基本不等式复习三大注意事项
高考数学复习专题 基本不等式 (文 精讲)
专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】 高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6B ．8 2C ．5D ．9高频考点二 利用基本不等式解决实际问题【例2】【2019·北京卷】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．，，，，，，，，【方法技巧】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点 (1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．【变式探究】（2020·山西省大同模拟）经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km /h )(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175（x 2－130x ＋4 900），x ∈[50，80），12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ． 【答案】45【解析】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y-+=+=≥⋅=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45. 【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【答案】23＋2【解析】∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【答案】92【解析】(x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy ，∵x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝4， ∴4＝x ＋2y ≥22xy ，∴xy ≤2，∴1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92.【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6 B ．8 2 C ．5 D ．9【答案】A【答案】∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1， ∴a ＝b ＋1b －2＞0，∴b ＞2，∴a ＋2b ＝b ＋1b －2＋2b ＝2(b －2)＋3b －2＋5≥5＋22（b －2）·3b －2＝5＋2 6.当且仅当2(b －2)＝3b －2，即b ＝2＋62时取等号．∴a ＋2b 的最小值为5＋26，故选A 。
高中数学x基本不等式--三项注意
基本不等式----三大注意事项例题解答基本不等式是高中阶段的重要内容，是学生不容易掌握的重点知识之一，关键是其变形灵活，形式多姿多样，基本不等式“(0,0)2a b ab a b +≥>>”沟通了两个正数的“和”与“积”之间的关系，利用它可以解决求最值或者不等式证明问题.在运用基本不等式解题时，我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形，造条件满足应用情境后再解决问题. 因此需要掌握一些变形技巧，注意三大方面. 一个技巧：运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如222a b ab +≥逆用就是222a b ab +≤，2a b ab +≥ (0,0)a b >>逆用就是2()2a b ab +≤等． 两个变形： (1) 2221122a b a b ab a b ++≤≤≤+ (,)a b R +∈,即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数；（当且仅当a b =时取等号） (2) 222()22a b a b ab ++≤≤ (,)a b R ∈（当且仅当a b =时取等号)． 三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．例题.一、注意运用不等式链例1 已知0a >，0b >，1a b +=，求11a b +的最大值. 解析：由0a >，0b >，又2112a b a b +≤+，因为1a b +=，所以21112a b ≤+，所以11a b +4≥，当且仅当12a b ==时，等号成立. 评注：本题利用基本不等式链简化了问题，是题目的证明思路一目了然.二、注意结论成立的条件 对2221122a b a b ab a b++≤≤≤+来讲，一是要求,a b R +∈，二是和或积或平方和为定值，三是等号要成立即a b =.即所谓的一正、二定、三相等；但是对不等式222()22a b a b ab ++≤≤来讲,a b R ∈均可.例2 求函数()()y x x x=++49的最值. 错解： ()()y x x x x x x =++=++4913362=++≥+⋅=133********x x x x 当且仅当x x=36即x =±6时取等号. 所以当x =±6时，y 的最小值为25，此函数没有最大值.错因分析： 上述解题过程中应用了基本不等式，却忽略了应用基本不等式求最值时的条件—两个数都应大于零，因而导致错误.因为函数()()y x x x =++49的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，所以必须对x 的正负加以分类讨论.正解： （1）当x >0时，25362133613=⋅+≥++=x x x x y ， 当且仅当x x=36即6=x 时取等号.所以当x =6时，y min =25. （2）当x <0时，->->x x 0360，， ()()-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪≥--⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x x x 3623612， 11213)]36()[(13=-≤-+--=∴x x y .当且仅当-=-x x36，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max =-=13121.评注：在利用基本不等式链时，一定要注意使用范围.例3 已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值. 错解：0,0x y >>，且191x y +=，∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭. 故 ()min 12x y += .错因分析：解法中两次连用基本不等式，在2x y xy +≥等号成立条件是x y =，在1992x y xy+≥等号成立条件是19x y=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误. 正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当9y x x y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += . 评注：在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法.三、注意要掌握三种拼凑方法由基本不等式链可以看出在运用基本不等式解决问题时主要是凑定和、定积或平方和为常数.例4 当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值.解析：由04x <<知，820x ->，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.211282(82)[2(82)]()8222x x y x x x x +-=-=-≤=. 当282x x =-，即2x =时取等号 ，所以当2x =时，(82)y x x =-的最大值为8.评注：本题无法直接运用基本不等式，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值. 例5 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. 解析：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->， 11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =. 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值.例6 已知x ，y 为正实数，且2212y x +=，求21x y +的最大值. 解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式222a b ab +≤.同时还应化简21y +中前面的系数为12，22211122222y y x y x x ++==+.下面将x ，2122y +分别看成两个因式：则2211222y x y x +=+2212222y x ++≤324=， 当且仅当2122y x =+且2212y x +=，即32x =，22y =时，等号成立. 所以21x y +的最大值为324. 评注：本题注意到适当添加常数配凑后，两项的平方和为常数，故而进行变形利用基本不等式链解决问题.。
高三不等式知识点归纳总结
高三不等式知识点归纳总结不等式在高中数学中占有重要的地位，它是数学中一种常见的关系式。
在高三数学学习过程中，我们需要掌握并灵活运用各种不等式知识点，以提升解题能力。
本文将对高三不等式相关知识进行归纳总结，帮助大家系统地掌握不等式的内容。
一、基本不等式基本不等式是不等式的基础，它通过对大小关系的描述，为其他类型不等式的证明提供了依据。
常见的基本不等式有以下几种：1. 正数不等式：若a>0，则a的平方大于0，即a²>0；a与-b的乘积小于0，即ab<0。
2. 负数不等式：若a<0，则a的平方大于0，即a²>0；a与-b的乘积小于0，即ab>0。
3. 平方不等式：若a>b≥0，则a的平方大于b的平方，即a²>b²。
4. 平均不等式：若a1，a2，...，an为正数，则它们的算术平均大于等于它们的几何平均，即(a1+a2+...+an)/n≥(a1*a2*...*an)^(1/n)。
二、一元一次不等式一元一次不等式是形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中a和b为常数。
我们可以通过移项和分析a的正负来求解不等式。
1. 求解步骤：a) 对不等式进行变形，将不等式变为ax>c的形式，其中c为常数。
b) 根据a的正负确定不等式的方向，若a>0，则不等式为单调递增，解集为x>c/a；若a<0，则不等式为单调递减，解集为x<c/a。
2. 注意事项：a) 在乘以或除以负数的过程中，需注意不等式方向的变化。
b) 当a为0时，不等式变为bx>c，若b>0，则不等式为恒成立；若b<0，则不等式无解。
三、一元二次不等式一元二次不等式是形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0的不等式，其中a、b和c为常数。
我们可以通过求解二次方程和分析a的正负来求解不等式。
