离散数学第14章
离散数学(第十四章)
实例
强连通
单连通
弱连通
二部图
定义14.23 设 G=<V,E>为一个无向图，若能将 V分成 V1和V2 (V1V2=V，V1V2=)，使得 G 中的每条边的两个端点都是 一个属于V1，另一个属于V2，则称 G 为二部图 ( 或称二分 图、偶图等 )，称V1和V2为互补顶点子集，常将二部图G 记为<V1,V2,E>.
m 2 ( j 1,2,...,m ) ( 2) m d ( v ) ( i 1, 2,...,n) ( 3) m 2m
n i 1 m ij j 1 ij i ij i, j
(4) 平 行 边 的 列 相 同
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无向图的关联矩阵
例如 M(G)=
211000 010111 000011 000000 001100
1. 删除顶点及删除边 Gv ——从G中将v及关联的边去掉 GV——从G中删除V中所有的顶点 Ge ——将e从G中去掉 GE——删除E中所有边 2. 点割集与边割集 点割集与割点 定义14.16 G=<V,E>, VV V为点割集——p(GV)>p(G)且有极小性 v为割点——{v}为点割集 定义14.17 G=<V,E>, EE E是边割集——p(GE)>p(G)且有极小性 e是割边（桥）——{e}为边割集
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有向图的连通性
定义14.20 D=<V,E>为有向图 vi vj（vi 可达 vj）——vi 到vj 有通路 vi vj（vi 与vj 相互可达） 性质 具有自反性(vi vi)、传递性 具有自反性、对称性、传递性 vi 到vj 的短程线与距离 类似于无向图中，只需注意距离表示法的不同 (无向图中d(vi,vj)，有向图中d<vi,vj>) 及 d<vi,vj>无对称性
最新离散数学屈婉玲第十四章ppt课件
则称yl (或 yr)是x的左逆元（或右逆元）. 关于◦运算，若y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元，则称 y为x的逆元. 如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的.
可以证明： 对于给定二元运算，单位元或零元如果存在，则是唯一的. 对于可结合的二元运算，给定元素若存在逆元，则是唯一
定义14.5-6 设◦和∗为S上两个不同的二元运算, (1) 若对任意x,y,z∈S有 (x∗y)◦z=(x◦z)∗(y◦z)，
z◦(x∗y)=(z◦x)∗(z◦y), 则称◦运算对∗运算满足分配律. (2) 若和∗都可交换,且对任意x,y∈S有 x◦(x∗y)=x，x∗(x◦y)=x,
则称◦和∗运算满足吸收律.
例1 (1) 自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但 减法和除法不是． (2) 整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算， 而除法不是．求一个数的相反数是Z上的一元运算. (3) 非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，而 加法和减法不是．求倒数是R*上的一元运算.
3
实例
(6) SS为S上的所有函数的集合，则合成运算为SS上二元运算. 求反函数不一定是一元运算.
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二元与一元运算的表示
1．算符 可以用◦, ∗, ·, , , 等符号表示二元或一元运算，称为算符. 对二元运算◦，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 x◦y = z 对一元运算, x的运算结果记作x.
2．表示二元或一元运算的方法: 解析公式和运算表 公式表示 例 设R为实数集合，如下定义R上的二元运算∗：
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消去律
定义14.10 设∘为S上的二元运算，如果对于任意的 x, y, zS 满足以下条件：
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值;1p∨q∧r⇔0∨0∧1 ⇔02pr∧﹁q∨s ⇔01∧1∨1 ⇔0∧1⇔0.3⌝p∧⌝q∧rp∧q∧﹁r ⇔1∧1∧1 0∧0∧0⇔04⌝r∧s→p∧⌝q ⇔0∧1→1∧0 ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数;并且,如果3是无理数,则2也是无理数;另外6能被2整除,6才能被4整除;”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧q→r∧t→s的真值为1,所以这一段的论述为真;19．用真值表判断下列公式的类型：4p→q →⌝q→⌝p5p∧r ↔⌝p∧⌝q6p→q ∧q→r →p→r答： 4p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p p→q→⌝q→⌝p0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式5公式类型为可满足式方法如上例6公式类型为永真式方法如上例第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.1 ⌝p∧q→q2p→p∨q∨p→r3p∨q→p∧r答：2p→p∨q∨p→r⇔⌝p∨p∨q∨⌝p∨r⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式3P q r p∨q p∧r p∨q→p∧r0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：2p→q∧p→r⇔p→q∧r4p∧⌝q∨⌝p∧q⇔p∨q ∧⌝p∧q证明2p→q∧p→r⇔⌝p∨q∧⌝p∨r⇔⌝p∨q∧r⇔p→q∧r4p∧⌝q∨⌝p∧q⇔p∨⌝p∧q ∧⌝q∨⌝p∧q⇔p∨⌝p∧p∨q∧⌝q∨⌝p ∧⌝q∨q⇔1∧p∨q∧⌝p∧q∧1⇔p∨q∧⌝p∧q5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值1⌝p→q→⌝q∨p2⌝p→q∧q∧r3p∨q∧r→p∨q∨r解：1主析取范式⌝p→q→⌝q∨p⇔⌝p∨∨⌝∨p⇔⌝p∧⌝∨⌝∨p⇔⌝p∧⌝∨⌝∧p∨⌝q∧⌝p∨p∧q∨p∧⌝q⇔⌝p∧⌝q∨p∧⌝q∨p∧q⇔∑0,2,3主合取范式：⌝p→q→⌝q∨p⇔⌝p∨∨⌝∨p⇔⌝p∧⌝∨⌝∨p⇔⌝p∨⌝q∨p∧⌝∨⌝∨p⇔1∧p∨⌝q⇔p∨⌝q ⇔ M1⇔∏12 主合取范式为：⌝p→∧∧r⇔⌝⌝p∨∧∧r⇔p∧⌝∧∧r⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏0,1,2,3,4,5,6,7矛盾式的主析取范式为 03主合取范式为：p∨q∧r→p∨q∨r⇔⌝p∨q∧r→p∨q∨r⇔⌝p∧⌝q∨⌝r∨p∨q∨r⇔⌝p∨p∨q∨r∧⌝q∨⌝r∨p∨q∨r⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑0,1,2,3,4,5,6,7第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：2前提：p→q,⌝q∧r,r结论：⌝p4前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：2①⌝q∧r 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p3 ⑤⑥拒取式证明4：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥q→t∧t→q ⑤置换⑦q→t ⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理11p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→q→r,s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→q→r 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：1前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为a,b条件时命题的真值:1 对于任意x,均有x2−2=x+√2x−√2.2 存在x,使得x+5=9.其中a个体域为自然数集合.b个体域为实数集合.解：Fx: x2−2=x+√2x−√2.Gx: x+5=9.1在两个个体域中都解释为)∀,在a中为假命题,在b中为真命题;(xxF2在两个个体域中都解释为)(x∃,在ab中均为真命题;xG4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化:1 没有不能表示成分数的有理数.2 在北京卖菜的人不全是外地人.解:1Fx: x能表示成分数Hx: x是有理数命题符号化为: ))x∧F⌝∃x⌝(x()(H2Fx: x是北京卖菜的人Hx: x是外地人命题符号化为: ))F⌝∀xx→(x(H)(5. 在一阶逻辑将下列命题符号化:1 火车都比轮船快.3 不存在比所有火车都快的汽车.解:1Fx: x是火车; Gx: x是轮船; Hx,y: x比y快命题符号化为: ))FyxGy∀∀∧x→))((,H)x((y(2 1Fx: x是火车; Gx: x是汽车; Hx,y: x比y快命题符号化为: )))xFxyG∧∀y→⌝∃H)(,(((y()x9.