第7例悬臂梁
梁的内力分析
FQ 3 为负剪力， M 3 为正弯矩。
在计算梁的剪力和弯矩时，可以通过下面的结论直接计算： （1）某截面上的剪力等于该截面左侧（或右侧）梁段上所 有横向外力的代数和。（左上右下剪力为正；反之则为负） 以该截面左侧杆段上的外力进行计算时，则向上的外力产生 正剪力，反之为负。以该截面右侧杆段的外力计算时，则 向下的外力产生正剪力，反之为负。 (2)某截面上的弯矩等于该截面左侧（或右侧）所有外力对该 截面之矩的代数和。（左顺右逆弯矩为正；反之则为负） 以左侧的外力进行计算时，则绕截面顺转的外力产生正弯矩， 反之为负。以右侧的外力计算时，绕截面逆转的外力产生 正弯矩，反之为负。
F
Q1
、 M 1 为正值，表示该截面上剪力和弯矩与所设方向一致，故为正剪力，正弯矩。
例 7－ 1
（3）求 2-2 截面的内力。用截面法把梁从 2-2 截面处切成两段，取左段为研究对象，受 力如图 7－6c。图中剪力和弯矩都假设为正。由平衡方程得 ∑Fy＝0,
FA － F Q 2 ＝0, F Q 2 ＝ FA =2 kN
FQ1 FA 2kN M1 FA 2 2 2 4kN m
图
FQ2=FA－F＝2－3＝－1kN
M 2 FA 2 2 2 4kN m
(3)求3－3和4－4截面的剪力和弯矩，取右侧计算。
FQ 3 FB 1kN
M3 FB 4 m 1 4 2 2kN m
MA 0
MB ql ql 2 l 0 2 2 ql l q l ql 2 M C ( )2 2 2 2 2 8
当x ＝l 时
当x＝l/2时,
时将三点用一光滑曲线连成一抛物线即得梁的弯矩图，见图7－9c。
材料力学 典型案例
材料力学典型案例材料力学典型案例：1. 悬臂梁的弯曲问题悬臂梁是一种常见的结构，经常用于桥梁、楼梯和支撑物等。
在悬臂梁的弯曲问题中，常常需要计算梁的挠度和应力分布。
通过应用材料力学的理论和公式，可以准确计算出悬臂梁在外力作用下的弯曲情况，并确定梁的安全性。
2. 拉伸试验中的应力应变关系拉伸试验是材料力学中常用的实验方法之一，用于确定材料的力学性质。
在拉伸试验中，通过施加不断增加的拉伸力，测量材料的应变和应力，得到应力应变关系曲线。
该曲线可以描述材料在拉伸过程中的变形和破坏行为。
3. 管道的弯曲问题管道的弯曲问题是材料力学中的一个重要问题。
在工程实践中，经常需要对管道进行弯曲设计和分析。
通过应用材料力学的理论和方法，可以计算出管道在外力作用下的应力和变形情况，从而确定管道的强度和稳定性。
4. 钢筋混凝土梁的受弯问题钢筋混凝土梁是建筑结构中常用的承载构件之一。
在设计和施工过程中，需要对钢筋混凝土梁的受弯性能进行分析和计算。
通过应用材料力学的理论和公式，可以确定钢筋混凝土梁在受弯作用下的应力和变形情况，并评估梁的承载能力和安全性。
5. 地基沉降引起的结构变形问题地基沉降是建筑结构中常见的问题之一，它会导致结构的变形和破坏。
通过应用材料力学的理论和方法，可以计算出地基沉降引起的结构变形和应力分布，从而评估结构的稳定性和安全性，并提出相应的加固措施。
6. 薄壁容器的承载问题薄壁容器是化工和食品等行业常用的储存和运输设备。
在设计和使用过程中，需要对薄壁容器的承载能力进行评估。
通过应用材料力学的理论和公式，可以计算出薄壁容器在内外压力作用下的应力和变形情况，从而确定容器的安全性和可靠性。
7. 斜拉桥的稳定性问题斜拉桥是一种特殊的桥梁结构，具有较大的跨度和较轻的自重。
在斜拉桥的设计和施工过程中，需要对桥梁的稳定性进行分析和计算。
通过应用材料力学的理论和方法，可以确定斜拉桥在外力作用下的应力和变形情况，从而评估桥梁的稳定性和安全性。
工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI
悬臂梁的横向扭转屈曲例题汇总
7.6 横向扭转屈曲分析实例(GUI方式)可以用BEAM188 和BEAM189 单元来模拟直梁的弯曲和剪切，也可以模拟梁的横向扭转屈曲。
为了建立这一模型，需要建立足够密的梁单元网格。
典型地，需要用一系列的梁单元来模拟一根直梁。
如图7-4 所示。
图7-4 悬臂梁的横向扭转屈曲悬臂梁的横向扭转屈曲，用60个BEAM188 单元模拟(通过/ESHAPE显示)《ANSYS Structural Analysis Guide》§7 详细叙述了屈曲分析。
本例分析悬臂梁在末端承受横向载荷时的行为。
7.6.1 问题描述一根直的细长悬臂梁，一端固定一端自由。
在自由端施加载荷。
本模型做特征值屈曲分析，并进行非线性载荷和变形研究。
研究目标为确定梁发生支点失稳(标志为侧向的大位移)的临界载荷。
参见图7-5。
7.6.2 问题特性参数材料特性：杨氏模量=1.0X10e4 psi；泊松比=0.0。
几何特性：L=100 in；H=5 in；B=2 in。
载荷为：P=1 lb。
7.6.3 草图图7-5 梁的变形7.6.4 特征值屈曲和非线性破坏分析特征值屈曲分析是线性分析，通常仅适用于弹性结构。
通常在小于特征值屈曲分析得到的临界载荷之前发生材料屈服。
这种分析比完全非线性屈曲分析所需的求解时间要少。
用户还可以用弧长法做非线性载荷-位移研究，这时用弧长法确定临界载荷。
对于更一般的情况，需要进行破坏分析。
模型有缺陷时，必须做非线性破坏分析，因为完美模型不会表现出显著的屈曲。
可以通过使用特征值分析得到的特征向量，来加入缺陷。
求得的特征向量是对实际屈曲模态最接近的预测。
添加的缺陷与梁的典型厚度相比，应为小量。
缺陷删除了载荷-位移曲线的突变部分。
通常情况下，缺陷最大值为梁厚度的1%～10%。
UPGEOM命令在前一步分析的基础上添加位移，并把几何形状更新到变形后的形状。
7.6.5 设置分析名称和定义模型的几何实体1、选择菜单“Utility Menu>File>Change Title”。
悬臂梁的横向扭转屈曲例题
7.6 横向扭转屈曲分析实例(GUI方式)可以用 BEAM188 和 BEAM189 单元来模拟直梁的弯曲和剪切，也可以模拟梁的横向扭转屈曲。