学习基本不等式的几个注意点
学习基本不等式的几个注意点作者：张春琦来源：《新高考·高二数学》2017年第08期不等式a+b/2≥（a>0，b>0）在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式以及解决实际问题方面有广泛的应用，其重要性不言而喻。
复习阶段，我们需要勤总结、细归纳，下面和大家谈谈需要注意的地方。
1.注意基本不等式适用的条件。
（l）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”。
（2）要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足三个求最值的条件“一正，二定，三取等”。
误区分析错解忽略了“一正”的判断，也就是说要确定考虑的对象（本题中为“x”和“2/x”两者）为正值；若为负，则添加负号来运算。
2.注意基本不等式几个常用变形。
即为两个正数a，b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系（平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）。
3.注意有些不等式中参数的取值范围可以拓展到一切实数。
以上都可以将参数a，b推广到实数集，其证明可以用代数法，也可以用几何法，同学们白行证明。
本题还可以将a，c看作是方程X2+（b-9）X十24-b（9-b）=0的两个根，用判别式大于或等于零就能求出b的取值范围。
若将上题变式为：a+b+c=9，a2十b2+C2=57，求实数b的取值范围。
4.注意维数的拓展，将二元拓展到多元不等式。
由此得到以下两个二元他多元不等式链（其中各变量取正值）：这与立体几何中长方体的体对角线长、表面积、体积的最值有关。
5.注意不等式的加密拓展。
我们还可以对（*）中的a，b赋值，得到如下一些结论，命制新的考题。
6.感受基本不等式背后的意蕴。
实际上考生答题的情况并不好，为什么呢？因为教材上没有现成的结论，大量的练习也不能解决这类问题，若穷尽所有能够组成三角形的情况计算，费事费力，显然不是好的解法，也有违背命题组的初衷，那么这道题究竟考什么呢？其实，基本不等式不仅仅是两个平均数的大小比较，应用也不仅仅只是“一正，二定，三取等”求最值，它的本质是两个正数的几何平均数与算术平均数的大小关系，二者相等只是那样一个时刻（当且仅当），从其证明过程不难看出另有意蕴，即当等号不成立时，二者相差多少。
基本不等式使用的4个情形及注意事项
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《基本不等式》 知识清单
《基本不等式》知识清单一、基本不等式的形式基本不等式是高中数学中的一个重要知识点，它有两种常见形式：1、对于任意两个正实数 a 和 b，有\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
2、如果\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），则\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
这两个形式本质上是等价的，它们都反映了两个正数的算术平均数不小于几何平均数的重要关系。
二、基本不等式的证明我们先来证明第一个形式\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）。
因为\（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\），展开得到：＼＼begin{align}a 2\sqrt{ab} ＋b ＆＼geq 0\＼a ＋b ＆＼geq 2\sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（＼sqrt{a} ＼sqrt{b} ＝ 0\），即\（a ＝ b\）时，等号成立。
对于第二个形式\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），证明如下：因为\（（a b)＾2 ＼geq 0\），所以\（a^2 2ab ＋ b^2 ＼geq 0\），移项得到\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2 ＼geq 4ab\），即\（（a ＋ b)＾2 ＼geq 4ab\）。
因为\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），所以\（a ＋ b ＼gt 0\），两边同时除以 4 得到：＼＼begin{align}＼frac{（a ＋ b)＾2}｛4} ＆＼geq ab\＼＼frac{a ＋ b}｛2} ＆＼geq ＼sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
三、基本不等式的应用1、求最值基本不等式在求最值问题中有着广泛的应用。
例如，求函数\（y ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）（＼（x\gt 0\））的最小值。
基本不等式的几点注意
基本不等式的“十”注意基本不等式是高中数学的重要内容之一，是培养学生逻辑推理能力的好手段.基本不等式作为函数的核心组成部分，在不等式的证明、求最值、求解参数问题等方面都有广泛的应用，主要以工具知识的出现.但要想灵活应用基本不等式解题，在学习中特别要注意以下几点.一、注意考纲要求利用均值定理求最值，考纲对均值定理要求是掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均的定理，并会简单的应用.高考中常与函数、三角、数列、解析几何、立体几何、应用问题等知识联系.二、注意基本不等式的结构特征均值不等式的主要两种形式：第一种形式：a ，b ∈R 时，a 2＋b 2≥2ab＝ab ＋ab （当且仅当a ＝b 时“＝”号成立）；第二种形式：a ＞0，b ＞0时，a ＋b ≥2ab ＝ab ＋ab （当且仅当a ＝b 时“＝”号成立）.两端的结构、数字具有如下特征：(1)次数相等；(2)项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等；(3)左和右积.这两个公式的结构完全一致，第二种形式可以将条件放宽为但a ≥0，b ≥0，因此在非负实数范围之内，两个公式均成立，当要解决的不等式具有上述特征时，考虑用均值不等式.三、注意从本质上认识基本不等式基本不等式在本质上体现两种转化：(1)在均值不等式中“当且仅当……等号成立”的“当且仅当”是“充要条件”的同义词，它给出了相等与不等的界，是相等与不等转化的突破口；(2)基本不等式的一端是两个正数的和，一端是两个正数的积，因此利用基本不等式可以达到两数和与积的不等转化.四、注意把握基本不等式的常见变式(1)ab≤a 2＋b 22，ab≤(a ＋b 2)2，对不等式ab≤a 2＋b 22，还有更一般的表达式：|ab|≤a 2＋b 22； (2)若a ，b 同号，则a b ＋b a2（当且仅当a ＝b 时，取等号）； (3)若x ＞0，则x ＋1x≥2（当且仅当x ＝1时，取等号）. 五、注意联系等比数列与等差数列由数列知识可知，a ＋b 2称为a ，b 的等差中项，ab 称为正数a ，b 的等比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数的等比中项不大于它们的等差中项”.六、注意利用基本不等式求函数的最值的条件利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，既可适用于已学过的二次函数，又可适用于分式函数，高次函数，无理函数，但必须注意其使用三个条件：(1)项项为正：a ＞0，b ＞0；(2)和定或积定：a ＋b 为定值或ab 为定值；(3)项项相等：“a ＝b ”，三个条件缺一不可.少了“项项为正”，就失去了利用均值定理的前提条件；少了“a ＋b 为定值或ab 为定值”，求出的不是一个常数，而是一个变量；少了“项项相等”,求出的最值就失去了基础，成了“空中楼阁”.七、注意多次利用基本不等式求最值的条件求解最值问题时，有时需要同时或连续多次使用均值不等式，这时一定要注意几次使用条件必须一致，即每次取得“＝”号的条件一致，否则所求的最值是错误的.八、注意利用基本不等式求最值时常见凑配技巧在使用重要不等式证明问题时，根据所证不等式的结构，常常需要配合一定的变形技巧与转化策略，才可以使用重要不等式常用的初等变形手段有均匀裂项，增减项，配系数、平方、引参、换元、裂项、折幂等.一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”.九、注意利用基本不等式证明不等式的条件利用均值定理a ＋b 2≥ab(a ＞0，b ＞0)证明不等式时，没有利用其求最值的条件强，一般只需满足一个条件：“项项为正：a ＞0，b ＞0”.十、注意基本不等式的实际应用问题新课标教材与传统教材最大的区别是，新教材淡化了不等式的证明，加强了不等式与日常生活的联系，如实际生活中的方案选择型、材料切割型、造价最低、利润最大等问题.这类问题首先应认真阅读题目、理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用均值不等式加以解决．。
初三数学知识点解不等式的注意事项
初三数学知识点解不等式 1.符号：不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。
2.确定解集：比两个值都大，就比大的还大;比两个值都小，就比小的还小;比大的大，比小的小，无解;比小的大，比大的小，有解在中间。
三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。
3.另外，也可以在数轴上确定解集：把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。
有几个就要几个。
4.不等式两边相加或相减，同一个数或式子，不等号的方向不变。
(移项要变号)
5.不等式两边相乘或相除，同一个正数，不等号的方向不变。
(相当系数化1，这是得正数才能使用)
6.不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。
(或1个负数的时候要变号)。
基本不等式的几种应用技巧
（１）各项必须为正值
（２）含变量的各项和或积必须为定值 （３）必须有自变量值能使函数值取到“=”号
“一正,二定,三相等”
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基本不等式的几种应用技巧
题型一：基本不等式的直接应用
例１已知 x, y R xy的最大值为 ________。
x y ，且满足 ＝１，则 ３ ４
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基本不等式的几种应用技巧
6 6 2 解 : y 3x 2 ＝３ x １ 2 ３ 二定 x 1 x 1 6 2 x １ x 2 1 ３＝６ ２３ ２ ３ 6 2 当且仅当３ x １ 2 时，等号成立 x 1
2
ห้องสมุดไป่ตู้
即ymin ６ ２３
2
成立，故原函数的值域 为２ ５５，
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题型四：“１”的整体代换
1 １ 例４.已知 x, y R , 若2 x y 1,求 的最小值 x y 解 x 0，y 0 错因：解答中两次 ： 1 2 x y 2 2 xy
当且仅当sin 等号成立.