给定解释I如下:a 个体域D为实数集合R.b D中特定元素a ̅=0.c 特定函数f x,y=x−y,x,y D∈.d 特定谓词F̅x,y:x=y,G̅x,y:x<y,x,y D∈.说明下列公式在I下的含义,并指出各公式的真值:答:1 对于任意两个实数x,y,如果x<y, 那么x≠y. 真值1.2 对于任意两个实数x,y,如果x-y=0, 那么x<y. 真值0.10. 给定解释I如下：a 个体域D=NN为自然数集合.b D中特定元素a̅=2.c D上函数f(x,y)=x+y,g̅x,y=xy.d D上谓词F̅x,y:x=y.说明下列各式在I下的含义,并讨论其真值.(1)xFgx,a,x(2)xyFfx,a,y→Ffy,a,x答:1 对于任意自然数x, 都有2x=x, 真值0.2 对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y, 那么y+2=x. 真值0.11. 判断下列各式的类型:1 F(x,y)→(G(x,y)→F(x,y)).3 xyF(x,y)→x yFx,y.解:1因为1→pq⇔qp为永真式；pp→⌝()(⇔)∨⌝∨所以F(x,y)→(G(x,y)→F(x,y)).为永真式；3取解释I个体域为全体实数Fx,y：x+y=5所以,前件为任意实数x存在实数y使x+y=5,前件真；后件为存在实数x对任意实数y都有x+y=5,后件假,此时为假命题再取解释I个体域为自然数N,Fx,y：:x+y=5所以,前件为任意自然数x存在自然数y使x+y=5,前件假;此时为假命题;此公式为非永真式的可满足式;13. 给定下列各公式一个成真的解释,一个成假的解释;1 x Fx∨G(x))2 xFx∧Gx∧Hx解:1个体域:本班同学Fx：x会吃饭, Gx：x会睡觉.成真解释Fx：x是泰安人,Gx：x是济南人.2成假解释2个体域:泰山学院的学生Fx ：x 出生在山东,Gx:x 出生在北京,Hx:x 出生在江苏,成假解释. Fx ：x 会吃饭,Gx ：x 会睡觉,Hx ：x 会呼吸. 成真解释.第五章部分课后习题参考答案5.给定解释Ｉ如下:a 个体域D={3,4};b )(x f f 为3)4(,4)3(==f f c 1)3,4()4,3(,0)4,4()3,3(),(====F F F F y x F 为. 试求下列公式在Ｉ下的真值. 1),(y x yF x ∃∀3)))(),((),((y f x f F y x F y x →∀∀ 解:1 ))4,()3,((),(x F x F x y x yF x ∨∀⇔∃∀2 )))(),((),((y f x f F y x F y x →∀∀ 12.求下列各式的前束范式;1),()(y x yG x xF ∀→∀5)),()((),(2121211x x G x x H x x F x ⌝∃→→∃ 本题课本上有错误 解:1 ),()(y x yG x xF ∀→∀),()(y t yG x xF ∀→∀⇔)),()((y t G x F y x →∀∃⇔ 5 )),()((),(2121211x x G x x H x x F x ⌝∃→→∃ 15.在自然数推理系统F 中,构造下面推理的证明:(1) 前提: ))())()((()(y R y G y F y x xF →∨∀→∃,)(x xF ∃结论: ∃xRx(2) 前提: ∀xFx →Ga ∧Rx, xFx结论:xFx ∧Rx 证明1①)(x xF ∃ 前提引入 ②Fc ①EI③))())()((()(y R y G y F y x xF →∨∀→∃ 前提引入 ④))())()(((y R y G y F y →∨∀ ①③假言推理 ⑤Fc ∨Gc →Rc ④UI⑥Fc ∨Gc ②附加 ⑦Rc ⑤⑥假言推理 ⑧∃xRx ⑦EG 2①∃xFx 前提引入 ②Fc ①EI③∀xFx →Ga ∧Rx 前提引入 ④Fc →Ga ∧Rc ③UI⑤Ga ∧Rc ②④假言推理 ⑥Rc ⑤化简 ⑦Fc ∧Rc ②⑥合取引入 ⑧∃xFx ∧Rx ⑦EG第六章部分课后习题参考答案5.确定下列命题是否为真： 1∅⊆∅ 真 2∅∈∅ 假 3}{∅⊆∅ 真 4}{∅∈∅ 真 5｛a,b ｝⊆｛a,b,c,｛a,b,c ｝｝ 真 6｛a,b ｝∈｛a,b,c,｛a,b ｝｝ 真 7｛a,b ｝⊆｛a,b,｛｛a,b ｝｝｝ 真 8｛a,b ｝∈｛a,b,｛｛a,b ｝｝｝ 假6．设a,b,c 各不相同,判断下述等式中哪个等式为真: 1｛｛a,b ｝,c,∅｝=｛｛a,b ｝,c ｝ 假2｛a ,b,a ｝=｛a,b ｝ 真 3｛｛a ｝,{b}｝=｛｛a,b ｝｝ 假 4｛∅,｛∅｝,a,b ｝=｛｛∅,｛∅｝｝,a,b ｝ 假 8．求下列集合的幂集：1｛a,b,c ｝ PA={ ∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}2｛1,｛2,3｝｝PA={ ∅, {1}, {{2,3}}, {1,{2,3}} }3｛∅｝PA={ ∅, ｛∅｝ }4｛∅,｛∅｝｝PA={ ∅, {1}, {{2,3}}, {1,{2,3}} }14．化简下列集合表达式：1A B B -A B2A B C-B C A解:1A B B -A B=A B B ～A B=A B ～A B B=∅ B=∅2A B C-B C A=A B C ～B C A=A ～B C B C ～B C A=A ～B C ∅ A=A ～B C A=A18．某班有25个学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球;已知6个会打网球的人都会打篮球或排球;求不会打球的人数;解: 阿A={会打篮球的人},B={会打排球的人},C={会打网球的人}|A|=14, |B|=12, |A B|=6,|A C|=5,| A B C|=2,|C|=6,C⊆A B如图所示;25-5+4+2+3-5-1=25-14-5-1=5不会打球的人共5人21.设集合A＝{{1,2},{2,3},{1,3},{∅}},计算下列表达式：1 A2 A3 A4 A解:1 A={1,2} {2,3} {1,3} {∅}={1,2,3,∅}2 A={1,2} {2,3} {1,3} {∅}=∅3 A=1 2 3 ∅=∅4 A=∅27、设A,B,C是任意集合,证明1A-B-C=A- B⋃C2A-B-C=A-C-B-C证明1 A-B-C=A ～B ～C= A ～B ～C= A ～B⋃C =A- B⋃C2 A-C-B-C=A ～C ～B ～C= A ～C ～B C=A ～C ～B A ～C C= A ～C ～B ∅= A ～B⋃C =A- B⋃C 由1得证;第七章部分课后习题参考答案7.列出集合A={2,3,4}上的恒等关系I A,全域关系E A,小于或等于关系L A,整除关系D A. 解：I={<2,2>,<3,3>,<4,4>}A={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<3,2>,<3,3>,<4,2>,<4,3>}EA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}LAD={<2,4>}A13.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>}B={<1,3>,<2,4>,<4,2>}求A⋃B,A⋂B, domA, domB, domA⋃B, ranA, ranB, ranA⋂B , fldA-B.解：A⋃B={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>}A⋂B={<2,4>}domA={1,2,3}domB={1,2,4}domA∨B={1,2,3,4}ranA={2,3,4}ranB={2,3,4}ranA⋂B={4}A-B={<1,2>,<3,3>},fldA-B={1,2,3}14.设R={<0,1><0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}求R R, R-1, R↑{0,1,}, R{1,2}解：R R={<0,2>,<0,3>,<1,3>}R -1,={<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>}R ↑{0,1}={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>}R{1,2}=ranR|{1,2}={2,3}16．设A={a,b,c,d},1R ,2R 为A 上的关系,其中1R ={},,,,,a a a b b d求23122112,,,R R R R R R ;解: R 1 R 2={<a,d>,<a,c>,<a,d>}R 2 R 1={<c,d>}R 12=R 1 R 1={<a,a>,<a,b>,<a,d>}R 22=R 2 R 2={<b,b>,<c,c>,<c,d>}R 23=R 2 R 22={<b,c>,<c,b>,<b,d>}36．设A={1,2,3,4},在A ⨯A 上定义二元关系R,∀<u,v>,<x,y>∈A ⨯A ,〈u,v> R <x,y>⇔u + y = x + v.(1)证明R 是A ⨯A 上的等价关系.2确定由R 引起的对A ⨯A 的划分.1证明：∵<u,v>R<x,y> ⇔u+y=x-y∴<u,v>R<x,y>⇔u-v=x-y∀<u,v>∈A ⨯A∵u-v=u-v∴<u,v>R<u,v>∴R 是自反的任意的<u,v>,<x,y>∈A ×A如果<u,v>R<x,y> ,那么u-v=x-y∴x-y=u-v ∴<x,y>R<u,v>∴R 是对称的任意的<u,v>,<x,y>,<a,b>∈A ×A若<u,v>R<x,y>,<x,y>R<a,b>则u-v=x-y,x-y=a-b∴u-v=a-b ∴<u,v>R<a,b>∴R是传递的∴R是A×A上的等价关系2 ∏={{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}, {<2,1>,<3,2>,<4,3>}, {<3,1>,<4,2>},{<4,1>}, {<1,2>,<2,3>,<3,4>}, {<1,3>,<2,4>}, {<1,4>} }41.