点集拓扑学考试题目及答案

下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题，解答是本人自己写的，可能有错误或者不足，希望对大家的考试有帮助。

二、辨析题（每题5分，共25分，正确的说明理由，错误的给出反例）

1、拓扑空间中有限集没有聚点。

答：这个说法是错误的。

反例：{}c b a X ,,= ，规定拓扑 {}{}a X ,,φτ=，则当{}a A =时，b 和c 都是A 的聚点。因为b 和c 的领域只有X 一个，它包含a ，a 不是A 的聚点，因为{}φ=a A \。

2、欧式直线1E 是紧致空间。

答：这个说法是错误的。

反例：对1E 而言，有开覆盖(){}+∈-=Z n n n |,μ，而对于该开覆盖没有有限子覆盖。

3、如果乘积空间Y X ⨯道路连通，则X 和Y 都是道路连通空间。

答：这个说法是正确的。

证明：对于投射有()X Y X P =⨯1，()Y Y X P =⨯2，由投射是连续的，又知Y X ⨯是道路连通，从而像也是道路连通空间，所以X 和Y 都是道路连通空间。

4、单位闭区间I 与1

S 不同胚。

答：这个说法是正确的。

下面用反证法证明，反设I 与1

S 同胚，则

⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧21\21\2:21\2|1f S f 也是同胚映射，⎭⎬⎫⎩⎨⎧21\I 不连通，则 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧21\1S 不连通，故矛盾，所以单位闭区间I 与1S 不同胚。

5、紧致性具有可遗传性质。

答：这个说法是错误的。

反例 ：[]1,0紧致但()1,0不紧致。

三、证明题（每题10分，共50分）

1、规定[)111,0\:E E f →为()⎩⎨⎧≥-<=110,x x x x x f ，证明f 是连

续映射，但不是同胚映射。

证明：由于f 限制在()0,∞-与()+∞,1上连续，由粘接引

理，f 连续。但1-f 不连续，如()0,∞-是[)1,0\1E 的闭集，

但()()()()()()()0,0,0,11∞-=∞-=∞---f f 不是1E 的闭集，所以f 不是同胚映射。

2、证明：Hausdorff 空间的子空间也是Hausdorff 空间。 证明：设X 是Hausdorff 空间，Y 是X 的任一子空间，需证Y 是Hausdorff 空间。Y y x ∈∀,，由X 是Hausdorff 空间，所以存在y x ,在X 的开邻域U 、V 使得φ=⋂V U ，Y U ⋂是x 在Y 中开邻域，Y V ⋂是y 在Y 中开邻域，()()φ=⋂⋂=⋂⋂⋂Y V U Y V Y U ，故Y 是Hausdorff 空间。

3、证明：从紧致空间到Hausdorff 空间的连续双射是同胚。

证明：要证明

X Y f →-:1连续，只需证f 是闭映射，设A 是X 的闭子集紧致，所以A 是紧致的。又因为紧致空间在连续映射下的像也紧致，所以()A f 是Y 的紧致子集，又由于Hausdorff 空间的紧致子集是闭集，所以()A f 是Y 的闭集。

4、设0X 是X 的既开又闭的子集，A 是X 的连通子集，则或者φ=⋂0X A 或者0X A ⊂。

证明：0X A ⋂是A 的既开又闭的子集，由于A 连通，则或者φ=⋂0X A 或者A X A =⋂0即0X A ⊂。

5、证明：道路连通性具有可乘性质。 证明：设()00,y x 是()11,y x 是Y X ⨯中两点，X 和Y 都是道路连通，则有X 中道路a ，以10,x x 为起始点，又有Y 中道路b ，以10,y y 为起始点，作Y X ⨯中道路c 为： ()()()()t b t a t c ,=，I t ∈∀，则c 连接()00,y x 和()11,y x ，所以道路连通性具有可乘性质。