2 2
2时，
2 时，即sin sin
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基本不等式的几种应用技巧
又0 sin 1,原函数不能取最小值 2 2.
2 的单调性么？ y t 在0,1上单调递减， t
当 t 1 时，即sin 1, y有最小值 .
1 1 １ １ 正解： 2x y x y x y
y 2x 3 3 2 2 x y
“1”代 换法
不等式解题技巧
不等式解题技巧不等式解题技巧不等式是数学中常见的一种关系式，其解题方法与方程有所不同。
本文将介绍一些不等式解题的技巧，希望能对学生们的学习有所帮助。
一、基本概念1. 不等式：用大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）连接两个数或两个式子的符号关系。
2. 解不等式：找出使得不等式成立的未知数范围。
3. 不等式的根：使得不等式成立的未知数取值。
二、基本性质1. 加减性质：若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c；若a<b，则a+c<b+c，a-c<b-c。
2. 乘除性质：若a>b>0，则ac>bc，a/c>b/c；若a<b<0，则ac<bc，a/c<b/c。
3. 取反性质：若-a<-b，则b<a；若-a>-b，则b>a。
4. 倒数性质：若0<a<b，则1/b<1/a；若-1<a<-b<0，则1/a<1/b。
三、一元一次不等式1. 基本形式：ax+b>c或ax+b<c，其中a≠0。
2. 解法：（1）将常数项移到一边，得到ax>c-b或ax<b-c；（2）根据a的正负性，分别解出x的范围。
3. 注意事项：（1）当a为正数时，不等式符号不变；当a为负数时，不等式符号取反。
（2）若要乘除以一个负数，则需改变不等式符号。
四、一元二次不等式1. 基本形式：ax²+bx+c>d或ax²+bx+c<d，其中a≠0。
2. 解法：（1）将常数项移到一边，得到ax²+bx+c-d>0或ax²+bx+c-d<0；（2）求出方程的根，即x=(-b±√(b²-4ac))/2a；（3）根据抛物线开口方向和顶点位置判断解的范围。
3. 注意事项：（1）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
高三复习第四讲基本不等式
第六章 不等式、推理与证明第四讲 基本不等式【考纲速读吧】1．了解基本不等式的证明过程．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，在证明或求最值时，要个必会变形1. 公式的逆用：a 2＋b 2≥2ab 的逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b >0)的逆用就是ab ≤(a ＋b 2)2.2. ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时取等号)，这个不等式链用处很大．项必须注意1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．3．在同一个问题中连续多次使用均值不等式，要注意判断等号是否能同时成立．【课前自主导学】011． 基本不等式ab ≤a ＋b2（1）基本不等式成立的条件：________．（2）等号成立的条件：当且仅当________时取等号．（3）两个平均数：a ＋b2称为正数a ，b 的________，ab 称为正数a ，b 的________．归纳拓展：常用的几个重要不等式：（1）a 2＋b 2≥2ab （a ，b ∈R ）． （2）ab ≤（a ＋b 2）2（a ，b ∈R ）．（3）（a ＋b 2）2≤a 2＋b 22（a ，b ∈R ）． （4）b a ＋ab≥2（a ·b >0）．（5）21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22（a >0，b >0）．（1）若a ，b ∈R ，且ab >0，下列不等式①a 2＋b 2>2ab ②a ＋b ≥2ab ③1a ＋1b >2ab ④b a ＋a b ≥2 ⑤ab ≤（a ＋b 2）2，其中恒成立的是________．（2）设0<a <b ，则a ，b ，ab ，a ＋b2的大小关系为________．2．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则（1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p （简记：“积定和最小”）．（2）如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s24（简记：“和定积最大”）．（1）当x >1时，则x ＋4x －1的最小值________．（2）当x <0时，则x ＋2x的最大值________．（3）已知x ，y >0，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值________，1x ＋1y________．【自我校对】1． a >0，b >0 a ＝b 算术平均数 几何平均数填一填：（1）④⑤ （2）a <ab <a ＋b2<b2．填一填：（1）5 （2）－22 （3）1169【核心要点研究】02【考点一】利用基本不等式求最值例1 （1）[2011·重庆高考]已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是（ ）A ．72B ．4C ．92 D ．5（2）[2011·浙江高考]若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．【审题视点】通过拆、拼、凑创造条件，利用基本不等式求最值，但要注意等号成立的条件．[解析] （1）2y ＝2（1a ＋4b ）＝（a ＋b ）（1a ＋4b ）＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b＝9（当且仅当b a ＝4a b ，a ＋b ＝2即a ＝23，b ＝43时等号成立），所以y 的最小值为92．（2）∵x 2＋y 2＋xy ＝1，∴（x ＋y ）2＝xy ＋1．又∵xy ≤（x ＋y 2）2，∴（x ＋y ）2≤（x ＋y 2）2＋1，即34（x ＋y ）2≤1． ∴（x ＋y ）2≤43．∴－233≤x ＋y ≤233．∴x ＋y 的最大值为233．[答案] （1）C （2）233奇思妙想：本例（1）改为“若a >0，b >0，且a ＋b ＝2ab ，求y ＝4a ＋b 的最小值”，则结果如何？解：由a ＋b ＝2ab 得1a ＋1b＝2，∴4a ＋b ＝12（1a ＋1b ）（4a ＋b ）＝12（5＋4a b ＋b a ）≥924a ＋b 的最小值为92．【师说点拨】利用基本不等式求最值时，必须注意三点：“一正，二定，三相等”，缺一不可．如果项是负数，可转化为正数后解决，当和（或积）不是定值时，需要对项进行添加、分拆或变系数，将和（或积）化为定值．【变式探究】已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求（1）xy 的最小值；（2）x ＋y 的最小值．解：（1）∵2x ＋8y ＝xy ≥216xy ， ∴xy －8xy ≥0，∴解得xy ≥64． 当x ＝16，y ＝4时，xy 最小值为64．（2）∵2x ＋8y ＝xy ，∴8x ＋2y ＝1， 则x ＋y ＝（x ＋y ）（8x ＋2y ）＝10＋8y x ＋2xy≥18，当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 的最小值为18．【考点二】利用基本不等式证明不等式例2 [2012·湖北高考]设a ，b ，c ∈R ＋，则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ”的（ ） A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【审题视点】按照化繁为简的原则，先对不等式的左侧进行变形化简，关键是题设条件“abc ＝1”的灵活应用． [解析] 先考查充分性：当abc ＝1时，1a ＋1b ＋1c ＝abc a ＋abc b ＋abcc＝ab ＋bc ＋ca ，又因为2（a ＋b ＋c ）＝（a ＋b ）＋（b ＋c ）＋（c ＋a ）≥2ab ＋2bc ＋2ca（当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号），即1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca ≤a ＋b ＋c ，故充分性成立；再考查必要性：取a ＝b ＝c ＝3，显然有1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1，故必要性不成立．应选A ．[答案] A【师说点拨】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．【变式探究】[2012·福建高考]下列不等式一定成立的是（ ）A ．lg （x 2＋14）>lg x （x >0）B ．sin x ＋1sin x≥2（x ≠k π，k ∈Z ）C ．x 2＋1≥2|x |（x ∈R ）D ．1x 2＋1>1（x ∈R ）答案：C解析：本题考查不等式的性质以及基本不等式的应用，解题时注意使用不等式的性质以及基本不等式成立的条件．对于A 选项，当x ＝12时，lg （x 2＋14）＝lg x ；所以A 不一定正确；B 命题，需要满足当sin x >0时，不等式成立，所以B 也不正确；C 命题显然正确；D 命题不正确，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋11，所以正确的是C ．【考点三】利用基本不等式解决实际问题例3 [2012·江苏高考]如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km ，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120（1＋k 2）x 2（k >0）表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3．