正弦定理及其应用

正弦定理

、正弦定理及其证明

1、向量法

2、三角函数法

3、外接圆法

二、三角形解的个数

例、不解三角形，判断V ABC解的个数

（1）a=5, b=4, A=12C P （2）a=30, b=30, A=50°

（3）a=7, b=14，A=3C P （4）a=9, b=1C，A=60°

（5）c=30, b=9，C=45）（6）a=50, b=72，A=135C

三、三角形的面积公式

例、（1）在V ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，A=-，a=r，c=i则V ABC

3

的面积是 _________

（2）___________________________________________________________________ 在V ABC中，已知B=6C°，cose」，AC=36,则V ABC的面积是_________________

3

（3）___________________________________________________________________ 在V ABC中，已知A=6C P，AC=4, BC=2 3，则V ABC的面积是__________________

四、判断三角形的形状

例、（1）在V ABC中，若tanA:tanBrai^b2，试判断V ABC的形状.

（2）在V ABC中, 若sinA=2sinBcosC sin2A=sir2B+sir2C,试判断V ABC的形状.

2 设V ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=t，sinB=g，C匕，

2 6 则b=

五、利用正弦定理证明 例、（1）在

V ABC 中，a , b , c 分别为角A , B , C 所对的边，证明:

（2） a ，b ，c 分别为V ABC 中角A ，B ，C 所对的边，若a ，b ，c 成等比数列，求证:

1 1 1 tan A tanC sin B

六、利用正弦定理解三角形 例、（1）在

V ABC 中，a=3, b=. 6，A=—，则 B= ___

3

2 2

a b sin (A B) c

sin C

七、正弦定理与其它知识的综合应用例、(1) 在V ABC中，a, b, c分别为角A, B, C所对的边，且cos2B+cosB+cos(A-C)=1,

则()

A. a，b，c成等差数列

B.a, c，b成等比数列

C.a, c，b成等差数列

D.a, b，c成等比数列

(2)在V ABC中，sinA(sinB+3 cosB)= 3 sinC.

V ABC周长的取值范围.

①求角A的大小②若BC=3求

课堂练习：

1、在V ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asinBcosC+csinBcosAA=b，且a>b，则B= ___

2、 __________________________________________________________________ 在V ABC中,角A，B所对的边分别为a，b，若2asinB=3b，则角A= _____________________

3、在V ABC中,AB=6 A=75\ B=45\ 贝S AC= ________

4、 ___________________________________________ 在V ABC中，已知A二—，a=1，b= 3 ,则B= _____________________________________

6

5、在V ABC中，已知sinBsinC二,A=120，a=12求V A BC的面积.

2

6、 在 V ABC 中，若 2a=b+c, sin 2

A=sinBsinC 是判断 V A BC 的形状.

（3） 在 V AB C 中，a=10, A=75\C=45°,求角 B ，边 b ，c. （3） 已知 b=4， c=8, B=30°,求角 C, A 及边 a. （4） 已知 b=3, c=3.

2 3 4

, B=30,求角 A 及边 a.

7、在V

ABC 中，求证:

b acosC sinC

c acosB sin B