设A={1,2,3,4},R为A⨯A上的二元关系, ∀〈a,b〉,〈c,d〉∈A⨯A ,〈a,b〉R〈c,d〉⇔a + b = c + d(1)证明R为等价关系.(2)求R导出的划分.1证明：∀<a,b〉∈A⨯Aa+b=a+b∴<a,b>R<a,b>∴R是自反的任意的<a,b>,<c,d>∈A×A设<a,b>R<c,d>,则a+b=c+d∴c+d=a+b ∴<c,d>R<a,b>∴R是对称的任意的<a,b>,<c,d>,<x,y>∈A×A若<a,b>R<c,d>,<c,d>R<x,y>则a+b=c+d,c+d=x+y∴a+b=x+y ∴<a,b>R<x,y>∴R是传递的∴R是 A×A上的等价关系2∏={{<1,1>}, {<1,2>,<2,1>}, {<1,3>,<2,2>,<3,1>}, {<1,4>,<4,1>,<2,3>,<3,2>}, {<2,4>,<4,2>,<3,3>}, {<3,4>,<4,3>}, {<4,4>}}43. 对于下列集合与整除关系画出哈斯图:1 {1,2,3,4,6,8,12,24}2 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}解:1 245.下图是两个偏序集<A,R >的哈斯图.分别写出集合A 和偏序关系R 的集合表达式.a b解: aA={a,b,c,d,e,f,g}R ={<a,b>,<a,c>,<a,d>,<a,e>,<a,f>,<a,g>,<b,d>,<b,e>,<c,f>,<c,g>}A I ⋃ b A={a,b,c,d,e,f,g} R ={<a,b>,<a,c>,<a,d>,<a,e>,<a,f>,<d,f>,<e,f>}A I ⋃46.分别画出下列各偏序集<A,R >的哈斯图,并找出A 的极大元`极小元`最大元和最小元.1A={a,b,c,d,e} R ={<a,d>,<a,c>,<a,b>,<a,e>,<b,e>,<c,e>,<d,e>}⋃I A . 2A={a,b,c,d,e}, R ={<c,d>}⋃IA.解:1 2项目 1 2极大元: e a,b,d,e极小元: a a,b,c,e最大元: e 无最小元: a 无第八章部分课后习题参考答案1．设f :N →N,且f x=12x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，若为奇数若为偶数， 求f 0, f {0}, f 1, f {1}, f {0,2,4,6,…},f {4,6,8}, f -1{3,5,7}.解：f 0=0, f {0}={0}, f 1=1, f {1}={1},f {0,2,4,6,…}=N,f {4,6,8}={2,3,4}, f -1 {3,5,7}={6,10,14}.4. 判断下列函数中哪些是满射的哪些是单射的哪些是双射的1 f:N →N, fx=x 2+2 不是满射,不是单射2 f:N →N,fx=xmod 3,x 除以3的余数 不是满射,不是单射3 f:N →N,fx=10x x ⎧⎨⎩，若为奇数，若为偶数不是满射,不是单射 4 f:N →{0,1},fx=01x x ⎧⎨⎩，若为奇数，若为偶数是满射,不是单射 5 f:N-{0}→R,fx=lgx 不是满射,是单射6 f:R →R,fx=x 2-2x-15 不是满射,不是单射5. 设X={a,b,c,d},Y={1,2,3},f={<a,1>,<b,2>,<c,3>,}判断以下命题的真假:1f 是从X 到Y 的二元关系,但不是从X 到Y 的函数; 对2f 是从X 到Y 的函数,但不是满射,也不是单射的; 错3f 是从X 到Y 的满射,但不是单射; 错4f 是从X 到Y 的双射. 错第十章部分课后习题参考答案4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：（1） 整数集合Z 和普通的减法运算;封闭,不满足交换律和结合律,无零元和单位元（2） 非零整数集合Z ∗和普通的除法运算;不封闭（3） 全体n n ⨯实矩阵集合M n R 和矩阵加法及乘法运算,其中n ≥2;封闭 均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律；加法单位元是零矩阵,无零元；乘法单位元是单位矩阵,零元是零矩阵；4全体n n ⨯实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算,其中n ≥2;不封闭5正实数集合R +和 ° 运算,其中 ° 运算定义为：a ，b ∈R +，a ° b = ab −a −b不封闭 因为 +∉-=--⨯=R 11111116n ∈Z +,nZ ={nz | z ∈ Z }.nZ 关于普通的加法和乘法运算;封闭,均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律加法单位元是0,无零元；乘法无单位元1>n ,零元是0；1=n 单位元是17A = {},,,21n a a a n ≥2.° 运算定义如下：a ，b ∈ A ，a ° b = b封闭 不满足交换律,满足结合律,8S = {2x −1|x ∈Z +}关于普通的加法和乘法运算;封闭 均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律9S = {0,1},S 是关于普通的加法和乘法运算;加法不封闭,乘法封闭；乘法满足交换律,结合律10S = {x | x =2n ,n ∈Z +} ,S 关于普通的加法和乘法运算;加法不封闭,乘法封闭,乘法满足交换律,结合律5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律,结合律,分配律;见上题7．设 为+Z 上的二元运算+∈∀Z y x ,,X Y = min x,y ,即x 和y 之中较小的数.(1)求4 6,7 3;4, 32 在+Z 上是否适合交换律,结合律,和幂等律满足交换律,结合律,和幂等律3求运算的单位元,零元及+Z 中所有可逆元素的逆元;单位元无,零元1, 所有元素无逆元8．Q Q S ⨯= Q 为有理数集,为S 上的二元运算,<a,b>,<x,y > ∈ S 有< a,b ><x,y> = <ax,ay + b>1运算在S 上是否可交换,可结合是否为幂等的不可交换：<x,y><a,b >= <xa,xb +y>≠< a,b ><x,y>可结合：<a,b ><x,y><c,d>=<ax,ay + b><c,d>=<axc,axd +ay+b ><a,b ><x,y><c,d>=<a, b><xc,xd+y>=<axc,axd +y+b ><a,b ><x,y><c,d>=<a,b ><x,y><c,d>不是幂等的2运算是否有单位元,零元 如果有请指出,并求S 中所有可逆元素的逆元;设<a,b>是单位元,<x,y > ∈ S ,<a,b ><x,y>= <x,y><a,b >=<x,y>则<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<x,y>,解的<a,b>=<1,0>,即为单位;设<a,b>是零元,<x,y > ∈ S ,<a,b ><x,y>= <x,y><a,b >=<a,b>则<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<a,b>,无解;即无零元;<x,y > ∈ S,设<a,b>是它的逆元<a,b ><x,y>= <x,y><a,b >=<1,0><ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<1,0>a=1/x,b=-y/x所以当x ≠0时,x y x y x -=><-,1,1 10．令S={a,b},S 上有四个运算：,°，和□分别有表确定; a b c d1这4个运算中哪些运算满足交换律,结合律,幂等律a 交换律,结合律,幂等律都满足, 零元为a,没有单位元；b 满足交换律和结合律,不满足幂等律,单位元为a,没有零元c 满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律没有单位元, 没有零元d 不满足交换律,满足结合律和幂等律没有单位元, 没有零元(2)求每个运算的单位元,零元以及每一个可逆元素的逆元;见上16．设V=〈 N,+ , 〉,其中+ ,分别代表普通加法与乘法,对下面给定的每个集合确定它是否构成V 的子代数,为什么1S 1={2n | n ∈Z } 是2S 2={2n +1 | n ∈Z } 不是 加法不封闭3S 3 = {-1,0,1} 不是,加法不封闭第十一章部分课后习题参考答案8.设S={0,1,2,3},为模4乘法,即"∀x,y ∈S, xy=xymod 4 问〈S,〉是否构成群为什么解：1 ∀x,y ∈S, xy=xymod 4S ∈,是S 上的代数运算; 2 ∀x,y,z ∈S,设xy=4k+r 30≤≤rx y z =xymod 4z=r z=rzmod 4=4kz+rzmod 4=4k+rzmod 4 =xyzmod 4同理x y z =xyzmod 4所以,x y z = x y z,结合律成立; 3 ∀x ∈S, x 1=1x=x,,所以1是单位元;4,33,1111==-- 0和2没有逆元所以,〈S,〉不构成群9.