上海市曹杨二中2017-2018学年度高二下学期数学开学摸底考(PDF含答案)
上海市曹杨二中2020-2021学年高二下学期开学摸底考数学试题
上海市曹杨二中2020-2021学年高二下学期开学摸底考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．直线210x y -+=的一个法向量为______.2．直线350x --=的倾斜角大小为___________.3．直线20x ++=与直线10x +=的夹角为______.4．一条直线经过直线230x y +-=，310x y -+=的交点，并且与直线2350x y +-=垂直，则这条直线方程为___________.5．若点()4,A a 到直线4310x y --=的距离等于3，则a =__________．6．过点()21A -，与()12B ，半径最小的圆的方程为___________. 7．对任意实数m ，圆2224620x y mx my m +--+-=恒过定点，则其坐标为______.8．已知直线l ：2y ax =+和()1,4A 、()3,1B 两点，若直线l 与线段AB 相交，则实数a 的取值范围为______.9．已知()2,3A 、()4,8B -两点，直线l 经过原点，且A 、B 两点到直线l 的距离相等，则直线的方程为______.10．已知定点()0,5A -，P 是圆()()22232x y -++=上的动点，则当PA 取到最大值时，P 点的坐标为______.11．若直线l 与直线1y =和70x y --=分别交于M ，N 两点，且MN 的中点为()1,1P -，则直线l 的斜率等于__________．12．已知正三角形的三个顶点()()(0020,A B C ，，，，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 近上的点1P 后，依次反射到CA 和AB 边上的点2P 、3P .若1P 、2P 、3P 是三个不同的点，则tan θ的取值范围为____________.二、单选题13．如果曲线C 上任一点的坐标都是方程(),0F x y =的解，那么下列命题中正确的是（ ）A ．曲线C 的方程为(),0F x y =B ．(),0F x y =的曲线是CC ．以方程(),0F x y =的解为坐标的点都在曲线C 上D ．曲线C 上的点都在方程(),0F x y =的曲线上14．若圆C ：()()222x a y a a -++=被直线l ：20x y ++=分成的两段弧长之比是1:3，则满足条件的圆C （ ）A ．有一个B ．有两个C ．有三个D ．有四个15．两直线12,l l 的方程分别为0x b +=和sin 0x a θ+=（,a b 为实常数），θ为第三象限角，则两直线12,l l 的位置关系是（ ）A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．平行D ．不确定16．若()2,3P 既是()11,A a b 、()22,B a b 的中点，又是直线1l ：11130a x b y +-=与直线2l ：22130a x b y +-=的交点，则线段AB 的中垂线方程是（ ）A ．23130x y +-=B ．32120x y +-=C ．320x y -=D ．2350x y -+=三、解答题17．讨论两直线1l ：1mx y +=-和2l ：323mx my m -=+之间的位置关系.18．已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -.（1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标. 19．已知定点()2,0A -、()2,0B ，动点C 在线段AB 上，且PAC ∆、QBC ∆均为等边三角形（P 、Q 均在x 轴上方）.（1）R 是线段PQ 的中点，求点R 的轨迹；（2）求ARB ∠的取值范围.20．过点()2,1P -的直线l 分别交()102y x x =≥与()20y x x =-≥于A 、B 两点. （1）设A 点的坐标为()2,a a ，用实数a 表示B 点的坐标，并求实数a 的取值范围；（2）设AOB ∆的面积为245，求直线l 的方程； （3）当PA PB ⋅最小时，求直线l 的方程.参考答案1．()2,1-【分析】先求得直线210x y -+=的斜率，由此与其垂直的直线的斜率，进而求得直线210x y -+=的一个法向量.【详解】直线210x y -+=的斜率为2，故与其垂直的直线的斜率为12-，故直线210x y -+=的一个法向量为()2,1-.故填：()2,1-.【点睛】本小题主要考查直线的法向量的求法，属于基础题.2．3π 【解析】【分析】根据直线的一般式化成斜截式得直线的斜率，再由tan k α=得直线的倾斜角，得解.【详解】由350x -=得3y =-，所以直线的斜率k =α且0απ≤<，由tan k α=得直线的倾斜角为3π. 故填：3π. 【点睛】本题考查直线的一般式化成斜截式得直线的斜率，再得直线的倾斜角的问题，属于基础题. 3．60︒【分析】分别求得题目所给两条直线的倾斜角，由此求得两条直线的夹角.【详解】直线20x +=的斜率为-150.直线10x +=的倾斜角为90，所以两条直线的夹角为1509060-=.故填：60.【点睛】本小题主要考查两条直线夹角的计算，考查直线的倾斜角，属于基础题.4．2114170x y -+=【分析】设出过两直线的交点的直线系方程(23)(31)0x y x y λ+-+-+=，由直线垂直的判定条件得到关于λ的方程，解之再代入即得所求的直线方程.【详解】设过230x y +-=与310x y -+=的交点的直线方程为：(23)(31)0x y x y λ+-+-+=， 因为此直线与直线2350x y +-=垂直，所以()()132230λλ+⋅+-⋅=，解得83λ=-， 所以这条直线方程为：8(23)(31)03x y x y +---+=，即2114170x y -+=. 故填：2114170x y -+=.【点睛】本题考查过两直线的交点的直线系方程和两直线垂直的判定条件，属于基础题.5．0或10【解析】【分析】根据题意以及点到直线的距离公式得到15335a -==，化简，解出方程即可. 【详解】因为点()4,A a 到直线4310x y --=的距离等于3，所以15335a -==，解得0a =或10a =.故答案为：0或10.本题考查了点到直线的距离公式的应用，较为基础.6．22315222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】由圆心到直线的距离d 、半弦长和半径构成的勾股定理得要使半径R 最小，则需d 最小，d 最小是0, 此时圆的圆心为AB 的中点，圆的直径为AB ，可得圆的方程.【详解】设所求的圆的圆心为C ，圆的半径为R ，圆心到直线AB 的距离为d , 则2222AB R d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由已知得AB ==要使半径R 最小，则需d 最小，d 最小是0，此时圆的圆心为AB 的中点，圆的直径为AB， 圆的方程是22231222x y ⎛⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即22315222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故填：22315222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查根据条件求圆的方程的问题，关键在于得出何时圆的半径取得最小值，属于中档题. 7．()1,1、17,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】将圆的方程重新按m 合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标.【详解】由2224620x y mx my m +--+-=由得()2222320m x y x y -+-++-=，故2223020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或1575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故填：()1,1、17,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.本小题主要考查圆过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查二元二次方程组的解法，属于基础题.8．1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】求得直线所过定点C ，结合,AC BC 的斜率和图像，求得实数a 的取值范围.【详解】依题意可知，直线l 过定点()0,2C ，画出图像如下图所示，由图可知[],BC AC a k k ∈，其中21124,203301BC AC k k --==-==--，所以a 的取值范围是1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故填：1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本小题主要考查直线斜率公式，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.9．1120x y +=或560x y +=【分析】分成两种情况：一个是直线l 过原点和线段AB 的中点，一个是直线l 过原点且与直线AB 平行，分别求得直线l 的方程.【详解】当直线l 过原点和线段AB 的中点时，线段AB 的中点为111,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，故直线l 的方程为112y x =-，即1120x y +=. 当是直线l 过原点且与直线AB 平行时，直线AB 的斜率为835426-=---，故直线l 的方程为56y x =-，即560x y +=. 故填：1120x y +=或560x y +=.【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查两条直线平行的条件，考查中点坐标公式，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.10．()3,2-【分析】连接A 和圆心C ，交圆于点P ，作出图像.求得直线AC 的方程，联立直线AC 的方程和圆的方程，求得交点P 的坐标.【详解】连接A 和圆心C ，交圆于点P ，作出图像如下图所示.此时PA 取得最大值.圆心坐标为()2,3-，故直线AC 的方程为()()503520y x ---=----，即5y x =-.由()()225232y x x y =-⎧⎪⎨-++=⎪⎩解得()3,2P -，（点()1,4-舍去）.故填：()3,2-.【点睛】本小题主要考查点和圆的位置关系，考查直线和圆的交点坐标的求法，考查圆的几何性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.11．23- 【分析】设M （,1a ），N （,7b b -），根据中点公式，求得a ，b 的值，进而根据斜率公式求得直线斜率.【详解】设M （,1a ），N （,7b b -） ，已知MN 的中点为()1,1P -， 则121712a b b +⎧=⎪⎪⎨+-⎪=-⎪⎩ ，解得2,4a b =-= ，即M （-2,1），N （4，-3）， 则直线l 的斜率等于1(3)2243--=--- 故填:23-.【点睛】本题考查了求直线的交点，考查了直线斜率的求法，灵活运用中点坐标公式求值，可简化运算.12．2⎛ ⎝【分析】设1BP x =，则求得x =，再根据反射的条件：入射角等于反射角可得：12102,3CPP BPP πθ∠=∠=-2123,CP P AP P θ∠=∠=在12CPP ∆和32AP P ∆中运用正弦定理表示3AP ，由302,AP <≤可求得tan θ的取值范围. 【详解】根据题意做出示意如下图所示：设1BP x =，则2tan 12x x θ=⇒=-，根据反射的条件：入射角等于反射角可以得：121021232,,3CPP BPP CP P AP P πθθ∠=∠=-∠=∠=在12CPP ∆中由正弦定理得222sin 23(2),2sin sin sin 3CP x CP x πθπθθθ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=⇒=⋅-⎛⎫- ⎪⎝⎭而sin 2sin 3θπθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2CP =222AP CP -==在32AP P ∆中由正弦定理得3223sin 22sin sin sin 33AP AP AP AP θππθθθ⋅=⇒=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以322tan AP θ=322tan 02,2,0AP θ<≤≤<解得tan ,2θ⎛∈⎝，故填：2⎛ ⎝【点睛】本题考查解三角形中的正弦定理的应用，关键在于由反射的条件得出边、角之间的关系，再由302,AP <≤建立不等式，求得范围，属于难度题. 13．D 【分析】根据曲线和方程的关系选出正确选项. 【详解】依题意可知，曲线C 上任一点的坐标都是方程(),0F x y =的解，也即曲线C 上的点都在方程(),0F x y =的曲线上.但是方程(),0F x y =的解，不一定是曲线C 上的点，所以A,B,C 选项错误，D 选项正确. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查曲线和方程的关系，属于基础题. 14．B 【分析】设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，根据圆被直线l 分成的两段弧长之比是1:3可知AOB 90∠=，由此得到圆心到直线的距离，进而以此列方程，解方程求得a 的值，从而得出得出正确选项. 【详解】设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，由于圆被直线l 分成的两段弧长之比是1:3，所以AOB 90∠=.由于圆的圆心为(),a a -，半径为a ，所以圆心到直线l ，也,2,2a a ===±，所以满足条件的圆有两个. 故选B.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查数形结合的数学思想方法，考查圆的几何性质，属于基础题. 15．A 【解析】因为θ为第三象限角，所以1sin 10sin sin sin sin θθθθθ⨯+=+=-=， 所以两直线垂直.故选A.点睛：.两直线位置关系的判断：1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=的平行和垂直的条件术语常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：垂直：12120A A B B +=；平行：1221A B A B =，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验！ 16．C 【分析】将P 点坐标代入12,l l 的方程，由此求得直线AB 的斜率，进而求得线段AB 中垂线的斜率，根据点斜式求得线段AB 的中垂线方程. 【详解】将P 点坐标代入12,l l 的方程得1123130a b +-=，2223130a b +-=，所以,A B 两点在直线2313x y +-上，故23AB k =-，所以线段AB 的中垂线的斜率为32，依题意AB 中点为()2,3P ，所以线段AB 的中垂线方程是()3322y x -=-，即320x y -=.故选C. 【点睛】本小题主要考查点和直线的位置关系，考查线段垂直平分线方程的求法，属于基础题. 17．3m =-时，两直线重合；当0m ≠且3m ≠-时两直线相交. 【分析】根据两条直线重合、平行、相交、垂直的条件，判断两直线的位置关系. 【详解】两条直线化为一般式得12:10,:3230l mx y l mx my m ++=---=. 显然0m ≠. 由13m m m =-，得3m =-时，此时， 11323m m m m ==---所以两直线重合. 两直线不平行.当0m ≠且3m ≠-时两直线相交. 【点睛】本小题主要考查两条直线的位置关系，属于基础题.两条直线的位置关系有：重合、平行、相交、垂直等.18．（1）240x y +-=；（2）点A 坐标为()3,4、()3,0- 【分析】（1）利用两点式求得BC 边所在直线方程；（2）利用点到直线的距离公式求得A 到直线BC 的距离，根据面积7ABC S ∆=以及点A 在直线2360x y -+=上列方程组，解方程组求得A 点的坐标. 【详解】（1）由()2,1B 、()2,3C -得BC 边所在直线方程为123122y x --=---，即240x y +-=.（2）BC ==A 到BC 边所在直线240x y +-=的距离为d =A 在直线2360x y -+=上，故1722360ABC S BC d m n ∆⎧=⋅⋅=⎪⎨⎪-+=⎩，即2472360m n m n ⎧+-=⎨-+=⎩，解得()3,4A 或()30A -,. 【点睛】本小题主要考查利用两点式求直线方程，考查点到直线的距离公式，考查三角形面积公式，属于基础题.19．（1）y =()1,1x ∈-；（2）1,cos 27arc ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）设出C 点坐标，根据等边三角形的性质求得,P Q 两点的坐标，根据中点坐标公式求得R 点的轨迹方程.（2）利用余弦定理求得cos ARB ∠的表达式，由此求得cos ARB ∠的取值范围，进而求得ARB ∠的取值范围.【详解】（1）设()00,C x y ，则022x -≤≤，如图，则002,2CA x BC x =+=-，因为PAC ∆、QBC ∆均为等边三角形，所以))00002222,,,2222x x x x P Q ⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为R 是线段PQ 的中点，设R 为(),x y ，则000222222x x x x -+=+=，))0022222x x y +-=+=R的轨迹为[]1,1y x =∈-.（2）设([],1,1R x x ∈-，则()()222223,23AR x BR x =++=-+，由余弦定理得cos ARB ∠2222AR BR AB AR BR+-=⋅212=2=①.当1x =±时，①式为πcos 0,2ARB ARB ∠=∠=. 当11x -<<时，()222110,011x x -≤-<<-≤，①式为cos ARB∠=，注意到由于()22011x <-≤，所以()22481491x+≥-，所以cos ARB∠1,07⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭.综上所述，1cos ,07ARB ⎡⎤∠∈-⎢⎥⎣⎦，故ARB ∠的取值范围是1,cos 27arc ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查利用余弦定理解三角形，考查反三角函数，属于中档题.20．（1）48,5353aa a a -⎛⎫ ⎪--⎝⎭，35a >；（2）11122y x =-；（3）37y x =- 【分析】（1）设出B 点坐标，利用B 在射线()20y x x =-≥上以及BP PA λ=列方程组，解方程求得B 点坐标.（2）结合（1）的结论，利用三角形面积公式列方程，解方程求得a 的值，进而求得直线l 的方程.（3）结合（1）的结论，求得PA PB ⋅的表达式，进而求得PA PB ⋅最小时a 的值，进而求得直线l 的方程. 【详解】（1）设(),B m n ，由于B 在射线()20y x x =-≥上，则2n m =-①.()()2,1,22,1BP m n PA a a =---=-+，由于,,A P B 三点共线，BP PA λ=，则()()()()21122m a n a -⋅+=--⋅-②，解由①②组成的方程组得48,5353a am n a a -==--，所以B 点坐标为48,5353aa a a -⎛⎫⎪--⎝⎭.由于,A B 两点不重合，故0a >，且A 在第一象限，B 在第四象限.故405380530aa aa a ⎧>⎪-⎪-⎪<⎨-⎪>⎪⎪⎩，解得35a >. （2）由于()1212⨯-=-，所以OA OB ⊥，结合（1）得()482,,,5353a a A a a B a a -⎛⎫ ⎪--⎝⎭，所以12OABS OA OB ∆=⋅⋅12425==，化简得()26560,5a a -==，所以126,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，由直线方程两点式得直线l 的方程为612556121255y x --=---，化简得11122y x =-. （3）由（1）得()482,,,5353aa A a a B a a -⎛⎫⎪--⎝⎭，35a >，而()2,1P -，所以 PA PB ⋅=2565353a a a -+=⋅-()1615353553a a ⎡⎤⎢⎥=-+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦2435≥⋅=，当且仅当()161553553a a -=-，即75a =时等号成立.此时147,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，由直线方程两点式得直线l 的方程为714557141255y x --=---，化简得37y x =-.【点睛】本小题主要考查直线和直线相交交点坐标的求法，考查三角形面积公式，考查最值的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.。