为了建立这一模型，需要建立足够密的梁单元网格。
典型地，需要用一系列的梁单元来模拟一根直梁。
如图7-4 所示。
图7-4 悬臂梁的横向扭转屈曲悬臂梁的横向扭转屈曲，用60个 BEAM188 单元模拟(通过/ESHAPE显示)《ANSYS Structural Analysis Guide》§7 详细叙述了屈曲分析。
本例分析悬臂梁在末端承受横向载荷时的行为。
7.6.1 问题描述一根直的细长悬臂梁，一端固定一端自由。
在自由端施加载荷。
本模型做特征值屈曲分析，并进行非线性载荷和变形研究。
研究目标为确定梁发生支点失稳(标志为侧向的大位移)的临界载荷。
参见图7-5。
7.6.2 问题特性参数材料特性：杨氏模量=1.0X10e4 psi；泊松比=0.0。
几何特性：L=100 in；H=5 in；B=2 in。
载荷为：P=1 lb。
7.6.3 草图图7-5 梁的变形7.6.4 特征值屈曲和非线性破坏分析特征值屈曲分析是线性分析，通常仅适用于弹性结构。
通常在小于特征值屈曲分析得到的临界载荷之前发生材料屈服。
这种分析比完全非线性屈曲分析所需的求解时间要少。
用户还可以用弧长法做非线性载荷-位移研究，这时用弧长法确定临界载荷。
对于更一般的情况，需要进行破坏分析。
模型有缺陷时，必须做非线性破坏分析，因为完美模型不会表现出显著的屈曲。
可以通过使用特征值分析得到的特征向量，来加入缺陷。
求得的特征向量是对实际屈曲模态最接近的预测。
添加的缺陷与梁的典型厚度相比，应为小量。
缺陷删除了载荷-位移曲线的突变部分。
通常情况下，缺陷最大值为梁厚度的1%～10%。
UPGEOM命令在前一步分析的基础上添加位移，并把几何形状更新到变形后的形状。
7.6.5 设置分析名称和定义模型的几何实体1、选择菜单“Utility Menu>File>Change Title”。
悬臂梁和简支梁算例PPT课件
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输入荷载
输入节点荷载、梁单元荷载、压力荷载等荷载前，需先定义静力 荷载工况(Static Load Case)
直接按快捷键F9启动荷载 / 静力荷载工况
在名称一栏中键入节点荷载
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建立静力荷载工况
在类型一栏中选择 用户定义的荷载
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 11 12 13 14 15 16 17 -3
y向轴网的起始位置 -7，15个1m长的网格,-7,15@1
EQUATION STATUS TOTAL NUMBER OF VALID DOFS IN MODEL ..........: 18 NUMBER OF EQUATIONS IN A BLOCK ...............: 18 NUMBER OF BLOCKS .............................: 1
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1反力对话框 2位移对话3框内力对话4框应力对话框
结果的四个页面对话框
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梁单元细部分析（Beam Detail Analysis） 通过梁的细部分析，生成梁的变形形状、剪力图(SFD)、 弯矩图(BMD)，并给出截面的应力分布图
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梁单元细部分析（Beam Detail Analysis）
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复制已有节点
首先选择待复制的节点 可以采用单选或窗口选择
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复制已有节点
新生成的节点序列
输入dx, dy, dz等 两节点间距离时 可使用鼠标编辑 功能通过连续点 击相应节点来方 便地输入。
悬臂梁实验报告
实验报告悬臂梁的模态实验姓名： xxx学号： xxx专业： xxx系别： xxx一、试验装置二、实验原理本实验采用锤击法测定悬臂梁的频响函数，将第S 点沿坐标X S 方向作用的锤击力和第r 点沿X r 方向的响应分别由相应的传感器转换为电信号，在由动态分析仪，按照随机振动理论，运算得出r,s 两点间的频响函数rs H ~，∑=+-==ni i i i k i s i r s r rs i k F X H 12)()()(0)21(~~λζλϕϕ （1） 又由于响应信号是加速度，同时圆频率为ω，位移函数,sin t X x ω=其加速度为,sin 22x t X a ωωω-=-=用复数表示后，参照（1）可得到加速度频响函数为：∑=+--=-=ni i i i k i s i r s r a rs i kF X H 12)()()(202)21(~~λζλϕϕωω （2） 由公式（2）可知，当k ωω=时，1=k λ，此时式（2）可近似写为：,22)(~)()()()()()(2kk k s k r k k k sk r k k a rs m i k i H ζϕϕζϕϕωωω-=-== （3） 它对应频响函数a rs H ~的幅频曲线的第k 个峰值，其中在上面（3），k m kk k 2()(ω）式中=为各阶主质量．．．n k ,3,2,1=。
改变s 点的位置，在不同点激振，可以得到不同点与点r之间的频响函数，当s=r 时，就可得到点r 处的原点频响函数，表示为：∑=+--=ni i i i i i r i r a rr i k H 12)()()(2)21(~λζλϕϕω （4） 它的第k 个峰值为：,2)(~)()()(2kk k r k r k k a rr k i H ζϕϕωωω-== （5）由（3）/（5）得到：（6）若另1)(=k rϕ，就可得到：（7）由（7）式，另s=1,2,3，．．．．．．ｎ，就可得到第k 阶主振型的各个元素。