设Z 为整数集合,在Z 上定义二元运算;如下：" ∀x,y ∈Z,xoy= x+y-2问Z 关于o 运算能否构成群为什么解：1 ∀x,y ∈Z, xoy= x+y-2Z ∈,o 是Z 上的代数运算;2 ∀x,y,z ∈Z,xoy oz =x+y-2oz=x+y-2+z-2=x+y+z-4同理xoyoz= xoyoz,结合律成立;3设e 是单位元,∀x ∈Z, xo e = e ox=x,即x+e -2= e +x-2=x, e=24 ∀x ∈Z , 设x 的逆元是y, xoy= yox=e , 即x+y-2=y+x-2=2,所以,x y x -==-41所以〈Z,o 〉构成群11.设G=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001,1001,1001,1001,证明G 关于矩阵乘法构成一个群． 解：1 ∀x,y ∈G, 易知xy ∈G,乘法是Z 上的代数运算;2 矩阵乘法满足结合律3设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001是单位元,4每个矩阵的逆元都是自己;所以G 关于矩阵乘法构成一个群．14.设G 为群,且存在a∈G,使得G={a k ∣k∈Z}证明：G 是交换群;证明:∀x,y ∈G,设l k a y a x ==,,则所以,G 是交换群17.设G 为群,证明e 为G 中唯一的幂等元;证明:设G e ∈0也是幂等元,则020e e =,即e e e 020=,由消去律知e e =018.设G 为群,a,b,c∈G,证明∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣证明：先证设e bca e abc k k =⇔=)()(设,)(e abc k =则e abc abc abc abc =)())()(( ,即 e a bca bca bca bca a =-1)())()((左边同乘1-a ,右边同乘a 得反过来,设,)(e bac k =则.)(e abc k= 由元素阶的定义知,∣abc∣=∣bca∣,同理∣bca∣=∣cab∣19.证明：偶数阶群G 必含2阶元;证明：设群G 不含2阶元,G a ∈∀,当e a =时,a 是一阶元,当e a ≠时,a 至少是3阶元,因为群G 时有限阶的,所以a 是有限阶的,设a 是k 阶的,则1-a 也是k 阶的,所以高于3阶的元成对出现的,G 不含2阶元,G 含唯一的1阶元e ,这与群G 是偶数阶的矛盾;所以,偶数阶群G 必含2阶元20.设G 为非Abel 群,证明G 中存在非单位元a 和b,a≠b,且ab=ba.证明：先证明G 含至少含3阶元;若G 只含1阶元,则G={e},G 为Abel 群矛盾；若G 除了1阶元e 外,其余元a 均为2阶元,则e a =2,a a =-1ba ba b a ab ab ab b b a a G b a ======∈∀------111111)(,)(,,,,所以,与G 为Abel 群矛盾；所以,G 含至少含一个3阶元,设为a ,则≠a 2a ,且22aa a a =;令2a b =的证;21.设G 是M n R 上的加法群,n≥2,判断下述子集是否构成子群;1全体对称矩阵 是子群2全体对角矩阵 是子群3全体行列式大于等于0的矩阵. 不是子群4全体上下三角矩阵; 是子群22.设G 为群,a 是G 中给定元素,a 的正规化子Na 表示G 中与a 可交换的元素构成的集合,即Na={x ∣x ∈G ∧xa=ax}证明Na 构成G 的子群;证明：ea=ae,φ≠∈)(a N ea xy ya x ay x y xa y ax xy a )()()()()()(=====,所以)(a N xy ∈由xa ax =,得111111,------==eax ae x xax x axx x ,即11--=ax a x ,所以)(1a N x ∈- 所以Na 构成G 的子群31.设ϕ1是群G 1到G 2的同态,ϕ2是G 2到G 3的同态,证明ϕ1ϕ 2是G 1到G 3的同态;证明：有已知ϕ1是G 1到G 2的函数,ϕ2是G 2到G 3的函数,则ϕ1·ϕ2是G 1到G 3的函数;所以:ϕ1·ϕ2是G 1到G 3的同态;33.证明循环群一定是阿贝尔群,说明阿贝尔群是否一定为循环群,并证明你的结论; 证明：设G 是循环群,令G=<a>,G y x ∈∀,,令l k a y a x ==,,那么yx a a a a a a xy k l k l l k l k =====++,G 是阿贝尔群克莱因四元群,},,,{c b a e G =是交换群,但不是循环群,因为e 是一阶元,a,b,c 是二阶元;36.设τσ,是5元置换,且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3541254321σ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2154354321τ 1计算τσσσττσστ111,,,,---；2将τσσττσ11,,--表成不交的轮换之积;3将2中的置换表示成对换之积,并说明哪些为奇置换,哪些为偶置换; 解：1 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1235454321τσ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5213454321στ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-32154543211τ 2 )1425(=τσ )14253(1=-τ )25)(143(1=-τσσ3 )15)(12)(14(=τσ 奇置换,)13)(15)(12)(14(1=-τ 偶置换)25)(13)(14(1=-τσσ 奇置换第十四章部分课后习题参考答案5、设无向图G 有10条边,3度与4度顶点各2个,其余顶点的度数均小于3,问G 至少有多少个顶点在最少顶点的情况下,写出度数列、)()(G G δ、∆;解：由握手定理图G 的度数之和为：20102=⨯3度与4度顶点各2个,这4个顶点的度数之和为14度;其余顶点的度数共有6度;其余顶点的度数均小于3,欲使G 的顶点最少,其余顶点的度数应都取2, 所以,G 至少有7个顶点, 出度数列为3,3,4,4,2,2,2,2)(,4)(==∆G G δ.7、设有向图D 的度数列为2,3,2,3,出度列为1,2,1,1,求D 的入度列,并求)(),(D D δ∆, )(),(D D ++∆δ,)(),(D D --∆δ.解：D 的度数列为2,3,2,3,出度列为1,2,1,1,D 的入度列为1,1,1,2.2)(,3)(==∆D D δ,1)(,2)(==∆++D D δ,1)(,2)(==∆--D D δ8、设无向图中有6条边,3度与5度顶点各1个,其余顶点都是2度点,问该图有多少个顶点解：由握手定理图G 的度数之和为：1262=⨯设2度点x 个,则1221513=+⨯+⨯x ,2=x ,该图有4个顶点.14、下面给出的两个正整数数列中哪个是可图化的对可图化的数列,试给出3种非同构的无向图,其中至少有两个时简单图;1 2,2,3,3,4,4,52 2,2,2,2,3,3,4,4解：1 2+2+3+3+4+4+5=23 是奇数,不可图化；2 2＋2+2+2+3+3+4+4=16, 是偶数,可图化；18、设有3个4阶4条边的无向简单图G 1、G 2、G 3,证明它们至少有两个是同构的;证明：4阶4条边的无向简单图的顶点的最大度数为3,度数之和为8,因而度数列为2,2,2,2；3,2,2,1；3,3,1,1;但3,3,1,1对应的图不是简单图;所以从同构的观点看,4阶4条边的无向简单图只有两个：所以,G 1、G 2、G 3至少有两个是同构的;20、已知n 阶无向简单图G 有m 条边,试求G 的补图G 的边数m '; 解：m n n m --='2)1( 21、无向图G 如下图1求G 的全部点割集与边割集,指出其中的割点和桥；2 求G 的点连通度)(G k 与边连通度)(G λ;解：点割集: {a,b},d边割集{e2,e3},{e3,e4},{e1,e2},{e1,e4}{e1,e3},{e2,e4},{e5})(G k =)(G λ=123、求G 的点连通度)(G k 、边连通度)(G λ与最小度数)(G δ;解：2)(=G k 、3)(=G λ 、4)(=G δ28、设n 阶无向简单图为3-正则图,且边数m 与n 满足2n-3=m 问这样的无向图有几种非同构的情况解：⎩⎨⎧=-=mn m n 3223 得n=6,m=9.31、设图G 和它的部图G 的边数分别为m 和m ,试确定G 的阶数; 解：2)1(+=+n n m m 得2)(811m m n +++-= 45、有向图D 如图1求2v 到5v 长度为1,2,3,4的通路数；2求5v 到5v 长度为1,2,3,4的回路数；3求D 中长度为4的通路数；4求D 中长度小于或等于4的回路数；5写出D 的可达矩阵;解：有向图D 的邻接矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0101000101100000010110000A ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00202200000101020000010102A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=40000020200020202020002023A 12v 到5v 长度为1,2,3,4的通路数为0,2,0,0；25v 到5v 长度为1,2,3,4的回路数为0,0,4,0；3D 中长度为4的通路数为32；4D 中长度小于或等于4的回路数10；4出D 的可达矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111111111111111111111P 第十六章部分课后习题参考答案1、画出所有5阶和7阶非同构的无向树.2、一棵无向树T 有5片树叶,3个2度分支点,其余的分支点都是3度顶点,问T 有几个顶点 解：设3度分支点x 个,则)135(232315-++⨯=+⨯+⨯x x ,解得3=xT 有11个顶点3、无向树T 有8个树叶,2个3度分支点,其余的分支点都是4度顶点,问T 有几个4度分支点根据T 的度数列,请至少画出4棵非同构的无向树;解：设4度分支点x 个,则)128(243218-++⨯=+⨯+⨯x x ,解得2=x4、棵无向树T 有i n i=2,3,…,k 个i 度分支点,其余顶点都是树叶,问T 应该有几片树叶 解：设树叶x 片,则)1(21-+⨯=⨯+⨯x n x i n i i ,解得2)2(+-=i n i x评论：2,3,4题都是用了两个结论,一是握手定理,二是1-=n m5、nn≥3阶无向树T 的最大度(T)至少为几最多为几解：2,n-16、若nn ≥3阶无向树T 的最大度(T) =2,问T 中最长的路径长度为几解：n-17、证明：nn ≥2 阶无向树不是欧拉图.