上海市曹杨二中2018届高三8月摸底考试数学试题(PDF版)
2018届高三数学摸底测试题（2017.8.29） 一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.若集合{}3,2,1,0,1-=A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=13x x B ，则=B A 2.求值：=+∞→1lim 22n C n n 3.在二项式10212⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，常数项为 4.已知函数()x f y =的反函数为()x f y 1-=，若()x f y =的图像过点()2,1，则()111++=-x f y 图像恒过点5.已知C z ∈，-z 为z 的共轭复数，若01=-iz z z （其中i 是虚数单位），则z = 6.已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，若51013,3S S a ==，则=n a7.方程0sin 2cos =-x x 在[]π,0的解为8.已知点()y x P ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-20301x y x y x ，O 为坐标原点，则OP 的最大值为9.已知P 为抛物线x y 42=上一点，若点P 到直线x y =的距离为24，则P 点坐标为10.若向量()y x d ,1-=→是直线032=-+y x 的一个方向向量，则y x 39+的最小值是 11.从5,4,3,2,1,0中选出3个数码，构成不含重复数字的三位数，其中能被5整除的有 个。
12.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=1,21210,1x x x x f x ，设0≥>b a ，若()()b f a f =，则()a bf 的取值范围是二、选择题（每题5分，共20分）13.使得()02=-y x 成立的一个充分不必要条件是（ ）A.02=-+y xB.()0222=-+y xC.122=+y xD.0=x 或2=y14.有8个半径为2a 的球，它们的体积之和为1V ，表面积之和为1S ；另一个半径为a 的球，其体积为2V ，表面积为2S ，则（ ）A.21V V >且21S S >B.21V V <且21S S <C.21V V =且21S S >D.21V V =且21S S =15.在锐角ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若1=a 且A B 2=，则b 的取值范围是（ ） A.()3,2 B.()3,1 C.()2,2 D.()2,0 16.若将函数()x x f 2sin =的图像向右平移()0>ϕϕ个单位后得到函数()x g y =的图像，对满足()()221=-x g x f 的任意21,x x ，有21x x -的最小值为3π，则=ϕ（ ） A.125π B.3π C.4π D.6π三、解答题（共76分）17.（14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为梯形，且⊥PA 平面ABCD ，又已知BC AB AD BC ⊥,//，4531=∠===ADC AD AP AB ，，（1）求异面直线PB 与CD 所成角的大小；（2）求四棱锥ABCD P -的体积。
2017-2018-高二上期中考-曹杨二中
【答案】
13 5 3 26
பைடு நூலகம்
11.定义在 0， 上的函数 f x 满足 f x 3 f x 2 ，当 x 0, 2 时， f x x 2 2 x ，设 f x 在
1 2.计算： 3 3 【答案】 6
2 2 4 3 6 6
4 ____________ . 2
3.若数列 an 的前 n 项和 Sn n 2 ，则数列 an 的通项公式 an ____________ .
sin x 0 1 6.三阶行列式 6 cos x 2 sin x x R 中元素 4 的代数余子式的值记为 f x ，则 f _________ . 3 5 4 0
海
辅
导
圈
【答案】 2n 1
9.在数列 an 中，若对一切 n N * 都有 an 3an 1 ，且 lim a2 a4 a6 a2 n
n
9 ， 2
则 a1 的值为 ____________ . 【答案】 12 10.已知 f x
有解，求整数 m 的最小值； （3）在数列
1 n 1 1 中，是否一定存在首项、第 r 项、第 s 项 1 r s ，使得这三项依次成等差 an
数列？若存在，请指出 r、s 所满足的条件；若不存在，请说明理由。 【答案】 （1）由 an an an 1 2an 1 ，得
a b 2anbn 5 , an 1 n n , bn 1 ,n N . 2 2 an bn
上海市曹杨二中2017-2018学年高三下开学考数学试题(无答案)word
2018届曹杨二中高三下学期开学考数学试卷2018.2.22一、填空题（54分）1、已知集合},2|{R x y y A x∈==，},|{2R x x y y B ∈-==，则B A =_______2、已知向量)0,1(-=a，)3,4(=b，则a在b方向上的投影是_________3、若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛211321，则该线性方程组的解为_______ 4、一组数据12,11,,9,8x 平均数是10，则这组数据的方差是_______5、若复数231i +-=ω（i 为虚数单位），则12++ωω=______ 6、已知函数⎩⎨⎧∈∈=]3,1(,2]1,0[,2)(x x x x f x，则)(1x f -的最大值是_____ 7、若圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则圆锥的母线与底面所成角的大小为_____ 8、已知点P 在抛物线x y 42=上，如果点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值，那么点P 的坐标是_______9、用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位偶数的概率是______ 10、函数x y a log =在),2[+∞上恒有1||>y ，则实数a 的取值范围是_________ 11、如图在杨辉三角中从上往下数共有n 行，在这些数中非1的数字之和为_____14641133112111112、定义函数}}{{)(x x x f =，其中}{x 表示不小于x 的最小整数，如2}4.1{=，2}3.2{-=-，当()*∈∈Nn n x ],0(时，函数)(x f 的值域为nA，记集合n A 中元素的个数为n a ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n a a a 111lim 21=_______ 二、选择题（20分）13、已知直线R y x l ∈=-+θθθ,01sin cos :与圆)0(:222>=+r r y x C ，则1=r 是直线与圆相切的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既非充分又非必要条件 14、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 、37 B 、29 C 、27 D 、49 15、有4张软盘与5张光盘的价格之和不小于20元，6张软盘与3张光盘的价格之和不大于24元，则买3张软盘与9张光盘至少需要（ ） A 、15元 B 、22元 C 、36元 D 、72元16、设函数的定义域是)1,0(，且满足：（1）对于任意的)1,0(∈x ，0)(>x f ；（2）对于任意的)1,0(,21∈x x ，恒有2)1()1()()(2121≤--+x f x f x f x f 。
曹杨二中2016-2017学年高二上学期期中考试数学试卷(解析版)
2016-2017学年上海市普陀区曹杨二中高二（上）期中数学试卷一.填空题1．三个平面最多把空间分割成个部分．2．两条异面直线所成的角的取值范围是．3．给出以下命题“已知点A、B都在直线l上，若A、B都在平面α上，则直线l在平面α上”，试用符号语言表述这个命题．4．设E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的形状一定是．5．设点A∈平面α，点B∈平面β，α∩β=l，且点A∉直线l，点B∉直线l，则直线l与过A、B两点的直线的位置关系．6．数列{a n}中，设S n是它的前n项和，若log2（S n+1）=n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．7．a，b是不等的两正数，若=2，则b的取值范围是．8．计算81+891+8991+89991+…+81=．9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则点C1到直线BD的距离为．10．我们把b除a的余数r记为r=abmodb，例如4=9bmod5，如图所示，若输入a=209，b=77，则循环体“r←abmodb”被执行了次．11．设S n是数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=．12．若三个数a，1，c成等差数列（其中a≠c），且a2，1，c2成等比数列，则的值为．13．在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有．14．在n行n列矩阵中，若记位于第i行第j列的数为a ij（i，j=1，2，…，n），则当n=9时，表中所有满足2i＜j的a ij的和为．二.选择题15．如图给出的是计算的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜2016．下列命题中，正确的共有（）①因为直线是无限的，所以平面内的一条直线就可以延伸到平面外去；②两个平面有时只相交于一个公共点；③分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上；④一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内．A．0个B．1个C．2个D．3个17．从k2+1（k∈N）开始，连续2k+1个自然数的和等于（）A．（k+1）3B．（k+1）3+k3C．（k﹣1）3+k3D．（2k+1）（k+1）318．已知方程组的解中，y=﹣1，则k的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1三.解答题19．解关于x、y的方程组，并对解的情况进行讨论．20．如图，A是△BCD所在平面外一点，M、N为△ABC和△ACD重心，BD=6；（1）求MN的长；（2）若A、C的位置发生变化，MN的位置和长度会改变吗？21．已知长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=2；（1）求出异面直线AC'和BD所成角的余弦值；（2）找出AC'与平面D'DBB'的交点，并说明理由．22．已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=（a n﹣1）（a为常数，且a≠0，a≠1）；（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=+1，若数列{b n}为等比数列，求a的值；（3）若数列{b n}是（2）中的等比数列，数列c n=（n﹣1）b n，求数列{c n}的前n项和T n．23．设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*），证明：{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立．2016-2017学年上海市普陀区曹杨二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（2015春•鹤岗校级期末）三个平面最多把空间分割成8个部分．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离．【分析】分别讨论三个平面的位置关系，根据它们位置关系的不同，确定平面把空间分成的部分数目．【解答】解：三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，三个平面有两个平行，第三个与他们相交时，可以把空间分成6部分，三个平面交于同一直线时，可以把空间分成6部分，三个平面两两相交，交线相互平行时，可以把空间分成7部分，当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成8部分．所以空间中的三个平面最多能把空间分成8部分．故答案为：8．【点评】本题考查平面的基本性质及推论，要讨论三个平面不同的位置关系．2．（2009秋•三明期中）两条异面直线所成的角的取值范围是（0°，90°] ．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】阅读型．【分析】由异面直线所成角的定义求解．【解答】解：由异面直线所成角的定义可知：过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的角故两条异面直线所成的角的取值范围是（0°，90°]故答案为：（0°，90°]【点评】本题主要考查异面直线所成的角，同时，还考查了转化思想，属基础题．3．（2016秋•普陀区校级期中）给出以下命题“已知点A、B都在直线l上，若A、B都在平面α上，则直线l在平面α上”，试用符号语言表述这个命题已知A∈l，B∈l，若A∈α，B∈α，则l⊆α．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】阅读型；定义法；空间位置关系与距离．【分析】根据几何符号语言的应用，对题目中的语句进行表示即可．【解答】解：用符号语言表述这个命题为：已知A∈l，B∈l，若A∈α，B∈α，则l⊆α．故答案为：已知A∈l，B∈l，若A∈α，B∈α，则l⊆α．【点评】本题考查了空间几何符号语言的应用问题，是基础题目．4．（2016秋•普陀区校级期中）设E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA 的中点，则四边形EFGH的形状一定是平行四边形．【考点】棱锥的结构特征．【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离．【分析】证明FG∥EH，且FG=EH即可得出结论．【解答】解：如图，连接BD．因为FG是△CBD的中位线，所以FG∥BD，FG=BD．又因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，EH=BD．根据公理4，FG∥EH，且FG=EH．所以四边形EFGH是平行四边形．故答案为平行四边形【点评】主要考查知识点：简单几何体和公理四，证明平行四边形常用方法：对边平行且相等；或对边分别平行；或对角线相交且平分．要注意：对边相等的四边形不一定是平行四边形．5．（2016秋•普陀区校级期中）设点A∈平面α，点B∈平面β，α∩β=l，且点A∉直线l，点B∉直线l，则直线l与过A、B两点的直线的位置关系异面．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；反证法；空间位置关系与距离．【分析】假设l与AB不是异面直线，那么它们在同一个平面上，记这个平面为γ，由此能推导出A 在α与β的交线l上，与已知点A∉直线l，点B∉直线l相互矛盾．从而得到l与AB是异面直线．【解答】解：假设l与AB不是异面直线，那么它们在同一个平面上，记这个平面为γ．∵A和l都在平面γ上，∴由它们决定的平面α在平面γ上，∴平面γ=平面α．同理γ=平面β．∴α=β，∵A∈α，∴A∈β，所以A在α与β的交线l上，与已知点A∉直线l，点B∉直线l相互矛盾．∴假设不成立，∴l与AB是异面直线．故答案为：异面．【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（2016秋•普陀区校级期中）数列{a n}中，设S n是它的前n项和，若log2（S n+1）=n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．【考点】数列递推式．【专题】综合题；函数思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】由已知数列递推式求得S n，再由a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求得数列{a n}的通项公式．【解答】解：由log2（S n+1）=n+1，得S n+1=2n+1，∴，当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，，当n=1时，上式不成立，∴．故答案为：．【点评】本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，是中档题．7．（2016秋•普陀区校级期中）a，b是不等的两正数，若=2，则b的取值范围是（0，2）．【考点】极限及其运算．【专题】计算题；分类讨论；极限思想．==a，进而求出b的范围．【分析】当a＞b时，【解答】解：a，b是不等的两正数，且=2，须对a，b作如下讨论：=0，则==a，①当a＞b时，所以，a=2，因此，b∈（0，2），②当a＜b时，则=﹣b=2，而b＞0，故不合题意，舍去．综合以上讨论得，b∈（0，2），故答案为：（0，2）．【点评】本题主要考查了极限及其运算，以及应用常用极限|q|＜1，q n=0解题，属于基础题．8．（2016秋•普陀区校级期中）计算81+891+8991+89991+…+81=10n+1﹣9n﹣10．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】原式=8×（10+102+…+10n）+（1+1+…+1）+（90+990+…+×10），利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：原式=8×（10+102+…+10n）+（1+1+…+1）+（90+990+…+×10）=8×+n+（102﹣10）+（103﹣10）+…+（10n﹣10）=+n+﹣10（n﹣1）=10n+1﹣9n﹣10．故答案为：10n+1﹣9n﹣10．【点评】本题考查了分组求和、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（2016秋•普陀区校级期中）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则点C1到直线BD的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】如图所示，连接AC，BD，DC1，BC1．设AC∩BD=O，连接OC1．利用等腰三角形的性质可得：OC1⊥BD，因此OC1是点C1到直线BD的距离．