工程力学c材料力学部分第六章 弯曲变形
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
悬臂梁—有限元ABAQUS线性静力学分析实例分解
线性静力学分析实例——以悬臂梁为例线性静力学问题是简单且常见的有限元分析类型，不涉及任何非线性（材料非线性、几何非线性、接触等），也不考虑惯性及时间相关的材料属性。
在ABAQUS 中，该类问题通常采用静态通用（Static，General）分析步或静态线性摄动（Static，Linear perturbation）分析步进行分析。
线性静力学问题很容易求解，往往用户更关系的是计算效率和求解效率，希望在获得较高精度的前提下尽量缩短计算时间，特别是大型模型。
这主要取决于网格的划分，包括种子的设置、网格控制和单元类型的选取。
在一般的分析中，应尽量选用精度和效率都较高的二次四边形/六面体单元，在主要的分析部位设置较密的种子；若主要分析部位的网格没有大的扭曲，使用非协调单元（如CPS4I、C3D8I）的性价比很高。
对于复杂模型，可以采用分割模型的方法划分二次四边形/六面体单元；有时分割过程过于繁琐，用户可以采用精度较高的二次三角形/四面体单元进行网格划分。
悬臂梁的线性静力学分析1.1 问题的描述一悬臂梁左端受固定约束，右端自由，结构尺寸如图1-1 所示，求梁受载后的Mises 应力、位移分布。
材料性质：弹性模量 E 2e3 ，泊松比0.3均布载荷：F=103N图1-1 悬臂梁受均布载荷图1.2 启动ABAQUS 启动ABAQUS 有两种方法，用户可以任选一种。
（1）在Windows 操作系统中单击“开始” --“程序” --ABAQUS 6.10 --ABAQUS/CAE 。
（2）在操作系统的DOS 窗口中输入命令：abaqus cae。
启动ABAQUS/CAE 后，在出现的Start Section（开始任务）对话框中选择Create Model Database。
1.3 创建部件在ABAQUS/CAE 顶部的环境栏中，可以看到模块列表：Module ：Part，这表示当前处在Par（t 部件）模块，在这个模块中可以定义模型各部分的几何形体。
有限元作业：悬臂梁
例一：悬臂梁在循环加载作用下的弹塑性计算(GUI)一、问题描述：一个左端固定的悬臂梁见图1-1(a)，厚度为1cm,在它的右段中点上施加有一个集中力，该集中力为循环载荷见图1-1(b)，悬臂梁的材料为多线性弹性材料，材料的弹性模量为20000，实验获得的该材料的非线性应力-应变行为见表1-2，分析该悬臂梁在循环载荷作用下的观测点P的水平方向上的应力应变历程。
(a)悬臂梁以及加载位置(cm)(b)所受的循环载荷(N)图1-1一个悬臂梁以及加载历程表1-2 〉材料的应力-应变行为实验数据二、问题分析解答：为考察悬臂梁根部P点的应力-应变历程，采用2D的计算模型，使用平面单元PLANE42，材料采用多线性弹塑性模型(mkin)，进行循环加载过程的分析。
建模的要点如下：①设置几何以及材料参数，②输入材料的多线性弹塑性模型(包括：弹性模量、屈服极限)，见图1-3；③通过设置time来给出加载历程，每次加载都输入当时的状态载荷值，不是增量加载，每次加载后，必须进行计算，再进入下一步的计算；④在时间后处理中，通过设置几何位置来查询对应的P观测点的节点编号，并设置观测点的应力显示变量(2号变量)以及塑性应变为显示变量(3号变量)，最后将3号变量设置为横轴，画出2号变量随3号变量的变化曲线见图1-4，可以看出，该材料具有非常明显的Bauschinger效应(即正向屈服与反向屈服之和是单拉实验屈服极限的2倍)。
给出的基于图形界面(GUI)的交互式操作(step by step)过程如下：(1) 进入ANSYS（设定工作目录和工作文件）程序→ANSYS →ANSYS Interactive →Working directory（设置工作目录）→Initial jobname（设置工作文件名）: Beams →Run →OK(2) 设置计算类型ANSYS Main Menu：Preferences… →Structural →OK(3) 设定不显示时间ANSYS Utility Menu：PlotCtrls→Window Controls →Window Options… →DATE：No Date or Time →OK(4) 定义单元类型ANSYS Main Menu：Preprocessor →Element Type →Add/Edit/Delete... →Add…→Solid: Quad 4node 42 →OK（返回到Element Types窗口）→Close(5) 定义材料参数ANSYS Main Menu: Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic →输入EX: 2E4, PRXY: 0.3 (定义弹性模量及泊松比) →OK →返回Define Material ModelBehavior 窗口Structural →NonLinear→Inelastic →Rate Independent →Kinematic Hardening Plasticity →Mises Plasticity →Multilinear (Fixed table) →在Strain一行中对应1至4号点输入0.004、0.015、0.03、0.08 →在Curve1中对应1至4号点输入80、160、210、280 →点击右下角Graph→OK →Close（关闭材料定义窗口），见图1-3，观察窗口中的多线性弹塑性模型(6) 构造模型生成关键点ANSYS Main Menu：Preprocessor →Modeling →Create →Keypoints→In