大一经济数学基础微积分A

称为点 x0 的δ 邻域 , 6记为4 U72(x40 ,8δ ).
o
o
x0 x0 x0
例1 U(2 , 1) ={x||x-2|<1}=(1,3).
U(- ½, ½) = {x||x + ½ |< ½}=(-1,0).
定义2 点 x0 的去心邻域.即
U 0( x0 , δ) { x 0 x x0 δ} ( x0 δ, x0 ) U( x0 , x0 δ).
1.实际问题中的函数定义域
例 边长为a的正方形铁皮，在四个角裁掉 边长为x的四个小正方形后，所得铁皮折为一个 无顶的立方体，问x多大时，可使容积最大？
V (a 2x)2 x
a
DV
{x|0
x
} 2
集合表示法
x (0, a ) 区间表示法 2
xa
2.一般函数的定义域
如未特别指明,函数定义域Df 为使函数有意义的自变
§1.1 实 数 (R)
1. 实数的分类
实数 无理数：无限不循环小数 正数 有理数(Q)：分数 q ( p 0) 零
p
负数
2. 实数的性质
正整数
正分数 负整数
负分数
1).实数关于加、减、乘、除四种运算封闭.
考虑自然数N、整数Z、无理数、有理数Q是否关于上
述四种运算封闭?
3 5 2 N
3 0.6 Z 5
2).几何意义
| a | 表示实数a与原点的距离;
| a b | 表示实数a与b的距离;
3).性质
1 | a || a | 0,| a | a2 . 2 ab a b ;
3 | a | | a | (b 0). b |b|
4 | a | a | a | .
思考：两个等号何时成立？
a 0, a a a ; a 0, a a a
6 4 72 4 8
o
○
o
x0 x0 x0
定义3 点 x0的左邻域,即
U ( x0, ) {x 0 x0 x } ( x0 , x0 )
点 x0的右邻域,即
U ( x0 , ) {x 0 x x0 } ( x0 , x0 )
注：①所有的邻域都是开区间； ②邻域是考虑某点附近点的集合，故δ一般不会很大; ③邻域的中心: x 0 ;邻域的半径:δ> 0
4. 常用的实数集----区间和邻域 区间
设a, b都是实数, 且a<b,有下面形式的区间
闭区间 [a, b] {x a x b},
a•
•b
半开半 闭区间
(a,b] {x a x b}, [a, b) {x a x b},
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°a
•
b
•a
°b
无穷区间 (, a) {x x a}, 或 {x x a},
o
x
1, x 0
例
符号函数
y
sgn( x)
0,
x0
1, x 0
y
1°
o•
x
°–1
例
狄立克莱函数
y
1,
0,
x Q (有理数集) x Q (无理数集)
例 取整函数(阶梯曲线) y = [x] 为不超过 x 的最大整
数部分.
y
[0.3]= 0 [2.8]= 2 [-0.3]= -1
[-2.6]= -3
函数值全体组成的数集 Z ={y|y=f(x), x∈D}为 f 的值域.
注：1. 要求定义域D为非空集合. 如：y 1 x2
2. 由f 确定的y 值，必须是唯一的.
这类函数成为单值函数, 还有一类函数为多值函数.
如：y2 x, x2 y2 a2 .
3. 函数的定义域是使函数有意义的自变量的全体。
•
•° °
•°
–2 –1 o• °1 2
x
• °–1
•°
•°
实际上是取左端点.
L
k
L
y
[x]
1 0
1
L
k
L
L k x k1
L 1 x 2 0 x1 1 x 0
L k x k 1
L
注：分段函数虽然有几个式子，但它们合起来 是一个函数，而不是几个函数.
四、函数定义域的求法
证明: x1 , x2 (, ),且x1 x2 ,
当x1 , x2异号时, 有x1 0, x2 0, 或x1 0, x2 0,
此时, 都有x13 x23 . 当x1 , x2同号时, x23 x13 ( x2 x1 )( x22 x1 x2 x12 ) 0,
所以x13 x23 . 从而函数y x3在(, )上是严格递增的.
2 2 0 不是无理数，而是有理数.
只有有理数关于此四种运算封闭.
2).实数是有序的,即任意两个实数a,b必满足下述三个关 系 之一：a>b,a<b,a=b. 实数的三歧性
3).实数具有稠密性.而实数不仅具有稠密性,而且具有连续性
(实数间无“空隙”) 。 4).实数与数轴的上的点一一对应。
可以把数轴看成是实数的直观图形(几何模型),即一 个实数可以理解为数轴上的一个点。 例.设a为有理数，x为无理数，证明：
f ( x1 )
f ( x2 )
x1 o x2
x
例 证明函数y x3在(, )上是严格递增的.
分析: x1 , x2 (, ),且x1 x2 , 欲证x13 x23 ,
只要x23 x13 0即可. 0
不易判断
而x23 x13 ( x2 x1 )( x22 x1 x2 x12 )
f ( x) 2x 1 x [0, 2]
g(x) 5 x2 4
x [0, 2]
当x 1时, f (1) 3, 对应法则不同
g(1) 5 . 4
但要注意的是,函数的定义域及值域相同仅是两 个函数相同的必要条件而非充分条件.即一般用它 来判断两个函数不相同.
5.同一个函数不会因自变量,因变量字符的改变 而发生改变.
量的全体.
例 求函数 y
1
的定义域.
