2019-2020学年江苏省盐城中学高二(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年江苏省盐城中学高二（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知命题p：∀x∈N∗，2x>x2，则￢p是()
A. ∃x∈N∗，2x>x2
B. ∀x∈N∗，2x≤x2
C. ∃x∈N∗，2x≤x2
D. ∀x∈N∗，2x<x2
2.已知抛物线y2=2px的准线方程是x=−2，则p的值为()
A. 2
B. 4
C. −2
D. −4
3.2+√3和2−√3的等比中项是()
A. 1
B. −1
C. ±1
D. 2
4.双曲线x2
4−y2
16
=1的渐近线方程为()
A. y=±2x
B. y=±1
2x C. y=±√5x D. y=±√5
2
x
5.已知x、y均为正数，2
x +8
y
=1，则xy有()
A. 最大值64
B. 最大值1
64C. 最小值64 D. 最小值1
64
6.若a，b∈R，则1
a2>1
b2
成立的一个充分不必要的条件是()
A. b>a>0
B. a>b>0
C. b<a
D. a<b
7.在等差数列{a n}中，a3+a8=8，则S10=()
A. 20
B. 40
C. 60
D. 80
8.已知函数f(x)=x+4
x ，g(x)=2x+a，若∀x1∈[1
2
,3]，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实
数a的取值范围是()
A. a≤1
B. a≥1
C. a≤0
D. a≥0
9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且−11<S11≤22，则a6的取值范围是()
A. (−1,2]
B. (1,2]
C. [−1,2]
D. [1,2]
10.已知M为抛物线y2=4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点P(3,1)，则|MP|+|MF|的最小值
为()
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
11.若log2x+log2y=2，则x+2y的最小值为()
A. 2
B. 2√2
C. 4
D. 4√2
12.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且对于任意n>1，n∈N∗，满足S n+1+S n−1=
2(S n+1)，则S10的值为()
A. 90
B. 91
C. 96
D. 100
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.方程x2
2−k +y2
2k−1
=1表示焦点在x轴上椭圆，则实数k的取值范围是______．
14.已知正实数a，b，c满足1
a +1
b
=1，1
a+b
+1
c
=1，则c的取值范围是_____．
15.已知数列{a n}中，a1=1，a n
a n+1−a n =n(n∈N∗)，则a
2016
=______ ．
16.已知F1，F2是椭圆x2
m2+y2
m2−4
=1(m>2)的左，右焦点，点P在椭圆上，若|PF1|⋅|PF2|=2√3m，
则该椭圆离心率的取值范围为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知m∈R，命题p：对∀x∈[0,8]，不等式恒成立；命题q：对∀x∈
(−∞,−1)，不等式2x2+x>2+mx恒成立．
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围．
18.已知双曲线x2
4−y2
b2
=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，求该双曲线的焦点到其渐近线
的距离．
19.已知数列{b n}前n项和为S n，且b1=1，b n+1=1
3
S n．
(1)求b2，b3，b4的值；
(2)求{b n}的通项公式；
(3)求b2+b4+b6+⋯+b2n的值．
20.某房地产商建有三栋楼宇A,B,C，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域
ABC外建第四栋楼宇D，规划要求楼宇D对楼宇B，C的视角为120∘，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．
(1)求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值；
(2)当楼宇D与楼宇B，C间距离相等时，拟在楼宇A，B间建休息亭E，在休息亭E和楼宇A，
D间分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED，如图，已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a，2a(单位：元千米，a为常数).记∠BDE=θ，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的解析式．若θ=60∘时，求出具体费用．
21.如图，椭圆E：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，离心率e=√5
3
，长轴与短轴
的长度之和为10．(Ⅰ)求椭圆E的标准方程；
(Ⅱ)在椭圆E 上任取点P(与A 、B 两点不重合)，直线PA 交y 轴于点C ，直线PB 交y 轴于点D ，证明：OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值．
22. 已知数列{b n }的前n 项和为S n ，且b 1=1，b n+1=1
3S n ．
(1)求b 2，b 3，b 4的值; (2)求{b n }的通项公式．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析：解：命题p：∀x∈N∗，2x>x2，则￢p是∃x∈N∗，2x≤x2，
故选：C．
欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“>”即可，据此分析选项可得答案．
这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“>”的否定用“<”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”.特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．