证明：无向树没有回路,因而不是欧拉图;8、证明：nn ≥2 阶无向树不是哈密顿图.证明：无向树没有回路,因而不是哈密顿图;9、证明：任何无向树T 都是二部图.证明：无向树没有回路,因而不存在技术长度的圈,是二部图;10、什么样的无向树T 既是欧拉图,又是哈密顿图解：一阶无向树14、设e 为无向连通图G 中的一条边, e 在G 的任何生成树中,问e 应有什么性质解：e 是桥15、设e为无向连通图G中的一条边, e不在G的任何生成树中, 问e应有什么性质解：e是环23、已知n阶m条的无向图G是kk≥2棵树组成的森林,证明：m = n-k.；证明：数学归纳法;k=1时, m = n-1,结论成立；时,结论成立,当k=t时,无向图G是t棵树组成的森林,任取两棵树,每棵树任取一个设k=t-1t-11顶点,这两个顶点连线;则所得新图有t-1棵树,所以m = n-k-1.所以原图中m = n-k得证;24、在图所示2图中,实边所示的生成子图T是该图的生成树.1指出T的弦,及每条弦对应的基本回路和对应T的基本回路系统.2 指出T的所有树枝, 及每条树枝对应的基本割集和对应T的基本割集系统.a b图解：aT的弦：c,d,g,hT的基本回路系统: S={{a,c,b},{a,b,f,d},{e,a,b,h},{e,a,b,f,g}}T的所有树枝: e,a,b,fT的基本割集系统: S={{e,g,h},{a,c,d,g,h},{b,c,d,g,h},{f,d,g}}b有关问题仿照给出25、求图所示带权图中的最小生成树.a b图解：注：答案不唯一;37、画一棵权为3,4,5,6,7,8,9的最优2叉树,并计算出它的权.38.下面给出的各符号串集合哪些是前缀码A1={0,10,110,1111} 是前缀码A2={1,01,001,000} 是前缀码A3={1,11,101,001,0011} 不是前缀码A4={b,c,aa,ac,aba,abb,abc} 是前缀码A5={ b,c,a,aa,ac,abc,abb,aba} 不是前缀码41.设7个字母在通信中出现的频率如下:a: 35% b: 20%c: 15% d: 10%e: 10% f: 5%g: 5%用Huffman算法求传输它们的前缀码.要求画出最优树,指出每个字母对应的编码.并指出传输10n n ≥2个按上述频率出现的字母,需要多少个二进制数字.解：a:01 b:10 c:000 d:110 e:001 f:1111 g:1110WT=54+54+103+103+153+202+352=255传输10n n≥2个按上述频率出现的字母,需要25510n-2个二进制数字.。
清华离散数学(第2版)：14.3.1-2
13
群中的术语(续 群中的术语 续)
定义14.16 设G是群,x∈G,n∈Z,则 x 的 n 次幂 xn 定 是群, ∈ , ∈ , 定义 是群 义为
n=0 e xn = xn1 x n > 0 ( x1 )m m = n, n < 0
n∈Z
实例 在<Z3,⊕ >中有 23=(21)3=13=1⊕1⊕1=0 ⊕ 中有 ⊕ ⊕ 在 <Z,+> 中有 (2)3=23=2+2+2=6
8
实例
其中为矩阵乘法 为矩阵乘法, 设半群 V1=<S,>,独异点 V2=<S,,e>. 其中 为矩阵乘法, , e 为2阶单位矩阵 且 阶单位矩阵, 阶单位矩阵
a 0 | a, d ∈ R S = 0 d
a 0 a 0 f 0 d = 0 0
( x1 x 2 ... x n ) 1 = x n x n1 ... x 2 x1
1
1
1
1
等式(5)只对交换群成立 如果G是非交换群 是非交换群, 等式 只对交换群成立. 如果 是非交换群,那么 只对交换群成立
( xy ) = ( xy )( xy )...( xy )
n n个
17
群的性质---群方程存在唯一解 群的性质 群方程存在唯一解
3
实例
是半群, 是普通 例1 (1) <Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>是半群,+是普通 是半群 加法, 其中除<Z 外都是独异点. 加法 其中除 +,+>外都是独异点 外都是独异点 (2) 设n是大于 的正整数 是大于1的正整数 是大于 的正整数,<Mn(R),+>和<Mn(R),>都是半群 和 都是半群 和独异点,其中+和 分别表示矩阵加法和矩阵乘法 分别表示矩阵加法和矩阵乘法. 和独异点,其中 和分别表示矩阵加法和矩阵乘法 (3) <P(B),⊕>为半群,也是独异点,其中⊕为集合的对称 为半群, ⊕ 为半群 也是独异点,其中⊕ 差运算. 差运算 (4) <Zn, ⊕>为半群,也是独异点,其中 n={0,1, … , n1}, 为半群, 为半群 也是独异点,其中Z , 为模n加法 加法. ⊕为模 加法 (5) <AA,>为半群,也是独异点,其中为函数的复合运算 为半群, 为半群 也是独异点,其中为函数的复合运算. (6) <R*,>为半群,其中 为非零实数集合,运算定义 为半群, 为非零实数集合, 为半群 其中R*为非零实数集合 如 下:x, y∈R*, xy = y. ∈ 4
离散数学-近世代数-代数结构
例：代数系统(N，+，×)。其中+，×分别代表通常数的加法和乘法。
添加标题
是否满足交换律？
添加标题
单位元( 幺元)
一个代数系统(S，*)， 若存在一个元素eU，使得对 xS，有：e * x =x * e = x，则称 e 为对于运算“ * ”的单位元,也称幺元 。 注意： 单位元是跟运算有关系的，不同的运算可能单位元是不一样的。
解： 作双射 f：A1A2，f(1)=b, f(2)=d, f(3)=c, f(4)=a
a
b
c
d
a
b
b
b
d
b
a
a
d
b
c
c
b
c
a
d
a
a
c
d
*
1
2
3
4
1
4
1
2
4
2
4
2
3
4
3
1
4
3
3
4
1
2
1
1
设代数系统V1=(A1，*)，V2=(A2，º)， 其中A1={1，2，3，4}， A2={a，b，c，d}， * 和 º 的运算分别如下表，V1 和 V2 是否同构？
等幂律
设 * 是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的xA，都有x * x = x，则称 * 运算是等幂的。 例: S={1,2,4}，在集合 p(S) 定义两个二元运算，∩，∪，分别表示集合的“并”运算和集合的“交”运算，∩，∪是等幂的？ 解：对于任意的A p(S) ，有A∩A=A；A∪A=A 因此运算∩，∪都满足等幂律。
性质、定理
定理 一个代数系统，其零元若存在，则唯一。 定理 一个代数系统(S，)，若集合 A 中元素的个数大于1，且该代数系统存在幺元 e 和零元θ，则θe。 证明：用反证法，设θ=e，则对于任意的xA，必有 x = ex = θx =θ= e， 即对于A中所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛盾。
离散数学14
例题5 求(P ∧( Q → R)) →S的合取范式。
解
(P ∧( Q → R)) →S
┐(P ∧ (┐Q ∨R)) ∨S ┐P ∨(Q ∧┐R) ∨S (┐P ∨S) ∨ (Q ∧┐R)
定义1-7.1 在给定的命题公式中，将联结词∨换 成∧，将∧换成 ∨，若有特殊变元F和T亦相互 取代，所得公式A*称作A的对偶式。
例题1 写出下列表达式的对偶式。
A
（a）(P∨Q) ∧R （b）(P∧Q) ∨T （c）┐(P ∨Q) ∧ (P∨ ┐(Q ∧ ┐S))
A*
(P ∧ Q) ∨ R (P ∨ Q) ∧ F ┐(P ∧ Q) ∨ (P ∧ ┐(Q ∨ ┐S))
如┐(P∧Q )∧(P∨Q)的主合取范式为 (┐P∨┐Q ) ∧(P∨Q)
10、求一个命题公式的主合取范式的方法
（1） 真值表法 定理1-7.4 在真值表中,一个公式的真值为F的指 派所对应的大项的合取,即为此公式的主合取范式。 证明与定理1-7.3相同。
定理1-7.2 设P1， P2 ，…，Pn是出现在公式A和B中的 所有原子变元，如果A B，则A* B*。
证明 因为A B，即
A(p1,p2,…,pn)
B(p1,p2,…,pn)
是一个重言式，故 A(┐p1, ┐p2,…, ┐pn)
B(┐p1, ┐p2,…, ┐pn)
也是一个重言式。即
定理1-7A.(2的p1,作p用2, ：,为pn )AB(Bp又1,提p2,供,了p一n ) 种方法。 其（由他1定）方理真1法-值7：.1表得法 （2）利用A命*(题p1,定p2律, 推, p导n )证明B *( p1, p2, , pn ) （3）证明AB为永真式 （因4此）证明A=>BA且* B=B>*A
离散数学刘任任版第14章答案.ppt
x 的作用域： H (x, y)
5．设谓词公式。判定以下改名是否正确 ：
x (P(x, y) Q(x, z))
(1)u(P(u, y) Q(x, z))
错误
(2)u(P(u, y) Q(u, z))
正确
(3) x(P(u, y) Q(u, z))
