指数函数、对数函数、幂函数图像与性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

（一）指数与指数函数

1．根式

（1）根式的概念

（2）．两个重要公式

①⎪⎩

⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a

a n

n ；

②a a n

n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。

2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m

n

a

a m n N n *=>∈>、且。

②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n

m n

a

a m n N n a

-

*=

=

>∈>、且

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q )。 ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q )。 ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q )。. 3．指数函数的图象与性质

n 为奇数 n 为偶数

y=a x a>1 0

图象

定义域R

值域（0，+∞）

性质（1）过定点（0，1）

（2）当x>0时，y>1。

x<0时,0

(2) 当x>0时，0

x<0时, y>1

(3)在（-∞，+∞）上是增函数（3）在（-∞，+∞）上是减函数

注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,（2）y=b x,（3）,y=c x（4）,y=d x的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？

提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。（二）对数与对数函数

1、对数的概念

（1）对数的定义

如果(01)

x

a N a a

=>≠

且，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作log N

a

x=，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数。

（2）几种常见对数

对数形式特点记法

一般对数

底数为a0,1

a a

>≠

且log N

a

常用对数底数为10

lg N

自然对数底数为e ln N

2、对数的性质与运算法则

（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②log 1a

a =，③log N

a a

N =，④log N

a a N =。

（2）对数的重要公式：

①换底公式：log log (,1,0)log N

N

a b

b

a

a b N =>均为大于零且不等于； ②1

log log b

a a

b

=

。 （3）对数的运算法则：

如果0,1a a >≠且，0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N

M

a a a

log log log -=； ③)(log log R n M n M a n

a ∈=；

④b m

n

b a n

a m log log =

。 图象

1a >

01a <<

性

质

（1）定义域：（0,+∞）

（2）值域：R

（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0） （4）当01x <<时，(,0)y ∈-∞； 当1x >时，(0,)y ∈+∞ （4）当1x >时，(,0)y ∈-∞； 当01x <<时，(0,)y ∈+∞ （5）在（0,+∞）上为增函数

（5）在（0,+∞）上为减函数

提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0

指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称。 （三）幂函数 1、幂函数的定义

形如y=x α

（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数

注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 2、幂函数的图象

注：在上图第一象限中如何确定

y=x 3，y=x 2，y=x ，

12

y x =，y=x -1方法：可画出x=x 0；

当x 0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3，y=x 2， y=x ，12

y x =， y=x -1； 当0

y x =，y=x ， y=x 2，y=x 3。

y=x y=x 2

y=x 3

12y x =

y=x -1

定义域 R R R [0，+∞） {}|0x x R x ∈≠且

值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {}|0y y R y ∈≠且

奇偶性 奇 偶

奇

非奇非偶 奇

单调性

增

x ∈[0，+∞）时，增； x ∈(,0]-∞时，减

增 增

x ∈(0,+∞)时，减； x ∈(-∞,0)时，减