2.答案：B
解析：解：抛物线y2=2px的准线方程是x=−2，则p的值：4．
故选：B．
利用抛物线的准线方程求出p，即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
3.答案：C
解析：
【分析】
本题主要考查等比数列的应用，属于简单题．
【解答】
解：由题意得，(2+√3)(2−√3)=1，
2+√3和2−√3的等比中项是±1，
故选C．
4.答案：A
解析：解：由双曲线x2
a2−y2
b2
=1(a,b>0)的渐近线方程为：
y=±b
a
x，
双曲线x2
4−y2
16
=1的a=2，b=4，
可得渐近线方程为y=±2x．
由双曲线x2
a2−y2
b2
=1(a,b>0)的渐近线方程为y=±b
a
x，求得双曲线的a，b，即可得到所求渐近线
方程．
本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线方程和渐近线方程的关系，考查运算能力，属于基础题．
5.答案：C
解析：解：∵x、y均为正数，2
x +8
y
=1，
∴2
x +8
y
=1≥2√2
x
⋅8
y
，化为xy≥64，当且仅当y=4x=16时取等号．
∴xy有最小值64．
故选：C．
利用基本不等式的性质即可得出．
本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．6.答案：A
解析：
【分析】
由于1
a2>1
b2
⇔a2<b2⇔|a|<|b|，因此利用充分不必要条件的概念对A，B，C，D四个选项逐一
判断即可．
本题考查不等式的基本性质，考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，正确理解充分不必要条件的概念是判断的关键，属于中档题．
【解答】
解：∵a，b∈R，1
a2>1
b2
⇔0<a2<b2⇔0<|a|<|b|，
∴对于A，若b>a>0，则1
a2>1
b2
，即充分性成立；反之，当|a|<|b|时，不能⇒b>a>0，即必
要性不成立．
∴b>a>0是1
a2>1
b2
成立的一个充分不必要的条件，即A满足题意；
同理可分析B，C，D，均是1
a >1
b
成立的既不充分也不必要的条件；故可排除B，C，D；
故选A．
7.答案：B
解析：解：∵在等差数列{a n}中，a3+a8=8，
∴S10=10
2(a1+a10)=10
2
(a3+a8)=5×8=40．
由已知利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．
本题考查等差数列的前10项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
8.答案：C
解析：
【分析】
本题考查指数函数以及对勾函数的图象和性质，考察导数的应用，函数的单调性问题，属于中档题．
由∀x1∈[1
2,3]，都∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，可得f(x)在x1∈[1
2
,3]的最小值不小于g(x)在x2∈
[2,3]的最小值，构造关于a的不等式，可得结论．
【解答】
解：当x1∈[1
2
,3]时，由对勾函数的性质可得：
f(x)在[1
2
,2]上单调递减，在(2,3]上单调递增，
∴f(2)=4是函数的最小值；
当x2∈[2,3]时，g(x)=2x+a为增函数，
∴g(2)=a+4是函数的最小值，
又∵∀x1∈[1
2
,3]，都∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，
可得f(x)在x1∈[1
2
,3]的最小值不小于g(x)在x2∈[2,3]的最小值，
即4≥a+4，解得：a≤0．
故选C．
9.答案：A
解析：
【分析】
本题考查等差数列的性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
由等差数列{an}的前n项和公式、通项公式得到−11<=11a6≤22，由此能求出a6的取值范围．【解答】
解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且−11<S11≤22，
∴−11<11
2
(a1+a11)=11a6≤22，
解得−1<a6≤2，
∴a6的取值范围是(−1,2]．
故选：A．
解析：
【分析】
本题考查了双曲线的几何意义，根据到焦点的距离等于到准线的距离进行解答．
【解答】
解：抛物线y2=4x的准线l的方程为x=−1，焦点坐标为(1,0)，由抛物线几何性质知|MF|为点M 到直线l的距离，则有点P到直线l的距离d=4，如下图所示，则有|MP|+|MF|≥d=4，当点M 为点P到直线l的垂线与抛物线的交点时等号成立．
故选B．
．
11.答案：D
解析：
【分析】
本题考查了对数的运算和基本不等式，属基础题．
根据log2x+log2y=2，求出xy的值，然后直接利用基本不等式求解x+2y．
【解答】
解：∵log2x+log2y=2，∴log2xy=2，∴xy=4，x>0，y>0，
∴x+2y≥2√2xy=4√2，
当且仅当x=2y=2√2，即x=2√2，y=√2时取等号．
∴x+2y的最小值为4√2．
故选D．
12.答案：B
解析：
【分析】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
对于任意n>1，n∈N∗，满足S n+1+S n−1=2(S n+1)，可得S n+1−S n=S n−S n−1+2，可得a n+1−a n=2.利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】
解：∵对于任意n>1，n∈N∗，满足S n+1+S n−1=2(S n+1)，
∴S n+1−S n=S n−S n−1+2，
∴a n+1−a n=2．
∴数列{a n}在n≥2时是等差数列，公差为2．
则S10=1+9×2+9×8
2
×2=91．
故选：B．
13.答案：(1
2
,1)
解析：解：∵方程x2
2−k +y2
2k−1
=1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴2−k>2k−1>0，解得1
2
<k<1．
∴实数k的取值范围是(1
2
,1)．
故答案为：(1
2
,1)．
直接由题意列关于k的不等式组得答案．
本题考查椭圆的简单性质，考查了曲线方程表示椭圆的条件，是基础题．
14.答案：(1,4
3
]
解析：
【分析】
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
因为a，b是正实数，且1
a +1
b
=1，则a+b=ab⩾2√ab，当且仅当a=b=2时等号成立，解得ab≥4.