【解答】解：如图所示，连接AC，BD，DC1，BC1．设AC∩BD=O，连接OC1．∵DC1=BC1，OB=OD．∴OC1⊥BD，∴OC1是点C1到直线BD的距离．OC1==．故答案为：．【点评】本题考查了正方体的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．（2016秋•普陀区校级期中）我们把b 除a 的余数r 记为r=abmodb ，例如4=9bmod5，如图所示，若输入a=209，b=77，则循环体“r ←abmodb ”被执行了 4 次．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a ，b ，r 的值，当r=0时满足条件，退出循环，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得 a=209，b=77， r=55不满足条件r=0，执行循环体，a=77，b=55，r=22 不满足条件r=0，执行循环体，a=55，b=22，r=11 不满足条件r=0，执行循环体，a=22，b=11，r=0 此时，满足条件r=0，退出循环，输出a 的值为22． 由此可得循环体“r ←abmodb ”被执行了4次． 故答案为：4．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的a ，b ，r 的值是解题的关键，属于基础题．11．（2016秋•徐汇区校级期中）设S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1=﹣1，a n +1=S n S n +1，则S n = ﹣ ． 【考点】数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】a n +1=S n S n +1，可得S n +1﹣S n =S n S n +1， =﹣1，再利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a n +1=S n S n +1，∴S n +1﹣S n =S n S n +1， ∴=﹣1，∴数列是等差数列，首项为﹣1，公差为﹣1．∴=﹣1﹣（n ﹣1）=﹣n ，解得S n =﹣． 故答案为：．【点评】本题考查数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．（2014•宝山区二模）若三个数a ，1，c 成等差数列（其中a ≠c ），且a 2，1，c 2成等比数列，则的值为 0 ．【考点】极限及其运算；等差数列的性质；等比数列的性质． 【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由等差中项的概念和等比中项的概念列式求得a ，c 的值，然后代入数列极限求得答案． 【解答】解：∵a ，1，c 成等差数列， ∴a +c=2 ①又a 2，1，c 2成等比数列， ∴a 2c 2=1 ② 联立①②得： 或或，∵a ≠c ， ∴或，则a +c=2，．∴=．故答案为：0．【点评】本题考查等差数列和等比数列的性质，考查了方程组的解法，训练了数列极限的求法，是基础的计算题．13．（2016秋•普陀区校级期中）在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有①③．【考点】类比推理．【专题】综合题；转化思想；演绎法．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行，正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交，不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行，正确；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行或相交，不正确．故答案为①③．【点评】本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．14．（2016秋•普陀区校级期中）在n行n列矩阵中，若记位于第i行第j列的数为a ij（i，j=1，2，…，n），则当n=9时，表中所有满足2i＜j的a ij的和为88．【考点】三阶矩阵．【专题】选作题；转化思想；演绎法；矩阵和变换．【分析】根据题意n=9时，求得所有满足2i＜j的a ij，相加即可求得答案．【解答】解：由题意可知：当i=1时，由2i＜j，∴j取3，4，5，6，7，8，9当i=2时，j取5，6，7，8，9当i=3时，j取7，8，9当i=4时，j取9∴表中所有满足2i＜j的a ij和为：a13+a14+a15+a16+a17+a18+a19+a25+a26+a27+a28+a29+a37+a38+a39+a49=3+4+5+6+7+8+9+6+7+8+9+1+9+1+2+3=88，故答案为：88【点评】本题考查高阶矩阵，考查学生的理解问题，分析解决问题的能力，考查a ij中i和j的字母含义，属于中档题．二.选择题15．（2013•沈河区模拟）如图给出的是计算的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20【考点】程序框图．【专题】阅读型；图表型．【分析】框图给出的是计算的值的一个程序框图，首先赋值i=1，执行s=0+时同时执行了i=i+1，和式共有10项作和，所以执行完s=后的i值为11，再判断时i=11应满足条件，由此可以得到正确答案．【解答】解：框图首先给变量s，n，i赋值s=0，n=2，i=1．判断，条件不满足，执行s=0+，n=2+2=4，i=1+1=2；判断，条件不满足，执行s=+，n=4+2=6，i=2+1=3；判断，条件不满足，执行s=++，n=6+2=8，i=3+1=4；…由此看出，当执行s=时，执行n=20+2=22，i=10+1=11．此时判断框中的条件应满足，所以判断框中的条件应是i＞10．故选C．【点评】本题考查了程序框图中的直到型循环，虽然是先进行了一次判断，但在不满足条件时执行循环，直到满足条件算法结束，此题是基础题．16．（2016秋•普陀区校级期中）下列命题中，正确的共有（）①因为直线是无限的，所以平面内的一条直线就可以延伸到平面外去；②两个平面有时只相交于一个公共点；③分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上；④一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内．A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】平面的基本性质及推论．【专题】探究型；空间位置关系与距离．【分析】根据平面的基本性质及其推论逐一判断即可得解．【解答】解：对于①，因为平面也是可以无限延伸的，故错误；对于②，两个平面只要有一个公共点，就有一条通过该点的公共直线，故错误；对于③，交点分别含于两条直线，也分别含于两个平面，必然在交线上，故正确；对于④，一条直线与三角形的两边都相交，则两交点在三角形所在的平面内，则这条直线必在三角形所在的平面内，故正确．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断，考查平面的基本性质及其推论的应用，属于基础题．17．（2016秋•普陀区校级期中）从k2+1（k∈N）开始，连续2k+1个自然数的和等于（）A．（k+1）3B．（k+1）3+k3C．（k﹣1）3+k3D．（2k+1）（k+1）3【考点】数学归纳法．【专题】转化思想；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】从k2+1（k∈N）开始，连续2k+1个自然数的和=k2+1+k2+2+…+（k2+2k+1），再利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：从k2+1（k∈N）开始，连续2k+1个自然数的和=k2+1+k2+2+…+（k2+2k+1）=（2k+1）•k2+=2k3+3k2+3k+1=（k+1）2+k3．故选：B．【点评】本题考查了数学归纳法、等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（2016秋•普陀区校级期中）已知方程组的解中，y=﹣1，则k的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【考点】简单线性规划．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由已知方程组得到x，z，k的方程组，解之即可．【解答】解：由已知得到，解得；故选B．【点评】本题考查了三元一次方程组的解法；只要利用加减消元即可得到所求．三.解答题19．（2016秋•普陀区校级期中）解关于x、y的方程组，并对解的情况进行讨论．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】将原方程组写成矩阵形式为Ax=b，其中A为2×2方阵，x为2个变量构成列向量，b为2个常数项构成列向量．而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解．【解答】解：系数矩阵D非奇异时，或者说行列式D=4﹣2m2﹣2m≠0，即m≠1且m≠﹣2时，方程组有唯一的解，x==，y==．系数矩阵D奇异时，或者说行列式D=4﹣2m2﹣2m=0，即m=1或m=﹣2时，方程组有无数个解或无解．当m=﹣2时，原方程为无解，当m=1时，原方程组为，无解．【点评】本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立．20．（2016秋•普陀区校级期中）如图，A是△BCD所在平面外一点，M、N为△ABC和△ACD重心，BD=6；（1）求MN的长；（2）若A、C的位置发生变化，MN的位置和长度会改变吗？【考点】棱锥的结构特征．【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离．【分析】（1）利用三角形的重心的性质，可得M、N分别是△ABC与△ACD的中线的一个三等分点，得=，由此利用平行线的性质与三角形中位线定理，算出MN与BD的关系，即可得到MN的长．（2）由（1）可得位置改变，长度不改变．【解答】解：（1）延长AM、AN，分别交BC、CD于点E、F，连结EF．∵M、N分别是△ABC和△ACD的重心，∴AE、AF分别为△ABC和△ACD的中线，且=，可得MN∥EF且MN=EF，∵EF为△BCD的中位线，可得EF=BD，∴MN=BD=2；（2）由（1）可得位置改变，长度不改变．【点评】本题着重考查了三角形的重心性质、平行线的性质和三角形的中位线定理等知识，属于中档题．21．（2016秋•普陀区校级期中）已知长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=2；（1）求出异面直线AC'和BD所成角的余弦值；（2）找出AC'与平面D'DBB'的交点，并说明理由．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；异面直线及其所成的角．【专题】计算题；作图题；转化思想；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出两条线段的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案．（2）连接BD'，DB'交于点O，则点O即为AC'与平面D'DBB'的交点，根据长方体的性质，可得结论．【解答】解：（1）建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=4，AD=3，AA'=2；∴C'（4，3，2），B（4，0，0），D（0，3，0）则：=（4，3，2），=（﹣4，3，0）异面直线AC'和BD所成角的余弦值为：==；（2）连接BD'，DB'交于点O，则点O即为AC'与平面D'DBB'的交点，根据长方体的几何特征可得：O为长方体ABCD﹣A'B'C'D'外接球的球心，AC'为长方体ABCD﹣A'B'C'D'外接球的直径，故O为AC'中点，又由BD'，DB'交于点O，故O在平面D'DBB'上，故O即为AC'与平面D'DBB'的交点．【点评】本题考查的知识点是空间直线与直线，直线与平面的位置关系，异面直线的夹角，难度中档．22．（2016秋•普陀区校级期中）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=（a n﹣1）（a为常数，且a≠0，a≠1）；（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=+1，若数列{b n}为等比数列，求a的值；（3）若数列{b n}是（2）中的等比数列，数列c n=（n﹣1）b n，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】方程思想；作差法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）由公式求得通项公式；（2）简化数列{b n}，再由等比数列的通项公式的结构特征，得出=0，解得参数a；（3）由（2）求出数列{c n}的通项，根据通项结构特征，采用错位相减法求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（1）当n=1时，，∴a1=a，，当n≥2时，S n=（a n﹣1）且，两式做差化简得：a n=a•a n﹣1即：，∴数列{a n}是以a为首项，a为公比的等比数列，∴．（2）b n=+1=，若数列{b n}为等比数列，则=0，即．（3）由（2）知，∴∴T n=0×3+1×32+2×33+…+（n﹣1）3n…①3T n=0×32+1×33+2×34+…+（n﹣2）×3n+（n﹣1）×3n+1…②①﹣②得：﹣2T n=32+33+34+…+3n﹣（n﹣1）×3n+1=∴．【点评】本题主要考查求数列通项公式，已知等比数列求参数，求数列前n项和，利用错位相减求前前n项和是关键．23．（2014•江苏）设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*），证明：{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立．【考点】数列的应用；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到a n，再利用“H”数列的意义即可得出．（2）利用等差数列的前n项和即可得出S n，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{a n}的公差为d，构造数列：b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，c n=（n﹣1）（a1+d），可证明{b n}和{c n}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出．【解答】解：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2．当n=1时，S1=a1．当n≥2时，S n=a n+1．∴数列{a n}是“H”数列．（2）S n==，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，即，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1．（3）设{a n}的公差为d，令b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，对∀n∈N*，b n+1﹣b n=﹣a1，c n=（n﹣1）（a1+d），对∀n∈N*，c n+1﹣c n=a1+d，则b n+c n=a1+（n﹣1）d=a n，且数列{b n}和{c n}是等差数列．数列{b n}的前n项和T n=，令T n=（2﹣m）a1，则．当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使T n=b m成立，即{b n}为H数列．数列{c n}的前n项和R n=，令c m=（m﹣1）（a1+d）=R n，则m=．∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使R n=c m成立，即{c n}为H数列．因此命题得证．【点评】本题考查了利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，当n=1时，a1=S1”求a n、等差数列的前n项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题．。
2017-2018学年上海市曹杨二中高三10月月考数学试卷
2017-2018学年上海市曹杨二中高三10月月考数学试卷2017.10一. 填空题1. 已知集合2{|230}A x x x =--≤，{||2|2}B x x =-<，则A B = 2. 已知1sin()23πα+=，则cos()πα-=3. 若(12)n x +（*n N ∈）展开式中各项系数和为243，则n =4. 满足方程2lg lg 1121x x -=的实数解x =5. 若x R ∈，则不等式||(1)0x x +>的解集是6. 函数12()12xx f x -=+的值域是 7. 若线性方程组(3)305(3)30a x y x a y ++-=⎧⎨-+-+=⎩有解，则实数a 的取值范围是8. 若函数2()21f x ax x =-+在[0,1]x ∈上存在唯一零点，则实数a 的取值范围是 9. 已知一个球的球心O 到过球面上A 、B 、C 三点的截面的距离等于此球半径的一半，若 3AB BC CA ===，则球的体积为10. 从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则关于x 的方程2220x ax b ++=有两个虚根的概率是11. 已知121122sin 2sin αα+=++，其中12,R αα∈，则12|10|παα--的最小值为12. 已知数列{}n a 的通项公式为52n n a -=，数列{}n b 的通项公式为n b n k =+，设n n n n n n n b a b c a a b ≤⎧=⎨>⎩，若在数列{}n c 中，5n c c ≤对任意*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围 是二. 选择题13. 已知a 、b 为实数，则22a b >是22log log a b >的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14. 数列{}n a 的通项22(cos sin )33n n n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，则10S 为（）A. 0B. 1- C. 12 D. 12-15. 已知集合{(,)|log log 0}a a A x y x y =+>，{(,)|}B x y y x a =+<，若A B =∅ ，则a 的取值范围是（）A. ∅B. 0a >且1a ≠C. 02a <≤且1a ≠D. 12a <≤16. 已知函数()1||x f x x =+（x R ∈）时，则下列结论：①()f x 是R 上的偶函数；②()f x 是R 上的增函数；③不等式|()|1f x <在R 上恒成立；④函数()()g x f x x =-在R 上有三个零点；其中错误的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4三. 解答题17. 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，且满足2c o s 3(c o s c o s )b Ac A a C =+； （1）求A 的大小；（2）若2a =，c =b c >，求ABC ∆的面积；18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，90BAD ∠=︒，PA 垂直于底面ABCD ，22PA AD AB BC ====，M 、N 分别为PC 、PB 的中点；（1）求证：M 、N 、A 、D 四点共面，并证明PB M D ⊥；（2）求直线PC 与平面MNAD 所成角的大小（用反三角函数值表示）；19. 已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点； （1）若0OA OB ⋅=，求实数k 的值；（2）是否存在实数k ，使得A 、B 两点关于12y x =对称？若存在，求k 的值，若不存在， 说明理由；20. 已知点列11(1,)B y 、22(2,)B y 、⋅⋅⋅、(1,)n n B y 、⋅⋅⋅（*n N ∈）为函数x y a =（1a >）图像上的点，点列11(,0)A x 、22(,0)A x 、⋅⋅⋅、(,0)n n A x 、⋅⋅⋅（*n N ∈）顺次为x 轴上的点，其中1x m =（01m <<），对任意*n N ∈，点n A 、n B 、1n A +构成以n B 为顶点的等腰三角形；（1）证明：数列{}n y 是等比数列； （2）若数列{}n y 中任意连续三项能构成等边三角形的三边，求a 的取值范围；（3）求证：对任意*n N ∈，2n n x x +-是常数，并求数列{}n x 的通项公式；21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的1x 、2x R ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤；（1）若3()1f x ax =+，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）若(0)0f =，()(1)1f x f x +-=，1()()52x f f x =， ①记1()5n n a f =（*n N ∈），求数列{}n a 的通项公式；②求1()2017f 的值；参考答案一. 填空题1. (0,3]2. 13-3. 54. 105. (1,0)(0,)-+∞6. (1,1)-7. 2a ≠-，a R ∈8. (,1]-∞9. 323π10. 15 11. 4π12. [5,3]--二. 选择题13. B 14. D 15. D 16. B三. 解答题17.（1）6A π=；（2）18.（1）证明略；（2）arctan19.（1）1k =±；（2）不存在；20.（1）证明略；（2）112a +<<； （3）22n n x x +-=，当n 为偶数时，n x n m =-，当n 为奇数时，1n x n m =+-；21.（1）0a ≥；（2）证明略；（3）①1()2nn a =；②11()201732f =；。
