2020高考数学总复习讲三角函数

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高考数学复习考点知识讲解课件22 三角函数的图象与性质

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[解析] 由 2x＋π6≠π2＋kπ(k∈Z)，得 x≠π6＋k2π(k∈Z)，故函数 f (x)的定义域为 x|x≠π6＋k2π，k∈Z.故选 D．
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2．(2022·东北师大附中月考)函数 f (x)＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域为( B )
(2)∵f (x)为偶函数， ∴－π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，得 φ＝56π＋kπ，k∈Z. 又 φ∈(0，π)，∴φ＝56π. ∴f (x)＝3sin2x＋π2＝3cos2x. 由 2x＝π2＋kπ，k∈Z，得 x＝π4＋k2π，k∈Z， ∴f (x)图象的对称中心为π4＋k2π，0，k∈Z.
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(1)三角函数周期的一般求法 ①公式法． ②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期． (2)对于可化为 f (x)＝Asin(ωx＋φ)(或 f (x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求 f (x)的对称轴，只需令 ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)(或令 ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求 x 即可；如果求 f (x)的对称中心的横坐标，只需令 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)或令ωx＋φ＝π2＋kπk∈Z，求 x 即可．
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3．函数 f (x)＝cosx＋π6(x∈[0，π])的单调递增区间为( C ) A．0，56π B．0，23π C．56π，π D．23π，π
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[解析] 由 2kπ－π≤x＋π6≤2kπ，k∈Z，解得 2kπ－76π≤x≤2kπ－π6，k∈Z，∵x∈[0， π]，∴56π≤x≤π，∴函数 f (x)在[0，π]的单调递增区间为56π，π，故选 C．

2020届高考数学(理)复习：第六单元§6.1三角函数的概念、同角三角函数关系

点拨：理清扇形的弧长与半径、弧度角的关系,熟记扇形面积和周长
的公式.
解析
【追踪训练 2】一扇形的周长为 20,当扇形的圆心角 α 等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?
【解析】设扇形的半径为 r,弧长为 l,则 l+2r=20,即 l=20-2r(0<r<10). ∴扇形的面积 S=12lr=12(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25. ∴当 r=5 时,S 取得最大值 25, 此时 l=10,α=�� =2 rad. ∴当 α=2 rad 时,扇形的面积取得最大值.
解析
题型三同角三角函数基本关系式的应用
【例 3】在△ABC 中,sin A+cos A=15. (1)求 sin Acos A 的值;
(2)求 tan A 的值.
【解析】(1)∵sin A+cos A=15, ① ∴两边平方得 1+2sin Acos A=215,∴sin Acos A=-1225.
��-
π 12
-cos
�� + 5π
12
=sin
��-
π 12
-cos
π+
2
��-
π 12
=2sin
��-
π 12
=-12.
解析
方法突破
方法一数形结合思想在三角函数线中的应用
当给出一个象限角时,欲判断该角的半角或倍角的符号或比较它们三个三角函数值的大小时,若没有给出具体的角度,则用图形可以更直观地表示,因此,先画出三角函数线,借助三角函数线比较大小.
①当��2�� 是第一象限角时,sin

2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学_三角函数第四章 (1)

【答案】四
【点评】1.终边在某直线上角的求法 4 步骤： (1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0，2π)内的角； (3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合.
2. 确定 kα，αk(k∈N*)的终边位置 3 步骤： (1)用终边相同角的形式表示出角 α 的范围；
①1°＝1π80rad；②1 rad＝1π80°
弧长公式
弧长 l＝__ |α|r __
扇形面积公式
S＝__12lr__＝__12|α|r_2_
3.任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么
定义
__ y __叫做 α 的
正弦,记作 sin α
∴2sin α＋cos α＝－35×2＋45＝－25.
【答案】A
3. 半径为 2，圆心角为 60°的扇形面积为( )
2π
4π
A. 120 B. 240 C. 3 D. 3
π
【解析】因为扇形的圆心角为 θ＝ 3 ，半径为 2，
所以弧长 l＝θr＝2π3 ， ∴S＝12lr＝12×2π3 ×2＝2π3 .
的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角.
(2)利用终边相同的角的集合 S＝{β|β＝2kπ ＋α，k ∈Z}判断一个角 β 所在的象限时，只需把这个角写成 [0，2π )范围内的一个角 α 与 2π 的整数倍的和，然后判断角 α 的象限.
2. 用定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距离 r，然后用三角函数的定义求解；
第四章三角函数

2020版高考数学大一轮复习第4章三角函数、解三角形第1讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导

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技巧点拨 1.已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函角的三角函数值进行求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不的应用. 2.对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存充分利用给定的式子,结合诱导公式将角进行转化.
在终边上任取一个异于原点的点时应分两种情况,进而用三
求解.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α的值,再求
(3)若角α终边上的点的坐标中含参数,要讨论参数的各种情
数值的符号.判断三角函数值的符号或根据三角函数值的符
般利用三角函数在各象限内的符号规律进行求解.
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考法2 利用同角三角函数的基本系和诱导公式化简求值
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C方法帮•素养大提升
方法分类讨论思想在三角函数应用
方法分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用
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素养提升 (1)本题在三角函数的化简求值过程中,体现了分类讨论思想种情况不符合题意,也不能省略讨论的步骤,提升数学思维的 (2)三角形中的三角函数问题,要注意隐含条件的挖掘以及三理的应用.
C方法帮•素养大提升方法分类讨论思想在三角函数化简求值中的应用
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考情精解读
命题规律聚焦核心素养
命题规律考点内容
考纲要求
考题取样
1.任意角的三角函数
理解
2017北京,T12
2.同角三角函数的基本关系
3.诱导公式
理解
2016全国Ⅲ,T5

2020年高考数学一轮复习：第29课__三角函数的最值问题

第29课三角函数的最值问题KAQGANG JlL XI1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象，求三角函数的最值和值域.2.掌握求三角函数最值的常见方法，能运用三角函数最值解决一些实际问题1•阅读：必修 4第24〜33页、第103〜116页、第119〜122页. 2. 解悟：①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？②三角函数y = A si n( 3汁$ )(A>0,3 >0的最值及对应条件；③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否熟练？④二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幕扩角公式是什么？必修 4第123页练习第4题怎么解？3. 践习：在教材空白处，完成必修4第131页复习题第9、10、16题. I…T 基础诊断 &Y* ----------------------1. 函数f(x) = sinx , x € g,手丿的值域为'1 1 __.2.函数 f(x) = sinx — cos[x + f 的值域为 [-羽，护].nQ 313\13解析：因为 f (x) =sinx — cos(x+ 6)= sinx — Tcosx+ 2sinx= 2sinx —T cosx所以函数f(x) = sinx — cos(x +》的值域为[—.3, ,3].3. 若函数 f(x) = (1 + . 3tan x) cosx , 0< x<n 贝U f(x)的最大值为 2 .解析：f(x) = (1 + J 3ta nx)cosx = cosx + J 3si nx = 2si n^ + •因为 0 < x<n ，所以詐 x + 才<|^所以 sin x +€ 土，1,所以当sin[j + ^;= 1时，f(x)有最大值2.4. 函数 y = 2sin 2x — 3sin2x 的最大值是，10+ 1.2形如y = asin x + bcosx + c 的三角函数的最值例 1 已知函数 f(x) = 2cos2x + sin 2x — 4cosx. (1) 求f nn 的值；(2) 求f(x)的最大值和最小值.解析：(1) f [^；;= 2cos 2n+ sin^— 4cos n=— 1+ 3— 2 =—：2 2(2) f(x) = 2(2cos x — 1) + (1 — cos x) — 4cosx2=3cos x — 4cosx — 1课本KE SEN XI=.3sin(x — 6),范例导航考向？cf 2-\7 “=3 cosx — 3 — 3, x € R.因为 cosx € [ — 1, 1],所以当cosx =— 1时，f(x)取最大值6;2 7 当cosx =孑时，f(x)取最小值一3. 33已知s 4+汴貉A €6扌)(1) 求cosA 的值；5(2) 求函数 f(x) = cos2x + qs in As inx 的值域. 解析：⑴ 因为n <A<n,且Sin 》+才戶, 所以2<A +4<¥’cos$+护-密所以 cosA = cos [(A +n - n =cos+ U2 x _2 10 2 10 23 5.4(2)由(1)可得 sinA = 5,5 2f . 1 "f 3 所以 f(x) = cos2x + 2sinAsinx = 1 — 2sin x + 2sinx =— 2 sinx — + ?, x € R. 因为 sinx € [ — 1, 1],1 3所以当sinx =2时，f(x)取最大值§; 当sinx =— 1时，f(x)取最小值一3. 所以函数f(x)的值域为一3, 3 1门考向？形如y = Asin( 3x+ © + k 的三角函数的最值例 2 已知函数 f(x) = 2cosxsin & + 寸一屆in 2x + sinxcosx + 1. (1) 求当函数f(x)取得最大值时，x 的取值集合; (2) 当 x € 0, 1n 时，求 f(x)的值域.解析：(1)因为 f(x) = 2cosxsin x + 3 — - 3sin 2x + sinxcosx + 1A +=2cosx(?sinx + ycosx) — 3sin 2x + sinx •osx + 1 =2si nxcosx + 3cos 2x — 3si n 2x + 1 =si n2x + 3cos2x + 1 1 3=2/n2x + 〒cos2x) + 1n n n由 2x + 3 = 2k n+ ^, k € Z ,可得 x = k n+ 石，k € Z ,所以函数f(x )取得最大值时，x 的集合为{x|x = k n+-, k € Z}.12(2)由 x € o ,，'得2x+n n n ，所以 ~23<sin(2x + n )< 1, 所以•.3+ 1 w f(x)w 3, 故f(x)的值域为[,3 + 1, 3].【注】对于三角函数最值问题，通常将表达式化为形如 y = Af (3x+ © + B 的形式，确定变量x 取值的集合通常由等式3x+ ©= 2k n+ 0, k € Z 解出x已知函数f(x)= sin 2 wx — 6 + 2cos 2 1( w >0)的最小正周期为 n.(1)求w 的值;2 n所以f(x)的最小正周期T = — = n,解得w= 1.(2)由(1)得 f(x)= sin 2x + 6 . 因为0w x w$,所以6w 2x +6w 莘所以当2x + 6= 2，即x = 6时，f(x)取得最大值为1;=2sin 2x +1.⑵求f(x)在区间気上的最大值和最小值.解析：(1)因为 f(x)= sin 2wx — o + 2cos wx — 1,3 1=~2"si n2 wx+ 2cos2 wx= sin当2x + n= 4n,即x = 1n 时f(x)取得最小值为一弩.【变式题】已知函数 f(x)= sin x ++ cosx.(1)求f(x)的最大值，并写出当f(x)取得最大值时，x 的集合;,f a+ n = ，求 f(2a)的值.所以 f(2 a) = . 3sin 2a+ f1 3=.3?sin2 a+ —cos2 a=,3[2X 2sin acos a+ 手 x (2cos 2 a — 1)]厂1 4 3 V39 =3X [-x 2X x +亠x (2x — 1)] V L2 5 5 2 '25 刀=V 3x 险—也1=竺吐1Y辽5 50 丿 50.考向？三角函数最值问题常见的其他函数形式2例3 (1)已知x € (0, n,求函数y = sinx +的最小值;sinx⑵ 已知灰(0, n ，求函数y =1 豐nA 的最大值; ⑶ 求函数y = (sinx — 2)(cosx — 2)的最大值与最小值.a€ 0,扌：解析: (1) f(x)= sin x ++ cosx=^sinx + 3cosx = ,3 1=%；3si nx + 3 , 所以 f(x)max =【?3.此时，x +n= 2k n+n ，k € Z ,即 x = 2k n+n , k € 乙3 2 61sin x + ~fcosx故当f(x)取得最大值3时，x 的集合为{x|x = 2k n+n k € Z}.6⑵ 由 f a+ n = . 3sin( a+ n = ¥ ,得sinn_ 32 = 5,所以 cos a= 3, sin54 a= 一, a 52解析：⑴设sinx= t（O<t w 1），则原函数可化为y = t + -，在（0, 1］上为减函数,故当t= 1时，y min= 3.⑵ 因为茨(0, n,所以sin茨(0, 1], y = 一卫一w 丿=1当且仅当si n B= 亦e+ 3sin e 21等号成立，故y max=刁(3)原函数可化为y= sinxcosx—2(sinx+ cosx) + 4，令sinx+ cosx = t(|t|w 2), nt t2— 1贝U sinxcosx =—,2t —1 1 2 3所以y=—2t+ 4=2(t—2) +2因为对称轴为直线t = 2?[ —2, 2]，且函数在区间[—2, 2]上是减函数，所以当t= 2,即x = 2k n+ n(k € Z)时, y min = 2 - 2.2；— 3 n 9 —当t=—2，即x= 2k n—~4（k€ Z）时，y max= 2 . 2.【注】（1）直接利用三角函数的有界性，并直接利用基本不等式去求解.a（2）首先是对分数函数的一般的处理方式，然后回到（1）的步骤去解决.y= sinx+亦型三角函数求最值，当sinx>0, a>1时，不能用均值不等式求最值，适宜用函数在区间内的单调性求解.（3）含有"正、余弦三姐妹"，即含有sinx±sosx, sinxcosx的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx= t, |t|< 2,将sinxcosx转化为关于t的函数关系式，从而转化为二次函数的最值问题，在转化过程中尤其要注意新变量t的范围的确定.【变式题】(1)求函数y= 2—sinx的最小值;si nx+ 2n 1 1⑵ 若0<x<2,求函数y= (1+ cosx)(1 + 亦)的最小值・4 —2 —sinx 4 1解析：⑴y=—厂=s^zr1飞，1所以最小值为1⑵y=1+cosx1+si.sinx+ cosx+ 1=1 +sin xcosx令t= sinx+ cosx, t€ (1, .2],t2— 1贝U sinxcosx = 2 ,t + 1 t2+ 2t + 1 t+ 1 八2t2— 1 t2—1 t—1 t —T2由1<t W 2,得y》3 + 2 2, 所以函数的最小值为 3 + 2 2.自测反馈1.函数y= 2sin 3—x —cos 6 + x (x € R)的最小值是__—1解析：因为cos ¥+ x = sin n- x，所以y= 2sin n—x —cos 总+ x = 2sin 扌一x —sin n—x =—sin x —3 •因为x€ R,所以y min=—1.2.函数y= sin^在区间［0,b］上恰好取得2个最大值，则实数b的取值范围是_ -2, ^7\解析：因为函数y= singe的周期为年=6，函数y= sin^x在区间［0,3b］上恰好取得2个最大值，则实数b满足5T W b<94-，解得乎三b<27.故实数b的取值范围为3.函数y=也cosx的值域是[—1 , 1].2 + sinx解析：2y+ ysinx = 3cosx, ysinx—3cosx = —2y,得y2+ 3sin(x + —2y—2y<^ = -yz^3，则匕齐^|W 1,解得—1W y W 1.■15 27).2，2 丿()))=—2y, sin(x +4.函数f(x) = sinx+ cosx+ sinx •osx 的值域是—1,x + n 则t € [ —^2^2], t2= 1 + 2sinxcosx,则sinxcosxt? —1 t?—1 12 1 2 —厂，贝U f(x) = sinx + cosx + sinxcosx = t + 厂=?(t + 2t —1) = ^(t + 1) — 1.因为一.2 解析：令t = sinx+ cosx = ■2sin xW t W 2 所以f(x) € [ —1 , 2 + 1.反思搐遺1.求解三角函数的值域（最值）常见到以下几种类型：①形如y = asin x + bcos x + c的三角函数化为y = Asin（3汁$卅k的形式，再求值域（最值）；②形如y = asin2x + bcos x + c的三角函数，可先设sin x= t，化为关于t的二次函数求值域（最值）;③形如y = asin xcos x + b（sin x ±os x）+ c的三角函数，可先设t = sin x ±os x，化为关于t的二次函数求值域（最值）.2•你还有哪些体悟，写下来:。