又由1
a+b +1
c
=1得1
ab
+1
c
=1，可得c的取值范围．
【解答】
解：因为a，b是正实数，且1
a +1
b
=1，
则a+b=ab⩾2√ab，
当且仅当a=b=2时等号成立，解得ab≥4．
又由1a+b +1c =1得1ab +1
c =1， c =ab
ab−1=1+1
ab−1∈(1,4
3]． ∴c 的取值范围为(1,4
3]. 故答案为(1,4
3].
15.答案：2016
解析： 【分析】
本题考查了递推关系、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由a
n a n+1−a n =n(n ∈N ∗
)，可得：na n+1=(n +1)a n ，又a 1=1，可得a n =n.即可得出．
【解答】
解：∵a
n a n+1−a n =n(n ∈N ∗
)，∴na n+1=(n +1)a n ，
化为：
a n+1a n
=
n+1n
，
∴n ≥2时，a n =a n
a n−1
·
a n−1a n−2
⋯
a 2a 1
·a 1=
n
n−1·
n−1
n−2
⋯2
1
·1，
∴a n =n ． ∴a 2016=2016．
故答案为：2016．
16.答案：[√7−√32,√3
3
]
解析：解：由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2m ， ∴2m =|PF 1|+|PF 2|≥2√|PF 1||PF 2|=2√2√3m ， 化为m 2≥2√3m ，又m >2， 解得m ≥2√3．
另一方面：设∠F 1PF 2=θ，
由余弦定理可得：|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1||PF 2|cosθ=(2c)2=16． |PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|=4m 2． 相减可得：1+cosθ=2√3m
．
∵θ∈[0,π)，
∴0<
2√3m
≤2.m ≥2√3
∴2≤m ≤√3+√7．
∴e =c a =√1−m 2−4m 2=2m ∈[√7−√32,√33
]， ∴该椭圆离心率的取值范围为[√7−√32,√33]， 故答案为：[√7−√32
,√33]． 由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2m ，利用基本不等式的性质可得：|PF 1|+|PF 2|≥2√|PF 1||PF 2|，化简整理即可得出．另一方面：设∠F 1PF 2=θ，由余弦定理可得：|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1||PF 2|cosθ=(2c)2=16．
|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|=4m 2.相减利用三角函数的单调性、不等式的解法即可得出．
本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.答案：解：(1)令
，则f (x )在上为减函数， 因为x ∈[0,8]，所以当x =8时，
， 不等式恒成立，等价于−2≥m 2−3m ，
解得1≤m ≤2，故命题p 为真，实数m 的取值范围为[1,2]；
(2)若命题q 为真，则
，对上恒成立， 令
，因为g(x)在上为单调增函数， 则，故m ≥1，即命题q 为真，m ≥1，
若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则命题p ，q 中一真一假，
①若p 为真，q 为假，那么{1<m <2m <1
，则无解， ②若p 为假，q 为真，那么{m <1或m >2m ≥1
，则m >2． 综上m 的取值范围为．
解析：本题主要考查全称量词命题，存在量词命题的真假判定，复合命题真假的判定．
(1)令，则f(x)在上为减函数，，结合已知条件，问题等价于−2≥m 2−3m ，即可解得实数m 的取值范围；
(2)由已知可得命题p ，q 中一真一假，然后分类讨论即可解得实数m 的取值范围．
18.答案：解：∵抛物线y 2=12x 的p =6，开口方向向右，∴焦点是(3,0)，
∵双曲线x 2
4−y 2
b 2=1的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合， ∴4+b 2=9，∴b 2=5
∴双曲线的渐近线方程为y =±√52
x ，即√5x ±2y =0
∴双曲线的焦点到其渐近线的距离为|3√5−0|3=√5．
解析：先求出抛物线y 2=12x 的焦点坐标，由此得到双曲线的右焦点，从而求出b 的值，进而得到该双曲线的离心率与渐近线方程，从而可求该双曲线的焦点到其渐近线的距离．．
本题考查双曲线的性质和应用，考查了学生对基础知识的综合把握能力，属于中档题． 19.答案：解：(1)b 2=13S 1=13b 1=13，
b 3=13S 2=13(b 1+b 2)=49
， b 4=13S 3=13(b 1+b 2+b 3)=1627 ;
(2)∵b n+1=13S n ． ∴b n =13S n−1(n ≥2)， 两式相减可得，b n+1−b n =13b n ，