Active CS →Keypoints number：1，X，Y，Z Location in active CS：0，0，0 →Apply →同样依次输入其他三个关键点（100，0，0）、（100，10，0）与（0，10，0）→OKANSYS Main Menu：Preprocessor →Modeling →Create →Areas →Arbitrary →Through KPs →用鼠标依次点击1、2、3、4关键点，生成面单元，见图1-5构造模型图(7) 网格划分ANSYS Main Menu：Preprocessor →Meshing →Mesher Opts →Mesher Type : Mapped →OK →2D Shape Key : Quad →OKANSYS Main Menu：Preprocessor →Meshing →size contrls→ManualSize→Lines →Picked Lines →选择上下两条横边线，Ok →NDIV 设置为20 →Apply →选择两条竖边线→Ok →NDIV设置为8 →OK ANSYS Main Menu：Preprocessor →Meshing →Mesh →Areas →Target Surf →点击生成面几何体的位置，显示矩形面被选中→OK，见图1-6网格划分图(8) 模型加约束ANSYS Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Displacement On Lines →选取左侧边线（L4）→OK →select Lab2: All DOF(施加全部约束) →OK，见图1-7模型加约束图(9)求解设置ANSYS Main Menu : Solution →Analysis Type →Sol’n Controls →在Basic标签下设置Analysis Options 为Large Displacement Satic，Number of substeps: 8, Max no. of substeps :25Min no. Of substeps:2, Frequency 设置为Write N number of substeps Where N = 10 →OK(10)按照时间步施加循环载荷ANSYS Main Menu : Solution →Analysis Type →Sol’n Controls →在Basic标签下设置Time at end of loadstep:1 →OKANSYS Main Menu : Solution →Define Loads →Apply →Structural →Force/Moment →On Nodes →选择右侧边缘中点（26号节点）→OK →Lab：Fy，Value：-40 →OK，结果见图1-8ANSYS Main Menu：Solution →Solve →Current LS →OK，结果见图1-9ANSYS Utility Menu : Plot →ReplotANSYS Main Menu : Solution →Analysis Type →Sol’n Controls →在Basic标签下设置Time at end of loadstep: 2 →OKANSYS Main Menu : Solution →Define Loads →Apply →Structural →Force/Moment →On Nodes →选择右侧边缘中点（26号节点）→OK→Lab：Fy，Value：0 →OK，结果见图1-10ANSYS Main Menu：Solution →Solve →Current LS →OK，ANSYS Utility Menu : Plot →ReplotANSYS Main Menu : Solution →Analysis Type →Sol’n Controls →在Basic标签下设置Time at end of loadstep: 3 →OKANSYS Main Menu : Solution →Define Loads →Apply →Structural →Force/Moment →On Nodes →选择右侧边缘中点（26号节点）→OK →Lab：Fy，Value：40 →OK，结果见图1-11ANSYS Main Menu：Solution →Solve →Current LS →OK，结果见图1-12ANSYS Utility Menu : Plot →ReplotANSYS Main Menu : Solution →Analysis Type →Sol’n Controls →在Basic标签下设置Time at end of loadstep: 4 →OKANSYS Main Menu : Solution →Define Loads →Apply →Structural →Force/Moment →On Nodes →选择右侧边缘中点（26号节点）→Lab：Fy，Value：0 →OK，结果见图1-13ANSYS Main Menu：Solution →Solve →Current LS →OK，结果见图1-14ANSYS Utility Menu : Plot →ReplotANSYS Main Menu : Solution →Analysis Type →Sol’n Controls →在Basic标签下设置Time at end of loadstep: 5 →OKANSYS Main Menu : Solution →Define Loads →Apply →Structural →Force/Moment →On Nodes →选择右侧边缘中点（26号节点）→Lab：Fy，Value：-40 →OK，结果见图1-15ANSYS Main Menu：Solution →Solve →Current LS →OK，结果见图1-16ANSYS Utility Menu : Plot →ReplotANSYS Main Menu : Solution →Analysis Type →Sol’n Controls →在Basic标签下设置Time at end of loadstep: 6 →OKANSYS Main Menu : Solution →Define Loads →Apply →Structural →Force/Moment →On Nodes →选择右侧边缘中点（26号节点）→Lab：Fy，Value：0 →OK，结果见图1-17ANSYS Main Menu：Solution →Solve →Current LS →OK，结果见图1-18(11) 计算结果ANSYS Main Menu：General Postproc→Read Results →Last SetANSYS Main Menu：General Postproc→Plot Results →Deformed Shape →Def + Undeformed→OK，观察最后变形情况，见图1-19ANSYS Main Menu：General Postproc→Plot Results →Contour Plot →Element solu→PlasticStrain →Equivalent plastic strain →OK，观察累计的等效塑性应变，见图1-20ANSYS Main Menu：TimeHistPostpro→关闭弹出窗口→Define Variables →Add… →Element Results →OK 在方框中输入2 →OK 在方框中输入4 →OK →在Item，Comp Data item 中选择Stress, X-direction SX →OK返回Define Time-History Variables →Add… →Element Results →OK 在方框中输入2 →OK 在方框中输入4 →OK →在Item，Comp Data item 中选择Strain-plastic, X-dir’n EPPL X →OK →Close ANSYS Main Menu：TimeHistPostpro→关闭弹出窗口→Settings →Graph →Single Variable No. 输入3 →OKANSYS Main Menu：TimeHistPostpro→关闭弹出窗口→Graph Variables →Nvar1中输入2 →OK观察观测点P上的应力应变历程(SX)，见图1-4ANSYS Utility Menu：File →Exit →Save Everything →OK三、ANSYS分析结果：图1-3 多线性弹塑性模型图1-4 观测点P上的应力应变历程(SX)图1-5 构造模型图图1-6 网格划分图图1-7 模型加约束图图1-8图1-9 图1-10图1-11 图1-12图1-13 图1-14图1-15 图1-16图1-17图1-18图1-19 图1-20。
悬臂梁模态实验测试与分析
安装 调试等原因
外 由于 ansys 是基于有限元理论编制的工程软件 有 似方法 单元的节点数 形函数的选 网格的划 等等
似计算的结果 悬臂梁模态的试验值和 ansys 可 作 似值 理论值是较 吻合的 能够
映悬臂梁的真实模态
悬臂梁设计的参考
将 βi L
入式 14
整理可得到 C3 和 C 4 的比值
15
ξi =
接着将式 11 除
C3 shβ i L − sin β i L =− C4 chβ i L + cos β i L
得到的即 悬臂梁各 的振型函数
C4
结合式 13
Y ( x ) = ξ i (sh β i x − sin β i x ) + ch β i x − cos β i x
悬臂梁模态试验案例
本案例中悬臂梁的参数如 弹性模量 E＝205Gpa 直径 d=60mm,长度 L=500mm 材料 45 钢 密度 ρ＝7800kg/m3
1. 理论求解悬臂梁模态 细长梁在作横向振动时所引起的 在求解悬臂梁的模态之前 先做如 形 假设 面假设 剪 要是梁的弯曲 简化模型 形 基于这个 实
测试结构的频响函数 需对结构激振 结构 常用的激振方法有 脉冲锤 本文采用脉冲锤 激振法
使
产生振动 对于一般的工程 境随机激振法
弦稳态激振法和
激振法 通过用固定测量点(
度计) 移动激励点(锤
点)
或者固定激励点
移动测量点的方法 系统的模态
测得频响函数矩
的某一行
然后
通过参数识
(3) 信
和曲线拟合得
采集 和 度传感器响应信 放大 路 行接入 AZ804-A 信 调理
单 梁
材料力学第7章-例10图乘法
q
qh/2 (a)
ql
(2) 求点 A 处的铅垂位移：
FN
在点 A 处施加铅垂向下的单位力， M 其内力图（弯矩图）如图 (d) 所 示。
(b) (c) qhl1/2
将图 (c) 与图 (d) 相图乘得到
AV
1 EI
(
1 2
l
qhl 2
)
2 3
l
qhl 3 6EI
qhl 3 6E bh3
12
例题 如图所示的矩形悬臂梁受均布切向载荷 q ，已知弹性模
量 E ，试求点 A 的铅垂位移 AV 和轴向位移 AH 。
解法一 图乘法
(1) 绘制内力图：
q A h
b
l
将均布切向载荷 q 向轴线简化， 得到一均布轴力 q 和均布力偶 qh/2 ，如图 (a) 所示。
对于上述简化载荷后的轴力图和 弯矩图，如图 (b)，(c) 所示。
向位移
A
l qx dx 0 EA
l qx dx ql2 0 Ebh 2Ebh
M1
均布力偶作用下，在自由端产生的挠度和
转角可用图乘法求得，为此可在自由端分 别施加单位力和单位力偶，并画出载荷和
M2
单位力弯矩图 MF ，M1， M 2 如图 (a), (b) , (c) 所示。
q
l q
qh/2
(a) qhl/2
2ql 3 Ebh2
(
)
(3) 求点 A 处的轴向位移：
在截面 A 沿矩形截面梁上表面施 加单位力，并将其向轴线简化， 得到一单位轴力和一力偶 ，如图 (e)，(f) 所示。
1 A MV
M
1 A