x0 D或y0 D, 使得G（x0,y）或G（x, y0）为假，
于是，此xo或yo亦弄假 yxG(x, y)
（2） xyG(x，y) yxG(x，y)
证：设D是论域，I是G（x, y）的一个解释。
（a)若 xyG(x，y) 在 I 下的为真，则在 I 下,有
8．
• (1) x(G(x) H ) xG(x) H
• (2) x(G(x) H ) xG(x) H
• 证明（1）
x(G(x) H ) x(7G(x) H ) x7G(x) H 7(xG(x)) H xG(x) H
• 证明（2）
x(G(x) H ) x(7G(x) H ) x7G(x) H 7(xG(x)) H xG(x) H
解：P(x) : x是实数，Q(x) : x是有理数. x(P(x) Q(x))
(2)有些实数是有理数。 解：P(x) : x是实数，Q(x) : 是有理数。
xyPx Q(x)。
(3)并非所有实数都是有理数。 解：P(x) : x是实数，Q(x) : x是有理数. x(P(x) Q(x)) (4)如果明天天气好, 有一些学生将去公园. 解 : P(x) : x是公园, S(x) : x是学生,W :明天天气好. W x(P(x) S(x))
离散数学
习题解答
1、
离散数学第14章,高等教育出版社
本部分主要内容 图的基本概念 欧拉图、哈密顿图 树
.
1
第十四章 图的基本概念
主要内容 图 通路与回路 图的连通性 图的矩阵表示 图的运算 预备知识 多重集合——元素可以重复出现的集合 无序积——AB={{x,y } | xAyB}
.
2
14.1 图
定义14.1 无向图G = <V,E>, 其中 (1) V 为顶点集，元素称为顶点 (2) E为VV 的多重集，其元素称为无向边，简称边
.
8
握手定理
定理14.1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
n
d(vi ) 2m
i1
证 G中每条边 (包括环) 均有两个端点，所以在计算G中各顶点 度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度.
定理14.2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
简单性质：边数 mn(n1),n1
2
.
13
n 阶 k 正则图
(1)
(2)
(3)
(1)为K5，(2)为3阶有向完全图，(3)为4阶竞赛图.
定义14.7 n 阶k正则图——==k 的无向简单图 简单性质：边数（由握手定理得）m nk
2
n阶完全图Kn是 n1正则图，
.
14
子图
定义14.8 G=<V,E>, G=<V,E> (1) GG —— G为G的子图，G为G的母图 (2) 若GG且V=V，则称G为G的生成子图 (3) 若VV或EE，称G为G的真子图 (4) V（VV且V）的导出子图，记作G[V] (5) E（EE且E）的导出子图，记作G[E]
离散数学答案 屈婉玲版 第二版 高等教育出版社课后答案
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p?r）∧(﹁q∨s) ⇔（0?1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）?(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）? (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q)⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p))⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q)? ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x ).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解： F(x): 2=(x+)(x ).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x xF ∀，在（a ）中为假命题，在(b)中为真命题。
《离散数学》课件第14章图的基本概念
定义14.5（图同构）设两个无向图G1=<V1，E1>， G2=<V2，E2>，如果存在双射函数f：V1→V2，使得对 于 任 意 的 e=（vi，vj）∈E1 当 且 仅 当 e’=（f(vi)， f(vj)）∈E2，并且e与e’的重数相同，则称G1和G2是 同构的，记作G1≌G2。
若vi=vj，则称ek与vi的关联次 数为2；
若vi不是ek的端点，则称ek与vi 的关联次数为0。
无边关联的顶点称为孤立点 （isolated vertex） 。
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定义(相邻) 设无向图G=<V，E>， 若∃et∈E且et=（vi,vj），则称vi和vj是相邻的 若ek,el∈E且有公共端点，则称ek与el是相邻的。
素称为有向边，简称边。 由定义，有向图的边ek是有序对<vi，vj>，称vi，
vj是ek的端点，其中vi为ek的始点（origin），vj为ek 的终点（terminus）。
当vi=vj时，称ek为环，它是vi到自身的有向边。
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每条边都是无向边的图称为无向图（undirected graph）。
定义(邻接与相邻) 设有向图D=<V，E>， 若∃et∈E且et=<vi,vj>，则称vi邻接到vj，vj邻接 于vi。 若ek,el∈E且ek的终点为el的始点，则称ek与el是相 邻的。
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定义14.4（度） 设G=<V，E>为一无向图，∀v∈V，称 v作为边的端点的次数之和为v的度数，简称为度 （degree），记为d(v)。
定理14.2 （有向图握手定理）设D=<V，E>为任 意的有向图，V={v1,v2,…,vn}，|E|=m，则
离散数学第四版课后标准答案
离散数学第四版课后标准答案离散数学第四版课后答案第1章习题解答1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。
分析⾸先应注意到，命题是陈述句，因⽽不是陈述句的句⼦都不是命题。
本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。
其次，4）这个句⼦是陈述句，但它表⽰的判断结果是不确定。
⼜因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因⽽作为命题，它们都是简单命题。
（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，⽽（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。
这⾥的“且”为“合取”联结词。
在⽇常⽣活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，⽽且……”、“⼀⾯……，⼀⾯……”、“……和……”、“……与……”等。
但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。
例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，⽽不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。
1．2 （1）p: 2是⽆理数，p为真命题。
（2）p:5能被2整除，p为假命题。
（6）p→q。
其中，p:2是素数，q：三⾓形有三条边。
由于p与q都是真命题，因⽽p→q为假命题。
（7）p→q，其中，p：雪是⿊⾊的，q：太阳从东⽅升起。
由于p为假命题，q为真命题，因⽽p→q为假命题。
（8）p:2000年10⽉1⽇天⽓晴好，今⽇（1999年2⽉13⽇）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道⽽已。
（9）p：太阳系外的星球上的⽣物。
它的真值情况⽽定，是确定的。
1（10）p：⼩李在宿舍⾥. p的真值则具体情况⽽定，是确定的。
离散数学图论
如图G1是非连通图， G2是连通图。
G1
G2
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连通分支：设无向图G=<V, E>，V关于顶点之间的 连通关系 的商集 V/ ={V1,V2,…,Vk}，Vi为等价 类，称导出子图G[Vi] (i=1,2,…,k) 为G的连通分 支, 其个数记作p(G)=k。
如： p(G1)=2， p(G2)=1 G是连通图 p(G)=1 n阶零图的连通分支数最多， p(Nn)=n
有圈的长度2。
• 复杂通路和复杂回路： 中的边重复出现。
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14.3 图的连通性
（23）无向图的连通性 设无向图G=<V, E>，u, vV， u与v连通：u与v之间存在通路. 记作uv. 规定uu。 连通关系： ={<u,v>| u,vV且uv}是等价关系。 连通图：平凡图, 任意两点都连通的图。
注意：图的数学定义与图形表示，在同构的意义 下是一一对应的。
7
（5）几个特殊的图
通常用G表示无向图, D表示有向图, 也常用G泛指 无向图和有向图, 用ek表示无向边或有向边. V(G), E(G) —表示图G的顶点集, 边集.