2020版高考数学复习第四章三角函数解三角形第3节两角和与差的正弦余弦和正切公式课件理新人教A版

3.函数 f(α)＝asin α＋bcos α(a， b 为常数)，可以化为 f(α)＝ a ＋b 或 f(α)＝ a ＋b
2 2 2 2
sin(α＋φ)其中tan
b φ＝a
· cos(α－φ)其中tan
a φ＝b.
[微点提醒] 1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
2sin αcos α sin 2α＝_____________. 1－2sin2α cos2α－sin2α ＝_____________ 2cos2α－1 ＝_____________. cos 2α＝_____________
2tan α 2 1 － tan α tan 2α＝________________ .
多维探究
cos 10° － 3cos（－100° ）【例 2－1】 (1)计算：＝________. 1－sin 10°
解析
cos 10° － 3cos（－100° ） cos 10° ＋ 3cos 80° cos 10° ＋ 3sin 10° ＝＝＝ 2· sin 40° 1－sin 10° 1－cos 80°
1 A. 2 3 B. 2 1 C.－ 2 3 D.－ 2
)
解析由三角函数定义，sin α＝cos 47°，cos α＝sin 47°，则sin(α－13°)＝sin αcos 13°－cos αsin 13°
＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13° 1 ＝cos(47° ＋13° )＝cos 60° ＝ . 2 答案 A
解析 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.

高考数学三角函数诱导公式详解分析汇总(2020年)

高考数学三角函数诱导公式详解分析汇总高考数学常见诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变;②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot，cot→tan.(奇变偶不变)然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

高三高考数学第一轮复习课件三角函数复习

]
20）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B
、C的对边，4sin2
B
2
C
-cos2A=
7 2
。
（1）求角A的度数；
（2）若a= 3 ，b+c=3，求b和c的值。
解：∴c4∴ocsoc2Aos(21s=A+A2 c-b=co2os122csAb22c)Aa-∴22==c72oA12s=2A60+。1=b272+c2-a2=bc 又∵b+c=3 bc=2
22 3
选A
例4
函数f(x)=cos2(x-
2 3
)+sin2(x-
5 6
)
+msinxcosx的值域为[a,2](x∈R,m>a)求m
值和f(x)的单调增区间。
解：1 f (x1 2 )[ = c 2 1 x c o o 2 2 4 3 x s ) 4 3 ()c s 1 2 co x ( o 2 2x 5 s 3 5 3 ) (s ) m ] 2 m 2( s s2 i2 x i x n
=sin(45。±35。). ∴ Sinα =sin 10。 ,sinβ=sin 80。
∴α=10。 β=80。 cos(2α-β)=cos60。= 1
2
〔三〕单元测试
一、选择题
1〕函数y=
coxs s
|cox|s |s
inx inx|
|ttaaxxnn|的值域是〔A〕
(A) |3,-1| (B) |3,1| (C) |-1,1,3| (D) |-1,1-3|
（2）若x∈[求a的值。
2
,
2
]时，f(x)的最大值为1，
解：（1）f(x)=sin(x+

2020版高考数学一轮总复习课件5.3 正弦、余弦定理及解三角形

2
;sin
A
2
B
=cos
C 2
;cos
A
2
B
=sin
C 2
.
2.三角形形状的判断方法
要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考,依据已知条
件中的边角关系判断时,主要有以下两种途径:
(1)化角为边:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通
过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.
ABC的外接圆半径为R.
(1)S= 1 ah(h为BC边上的高);
2
(2)S= 1 absin C= 1 acsin B= 1 bcsin A;
2
2
2
(3)S=2R2sin Asin Bsin C;
(4)S= abc ;
4R
(5)S=
p(
p
a)(
p
b)(
p
c)
p
1 2
(a
b
c)
.
考向基础 1.距离的测量
数学（浙江专用）
5.3 正弦、余弦定理及解三角形
考向基础 1.正、余弦定理
考点清单
考点一正弦、余弦定理
2.解斜三角形的类型 (1)已知两角及一边,用正弦定理,有解时,只有一解. (2)已知两边及其中一边的对角,用正弦定理,有解时可分为几种情况.在 △ABC中,已知a、b和角A,解的情况如下:
55
∵B=2C,∴cos B=cos 2C=2cos2C-1=2× 4 -1= 3 ,
55
∴sin B= 4 .
5
∵A+B+C=π,∴sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C= 4 × 2 5 + 3× 5 =

新高考数学复习基础知识专题讲义05 三角函数定义及同角三角函数(解析版)