1 h/2
l (d) l (c) qhl/2
第7例悬臂梁
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .6 显示关键点号 拾取菜单Utility Menu- P1otCtrls - Numbering，在所弹出的对话
框中，将Keypoint numbers(关键点号)打开，单击“OK”按钮。
7.2 .7 创建直线
拾取菜单弹出拾取窗口，Main Menu-Preprocessor-ModelingCreate-Lines-Lines Straight Line 拾取关键点1和2，单击 “ok”按钮。
ANSYS 机械工程应用精华60例
内蒙古工业大学机械系 李宗学
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
图7-1 (a)所示为一悬臂梁，图7-1 (b)为梁的横截面形状，分析 其在集中力F作用下自由端的变形。已知截面各尺寸H=50mm, h=43mm，B=35mm, b=32mm，梁的长度L=1m，集中力P=1000N。 钢的弹性模量E=2×1011N/m2，泊松比μ=0.3。
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .8 划分单元
拾取菜单Main Menu-Preprocessor-Meshing-MeshTool，弹出“MeshTool”对 话框，选择“Element Attributes”的下拉列表框为“Lines”，单击下拉列表框后 面的 “Set”按钮，弹出拾取窗口，选择线，单击“OK”按钮，弹出如图7-9所 示的对话框，选择“Pick Orientation Keypoint(s)”为Yes，单击“OK”按钮；弹 出拾取窗口，选择关键点3，单击“OK” 按钮，则横截面垂直于关键点1,2,3所 在的平面，z轴(见图7-1)指向关键点3。
单击“Size Controls”区域中“Lines”后面的“Set”按钮，弹出拾取窗口， 拾取直线，单击“OK”按钮，弹出如图7-10所示的对话框，在“NDIV”文本 框中输入50，单击“OK”按钮。
材力练习题
一、计算题例1 求图1所示截面的形心C 的位置，及x I 、y I例2 试分别计算下图对形心轴x 、y 的的形心主惯性矩x I 、y I 和面积矩S 的最大值、截面模量X W 的最小值。
例3图3所示半径为R 的半圆形截面，形心C 与直径轴x 1的距离43c R y π=，求半圆截面对于形心轴x c 的惯性矩I xc 。
图1图3例4将一根直径d ＝1mm 的直钢丝绕于直径D ＝1m 的卷筒上（图4），已知钢丝的弹性模量E ＝200GPa ，试求钢丝由于弹性弯曲而产生的最大弯曲正应力。
又材料的屈服极限σs ＝350MPa ，求不使钢丝产生塑性变形的卷筒轴径D 1应为多大。
例5 T 字形截面铸铁梁的荷载及截面尺寸如图5(a)示，C 为T 形截面的形心，惯矩I z＝6013×104mm 4，试校核梁的抗剪强度和抗弯强度最大值。
例6矩形截面悬臂梁如图6示，试计算梁的最大切应力和最大正应力并比较大小。
例7图7所示悬臂梁由三块胶合在一起，截面尺寸为：b =100mm ，a =50mm 。
已知木材的[σ]＝10MPa ，[τ]＝1MPa ，胶合面的[τj ]＝0.34Mpa 试求许可荷载[P ]。
例8一钢材试件，直径为25㎜，原标距为125㎜，做拉伸试验，当屈服点荷载为201.0KN ，达到最大荷载为250.3KN ，拉断后测的标距长为138㎜，求该钢筋的屈服点、抗拉强度及拉断后的伸长率。
图4图5图6图7二、选择题题1 请选择正确结论：图形对其对称轴的(a )。
(A)静矩为零，惯性矩不为零，惯性积为零 (B)静矩不为零，惯性矩和惯性积均为零 (C)静矩、惯性矩及惯性积均为零 (D)静矩、惯性矩及惯性积均不为零题2 由惯性矩的平行移轴公式，I Ｚ２ 的答案为(c )。
、(A) ＩＺ２＝ＩＺ1＋bh ３／４ (B) ＩＺ２＝ＩＺ＋bh ３／４(C) ＩＺ２＝I Ｚ＋bh ３(D) ＩＺ２＝ＩＺ1＋bh ３题3 图示矩形截面，Z 轴过形心C ，则该截面关于Z 、Z 1及Z 2轴的惯性矩关系为(c ) (A) I Ｚ＞ＩＺ1＞ＩＺ2 (B) ＩＺ2＞ＩＺ＞ＩＺ1 (C) ＩＺ2＞ＩＺ1＞ＩＺ (D) ＩＺ1＞ＩＺ＞ＩＺ2题4 在边长为2a 的正方形中挖去一个边长为a 的正方形，如图示，则该图形对Z 轴的 惯性矩I Ｚ为( )(A) a 4/4 (B) a 4/3 (C) ４a 4/5 (D) ５a 4/４题2图题4图题3图题5 请选择图示截面对Z 轴惯性矩的正确答案( )。
悬臂梁实验报告(EMA)
2、单元划分：如下图：
图2
3.3 单元属性设置 六面体单元
3.4 求解类型 选中 NORMAL MODES；求解阶数选择 20 个。
三、实验过程（略）
见实验数据
图 3 实验建模
四、结果分析 表 1 1000Hz 内的模态频率及振型描述（按实验模型定义的方向）
阶次
1 2 3 4 5 6 7 8 9
计算 11.725 38.689 73.405 205.33 241.14 365.13 401.89 663.5 664.28
五、振型对比
图 4 第一阶 图 5 第二阶
图 6 第三阶 图 7 第四阶
图 8 第五阶 图 9 计算第六阶，实验第七阶
图 10 计算第七阶，实验第六阶 图 11 第八阶
图 12 第九阶
六、结果分析
实验结果与计算结果存在误差（6、7 阶模态颠倒）的原因可能如下： （1） 实验试件在 5 阶后并非是标准件，所以 5 阶后计算模态并不可信； （2） 实验件上有钻孔，且厚度不一，所以建模不能做到精确； （3） 实验基座刚度有限：Z 方向上刚度基本上满足，但水平方向.26 223.88 404.44 408.39 666.63 696.23
误差（%） 0.043 -9 0.51 0.94 -7.1 --0.47 4.8
振型描述