上海市曹杨第二中学2017-2018学年高二下期中考试数学试题(无答案)
曹杨二中2017-2018学年第二学期高二年级期中考试数学试卷一、填空题(1至6题毎题4分,7至1题每题5分,共54分)1.直线1+=x y 的倾斜角大小为_________.2.过()()42，、，m Q m P -两点的直线斜率为1,那么m 的值为________.3.若椭圆1422=+my x 的焦距为2,则=m ______. 4.过点()，，124P ,且平行于直线013:0=+-y x l 的直线的一般方程为__________. 5.两条直线023:1=++y x l 和032:2=--y x l 的夹角大小为__________.6.已知双曲线，12222=-y a x 其右焦点与抛物线x y 342=的焦点重合,则该双曲线方程为____________.7.若()022222=++++a ax y a x a 表示圆,则实数a 的值为_______. 8.设椭圆13422=+y x 的左、右焦点分别为，、21F F 过焦点1F 的直线交椭圆于M 、N 两点,若 2MNF △的内切圆的面积为π,则=2MNF S △________.9.若直线b x y +=和曲线21x y -=有两个交点,则实数b 的取值范围为_______.10.已知F 是抛物线C:x y 82=的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交y 轴于点N,若M 为FN 的中点,则=FN ______. 11.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线()0012222＞，＞b a by a x =-的右支与焦点为F 的抛物 线()022＞p py x =交于A 、B 两点,若，OF BF AF 4=+则该双曲线的渐近线方程为__.12.已知椭圆()101222＜＜b b y x =+的左、右焦点分别为，、21F F 记，c F F 221=若此椭圆上存在点P,使P 到直线cx 1=的距离是1PF 与2PF 的等差中项,则b 的最大值为________. 二、选择题(每题5分,共20分)13.双曲线122=-my x 的实轴长是虚轴长的2倍,则=m A.41 B.21 C.2 D.4 14.关于双曲线141622=-y x 和141622=-x y 焦距和渐近线,下列说法正确的是 A.焦距相等,渐近线相同 B.焦距相等,渐近线不同C.焦距不相等,渐近线相同D.焦距不相等,渐近线不相同15.过抛物线()022＞p px y =的焦点作一条直线交抛物线于()()，，、，2211y x B y x A 则2121x x y y 为 A.4 B.4- C.2p D.2p -16.已知曲线2:1=-x y C 与曲线4:222=+y x C λ怡好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是A.(][)101，， -∞-B.(]11--，C.[)11，- D.[]()∞+-，，101 三、解答题(共76分)17.已知△ABC 的三个顶点坐标分别为()()().011331，、，、，-C B A (1)求边AB 边所在直线的方程；(2)求△ABC 的面积.18.已知椭圆()11:222＞a y ax C =+焦距为.32 (1)求椭圆的标准方程；(2)求椭圆中斜率为1的平行弦的中点的轨迹方程.19.已知双曲线，134:22=-y x C 其右顶点为P. (1)求以P 为圆心,且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；(2)设直线l 过点P,其法向量()，，11-=若在双曲线C 上恰有三个点321P P P 、、到直线l 的 距离均为，d 求d 的值.20.已知抛物线px y C 2:2=过点()，，11P 过点⎪⎭⎫ ⎝⎛210，D 作直线l 与抛物线C 交于不同两点M 、N ，过M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A 、B ，其中O 为坐标原点.(1)求抛物线C 的方程；(2)写出抛物线的焦点坐标和准线方程；(3)求证:A 为线段BM 的中点.21.已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x C =+长轴的两顶点为A 、B ，左、右焦点分别为，、21F F 焦 距为c 2且，c a 2=过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的弦长为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)在双曲线13422=-Γy x ：上取点Q 异于顶点)，直线OQ 与椭圆C 交于点P ，若直线AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别为，、、、4321k k k k 试证明:4321k k k k +++为定值；(3)在椭圆C 外的抛物线x y K 4:2 上取一点E ，若21EF EF 、的斜率分别为，、21k k 求211k k 的取值范围.。
上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含简单答案)
上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 已知数列为正项等比数列，，，则______．2. 曲线在点处的切线斜率为_____________.3. 在二项式的展开式中，的系数为______．（用数字作答）4. 若随机变量X 服从标准正态分布，则______．5. 一批种子，如果每1粒种子发芽的概率均为，那么播下5粒种子，发芽种子数量的方差是______．6. 将序号分别为4张参观券全部分给3人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是______．7. 某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x （单位：万千米）对应维修保养费用y （单位：万元）的四组数据，这四组数据如下表：行驶里程万千米/万千米1245维修保养费用万元/万元0.500.902.302.70若用最小二乘法求得回归直线方程为，则估计该款汽车行驶里程为10万千米时的维修保养费是______．8. 已知数列满足：（为正整数），则______．9. 已知袋中有（为正整数）个大小相同的编号球，其中黄球8个，红球个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为，则的最大值为__________.10. 采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R ，若要使爆破体积最大，则炸药包埋的深度为___________的{}n a 31a =79a =5a=e xy =()1,e (51x ()0,1N ()0P X <=351,2,3,4x y 0.5ˆ8ˆy x a =+{}n a 321423nn a a a a n +++⋅⋅⋅+=n n a =8n +n n n P n P11. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为___________.12. 在n 维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n 维坐标，其中．定义：在n 维空间中两点与的曼哈顿距离为在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X 为所取两点间的曼哈顿距离，则______．二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，13，14每题4分，15，16每题5分13. 调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重相关系数，则下列说法正确的是（ ）A. 学生身高和体重没有相关性B. 学生身高和体重呈正相关C. 学生身高和体重呈负相关D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是14. 已知函数与它的导函数的定义域均为，则“在上严格增”是“在上严格增”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件()2,n n N ≥∈()12,,,n a a a ⋅⋅⋅{}()0,11,i a i n i ∈≤≤∈N ()12,,,n a a a ⋅⋅⋅()12,,,n b b b ⋅⋅⋅1122n na b a b a b -+-+⋅⋅⋅++()E X =x y x y 0.8255r =0.8255()y f x =()y f x '=R ()y f x =R ()y f x '=R15. 设，，随机变量X 的分布列是（ ）a则方差（ ）A 既与有关，也与有关B. 与有关，但与无关C. 与有关，但与无关D. 既与无关，也与无关16. 数列的前n 项和为，若数列与函数满足：①的定义域为；②数列与函数均单调增；③存在正整数，使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列两个命题：（ ）①与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个；②与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个.A. ①②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①是假命题，②是真命题D. ①②都是假命题三、解答题（本大题满分78分）17. 袋中装有大小和质地相同的5个球，其中2个黑球，3个白球．从中随机地摸出3个球，用X 表示摸出的黑球个数．（1）采用不放回摸球，求X 的分布；（2）采用有放回摸球，求X 的分布、期望．18. 设，已知函数．（1）若函数曲线在点处的切线斜率为－1，求实数a 的值及函数的单调区间；（2）若函数在区间上严格增，求实数a 的取值范围．19. 某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人）男生女生合计.的01a <<n R ∈Xn1n +P1a-()D X n a a n n a n a {}n a n S {}n a ()f x ()f x R {}n a ()f x n ()n n S f a ={}n a ()f x {}21n +{}2nR a ∈()ln a f x x x=+()y f x =()()1,1f ()y f x =()y f x =[]1,e同意7050120不同意305080合计100100200（1）能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关?（2）假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择．①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求，并判断事件，是否独立，请说明理由．②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）．参考公式和数据：，其中，．若，，，．20. 已知数列的各项均为正数，，且．（1）求证：数列等差数列；（2）若数列满足，是否存在正整数m ；使得成立，并说明理由．（3）设，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值．21. 已知，设函数的表达式为（其中）（1）设，，求曲线在点处的切线方程；是95%A B ()|P B A A B ()185,169X N ～()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++()2 3.8410.05P χ≥≈()2,X N μσ～()0.6827P X μσ-<≈()20.9545P X μσ-<≈()30,9973P X μσ-<≈{}n a 113a =()11221n n n a a n a --=≥+1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n b 1213n n nb a -⎛⎫=⨯⎪⎝⎭4m b ≥1n n na c a +={}n d {}n c {}n d {}n t 20241ii t=∑,R a b ∈()y f x =()2ln f x a x b x =⋅-⋅0x >1a =1b =()y f x =()()1,1f（2）设，，集合，记，若在D 上有两个不同的极值点，求b 的取值范围；（3）当，，时，记，其中n 为正整数．求证：．2a =-R b ∈(]0,1D =()()3g x f x x =+()y g x =0a =0b <1x >()()()1nn nh x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤⎣⎦()()122nnn h x h x ⎡⎤+≥+⎣⎦上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学 简要答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）【1题答案】【答案】3【2题答案】【答案】【3题答案】【答案】10【4题答案】【答案】##【5题答案】【答案】【6题答案】【答案】【7题答案】【答案】5.66【8题答案】【答案】【9题答案】【答案】【10题答案】【11题答案】【答案】【12题答案】e 120.5651814,134,2n n n n -=⎧⎨⋅≥⎩815R 1148【答案】二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，13，14每题4分，15，16每题5分【13题答案】【答案】B 【14题答案】【答案】D 【15题答案】【答案】B 【16题答案】【答案】C三、解答题（本大题满分78分）【17题答案】【答案】（1）分布列略 （2）分布列略；【18题答案】【答案】（1）；减区间是，增区间是 （2）【19题答案】【答案】（1）有关 （2）①，不独立，理由略；②977【20题答案】【答案】（1）证明略 （2）不存，理由略 （3）4139166【21题答案】【答案】（1） （2） （3）证明略在8031() 1.2E X =2a =()0,2()2,∞+(],1-∞()2|3P B A =y x =90,16⎛⎫⎪⎝⎭。
新高二-(曹杨二中)2021年重点高中摸底考数学仿真模拟卷(上海专用)(解析版)
（曹杨二中）2021年重点高中摸底考数学仿真模拟卷（上海专用）考试范围：入学摸底；考试时间：120分钟注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题(共58分)1．(本题4分)已知角0,x213x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则角x 为________．【答案】4π或34π【分析】根据正切函数值求解． 【详解】213x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，tan 233x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，236x k πππ-=+，42k x ππ=+，k Z ∈，又因为0,x，所以4x π=，34π． 故答案为：4π或34π．2．(本题4分)ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若sin 2A =，2226b c a +=+，则ABC 的面积为______．【答案】2【分析】 先求出1cos 2A =±，再根据2226b c a +=+求出6bc =，即得解. 【详解】因为sin 2A =，所以1cos 2A =±.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2由题得22212cos 6,cos 0,2662b c a bc A A bc bc -+==∴>⨯=∴=，. 所以ABC 的面积为113633222⨯=. 33【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3．(本题5分)已知向量()23,6a k =-，()2,1b =，且a b ⊥，则实数k =______． 【答案】0 【分析】利用向量垂直的性质直接求解． 【详解】 解：向量()23,6a k =-，()2,1b =，且a b ⊥，∴()223160a b k =⨯-+⨯=，解得0k =． 故答案为：0． 【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．4．(本题5分)已知公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且32231,,S S a a 成等差数列，则10S =_____. 【答案】55d 【分析】由等差中项的性质有322321S S a a =+，可得1a d =，进而根据等差数列前n 项和公式写出10S .【详解】 由题意知：322321S S a a =+，即123122322()a a a a a a a +++=，结合等差数列通项公式， 整理得：21a d d =，又0d ≠，有1a d =，∴1101010()552a a S d +==，故答案为：55d5．(本题5分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝na n ﹣3n （n ﹣1）（n ∈N *），且a 2＝11，则S 20的值为_____． 【答案】1240 【分析】先求得a 1＝5，转化条件得131n n S S n n --=-，可得n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项151S =，公差为3的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得解. 【详解】由S 2＝a 1+a 2＝2a 2﹣3×2（2﹣1），a 2＝11，可得a 1＝5．