( x 4) ln( x 2)
解： 要使 y
1
有意义，必须有
( x 4) ln( x 2)
x40 ln( x 2) 0 x 2 0
x4
x
2
1
x 2
从而，函数的定义域为
x 4
x
3
x 2
x (2, 3) U(3,4) U(4, )
当x1< x2 时,恒有
或ff ((
x1 x1
) )
f f
( (
x2 x2
) )
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
则称ƒ(x)在区间
I
上严格单调或单调
. 增加
减少
对应曲线是
y
上升 下降
的.
y
y= ƒ(x)
f ( x2 )
f ( x1 )
x1 o x2
x
y= ƒ(x)
§1.2 函数的概念
一、 函数的定义
定义 设D为一个非空实数集,若对D中每一个 值 x,按照一定的对应法则 ƒ,总有确定的数值y和它 对应,则称 f是定义在D上的一个函数,记作 y=ƒ(x). 称 x 为自变量, y 为因变量; D 为 f 的定义域;
当 x0 D时,称 f ( x0 )为函数在 x0 的函数值.
°a
无穷区间
(,a] {x x a},
•a
{x x a},
[a, ) {x a x },
a•
{x x a},
(a, ) {x a x },
a°
{x x a},
(, ) {x x }.
邻域
定义1 以x0为中心, 以δ 为半径, 长为2δ 的开区间.即
( x0 , x0 ) { x x x0 , 0},
| a | a b | b |, | b | b a | a | .
Q| a || a b b || a b | | b | | b || b a a || a b | | a |
| a | | b | a b , a b | a | | b | 即 a b | a | | b | a b . 因此| | a | | b || a b .
x2 2 0 x 1
解：可以看出，函数的定义域为
x [1,0]U(0,1] 即x [1,1].
例
设f
(
x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(
x
3)的定义域.
1 x2
解
f
(x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(
x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
故f(x+3)的定义域为：[-3,-1]
所以一般情况下，函数的定义域都省略不写.
如：f ( x) 1 , x
Df {x | x 0}
f (x) 2x 1,
1
Df
{x |
x } 2
4. 定义域D和对应法则f 是确定函数的两要素.
在判断两个函数是否相同时，判断其是否具有 相同的定义域及对应法则.
f (x) 1
x (, )
例： g( x)
例
x2 1 1 x 0
f (x)
,
2 0 x1
确定分段函数的定义域并求f (−1), f (0), f (1),
f (x−1).
解 f (1) 2 f (0) 2 f (1) 2
(x 1)2 1 1 x 1 0
f (x 1)
,
2
0 x11
x2 2x 2 0 x 1
.
2
1 x2
习题
(1) y x的值域(, ), y x2的值域[0, ). (5) y 1 cos 2x 2cos2 x 2 | cos x | 值域为[0, 2],
y 2 cos x的值域为[ 2, 2].
§1.3 函数的基本性质
单调性、有界性、奇偶性和周期性
一、 单调性
设ƒ(x)为定义在区间 I 上的函数,若∀x1, x2∈D,
a 0, a a a ;
5 | a | h h a h; | a | h a h或a h;(h 0) 6 | | a | | b || a b a b ;
下证：a b a b , | | a | | b || a b
（ a b ） a b a b , 即 a b a b a b
y 1 cos2 x
u sin2 v
二、函数的表示法:列举法、描述法、列表法、图 象法.
三、分段函数
问题：是否所有的函数都可用一个数学式子表 示呢？
有的函数在其定义域的不同范围内,要用两个或 两个以上的数学式子来表示,这一类函数叫作分段 函数.
例：绝对值函数
y
x
x x
x0 x0
y
y=|x|
例 求函数 y
x 2 的定义域. x2 2x 3
解： 要使 y
x 2 有意义，必须有 x2 2x 3
x2 x2
x2 2x 3 2x 3
0
0
x
2
x20 2x 3
0
或
x
2
x20 2x 3
0
(
x
x20 1)( x 3)
或 0
(
x
x20 1)( x 3)
结论:同一定义域上两个单调性相同的函数之和 与这两个函数具有相同的单调性.
x1 , x2 D,且x1 x2 , 若f ( x), g( x)单增,
则f ( x2 ) g( x2 ) [ f ( x1 ) g( x1 )] [ f ( x2 ) f ( x1 )] [g( x2 ) g( x1 )] 0,
(1)a+x是无理数 (2)当a≠0时，ax是无理数. 证：反证法
若a x b为有理数, 则因为有理数对四种运算满足 封闭性, x b a 也为有理数, 与已知矛盾,所以a x 为无理数.
3. 实数的绝对值
1).定义
a, a 0
a b a b
| a | a, a 0 a b b a a b
x x
x (, 0) U(0, )
定义域不同
f ( x) 1 x (, )
g(
x)
2
x (, )
对应法则不同
f ( x) | x | g( x) x2 形式上不同的函数可能表示同一个函数.
f ( x) x g( x) x2
值域不同
xR
Zf R Zg [0, )
由于有些函数的对应法则虽然形式上不同，但 却表示同一个函数,所以在判断过程中经常把两个 函数的定义域及值域是否相同作为一种判断方法.
Q | a | a | a |, | b | b | b |,从而 | a | a | a |, | b | b | b |,
| a | | b | a b | a | | b |, 于是 a b a b 成立.
ab a b 下证：| | a | | b || a b 即证 a b | a | | b | a b .
0
x2
x
1或x
3
或
x 1
2 x
3
x2
x
1或x
3
或
x 1
2 x
3
x 2
x
3
或
x2 1 x
3
x 3 或1 x 2 从而，函数的定义域为
x (1, 2]U(3, )
3.分段函数的定义域
分段函数的定义域为各分段子定义域的并集.
2x 1 x 0
例
求函数
f
(
x)
1
x 0 的定义域.