基本不等式复习三大注意事项

基本不等式复习三大注意事项

山东省邹平县第一中学 李锋 256200

基本不等式是高中阶段的重要内容，是学生不容易掌握的重点知识之一，关键是其变形

灵活，形式多姿多样，基本不等式“0,0)2

a b a b +≥>>”沟通了两个正数的“和”与“积”之间的关系，利用它可以解决求最值或者不等式证明问题.在运用基本不等式解题时，我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形，造条件满足应用情境后再解决问题. 因此需要掌握一些变形技巧，注意三大方面.

一个技巧

运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如222a b ab +≥逆用就是222a b ab +≤

，2a b +≥ (0,0)a b >>逆用就是2()2

a b ab +≤等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．

两个变形

(1) 2

112a b a b +≤≤+(,)a b R +∈,即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数；（当且仅当a b =时取等号） (2) 22

2()22

a b a b ab ++≤≤ (,)a b R ∈（当且仅当a b =时取等号)． 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．

三个注意

(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．

(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．下面举例析之.

一、注意运用不等式链

从某种意义上来讲要学好基本不等式的变形关键是掌握上述两个不等式链.不等式中的常见变形主要围绕这两个基本不等式链进行.

例1 已知0a >，0b >，1a b +=，求

11a b +的最大值. 解析：由0a >，0b >，又2112a b a b

+≤+，因为1a b +=，所以21112a b ≤+，所以

11a b +4≥，当且仅当12

a b ==时，等号成立. 评注：本题利用基本不等式链简化了问题，是题目的证明思路一目了然.

二、注意结论成立的条件

对2

112a b a b

+≤≤≤+一是要求,a b R +∈，二是和或积或平方和为定值，三是等号要成立即a b =.即所谓的一正、二定、三相等；但是对不等式22

2()22

a b a b ab ++≤≤来讲,a b R ∈均可. 例2 求函数()()y x x x

=++49的最值. 错解： ()()y x x x x x x

=++=++4913362=++≥+⋅=133********x x x x 当且仅当x x

=

36即x =±6时取等号. 所以当x =±6时，y 的最小值为25，此函数没有最大值. 错因分析： 上述解题过程中应用了基本不等式，却忽略了应用基本不等式求最值时的条件—两个数都应大于零，因而导致错误.因为函数()()y x x x

=++49的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，所以必须对x 的正负加以分类讨论.

正解： （1）当x >0时，25362133613=⋅+≥+

+=x x x x y ， 当且仅当x x

=36即6=x 时取等号.所以当x =6时，y min =25. （2）当x <0时，->-

>x x 0360，， ()()-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪≥--⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x x x 3623612， 11213)]36()[(13=-≤-+--=∴x

x y .当且仅当-=-x x 36，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max =-=13121.

评注：在利用基本不等式链时，一定要注意使用范围.

例3 已知0,0x y >>，且191x y

+=，求x y +的最小值. 错解： 0,0x y >>，且

191x y +=，∴(

)1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭. 故 ()min 12x y += .

错因分析：解法中两次连用基本不等式，在x y +≥等号成立条件是x y =，在

19x y +≥19x y

=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误. 正解：190,0,1x y x y >>+= ，()1991061016y x x y x y x y x y

⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当9y x x y

=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += . 评注：在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法.

三、要掌握三种拼凑方法

由基本不等式链可以看出在运用基本不等式解决问题时主要是凑定和、定积或平方和为常数.

例4 当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值.

解析：由04x <<知，820x ->，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将

(82)y x x =-凑上一个系数即可.211282(82)[2(82)]()8222

x x y x x x x +-=-=-≤=. 当282x x =-，即2x =时取等号 ，所以当2x =时，(82)y x x =-的最大值为8.

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值.

例5 已知54

x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. 解析：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45

x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404

x x <∴-> ， 11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭

231≤-+= 当且仅当15454x x

-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =. 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值.

例6 、已知x ，y 为正实数，且2

2

12y x +=，求的最大值.

解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式222

a b ab +≤.

前面的系数为12，==.下面将x