当n ≥2时，由S n ＝na n ﹣3n （n ﹣1）＝n （S n ﹣S n ﹣1）﹣3n （n ﹣1）， 可得（n ﹣1）S n ﹣nS n ﹣1＝3n （n ﹣1）， ∴131n n S S n n --=-，∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项151S =，公差为3的等差数列， ∴2020S =5+3×19＝62， ∴S 20＝1240. 故答案为：1240. 【点睛】本题考查了数列11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩公式的应用和等差数列通项公式的应用，属于中档题.6．(本题5分)22sin sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．【答案】1 【分析】原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4观察已知的角有“362x x πππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的关系，根据诱导公式转化，再利用同角三角函数关系：22sin cos 1αα+=得解. 【详解】222222sin sin sin sin sin cos 13632333x x x x x x πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=-+--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故：填1 ． 【点睛】本题关键在于能不能发现“362x x πππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”，再利用诱导公式进行转换求值，属于基础题.7．(本题5分)若等比数列{a n }中，a 1=1，a n =－512，前n 项和为S n =－341，则n 的值是________. 【答案】10 【解析】很明显数列的公比1q ≠，则：S n =11n a a q q--，∴－341=15121qq +-，∴q =－2，又∴a n =a 1q n －1，∴－512=(－2)n －1，∴n =10.8．(本题5分)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是__________. 【答案】()2,6- 【分析】画出图形，结合图形，利用平面向量的数量积的几何意义判断求解即可． 【详解】 画出图形如图，||||cos ,AP AB AP AB AP AB =<>，它的几何意义是AB 的长度与AP 在AB 向量的投影的乘积，由图可知，P 在C 处时，取得最大值，1||cos ||||32AC CAB AB AB ∠=+=，此时，可得||||cos ,236AP AB AP AB AP AB =<>=⨯=，即最大值为6，在F 处取得最小值，此时1·cos ,2222AP AB AP AB AP AB ⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 最小值为2-，因为P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，取不到临界值， 所以·AP AB 的取值范围是()2,6-． 故答案为：()2,6-．【点睛】本题考查向量的数量积的几何意义及其应用，考查了向量在几何中的应用，同时考查了数形结合思想的应用，是中档题．9．(本题5分)()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图像关于点2,03M π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω的值为______【答案】34【分析】由()sin()f x x ωϕ=+是R 上的偶函数，可得2ϕπ=，即()cos f x x ω=，由函数图像关于点2,03M π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，可得3324k ω=+，k Z ∈，再结合函数的单调性可得02ω<≤，综合条件即可得解. 【详解】解：由()sin()f x x ωφ=+是R 上的偶函数，则,2k k Z πϕπ=+∈，又0φπ≤≤，则2ϕπ=，即()cos f x x ω=， 令2x k πωπ=+，则23x π=为此方程的解，则3324k ω=+，k Z ∈，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6由()cos f x x ω=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则2πωπ⨯≤，即02ω<≤，则34ω=， 故答案为34. 【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性、对称性及单调性，重点考查了三角函数性质的应用，属中档题.10．(本题5分)在数列{}n a 中，14a =，132n n a a +=-，若对于任意的*n ∈N ，()125n k a n -≥-恒成立，则实数k 的最小值为__________．【答案】127【分析】利用待定系数法得出13nn a -=，然后由参变量分离法得出253nn k -≥，并利用单调性的定义分析数列253nn -⎧⎫⎨⎬⎩⎭，求出该数列的最大项的值，从而可得出实数k 的取值范围. 【详解】由132n n a a +=-有()1131n n a a +-=-，故数列{}1n a -为首项为3，公比为3的等比数列，可得13nn a -=.不等式()125n k a n -≥-可化为253nn k -≥， 令()()*253nn f n n -=∈N ，当12n ≤≤时()0f n <；当3n ≥时，()0f n >. 故当3n ≥时，()()()1143232510333n n n n n n f n f n ++---+-=-=≤，故()()1327f n f ≤=， 127k ∴≤，因此，实数k 的最小值是127. 故答案为127. 【点睛】本题考查利用待定系数法求数列通项，同时也考查了数列不等式的解法，在解题时一般利用参变量分离法转化为数列的最值来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．(本题5分)设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 前n 项和，若10a >，且1520S S =，则当n =____时，n S 取得最大值； 【答案】17或18 【分析】根据等差数列1520S S =,可求得180a =,结合10a >可判断出等差数列为递减数列,进而可得n S 取得最大值时n 的值. 【详解】因为{}n a 为等差数列,且1520S S = 所以16171819200a a a a a ++++=根据等差中项的性质可得180a =因为10a >所以等差数列{}n a 为递减数列,180a =,从第19项开始为负数所以当17n =或18n =时, n S 取得最大值 故答案为:17或18 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的性质,等差数列单调性的综合应用,等差中项的简单应用,属于中档题.12．(本题5分)若等差数列{}n a 满足()248912224a a a a =--，则19S 的最大值为__________．【答案】【分析】设数列{}n a 的公差为d ，由等差数列通项公式及性质化简，结合所给条件等式可化简得22488a a +=，根据等差数列前n 项和公式，可表示出4a ，代入等式即可得方程22819819212410801919a S a S -+-=，由方程由解可知0∆≥，即可求得19S 的最大值.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 【详解】数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，因为9126121262a a a a a a -=+-=，所以248624a a a =-，因为6482a a a =+，所以()24861242a a a =-， 所以()2484828a a a a =+-，所以22488a a +=．因为()()11919819192422a a S a d +==+，所以19824219d S a =-，所以22819823819a S a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以22819819212410801919a S a S -+-=，因为方程有解，所以22191922144440801919S S ⎛⎫∆=--≥ ⎪⎝⎭， 所以22191920S ≤⨯，则19S 的最大值为5故答案为：5 【点睛】本题考查等差数列通项公式及前n 项和公式的综合应用，等差数列性质及一元二次方程有解的应用，化简过程较为繁琐，属于难题.二、单选题(共20分)13．(本题5分)将函数()2sin(2)6f x x π=+的图象向左平移12π个单位，得到函数()g x 的图象，所得函数()g x 的一条对称轴为（ ）A ．12x π=B ．6x π=C ．512x π=D ．56x π=【答案】A 【分析】利用图象平移变换法则将()f x 的解析式中x 换成+12x π，得到()g x 的图象，利用正弦函数对称性由232x k πππ+=+，k Z ∈求得所有对称轴方程，再比较作出判定.【详解】将函数()2sin(2)6f x x π=+的图象向左平移12π个单位，得到函数()g x 的图象，则()2sin[2()]2sin(2)1263g x x x πππ=++=+， 由232x k πππ+=+，得26x k ππ=+，即212k x ππ=+，k Z ∈， 则当0k =时，对称轴为12x π=，故选A. 【点睛】本题考查结合三角函数的图像变换求三角函数的性质，先做变换，注意“左加右减”，再将变换后的函数解析式中的x ωϕ+当成一个整体X ,根据sin X 的对称轴求出所有对称轴，再作出判定.14．(本题5分)若2(23n a n tn t =++为常数）*n N ∈，且数列{}n a 为单调递增数列，则实数t 的取值范围为（ ） A ．2t <- B ．2t >- C ．6t <- D ．6t >-【答案】D 【分析】先判断1n n a a +>在*n N ∈时恒成立，代入化简得42t n >--在在*n N ∈时恒成立，再计算()max 42n --，即得结果. 【详解】因为数列{}n a 为单调递增数列，所以1n n a a +>，在*n N ∈时恒成立.所以()()()221211323420n n n a a a n t n n tn n t +⎡⎤-==++++-++=++>⎣⎦， 即42t n >--在在*n N ∈时恒成立，而1n =时，()max 426n --=-， 所以6t >-. 故选：D.15．(本题5分)如果，是平面E 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是 ∈可以表示平面E 内的所有向量；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10∈对于平面E 内任一向量2，使的实数对有无穷多个； ∈若向量与共线，则有且只有一个实数，使得；∈若存在实数使得，则.A ．∈∈B ．∈∈C ．∈∈D ．∈【答案】B 【详解】由平面向量基本定理可知，∴∴是正确的．对于∴，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的． 对于∴，当两向量的系数均为零，即时，这样的有无数个，故选B.考点：平面向量基本定理.16．(本题5分)设a 、b R ∈，[)0,2c π∈，若对于任意实数x 都有()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数组(),,a b c 的组数为（ ）A ．2组B ．4组C ．5组D ．6组【答案】B 【分析】由题意得出3b =，2=a ，然后对a 、b 的取值进行分类讨论，结合题中等式求出c 的值，即可得出正确选项. 【详解】由题意知，函数2sin 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与函数()sin y a bx c =+的最大值相等，最小值也相等，则2=a . 函数2sin 33y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与函数()sin y a bx c =+的最小正周期相等，则3b =.当2a =，3b =时，由于()2sin 32sin 33x x c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则()23c k k Z ππ=-+∈，由于02c π≤<，此时，53c π=； 当2a =，3b =-时，()()2sin 32sin 32sin 33x x c x c ππ⎛⎫-=-+=-+ ⎪⎝⎭，则()23c k k Z πππ-=-∈，得()423c k k Z ππ=-∈，02c π≤<，此时，43c π=； 当2a =-，3b =时，()()2sin 32sin 32sin 33x x c x c ππ⎛⎫-=-+=++ ⎪⎝⎭， 则()23c k k Z πππ+=-∈，得()()213c k k Z ππ=--∈，02c π≤<，则23c π=； 当2a =-，3b =-时，()()2sin 32sin 32sin 33x x c x c π⎛⎫-=--+=- ⎪⎝⎭， 则()23c k k Z ππ-=-∈，得()23c k k Z ππ=-∈，02c π≤<，则3c π=.因此，满足条件的有序实数组(),,a b c 的组数为4组. 故选B. 【点睛】本题考查利用三角函数解析式相等，求参数的值，解题时要从三角函数的基本性质和诱导公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题(共72分)17．(本题16分)我们知道如果点(),P x y 是角α终边OP 上任意一点（0OP r =>），则根据三角比的定义：sin y r α=，cos xrα=，因此点P 的坐标也可以表示为()cos ,sin P r r αα．（1）将OP 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至'OP ，求点P'的坐标()','x y ．（即分别把'x 、'y 用x 、y 表示出来）（2）将OP 绕坐标原点O 逆时针旋转ϕ角度至'OP ，求点P'的坐标()','x y ．（即分原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 别把'x 、'y 用x 、y 、ϕ表示出来） （3）把函数()10y x x =>的图像绕坐标原点逆时针旋转4π后，可以得到函数___________的图像．（写出解析式和定义域） 【答案】（1）13'2x x y =-；31'2y x y =+；（2）co in 's s x x y ϕϕ=-；'cos sin y y x ϕϕ=+；（3）)21y x x R =+∈．【分析】（1）利用相应角的三角函数表示点P '的坐标，利用两角和的余弦公式和正弦公式展开代入即得； （2）同（1）；（3）根据（2）的结论，取4πϕ=，得到旋转前后的曲线上的对应点的坐标之间关系，进而求得. 【详解】'OP OP r ==，（1）'cos 3x r πα⎛⎫=+⎪⎝⎭1313cos sin '2222r r x x y αα=-⇒=-； 同理，31'sin 32y r x y πα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭； （2）'cos()cos cos sin sin x r r r αϕαϕαϕ=+=-， 故co in 's s x x y ϕϕ=-；同理，'sin()cos sin y r y x αϕϕϕ=+=+； （3）在（2）中令4πϕ=得'cossin44x x y ππ=-，可得1')22x x y x x ⎫=-=-⎪⎭，同理，1'y x x ⎫=+⎪⎭，因此，22''1y x -=，所以，函数为)y x R =∈．18．(本题18分)已知ABC ∆的周长为10，且sin sin 4sin B C A +=． （1）求边长的值；（2）若16bc =，求角A 的余弦值． 【答案】(1)2a = (2)7cos 8A = 【解析】试题分析：（∴）由正弦定理将条件转化为边的关系，结合周长即可求出； （∴）将条件16bc =代入余弦定理，即可求出A 的余弦值. 试题解析：（∴）根据正弦定理，sin sin 4sin B C A +=可化为4b c a +=联立方程组10,4a b c b c a ++=⎧⎨+=⎩解得 2.a = 所以，边长 2.a =（∴）由16,bc =又由（∴）得8,b c +=得4,b c ==222cos 2b c a A bc+-∴= =2224427.2448+-=⨯⨯点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.19．(本题18分)某同学用“五点法”画函数()()sin (00)2f x A x k A πωφωφ=++>><，，在一个周期内的图象，列表并填入数据得到下表：原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 x ωφ+2π π32π 2π()f x1y 32y1-3y（1）求函数()f x 的解析式；（2）三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()2f B =，4b =，22cos cos 622C Aa c +=，求三角形ABC 的面积. 【答案】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）43 【分析】（1）由三角函数的图象与性质逐步计算出A 、k 、ω、φ，即可得解； （2）先计算出3B π=，利用降幂公式结合余弦定理可转化条件得12a b c ++=，再由余弦定理可得16ac =，结合三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由题意可得31A k A k +=⎧⎨-+=-⎩，解得21A k =⎧⎨=⎩，函数()f x 的最小正周期T 满足22362T πππ=-=，所以22T πω==，又2sin 1363f ππφ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 13πφ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以2,32k k Z ππφπ+=+∈，即2,6k k Z πφπ=+∈，由2πφ<可得6πφ=，所以()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； （2）由题意，()2sin 2126f B B π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以1sin 262B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由()0,B π∈可得132,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以5266B ππ+=，即3B π=， 又221cos 1cos coscos 62222C A C Aa c a c +++=⋅+⋅=， 所以cos cos 12a c a C c A +++=，即2222221222a b c b c a a c a c ab bc+-+-++⋅+⋅=，化简得12a b c ++=， 又4b =，所以8a c +=，由余弦定理得()22222cos 3b a c ac B a c ac =+-=+-，即22483ac =-， 所以16ac =，所以11sin 1622ABC S ac B ==⨯=△ 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质及三角恒等变换、余弦定理的应用，细心运算即可得解.20．(本题20分)已知数列{}n a 满足11a =，1nn n a a p +-=，n *∈N .（1）若1p =，写出4a 所有可能的值；（2）若数列{}n a 是递增数列，且1a 、23a 、35a 成等差数列，求p 的值； （3）若12p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式. 