新高考数学复习基础知识专题讲义知识点05 三角函数定义及同角三角函数知识理解一．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z)． (3)弧度制①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③弧度与角度的换算：360°＝2π rad ；180°＝π rad ；1°＝π180 rad ；1 rad ＝180π度．二．任意角的三角函数1.定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)．则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)．2.三角函数在每个象限的正负如下表：三．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 四．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α； (2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝cos_αtan_α；cos α＝sin αtan α.考向一角度制与弧度制的转换【例1-1】（2020·全国课时练习）填表（弧度数用含π的代数式表示），并在平面直角坐标系中作出角的终边.【答案】填表见解析，作图见解析【解析】如表，如图：考向分析对应的角的终边分别为图中的射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，OG ，OH ，OI. 【例1-2】（2020·全国课时练习）把下列各弧度化为角度. （1）12π；（2）53π；（3）310π；（4）8π；（5）32π-；（6）56π-. 【答案】（1）15︒；（2）300︒；（3）54︒；（4）22.5︒；（5）270︒-；（6）150︒-.【解析】（1）1801512ππ︒︒⨯=；（2）51803003ππ︒︒⨯=；（3）18054310ππ︒︒⨯=；（4）28180 2.5ππ︒︒⨯=；（5）31802702ππ︒︒-⨯=-；（6）51801506ππ︒︒-⨯=-.【例1-3】（2019·全国高三专题练习）将－1485°改写成2k π＋α(0≤α<π，k ∈Z)的形式是( ) A ．－8π＋4πB ．－10π－4πC ．－8π＋74πD ．－10π＋74π 【答案】D【解析】﹣1485°＝﹣1800°+315°＝﹣10π+74π．故选D【举一反三】1．（2020·全国课时练习）把下列角度化成弧度：（1）36︒；（2）150︒-；（3）1095︒；（4）1440︒. 【答案】（1）5π（2）56π-（3）7312π（4）8π 【解析】（1）361805ππ︒⨯=；（2）51501806ππ-︒⨯=-；（3）73109518012ππ︒⨯=；（4）14408180ππ︒⨯=． 2．（2020·全国课时练习）将下列角度与弧度进行互化. （1）20°；（2）－15°；（3）712π（4）－115π. 【答案】（1）20°＝9π；（2）－15°＝－12π；（3）712π＝105°；（4）－115π＝－396°.【解析】（1）20°＝20180π＝9π. （2）－15°＝－15180π＝－12π.（3）712π＝712×180°＝105°. (4)－115π＝－115×180°＝－396°.3．（2020·全国高三专题练习）把−1125°化成α+2k π(0≤α<2π,k ∈Z)的形式是（） A ．−π4−6πB ．7π4−6πC ．−π4−8πD ．7π4−8π【答案】D【解析】−1125°=−1440°+315°=−8π+7π4，故选D.4．（2019·全国高三专题练习）将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z)的形式是( ) A ．－4π－8πB ．74π－8πC ．4π－10πD ．74π－10π【答案】D【解析】由题意，可知－1485°＝－5×360°＋315°，又π＝180°，则315°＝74π，故－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z)的形式是74π－10π．考向二三角函数定义【例2】（1）（2020·云南）已知角α的终边经过点34(,)55P -，则sin α等于（） A ．45B ．35C ．43-D ．34- （2）（2020·广东）已知角θ的终边上一点(4,3)(0)P a a a ≠，则sin θ=（） A ．45B ．35C ．45±D ．35± 【答案】（1）A （2）D【解析】（1）因为角α的终边经过点34(,)55P -，所以x 34,,155y r =-==，所以4sin 5y r α==，故选：A（2）5OP a == 由三角函数的定义可得333sin 55a a OP a θ===±故选：D 【举一反三】1．（2020·北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(3,4)P ，那么sin α的值是（） A ．35B ．34C ．45D ．43 【答案】C【解析】由已知5OP ==，所以4sin 5α．故选：C ． 15．（2020·商南县高级中学）角α的终边过点()3,4P a ，若3cos 5α=-，则a 的值为（） A ．1B ．1-C ．±1D ．5± 【答案】B【解析】由条件可知r OP ==，由三角函数的定义可知3cos 5x r α===-，0a <，解得：1a =-.故选：B 3．（2019·吉林高三月考（文））若点cos ,sin36ππ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上，则tan α的值是（）A ．-1B ．1C ．【答案】B【解析】据题意，得1sin62tan 11cos32παπ===.故选：B.考向三三角函数正负判断【例3】（1）（2020·山东高三专题练习）已知cos tan 0θθ⋅>，那么θ是（） A ．第一、二象限角B ．第二、三象限角C ．第三、四象限角D ．第一、四象限角（2）（2020·山东高三专题练习）若α是第二象限角，则点()sin ,cos P αα在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】（1）A （2）D【解析】（1）由cos tan 0θθ⋅>可知cos ,tan θθ同号，即cos tan =sin 0θθθ⋅>，从而θ为第一、二象限角，故选：A（2）因为α是第二象限角，所以sin 0,cos 0αα><，所以点()sin ,cos P αα在第四象限，故选D【举一反三】1．（2019·浙江高三专题练习）已知 sin 0θ>且cos 0θ<，则角的终边所在的象限是（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】依据题设及三角函数的定义可知角θ终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，故选B.2．（2020·全国高三专题练习）若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是（） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】 C【解析】2sin sin tan 0cos αααα=<，cos 0α∴<，又2cos cos 0tan sin αααα=<，则sin 0α<. 因此，角α为第三象限角.故选：C.3．（2020·全国高三专题练习）已知sin cos 0θθ<，且cos cos θθ=，则角θ是（） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【解析】由cos cos θθ=，可知cos 0θ≥，结合sin cos 0θθ<，得sin 0,cos 0θθ<>，所以角θ是第四象限角，故选:D4．（多选）（2020·全国高三专题练习）对于①sin 0θ>，②sin 0θ<，③cos 0θ>，④cos 0θ<，⑤tan 0θ>，⑥tan 0θ<，则θ为第二象限角的充要条件为（） A ．①③B ．①④C ．④⑥D ．②⑤ 【答案】BC【解析】若θ为第二象限角，则sin 0θ>，cos 0θ<，tan 0θ<.所以，θ为第二象限角sin 0cos 0θθ>⎧⇔⎨<⎩或sin 0tan 0θθ>⎧⎨<⎩或cos 0tan 0θθ<⎧⎨<⎩.故选：BC.考向四同角三角公式【例4】（1）（2019·全国高三专题练习）已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于（） A ．513B ．－513 C ．512D ．－512（2）（2020·江西景德镇一中）已知2tan 3α=，且2απ<<π，则cos α=（）A ．13-B ．13．13-D ．13【答案】（1）B （2）A【解析】由条件知α是第四象限角，所以sin 0α<，即sin α＝＝＝513-. 故选：B ．（2）2tan 03α=>且2απ<<π，32ππα∴<<，cos 0α∴<，由22sin 2tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩得：cos 13α=-故选：A .【举一反三】1．（2020·海拉尔市蒙古族中学高三学业考试）已知α为第四象限的角，且3cos 5α=，则tan α的值为（） A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D【解析】α为第四象限的角，且3cos 5α=，4sin 5α∴===-.4sin 45tan 3cos 35ααα-∴===-.故选：D .2．（2019·北京海淀·101中学高三月考）已知3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan α=那么sin α=（）A ．-．D【答案】B【解析】因为3(,)22ππα∈，sin tan 0cos ααα==>，故3(,)2παπ∈， sin αα=，又22sin cos 1αα+=，解得：sin α=故选：B 3.已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．【答案】见解析【解析】由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α①又sin 2α＋cos 2α＝1②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.考向五弦的齐次【例5】（1）已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为．（2）（2020·固原市五原中学高三）已知tan 2θ=，则2sin sin cos 2θθθ+-= 【答案】（1）3（2）45-（1）原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3. （2）因为22sin +cos 1θθ=，sin tan cos θθθ=所以222sin sin cos 2sin sin cos 2cos θθθθθθθ+-=-+-222222sin sin cos 2cos tan tan 2sin +cos tan +1θθθθθθθθθ-+--+-==42244+15-+-==-故选：D.【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）已知1tan 3α=-，则2cos sin cos ααα-+的值为（） A ．3-B ．34-C ．43-D ．34【答案】A【解析】由1tan 3α=-，得2cos 2232sin cos 1tan 3αααα---===-++.故选：A.2．（2020·福建省武平县第一中学高三月考）已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-等于（） A ．43-B ．54C ．34-D ．45【答案】D【解析】222222sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin cos θθθθθθθθθθ+-+-=+22tan tan 24224tan 1415θθθ+-+-===++. 故选：D3．（2020·西藏拉萨中学高三）1tan 2α=，则sin 2α=（） A ．45-B ．35C ．45D ．35【答案】C【解析】1tan 2α=，2222122sin cos 2tan 42sin 21151()2sin cos tan ααααααα⨯∴====+++．故选：C 4．（2020·江苏南京田家炳高级中学）已知tan 2α=，求：（1）sin 2cos sin cos αααα+-；（2）221sin sin cos 2cos αααα+-.【答案】（1） 4 （2）54【解析】（1）sin 2cos tan 2224sin cos tan 121αααααα+++===--- （2）2222221sin cos sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos αααααααααα+=+-+-2222tan 1215tan tan 22224ααα++===+-+- 考向六 sin cos sin cos α±ααα与【例6】（1）（2020·永寿县中学高三开学考试）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（）． A ．79-B ．29-C ．29D ．79（2）（2020·广东华南师大附中高三月考）已知1sin cos 5αα+=，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=（）A ．247B ．43-或34-C ．34-D ．43- 【答案】（1）A （2）D【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A.（2）由1sin cos 5αα+=，平方可得112sin cos 25αα+=，解得242sin cos 25αα=-，又由2249(sin cos )sin cos 2sin cos 25αααααα-=+-=，因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可得sin cos 0αα->，所以7sin cos 5αα-=，联立方程组1sin cos 57sin cos 5αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得43sin ,cos 55αα==-，所以sin tan s 43co ααα==-.故选：D.【举一反三】1．（2020·上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知7sin cos17αα+=，()0,απ∈，则tanα=________.【答案】158-【解析】依题意7sin cos17αα+=，两边平方得4924012sin cos,2sin cos0289289αααα+==-<，而()0,απ∈，所以sin0,cos0αα><，所以23sin cos17αα-====.由7sin cos1723sin cos17αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得158sin,cos1717αα==-，所以sin15tancos8ααα==-.故答案为：158-2．（2020·四川省南充高级中学高三月考（理））已知1sin cos5θθ+=，(0,)θπ∈，则tanθ=________. 【答案】43-【解析】已知1sin cos5θθ+=，平方得()2221sin cos sin cos2sin cos25θθθθθθ+=++=，得12sin cos25θθ=-，∴()222sin cos sin cos2sin cos125252449θθθθθθ-=+-=+=，(0,)θπ∈，sin0,cos0θθ><，7sin cos 5θθ∴-=，7ta sin cos 1sin cos n 571t n 51a θθθθθθ=-=-+=+，解得4tan 3θ=-. 故答案为：43-考向七三角函数线运用【例7】（2020·全国高三专题练习）已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[0,2]π内α的取值范围是（）．A ．35,,244ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．353,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．3,,424ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】由已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限得：sin cos 0αα->，tan 0α>，即sin cos αα>，tan 0α>，当sin cos αα>，可得52244k k πππαπ+<<+，k Z ∈．当tan 0α>，可得222k k ππαπ<<+或3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈． ∴2242k k πππαπ+<<+或5224k k πππαπ+<<+，k Z ∈．当0k =时，42ππα<<或54ππα<<． 02απ，∴42ππα<<或54ππα<<．故选：B ．【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）已知点()cos ,tan P αα在第二象限，则角α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】点()cos ,tan P αα在第二象限，则cos 0tan 0αα<⎧⎨>⎩，所以角α在第三象限.故选：C2．（2020·海伦市第一中学高三期中（文））已知点()cos sin ,sin cos P αααα+-在第三象限，则α的取值范围是（）． A ．()ππ2π,2π42k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．()3π2π,2ππ4k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z C ．()3π5π2π,2π44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z D ．()5π7π2π,2π44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z【答案】D 【解析】()cos sin ,sin cos P αααα+-在第三象限，cos sin 0sin cos 0αααα+<⎧∴⎨-<⎩，2222sin cos sin 1sin sin 0sin 0αααααα⎧⎧>>-∴⇒⎨⎨<<⎩⎩，21sin 2sin 0αα⎧>⎪∴⎨⎪<⎩，sin α∴<，()5π7π2π,2π44k k k α⎛⎫∴∈++∈ ⎪⎝⎭Z．故选：D. 3．（2020·贵州高三其他模拟）已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[]0,2π内的α的取值范围是（）A ．35(,)(,)244ππππB ．5(,)(,)424ππππC ．353(,)(,)2442ππππD ．33(,)(,)244ππππ 【答案】B【解析】由已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限得：sin cos 0αα->，tan 0α>，即sin cos αα>，tan 0α>，当sin cos αα>，可得52244k k πππαπ+<<+，k Z ∈．当tan 0α>，可得222k k ππαπ<<+或3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈． ∴2242k k πππαπ+<<+或5224k k πππαπ+<<+，k Z ∈．当0k =时，42ππα<<或54ππα<<．02απ≤≤，∴42ππα<<或54ππα<<．故选：B ．1．（2020·重庆西南大学附中高三月考）下列转化结果正确的是（） A ．60化成弧度是rad 6πB ．rad 12π化成角度是30 C ．1化成弧度是180rad πD ．1rad 化成角度是180π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由180π=得，对于A 选项：60化成弧度是rad 3π，故A 不正确；对于B 选项：rad 12π化成角度是11801512⨯=，故B 不正确；对于C 选项：1化成弧度是180rad π，故C 错误；对于D 选项：1rad 化成角度是180π⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确，故选：D.2．（2020·天津市静海区大邱庄中学高三月考）下列转化结果错误的是（） A ．30化成弧度是6πB ．103π-化成度是600-︒ C ．6730'︒化成弧度是27πD ．85π化成度是288︒ 【答案】C【解析】30化成弧度是6π，A 正确；103π-化成度是600-︒，B 正确； 6730'︒是367.567.51808ππ︒=⨯=，C 错误；85π化成度是288︒，D 正确.故选：C. 3．（2020·江苏高三专题练习）225-化为弧度为()强化练习A ．34πB ．74π-C ．54π-D ．34π- 【答案】C【解析】225225356024ππ=-⋅-=-.故选C 4．（2019·全国高三专题练习）下列结论不正确的是( )A ．3πrad ＝60°B ．10°＝18πrad C ．36°＝5πradD ．58πrad ＝115°【答案】D 【解析】 ∵π＝180°，∴3πrad ＝60°正确，10°＝18πrad 正确，36°＝5πrad 正确，58πrad ＝＝112.5°≠115°，D 不正确．故选D ．5．（2020·浙江温州·高二期中）已知角α的终边上有一点()1,2P -，则tan α的值为（） A ．-2B ．12-C D ．【答案】A 【解析】角α的终边上有一点()1,2P -，2tan 21α-∴==-.故选：A. 6．（2020·江苏镇江·高三期中）已知点51,3tan6P π⎛⎫- ⎪⎝⎭是角θ终边上一点，则cosθ的值为（） A ．12B．12-D．【答案】C【解析】因为53tan 36π⎛=⨯= ⎝⎭(1,P -，所以1cos 2θ==-，故选：C.7．（2020·河南高三月考（文））已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴上，终边与单位圆交于12P ⎛-⎝⎭，则sin α=（） A．B ．12-C．．2【答案】D【解析】由三角函数的定义，sin y α==.故选：D. 8．（2020·北京人大附中高三月考）已知点5π2cos,16P ⎛⎫⎪⎝⎭是角α终边上一点，则sin α=（） A ．12B．2C ．12-D．2- 【答案】A【解析】由5πcos62=-，可得点()P ，根据三角函数的定义，可得1sin 2α==.故选：A.9．（2020·浙江高二开学考试）已知角α的终边经过点(2,1)P -，则（）A ．sin αB ．sin α=C ．cos α=D ．tan 2α【答案】A【解析】角α的终边经过点(2,1)P -,所以P根据三角函数定义得到：sin 55a α====-，1tan 2α=-；故选A. 10．（2020·开鲁县第一中学高三月考（文））已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin cos αα+的值等于( ) A ．25-B ．45C ．35D ．25【答案】A【解析】因为角α的终边过点()4,3,5P r OP -==，所以利用三角函数的定义，求得34,cos 55sin αα=-=，3422cos 2555sin αα∴+=-⨯+=-，故选A. 11．（2020·宁夏银川二中高三其他模拟）如果角α的终边过点(2sin30,2cos30)︒-︒，则sin α的值等于（）A ．12B ．12-C．D．-【答案】C【解析】由题意()(2sin30,2cos301,︒-︒= ，点(1,到原点的距离2r ==，由定义知sin 2y r α==-故选：C ． 12．（2020·扶风县法门高中高三月考（文））已知α的值是（）A ．3B ．3-C ．1D ．12- 【答案】Ccos 2sin cos sin cos ααααα+=+，因为α为第二象限角，所以sin 0,cos 0αα><，所以cos 2sin 2sin cos 211sin cos sin cos αααααααα-+=+=-=.故选：C. 13．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边位置在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由于点(tan ,cos )P αα在第三象限，所以tan 0,cos 0αα<<，所以α在第二象限.故选：B14．（2020·全国高三专题练习（文））已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α在第几象限（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】因为点(tan ,cos )P αα在第三象限，所以tan 0,cos 0αα<< 所以角α在第二象限故选：B15．（2020·江苏高三专题练习）若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是第（）象限角. A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】C【解析】由条件知sin α与tan α异号，则α为第二或第三象限角；又cos α与tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角.故选：C16．（2020·北京市第十三中学高三期中）已知()0,απ∈，且3cos 5α=-，则tan α=（） A ．43-B ．34-C ．34D ．43 【答案】A【解析】由3cos 5α=-得4sin 5α===±，因为()0,απ∈，所以sin 0α>，所以4sin 5α，所以4sin 45tan 3cos 35ααα===--，故选：A17．（2020·陕西省定边中学高三月考（文））已知tan 4α=，则21cos 28sin sin 2ααα++的值为（）A ．．654C ．4D ．3【答案】B【解析】因为tan 4α=，所以21cos 28sin sin 2ααα++，222cos 8sin 2sin cos αααα+=，228tan 2tan αα+=，228424+⨯=⨯， 654=故选：B 18．（2020·重庆南开中学高三月考）已知tan 2α=，则2221sin 2cos sin 2cos αααα++=-（）A ．32B ．52C ．4D ．5 【答案】D 【解析】22222221sin 2cos sin 2sin cos 2cos sin 2cos sin 2cos αααααααααα++++=--22tan 2tan 25tan 2ααα++==-故选:D 19．（2020·全国高三专题练习（文））已知02πα-<<，1sin cos 5αα+=，则221cos sin αα-的值为( )A ．75B ．257C ．725D ．2425【答案】B【解析】由题意，因为1sin cos 5αα+=，所以112sin cos 25αα+=，所以242sin cos 25αα=-，所以()249cos sin 12sin cos 25αααα-=-=，又因为02πα-<<，所以sin 0,cos 0αα<>，所以7cos sin 5αα-=，所以221125cos sin (cos sin )(cos sin )7αααααα==-+-，故选B.20．（2020·全国高三专题练习）（多选）下列转化结果正确的是（）A ．6730'化成弧度是38πB ．103π-化成角度是600-C ．150-化成弧度是76π-D ．12π化成角度是5 【答案】ABD【解析】对于A,3673067.51808ππ'=⨯=,正确;对于B,101018060033πππ-=-⨯=-,正确; 对于C,51501501806ππ⨯-=-=-,错误;对于D,180151212πππ=⨯=,正确.故选ABD 21．（2020·天津经济技术开发区第二中学高三期中）已知角θ的终边经过点(,3)P x （0x <）且cos 10x θ=，则x =___________. 【答案】1-【解析】由余弦函数的定义可得cos 10x θ==，解得0x =（舍去），或1x =（舍去），或1x =-， 1x ∴=-.故答案为：1-.22．（2020·湖南高二学业考试）已知角α的终边经过点(3，4)，则cos α=______________.【答案】35【解析】因为角α的终边经过点(3，4)，所以3cos 5x r α===，故答案：35 23（2020·天津经济技术开发区第二中学高三期中）已知2sin cos 0αα-=，则2sin 2sin cos ααα-=___________. 【答案】35【解析】由2sin cos 0αα-=，得1tan 2α=，则有222222sin 2sin cos sin 2sin cos tan 2tan 1sin cos tan 1ααααααααααα---==++221123225112⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；故答案为：35. 24．（2020·万载县第二中学高三月考（理））已知角α的终边经过点(,6)P x --，且3cos 5α=-，则11sin tan αα+=________．【答案】12- 【解析】点P 的纵坐标为6-，且3cos 05α=-<．∴角α的终边落在第三象限，4sin 5α∴=-，4tan 3α= 115321sin tan 4442αα∴+=-+=-=-.故答案为：12-. 25．（2020·山东高三专题练习）已知sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，那么tan α＝________. 【答案】－2316易知cos α≠0，由sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，得tan 23tan 5αα-+＝－5，解得tan α＝－2316.故答案为：－2316。

