163x x -+的最小值（写过程）．解析：（1）1；（2）13-．【分析】（1）根据偶次方的非负性得到2(3)0x -，得到答案； （2）根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答．【详解】解：（1）∵2(3)0x -≥，∴25(3)11x -+≥，∴多项式25(3)1x -+的最小值是1．故答案为：1；（2）24163x x -+()2443x x =-+ ()22244223x x =-+-+ 24(2)43x ⎡⎤=--+⎣⎦24(2)163x =--+24(2)13x =--∵2(2)0x -≥，∴24(2)1313x --≥-，∴多项式24163x x -+的最小值为13-．【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 25．用适当的方法解一元二次方程：（1）()229x -=；（2）2230x x +-=．解析：（1）15=x ，21x =-；（2）13x =-，21x =【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．【详解】解：（1）∵()229x -=，∴23x -=±，∴23x -=或23x -=-，∴15=x ，21x =-．（2）∴ 1a =，2b =，3c =-，则()22413160=-⨯⨯-=>△，∴22x -±=， 即13x =-，21x =．【点睛】本题主要考查解一元二次方程．通过开平方运算解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．公式法解一元二次方程的一般步骤，把方程化为一般形式确定各系数的值利用2b a- 求解． 26．用配方法解方程：22450x x +-=．解析：121,122x x =-+=-- 【分析】 利用完全平方公式进行配方解一元二次方程即可得．【详解】22450x x +-=，2245x x +=，2522x x +=， 252112x x ++=+， ()2712x +=，12x +=±，12x =-±，即1211x x =-+=--． 【点睛】 本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．27．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元：如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买了这种服装x 件．（1）填空：解析：（1）①80；②74；③25x ≥（2）20件【分析】（1）①如果一次性购买不超过10件，单价为80元；②用单价80元减去（13－10）×2，得出答案即可；③求出单价恰好是50元时的购买件数，即可分析得到；（2）根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可．【详解】解：（1）①∵如果一次性购买不超过10件，单价为80元，故填：80；②80－（13－10）×2＝74，故填：74；③设购买a 件时，单价恰好是50元，80－（a －10）×2＝50，解得：a ＝25，而题目中“单价不得低于50元”，∴25x ≥时，单价是50元，故填：25x ≥；（2）因为1200＞800，所以一定超过了10件，设购买了x 件这种服装且多于10件，根据题意得出：[80－2（x －10）]x ＝1200，解得：x 1＝20，x 2＝30，当x ＝20时，80－2（20－10）＝60元＞50元，符合题意；当x ＝30时，80－2（30－10）＝40元＜50元，不合题意，舍去；答：购买了20件这种服装．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知得出每件服装的单价是解题关键． 28．解方程：(2)4x x x +=-解析：1241x x =-=，【分析】方程整理后，利用因式分解法求解即可．【详解】解：(2)4x x x +=-，方程整理得：2340x x +-=，因式分解得：()()410x x +-=，则40x +=或10x -=，∴1241x x =-=，．【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．。
长沙市长郡双语实验学校九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》经典测试题(培优练)
一、选择题1．据网络统计，某品牌手机2020年一月份销售量为400万部，二月份、三月份销售量连续增长，三月份销售量达到900万部，求二月份、三月份销售量的月平均增长率？若设月平均增长率为x ，根据题意列方程为（ ）．A ．()40012900x +=B ．()40021900x ⨯+=C ．()24001900x +=D ．()()240040014001900x x ++++= 2．27742322x -±+⨯⨯=⨯是下列哪个一元二次方程的根（ ） A ．22730x x ++=B ．22730x x --=C ．22730x x +-=D ．22730x x -+= 3．已知4是关于x 的方程()2120x m x m -++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（ ）A ．7B ．7或10C ．10或11D ．114．一个大正方形内放入两个同样大小的小正方形纸片，按如图1放置，两个小正方形纸片的重叠部分面积为4；按如图2放置（其中一小张正方形居大正方形的正中），大正方形中没有被小正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为44，则把两张小正方形按如图3放置时，两个小正方形重叠部分的面积为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．165．若用配方法解方程24121x x +=，通常要在此方程两边同时加上一个“适当”的数，则下面变形恰当的是（ ）A ．2221212412122x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．22241212112x x ++=+C ．2412919x x ++=+D ．241212112x x ++=+6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A ．(2)(2)0x x -+= B ．220x -=C ．2(1)0x -=D ．2(1)20x ++= 7．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学有（ ）A ．6人B ．