中点坐标法解决二次函数中平行四边形存在性问题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
图 2 图 3 图1 另辟蹊径 解决二次函数中平行四边形存在性问题
以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点,其图形复杂,知识覆盖面广,综合性较强,对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题,常规解法是先画出平行四边形,再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图,若考虑不周,很容易漏解.为此,笔者另辟蹊径,借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题.
1 两个结论,解题的切入点
数学课标,现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式,也没有平行四边形的顶点坐标公式,我们可帮助学生来探究,这可作为解题的切入点。
1.1 线段中点坐标公式
平面直角坐标系中,点A 坐标为(x 1,y 1),点B 坐标为(x 2,y 2),则线段AB 的中点坐标为(2
21x x +,221y y +). 证明 : 如图1,设AB 中点P 的坐标为(x P ,y P ).由x P -x 1=x 2-x P ,得x P =
2
21x x +,同理y P =221y y +,所以线段AB 的中点坐标为(221x x +,221y y +).
1.2 平行四边形顶点坐标公式 □ABCD 的顶点坐标分别为A (x A ,y A )、B (x B ,y B )、C (x C ,y C )、D (x D ,y D ),则:x A +x C =x B +x D ;y A +y C =y B +y D .
证明: 如图2,连接AC 、BD ,相交于点E .
∵点E 为AC 的中点,
∴E 点坐标为(2
C A x x +,2C A y y +). 又∵点E 为B
D 的中点, ∴
E 点坐标为(
2D B x x +,2D B y y +). ∴x A +x C =x B +x D ;y A +y C =y B +y D .
即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等.
2 一个基本事实,解题的预备知识
如图3,已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ,在平面内另找一个点D ,使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形.答案有三种:以AB 为对角线的□ACBD 1,以AC 为对角线的□ABCD 2,以BC 为对角线的□ABD 3C .
3 两类存在性问题解题策略例析与反思
3.1 三个定点、一个动点,探究平行四边形的存在性问题
例1 已知抛物线y=x 2-2x+a (a <0)与y 轴相交于点A ,顶点为M .直线y=21x-a 分别与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点,并且与直线AM 相交于点N .
(1)填空:试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标,则M ( ), N ( );
图 4
图5
(2)如图4,将△NAC 沿y 轴翻折,若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上,AN ′与x 轴交于点D ,连接CD ,求a 的值和四边形ADCN 的面积;
(3)在抛物线y=x 2-2x+a (a <0)上是否存在一点P ,使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,试说明理由.
解:(1)M (1,a-1),N (a 34,-a 31);(2)a=-49;S 四边形ADCN =16
189; (3)由已知条件易得A (0,a )、C (0,-a )、N (a 34,-a 3
1).设P (m ,m 2-2m +a ). ①当以AC 为对角线时,由平行四边形顶点坐标公式(解题时熟练推导出),得:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-+-=-+=+a m m a a a m a 23134002,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==81525a m . ∴P 1(25,-8
5); ②当以AN 为对角线时,得:
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=-+=+a m m a a a m a 23103402,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==81525a m (不合题意,舍去). ③当以CN 为对角线时,得:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-+=--+=+a m m a a a m a 23103402,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=8321a m . ∴P 2(-21,8
7). ∴在抛物线上存在点P 1(
25,-85)和P 2(-21,87),使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形.
反思:已知三个定点的坐标,可设出抛物线上第四个顶点的坐标,运用平行四边形顶点坐标公式列方程(组)求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚,往往要以这三条线段分别为对角线分类,分三种情况讨论.
3.2 两个定点、两个动点,探究平行四边形存在性问题
例2 如图5,在平面直角坐标系中,抛物线A (-1,0),B (3,0),C (0,-1)三点.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点Q 在y 轴上,点P 在抛物线上,要使以点Q 、P 、A 、B 为
顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件点P 的坐标.
解 :(1)易求抛物线的表达式为y=13
2312--x x ; (2)由题意知点Q 在y 轴上,设点Q 坐标为(0,t );点P 在抛物线上,
图 6
设点P 坐标为(m ,13
2312--m m ). 尽管点Q 在y 轴上,也是个动点,但可理解成一个定点,这样就转化为三定一动了. ①当以AQ 为对角线时,由四个顶点的横坐标公式得:-1+0=3+m ,
∴m=-4,∴P 1(-4,7);
②当以BQ 为对角线时,得:-1+m=3+0,∴m=4,∴P 2(4,3
5); ③当以AB 为对角线时,得:-1+3=m+0,∴m=2,∴P 3(2,-1).
综上,满足条件的点P 为P 1(-4,7)、P 2(4,3
5)、P 3(2,-1). 反思:这种题型往往特殊,一个动点在抛物线上,另一个动点在x 轴(y 轴)或对称轴或某一定直线上.设出抛物线上的动点坐标,另一个动点若在x 轴上,纵坐标为0,则用平行四边形顶点纵坐标公式;若在y 轴上,横坐标为0,则用平行四边形顶点横坐标公式.该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式.本例中点Q 的纵坐标t 没有用上,可以不设.另外,把在定直线上的动点看成一个定点,这样就转化为三定一动了,分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类,分三种情况讨论.
例3 如图6,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A (-4,0),B (0,-4),C (2,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点,点M 的横坐标为m ,△AMB 的面积为S .求S 关于m 的函数关系式,并求出S 的最大值;
(3)若点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线y =-x 上的动点,判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q 的坐标.
解:(1)易求抛物线的解析式为y=2
1x 2+x-4; (2)s=-m 2-4m (-4 (3)尽管是直接写出点Q 的坐标,这里也写出过程.由题意知O (0,0)、B (0,-4). 由于点Q 是直线y=-x 上的动点,设Q (s ,-s ),把Q 看做定点;设P (m , 2 1m 2+m -4). ①当以OQ 为对角线时, ⎪⎩⎪⎨⎧-++-=-+=+42140002m m s m s ∴s=-252±. ∴Q 1(-2+52,2-52),Q 2(-2-52,2+52); ②当以BQ 为对角线时,