2020高考数学三角函数诱导公式详解

2020高考数学三角函数诱导公式详解高考是人生道路上的重要转折点，会对考生的未来发展产生重要的影响作用，甚至改变命运。

想要在高考中取得好成绩，自然是要付出努力的，只有努力才能获得回报。

这里给大家分享一些2020高考高频考点知识归纳，希望对大家有所帮助。

2020高考数学常见诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第6讲正弦定理和余弦定理理解析版

第6讲正弦定理和余弦定理1.正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆的半径，则2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况3.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝□0112ac sin B ＝□0212ab sin C . (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1.概念辨析(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立．( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.小题热身(1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 答案 D解析由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.(2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A cos B ＝ba ＝2，则该三角形的形状是( )A.直角三角形 B ．等腰三角形 C.等边三角形 D ．钝角三角形答案 A解析因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin2A ＝sin2B .由ba＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝180°－2B ，即A ＋B ＝90°，所以C ＝90°，于是△ABC 是直角三角形．(3)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．答案 4 3解析 ∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.(4)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2Asin C ＝________.答案 1解析因为a＝4，b＝5，c＝6，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝52＋62－422×5×6＝34，所以sin2Asin C＝2sin A cos Asin C＝2a cos Ac＝2×4×346＝1.题型一利用正、余弦定理解三角形角度1 用正弦定理解三角形1.(1)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________；(2)(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b ＝6，c＝3，则A＝________.答案(1)1 (2)75°解析(1)因为sin B＝12且B∈(0，π)，所以B＝π6或B＝5π6，又C＝π6，所以B＝π6，A＝π－B－C＝2π3，又a＝3，由正弦定理得asin A＝bsin B，即3sin2π3＝bsinπ6，解得b＝1.(2) 如图，由正弦定理，得3sin60°＝6sin B，∴sin B ＝22. 又c ＞b ，∴B ＝45°，∴A ＝180°－60°－45°＝75°. 角度2 用余弦定理解三角形2.(1)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，A ＝π6，则cos5B ＝( )A.－32B.12C.12或－1 D ．－32或0 (2)在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) A.322 B.332 C.32D ．3 3 答案 (1)A (2)B解析 (1)因为b ＝1，c ＝3，A ＝π6，所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋3－2×1×3×32＝1，所以a ＝1.由a ＝b ＝1，得B ＝A ＝π6，所以cos5B ＝cos 5π6＝－cos π6＝－32.(2)由题意得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝32＋42－1322×3×4＝12， ∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32， ∴边AC 上的高h ＝AB sin A ＝332. 角度3 综合利用正、余弦定理解三角形3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b . (1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .解 (1)∵2a cos C －c ＝2b ，由正弦定理得2sin A cos C －sin C ＝2sin B,2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ，∴－sin C ＝2cos A sin C ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BDsin A，∴sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝22. 又∠ADB ∈(0，π)，A ＝2π3，∴∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，AC ＝AB ＝2，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC2－2AB ·AC ·cos A ＝(2)2＋(2)2－2×2×2cos 2π3＝6，∴a ＝ 6.用正弦、余弦定理解三角形的基本题型及解题方法(1)已知两角和一边①用三角形内角和定理求第三个角． ②用正弦定理求另外两条边． (2)已知两边及其中一边所对的角 ①用正弦定理(适用于优先求角的题) 以知a ，b ，A 解三角形为例： a ．根据正弦定理，经讨论求B ；b ．求出B 后，由A ＋B ＋C ＝180°，求出C ；c ．再根据正弦定理a sin A ＝csin C ，求出边c .②用余弦定理(适用于优先求边的题) 以知a ，b ，A 解三角形为例：列出以边c 为元的一元二次方程c 2－(2b cos A )c ＋(b 2－a 2)＝0，根据一元二次方程的解法，求边c ，然后应用正弦定理或余弦定理，求出B ，C .(3)已知两边和它们的夹角 ①用余弦定理求第三边．②用余弦定理的变形或正弦定理求另外两角． (4)已知三边可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A ＋B ＋C ＝180°，求出第三个角.1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝62b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.66 B.65 C.64 D.63答案 C解析因为a＝62b，A＝2B，所以由正弦定理可得62bsin2B＝bsin B，所以622sin B cos B＝1sin B，所以cos B＝64.2.(2018·和平区模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2－b2＝3 bc，且sin C＝23sin B，则角A的大小为________．答案π6解析由sin C＝23·sin B得c＝23b.∴a2－b2＝3bc＝3·23b2，即a2＝7b2.则cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋12b2－7b243b2＝32.又A∈(0，π)．∴A＝π6.3．如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________.答案562解析在△ACD中，由余弦定理可得cos C＝49＋9－252×7×3＝1114，则sin C＝5314.在△ABC中，由正弦定理可得ABsin C＝ACsin B，则AB＝AC sin Csin B＝7×531422＝562.题型二利用正、余弦定理判定三角形的形状1.(2018·武汉调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A.钝角三角形 B ．直角三角形 C.锐角三角形 D ．等边三角形答案 A解析因为c b<cos A ，所以c <b cos A ，由正弦定理得sin C <sin B cos A ，又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )．所以sin A cos B ＋cos A sin B <sin B cos A ，所以sin A cos B <0，又sin A >0，所以cos B <0，B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形. 2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A.直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C.等边三角形 D ．钝角三角形答案 C解析 ∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac ，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．条件探究1 把举例说明2中△ABC 满足的条件改为“a cos A ＝b cos B ”，判断△ABC 的形状．解因为a cos A ＝b cos B ，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin2A ＝sin2B ，又因为0<2A <2π，0<2B <2π，0<A ＋B <π，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．条件探究2 把举例说明2中△ABC 满足的条件改为“cos 2B 2＝a ＋c 2c”，判断△ABC 的形状．解因为cos 2B 2＝a ＋c 2c，所以12(1＋cos B )＝a ＋c 2c ，在△ABC 中，由余弦定理得 12＋12·a 2＋c 2－b 22ac ＝a ＋c 2c. 化简得2ac ＋a 2＋c 2－b 2＝2a (a ＋c )，则c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 为直角三角形.1.应用余弦定理判断三角形形状的方法在△ABC 中，c 是最大的边．若c 2<a 2＋b 2，则△ABC 是锐角三角形；若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形；若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是钝角三角形． 2．判断三角形形状的常用技巧若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论.1.若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形答案 C解析由正弦定理得，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，设a ＝5t ，b ＝11t ，c ＝13t (t >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝5t2＋11t 2－13t 22×5t ×11t<0，所以C 是钝角，△ABC 是钝角三角形.2.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A.锐角三角形 B ．直角三角形 C.钝角三角形 D ．不确定答案 B解析根据正弦定理，由b cos C ＋c cos B ＝a sin A 得sin B ·cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2.所以△ABC 是直角三角形.题型三与三角形面积有关的问题(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．解 (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题意得12bc sin A ＝a23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形的面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.(2018·洛阳三模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin B ＋(c －b )sin C ＝a sin A .(1)求角A 的大小；(2)若sin B sin C ＝38，且△ABC 的面积为23，求a .解 (1)由b sin B ＋(c －b )sin C ＝a sin A 及正弦定理得b 2＋(c －b )c ＝a 2，即b 2＋c 2－bc ＝a 2，所以b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ＝12，所以A ＝π3.(2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可得b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A ·a sin Csin A·sin A＝a 2sin B sin C2sin A＝2 3.又sin B sin C ＝38，sin A ＝32，∴38a 2＝23，解得a ＝4.高频考点用正弦、余弦定理进行边、角之间的转化考点分析在综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题时，常利用边、角之间的转化与化归的方法解决．[典例1] (2018·枣庄二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)·(a cos B ＋b cos A )＝abc ，若a ＋b ＝2，则c 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．[1,2) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2D ．(1,2]答案 B解析由正、余弦定理，得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C .即 2cos C sin(A ＋B )＝sin C .所以2cos C sin C ＝sin C ，因为sin C ≠0，所以cos C ＝12.又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，且 (a ＋b )2≥4ab ，所以ab ≤1. 所以c 2≥1，即c ≥1，又c <a ＋b ＝2. 所以1≤c <2.[典例2] (2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.答案π3解析解法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得11 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A .∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B .∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B .又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3. 解法二：∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ， ∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝12. 又0<B <π，∴B ＝π3. [典例3] (2018·东北三省四市教研联合体模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，且2b cos B ＝a cos C ＋c cos A .(1)求B 的大小；(2)求△ABC 面积的最大值．解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝Csin C可得 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B ，∵sin B >0，故cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3. (2)由b ＝2，B ＝π3及余弦定理可得ac ＝a 2＋c 2－4，由基本不等式可得ac ＝a 2＋c 2－4≥2ac －4，ac ≤4，而且仅当a ＝c ＝2时，S △ABC ＝12ac sin B 取得最大值12×4×32＝3，故△ABC 的面积的最大值为 3.方法指导 1.两种主要方法1全部化为角的关系，用三角恒等变换及三角函数的性质解答.2全部化为边的关系，用因式分解、配方等方法变形.2.基本原则1若出现边的一次式一般采用正弦定理；2若出现边的二次式一般采用余弦定理.。