|V(G)|, |E(G)| —表示图G的顶点数集（阶）和边数.
n 阶图、有限图、零图、平凡图、空图、基图
（6）顶点和边的关联
关联、关联次数、环、孤立点
（7）相邻
vi
vj
点相邻、边相邻
(vi,vj)
ek el
8
（8）邻接
vi
邻接到、邻接于
（9）邻域和关联集
设无向图G, vV(G)
v的邻域、 v的闭邻域、 v的关联集
设有向图D, vV(D)
v的后继元集
离散数学
数理逻辑与计算机
计算机及计算机科学与数理逻辑有着十分密 切的关系。 切的关系 。 人们说数字电子计算机是数理逻辑与 电子学结合的产物。 电子学结合的产物。 使用计算机必须首先学会编“程序” 使用计算机必须首先学会编“程序”，那么什么 是程序？ 是程序？ 程序＝算法＋ 程序＝算法＋数据 算法＝逻辑＋ 算法＝逻辑＋控制
2011-11-28
离散数学
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三、联结词（续）
设 p: 今天下雨了。 今天下雨了。 q: 教室里有100张桌子。 教室里有100张桌子。 100张桌子 p∧q:今天下雨了并且教室里有100张桌子 p∧q:今天下雨了并且教室里有100张桌子. 今天下雨了并且教室里有100张桌子. 复合命题通过∧还可得到复合命题的复合命题。 复合命题通过∧还可得到复合命题的复合命题。 复合命题的真值， 复合命题的真值，不能根据参与复合的命题之 间是否存在联系来判断。 间是否存在联系来判断。
数理逻辑研究的中心问题是推理 数理逻辑研究的中心问题是推理，而推理的前提和结论都 推理， 是表达判断的陈述句，因而表达判断的陈述句构成了推理的基 陈述句构成了推理的基 是表达判断的陈述句，因而表达判断的陈述句 本单位。陈述句是用来述说一件事情的句子 本单位。陈述句是用来述说一件事情的句子 。
一、命题的概念
(否) (否)
真值不唯一陈述句不是命题 真值不唯一陈述句不是命题
2011-11-28
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例1 判断下列句子中那些是命题。
(11)你需要帮助吗？ (11)你需要帮助吗？ 你需要帮助吗 (12)软件学院的男生真帅呀！ (12)软件学院的男生真帅呀！ 软件学院的男生真帅呀 (13) 上课请专心听讲！ 上课请专心听讲！
离散数学课后习题答案_(左孝凌版)
1-1，1-2 （1）解：a) 是命题，真值为T。
b) 不是命题。
c) 是命题，真值要根据具体情况确定。
d) 不是命题。
e) 是命题，真值为T。
f) 是命题，真值为T。
g) 是命题，真值为F。
h) 不是命题。
i) 不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：、-a) (┓P ∧R)→Qb) Q→Rc) ┓Pd) P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a) 设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb) 设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc) 设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd) 设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe) 设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
PQf) 设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a) P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb) P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc) R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd) A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be) M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf) L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg) P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh) P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a) 不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b) 是合式公式c) 不是合式公式（d) ）e) 不是合式公式（R和S之间缺少联结词）f) 是合式公式。
离散数学(第14章)陈瑜PPT课件
31.10.2020
计算机科学与工程学院
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运算的性质
定义14-1.2：设“·”是一个S上的二元代数运算， 如果:
① 对任意的a, b∈S，都有a·b∈S，则称“·”在S上是 封闭的；
② 对任意的a, b∈S，都有a·b＝b·a,则称“·”在S上是 可交换的，或称满足交换律。
31.10.2020
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定义14-2.1设S是一个非空集合，f1,f2,…, fm分别是定 义在S上的运算，称集合S和f1,f2,…, fm所组成的系统称 为一个代数系统，简称代数，记为<S，f1,f2,…,fm >。
判断集合S及其上的代数运算是否是代数系统，关键是 判断两点：一是集合S非空，二是这些运算关于S是否 满足封闭性。
31.10.2020
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例2：设A={x｜x=2n，n∈N}， 问<A，*>运 算封闭否，<A，+>，<A，/>呢？ 解： ∀2r、2s∈A， 2r*2s=2r+s∈A （ｒ＋ｓ∈Ｎ） ∴<A，*>运算封闭 2、4∈A，2+4∉A，∴<A，+>运算不封闭 2、4∈A，2/4∉A，∴<A，/>运算不封闭
现实世界中有很多代数系统。对于具有相同性质的代数 系统，我们没必要分散进行个别研究，而是进行集中研 究，这就形成了特定的代数系统。本教材只介绍半群、 群、环、域、格、布尔代数等典型的代数系统，其中重 点是半群、群、格与布尔代数。
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例：常见的代数系统如<Z,+>，<Q,+, ×>，<2A, ∪, ∩>等等。
离散数学(1-4章)自测题(答案)
《离散数学》题库答案第2，3章(数理逻辑)1.答：（2），（3），（4）2.答：（2），（3），（4），（5），（6）3.答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是4.答：（1）P↔（4）QP→⌝P⌝Q→⌝（2）QP⌝→（3）Q5.答：（1）6.答：2不是偶数且-3不是负数。
7.答：（2）8.答：⌝P ，Q→P9.答：P(x)∨∃yR(y)10.答：⌝∀x(R(x)→Q(x))11、a、(P→Q)∧R解：(P→Q)∧R⇔(⌝P∨Q )∧R⇔(⌝P∧R)∨(Q∧R) （析取范式）⇔(⌝P∧(Q∨⌝Q)∧R)∨((⌝P∨P)∧Q∧R)⇔(⌝P∧Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(P∧Q∧R)⇔m3∨ m1∨m7 （主析取范式）⇔m1∨ m3∨m7⇔M0∧M2∧M4∧M5∧M6 （主合取范式）b、Q→(P∨⌝R)解：Q→(P∨⌝R)⇔⌝Q∨P∨⌝R⇔M5（主合取范式）⇔ m0∨ m1∨ m2∨m3∨ m4∨m6 ∨m7 （主析取范式）c、P→(P∧(Q→P))解：P→(P∧(Q→P))⇔⌝P∨(P∧(⌝Q∨P))⇔⌝P∨P⇔ 1 (主合取范式)⇔ m0∨ m1∨m2∨ m3 （主析取范式）d、P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))解：P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))⇔ P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))⇔ P∨Q∨R⇔ M0 (主合取范式)⇔ m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式)12、a、P→Q，⌝Q∨R，⌝R，⌝S∨P=>⌝S证明：(1) ⌝R 前提(2) ⌝Q∨R 前提(3)⌝Q （1），（2）析取三段论(4) P→Q 前提(5)⌝P （3），（4）拒取式(6)⌝S∨P 前提(7) ⌝S （5），（6）析取三段论b、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S)证明：（1） P 附加前提（2） Q 附加前提（3） P→(Q→R) 前提（4） Q→R （1），（3）假言推理（5） R （2），（4）假言推理（6） R→(Q→S) 前提（7） Q→S （5），（6）假言推理（8） S （2），（7）假言推理c、A，A→B， A→C， B→(D→⌝C) => ⌝D证明：（1） A 前提（2） A→B 前提（3） B (1)，(2) 假言推理（4） A→C 前提（5） C (1)，(4) 假言推理（6） B→(D→⌝C) 前提（7） D→⌝C (3)，(6) 假言推理（8）⌝D (5)，(7) 拒取式d、P→⌝Q，Q∨⌝R，R∧⌝S⇒⌝P证明、(1) P 附加前提（2） P→⌝Q 前提（3）⌝Q （1），（2）假言推理（4） Q∨⌝R 前提(5) ⌝R （3），（4）析取三段论(6 ) R∧⌝S 前提（7） R （6）化简（8） R∧⌝R 矛盾（5），（7）合取所以该推理正确13.写出∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x) →∃xG(x))的前束范式。
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有向图
定义14.2 有向图D=<V,E>, (1) V 为顶点集，元素称为顶点 (2) E为VV 的有穷多重子集，其元素称为有向边，简称边 图2表示的是一个有向图，试写出它的V 和 E