Z 向一弯 Y 向一弯 Z 向二弯 Z 向三弯 Y 向二弯 计算一扭，实验 Z 向四弯 计算 Z 向四弯，实验一扭 Z 向五弯 Y 向三弯
悬臂梁模态测试实验报告
一、项目描述
材料力学第7章
由C点处的光滑连续条件：
w1 w1
xa
w2 w2
xa
xa
xa
C1 C 2
, D1 D 2
x0
由梁的边界条件： w1
0 ,
w2
xl
0
D1 D 2 0 ,
C1 C 2
Fb 6l
l b
2
2
12
材料力学
出版社 科技分社
得梁AC段转角方程和挠曲线位移方程
积分一次：
E Iw 1 Fb 2l Fb 6l x C1
2
挠曲线近 Fb 似微分方 E Iw1 x l 程：
积分二次：
E Iw 1 x C1 x D1
3
10
材料力学
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CB段（a x l）: 弯矩方程：
M
2
x
Fb l
x F x a
tan dw dx f x
小变形梁可近似为 w f x 转角方程
2
材料力学
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§7.3 积分法求梁的位移
对于等截面直梁
EI w M x
一次积分得转角方程
EI EI w M x dx C
23
材料力学
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所谓改变结构来提高梁的刚度在这里是指增加梁的 支座约束使静定梁成为超静定梁。
24
材料力学
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本章小结 （1）梁的位移用挠度w和转角 两个基本量表示,且
x w x ;
（2）由挠曲线近似微分方程
EI w M x
C 0, D 0
杆及结构的变形计算
1 i
li
M
0 i
M
i
Ei Ii
dsi
i
li
N
0 i
N
i
Ei Ai
dsi
上述公式也可计算角位移，只要将P0视为单位力偶 就能够了。此时公式中旳M0 i，N0 i 即为单位力偶作用 在该构造上所引起旳相应内力。
所以，此时旳功能关系式应是：
A A0 P0 i
li
Mi M0i 2Ei Ii
2
dsi
i
li
Ni N0i 2Ei Ai
2
dsi
用此式减去前两式，可得：
P0 i
li
M 0i M i Ei Ii
dsi
i
li
N0i Ni Ei Ai
dsi
end
为了能直接得到 旳数值，可令P0=1，而相应于此
退出
7-l 拉伸(压缩)时旳变形
单段等截面 等轴力杆件
l Nl EA
多段等截面 等轴力杆件
l Nili
Ei Ai
多段变截面或 变轴力杆件
l
Ni (x) dx
i li Ei Ai (x)
例7-l 计算杆在自重作用下所引起旳伸长，设杆长为l，横截面面积为A，
材料旳比重为g，，弹性模量为E。
ymax y xl ql 4 / 8EI
end
7-4 求杆件变形旳叠加法
在假定杆旳变形微小及材料服从虎克定律旳前提下，杆旳变形(一 般指旳就是截面形心旳线位移和截面旳角位移)都是外加载荷旳线性齐 次函数。所以，当杆上有多种载荷共同作用时，尤其是当各载荷单独作 用时旳变形成果已知(如有表可查)时，用叠加法来计算杆旳变形尤为以 便，用式子体现，以挠度为例,即：
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第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .12 查看结果显示变形
此元素能很好的应用于线性（分析），大偏转，大应力的非线性 （分析）。 BEAM188包含应力刚度，在默认情况下，在某些分析中由
NLGEOM来打开。 在进行弯曲（ flexural）,侧向弯曲（ lateral）,
和扭转稳定性（ torsional stability）分析时，应力刚度应该是被打开 的。 BEAM188 能够采用SECTYPE, SECDATA, SECOFFSET, SECWRITE,和 SECREAD来定义任何截面（形状）。弹性 （elasticity）,蠕变（ creep）,和塑性（ plasticity） 模型都是允许的 (不考虑次截面形状)。
示的对话框.在列表中选“All DOF”。单击“OK”，按钮。
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .10 施加载荷 拾取菜单Main Menu-Solution-Define Loads-Apply-StructuralForce/Moment-OnKeypoints，弹出拾取窗口，拾取关键点2，单击
创建关键点2（1，0，0）和3（0.5，0.5，0）。
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .6 显示关键点号
拾取菜单Utility Menu- P1otCtrls - Numbering，在所弹出的对话
框中，将Keypoint numbers(关键点号)打开，单击“OK”按钮。
7.2 .7 创建直线 拾取菜单弹出拾取窗口，Main Menu-Preprocessor-Modeling-
ANSYS 机械工程应用精华60例
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第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
图7-1 (a)所示为一悬臂梁，图7-1 (b)为梁的横截面形状，分析 其在集中力F作用下自由端的变形。已知截面各尺寸H=50mm, h=43mm，B=35mm, b=32mm，梁的长度L=1m，集中力P=1000N。
钢的弹性模量E=2×1011N/m2，泊松比μ=0.3。
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