2020年高考文科数学一轮总复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

2020年高考文科数学一轮总复习：函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用第6讲函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( )(2)将y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象．( ) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A .( )(4)如果y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(5)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×(教材习题改编)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，－π4B ．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π8答案：A函数y ＝cos x |tan x |⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π且x ≠π2的图象为( )解析：选C.因为|tan x |≥0，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，cos x ≥0，y ≥0，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，cos x ≤0，y ≤0.由图可知，故选C.若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则得到的图象对应的函数表达式为f (x )＝________．解析：函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为f (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 答案：2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________．解析：由题图可知，T 4＝2π3－π3＝π3，即T ＝4π3，所以2πω＝4π3，故ω＝32.答案：32五点法作图及图象变换(典例迁移)(2019·济南高三模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2的最小正周期是π，且当x ＝π6时，f (x )取得最大值2.(1)求f (x )的解析式；(2)作出f (x )在[0，π]上的图象(要列表)．【解】 (1)因为函数f (x )的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为x ＝π6时，f (x )取得最大值2.所以A ＝2，同时2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)因为x ∈[0，π]，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，13π6，列表如下：[迁移探究1] (变结论)在本例条件下，函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移________个单位得到y ＝f (x )的图象．解析：将函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，可得函数y ＝2sin 2x 的图象，再将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象，综上可得，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象可以由函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到．答案：π6[迁移探究2] (变问法)在本例条件下，若将函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图象，且y ＝g (x )是偶函数，求m 的最小值．解：由已知得y ＝g (x )＝f (x －m )＝2sin[2(x －m )＋π6]＝2sin ⎣⎡⎦⎤2x －⎝⎛⎭⎫2m －π6是偶函数，所以2m －π6＝π2(2k ＋1)，k ∈Z ，m ＝k π2＋π3，k ∈Z ，又因为m >0，所以m 的最小值为π3.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种作法加减多少值．1．(2018·高考天津卷)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递增B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递减解析：选 A.把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度得函数g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π10＋π5＝sin 2x 的图象，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z )，令k ＝1，得3π4≤x ≤5π4，即函数g (x )＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎡⎦⎤3π4，5π4，故选A.2．(2019·河南周口模拟)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π12 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π12 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π12D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π24解析：选 B.将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12的图象，再把所得图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋5π12的图象，故选B.由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式(师生共研)(2019·重庆六校联考)函数f (x )＝A sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎫A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫－π3＝________．【解析】由函数的图象可得A ＝2，14×2πω＝7π12－π3，可得ω＝2，则2×π3＋φ＝k π(k ∈Z )，又0<φ<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－62.【答案】－62确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ ＝π2＋2k π(k ∈Z )；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )．1．(2019·兰州实战考试)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________．解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又因为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，由0<φ<π，取k ＝0，则φ＝π2，所以f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π2，所以f (1)＝－ 3. 答案：－ 32．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象上有一个最高点的坐标为(2，2)，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x 轴交于点(6，0)，则此解析式为________________．解析：由题意得：A ＝2，T 4＝6－2，T ＝16，ω＝2πT ＝π8，又sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1，π4＋φ＝π2＋2kπ(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4. 答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4三角函数模型的简单应用(师生共研)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)，则实验室这一天的最大温差为________℃.【解析】因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 【答案】 4三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，4]的部分图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．解：连接MP (图略)．依题意，有A ＝23，T4＝3，又T ＝2πω，所以ω＝π6，所以y ＝23sin π6x .当x ＝4时，y ＝23sin2π3＝3，所以M (4，3)．又P (8，0)，所以|MP |＝（－4）2＋32＝5. 即M ，P 两点相距5 km.函数与方程思想在三角函数中的应用已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．【解析】方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0⇔m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，要使原方程在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同实根，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6与y ＝m 在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同交点，如图，需满足1≤m <2.【答案】 [1，2)本题是将方程根的问题转化为函数y ＝m 和y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6图象的交点，再利用数形结合进行求解，充分体现数学思想．函数f (x )＝3sin π2x －log 12x 的零点的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D.函数f (x )零点个数即为y ＝3sin π2x 与y ＝log 12x 交点个数，如图，函数y ＝3sinπ2x 与y ＝log 12x 有5个交点．[基础题组练]1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A.令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C.2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( )A ．－3B ．33C ．1D ． 3解析：选D.由题意可知该函数的周期为π2，所以πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x ，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan π3＝ 3. 3．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位长度，则所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π24 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π12D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 解析：选B.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象经伸长变换得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象，再将所得图象作平移变换得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －π6－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的图象，故选B. 4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列为f (x )的单调递减区间的是( )A.⎣⎡⎦⎤－5π3，－7π6B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π3C.⎣⎡⎦⎤5π6，πD.⎣⎡⎦⎤π，4π3 解析：选 B.由12T ＝2π3－π6＝π2，得T ＝π＝2πω，所以ω＝2.当x ＝π6时，f (x )＝1，可得sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1.因为|φ|<π2，所以φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.由图象可得f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z ，结合选项可知⎣⎡⎦⎤－5π6，－π3为f (x )的单调递减区间，选B. 5．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π2，f (x )的最小正周期为π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________．解析：由函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)，又由f (0)＝3且|φ|<π2得到φ＝π3.答案：2 π36．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：解析：设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ＋6.因为当x ＝1时，y ＝6，所以6＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＋6，结合表中数据得π2＋φ＝2k π，k ∈Z ，可取φ＝－π2，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x . 答案：y ＝6－cos π2x7．(2019·河北石家庄毕业班模拟)函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最小值为－1，其图象相邻两个最高点之间的距离为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．解：(1)因为函数f (x )的最小值为－1，所以－A ＋1＝－1，即A ＝2.因为函数f (x )的图象的相邻两个最高点之间的距离为π，所以函数f (x )的最小正周期T ＝π，所以ω＝2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＋1.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12. 因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π3，所以α－π6＝π6，得α＝π3.8．(2019·湖北八校联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在它的某一个周期内的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤5π12，11π12.将y ＝f (x )的图象先向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值．解：(1)T 2＝1112π－512π＝12π，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2，又sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝1， |φ|<π2，所以φ＝－π3，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)由正弦函数的性质可得，g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π12上为增函数，在⎣⎡⎦⎤π12，π4上为减函数，所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫π12＝1. 又g (0)＝12，g ⎝⎛⎭⎫π4＝－12，所以g (x )min ＝－12，故函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值分别为1和－12. [综合题组练]1．(2019·潍坊统一考试)函数y ＝3sin 2x －cos 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的值为( )A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：选B.由题意知y ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，其图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ－π6的图象，因为g (x )为偶函数，所以2φ＋π6＝π2＋kπ，k ∈Z ，所以φ＝π6＋k π2，k ∈Z ，又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6.2．(2019·惠州第二次调研)函数f (x )＝A sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫|θ|≤π2，A >0的部分图象如图所示，且f (a )＝f (b )＝0，对不同的x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝3，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是减函数B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是增函数C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是减函数D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是增函数解析：选B.由题图知A ＝2，设m ∈[a ，b ]，且f (0)＝f (m )，则f (0＋m )＝f (m )＝f (0)＝3，所以2sin θ＝3，sin θ＝32，又|θ|≤π2，所以θ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，此时f (x )单调递增，所以选项B 正确．3．(创新型)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．解析：由题图可知，M ⎝⎛⎭⎫12，1，N (x N ，－1)，所以OM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎫2－12＝3. 答案：34．(2019·武汉部分学校调研)已知函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫a ≠0，ω>0，|φ|≤π2，直线y ＝a 与f (x )的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题：①该函数在[2，4]上的值域是[a ，2a ]；②在[2，4]上，当且仅当x ＝3时函数取得最大值； ③该函数的最小正周期可以是8.其中是真命题的为________(写出序号即可)．解析：对于①，因为直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，所以结合图象可以看出，当a >0时，f (x )在[2，4]上的值域为[a ，2a ]，当a <0时，f (x )在[2，4]上的值域为[2a ，a ]，①错误；对于②，根据三角函数图象的对称性，显然x ＝2和x ＝4的中点是x ＝3，即当a >0时，f (x )在x ＝3处有最大值f (3)＝2a ，当a <0时，f (x )在x ＝3处有最小值f (3)＝2a ，②错误；对于③，因为函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的最小正周期T ＝2ππω＝2ω，当ω＝14时，T＝8，此时f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ，由⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝a ，f （4）＝a ，解得cos φ＝22，sin φ＝－22，满足|φ|≤π2，故f (x )的最小正周期可以是8，③正确．答案：③5．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6(其中0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)试求ω的值，并求出函数的单调增区间；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象．解：(1)因为点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心，所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，所以ω＝－3k ＋12，k ∈Z ，因为0<ω<1，所以当k ＝0时，可得：ω＝12.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，令2k π－π2<x ＋π6<2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－2π3<x <2k π＋π3，k ∈Z ，所以函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z .(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈[－π，π]，列表如下：6．(应用型)如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0，0<φ<π)．(1)求解析式；(2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－52，20＋52]之间为最佳营业时间，那么该行业在6～14时，最佳营业时间为多少小时．解：(1)由图象知A ＝10，12·2πω＝14－6，所以ω＝π8，所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫πt8＋φ＋b .① y max ＝10＋b ＝30，所以b ＝20. 当t ＝6时，y ＝10代入①得φ＝3π4，所以解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8t ＋3π4＋20，t ∈[6，14]．(2)由题意得，20－52≤10sin ⎝⎛⎭⎫π8t ＋3π4＋20≤20＋52，即－22≤sin ⎝⎛⎭⎫π8t ＋3π4≤22，所以k π－π4≤π8t ＋3π4≤k π＋π4，k ∈Z .即8k －8≤t ≤8k －4，k ∈Z ，因为t ∈[6，14]，所以k ＝2，即8≤t ≤12，所以最佳营业时间为12－8＝4小时．。

2020年高考数学(文科)复习课件第三单元第16讲任意角、弧度制及任意角的三角函数

变式 [2018·武汉五月冲刺] 《九章算术》是我国古代第一部数学专著,成于公元一世纪左
右,全书系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中“方田”一章中记载了计算弧田(弧田
就是由圆弧和其所对弦所围成弓形)的面积所用的经验公式:弧田面积=12(弦×矢+矢×矢),
公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计
[总结反思] (1)利用终边相同的角的集合 S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判断一个角 β 的终边所在象限时,只需把这个角写成[0,2π)内的一个角 α 与 2π 的整数倍的和,然后判断角 α 的终边所在象限即可. (2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,再通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需的角.
课堂考点探究
考点三三角函数的定义
考向1 三角函数定义的应用
例 3 (1)已知 α 是第二象限的角,其终边上的一点为
P(x, 5),且 cos α= 42x,则 tan α 等于 ( )
A.
15 5
B.
15 3
C.-
15 5
D.-
15 3
(2)[2018·济南二模] 已知角 α 的终边经过点(m,-2m),
课堂考点探究
变式 (1)若角 α 与 β 的终边相同,则角 α-β
的终边 ( )
A.在 x 轴的正半轴上
B.在 x 轴的负半轴上
C.在 y 轴的负半轴上
D.在 y 轴的正半轴上
(2)终边在直线 y= 3x 上的角的集合
是
.
[答案]
(1)A
(2)
��|��

2020年高考数学专题讲解：正弦型函数的图像与三角函数的应用

2020年高考数学专题讲解：正弦型函数的图像与三角函数的应用（一）、高考目标考纲解读1．了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义，能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图像，了解参数A、ω、φ对函数图像变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．考向预测1．“五点法”作图的有关知识是高考的热点．2．图像的变换规律：平移和伸缩变换常在客观题中考查．3．结合三角恒等变换，考查y＝A sin(ωx＋φ)的性质及简单应用是解答题中三角函数考查的热点．（二）、课前自主预习知识梳理1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示.2.函数y＝A sin(ωx＋φ)(x∈R，其中A>0，ω>0)的图像可以看作由下面的方法得到的：先把正弦曲线上所有的点 (当φ>0时)或(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度，再把所得各点的横坐标 (当ω>1时)或(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标 (当A>1时)或 (当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的．3．当函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈(0，＋∞))表示一个振动时，A叫做，T ＝2πω叫做，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做，φ叫做．4．三角函数模型的应用(1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像． (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．（三）、基础自测1．(重庆理)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示，则( )A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6[答案] D[解析] 由图可知T 4＝712π－π3＝π4，T ＝π，即2πω＝π，∴ω＝2，又因为图像向左平移了π2－π3＝π6，∴φ＝－π6.(或利用2π3＋φ＝π2解也可)2．将函数y ＝sin2x 的图像向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是( )A ．y ＝cos2xB ．y ＝2cos 2x C ．y ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4D ．y＝2sin 2x [答案] B[解析] 本小题主要考查了三角函数图像的平移，同时考查了学生应用诱导公式化简三角函数式的能力．3．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的简图是( )[答案] A[解析] 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D.而x ＝π6时，y ＝0，排除C ，故选A.4．(江苏宿迁)一个物体相对于某一固定位置的位移y (cm)和时间t (s)之间的一组对应值如下表所示：则可近似地描述该物体的位移y 和时间t 之间关系的一个三角函数为________． [答案] y ＝－4cos2.5πx[解析] 设y ＝A cos(ωx ＋φ)，则A ＝4，T ＝0.8，∴ω＝2.5π，代入最高点(0.4,4)，得φ＝π，所以y ＝－4cos2.5πx .5．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示，则f (x )的解析式为____________．[答案] f (x )＝2sin π4x[解析] 由图知：T ＝8，∴2πω＝8，∴ω＝π4，A ＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ，令x ＝2，∴2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝1.∵|φ|<π2，∴φ＝0，∴f (x )＝2sin π4x .6．设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x )，x ∈R.(1)若f (x )＝1－3且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，求x ；(2)若函数y ＝2sin2x 的图像按向量c ＝(m ，n )⎝ ⎛⎭⎪⎫|m |<π2平移后得到函数y ＝f (x )的图像，求实数m 、n 的值．[解析] f (x )＝a ·b ＝2cos 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1.(1)由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＝1－3，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－32，k ∈Z∴2x ＋π6＝2k π－π3或2x ＋π6＝2k π－2π3，k ∈Z.即x ＝k π－π4或x ＝k π－5π12.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴x ＝－π4.(2)y ＝2sin2x 图像按(m ，n )平移得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1的图像，∴m ＝－π12，n ＝1.（四）、典型例题1.命题方向：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像[例1] 作出函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R 的简图，说明它与y ＝sin x 图像之间的关系．[分析] 利用五点作图法作出函数图像，然后判断图像间的关系．[解析] 按“五点法”，令2x ＋π3分别取0，π2，π，32π，2π时，x 相应取－π6，π12，π3，7π12，5π6，所对应的五点是函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π的图像上起关键作用的点列表：描点画图．利用函数的周期性，可以把简图向左、右扩展，就得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R 的简图．从图可以看出，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，是用下面方法得到的．方法一：⎝⎛⎭⎫x →x ＋π3→2x ＋π33sin y x π=−−−−−−→向左平移个单位的图像 12sin+3y x π=−−−−−−−→横坐标缩短到原来的（）的图像 3sin +3y x π=−−−−−−−→横坐标不变纵坐标伸长到原来的倍（2）的图像 3sin +3y x π=（2）方法二：22()2)63x x x x ππ→→+=+（12sin y x =−−−−−−−→横坐标缩短为原来的纵坐标不变的图像 6sin 2y x π=−−−−−−→向左平移个单位纵坐标不变的图像 sin 2+=sin(2x+63y x ππ⎡⎤=−−−−−−−→⎢⎥⎦⎣横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍（）)的图像3sin 2)3y x π=+（的图像[点评] 方法一是先平移，后伸缩；方法二是先伸缩，后平移．表面上看，两种变换方法中的平移分别是π3和π6，是不同的，但由于平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的．跟踪练习1已知函数y ＝3sin x 2＋cos x2(x ∈R)．(1)用“五点法”画出它的图像； (2)求它的振幅、周期及初相；(3)说明该函数的图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变换而得到？[解析] (1)y ＝2sin(x 2＋π6)，令X ＝x 2＋π6，列表如下：描点连线得图像如图(2)振幅A ＝2，周期T ＝4π，初相为π6.(3)将y ＝sin x 图像上各点向左平移π6个单位，得到y ＝sin(x ＋π6)的图像，再把y ＝sin(x ＋π6)的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y ＝sin(x 2＋π6)的图像．最后把y ＝sin(x 2＋π6)的图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，即得函数y ＝2sin(x2＋π6)的图像． [点评] 用“五点法”作图应抓住四条：①化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)或y ＝A cos(wx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T ＝2πw；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图像时，应列出该区间内的特殊点. 2.命题方向：求三角函数 y ＝A sin(ωx ＋φ) 的解析式 [例2] 下图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的一段，求其解析式．[分析] 首先确定A .若以N 为五点法作图中的第一零点，由于此时曲线是先下降后上升(类似于y ＝－sin x 的图像)，所以A <0；若以M 点为第一个零点，由于此时曲线是先上升后下降(类似于y ＝sin x 的图像)，所以A >0.而ω＝2πT，φ可由相位来确．[解析] 解法1：以N 为第一个零点，则A ＝－3，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝π，∴ω＝2，此时解析式为y ＝－3sin(2x ＋φ)，∵点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在图像上，∴－π6×2＋φ＝0⇒φ＝π3，∴所求解析式为y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.解法2：以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为第一个零点，则A ＝3，ω＝2πT＝2，解析式为y ＝3sin(2x ＋φ)，将点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0代入得：2×π3＋φ＝0⇒φ＝－2π3，∴所求解析式为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3.跟踪练习2函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2，x ∈R)的部分图像如图所示，则函数表达式为________．[答案] y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4[解析] 由图像可以看出，A ＝4，T2＝6＋2，∴T ＝16.则ω＝2π16＝π8.将点(－2,0)代入y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ中得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0. ∴－π4＋φ＝π，φ＝5π4∴y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋5π4.又∵|φ|<π2. ∴函数表达式y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π8x ＋π4＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4.[点评] 三角函数图像中，图像上与x 轴相邻两个交点之间的距离为半个周期，相邻两对称轴之间的距离为半个周期.3.命题方向：三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的综合应用[例4] (山东理)已知函数f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值．[分析] 本题考查三角函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图像变换以及三角函数的最值问题、分析问题与解决问题的能力．可直接利用公式化简求值．[解析] (1)因为已知函数图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，所以有 12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6sin φ＋cos 2π6cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0<φ<π)，即有1＝32sin φ＋32cos φ－cos φ(0<φ<π)，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6＝1，所以φ＋π6＝π2，解得φ＝π3.(2)由(1)知φ＝π3，所以f (x )＝12sin2x sin π3＋cos 2x cos π3－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3(0<φ<π)＝34sin2x ＋12cos 2x －14＝34sin2x ＋12×1＋cos2x 2－14＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以g (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，所以当4x ＋π6＝π2时，g (x )取最大值12；当4x ＋π6＝7π6时，g (x )取最小值－14.[点评] 高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中，需要利用这些公式，先把函数解析式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．跟踪练习3(营口一模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图像上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的值域．[解析] 本小题主要考查三角函数的图像和性质等基础知识及基本运算能力．(1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2.由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图像上得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－11π6. 又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．（五）、思想方法点拨1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(1)用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像应注意的问题．用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像关键是点的选取，一般令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，即可得到所画图像的关键点坐标．其中的横坐标成等差数列，公差为T4.(2)图像变换． ①平移变换(ⅰ)沿x 轴平移，按“左加右减”法则； (ⅱ)沿y 轴平移，按“上加下减”法则．注：平移变换时，系数不为1，应先提取，再判断． ②伸缩变换(ⅰ)沿x 轴伸缩时，横坐标x 伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的1ω倍(纵坐标y 不变)；(ⅱ)沿y 轴伸缩时，纵坐标y 伸长(A >1)或缩短(0<A <1)为原来的A 倍(横坐标x 不变)． 2．确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的步骤 (1)首先确定振幅和周期，从而得到A 与ω；(2)确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口．要注意从图像的升降情况找准第一个零点的位置，同时要利用好最值点．具体如下：“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的对称问题(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像关于直线x ＝x k (其中ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z)成轴对称图形，也就是说过波峰或波谷处且与x 轴垂直的直线为其对称轴．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φκ)的图像关于点(xj,0)(其中ωxj ＋φ＝k π，k ∈Z)成中心对称图形，也就是说函数图像与x 轴的交点(平衡位置点)是其对称中心． 4．三角函数模型的应用及解题步骤(1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像． (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．（六）课后强化练习一、选择题1．(四川理)将函数y ＝sin x 的图像上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20[答案] C2．(天津文)下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图像上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变[答案] A[解析] 本题考查了三角函数的性质及图像的平移．由题知函数f (x )的最小正周期T ＝56π－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，A ＝1，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，故将y ＝sin x 的图像先向左平移π3个单位长度后，再把所得图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，故选A.3．(湖北文)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2的图像F 按向量a 平移到F ′，F ′的解析式y ＝f (x )，当y ＝f (x )为奇函数时，则向量a 可以等于( )A.⎝⎛⎭⎫π6，－2B.⎝⎛⎭⎫π6，2C.⎝⎛⎭⎫－π6，－2 D.⎝⎛⎭⎫－π6，2 [答案] D[解析] 本题主要考查向量的平移和三角函数的图像及性质． A 中得y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6－2－2＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6－4， ∴不是奇函数，故排除A ；B 中得y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6－2＋2＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，∴不是奇函数，故排除B ； C 中得y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6－2－2＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－4，∴不是奇函数，故排除C ；D 中得y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6－2＋2＝－sin2x ， ∴是奇函数，所以选D.4．(枣庄二模)如图，在某点给单摆一个作用力后它开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s (厘米)和时间t (秒的函数关系为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6，单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为( ) A ．6 3 B ．33 C ．3 D ．6[答案] A[解析] ∵s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6，∴T ＝2πω＝1，从最左边到平衡位置O 需要的时间为T 4＝14秒，由6sin ⎝⎛⎭⎫2π×14＋π6＝33，得从最右边到最左边的距离为6 3. 5．(广州五校联考)若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图像向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图像重合，则ω的最小值为( ) A.16B.14C.13D.12[答案] D[解析] 本题考查正切函数的图像的平移变换．将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图像向右平移π6个单位长度，得到的函数为 y ＝tan ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π6＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6＋π4，由题意，得－ωπ6＋π4＝π6，∴ω＝12.6．已知函数f (x )＝sin ωx 的图像的一部分如图(1)，则图(2)的函数图像所对应的解析式可以为( )A ．y ＝f ⎝⎛⎭⎫2x －12B ．y ＝f (2x －1)C ．y ＝f ⎝⎛⎭⎫x2－1D ．y ＝f ⎝⎛⎭⎫x 2－12 [答案] B[解析] 由图得，图(2)是将图(1)中的图像先向右平移1个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的12倍得到，即y ＝f (x )→y ＝f (x －1)→y ＝f (2x －1)．7．(四川)设f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，则f (x )是偶函数的充要条件是( ) A ．f (0)＝1B ．f (0)＝0C ．f ′(0)＝1D ．f ′(0)＝0[答案] D[解析] 函数f (x )是偶函数，则φ＝k π＋π2 k ∈Z ，f (0)＝±1，故排除A 、B.又f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，f ′(0)＝0，选D.也可走特殊化思路，取ω＝1，φ＝±π2验证．8．四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数y ＝sin2x ，y ＝sin(x ＋π6)，y ＝sin(x －π3)的图像如下．结果发现恰有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是( )[答案] C[解析] 本题考查了三角函数的图像及性质，可采用排除法或取一个特殊点来观察，如当y ＝sin2x 的图象取最高点时，y ＝sin(x ＋π6)或y ＝sin(x －π3)对应的点一定不是最值点或零点，而C 不适合，故选C.二、填空题9．如图所示为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像上的一段，则这个函数的解析式为________．[答案] y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x 2－3π4[解析] A ＝2，T 2＝5π6－π6＝2π3，T ＝4π3，∵2πω＝43π，∴ω＝32，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋φ. ∵当x ＝56π时，y ＝2，∴2＝2sin ⎝⎛⎭⎫32×56π＋φ，即sin ⎝⎛⎭⎫φ＋54π＝1，∴φ＋54π＝π2，φ＝－3π4， ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x －3π4.10．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6的对称中心是________． [答案] ⎝⎛⎭⎫π3＋2k π，0，k ∈Z[解析] 由x 2－π6＝k π，k ∈Z 得x 2＝π6＋k π.∴x ＝π3＋2k π，k ∈Z .∴对称中心是⎝⎛⎭⎫π3＋2k π，0. 11．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|≤π2)是定义域为R 的奇函数，且当x ＝2时，f (x )取得最大值2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (100)＝________.[答案] 2±2 2[解析] 由题意知：φ＝0，A ＝2，∴f (x )＝2sin ωx又当x ＝2时，f (x )取得最大值2， ∴2ω＝π2＋2k π，∴ω＝π4＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，令k ＝2n ，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋2n πx ， ∵n ∈Z ，x ∈Z ，∴f (x )＝2sin π4x .由函数周期性可得：f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋2 2 同理，当k 为奇数时可得：f (1)＋f (2)＋…f (100)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2－2 2. 三、解答题12．求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调区间．[分析] 思路1：由y ＝sin x 的单调区间来求本题的单调区间．思路2：将y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 看作复合函数来求其单调性．[解析] 解法1：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 化成y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. ∵y ＝sin u (u ∈R )的递增、递减区间分别为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，∴函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的递增、递减区间分别由下面的不等式确定． 2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，解上两式得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4(k ∈Z )．∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递减区间、单调递增区间分别为⎣⎡⎦⎤2k π－π4，2k π＋3π4(k ∈Z )， ⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )．解法2：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 可看作是由y ＝2sin u 与u ＝π4－x 复合而成的．又∵u ＝π4－x 为减函数，∴由2k π－π2≤u ≤2k π＋π2(k ∈Z )，即2k π－π2≤π4－x ≤2k π＋π2(k ∈Z )得－2k π－π4≤x ≤－2k π＋3π4(k ∈Z )，即⎣⎡⎦⎤－2k π－π4，－2k π＋3π4(k ∈Z )为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的递减区间．由2k π＋π2≤u ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即2k π＋π2≤π4－x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )得－2k π－5π4≤x ≤－2k π－π4(k ∈Z )，即⎣⎡⎦⎤－2k π－5π4，－2k π－π4(k ∈Z )为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的递增区间．综上可知：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的递增区间为⎣⎡⎦⎤－2k π－5π4，－2k π－π4(k ∈Z )；递减区间为⎣⎡⎦⎤－2k π－π4，－2k π＋3π4(k ∈Z )． [点评] (1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ(ω>0)”视为一个“整体”；②A >0(A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式方向相同(反)．(2)对于y ＝A tan(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数)，其周期T ＝π|ω|，单调区间利用ωx ＋φ∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，解出x 的取值范围，即为其单调区间．对于复合函数y ＝f (v )，v ＝φ(x )，其单调性判定方法是：若y ＝f (v )和v ＝φ(x )同为增(减)函数时，y ＝f (φ(x ))为增函数；若y ＝f (v )和v ＝φ(x )一增一减时，y ＝f (φ(x ))为减函数．13．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间；(3)证明直线5x －2y ＋c ＝0与函数y ＝f (x )的图像不相切． [解析] (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，又－π<φ<0，则－54<k <－14，∴k ＝－1，则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，可解得：π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . (3)证明：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，∴f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，∴－2≤f ′(x )≤2.则f ′(x )≠52，x ∈R .∴直线5x －2y ＋c 与函数y ＝f (x )的图像不相切．14．已知向量m ＝(sin ωx ＋cos ωx ，3cos ωx )，n ＝(cos ωx －sin ωx,2sin ωx )，其中ω>0，函数f (x )＝m ·n ，若f (x )相邻两对称轴间的距离为π2.(1)求ω的值，并求f (x )的最大值及相应x 的集合；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 所对的边，△ABC 的面积S ＝53，b ＝4，f (A )＝1，求边a 的长．[解析] (1)f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6，由题意可得T ＝π，∴ω＝1， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝1时，f (x )有最大值2， ∴2x ＋π6＝2k π＋π2，∴x ＝k π＋π6 (k ∈Z )，∴x 的集合为{x |x ＝π6＋k π，k ∈Z }．(2)f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝1 ∴sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12 0<A <π，∴2A ＋π6＝5π6， ∴A ＝π3，S ＝12bc sin π3＝53，∴c ＝5，由余弦定理得：a 2＝16＋25－2×4×5cos π3＝21，∴a ＝21.15．如图为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8m ，圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面距离为h .(1)求h 与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒到达OB ，求h 与t 间关系的函数解析式； (3)填写下列表格：[分析][解析] (1)由题意可作图如图．过点O 作地面平行线ON ，过点B 作ON 的垂线BM 交ON 于M 点．当θ>π2时，∠BOM＝θ－π2.h ＝|OA |＋0.8＋|BM |＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. 当0≤θ≤π2时，上述关系式也适合．(2)点A 在⊙O 上逆时针运动的角速度是π30，∴t 秒转过的弧度数为π30t .∴h ＝4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＋5.6，t ∈[0，＋∞)． (3)。