2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[解] （1）令y ＝0，得kx －1201＋k 2）x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10 km ．（2）因为a >0，所以炮弹可以击中目标等价于存在k >0，使ka －120（1＋k 2）a 2＝3．2成立，即关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根．由Δ＝（－20a ）2－4a 2（a 2＋64）≥0得a ≤6，此时，k ＝20a＋(－20a )2－4a 2(a 2＋64)2a2>0（不考虑另一根）．当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标【师说点拨】解实际应用题要注意以下几点：（1）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；（2）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；（3）在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解．【变式探究】[2013·郑州模拟]把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32 答案：B解析：设截成的两段铁丝长分别为x,16－x,16>x >0，则围成的两个正方形面积之和为S ＝（x 4）2＋（16－x 4）2≥(x 4＋16－x 4)22＝8，当且仅当x 4＝16－x4，即x ＝8时，等号成立．故两个正方形面积之和的最小值为8，故选B ．【课课精彩无限】03忽视不等式中等号成立的条件而致误【选题·热考秀】 [2012·浙江高考]若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是（ ）A ．245B ．285C ．5D ．6[规范解答] ∵x ＋3y ＝5xy ，∴1y ＋3x ＝5，∵x >0，y >0，∴（3x ＋4y ）（1y ＋3x ）＝3x y ＋12y x ＋9＋4≥23x y ·12yx＋13＝25，∴5（3x ＋4y ）≥25，∴3x ＋4y ≥5，当且仅当x ＝2y 时取等号，∴3x ＋4y 的最小值是5，选C ． 答案：C 【备考·角度说】No ．1 角度关键词：易错分析（1）不能根据函数解析式的特征适当变形，化为两式之和为定值，使题目无法进行． （2）两次使用基本不等式时，忽视等号的一致性出错．如本题易出现：x ＋3y ＝5xy ≥23xy ，∴xy ≥1225，又3x ＋4y ≥212xy ≥2 12·1225＝245，误选A 项，第一个等号成立条件“x ＝3y ”，而第二个等号成立条件为“3x ＝4y ”，显然等号不能同时成立，故不正确． No ．2 角度关键词：备考建议（1）重视基本不等式的形式及其条件，在解题中要根据不同的情况进行适当地变形，为使用基本不等式提供前提；（2）对于在同一问题中连续使用基本不等式的情况，要注意及时判断等号能否同时取得，以防止出错； （3）要注意利用常数代换法对代数式进行转化的技巧．【经典演练提能】041．[2012·陕西高考]小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （a <b ），其全程的平均时速为v ，则（ ）A ．a <v <abB ．v ＝abC ．ab <v <a ＋b2D ．v答案：A解析：由小王从甲地往返到乙地的时速为a 和b ，则全程的平均时速为v ＝2s (s a ＋s b)＝2aba ＋b ，又∵a <b ，∴2a 22a <2ab a ＋b <2ab 2ab＝ab ，∴a <v <ab ，A 成立． 2．[2013·青岛质检]已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为（ ）A ．14B ．4C ．12D ．2答案：C解析：由4＝2a ＋b ≥22ab ，得ab ≤2，又a >0，b >0，所以1ab ≥12，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立．3．[2013·福建质检]设a >0，若关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在（1，＋∞）上恒成立，则a 的最小值为（ ）A ．16B ．9C ．4D ．2 答案：C解析：∵关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在（1，＋∞）上恒成立，∴a ≥（5－x ）（x －1）在（1，＋∞）上恒成立．∵（5－x ）（x －1）＝－（x －3）2＋4≤4，∴a ≥4，即a 的最小值为4．4．[2013·金版原创]已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2 答案：D解析：∵x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝（x ＋2y ）（2x ＋1y ）＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·xy＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即4y 2＝x 2，x ＝2y 时取等号，又2x ＋1y＝1，此时x ＝4，y ＝2，∴（x ＋2y ）min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需（x ＋2y ）min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2． 5．[2013·提升题]已知a >0，b >0，给出下列四个不等式：①a ＋b ＋1ab ≥22；②（a ＋b ）（1a ＋1b ）≥4；③a 2＋b 2ab ≥a ＋b ；④a ＋1a ＋4≥－2．其中正确的不等式有________（只填序号）．答案：①②③解析：∵a >0，b >0，∴①a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥22ab ·1ab ＝22．②（a ＋b ）（1a ＋1b ）≥4ab ·1ab ＝4．③∵a 2＋b 22≥a ＋b 2，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝（a ＋b ）·a ＋b 2≥（a ＋b ）ab ，∴a 2＋b 2ab≥a ＋b ．④a ＋1a ＋4a ＋4）＋1a ＋4－4≥2 (a ＋4)·1a ＋4－4＝－2，当且仅当a ＋4＝1a ＋4，即（a ＋4）2＝1时等号成立，而a >0，∴（a ＋4）2≠1．∴等号不能取得．综上①②③正确． 【限时规范特训】05（时间：45分钟 分值：100分）一、选择题1．[2013·常州质检]已知f （x ）＝x ＋1x－2（x <0），则f （x ）有（ ）A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4 答案：C解析：∵x <0，∴－x >0，∴x ＋1x －2＝－（－x ＋1－x ）－2≤－2－x 1－x2＝－4，当且仅当－x ＝1－xx ＝－1时，等号成立．2．[2013·长沙质检]若0<x <1，则当f （x ）＝x （4－3x ）取得最大值时，x 的值为（ ）A ．13B ．12C ．34D ．23答案：D解析：∵0<x <1， ∴f （x ）＝x （4－3x ）＝13·3x （4－3x ）≤13×（3x ＋4－3x 2）2＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取得“＝”，故选D ．3．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1（x >－1）的图象最低点的坐标为（ ）A ．（1,2）B ．（1，－2）C ．（1,1）D ．（0,2） 答案：D解析：y ＝x ＋2＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1，当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，y 最小值为2，故选D 项．4．已知m ＝a ＋1a －2a >2），n ＝（12）x 2－2（x <0），则m ，n 之间的大小关系是（ ）A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n 答案：A解析：∵a >2，x <0，∴m ＝（a －2）＋1a －2＋2≥2a －2·1a －22＝4，n ＝22－x 2<22＝4，∴m >n ，故选A ． 5．[2013·商丘模拟]若向量a ＝（x －1,2），b ＝（4，y ）相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为（ ） A ．12 B ．23 C ．32 D ．6 答案：D解析：依题意得4（x －1）＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2,9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y ＝232x ＋y ＝232＝6， 当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y 的最小值是6，选D ．6．已知a ，b 为正实数且ab ＝1，若不等式（x ＋y ）（a x ＋by）>m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[4，＋∞）B ．（－∞，1]C ．（－∞，4]D ．