根据材料力学的知识，梁横截面对x轴的惯性矩为：
该梁自由端的挠度为:
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
BEAM188
BEAM188 — 3-D 线性有限应变梁
BEAM188 适用于分析细长的梁。 元素是基于Timoshenko 梁 理论的。 具有扭切变形效果。 BEAM188 是一个二节点的三维线性梁。 BEAM188 在每个
出如图7-3所 示的对话框，单击“Add...”按钮，弹出如图7-4所示的 对话框，在左侧列表中选“Structural Beam”，在右侧列表中选“2 node 188 ”,单击“OK”按钮，返回如图7-3所示的对话框，单击 “Close"按钮。
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .2 选择单元类型
元需要指定截面方向点，如果是圆截面，方向点只要不在梁单元的 那条线上就可以了，如果是其他截面的梁单元，方向点的不同可能 会有不同形式的截面形状产生。 定义方向关键点的方法是：在定义先的属性时的line attributes 对话框中，将pick Orientation Keypoint激活为YES，单击OK，出现 line attributes选择框。在图形窗口选择关键点。单击OK，完成。
Create-Lines-Lines Straight Line 拾取关键点1和2，单击 “ok”按钮。
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .8 划分单元
拾取菜单Main Menu-Preprocessor-Meshing-MeshTool，弹出“MeshTool”对
话框，选择“Element Attributes”的下拉列表框为“Lines”，单击下拉列表框后 面的 “Set”按钮，弹出拾取窗口，选择线，单击“OK”按钮，弹出如图7-9所
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 分析步骤
7.2 .1过滤界面 拾取菜单Main Menu-Preferences，弹出如图7-2所示的对话框，选中 “Structural'项，单击“OK"按钮。 7.2 .2 选择单元类型
拾取菜单Main Menu- Preprocessor- Element Type-Add/Edit/Delete,弹
“OK”按钮，弹出如图7-12所示的对话框，选择“Lab”为“FY”，
在“VALUE”文本框中输入-1000，单击“OK”按钮。
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .11 求解 拾取菜单Main Menu-Solution-Solve-Current LS。单击“Solve Current Load Step”对话框中的，“OK”按钮。当出现" Solution is done !”提示时，求解结束，即可查看结果。 7.2 .12 查看结果显示变形
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .8 划分单元
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .9 施加约束
拾取菜单Main Menu-Solution--Define Loads-Apply-Structural-force/moment-
OnKeypoints，弹出拾取窗口，拾取关键点1，单击“OK”按钮，弹出如图7-11所
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .8 划分单元
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
Pick Orientation Keypoint（s）选项打上勾以后就是可以指定点
来确定单元的截面方向。 方向关键点是用来确定加载方向和计算抗弯模量用的。定义了
梁的截面的时候,方向点可以控制截面的方向，结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .3 定义梁的横截面
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .4 定义材料模型
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .5 创建关键点
拾取菜单Main Menu---Preprocessor- Modeling-Create-KeypointsIn Active CS，弹出如图7-8所示的对话框，在“NPT”文本框中输入 1，在“X,Y,Z”文本框中分别输入0,0,0，单击“Apply” 按钮，依次
节点上有6或7个自由度，（自由度）数目的变化是由KEYOPT(1)
来控制的。当 KEYOPT(1) = 0时 (默认), 每节点有6个自由度。 分 别是沿x,y,z的位移及绕其的转动。 当 KEYOPT(1) = 1时,会添加第 七个自由度 (翘曲量) 。
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁 BEAM188
示的对话框，选择“Pick Orientation Keypoint(s)”为Yes，单击“OK”按钮；弹
出拾取窗口，选择关键点3，单击“OK” 按钮，则横截面垂直于关键点1,2,3所 在的平面，z轴(见图7-1)指向关键点3。 单击“Size Controls”区域中“Lines”后面的“Set”按钮，弹出拾取窗口， 拾取直线，单击“OK”按钮，弹出如图7-10所示的对话框，在“NDIV”文本 框中输入50，单击“OK”按钮。 单击“MeshTool”对话框中“Mesh”区域的“Mesh”按钮，弹出拾取窗 口，拾取直线，然后单击“OK”按钮。