【答案】（1）2-、0、2、4；（2）15；（3）1411332n n a -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭.【分析】（1）由11a =，11nn n a a p +-==，n *∈N ，分别取1n =、2、3即可得出4a 的所有可能取值；（2）由数列{}n a 是递增数列，得出1nn n a a p +-=，且有0p >，得出2a 、3a 关于p 的表达式，然后利用1a 、23a 、35a 成等差数列得出关于p 的方程，解出即可； （3）由数列{}21n a -是递增数列得出21210n n a a +-->，可得()()2122210n n n n a a a a +--+->，但2211122n n -<，可得出212221n n n n a a a a +--<-，可得出()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭，由数列{}2n a 为递减数列，同理可得原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 2120n n a a +-<，进而得到()1112n n nna a ++--=，再利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式. 【详解】（1）当1p =时，11n n a a +-=，则11n n a a +-=±，11a =，20a ∴=或2.当31a =时，40a =或2；当31a =-时，40a =或2-；当33a =时，42a =或4. 因此，4a 的所有可能取值有2-、0、2、4； （2）数列{}n a 是递增数列，则10n n a a +->，则1nn n a a p +-=，21a a p ∴-=，211a a p p ∴=+=+，同理得22321a a p p p =+=++，由于1a 、23a 、35a 成等差数列，则21365a a a =+，即()()261151p p p +=+++，整理得250p p -=，0p >，解得15p =； （3）数列{}21n a -是递增数列，所以21210n n a a +-->，即()()2122210n n n n a a a a +--+->∴， 但2211122n n -<，所以212221n n n n a a a a +--<-∴， 由∴∴知，2210n n a a -->，所以()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭∴.数列{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-<， 所以()21221221122n nn n na a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭∴，由∴∴知，()111122n nn n na a ++-⎛⎫-==-- ⎪⎝⎭.由累加法得()()()121321nn n a a a a a a a a -=+-+-++-12111112211111111112223212n n n ---⎡⎤⎛⎫-⨯--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-------=-=+--⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦+1411332n -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式、数列的递推关系、绝对值的性质、不等式的性质，同时也考查了利用累加法求数列通项，考查推理能力与运算求解能力，属于难题.。
上海市曹杨二中2017-2018学年高二下学期开学摸底考数学试题
上海市曹杨二中2017-2018学年高二下学期开学摸底考数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、填空题1. 直线的一个法向量为______.2. 直线的倾斜角大小为___________.3. 直线与直线的夹角为______.4. 一条直线经过直线，的交点，并且与直线垂直，则这条直线方程为___________.5. 若点到直线的距离等于3，则__________．6. 过点与半径最小的圆的方程为___________.7. 对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为______.8. 已知直线：和、两点，若直线与线段相交，则实数的取值范围为______.9. 已知、两点，直线经过原点，且、两点到直线的距离相等，则直线的方程为______.10. 已知定点，是圆上的动点，则当取到最大值时，点的坐标为______.11. 若直线l与直线和分别交于M，N两点，且MN的中点为，则直线l的斜率等于__________．12. 已知正三角形的三个顶点，一质点从AB的中点沿与AB夹角为的方向射到BC近上的点后，依次反射到CA和AB边上的点、.若、、是三个不同的点，则的取值范围为____________.二、单选题13. 如果曲线上任一点的坐标都是方程的解，那么下列命题中正确的是（）A．曲线的方程为B．的曲线是C．以方程的解为坐标的点都在曲线上D．曲线上的点都在方程的曲线上14. 若圆：被直线：分成的两段弧长之比是，则满足条件的圆（）A．有一个B．有两个C．有三个D．有四个15. 两直线的方程分别为和（为实常数），为第三象限角，则两直线的位置关系是（）A．相交且垂直B．相交但不垂直C．平行D．不确定16. 若既是、的中点，又是直线：与直线：的交点，则线段的中垂线方程是（）A．B．C．D．三、解答题17. 讨论两直线：和：之间的位置关系.18. 已知的三个顶点、、.（1）求边所在直线的方程；（2）边上中线的方程为，且，求点的坐标.19. 已知定点、，动点在线段上，且、均为等边三角形（、均在轴上方）.（1）是线段的中点，求点的轨迹；（2）求的取值范围.20. 过点的直线分别交与于、两点.（1）设点的坐标为，用实数表示点的坐标，并求实数的取值范围；（2）设的面积为，求直线的方程；（3）当最小时，求直线的方程.。
【精品】2017年上海市普陀区曹杨二中高二上学期期中数学试卷带解析答案
2016-2017学年上海市普陀区曹杨二中高二（上）期中数学试卷一.填空题1．（3分）三个平面最多把空间分割成 个部分． 2．（3分）两条异面直线所成的角的取值范围是 ．3．（3分）给出以下命题“已知点A 、B 都在直线l 上，若A 、B 都在平面α上，则直线l 在平面α上”，试用符号语言表述这个命题 ．4．（3分）设E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 的形状一定是 ．5．（3分）设点A ∈平面α，点B ∈平面β，α∩β=l ，且点A ∉直线l ，点B ∉直线l ，则直线l 与过A 、B 两点的直线的位置关系 ．6．（3分）数列{a n }中，设S n 是它的前n 项和，若log 2（S n +1）=n +1，则数列{a n }的通项公式a n = ．7．（3分）a ，b 是不等的两正数，若=2，则b 的取值范围是 ． 8．（3分）计算81+891+8991+89991+…+81= ．9．（3分）已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点C 1到直线BD 的距离为 ．10．（3分）我们把b 除a 的余数r 记为r=abmodb ，例如4=9bmod5，如图所示，若输入a=209，b=77，则循环体“r←abmodb”被执行了 次．11．（3分）设S n是数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=．12．（3分）若三个数a，1，c成等差数列（其中a≠c），且a2，1，c2成等比数列，则的值为．13．（3分）在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有．14．（3分）在n行n列矩阵中，若记位于第i行第j列的数为a ij（i，j=1，2，…，n），则当n=9时，表中所有满足2i＜j的a ij的和为．二.选择题15．（3分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜2016．（3分）下列命题中，正确的共有（）①因为直线是无限的，所以平面内的一条直线就可以延伸到平面外去；②两个平面有时只相交于一个公共点；③分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上；④一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个17．（3分）从k2+1（k∈N）开始，连续2k+1个自然数的和等于（）A．（k+1）3B．（k+1）3+k3C．（k﹣1）3+k3D．（2k+1）（k+1）318．（3分）已知方程组的解中，y=﹣1，则k的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1三.解答题19．解关于x、y的方程组，并对解的情况进行讨论．20．如图，A是△BCD所在平面外一点，M、N为△ABC和△ACD重心，BD=6；（1）求MN的长；（2）若A、C的位置发生变化，MN的位置和长度会改变吗？21．已知长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=2；（1）求出异面直线AC'和BD所成角的余弦值；（2）找出AC'与平面D'DBB'的交点，并说明理由．22．已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=（a n﹣1）（a为常数，且a≠0，a ≠1）；（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=+1，若数列{b n}为等比数列，求a的值；（3）若数列{b n}是（2）中的等比数列，数列c n=（n﹣1）b n，求数列{c n}的前n 项和T n．23．设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*），证明：{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n （n∈N*）成立．2016-2017学年上海市普陀区曹杨二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）三个平面最多把空间分割成8个部分．【解答】解：三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，三个平面有两个平行，第三个与他们相交时，可以把空间分成6部分，三个平面交于同一直线时，可以把空间分成6部分，三个平面两两相交，交线相互平行时，可以把空间分成7部分，当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成8部分．所以空间中的三个平面最多能把空间分成8部分．故答案为：8．2．（3分）两条异面直线所成的角的取值范围是（0°，90°] ．【解答】解：由异面直线所成角的定义可知：过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的角故两条异面直线所成的角的取值范围是（0°，90°]故答案为：（0°，90°]3．（3分）给出以下命题“已知点A、B都在直线l上，若A、B都在平面α上，则直线l在平面α上”，试用符号语言表述这个命题已知A∈l，B∈l，若A∈α，B∈α，则l⊆α．【解答】解：用符号语言表述这个命题为：已知A∈l，B∈l，若A∈α，B∈α，则l⊆α．故答案为：已知A∈l，B∈l，若A∈α，B∈α，则l⊆α．4．（3分）设E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的形状一定是平行四边形．【解答】解：如图，连接BD．因为FG是△CBD的中位线，所以FG∥BD，FG=BD．又因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，EH=BD．根据公理4，FG∥EH，且FG=EH．所以四边形EFGH是平行四边形．故答案为平行四边形5．（3分）设点A∈平面α，点B∈平面β，α∩β=l，且点A∉直线l，点B∉直线l，则直线l与过A、B两点的直线的位置关系异面．【解答】解：假设l与AB不是异面直线，那么它们在同一个平面上，记这个平面为γ．∵A和l都在平面γ上，∴由它们决定的平面α在平面γ上，∴平面γ=平面α．同理γ=平面β．∴α=β，∵A∈α，∴A∈β，所以A在α与β的交线l上，与已知点A∉直线l，点B∉直线l相互矛盾．∴假设不成立，∴l与AB是异面直线．故答案为：异面．6．（3分）数列{a n}中，设S n是它的前n项和，若log2（S n+1）=n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．【解答】解：由log2（S n+1）=n+1，得S n+1=2n+1，∴，当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，，当n=1时，上式不成立，∴．故答案为：．7．（3分）a，b是不等的两正数，若=2，则b的取值范围是（0，2）．【解答】解：a，b是不等的两正数，且=2，须对a，b作如下讨论：①当a＞b时，=0，则==a，所以，a=2，因此，b∈（0，2），②当a＜b时，则=﹣b=2，而b＞0，故不合题意，舍去．综合以上讨论得，b∈（0，2），故答案为：（0，2）．8．（3分）计算81+891+8991+89991+…+81=10n+1﹣9n﹣10．【解答】解：原式=8×（10+102+…+10n）+（1+1+…+1）+（90+990+…+×10）=8×+n+（102﹣10）+（103﹣10）+…+（10n﹣10）=+n+﹣10（n﹣1）=10n+1﹣9n﹣10．故答案为：10n+1﹣9n﹣10．9．（3分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则点C1到直线BD的距离为．【解答】解：如图所示，连接AC，BD，DC1，BC1．设AC∩BD=O，连接OC1．∵DC1=BC1，OB=OD．∴OC1⊥BD，∴OC1是点C1到直线BD的距离．OC1==．故答案为：．10．（3分）我们把b除a的余数r记为r=abmodb，例如4=9bmod5，如图所示，若输入a=209，b=77，则循环体“r←abmodb”被执行了4次．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=209，b=77，r=55不满足条件r=0，执行循环体，a=77，b=55，r=22不满足条件r=0，执行循环体，a=55，b=22，r=11不满足条件r=0，执行循环体，a=22，b=11，r=0此时，满足条件r=0，退出循环，输出a的值为22．由此可得循环体“r←abmodb”被执行了4次．故答案为：4．11．（3分）设S n是数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=﹣．【解答】解：∵a n=S n S n+1，∴S n+1﹣S n=S n S n+1，+1∴=﹣1，∴数列是等差数列，首项为﹣1，公差为﹣1．∴=﹣1﹣（n﹣1）=﹣n，解得S n=﹣．故答案为：．12．（3分）若三个数a，1，c成等差数列（其中a≠c），且a2，1，c2成等比数列，则的值为0．【解答】解：∵a，1，c成等差数列，∴a+c=2 ①又a2，1，c2成等比数列，∴a2c2=1 ②联立①②得：或或，∵a≠c，∴或，则a+c=2，．∴=．故答案为：0．13．（3分）在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有①③．【解答】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行，正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交，不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行，正确；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行或相交，不正确．故答案为①③．14．（3分）在n行n列矩阵中，若记位于第i行第j列的数为a ij（i，j=1，2，…，n），则当n=9时，表中所有满足2i＜j的a ij的和为88．【解答】解：由题意可知：当i=1时，由2i＜j，∴j取3，4，5，6，7，8，9当i=2时，j取5，6，7，8，9当i=3时，j取7，8，9当i=4时，j取9∴表中所有满足2i＜j的a ij和为：a13+a14+a15+a16+a17+a18+a19+a25+a26+a27+a28+a29+a37+a38+a39+a49=3+4+5+6+7+8+9+6+7+8+9+1+9+1+2+3=88，故答案为：88二.选择题15．（3分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20【解答】解：框图首先给变量s，n，i赋值s=0，n=2，i=1．判断，条件不满足，执行s=0+，n=2+2=4，i=1+1=2；判断，条件不满足，执行s=+，n=4+2=6，i=2+1=3；判断，条件不满足，执行s=++，n=6+2=8，i=3+1=4；…由此看出，当执行s=时，执行n=20+2=22，i=10+1=11．此时判断框中的条件应满足，所以判断框中的条件应是i＞10．故选：A．16．（3分）下列命题中，正确的共有（）①因为直线是无限的，所以平面内的一条直线就可以延伸到平面外去；②两个平面有时只相交于一个公共点；③分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上；④一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：对于①，因为平面也是可以无限延伸的，故错误；对于②，两个平面只要有一个公共点，就有一条通过该点的公共直线，故错误；对于③，交点分别含于两条直线，也分别含于两个平面，必然在交线上，故正确；对于④，若一条直线过三角形的顶点，则这条直线不一定在三角形所在的平面内，故错误．故选：B．17．（3分）从k2+1（k∈N）开始，连续2k+1个自然数的和等于（）A．（k+1）3B．（k+1）3+k3C．（k﹣1）3+k3D．（2k+1）（k+1）3【解答】解：从k2+1（k∈N）开始，连续2k+1个自然数的和=k2+1+k2+2+…+（k2+2k+1）=（2k+1）•k2+=2k3+3k2+3k+1=（k+1）2+k3．故选：B．18．（3分）已知方程组的解中，y=﹣1，则k的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【解答】解：由已知得到，解得；故选：B．三.解答题19．解关于x、y的方程组，并对解的情况进行讨论．【解答】解：系数矩阵D非奇异时，或者说行列式D=4﹣2m2﹣2m≠0，即m≠1且m≠﹣2时，方程组有唯一的解，x==，y==．系数矩阵D奇异时，或者说行列式D=4﹣2m2﹣2m=0，即m=1或m=﹣2时，方程组有无数个解或无解．当m=﹣2时，原方程为无解，当m=1时，原方程组为，无解．20．如图，A是△BCD所在平面外一点，M、N为△ABC和△ACD重心，BD=6；（1）求MN的长；（2）若A、C的位置发生变化，MN的位置和长度会改变吗？【解答】解：（1）延长AM、AN，分别交BC、CD于点E、F，连结EF．∵M、N分别是△ABC和△ACD的重心，∴AE、AF分别为△ABC和△ACD的中线，且=，可得MN∥EF且MN=EF，∵EF为△BCD的中位线，可得EF=BD，∴MN=BD=2；（2）由（1）可得位置改变，长度不改变．21．已知长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=2；（1）求出异面直线AC'和BD所成角的余弦值；（2）找出AC'与平面D'DBB'的交点，并说明理由．【解答】解：（1）建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=4，AD=3，AA'=2；∴C'（4，3，2），B（4，0，0），D（0，3，0）则：=（4，3，2），=（﹣4，3，0）异面直线AC'和BD所成角的余弦值为：==；（2）连接BD'，DB'交于点O，则点O即为AC'与平面D'DBB'的交点，根据长方体的几何特征可得：O为长方体ABCD﹣A'B'C'D'外接球的球心，AC'为长方体ABCD﹣A'B'C'D'外接球的直径，故O为AC'中点，又由BD'，DB'交于点O，故O在平面D'DBB'上，故O即为AC'与平面D'DBB'的交点．