（－∞，4） 答案：D解析：因为（x ＋y ）（a x ＋b y ）＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bxy时等号成立，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可，正确选项为D ． 二、填空题 7．[2013·金版原创]规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b （a ，b 为正实数）．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f （x ）＝k ⊗xx的最小值为________．答案：1 3解析：1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，∴k ＝1或k ＝－2（舍），∴k ＝1．f （x ）＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x ≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立．8．[2013·西安质检]函数f （x ）＝1＋log a x （a >0，a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n的最小值为________．答案：2解析：由题知，函数图象恒过点A （1,1），且点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n ＝2，其中mn >0，所以1m ＋1n ＝12（1m ＋1n ）（m ＋n ）＝12（2＋n m ＋m n ）≥12×（2＋2）＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取得最小值，故所求的最小值为2． 9．[2013·鹤岗模拟]若a ，b ，c >0，且a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4，则2a ＋b ＋c 的最小值为________． 答案：4解析：由已知得a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝（a ＋b ）（a ＋c ）＝4， 则2a ＋b ＋c ＝（a ＋b ）＋（a ＋c ）≥2(a ＋b )(a ＋c )＝4，∴2a ＋b ＋c 的最小值为4． 三、解答题 10．[2013·梅州质检]已知lg （3x ）＋lg y ＝lg （x ＋y ＋1）． （1）求xy 的最小值； （2）求x ＋y 的最小值．解：由lg （3x ）＋lg y ＝lg （x ＋y ＋1）得⎩⎪⎨⎪⎧x >0y >03xy ＝x ＋y ＋1（1）∵x >0，y >0， ∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1， ∴3xy －2xy －1≥0，即3（xy ）2－2xy －1≥0，∴（3xy ＋1）（xy －1）≥0，∴xy ≥1，∴xy ≥1，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．∴xy 的最小值为1．（2）∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·（x ＋y 2）2，∴3（x ＋y ）2－4（x ＋y ）－4≥0，∴[3（x ＋y ）＋2][（x ＋y ）－2]≥0，∴x ＋y ≥2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2． 11．[2013·房山区模拟]已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：（1）1a ＋1b ＋1ab ≥8；（2）（1＋1a ）（1＋1b）≥9．证明：（1）1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2（1a ＋1b），∵a ＋b ＝1，a >0，b >0， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2＝4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8（当且仅当a ＝b ＝12时等号成立）． （2）方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋ba，同理，1＋1b ＝2＋a b ，∴（1＋1a ）（1＋1b ）＝（2＋b a ）（2＋a b ）＝5＋2（b a ＋ab ）≥5＋4＝9．∴（1＋1a ）（1＋1b ）≥9（当且仅当a ＝b ＝12时等号成立）．方法二（1＋1a ）（1＋1b ）＝1＋1a ＋1b ＋1ab ．由（1）知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，故（1＋1a ）（1＋1b ）＝1＋1a ＋1b ＋1ab≥9．12．[2013·三明模拟]某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200 m 2的十字型区域．现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4200元/m 2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m 2．（1）设总造价为S 元，AD 的长为x m ，试建立S 关于x 的函数关系式； （2）计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区．解：（1）设DQ ＝y ，则x 2＋4xy ＝200，y ＝200－x 24x．S ＝4200x 2＋210×4xy ＋80×4×12y 2＝38000＋4000x 2＋400000x 2（0<x <102）．（2）S ＝38000＋4000x 2＋400000x2≥38000＋216×108＝118000， 当且仅当4000x 2＝400000x2，即x ＝10时，S min ＝118000（元），即计划至少要投入11．8万元才能建造这个休闲小区．。
高中基本不等式知识点归纳总结
高中基本不等式知识点归纳总结一、基本概念：不等式是数学中的一种关系，表示两个数之间的大小关系。
高中基本不等式主要包括一元一次不等式、一元二次不等式和简单的多元不等式。
二、一元一次不等式：一元一次不等式是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式。
解一元一次不等式的关键是确定未知数的取值范围。
常用的解法有图像法、代入法和分段讨论法。
三、一元二次不等式：一元二次不等式是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式。
解一元二次不等式的关键是找到不等式的根，并确定根的取值范围。
常用的解法有图像法、配方法和开口方向法。
四、基本性质：1. 对称性：如果a>b，则-b>-a。
2. 传递性：如果a>b，并且b>c，则a>c。
3. 加减性：如果a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
4. 倍数性：如果a>b，并且c>0，则ac>bc；如果a>b，并且c<0，则ac<bc。
五、常用不等式：1. 平均值不等式：对于任意非负实数a和b，有(a+b)/2 >= √(ab)。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有|(a1b1+a2b2+...+anbn)| <= √(a1^2+a2^2+...+an^2)√(b1^2+b2^2+...+bn^2)。
3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b| <= |a|+|b|。
六、应用：1. 解实际问题：不等式在解决实际问题中起着重要作用，例如在优化问题、最值问题和约束问题中常常会用到不等式。
2. 推导其他不等式：基本不等式可以推导出其他不等式，例如根据平均值不等式可以推导出均值不等式和加权均值不等式。
七、注意事项：1. 在解不等式时，需要注意不等号的方向，切勿将不等号颠倒。
2. 在使用不等式进行推导时，需要保持不等式的严格性，即不等号不能变为等号，否则可能导致错误的结论。
基本不等式使用的4个情形及注意事项
基本不等式使用的4个情形及注意事项一、基本不等式中常用公式（1）√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)。
（当且仅当a=b时，等号成立）（2）√(ab)≤(a+b)/2。
（当且仅当a=b时，等号成立）（3）a²+b²≥2ab。
（当且仅当a=b时，等号成立）（4）ab≤(a+b)²/4。
（当且仅当a=b时，等号成立）（5）||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|。
（当且仅当a=b时，等号成立）基本不等式公式四个二、高中4个基本不等式√[（a²+b²）/2]≥（a+b）/2≥√ab≥2/（1/a+1/b）。
平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数。
三、基本不等式两大技巧1.“1”的妙用。
题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。
如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。
2．调整系数。
有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。
1、基本不等式：（当且仅当a＝b时取“=”号）；变式：①，（当且仅当a＝b时取“=”号），即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
②；③；④；2、对于两个正数x，y，若已知xy，x+y，中的某一个为定值，可求出其余各个的最值，如：（1）当xy＝P（定值），那么当x=y时，和x+y有最小值2 ，；（2）x+y=S（定值），那么当x=y时，积xy有最大值，；（3）已知x2+y2=p，则x+y有最大值为，。