∴b n+1=43b n ，
∵b 2=13
， ∴b n =13⋅(43)n−2(n ≥2)， ∴b n ={1,n =113⋅(43
)n−2,n ≥2 ; (3)b 2，b 4，b 6…b 2n 是首项为13，公比(43)2的等比数列，
∴b 2+b 4+b 6+⋯+b 2n
=13[1−(43)2n ]1−(43)2
=37[(43)2n −1]．
解析：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的性质的应用，数列的递推公式的应用是解答本题的关键．
(1)由b 1=1，b n+1=13S n .分别令n =1，2，3可求;
(2)由题意可得b n+1=13S n .b n =13S n−1(n ≥2)，两式相减，结合等比数列的通项公式可求;
(3)由(2)可得b 2，b 4，b 6…b 2n 是首项为13，公比(43)2的等比数列，结合等比数列的求和公式可求． 20.答案：解：(1)由题意，AB =AC =BC =2，∠BDC =120°，
由余弦定理得，BC 2=BD 2+DC 2−2BD ·DC ·cos120°，
即4=BD 2+DC 2+BD ·DC ，
即4−BD ·DC =BD 2+DC 2≥2BD ·DC ，(当且仅当BD =DC =23√3时取等号)
所以，BD·DC≤4
3
，所以，
≤√3+1
2×4
3
×√3
2
=4
3
√3，
即四边形区域ABCD面积的最大值为4
3
√3平方千米．
(2)当楼宇D与楼宇B、C间距离相等时，
由(1)得：BD=DC=2
3
√3，则∠DBC=∠DCB，
又∠BDC=120°，所以∠DBC=30°，
由等边三角形ABC得∠ABC=60°，所以∠ABD=∠ABC+∠DBC=90°，
在RtΔEBD中，∠BDE=θ，
所以，
，则，
所以铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为：
，
当时，．
答：铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的解析式为；
当时，铺设鹅卵石路和防腐木路的总费用为8√3
3
a元.
解析：本题考查解三角形的实际应用、余弦定理和利用基本不等式求最值，属较难题型．
(1)根据题意，结合余弦定理求得4=BD2+DC2+BD·DC，结合基本不等式得BD·DC≤4
3
，即可求得；(2)由题意可得∠DBC=30°，∠ABD=∠ABC+∠DBC=90°，从而在RtΔEBD中得铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为
，代入即可得出结果．
21.答案：解：(Ⅰ)由题可知e =c a =√53
，2a +2b =10，解得a =3，b =2． 故椭圆E 的标准方程为E ：x 29+y 24=1
证明(Ⅱ)：设P(x 0,y 0)，直线PA 交y 轴于点C(0,y 1)，直线PB 交y 轴于点D(0,y 2).
则x 0
29+y 0
24=1，即9y 0
29−x 02=4． 易知OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向，故OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y 1y 2． 因为A(−3,0)，B(3,0)，
所以得直线PA 的方程为y−y 0−y 0=x−x 0−3−x 0，令x =0，则y 1=3y 03+x 0
； 直线PB 的方程为为y−y 0−y 0=x−x 03−x 0，令x =0，则y 2=3y
03−x 0 所以故OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y 1y 2=9y 029−x 02=4，为定值．
解析：(Ⅰ)由e =c a =√53
，2a +2b =10，解得a =3，b =2.，进而得到椭圆方程； (Ⅱ)设P(x 0,y 0)，直线PA 交y 轴于点C(0,y 1)，直线PB 交y 轴于点D(0,y 2)，求得直线PA ，PB 的方程，分别求出y 1，y 2，再根据向量的数量积即可证明
本题考查椭圆的方程的求法，注意运用联立直线求交点，考查向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
22.答案：解：(1)∵b 1=1，b n+1=13S n ，
∴b 2=13b 1=13，b 3=13(b 1+b 2)=49，b 4=13(b 1+b 2+b 3)=1627
． (2)当n ≥2时，b n+1−b n =13S n −13S n−1=13b n ，可得b n+1=43b n ，
∴b n =13×(43)n−2．
∴b n ={1,n =113×(43)n−2,n ≥2．
解析：本题主要考查数列通项公式b n 与前n 项和S n 的关系，以及数列通项公式的求法，属于基础题．
(1)根据b 1=1，b n+1=13S n ，可求出b 2，b 3，b 4的值；
(2)利用b n 与前n 项和S n 的关系b n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2可求出通项公式．。