22．已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=（a n﹣1）（a为常数，且a≠0，a ≠1）；（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=+1，若数列{b n}为等比数列，求a的值；（3）若数列{b n}是（2）中的等比数列，数列c n=（n﹣1）b n，求数列{c n}的前n 项和T n．【解答】解：（1）当n=1时，，∴a1=a，，当n≥2时，S n=（a n﹣1）且，两式做差化简得：a n=a•a n﹣1即：，∴数列{a n}是以a为首项，a为公比的等比数列，∴．（2）b n=+1=，若数列{b n}为等比数列，则=0，即．（3）由（2）知，∴∴T n=0×3+1×32+2×33+…+（n﹣1）3n…①3T n=0×32+1×33+2×34+…+（n﹣2）×3n+（n﹣1）×3n+1…②①﹣②得：﹣2T n=32+33+34+…+3n﹣（n﹣1）×3n+1=∴．23．设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*），证明：{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n （n∈N*）成立．【解答】解：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2．当n=1时，S1=a1．当n≥2时，S n=a n+1．∴数列{a n}是“H”数列．（2）S n==，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，即，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1．（3）设{a n}的公差为d，令b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，对∀n∈N*，b n﹣b n=﹣a1，+1c n=（n﹣1）（a1+d），对∀n∈N*，c n﹣c n=a1+d，+1则b n+c n=a1+（n﹣1）d=a n，且数列{b n}和{c n}是等差数列．数列{b n}的前n项和T n =，令T n=（2﹣m）a1，则．当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使T n=b m成立，即{b n}为H数列．数列{c n}的前n项和R n =，令c m=（m﹣1）（a1+d）=R n，则m=．∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使R n=c m成立，即{c n}为H数列．因此命题得证．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
2017-2018年上海市曹杨二中高三下开学考
2018届曹杨二中高三下学期开学考试卷 2018.2.22一、填空题1. 已知集合{}|2,x A y y x R ==∈，{}2|,B y y x x R ==-∈，则A B ⋂=____________ 2. 已知向量()1,0a =-，()4,3b =，则a 在b 方向上的投影是____________ 3. 若线性方程组的增广矩阵为123112⎛⎫⎪⎝⎭，则该线性方程组的解为____________4. 一组数据8,9,x ,11,12平均数是10， 则这组数据的方差是____________5.若复数ω=（i 为虚数单位），则21ωω++=____________ 6. 已知函数()[](]2,0,12,1,3xx x f x x ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，则()1f x -的最大值是____________ 7. 若圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则圆锥的母线与底面所成角的大小为____________8. 已知点P 在抛物线24y x =上，如果点P 到点()2,1Q -的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值，那么点P 的坐标是____________9. 用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位偶数的概率是____________ 10. 函数log a y x =在[)2,+∞上恒有1y >，则实数a 的取值范围是____________ 11. 如图在杨辉三角中从上往下数共有n 行，在这些数中非1的数字之和为____________12. 定义函数(){}{}f x x x =，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{}1.42=，{}2.32-=-，当(]()*0,x n n N ∈∈时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则12111lim n n a a a →∞⎛⎫+++=⎪⎝⎭____________ 二、选择题13. 已知直线:cos sin 10,l x y R θθθ+-=∈与圆()222:0C x y rr +=>，则1r =是直线与圆相切的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既非充分条件又非必要条件 14. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的条件为（ ）A.73B.92C.72D.9415. 有4张软盘和5张光盘的价格之和不小于20元，6张软盘与3张光盘的价格之和不大于24元，则买3张软盘与9张光盘至少需要（ ） A. 15元 B. 22元 C. 36元 D. 72元 16. 设函数的定义域是(0,1)，且满足：（1）对于任意的()0,1x ∈，()0f x >； （2）对于任意的()12,0,1x x ∈，恒有()()()()1122121f x f x f x f x -+≤-. 则下列结论：①对于任意的()0,1x ∈，()()1f x f x >-；②()f x y x x=+在(0,1)上单 调递减；③()f x 的图像关于直线12x =对称，其中正确结论的个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3三、解答题17. 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=. （1）求角B 的大小；（2）设向量()sin ,cos2m A A =，()()4,11n k k =>，且m n ⋅的最大值是5，求k 的值.18. 如图，在多面体ABCDE 中，EC ⊥面ABC ，DB ⊥面ABC ，CE=CA=CB=2DB ，90ACB ∠=︒，M 为AD 的中点. （1）证明：EM AB ⊥；（2）求直线BM 和平面AED 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.19. 某同学在一山坡P 处看对面山顶上的一座铁塔，如图坐标系，塔及所在的山崖可视为图中的竖线OC ，塔高BC 为80米，山高OB 为220米，OA 为200米，图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上，l 与水平地面的夹角为α，1tan 2α=. （1）求塔尖C 到山坡的距离（精确到米）；（2）问此同学（忽略身高）距离山崖的水平地面多高时，观看塔的视角BPC ∠最大？20. 已知曲线2:1C x y y -=.（1）用函数()y f x =的形式表示曲线C ；（2）若直线:l y x m =+与曲线C 有两个公共点，求实数m 的取值范围； （3）若点P 的坐标为()0,p ，Q 为曲线C 上的点，求PQ 的最小值.21. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*112n na n N a +≤∈，则称{}n a 是“G 数列”. （1）若{}n a 是“G 数列”，且11a =，232a =，3a x =，44a =，求x 的取值范围； （2）若{}n a 是邓超数列，首项为1a ，公差为d ，且10d a <≤，判断{}n a 是否为“G 数列”； （3）设数列{}n a 是等比数列，公比为q ，若数列{}n a 与{}n S 都是“G 数列”，求q 的取值范围.参考答案一、填空题 1. ∅2. 45-3. 11x y =⎧⎨=⎩ 4. 2 5. 06. ()1max 3fx -=7.3π8. 1,14⎛⎫-⎪⎝⎭ 9. 1210. ()1,11,22⎛⎫⋃⎪⎝⎭11. 22n n - 12. 2 二、选择题 13-16 CCCB三、解答题17.（1）角B 的大小为3π （2）k 值为3218.（1）证明略 （2）4arcsin9α= 19.（1）约358米（2）此人距水平面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC 最大20.（1）()1111x x f x x ≤-≥=-<<或（2）m的取值范围是()（3）PQ21.（1）23x ≤≤（2）{}n a 是为“G 数列”（3）当{}n a 是“G 数列”时，122q ≤≤；当{}n S 为“G 数列”时，1q =。
曹杨二中高二开学考(2016.09)
D. a (2, 3) ， b (6,9)
1
15. 将函数 y sin x 的图像上所有的点向右平行移动 个单位，再把所得各点的横坐标伸 10
长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）
A. y sin(2x ) 10
B. y sin(2x ) 5
C. y sin( x ) 2 10
取值范围是
二. 选择题
13. 函数 f (x) sin 2x cos 2x 的最小正周期是（
A.
4
B.
2
C.
）
D. 2
14. 下列向量组中能够作为它们所在平面内所有向量的基的是（ ）
A. a (0, 0) ， b (1, 2)
B. a (1, 2) ， b (2, 4)
C. a (3,5) ， b (6,10)
2
19. 定义在 R 上的函数 f (x) Asin(x ) ( 0, A 0, 0 ) 的图像如图所示； （1）求函数 f (x) 的解析式； （2）写出函数 f (x) 的单调递增区间； （3）设两个不相等的实数 x1, x2 (0, ) ， 且 f (x1) f (x2 ) 2 ，求 x1 x2 的值；
17. 已知 , (0, ) 且 ，若 sin 3 ， cos( ) 12 ；
2
5
13
（1）求 cos 的值；
（2）求 tan 的值；
2
18. 在△ ABC 中，角 A, B,C 的对边分别是 a,b, c ，且 a(cos B cos C) b c ； （1）判断△ ABC 的形状； （2）若△ ABC 的外接圆半径等于 1，求△ ABC 周长的取值范围；
an
1
f
上海市普陀区曹杨第二中学2017-2018学年高三上学期8月月考数学试题
上海市普陀区曹杨第二中学2020-2021学年高三上学期8月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若集合1,0,1,,{}23A =-，3|1B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B =__________. 2．求值：12lim 1n n C n →∞=+____________. 3．在二项式1022x ⎛ ⎝的展开式中，常数项为____________. 4．已知函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，若()y f x =的图像过点()1,2，则1(1)1y f x -=++图像恒过点_____________.5．已知z C ∈，z 为z 的共轭复数，若10z z iz =（其中i 是虚数单位），则z =_____________.6．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，若13a =，1053S S =，则n a =________________. 7．方程cos2sin 0x x -=在[]0,π的解为__________. 8．已知点(),P x y 满足10302x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，O 为坐标原点，则||OP 的最大值为_____________.9．已知P 为抛物线24y x =上一点，若点P 到直线y x =的距离为，则P 点坐标为____________.10．若向量(1,)d x y =-是直线230x y +-=的一个方向向量，则93x y +的最小值是____________.11．从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有_______个．(用数字作答)12．已知函数1,01(){12,12x x x f x x +≤<=-≥，设0a b >≥，若()()f a f b =，则()bf a 的取值范围是____．二、单选题13．使得()20x y -=成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．20x y +-=B ．22(2)0x y +-=C ．221x y +=D ．0x =或2y = 14．有8个半径为2a 的球，它们的体积之和为1V ，表面积之和为1S ；另一个半径为a 的球，其体积为2V ，表面积为2S ，则（ ）A ．12V V >且12S S >B ．12V V <且12S S <C ．12V V =且12S S >D ．12V V =且12S S15．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若1a =且2B A =，则b 的取值范围是（ ）A． B．( C．)2 D ．()0,2 16．将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的，，有，则ϕ=（ ） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，且PA ⊥平面ABCD ，又已知BC AD ∥，AB BC ⊥，1AB AP ==，3AD =，45ADC ∠=︒.（1）求异面直线PB 与CD 所成角的大小；（2）求四棱锥P ABCD -的体积.18．已知定义在R 上的函数()221xx b f x -=+是奇函数． （1）求b 的值，并判断函数()f x 在定义域中的单调性（不用证明）；（2）若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围． 19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆的右焦点F 作直线l ，与椭圆相交于A ，B 两点，求OAB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.20．已知数列{}n a 的首项135a ≠-，且1325nn n a a +=-，*n N ∈. （1）证明：35n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）若125a =，{}n a 中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在，请说明理由；（3）若{}n a 是递减数列，求1a 的取值范围.21．我们把定义在R 上，且满足()()f x T af x +=（其中常数a ，T 满足1a ≠，0a ≠，0T ≠）的函数叫做似周期函数.（1）若某个似周期函数()y f x =满足1T =且图像关于直线1x =对称，求证：函数()f x 是偶函数；（2）当1T =，2a =时，某个似周期函数在01x ≤<时的解析式为()(1)f x x x =-，求函数()y f x =，[,1)()x n n n z ∈+∈的解析式；（3）对于确定的0T >且当0x T <≤时，()21f x x =+，试研究似周期函数()y f x =在区间()0,∞+上是否可能是单调函数？若可能，求出a 的取值范围；若不可能，请说明理由.参考答案1．{}1,2【解析】【分析】先解分式不等式得{}|03B x x =<<，再求交集即可.【详解】 解：解分式不等式31x>，解得30x x -<，得03x <<， 即{}|03B x x =<< ，又1,0,1,,{}23A =-， 则A B ={1,2}，故答案为：{}1,2.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，重点考查了集合交集的运算，属基础题.2．2【分析】先求组合数122n C n =，再求数列极限即可.【详解】 解：因为12lim 1n n C n →∞=+2lim 1n n n →∞=+2lim(2)21n n →∞-=+， 故答案为：2.【点睛】本题考查了数列的极限，属基础题.3．180【分析】 由二项式1022x⎛- ⎝的展开式通项公式为40521010211010(2)(2(1)r r r r r r r r T C x C x ---+==-，再令40502r -=，然后求解即可. 【详解】 解：由二项式1022x⎛ ⎝的展开式通项公式为40521010211010(2)(2(1)r rr r r r r r T C x C x ---+==-， 令40502r -=，解得：8r =， 即展开式中常数项为1088102C -=22102180C =， 故答案为：180.【点睛】本题考查了二项式定理及二项式展开式通项公式，重点考查了运算能力，属基础题. 4．()1,2【分析】先由原函数过点()1,2，则可得其反函数图像过点()2,1，再结合函数图像的平移变换即可得解.【详解】解：由()y f x =的图像过点()1,2，则其反函数()1y fx -=的图像过点()2,1， 又函数1(1)1y f x -=++图像是由函数()1y f x -=的图像向左平移一个单位，再向上平移一个单位得到，则1(1)1y fx -=++图像恒过点()1,2，故答案为：()1,2.【点睛】 本题考查了原函数与反函数图像的关系及函数图像的平移变换，属基础题.5．i -或0【分析】先由行列式的运算可得0iz z z -⋅=，再解方程组220a b a b =⎧⎨-=+⎩，求解即可得解. 【详解】解：设,,z a bi a b R =+∈, 由10z z iz =，则0iz z z -⋅=，所以22b ai a b -+=+，即220a b a b =⎧⎨-=+⎩，即00a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩， 即0z =或z i =-，故答案为：i -或0.【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了行列式的运算，属基础题.6．2n a n =+【分析】先由等差数列的前n 项和求等差数列的公差，再求等差数列的通项公式即可.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，又13a =，1053S S =， 则10954103353322d d ⨯⨯⨯+=⨯⨯+⨯， 解得：1d =，则 1(1)3(1)12n a a n d n n =+-=+-⨯=+，故答案为：2n a n =+.【点睛】本题考查了利用等差数列的前n 项和求等差数列的基本量及通项公式，属基础题. 7．5,66ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】先由余弦的二倍角公式变形可得22sin sin 10x x +-=，再解关于sin x 的二次方程，再在[]0,x π∈求解即可.【详解】解：因为cos2sin 0x x -=，所以22sin sin 10x x +-=，解得sin 1x =-或1sin 2x =， 又[]0,x π∈， 所以6x π=或56x π=， 故答案为：5,66ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【点睛】 本题考查了余弦的二倍角公式，重点考查了解三角方程，属基础题.8【分析】先作出不等式组10302x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域，再结合||OP 的几何意义运算即可.