5.2 连杆静力学分析

一、牛顿－欧拉方程
如果将 操作臂的连杆看成刚体，它的质心加速度 vc ，总质 量 m 与产生这一加速度的作用力 f 之间的关系满足牛顿第 二定律：
f mvc
当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度 角加速度 张量 c I 与作用力矩 n 之间满足欧拉方程：
惯性
n c I (c I)
（1）向外递推（ i : 0 n 1 ）
ii 1 R ii i 1i 1 zi 1 (对于转动关节i 1) i 1 i 1 i 1 i i R i (对于移动关节i 1) ii 1 R ii ii 1 R ii i 1 i 1i 1 zi 1 (对于转动关节i 1) i 1 i 1 i 1 i i R i (对于移动关节i 1)
c2 s 2 0
1 l1s2 f x (l1c2 l2 ) f y
2 l2 f y
写成矩阵形式：
1 l1s2 0 2 l1c2 l2 f x l2 f y
于是，可得｛3｝中表示的雅可比：
ii 1 R(i vi i i i pi 1 i i (i i i pi 1 )), (转动关节i 1) i 1 i 1 ii 1 R(i vi i i i pi 1 i i (i i i pi 1 )) v i 1 di 1 zi 1 2i 1i 1 di 1i 1 zi 1 , (移动关节i 1)
fi ni
连杆i－1作用在连杆i上的力 连杆i－1作用在连杆i上的力矩
mi g 连杆i的重量，作用在质心上
rci
质心的位置矢量
得｛i}平衡方程：
M 0 n
i i i
f 0 fi i fi 1 mi i g 0
i
ni 1 i rci mi i g i pi 1 i f i 1 0
若忽略杆件本身自重，得相邻连杆的力和力矩关系
i
fi i fi1 ni i ni 1 i pi 1 i fi 1
i
将｛i+1}下的力和力矩转换到｛i｝下，得：
i
fi ii 1 Ri 1 fi 1
i
ni ii 1 Ri 1ni 1 i pi 1 i fi
各个关节所承受的力向量中，某些分量由操作臂本身 的连杆所平衡，一部分分量则为各关节的驱动力或力 矩来平衡。 对于转动关节，关节驱动力矩平衡力矩的Z分量：
i 1
fci 1 mi 1i1vci 1
i 1
nci 1 ci1 Ii 1i1i 1 i1 i 1 (ci1 Ii 1i1i 1 )
（2）向内递推（
i
i : n 1
）
fi ii 1 Ri 1 fi 1 i fci
i
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ni ii 1 Ri 1ni 1 i nci i rci i fci i pi 1 ii 1 Ri 1 fi 1
f x 0 2 2 3 2 2 n2 3 R n3 p3 f 2 l2 x2 f y 0 0 l2 f y
i i
fi ii 1 Ri 1 fi 1 ni ii1 Ri1ni 1 i pi 1 i fi 1
3
l1s2 J 0
T T 3 T0 3 T
l1c2 l2 l2
0
l1s1 l2 s12 l1c1 l2c12 J J R l2 s12 l2c12
本节利用运动递推和力的递推来建立操作臂动力学方程，讨 论动力学逆问题的求解方法。
s2 c2 0 0 f x c2 f x s2 f y f s f c f 0 y 2 x 2 y 1 0 0
c2 1 f1 1 R 2 f 2 s2 2 0
1
n1 1 R 2 n2 1 p2 1 f 2 2 s2 c2 0 f x 0 0 0 0 l x f 0 0 1 1 y 0 l1s2 f x l1c2 f y l2 f y 1 l2 f y
二、动力学逆问题递推算法
动力学逆问题是根据关节位移、速度和加速度 ( , , ) ， 求所需的关节力矩或力。整个算法由两部分组成：首先向外 递推计算各连杆的速度和加速度，由牛顿－欧拉公式算出各 连杆的惯性力和力矩。第二步向内递推计算各连杆相互作用 的力和力矩，以及关节驱动力或力矩。
i i niT i zi (转动关节) i T i （移动关节） i fi zi
三、封闭形式的运动学方程 上述递推公式有两种用途：数值计算和推导封闭形式动力学 方程。只要知道各连杆的质量、惯性张量、质心和旋转矩阵 的值，即可直接计算实现给定运动所需的关节驱动力和力矩。 然而为了阐明动力学方程的结构，比较重力和惯性力影响的 主次等，常需要将某一机器人动力学方程写成封闭解的形式。
i i i niT zi
对于移动关节，关节驱动力平衡力的Z分量：
i i i fiT zi
i i
fi ii 1 Ri 1 fi 1 ni ii 1 Ri 1ni 1 i pi 1 i fi
2
1 0 0 f x f x 2 f 2 3 R 3 f 3 0 1 0 f y f y 0 0 1 0 0