3、应用基本的不等式解题时，注意创设一个应用基本不等式的情境及使等号成立的条件，即“一正、二定、三相等”。
三、对基本不等式的理解：(1)基本不等式的证明是利用重要不等式推导的，即，即有(2)基本不等式又称为均值定理、均值不等式等，其中的算术平均数，的几何平均数，本定理也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(3)要特别注意不等式成立的条件和等号成立的条件．均值不等式中：①当a=b时取等号，即对于两个正数x，y，若已知xy，x+y，中的某一个为定值，可求出其余各个的最值：如：（1）当xy＝P（定值），那么当x=y时，和x+y有最小值2 ，；（2）x+y=S（定值），那么当x=y时，积xy有最大值，；（3）已知x2+y2=p，则x+y有最大值为，。
高三数学 第一轮复习 04：基本不等式
高中数学第一轮复习04基本不等式·知识梳理·模块01：平均值不等式一、平均值不等式有关概念1、通常我们称a b+2为正数a b 、a b 、的几何平均值。
2、定理：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数b a 、，有2a b+≥，且等号当且仅当a b =时成立.3、定理：对于任意的实数b a 、，有2()2a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。
即对任意的实数b a 、，有222a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。
[注意事项]：222a b ab +≥和2a b+≥两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”；（3）222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤；2a b +≥可以变形为：2(2a b ab +≤。
4、平均值不等式的几何证明法：如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =.这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.[知识拓展]1、当0a b <≤时，2112a ba b a b+≤≤≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值）2、123,,,,n a a a a 是n 个正数，则12na a a n+++ 称为这n个正数的算术平均数，称为这n 个正数的几何平均数，它们的关系是：12n a a a n+++≥ ，当且仅当12n a a a ===时等号成立.二、利用基本不等式求最值问题（1）“积定和最小”：a b +≥⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值；（2）“和定积最大”：2(2a b ab +≤⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S .[注意事项]：基本不等式求最值需注意的问题：（1）各数(或式)均为正；（2）和或积为定值；（3）等号能否成立，即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可。
基本不等式记忆技巧
记忆基本不等式是提高数学学习和解题能力的重要一环。
以下是一些记忆基本不等式的技巧：
1. 理解不等式的几何意义：将不等式图形化，形象地理解不等式的含义和关系，可以帮助记忆和理解。
2. 制作记忆卡片：使用卡片或便利贴，在一面写上不等式的表达式，另一面写上不等式的几何意义和常见使用场景，反复阅读和复习。
3. 制作记忆联想：将不等式与具体的图形、实例和场景联系起来，形成有趣、具象的记忆联想，可以帮助记忆不等式。
4. 创造记忆方法：通过创造性的方式将不等式的表达形式和意义进行联想和联系，例如使用首字母缩写、谐音联想等。
5. 反复复习和练习：记忆基本不等式需要经常复习和反复练习，通过不断的应用和实践，加深对不等式的理解和记忆。
6. 结合实际问题：将不等式应用到实际解决问题的过程中，通过实际应用和解题实践，加深对不等式的记忆和理解。
7. 寻求帮助和交流：与同学、老师或辅导员交流，共同探讨和记忆基本不等式，互相提供帮助和支持。
记忆基本不等式需要耐心和坚持，多种方法结合使用可以帮助提高记忆效果，加深对不等式的理解和应用能力。
基本不等式使用的4个情形及注意事项
基本不等式使用的4个情形及注意事项1.数字和不等号的交换：基本不等式可以用来推导和证明数字和不等号的交换。
比如，当a>b时，可以使用基本不等式证明b<a。
这种情形是最基本的不等式应用，也是其他情形的基础。
2.加法和不等式的交换：基本不等式可以用来推导和证明加法和不等式的交换。
比如，当a>b且c>d时，可以使用基本不等式证明a+c>b+d。
这种情形常用于对多个不等式进行综合和推导的场景。
3. 乘法和不等式的交换：基本不等式可以用来推导和证明乘法和不等式的交换。
比如，当a > b 且 c > d 且 cd > 0时，可以使用基本不等式证明 ac > bd。
这种情形常用于对多个不等式进行综合和推导的场景。
4.推广和拓展：基本不等式还可以用来推广和拓展不等式的性质。
比如，通过变量的替换，可以将一个复杂的不等式转化为一个简单的基本不等式，然后再进行证明。
此外，还可以通过一系列推导，引出更复杂的不等式性质。
在使用基本不等式时，还需要注意以下几个事项：1.合理选取不等号：在使用基本不等式时，需要根据实际问题合理选取不等号的方向。
不等号的方向应该与实际问题中的大小关系相符。
比如，如果已知a>b，应该使用a-b>0作为基本不等式，而不是a-b<0。
2.合理选取变量的取值范围：在使用基本不等式时，需要根据实际问题合理选取变量的取值范围。
变量的取值范围应该满足问题的条件，并且能够使得基本不等式成立。
比如，如果已知a>0，应该选择a>0作为变量的取值范围。
3.根据问题的条件进行推导：在使用基本不等式时，还需要根据问题的条件进行推导。
问题的条件可以是已知的不等式、已知的数值关系等。
通过合理利用问题的条件，可以得到更加精确和准确的结论。
4.合理利用数学运算法则：在使用基本不等式时，还需要合理利用数学运算法则。
比如，可以利用加法交换律、乘法交换律、乘法分配律等数学运算法则，对不等式进行重新排列和推导。
学习基本不等式注意三事项
学习基本不等式注意三事项基本不等式是高中阶段的重要内容，是学生不容易掌握的重点知识之一，关键是其变形灵活，形式多姿多样，基本不等式“0,0)2a b a b +≥>>”沟通了两个正数的“和”与“积”之间的关系，利用它可以解决求最值或者不等式证明问题.在运用基本不等式解题时，我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形，造条件满足应用情境后再解决问题. 因此需要掌握一些变形技巧，注意三大方面.【一个技巧】运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如222a b ab +≥逆用就是222a b ab +≤，2a b +≥ (0,0)a b >>逆用就是2()2a b ab +≤等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．【两个变形】(1) 2112a b a b +≤≤+ (,)a b R +∈,即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数；（当且仅当a b =时取等号） (2) 222()22a b a b ab ++≤≤ (,)a b R ∈（当且仅当a b =时取等号)． 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．【三个注意】(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．下面举例析之.一、注意运用不等式链从某种意义上来讲要学好基本不等式的变形关键是掌握上述两个不等式链.不等式中的常见变形主要围绕这两个基本不等式链进行.例1 已知0a >，0b >，1a b +=，求11a b +的最大值. 解析：由0a >，0b >，又2112a b a b +≤+，因为1a b +=，所以21112a b≤+，所以11a b +4≥，当且仅当12a b ==时，等号成立. 评注：本题利用基本不等式链简化了问题，是题目的证明思路一目了然.二、注意结论成立的条件对2112a b a b +≤≤≤+来讲，一是要求,a b R +∈，二是和或积或平方和为定值，三是等号要成立即a b =.即所谓的一正、二定、三相等；但是对不等式222()22a b a b ab ++≤≤来讲,a b R ∈均可. 例2 求函数()()y x x x=++49的最值. 错解： ()()y x x x x x x=++=++4913362=++≥+⋅=133********x x x x ，当且仅当x x =36即x =±6时取等号. 所以当x =±6时，y 的最小值为25，此函数没有最大值.错因分析： 上述解题过程中应用了基本不等式，却忽略了应用基本不等式求最值时的条件—两个数都应大于零，因而导致错误.因为函数()()y x x x=++49的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，所以必须对x 的正负加以分类讨论.正解： （1）当x >0时，25362133613=⋅+≥++=x x x x y ， 当且仅当x x=36即6=x 时取等号.所以当x =6时，y min =25. （2）当x <0时，->->x x 0360，， ()()-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪≥--⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x x x 3623612， 11213)]36()[(13=-≤-+--=∴x x y .