中点坐标法解决二次函数中平行四边形存在性问题

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图 2 图 3 图1 另辟蹊径 解决二次函数中平行四边形存在性问题

以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点,其图形复杂,知识覆盖面广,综合性较强,对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题,常规解法是先画出平行四边形,再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图,若考虑不周,很容易漏解.为此,笔者另辟蹊径,借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题.

1 两个结论,解题的切入点

数学课标,现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式,也没有平行四边形的顶点坐标公式,我们可帮助学生来探究,这可作为解题的切入点。

1.1 线段中点坐标公式

平面直角坐标系中,点A 坐标为(x 1,y 1),点B 坐标为(x 2,y 2),则线段AB 的中点坐标为(2

21x x +,221y y +). 证明 : 如图1,设AB 中点P 的坐标为(x P ,y P ).由x P -x 1=x 2-x P ,得x P =

2

21x x +,同理y P =221y y +,所以线段AB 的中点坐标为(221x x +,221y y +).

1.2 平行四边形顶点坐标公式 □ABCD 的顶点坐标分别为A (x A ,y A )、B (x B ,y B )、C (x C ,y C )、D (x D ,y D ),则:x A +x C =x B +x D ;y A +y C =y B +y D .

证明: 如图2,连接AC 、BD ,相交于点E .

∵点E 为AC 的中点,

∴E 点坐标为(2

C A x x +,2C A y y +). 又∵点E 为B

D 的中点, ∴

E 点坐标为(

2D B x x +,2D B y y +). ∴x A +x C =x B +x D ;y A +y C =y B +y D .

即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等.

2 一个基本事实,解题的预备知识

如图3,已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ,在平面内另找一个点D ,使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形.答案有三种:以AB 为对角线的□ACBD 1,以AC 为对角线的□ABCD 2,以BC 为对角线的□ABD 3C .

3 两类存在性问题解题策略例析与反思

3.1 三个定点、一个动点,探究平行四边形的存在性问题

例1 已知抛物线y=x 2-2x+a (a <0)与y 轴相交于点A ,顶点为M .直线y=21x-a 分别与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点,并且与直线AM 相交于点N .

(1)填空:试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标,则M ( ), N ( );

图 4

图5

(2)如图4,将△NAC 沿y 轴翻折,若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上,AN ′与x 轴交于点D ,连接CD ,求a 的值和四边形ADCN 的面积;

(3)在抛物线y=x 2-2x+a (a <0)上是否存在一点P ,使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,试说明理由.

解:(1)M (1,a-1),N (a 34,-a 31);(2)a=-49;S 四边形ADCN =16

189; (3)由已知条件易得A (0,a )、C (0,-a )、N (a 34,-a 3

1).设P (m ,m 2-2m +a ). ①当以AC 为对角线时,由平行四边形顶点坐标公式(解题时熟练推导出),得:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-+-=-+=+a m m a a a m a 23134002,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==81525a m . ∴P 1(25,-8

5); ②当以AN 为对角线时,得:

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=-+=+a m m a a a m a 23103402,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==81525a m (不合题意,舍去). ③当以CN 为对角线时,得:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-+=--+=+a m m a a a m a 23103402,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=8321a m . ∴P 2(-21,8

7). ∴在抛物线上存在点P 1(

25,-85)和P 2(-21,87),使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形.

反思:已知三个定点的坐标,可设出抛物线上第四个顶点的坐标,运用平行四边形顶点坐标公式列方程(组)求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚,往往要以这三条线段分别为对角线分类,分三种情况讨论.

3.2 两个定点、两个动点,探究平行四边形存在性问题

例2 如图5,在平面直角坐标系中,抛物线A (-1,0),B (3,0),C (0,-1)三点.

(1)求该抛物线的表达式;

(2)点Q 在y 轴上,点P 在抛物线上,要使以点Q 、P 、A 、B 为

顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件点P 的坐标.

解 :(1)易求抛物线的表达式为y=13

2312--x x ; (2)由题意知点Q 在y 轴上,设点Q 坐标为(0,t );点P 在抛物线上,

图 6

设点P 坐标为(m ,13

2312--m m ). 尽管点Q 在y 轴上,也是个动点,但可理解成一个定点,这样就转化为三定一动了. ①当以AQ 为对角线时,由四个顶点的横坐标公式得:-1+0=3+m ,

∴m=-4,∴P 1(-4,7);

②当以BQ 为对角线时,得:-1+m=3+0,∴m=4,∴P 2(4,3

5); ③当以AB 为对角线时,得:-1+3=m+0,∴m=2,∴P 3(2,-1).

综上,满足条件的点P 为P 1(-4,7)、P 2(4,3

5)、P 3(2,-1). 反思:这种题型往往特殊,一个动点在抛物线上,另一个动点在x 轴(y 轴)或对称轴或某一定直线上.设出抛物线上的动点坐标,另一个动点若在x 轴上,纵坐标为0,则用平行四边形顶点纵坐标公式;若在y 轴上,横坐标为0,则用平行四边形顶点横坐标公式.该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式.本例中点Q 的纵坐标t 没有用上,可以不设.另外,把在定直线上的动点看成一个定点,这样就转化为三定一动了,分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类,分三种情况讨论.

例3 如图6,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A (-4,0),B (0,-4),C (2,0)三点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点,点M 的横坐标为m ,△AMB 的面积为S .求S 关于m 的函数关系式,并求出S 的最大值;

(3)若点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线y =-x 上的动点,判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q 的坐标.

解:(1)易求抛物线的解析式为y=2

1x 2+x-4; (2)s=-m 2-4m (-4

(3)尽管是直接写出点Q 的坐标,这里也写出过程.由题意知O (0,0)、B (0,-4). 由于点Q 是直线y=-x 上的动点,设Q (s ,-s ),把Q 看做定点;设P (m ,

2

1m 2+m -4). ①当以OQ 为对角线时,

⎪⎩⎪⎨⎧-++-=-+=+42140002m m s m s ∴s=-252±.

∴Q 1(-2+52,2-52),Q 2(-2-52,2+52);

②当以BQ 为对角线时,

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