2020高考文科数学(人教A版)总复习课件：高考大题专项三角函数与解三角形

(1)若 sin∠BAC=14,求 sin∠BCA; (2)若 AD=3AC,求 AC.
高考大题专项二
高考中的三角函数与解三角形
考情分析
典典例例剖剖析析
专题总结提升
-14-
题型一
题型二
题型三
题型四
解 (1)由正弦定理得,sin∠�� = sin��∠��,
即2
sin∠��
=
3
1
,
4
解得 sin∠BCA=126.
(2)设 AC=x,AD=3x,在 Rt△ACD 中,CD= ��2-��2=2 2x,
∴sin∠CAD=�� = 232. 在△ABC 中,由余弦定理得 cos∠BAC=��22+·��·2��-��2 = 2��22-1��,① 由于∠BAC+∠CAD=90°,∴cos∠BAC=sin∠CAD,② 由①②得,2��22-1�� = 232,整理得 3x2-8x-3=0,
(2)若 a=2 3,角 B 的平分线交 AC 于点 D,求线段 BD 的长度.
解 (1)由 sin B=sin C 及正弦定理知 b=c.
又 a= 3b,
∴由余弦定理得 cos A=��2+2��2��-��2 = ��2+2��2��2-3��2=-12. ∵A∈(0,π),∴A=23π. (2)由(1)知 B=C=π6,∴在△BCD 中,∠BDC=34π,∠BCD=π6,

2020高考数学核心突破《专题三三角函数、解三角形与平面向量》(含往年真题分析)