当且仅当-=-x x36，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max =-=13121.评注：在利用基本不等式链时，一定要注意使用范围.例3 已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值. 错解：0,0x y >>，且191x y +=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭.故 ()min 12x y += .错因分析：解法中两次连用基本不等式，在x y +≥等号成立条件是x y =，在19x y +≥19x y=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误. 正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当9y x x y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += . 评注：在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法.三、要掌握三种拼凑方法由基本不等式链可以看出在运用基本不等式解决问题时主要是凑定和、定积或平方和为常数.例4 当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值.解析：由04x <<知，820x ->，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.211282(82)[2(82)]()8222x x y x x x x +-=-=-≤=. 当282x x =-，即2x =时取等号 ，所以当2x =时，(82)y x x =-的最大值为8.评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值. 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. 解析：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->， 11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =. 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值.例6 、已知x ，y 为正实数，且2212y x +=，求.解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式222a b ab+≤.中前面的系数为12，==下面将x分别看成两个因式：则=22122 22yx++≤4=，当且仅当x=2212yx+=，即2x=，2y=时，等号成立.所以.评注：本题注意到适当添加常数配凑后，两项的平方和为常数，故而进行变形利用基本不等式链解决问题.【链接练习】1、已知01x<<，求函数411yx x=+-的最小值.解：因为01x<<，所以10x->.所以[]41414(1)(1)59111x xy x xx x x x x x-⎛⎫=+=+-+=++≥⎪---⎝⎭.当且仅当4(1)1x xx x-=-时，即23x=，上式取“=”，故min9y=.2、已知0,0a b>>，328a b+=.解：利用不等关系2ab+≤4≤=，=且328a b+=，即43a=，2b=时，等号成立.综上可见，许多貌似繁难的不等式问题，运用基本不等式链，恰当拼凑，可创造性地使用基本不等式，轻松获解.这样既开拓了学生的思路，又活跃了学生的思维，培养了学生的数学能力.。
不等式的基本性质知识点总结
4.2 实例分析 以一道具体的不等式问题为例，详细分析其 解题过程和思路，展示如何运用不等式的性 质进行解题。通过实例分析，加深对不等式 基本性质的理解和掌握
不等式的常见题型与解题技巧
如何激发对不等式学习的兴趣
A
学习不等式 需要耐心和
毅力
B
当我们遇到困 难时，不要轻 易放弃，而是 要坚持下去， 相信自己能够
解决问题
C
通过不断练习 和反思，我们 可以逐渐提高 自己的解决问
题的能力
总结与展望未来
12.1 总结
01
本文总结了不等式的基本性质、解法与变形、常见题型 与解题技巧等方面的知识点，并探讨了如何进一步提高 不等式问题的解决能力以及学习不等式的重要性和意义。 同时，也提出了一些激发对不等式学习兴趣的方法
不等式在实际生 活中的应用
7.1 经济学中的应用：在经济学中，不等式常被用来描述和解决资 源分配、市场供需、成本与收益等问题。例如，通过比较不同投资 方案的收益与成本，利用不等式来选择最优的投资方案
7.2 物理学中的应用：在物理学中，不等式被广泛应用于力学、 热学、电磁学等领域。例如，牛顿第二定律中的力与加速度的 关系就可以用不等式来描述
10.4 提高综合素质
学习不等式不仅可以提高我 们的数学能力，还可以培养 我们的耐心、毅力和创新精 神
通过解决复杂的问题，我们 可以锻炼自己的意志品质， 提高自己的综合素质
如何激发对不等式学习的兴趣
了解不等式在实际生活中的应用，可以激发我们对不等式学 习的兴趣。当我们知道所学知识能够解决实际问题时，自然 会产生学习的动力 参加数学竞赛和活动，可以让我们更好地了解数学的魅力， 提高解决数学问题的能力。在竞赛和活动中，我们可以结交 志同道合的朋友，共同探讨数学问题，分享解决问题的乐趣 寻找合适的学习资源，如教材、网络课程、学习 app 等， 可以帮助我们更好地学习不等式。同时，也可以通过参加学 习小组或找老师请教等方式，获取更多的学习帮助和支持
基本不等式复习三大注意事项
基本不等式复习三大注意事项山东省邹平县第一中学 李锋 256200基本不等式是高中阶段的重要内容，是学生不容易掌握的重点知识之一，关键是其变形灵活，形式多姿多样，基本不等式“0,0)2a b a b +≥>>”沟通了两个正数的“和”和“积”之间的关系，利用它可以解决求最值或者不等式证明问题.在运用基本不等式解题时，我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形，造条件满足应用情境后再解决问题. 因此需要掌握一些变形技巧，注意三大方面.一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如222a b ab +≥逆用就是， (0,0)a b >>逆用就是等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形(1) 2112a b a b +≤≤+(,)a b R +∈,即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数；（当且仅当a b =时取等号）(2) (,)a b R ∈（当且仅当a b =时取等号)．这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．下面举例析之.一、注意运用不等式链从某种意义上来讲要学好基本不等式的变形关键是掌握上述两个不等式链.不等式中的常见变形主要围绕这两个基本不等式链进行.例1 已知0a >，0b >，1a b +=，求的最大值.解析：由0a >，0b >，又，因为1a b +=，所以，所以4≥，当且仅当时，等号成立.评注：本题利用基本不等式链简化了问题，是题目的证明思路一目了然.二、注意结论成立的条件对2112a b a b +≤≤+来讲，一是要求,a b R +∈，二是和或积或平方和为定值，三是等号要成立即a b =.即所谓的一正、二定、三相等；但是对不等式来讲,a b R ∈均可.例2 求函数的最值.错解： ()()y x x x x x x =++=++4913362=++≥+⋅=133********x x x x当且仅当即x =±6时取等号.所以当x =±6时，y 的最小值为25，此函数没有最大值.错因分析： 上述解题过程中应用了基本不等式，却忽略了应用基本不等式求最值时的条件—两个数都应大于零，因而导致错误.因为函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，所以必须对x 的正负加以分类讨论.正解： （1）当x >0时，25362133613=⋅+≥++=xx x x y ， 当且仅当即6=x 时取等号.所以当x =6时，y min =25.（2）当x <0时，， ()()-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪≥--⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x x x 3623612， 11213)]36()[(13=-≤-+--=∴xx y .当且仅当，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max =-=13121.评注：在利用基本不等式链时，一定要注意使用范围.例3 已知0,0x y >>，且，求x y +的最小值.错解：0,0x y >>，且，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭. 故 ()min 12x y += .错因分析：解法中两次连用基本不等式，在x y +≥x y =，在等号成立条件是即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误.正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当时，上式等号成立，又，可得4,12x y ==时，()min 16x y += .评注：在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法.三、要掌握三种拼凑方法由基本不等式链可以看出在运用基本不等式解决问题时主要是凑定和、定积或平方和为常数.例4 当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值.