7人C ．8人D ．9人 8．不解方程，判断方程23620x x --=的根的情况是（ ） A ．无实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．以上说法都不正确9．方程23x x =的根是（ ）A ．3x =B ．0x =C ．123,0x x =-=D ．123,0x x == 10．若方程()200++=≠ax bx c a 中，,,a b c 满足420a b c ++=和420a b c -+=，则方程的根是（ ）A ．1,0B ．1,0-C ．1,1-D ．2,2- 11．关于x 的一元二次方程（a －1）x²－x ＋a²－1＝0的一个根是0，则a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0 12．已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m -+＝-有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．0m ≠B ．14mC ．14m <D ．14m > 13．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣1＝0的两个根，则x 1•x 2等于（ ） A ．4 B ．1 C ．﹣1 D ．﹣414．如图，BD 为矩形ABCD 的对角线，将△BCD 沿BD 翻折得到BC D '△，BC '与边AD 交于点E ．若AB ＝x 1，BC ＝2x 2，DE ＝3，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣4x+m ＝0的两个实根，则m 的值是（ ）A ．165B ．125 C ．3 D ．2 15．若()()2222230xy x y ++--=，则22x y +的值是（ ） A ．3 B ．-1 C ．3或1 D ．3或-1 二、填空题16．把方程2230x x --=化为2()x h k +=的形式来求解的方法我们叫配方法，其中h ，k 为常数，那么本题中h k +的值是_________．17．已知方程2x 2+4x ﹣3＝0的两根分别为出x 1和x 2，则x 1+x 2+x 1x 2＝_____．18．一元二次方程（x ＋1）（x ﹣3）＝3x ＋4化为一般形式可得_________．19．已知0x =是关于x 的一元二次方程()()22213340m x m x m m -+++-=的一个根，则m =__________．20．已知实数a ，b 是方程210x x --=的两根，则11a b+的值为______． 21．已知关于x 的一元二次方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是______．22．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积六十步，只云长阔共十六步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为60平方步，只知道它的长与宽共16步，根据题意得，设长为x 步，列出方程_______． 23．若m 是方程210x x +-=的根，则2222018m m ++的值为__________24．一元二次方程x 2=2x 的解为__________25．一件商品原价300元，连续两次降价后，现售价是243元，若每次降价的百分率相同，那么这个百分率为______．26．“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有16个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了______人．三、解答题27．某精准扶贫办对某地甲、乙两个猕猴桃品种进行种植对比实验研究．去年甲、乙两个品种各种植了100亩．收获后甲、乙两个品种的售价均为6元/kg ，且乙的平均亩产量比甲的平均亩产量高500kg ，甲、乙两个品种全部售出后总收入为1500000元． （1）请求出甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年，精准扶贫办加大了对猕猴桃培育的力度，在甲、乙种植亩数不变的情况下，预计甲、乙两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加%a 和2%a ．由于乙品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨%a ，而甲品种的售价不变，甲、乙两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加58%25a ．求a 的值． 28．设,ab 是一个直角三角形的两条直角边的长，且()()2222112a ba b +++=，求这个直角三角形的斜边长c 的值． 29．某公司一月份营业额为10万元，若二、三月份增长率相同，到三月份时，营业额达到12.1万元．求二、三月份的平均增长率．30．物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件，设二、三这两个月月平均增长率不变．（1）求二、三这两个月的月平均增长率；（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顺客，经调查发现，销售单价与月平均销售的关系如下表：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
答：到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的 10%． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程 的知识解答，这是一道典型的增长率问题.
4．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12 cm，BC=16 cm．点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动．如果 P、 Q 分 别从 A、B 同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为 t 秒．
三角形. 【解析】 试题分析：（1）解一元二次方程即可求得边长； （2）结合图形，利用勾股定理求解即可； （3）根据题意，分为：PC＝PD，PD＝PC，PD＝CD，三种情况分别可求解. 试题解析：(1)∵x2－7x＋12＝(x－3)(x－4)＝0
∴ x1 ＝3 或 x2 ＝4 .