专题三三角函数、解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质题型一三角函数的图象1．(1)要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象( C ) A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度(2) (2017·山西朔州模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为__－1__.突破点拨(1)先利用诱导公式将两函数化为同名三角函数，再利用平移法则求解． (2)先求函数f (x )的解析式，再利用解析式求最值．解析 (1)因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3，所以要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度．故选C. (2)由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象，可得A ＝2，14·2πω＝5π6－7π12，解得ω＝2.再根据图象经过点⎝⎛⎭⎫7π12，0，可得2·7π12＋φ＝π＋2k π，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，故函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，故函数f (x )的最小值为2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1. 2. 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．突破点拨(1)由表中数据先写出A ，ω，φ的值，再由ωx ＋φ＝0，π，2π，求出其余值． (2)写出函数y ＝g (x )的解析式，由y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，利用整体思想建立关于θ的方程，根据k ∈Z 及θ＞0，求出θ的最小值．解析 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表.且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.(1)三角函数图象平移问题需注意三点：一是函数名称是否一致；二是弄清由谁平移得到谁；三是左右的平移是自变量本身的变化．(2)对于由三角函数的图象确定函数解析式的问题，一般由函数的最值可确定A ，由函数的周期可确定ω，由对称轴或对称中心和φ的范围确定φ.题型二三角函数的性质1. 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．突破点拨(1)先将已知解析式化简，然后求解．(2)根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)与y ＝sin x 的关系求解．解析 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32. 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2<2x －π3≤π，即5π12<x ≤2π3时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎝⎛⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 2. 设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0＜ω＜10，求ω的值和f (x )的最小正周期．突破点拨(1)先用公式化简，再利用三角函数的性质求解． (2)将x ＝π8代入，求ω，则周期可求．解析由已知得f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4. 又x ∈R ，则2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4≤2，所以f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，即f (x )取最大值时，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z .(2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点，∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z . 又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，其最小正周期为π.求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式． (2)整体意识：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入的方法求解．(3)讨论意识：当A 为参数时，求最值应分情况讨论．三角函数的综合应用【预测】已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2(ω＞0)，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度，得到的函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间．思维导航(1)解题导引：①先化简函数f (x )的解析式，再利用图象与x 轴相邻两个交点的距离是半个周期求解析式；②先求函数g (x )的解析式，再求在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间． (2)方法指导：三角函数的综合应用主要是将三角函数的图象和性质与三角变换相结合，通过变换将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意整体思想的应用．规范解答(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2 ＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －4×1－cos 2ωx 2＋2 ＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3(ω＞0)．根据函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，可得函数f (x )的最小正周期为2×π2＝2π2ω，得ω＝1. 故函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度得到函数 g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋m )＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2m ＋π3的图象．根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，可得3sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2m －π3＝0，所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )．因为m ＞0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6.此时，g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z . 结合x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π12，可得g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，－π12和⎣⎡⎦⎤5π12，7π12. 【变式考法】已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ (0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．解析 (1)由题意，知 f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π12，3和⎝⎛⎭⎫2π3，－2，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即y ＝g (x )的图象上到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )并整理得sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π6＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z .1．(教材回归)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，符合题意，故选A. 2．(2017·广西南宁质检)将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位长度后，得到f (x )的图象，则( B )A ．f (x )＝－sin 2xB ．f (x )的图象关于直线x ＝－π3对称C ．f ⎝⎛⎭⎫7π3＝12D ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称解析将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位长度，得到的图象对应的解析式为f (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3.函数f (x )的图象的对称轴满足2x ＋2π3＝k π(k ∈Z )，即对称轴方程为x ＝k π2－π3(k ∈Z )，所以f (x )的图象关于直线x ＝－π3对称；令2x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，即f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0对称；f ⎝⎛⎭⎫7π3＝－12.故选B. 3．(2017·湖北襄阳模拟)同时具有性质“①最小正周期是4π；②直线x ＝π3是图象的一条对称轴；③在区间⎝⎛⎭⎫2π3，5π6上是减函数”的一个函数是( D )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3解析对于A 项，B 项，∵T ＝2π2＝π，故A 项，B 项不正确．对于C 项，若直线x ＝π3为其图象的一条对称轴，则π3×12＋π3＝k π，k ∈Z ，得π2＝k π，k ∈Z ，k 不存在，不满足题意，故C 项不正确．对于D 项，因为T ＝2π12＝4π，且由x 2＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得图象的对称轴方程为x ＝2k π＋π3，k ∈Z ；当k ＝0时，x ＝π3为图象的一条对称轴．由2k π＋π2≤x 2＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋π3，4k π＋7π3，k ∈Z ，所以函数在区间⎝⎛⎭⎫2π3，5π6上是减函数，故D 项正确．故选D.4．(2017·山西晋中考前测试)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，将函数y ＝f (x )的图象向左平移4π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2，5π2上的最大值为( C )A ．3B ．332C.322D ．22解析由图象可知函数y ＝f (x )的周期为2⎝⎛⎭⎫7π3－π3＝4π， ∴ω＝12.又点⎝⎛⎭⎫π3，0，⎝⎛⎭⎫0，－32在函数y ＝f (x )的图象上， ∴⎩⎨⎧A sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，A sin φ＝－32，且|φ|<π2.∴φ＝－π6，A ＝3，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6， ∴g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋4π3－π6＝3cos 12x . 由x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2，可得12x ∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，则3cos 12x ∈⎣⎡⎦⎤－3，322，即g (x )的最大值为322.5．(书中淘金)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为__20.5__℃.解析依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5. 答案 20.56．(高考改编)把函数y ＝sin 2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6；②该函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；③该函数在⎣⎡⎦⎤0，π6上是增函数；④若函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为3，则a ＝2 3. 其中，正确判断的序号是__②④__.解析将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，所以①不正确．f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝2sin π＝0，所以函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，所以②正确．由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，∴函数的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，而⎣⎡⎦⎤0，π6⃘⎣⎡⎦⎤－512π＋k π，π12＋k π(k ∈Z )，所以③不正确．y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，所以当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，函数取得最小值，y min ＝2sin 4π3＋a ＝－3＋a ，令－3＋a ＝3，得a ＝23，所以④正确．所以正确的判断为②④.7．(考点聚焦)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx ·cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值．解析 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋2π3. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 因此－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 8．(2018·山东青岛调考)已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．解析 (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，可得函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，1＋32. 9．(母题营养)已知函数f (x )＝sin x cos x ＋12cos 2x .(1)若tan θ＝2，求f (θ)的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由函数y ＝f (x )的图象上所有的点向右平移π4个单位长度而得到，且g (x )在区间(0，m )内是单调函数，求实数m 的最大值．解析 (1)因为tan θ＝2，所以sin θ＝2cos θ. 代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得cos 2θ＝15.所以f (θ)＝sin θcos θ＋12cos 2θ＝2cos 2θ＋12(2cos 2θ－1)＝3cos 2θ－12＝110.(2)由已知得f (x )＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 依题意，得g (x )＝22sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4，即g (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 因为x ∈(0，m )，所以2x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，2m －π4. 又因为g (x )在区间(0，m )内是单调函数，所以－π4＜2m －π4≤π2，即0＜m ≤3π8，故实数m的最大值为3π8.10．(母题营养)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域．解析 (1)因为f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ，由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，从而ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴53x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， ∴函数f (x )的值域为[－1－2，2－2]．1．函数f (x )＝cos(w x ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( D )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎡⎦⎤－34，54(f (x )的一个周期)内，函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－14，34.由f (x )是以2为周期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D. 2．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是奇函数，图象关于原点对称，且最小正周期为π，A 项正确．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，是偶函数，B 项错误．y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，非奇非偶，C 项错误．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，非奇非偶，D 项错误．故选A. 3．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( A ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只需把y ＝sin 2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．故选A.4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( C )A.3π4 B ．π2C.π4D ．－π4解析 y ＝sin(2x ＋φ)――→左移π8sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ是偶函数，即π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )⇒φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π4，故选C.5．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深的最大值为( C )A ．5 mB ．6 mC ．8 mD ．10 m解析由题意可知，当sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＝－1时，函数取得最小值2，即3×(－1)＋k ＝2，∴k ＝5.因此，函数的最大值是8，故水深的最大值为8 m.6．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( B )A.π12 B ．π6C.π3D ．5π6解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋m ，由它关于y 轴对称可得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋m ＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，又m >0，∴m 的最小值为π6.7．已知函数f (x )＝A sin(w x ＋φ)(A ，w ，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( A )A ．f (2)＜f (－2)＜f (0)B ．f (0)＜f (2)＜f (－2)C ．f (－2)＜f (0)＜f (2)D ．f (2)＜f (0)＜f (－2)解析 ∵ω>0，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又A >0，∴f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－A ，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，得φ＋4π3＝2k π＋32π(k ∈Z )，即φ＝2k π＋π6(k ∈Z )．又∵φ>0，∴可取f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6， f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6，f (0)＝A sin π6. ∵π<4＋π6<3π2，∴f (2)<0.∵－7π6<－4＋π6<－π，且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫－7π6，－π上为减函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6<sin ⎝⎛⎭⎫－7π6＝sin π6，且sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6>sin(－π)＝0，从而有0<f (－2)<f (0)．故有f (2)<f (－2)<f (0)．故选A.8．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( D )A.5π12B ．π3C.π4D ．π6解析 g (x )＝sin[2(x －φ)] ＝sin(2x －2φ)． ∵|f (x )|≤1，|g (x )|≤1， ∴|f (x )－g (x )|≤2，当且仅当f (x 1)＝1，g (x 2)＝－1或f (x 1)＝－1，g (x 2)＝1时，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2. 不妨设A (x 1，－1)是函数f (x )图象的一个最低点，B (x 2,1)是函数g (x )图象的一个最高点，于是x 1＝k 1π＋3π4(k 1∈Z )，x 2＝k 2π＋π4＋φ(k 2 ∈Z )．∴|x 1－x 2|≥⎪⎪⎪⎪3π4－⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝⎪⎪⎪⎪π2－φ. ∵φ ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，|x 1－x 2|min ＝π3， ∴π2－φ＝π3，即φ＝π6，故选D. 9．已知函数f (x )＝2sin x ＋φ2cos x ＋φ2⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且对于任意的x ∈R ，f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6，则( C ) A ．f (x )＝f (x ＋π) B ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 C ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π3－xD ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x解析 f (x )＝sin(x ＋φ)．由题意，可知f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6对于任意的x ∈R 恒成立，即sin(x ＋φ)≤sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ.又因为|φ|<π2，所以π6＋φ＝π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π3＋x ＋π＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (x )．故选C. 10．已知函数f (x )＝3sin w x ＋cos w x (w ＞0)的图象与x 轴的交点的横坐标可构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．下列说法正确的是( D )A ．g (x )在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是增函数B ．g (x )的图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2,1]解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，由题意知T 2＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x 的图象，易知g (x )是偶函数且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是减函数，其图象不关于直线x ＝－π4对称，所以A 项，B 项，C 项错误．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，2x ∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，则g (x )min ＝2cos π＝－2，g (x )max ＝2cos π3＝1，即函数g (x )的值域为[－2,1]，故选D.11．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的图象大致是( D )解析因为函数f (x )是奇函数，所以排除A ，B 项，f ′(x )＝2－4cos x ，令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，得x ＝±π3，故选D.12．函数f (x )＝A sin w x (A ＞0，w ＞0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值为( A )A ．2＋2B ．32C ．62D ．－2解析由题图可知，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，而2 018＝8×252＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝2＋ 2.故选A.第2讲三角变换与解三角形题型一三角恒等变换1．(1)(2018·河南郑州模拟)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( A )A.17 B ．16C ．57D ．56(2) (2017·河北唐山中学模拟)已知α是三角形的内角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45，则cos ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝( D )A.210B ．－210C ．－7210D ．7210突破点拨(1)注意到β＝(α＋β)－α，再结合已知条件求tan β的值． (2)注意到cos ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π4，再实施运算．解析 (1)tan β＝tan[(α＋β)－α] ＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12－131＋12×13＝17.故选A.(2)∵α是三角形的内角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45<32， ∴α＋π3是钝角，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－35，cos ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫5π12－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫712π＋α＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3·cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin π4＝7210.故选D. 2. 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．突破点拨(1)利用诱导公式转化为二倍角公式，再利用同角三角函数基本关系式求解． (2)切化弦，转化为二倍角公式，再利用(1)的结论求解．解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin α cos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.利用三角恒等变换公式解题的常用技巧(1)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (2)降幂与升幂：通过二倍角公式得到． (3)弦、切互化：一般是切化弦．题型二解三角形1. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ． (1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．突破点拨(1)根据正弦定理把已知条件转化为边的关系，然后利用余弦定理求解．(2)利用勾股定理得到边的一个方程，结合已知条件解方程组求得边长，然后求面积．解析 (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c . 由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac . 因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2，故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2. 所以△ABC 的面积为12×2×2＝1.【变式考法】 (1)在本例条件下，求角B 的范围． (2)在本例条件下，若B ＝60°，b ＝2，求a 的值．解析 (1)因为b 2＝2ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －2ac2ac ＝0，又因为0<B <π，所以0<B ≤π2.(2)因为b 2＝2ac ，b ＝2，所以ac ＝1，又因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以a 2＋c 2＝3，所以a ＋c ＝5，所以a ＝5＋12或5－12. 2. △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin ∠B sin ∠C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．突破点拨(1)利用面积关系得边的关系，再利用正弦定理求解． (2)先利用面积比求BD ，再利用余弦定理求解．解析 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.利用正、余弦定理解三角形的技巧解三角形问题一般要利用正、余弦定理和三角形内角和定理，正弦定理可以将角转化为边，也可以将边转化成角，当涉及边的平方关系时，一般利用余弦定理，要根据题目特点和正、余弦定理的结构形式，灵活选用．有关解三角形的综合问题(1)求∠ACP ；(2)若△APB 的面积是332，求sin ∠BAP .思维导航(1)由已知条件选择余弦定理求得AP .(2)由三角形的面积和(1)结论解得PB ，再由余弦定理及正弦定理求得AB 和sin ∠BAP . 规范解答(1)在△APC 中，因为∠P AC ＝60°，PC ＝2，AP ＋AC ＝4，由余弦定理得PC 2＝AP 2＋AC 2－2AP ·AC ·cos ∠P AC ，所以22＝AP 2＋(4－AP )2－2AP ·(4－AP )·cos 60°，整理得AP 2－4AP ＋4＝0，解得AP ＝2，所以AC ＝2.所以△APC 是等边三角形，所以∠ACP ＝60°.(2)因为∠APB 是△APC 的外角，所以∠APB ＝120°.因为△APB 的面积是332，所以12AP ·PB ·sin ∠APB ＝332，所以PB ＝3.在△APB 中，AB 2＝AP 2＋PB 2－2AP ·PB ·cos ∠APB ＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19，所以AB ＝19.在△APB 中，由正弦定理得AB sin ∠APB ＝PBsin ∠BAP，所以sin ∠BAP ＝3sin 120°19＝35738.【变式考法】 (2017·广州模拟)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，AC <BC ，P 为BC 右上方一点，满足∠BPC ＝90°.(1)若BP ＝2，求AP 的长； (2)求△BPC 周长的最大值．解析由题意知1＝AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝3＋BC 2－3BC ，解得BC ＝2(BC ＝1舍去，则∠CAB ＝90°.又∠BPC ＝90°，且BP ＝2，所以∠PBC ＝45°，从而∠ABP ＝75°.连接AP ，由余弦定理得AP ＝3＋2－2×3×2×6－24＝6＋22. (2)由(1)可知BC ＝2或BC ＝1，又因为求△BPC 周长的最大值，所以BC ＝2，设BP ＝m ，PC ＝n ，则m 2＋n 2＝4.由于BC 长为定值，因此求△BPC 周长的最大值只需求BP ＋PC ＝m ＋n 的最大值即可．又4＝m 2＋n 2≥(m ＋n )22，则m ＋n ≤22，当且仅当m ＝n ＝2时取等号，此时△BPC 的周长取得最大值，为2＋2 2.1．(教材回归)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( D ) A ．－32B ．32C ．－12D ．12解析原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.2．(2017·“江南十校”模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若C＝2B ，则sin Bsin A＝( D )A.c 2a 2＋b 2－c 2 B ．b 2a 2＋b 2－c 2C.a 2a 2＋b 2－c2 D ．c 2a 2＋c 2－b2解析由已知，得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，所以sin C sin B ＝2cos B ．由正弦定理及余弦定理，得c b ＝2×a 2＋c 2－b 22ac ，则b a ＝c 2a 2＋c 2－b2. 再由正弦定理，得sin B sin A ＝c 2a 2＋c 2－b 2，故选D.3．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为__3__.解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.4．(2017·河南郑州调考)已知△ABC 中，角C 为直角，D 是边BC 上一点，M 是AD 上一点，且CD ＝1，∠DBM ＝∠DMB ＝∠CAB ，则MA ＝__2__.解析如图，设∠DMB ＝θ，则∠ADC ＝2θ，∠DAC ＝π2－2θ，∠AMB ＝π－θ，∠ABM ＝π2－2θ，在Rt △ABC 中，cos θ＝cos ∠CAB ＝ACAB ；在△CDA 中，由正弦定理得CD sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θ＝ACsin 2θ；在△AMB 中，由正弦定理得MA sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θ＝ABsin (π－θ)， ∴CD MA ＝AC ·sin θAB ·sin 2θ＝AC ·sin θ2AB ·sin θcos θ＝12，从而MA ＝2. 5．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝__1__.解析在△ABC 中，由余弦定理的推论可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52＋62－422×5×6＝34，由正弦定理可知sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a ·cos Ac ＝2×4×346＝1.6．(书中淘金)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD解析依题意有AB ＝600，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠DBC ＝30°，DC ⊥CB . ∴∠ACB ＝45°，在△ABC 中，由AB sin ∠ACB ＝CB sin ∠CAB ，得600sin 45°＝CBsin 30°，有CB ＝3002，在Rt △BCD 中，CD ＝CB ·tan 30°＝1006，则此山的高度CD ＝100 6 m.7．(考点聚焦)已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω＞0，m ＞0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫θ2＝65，θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，求f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8的值．解析 (1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)， ∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2.由题意知函数f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f ⎝⎛⎭⎫θ2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝65， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35， ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45， ∴f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ＋π8＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝4×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－4825. 8．(教材回归)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解析 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB <BC ，所以C ＜A ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 9．(2017·河北唐山二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2＝λab . (1)若λ＝6，B ＝5π6，求sin A ；(2)若λ＝4，AB 边上的高为3c6，求C . 解析 (1)已知B ＝5π6，a 2＋b 2＝6ab ，结合正弦定理得4sin 2A －26sin A ＋1＝0，解得sin A ＝6±24. 因为0<A <π6，所以sin A <12，所以sin A ＝6－24.(2)由题意可知S △ABC ＝12ab sin C ＝312c 2，得12ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝312(4ab －2ab cos C )．从而有3sin C ＋cos C ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝1. 又π6<C ＋π6<7π6，所以C ＝π3.10．(2017·山东淄博模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解析 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理，得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 易知sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0<A <π，所以A ＝π3. (2)方法一由(1)得B ＋C ＝2π3⇒C ＝2π3－B ⎝⎛⎭⎫0<B <2π3，因为a sin A ＝2sin π3＝43，所以由正弦定理得b ＝43sin B ，c ＝43sin C . 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×43sin B ×43sin C ·sin π3＝433sin B ·sin C ＝433·sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝433⎝⎛⎭⎫32sin B cos B ＋12sin 2B ＝sin 2B －33cos 2B ＋33＝233sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋33.易知－π6<2B －π6<7π6，故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为233＋33＝ 3.方法二由(1)知A ＝π3，又a ＝2，由余弦定理得22＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即b 2＋c 2－bc ＝4⇒bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ⇒bc ≤4，当且仅当b ＝c＝2时，等号成立．所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×32bc ≤34×4＝3，即当b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值，最大值为 3.1．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π6. (1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2，求实数a的取值范围．解析 (1)f (x )＝(1＋cos 2x )－⎝⎛⎭⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6 ＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴函数f (x )的最大值为2，当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到．∴函数f (x )取最大值时x 的取值集合为x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π＋π6，k ∈Z . (2)由题意，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6， ∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝ 1，即a 2≥1，当b ＝c ＝1时取等号．又由b ＋c >a ，得a <2， ∴a 的取值范围是[1,2)．2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值．解析 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .∵△ABC 的面积等于3， ∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A . ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.3．(2017·浙江重点中学联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若C ＝2B ，求证：cos A ＝3cos B －4cos 3B ；(2)若b sin B －c sin C ＝a ，且△ABC 的面积S ＝b 2＋c 2－a 24，求角B .解析 (1)证明：∵C ＝2B ，∴A ＝π－3B ， ∴cos A ＝cos(π－3B )＝－cos(B ＋2B ) ＝－cos B cos 2B ＋sin B sin 2B ＝－cos B (2cos 2B －1)＋2sin 2B cos B＝cos B －2cos 3B ＋2cos B (1－cos 2B )＝3cos B －4cos 3B ， ∴cos A ＝3cos B －4cos 3B .(2)在△ABC 中，∵S ＝b 2＋c 2－a 24，∴S ＝b 2＋c 2－a 24＝12bc sin A .由余弦定理知b 2＋c 2－a 24＝12bc cos A ，∴12bc cos A ＝12bc sin A ，∴tan A ＝1，而A ∈(0，π)，∴A ＝π4.∵b sin B －c sin C ＝a ，由正弦定理，得 sin 2B －sin 2C ＝sin A ＝22， ∴cos 2C －cos 2B ＝ 2.∵2C ＝2π－2A －2B ＝3π2－2B ，∴－sin 2B －cos 2B ＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π4＝－1. ∵B ∈(0，π)，∴2B ＋π4＝3π2，∴B ＝5π8.4．(2017·武汉武昌五月调研)已和函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的图象经过点⎝⎛⎭⎫0，12，且相邻两条对称轴的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若f ⎝⎛⎭⎫A 2－cos A ＝12，bc ＝1，b ＋c ＝3，求a 的值．解析 (1)将⎝⎛⎭⎫0，12代入f (x )的解析式，得sin φ＝12. 又因为0<φ<π2，所以φ＝π6.又因为最小正周期T ＝π2×2＝π，所以ω＝2.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以π6≤2x ＋π6≤13π6，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π2或2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤3π2，13π6时，f (x )递增，即x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6或x ∈⎣⎡⎦⎤2π3，π时，f (x )递增．所以函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π6，⎣⎡⎦⎤2π3，π. (2)由(1)知f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6，代入已知等式得 sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6－cos A ＝32sin A ＋12cos A －cos A ＝32sin A －12cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12，所以A －π6＝π6或5π6，即A ＝π3或A ＝π(舍去)．又因为bc ＝1，b ＋c ＝3，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝6，所以a ＝ 6. 5．(2018·山东青岛模拟)在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且b ＝4，A ＝π3，面积S ＝2 3. (1)求a 的值；(2)设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．解析 (1)在△ABC 中，∵S ＝12bc sin A ，∴23＝12×4×c ×32，∴c ＝2.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16＋4－2×4×2×12＝2 3.(2)∵a sin A ＝b sin B ，即2332＝4sin B，∴sin B ＝1，又0<B <π，∴B ＝π2，∴C ＝π6，∴f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数解析式为g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，故g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 6．(2018·辽宁协作体一模)设△ABC 是锐角三角形，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B sin ⎝⎛⎭⎫π3－B . (1)求角A 的值；(2)若AB →·AC →＝12，a ＝27，求b ，c (其中b ＜c )．解析 (1)∵(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ，∴sin 2A －sin 2B ＝⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B⎝⎛⎭⎫32cos B －12sin B ，即sin 2A ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B＝34(cos 2B ＋sin 2B )＝34， ∵角A 为锐角△ABC 的内角，∴sin A >0， ∴sin A ＝32，∴A ＝π3. (2)AB →·AC →＝bc cos A ＝12，∴bc ＝24，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝(27)2， ∴b ＋c ＝10，又∵b <c ，∴b ＝4，c ＝6.第3讲平面向量题型一向量的概念及线性运算高考中常从以下角度命题：1. (1)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．若(a＋k c)∥(2b－a)，则k＝－1613.(2)如图，E为平行四边形ABCD的边DC的中点，F为△ABD的重心，且AB→＝a，AD→＝b，则FE→＝23b＋16a.突破点拨(1)利用向量的坐标运算和向量共线定理求解．(2)利用向量加、减法的几何意义和重心公式求解．解析(1)因为(a＋k c)∥(2b－a)，又a＋k c＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，所以2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，所以k＝－1613.(2)由F为△ABD的重心，得AF→＝23×12AC→＝13(a＋b)．又AE→＝AD→＋DE→＝b＋12a，所以FE→＝AE→－AF→＝23b＋16a.2．(1)在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝12，y＝－16.(2)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若m a＋n b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为__－3__.突破点拨(1)画出图形，利用向量加减法则求解．(2)利用向量的坐标运算求解．。