注意：图的数学定义与图形表示，在同构（待叙）的意义下
是一一对应的
8
相关概念
1. 图 ① 可用G泛指图（无向的或有向的） ② V(G), E(G), V(D), E(D) ③ n阶图
11
实例
例1
G1、G2是多重图，G3是线图，G4是简单图。
12
顶点的度数
定义14.4 (1) 设G=<V,E>为无向图, vV, d(v)——v的度数, 简称度 (2) 设D=<V,E>为有向图, vV,
d+(v)——v的入度 d(v)——v的出度 d(v)——v的度或度数 (3) (G), (G) (4) +(D), +(D), (D), (D), (D), (D) (5) 奇度顶点与偶度顶点 (6) 悬挂顶点与悬挂边
2
(2) n (n1)阶有向完全图——每对顶点之间均有两条方向相 反的有向边的有向简单图. 边数为：
m n(n 1), 2(n 1), n 1
(3) n (n1) 阶竞赛图——基图为Kn的有向简单图. 边数为
m n(n 1) , n 1
于该结构，那么这些方法也可以用于新领域的结构。这就
使得理解和处理该对象结构变得容易，并往往可以让数学
家对该领域有更深刻的理解。
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完全图、竞赛图、 k 正则图
定义14.6
(1) n (n1) 阶无向完全图——每个顶点与其余顶点均相邻的 无向简单图，记作 Kn. 边数为：
m n(n 1) , n 1
第五部分 图论
图论是数学的一个分支,以图为研究对象。图是由若干给 定的点和连接两点的线构成，其中，点代表事物，连接两点 的线表示两个事物之间具有的特定关系。
图论起源于18世纪，追朔到1736年瑞士数学家L.Euler发 表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》，提出 和解决著名Konigsberg七桥问题。
1
经典的图论问题——七桥问题
瑞士数学家 欧拉（Euler）
2
经典的图论问题——四色问题
3
本部分主要内容
图的基本概念 欧拉图、哈密顿图 树 平面图
图论结构
4
第十四章 图的基本概念
主要内容 图的概念 通路与回路 图的连通性 图的矩阵表示 图的运算 预备知识 多重集合——元素可以重复出现的集合 无序集——AB={(x,y) | xAyB}
图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性. 图同构的必要条件，但它们全不是充分条件：
① 边数相同，顶点数相同; ② 度数列相同; ③ 对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同。 若破坏必要条件，则两图必不同构
24
图同构的目的
同构是在数学对象之间定义的一类映射,它能揭示出在这些 对象的属性或者操作之间存在的关系。若两个数学结构之 间存在同构映射，那么这两个结构叫做是同构的。一般来 说，如果忽略掉同构的对象的属性或操作的具体定义，单 从结构上讲，同构的对象是完全等价的。
28
实例
例6 画出K4的所有非同构的生成子图
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补图
定义14.9 设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集，以 所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图， 称为G的补图，记作G . 若G G , 则称G是自补图. 问1：相对于K4, 求上面图中所有图的补图，并指出哪些是 自补图.（提示：互为自补图的两个图的边数有何关系？） 问2：（n,m）无向简单图G的补图的边数是多少？
2. 有限图即(n,m)图 3. n 阶零图与平凡图 4. 空图—— 5. 用 ek 表示无向边或有向边 6. 顶点与边的关联关系
① 关联、关联次数 ②环 ③ 孤立点 7. 顶点之间的相邻与邻接关系
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相关概念
8. 邻域与关联集 ① vV(G) (G为无向图)
v的邻域 N (v) {u | uV (G) (u, v) E(G) u v}
v的邻 域
N D (v) D (v) D (v)
v的 闭 邻 域 N D (v) ND (v) {v}
9. 标定图（每个顶点、每条边标注符号）与非标定图
104.3 (1) 无向图中的平行边及重数 (2) 有向图中的平行边及重数（注意方向性） (3) 多重图：含有平行边的图 (4) 简单图：既不含平行边也无环的图 简单图是图论中基础而又极其重要的概念
研究同构的主要目的是为了把数学理论应用于不同的领域。
如果两个结构是同构的，那么其上的对象会有相似的属性
和操作，对某个结构成立的命题在另一个结构上也就成立
。因此，如果在某个数学领域发现了一个对象结构同构于
某个结构，且对于该结构已经证明了很多定理，那么这些
定理马上就可以应用到该领域。如果某些数学方法可以用
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图同构的实例
例5
G1≌G2；
G3≌G4 (G3和G4称为自补图) ；
G5≌G6 ，G5称为彼得森图；
G7与G8不同构。
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练习
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
图(1)与(2) 的度数列不同，它们不同构，(3)与(4)也不同构.
图(5)与(6)的度数列相同，它们同构吗？为什么？
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图同构的必要条件
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实例
例4 (1) (3,3,2,3)，(5,2,3,1,4)能成为图的度数序列吗？为什么？ (2) (3,3,3,1)可图化吗？可简图化吗？ (3) (4,4,3,3,2,2)可图化吗？可简图化吗？ 解 (1) 由可图化定理，它们都不能成为图的度数序列。 (2) 可图化，但不可简单图化。 (3) 可简单图化。
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图的同构
定义14.5 设G1=<V1, E1>, G2=<V2, E2>为两个无向图(两 个有向图)，若存在双射函数f:V1V2, 对于vi,vjV1,
(vi,vj) E1 当且仅当 (f(vi),f(vj)) E2 （< vi,vj > E1 当且仅当 <f(vi),f(vj)> E2 ) 并且, (vi,vj)（< vi,vj >）与 (f(vi),f(vj))（<f(vi),f(vj)>）的重 数相同，则称G1与G2是同构的，记作G1G2.
上图的度数列为（3,3,5,1,0）
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可图化与可简单图化
对于给定的一个非负整数序列d=(d1,d2,…dn),若存在以 V=(v1,v2,…vn)为顶点集的n阶无向图G,使得d(vi)=di，则称 d是可图化的，若所得的图是简单图，则称d是可简单化的。
定理14.3 d是可图化的当且仅当非负整数序列之和能被2整除。 定理14.4 设G为任意的n阶无向简单图，则Δ(G)≦n-1.
v的闭邻域 N (v) N (v) {v}
v 的关联集 I (v) {e | e E(G) e与v关联} ② vV(D) (D为有向图)
v的 后 继 元 集 D (v) {u | u V ( D) v, u E( D) u v}
v的 先 驱 元 集 D (v) {u | u V ( D) u, v E( D) u v}
d(vi) 2，i =1, 2, …, x， 于是得不等式
32 3*4+4*3+2x 得 x 4, 阶数 n 4+4+3=11.
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图的度数列
1 . V={v1, v2, …, vn}为无向图G的顶点集，称d(v1), d(v2), …, d(vn)为G的度数列
2. V={v1, v2, …, vn}为有向图D的顶点集， D的度数列：d(v1), d(v2), …, d(vn) D的入度列：d+(v1), d+(v2), …, d+(vn) D的出度列：d(v1), d(v2), …, d(vn)
设e＝(u,v)∈E，用G\e表示从G中删除e，将e的两个端点u,v用 一个新的结点w代替，使w关联除e外的u和v关联的一切边， 称为边e的收缩。一个图G可以收缩为图H，是指H可以从G 经过若干次边的收缩而得到。
2m d(v) d(v) d(v)
vV
vV1
vV2
由于2m, d(v) 均为偶数，所以 d(v) 为偶数，但因为V1中
vV2
vV1
顶点度数为奇数，所以|V1|必为偶数.
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握手定理的应用
例3 无向图G有16条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其余 顶点度数均小于3，问G至少有多少顶点？ 解 本题的关键是应用握手定理. 设除3度与4度顶点外，还有x个顶点v1, v2, …, vx， 则
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引例
四个班进行第一轮的足球循环赛， 为了表示四个班之间比赛胜负情 况，作出如右图所示的竞赛图。 该图中的4个小圆圈分别表示这四 个班，称之为顶点。如果两个班 进行了一场比赛，则在两个顶点 间用一条带箭头的线连接起来， 称之为边。这样，利用图形使得 各班之间的比赛及胜负情况一目 了然。
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14.1 图
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图的操作
定义14.10 设图G＝<V,E>为无向图，
设e∈E，用G-e表示从G中去掉边e得到的图，称为删除边e。 又设EE，用G-E表示从G中删除E中所有边得到的图， 称为删除E。
设v∈V，用G-v表示从G中去掉结点v及v关联的所有边得到的 图，称为删除顶点v。又设VV，用G-V 表示从G中删除 V中所有结点及关联的所有边得到的图，称为删除V。