【详解】解：由点(),P x y 满足10302x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，作出不等式组表示的平面区域，由图可知，当点P 为直线2x =与10x y -+=的交点()2,3时，||OP 取最大值， 即||OP=【点睛】本题考查了简单的线性规划，主要考查了作图能力，重点考查了数形结合的数学思想方法，属简单题.9．()4,4-或()16,8【分析】先设2(,2)P t t ，再由点到直线的距离公式运算即可得解.【详解】解：设2(,2)P t t= ，解得：2280t t --=或2280t t -+=，即4t =或2t =-，故(16,8)P 或(4,4)P -【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，重点考查了运算能力，属基础题.10．6【分析】先由直线的方向向量运算可得22y x +=，再结合重要不等式求最小值即可得解.【详解】解：因为直线230x y +-=的一个方向向量为()1,2-，又向量(1,)d x y =-是直线230x y +-=的一个方向向量，则22y x +=，又93236x y +≥==⨯=，当且仅当93x y =，即1,12x y ==时取等号， 故答案为：6.【点睛】本题考查了直线的方向向量，重点考查了重要不等式，属中档题.11．36【解析】【分析】由题意知能被5整除的三位数末位必为0或5．当末位为0的三位数其百位十位只需从1～5的5个数中任取2个排列；当末位为5的三位数，百位从非0，5的4个数中选1个，再挑十位，相加得到结果．【详解】其中能被5整除的三位数末位必为0或5．当末位为0时，百位、十位要从1～5的5个数中任取2个排列而成，方法数为A52＝20，当末位为5时，百位从非0，5的4个数中选1个，有C41种挑法，再挑十位，还有C41种挑法，∴合要求的数有C41•C41＝16种．∴共有20+16＝36个合要求的数．故答案为36.【点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理的应用，考查了排列组合的应用，主要抓住能被5整除的三位数的特征（末位数为0，5），还要注意分类讨论及排数字时对百位非0的限制，属于中档题．12．3()2 4bf a≤<【解析】试题分析：由图可知，112b≤<，3()22f a≤<，且,()b f a的值依次增大，均为正值，所以3()2 4bf a≤<．考点：分段函数的图象. 13．B 【分析】先求出“()20x y -=”的充要条件为“0x =或2y =”，再逐一检验即可得解. 【详解】解：由“()20x y -=”的充要条件为“0x =或2y =”，对于选项A,C ，“20x y +-=”，“221x y +=”是“()20x y -=”即不充分也不必要条件，即A ，C 不合题意；对于选项B ，“22(2)0x y +-=”的充要条件为“0x =且2y =”，又“0x =且2y =”是“0x =或2y =”的充分不必要条件，则“22(2)0x y +-=”是“()20x y -=”的一个充分不必要条件；对于选项D ，显然“0x =且2y =”是“()20x y -=”的充要条件，即D 不合题意， 故选：B. 【点睛】本题考查了充要条件，重点考查了命题的恒等变换，属基础题. 14．C 【分析】由球的体积公式343V R π=，球的表面积公式24S R π=，代入运算求解即可.解：由球的体积公式可得313448()323V a a ππ=⨯⨯⨯=， 3324433a a V ππ=⨯⨯=，由球的表面积公式可得21284()82a S a ππ=⨯⨯⨯=，21244a a S ππ=⨯⨯=，即12V V =且12S S >， 故选：C. 【点睛】本题考查了球的体积公式及球的表面积公式，重点考查了运算能力，属基础题. 15．A 【分析】先由正弦定理可得2cos b A =，再结合ABC 为锐角三角形可得64A ππ<<，代入求解即可. 【详解】解：因为1a =且2B A =， 由正弦定理sin sin a b A B=可得：sin sin 2a bA A =， 则2cos b A =，又ABC 为锐角三角形，则0202222A A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<+<⎪⎩，解得：64A ππ<<，即cos 2A ⎛∈ ⎝⎭，即b ∈，故选：A. 【点睛】本题考查了正弦定理及正弦的二倍角公式，重点考查了三角函数的值域的求法，属中档题.【解析】试题分析：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨，，∴，又∵，∴，故选D.考点：三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等. 17．（1）3π（2）56【分析】（1）由已知条件，在线段AD 上取1AE = 连接,PE BE ，则四边形BCDE 为平行四边形,则PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角，再求解即可； （2）由棱锥的体积公式求解即可. 【详解】解：（1）过点C 作CF AD ⊥交AD 于点F ，由1AB AP ==，3AD =，45ADC ∠=︒，可得1CF AB DF ===,即2BC =， 在线段AD 上取1AE = 连接,PE BE ， 则四边形BCDE 为平行四边形,则PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角，又PB PE BE ====，则3PBE π∠=，故异面直线PB 与CD 所成角的大小为3π； （2）由（1）可得点P 到平面ABCD 的距离为1， 由棱锥的体积公式可得115(23)11326P ABCD V -=⨯⨯+⨯⨯=， 故四棱锥P ABCD -的体积为56.【点睛】本题考查了异面直线所成角的作法及求法，重点考查了棱锥的体积的求法，属中档题.18．⑴1a b ==；⑵13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，. 【解析】试题分析：(1)根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可求a b ，的值；(2)根据函数奇偶性和单调性的性质,将不等式进行转化进行求解即可. 试题解析：⑴∵()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴，∴1b =．∴()122xxf x a -=+，()()1122212212x x x x x x f x f x a a a ------===-=+⋅++，∴212x x a +=+，即()2121xxa -=-对一切实数x 都成立． ∴1a =，∴1ab ==．⑵不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()2222f t t f k t -<-．又()f x 是R 上的减函数，∴2222t t k t ->-．∴221132333k t t t ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭对t R ∈恒成立， ∴13k <-．即实数k 的取值范围是13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，． 考点：函数的奇偶性和单调性.【方法点晴】本题属于对函数单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中的易错点是容易忽视定义域[0,)+∞.19．（1）2214x y +=；（2）max 1S =，此时直线l的方程为：x =+【分析】（1）由题意列方程组242a a b =⎧⎨=⎩，求解即可；（2）设过椭圆的右焦点F 作直线l的方程为x ky =+2214x ky x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，再结合1212OAB S OF y y ∆=⨯-=. 【详解】解：（1）由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，可得242a a b =⎧⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，即椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）由（1）可得椭圆的右焦点F ， 设过椭圆的右焦点F 作直线l的方程为x ky =+联立2214x ky x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消x得：22(4)10k y ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12y y +=12214y y k -=+，则1212OAB S OF y y ∆=⨯-=== 令21,1t k t =+≥，则1==≤=， 当且仅当9t t=，即3t =，即k = 故OAB 面积的最大值为1,此时直线l的方程为x =+【点睛】本题考查了椭圆方程的求法及直线与椭圆的位置关系，重点考查了三角形的面积公式，属中档题.20．（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析；（3）333,,555⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证；（2）由等差中项可得122n n n a a a ++=+，再运算即可得解；（3）由{}n a 是递减数列，则1n n a a +<恒成立，再利用最值法即可得解. 【详解】解：（1）由1325n n n a a +=-，所以113532()5nn n n a a ++=++，又135a ≠-，所以1305a +≠，故数列35n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以135a +为首项，2为公比的等比数列；（2）当125a =时，由（1）得11323()22555n n n n a --+=+=⨯，所以1325nn n a --=， 设{}n a 中存在连续三项成等差数列，则122n n n a a a ++=+，即121133322222555n n n nn n ++-+-⨯=--⨯+， 化简得：2835n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又 ()20,13n⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即此方程无解，故不存在连续三项成等差数列；（3）由（1）得1133()255nn n a a -=+-，由{}n a 是递减数列，则1n n a a +<，即11113333()2()25555n nn n a a +-+-<+-恒成立，即1433()525n a <-恒成立， 又当1n =时，433()525n -取最小值35，即135a <，又135a ≠-， 故1a 的取值范围为：333,,555⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查了利用定义法证明等比数列及等差中项的应用，重点考查了数列的单调性，属中档题.21．（1）证明见解析；（2）()2()(1)nf x x n n x =-+-；（3）可能，21a T ≥+【分析】（1）先阅读新定义，再利用偶函数的定义证明即可；（2）由01x ≤<时的解析式为()(1)f x x x =-，结合函数的周期求解即可； （3）由分段函数在各段上的单调性，研究函数在整体上的单调性，从而得解. 【详解】解：（1）因为函数()y f x =的图像关于直线1x =对称，则()1(1)f x f x -=+， 又函数()y f x =满足1T =，则(1)()f x af x +=，用x -替换x 得(1)()f x af x -+=-， 则()()af x af x -=，又1a ≠，0a ≠，所以()()f x f x -=， 故函数()f x 是偶函数；（2）似周期函数在01x ≤<时的解析式为()(1)f x x x =-， 当[,1),()x n n n z ∈+∈时，[,1),()x n n n n z -∈+∈，()22(1)2(2)...2()n f x f x f x f x n =-=-==-=2()(1)n x n n x -+-，故()2()(1)nf x x n n x =-+-，[,1)()x n n n z ∈+∈； （3）当(1)nT x n T <≤+时，0x nT T <-≤，()()...()[2()1]n n f x af x T a f x nT a x nT =-==-=-+，显然当0a <时，函数()y f x =在区间()0,∞+上不是单调函数， 又当0a >时，()[2()1]nf x a x nT =-+，(],(1)x nT n T ∈+是增函数，此时()(,(21)nnf x a a T ⎤∈+⎦，若似周期函数()y f x =在区间()0,∞+上是单调函数，则只能是增函数， 即1(21)n n aa T +≥+，即21a T ≥+，故a 的取值范围为21a T ≥+. 【点睛】本题考查了对新定义函数的理解及分段函数的解析式的求法，重点考查了阅读能力及计算能力，属中档题.。
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曹杨二中高二开学考
2018.03
一. 填空题
1. 直线210x y 的一个法向量为
2. 直线350x 的倾斜角大小为
3. 直线20x 与直线10x 的夹角为
4. 一条直线经过直线230x y ，310x y 的交点，并且与直线2350x y 垂 直，则这条直线方程为
5. 点(4,)P a 到直线4310x y 的距离等3，则实数a 的值为
6. 过点(2,1)A 与(1,2)B 半径最小的圆的方程为
7. 对任意实数m ，圆2224620x y mx my m 恒过定点，则其坐标为
8. 已知直线 :2l y ax 和 (1,4)A 、(3,1)B 两点，若直线l 与线段AB 相交，则实数a 的取值范围为
9. 已知(2,3)A 、(4,8)B 两点，直线l 经过原点，且A 、B 两点到直线l 的距离相等，则直 线的方程为
10. 已知定点(0,5)A ，P 是圆22(2)(3)2x y 上的动点，则当||PA 取到最大值时，P 点的坐标为
11. 直线l 与两直线1y 和70x y 分别交于A 、B 两点，若直线AB 的中点为(1,1)M ，则直线l 的斜率为
12. 已知正三角形的三个顶点(0,0)A 、(2,0)B 、C ，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为 的方向射到BC 边上的点1P 后，依次反射到CA 和AB 边上的点2P 、3P ，若1P 、2P 、3P 是三个不同的点，则tan 的取值范围为
二. 选择题
13. 如果曲线C 上任一点的坐标都是方程(,)0F x y 的解，那么下列命题中正确的是（ ）
A. 曲线C 的方程为(,)0F x y
B. (,)0F x y 的曲线是C
C. 以方程(,)0F x y 的解为坐标的点都在曲线C 上
D. 曲线C 上的点都在方程(,)0F x y 的曲线上
14. 若圆222:()()C x a y a a 被直线:20l x y 分成的两段弧长之比是1:3，则
满足条件的圆C （ ）
A. 有一个
B. 有两个
C. 有三个
D. 有四个
15. 两直线1l 、2l 的方程分别为0x b 和sin 0x a （a 、 b 为实常数）， 为第三象限角，则两直线1l 、2l 的位置关系是（ ）
A. 相交且垂直
B. 相交但不垂直
C. 平行
D. 不确定
16. 若(2,3)P 既是11(,)A a b 、22(,)B a b 的中点，又是直线111:130l a x b y 与直线222:130l a x b y 的交点，则线段AB 的中垂线方程是（ ）
A. 23130x y
B. 32120x y
C. 320x y
D. 2350x y
三. 解答题
17. 讨论两直线1:1l mx y 和2:323l mx my m 之间的位置关系.
18. 已知ABC 的三个顶点(,)A m n 、(2,1)B 、(2,3)C .
（1）求BC 边所在直线的方程；
（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y ，且7ABC S ，求点A 的坐标.
19. 已知定点(2,0)A 、(2,0)B ，动点C 在线段AB 上，且PAC 、QBC 均为等边三角形（P 、Q 均在x 轴上方）.
（1）R 是线段PQ 的中点，求点R 的轨迹；（2）求ARB 的取值范围.
20. 过点(2,1)P 的直线l 分别交12
y x
（0x ）与2y x （0x ）于A 、B 两点. （1）设A 点的坐标为(2,)a a ，用实数a 表示B 点的坐标，并求实数a 的取值范围； （2）设AOB 的面积为
245
，求直线l 的方程； （3）当||||PA PB 最小时，求直线l 的方程.
曹杨二中高二开学考
2018.03
一. 填空题
1. 直线210x y 的一个法向量为
【解析】(2,1) 等
2. 直线350x 的倾斜角大小为 【解析】3
3. 直线20x 与直线10x 的夹角为
【解析】60°
4. 一条直线经过直线230x y ，310x y 的交点，并且与直线2350x y 垂 直，则这条直线方程为
【解析】2114170x y
5. 点(4,)P a 到直线4310x y 的距离等3，则实数a 的值为
【解析】0或10
6. 过点(2,1)A 与(1,2)B 半径最小的圆的方程为 【解析】22315()()222
x y
7. 对任意实数m ，圆2224620x y mx my m 恒过定点，则其坐标为 【解析】(1,1)、17
(,)55
8. 已知直线 :2l y ax 和 (1,4)A 、(3,1)B 两点，若直线l 与线段AB 相交，则实数a 的取值范围为 【解析】1[,2]3
9. 已知(2,3)A 、(4,8)B 两点，直线l 经过原点，且A 、B 两点到直线l 的距离相等，则直 线的方程为
【解析】1120x y 或560x y
10. 已知定点(0,5)A ，P 是圆22(2)(3)2x y 上的动点，则当||PA 取到最大值时，P 点的坐标为
【解析】(3,2)
11. 直线l 与两直线1y 和70x y 分别交于A 、B 两点，若直线AB 的中点为(1,1)M ，则直线l 的斜率为
【解析】1A y ，3B y ，∴(4,3)B ，(2,1)A ，∴直线l 的斜率为23
12. 已知正三角形的三个顶点(0,0)A 、(2,0)B 、C ，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为 的方向射到BC 边上的点1P 后，依次反射到CA 和AB 边上的点2P 、3P ，若1P 、2P 、 3P 是三个不同的点，则tan 的取值范围为
【解析】利用对称处理反射问题，两次反射，作两次对称，范围为(
2
二. 选择题
13. 如果曲线C 上任一点的坐标都是方程(,)0F x y 的解，那么下列命题中正确的是（ ）
A. 曲线C 的方程为(,)0F x y
B. (,)0F x y 的曲线是C
C. 以方程(,)0F x y 的解为坐标的点都在曲线C 上
D. 曲线C 上的点都在方程(,)0F x y 的曲线上
【解析】D
14. 若圆222:()()C x a y a a 被直线:20l x y 分成的两段弧长之比是1:3，则满足条件的圆C （ ）
A. 有一个
B. 有两个
C. 有三个
D. 有四个
【解析】B
15. 两直线1l 、2l 的方程分别为0x b 和sin 0x a （a 、 b 为实常数）， 为第三象限角，则两直线1l 、2l 的位置关系是（ ）
A. 相交且垂直
B. 相交但不垂直
C. 平行
D. 不确定
【解析】A
16. 若(2,3)P 既是11(,)A a b 、22(,)B a b 的中点，又是直线111:130l a x b y 与直线222:130l a x b y 的交点，则线段AB 的中垂线方程是（ ）
A. 23130x y
B. 32120x y
C. 320x y
D. 2350x y
【解析】C
三. 解答题
17. 讨论两直线1:1l mx y 和2:323l mx my m 之间的位置关系.
【解析】当3m ，重合；当3m ，相交，1x m
，2y .。