则 AB＝3，BC＝4
用含 n 的算式表示出 PQ 的长度，注意需要添加绝对值符号．
3．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从 2016 年底到 2018 年底两年内由 5 万 册增加到 7.2 万册. （1）求这两年藏书的年均增长率； （2）经统计知：中外古典名著的册数在 2016 年底仅占当时藏书总量的 5.6%，在这两年新 增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？ 【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是 20%；（2）到 2018 年底中外古典名著的册数 占藏书总量的 10%． 【解析】 【分析】 （1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率； （2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到 2018 年底中外古 典名著的册数占藏书总量的百分之几. 【详解】
∴PQ= 9 n 1 n 2
∵要使 0 PQ 3
∴0＜ 9 n 1 n 3 2
解得： 4 n 6 或 6 n 8
（3）在△PQC 中，以 PQ 的长为底，则点 C 到 PQ 的距离为高，设为 h
第（2）已知：PQ= 9 n 1 n 9 3 n
2
2
由图形可知，h= 6 n
∵△PQC 的面积为 12
∴12= 1 6 n 9 3 n
2
2
1
情况一：当 n＜6 是，则原式化简为：12=
2
6 n
9
3 2
n
解得：n=2 或 n=10(舍)
情况二：当 n≥6 时，则原式化简为：12
解得：n=2(舍)或 n=10
综上得：n=2 或 n=10．
【点睛】
本题考查一次函数的综合，用到了解一元二次方程，求三角形面积等知识点，解题关键是
2．如图，直角坐标系 xOy 中，一次函数 y kx b 的图象 l1 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B
两点，点
A 坐标为 9, 0 ，正比例函数
y
1 2
x
的图象 l2
与 l1 交于点 C m,3 ，点
N
n, 0
在 x 轴上一个动点，过点 N 作 x 轴的垂线与直线 l1 和 l2 分别交于 P 、 Q 两点．
（2）当点 P 运动到边 BC 上时，试求出使 AP 长为 10 时运动时间 t 的值；
（3）当点 P 运动到边 AC 上时，是否存在点 P，使△CDP 是等腰三角形？若存在，请求出运 动时间 t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) AB＝3，BC＝4;(2) t＝4;(3) t 为 10 秒或 9.5 秒或 53 秒时，△CDP 是等腰 5
(2)由题意得 32 t-32 （ 10）?
∴ t1 4 ， t2 2 (舍去)
则 t＝4 时，AP＝ 10 .
(3)存在点 P，使△CDP 是等腰三角形.
①当 PC＝PD＝3 时， t＝ 3 4 3 ＝10(秒). 1
②当 PD＝PC(即 P 为对角线 AC 中点)时，AB＝3，BC＝4.
（1）求 m 的值及直线 l1 所对应的一次函数表达式； （2）当 0 PQ 3时，求 n 的取值范围； （3）求出当 n 为何值时， PQC 面积为 12？ 【答案】（1） m 6； y x 9 ；（2） 4 n 6 或 6 n 8 ；（3） n 2 或 10．
【解析】 【分析】 （1）直接将点 C 代入正比例函数，可求得 m 的值，然后将点 C 和点 A 代入一次函数，可 求得一次函数解析式； （2）用含 n 的式子表示出 PQ 的长，然后解不等式即可； （3）用含有 n 的式子表示出△PQC 的底边长和高的长，然后求解算式即可得． 【详解】
（1）将点 C(m，3)代入正比例函数 y 1 x 得： 2
3= 1 m ，解得：m=6 2
则点 C(6，3) ∵A(9，0) 将点 A，C 代入一次函数 y kx b 得：
0 9k b 3 6k b
解得：k=－1，b=9 ∴一次函数解析式为：y=－x+9 （2）∵N(n，0)
∴P(n，9－n)，Q(n， 1 n ) 2
解：（1）设这两年藏书的年均增长率是 x ，
51 x2 7.2 ，
解得， x1 0.2 ， x2 2.2 （舍去），
答：这两年藏书的年均增长率是 20%；
（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有 7.2 5 20% 0.44 （万册），
到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：
∴AC＝
32 42
＝5，CP1＝
1 AC＝2.5 2
∴t＝ 3 4 2.5 ＝9.5(秒) 1
③当 PD＝CD＝3 时，作 DQ⊥AC 于 Q.
DQ
1 34 2
1 5
12 5
，
PQ
2
32
12 5
2
9 5
∴PC＝2PQ＝ 18 5
∴
t
3
4
18 5
53
(秒)
1
5
可知当 t 为 10 秒或 9.5 秒或 53 秒时，△CDP 是等腰三角形. 5
长沙市长郡双语实验学校数学一元二次方程单元综合测试（Word 版 含答案）
一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）
1．如图，在长方形 ABCD 中，边 AB、BC 的长（AB＜BC）是方程 x2-7x+12=0 的两个根．点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿△ABC 边 A→B→C→A 的方向运动，运动时间为 t （秒）． （1）求 AB 与 BC 的长；