解析：由04x <<知，820x ->，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.211282(82)[2(82)]()8222x x y x x x x +-=-=-≤=. 当282x x =-，即2x =时取等号 ，所以当2x =时，(82)y x x =-的最大值为8.评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值.例5 已知，求函数的最大值.解析：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =.评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值.例6 、已知x ，y 为正实数，且，求.解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式.12，==.下面将x ，分别看成两个因式：则= 当且仅当且，即，时，等号成立.所以4. 评注：本题注意到适当添加常数配凑后，两项的平方和为常数，故而进行变形利用基本不等式链解决问题.链接练习1、 已知01x <<，求函数的最小值.解：因为01x <<，所以10x ->. 所以[]41414(1)(1)59111x x y x x x x x x x x -⎛⎫=+=+-+=++≥ ⎪---⎝⎭. 当且仅当时，即，上式取“=”，故min 9y =.2、已知0,0a b >>，328a b +=.≤=，4=且328b=时，等号成立.+=，即，2a b综上可见，许多貌似繁难的不等式问题，运用基本不等式链，恰当拼凑，可创造性地使用基本不等式，轻松获解.这样既开拓了学生的思路，又活跃了学生的思维，培养了学生的数学能力.。
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基本不等式复习三大注意事项
山东省邹平县第一中学 李锋 256200
基本不等式是高中阶段的重要内容，是学生不容易掌握的重点知识之一，关键是其变形
灵活，形式多姿多样，基本不等式“0,0)2
a b a b +≥>>”沟通了两个正数的“和”与“积”之间的关系，利用它可以解决求最值或者不等式证明问题.在运用基本不等式解题时，我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形，造条件满足应用情境后再解决问题. 因此需要掌握一些变形技巧，注意三大方面.
一个技巧
运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如222a b ab +≥逆用就是222a b ab +≤
，2a b +≥ (0,0)a b >>逆用就是2()2
a b ab +≤等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．
两个变形
(1) 2
112a b a b +≤≤+(,)a b R +∈,即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数；（当且仅当a b =时取等号） (2) 22
2()22
a b a b ab ++≤≤ (,)a b R ∈（当且仅当a b =时取等号)． 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．
三个注意
(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．
(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．下面举例析之.
一、注意运用不等式链
从某种意义上来讲要学好基本不等式的变形关键是掌握上述两个不等式链.不等式中的常见变形主要围绕这两个基本不等式链进行.
例1 已知0a >，0b >，1a b +=，求
11a b +的最大值. 解析：由0a >，0b >，又2112a b a b
+≤+，因为1a b +=，所以21112a b ≤+，所以
11a b +4≥，当且仅当12
a b ==时，等号成立. 评注：本题利用基本不等式链简化了问题，是题目的证明思路一目了然.
二、注意结论成立的条件
对2
112a b a b
+≤≤≤+一是要求,a b R +∈，二是和或积或平方和为定值，三是等号要成立即a b =.即所谓的一正、二定、三相等；但是对不等式22
2()22
a b a b ab ++≤≤来讲,a b R ∈均可. 例2 求函数()()y x x x
=++49的最值. 错解： ()()y x x x x x x
=++=++4913362=++≥+⋅=133********x x x x 当且仅当x x
=
36即x =±6时取等号. 所以当x =±6时，y 的最小值为25，此函数没有最大值. 错因分析： 上述解题过程中应用了基本不等式，却忽略了应用基本不等式求最值时的条件—两个数都应大于零，因而导致错误.因为函数()()y x x x
=++49的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，所以必须对x 的正负加以分类讨论.
正解： （1）当x >0时，25362133613=⋅+≥+
+=x x x x y ， 当且仅当x x
=36即6=x 时取等号.所以当x =6时，y min =25. （2）当x <0时，->-
>x x 0360，， ()()-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪≥--⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x x x 3623612， 11213)]36()[(13=-≤-+--=∴x
x y .当且仅当-=-x x 36，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max =-=13121.
评注：在利用基本不等式链时，一定要注意使用范围.
例3 已知0,0x y >>，且191x y
+=，求x y +的最小值. 错解： 0,0x y >>，且
191x y +=，∴(
)1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭. 故 ()min 12x y += .
错因分析：解法中两次连用基本不等式，在x y +≥等号成立条件是x y =，在
19x y +≥19x y
=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误. 正解：190,0,1x y x y >>+= ，()1991061016y x x y x y x y x y
⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当9y x x y
=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += . 评注：在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法.
三、要掌握三种拼凑方法
由基本不等式链可以看出在运用基本不等式解决问题时主要是凑定和、定积或平方和为常数.
例4 当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值.
解析：由04x <<知，820x ->，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将
(82)y x x =-凑上一个系数即可.211282(82)[2(82)]()8222
x x y x x x x +-=-=-≤=. 当282x x =-，即2x =时取等号 ，所以当2x =时，(82)y x x =-的最大值为8.
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值.
例5 已知54
x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. 解析：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45
x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404
x x <∴-> ， 11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭
231≤-+= 当且仅当15454x x
-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =. 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值.
例6 、已知x ，y 为正实数，且2
2
12y x +=，求的最大值.
解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式222
a b ab +≤.
前面的系数为12，==.下面将x
两个因式：则=
2
2
1
22
2
y
x++
≤
4
=，
当且仅当x=
2
21
2
y
x+=
，即x=
y=时，等号成立.
所以
的最大值为
4
.
评注：本题注意到适当添加常数配凑后，两项的平方和为常数，故而进行变形利用基本不等式链解决问题.
链接练习
1、已知01
x
<<，求函数
41
1
y
x x
=+
-
的最小值.
解：因为01
x
<<，所以10
x
->.
所以[]
41414(1)
(1)59
111
x x
y x x
x x x x x x
-
⎛⎫
=+=+-+=++≥
⎪
---
⎝⎭
.
当且仅当
4(1)
1
x x
x x
-
=
-
时，即
2
3
x=，上式取“=”，故
min
9
y=.
2、已知0,0
a b
>>，328
a b
+=
.
解：利用不等关系
2
a b
+
≤
4
≤=，
=且328
a b
+=，即
4
3
a=，2
b=时，等号成立.
综上可见，许多貌似繁难的不等式问题，运用基本不等式链，恰当拼凑，可创造性地使用基本不等式，轻松获解.这样既开拓了学生的思路，又活跃了学生的思维，培养了学生的数学能力.。