信号与系统期中考试答案

一、（15%）已知连续时间信号x t ()和离散时间信号x n []的波形图如下图所示。画出下列各信号的波形图，并加以标

注。

1. ()()11x t x t =-,

2. ()()221x t x t =-,

3. 3()()x x t ττ=-第三个自变量不为t ！！

4. {}1[][][]e x n x n Even x n ==，

5. 2[][][1]x n x n n δ=- 答案

二、（25%）简要回答下列问题。 1． 推导离散时间信号[]0

j n x

n e ω=成为周期信号的条件（3%）

；若是周期信号，给出基波周期的求法（3%）。 答案：若为周期信号，则00()j n

j n N e

e n ωω+=∀，。推出01j N e ω=，再推出02,,0N k k z k ωπ=∈≠。得出

02k

N

ωπ=为有理分数。

2．指出离散时间信号[]j n x n e ω=频率取值的主值范围（2%）

，指出它的最低频率和最高频率（2%）。 答案

2πωπωπ

-≤<≤<或0。 min max 02,21),k k z k k z ωπωππ=∈=+∈或。而或(。

3．断下列两个系统是否具有记忆性。① ()()()()

2

22y t x t x t =-，（1%）

②

[][][]0.51y n x n x n =--。（1%）

答案 ① 无记忆性 ② 有记忆性

4． 简述连续时间和离散时间线性时不变（LTI ）系统的因果性、稳定性与单位冲激响应（Unit impulse response ）的关系（4%）。 答案 因果性与()

()()[][][]h t h t u t h n h n u n ==或互为充要条件。

稳定性与

|()||[]|n h t dt h n +∞

+∞

=-∞

-∞

<+∞<+∞∑⎰或互为充要条件。

5． 很广泛一类因果系统可用常系数微分方程：()()00

k k N

M k k k k k k d y t d x t a b dt dt ===∑∑表征，画出该类系统的增量线性系统结构（2%），用该结构说明全响应的构成方法及每一部分的物理含义（4%），在什么条件下该类系统为LTI 系统

（3%）？ 答案

()()()x i y t y t y t =+, ()()*()x y t x t h t =是仅由输入信号引起响应：零状态响应，

()i y t 是仅由初始状态引起的响应：零输入响应。

当全部的初始状态都为零，即

(1)(0)0,(0)0,,(0)0LTI N y y y ----'===L 为系统

三、（20%）离散时间LTI 系统的单位冲激响应用[]h

n 表示，系统对任意输入信号x n []的响应用[]y n 表示。

1. 写出离散时间信号x n []冲激分解的卷积和（Convolution sum ）表达式（2%）。

2. 利用系统的线性时不变性质，推导给出[]y n 的卷积和表达式（6%）

。 3. 当系统的单位冲激响应[][][]3h

n u n u n =--，输入信号[][][]5x n u n u n =--时，用分段法计算

[]y n ，并图示计算结果（8%）

。 4. 输入信号x n []的序列长度用x L 表示（0,1,,1x n

L =-L ）

，单位冲激响应[]h n 的序列长度用h L 表示（0,1,,1h n L =-L ）

，推导给出输出信号[]y n 的序列长度y L 与x L 和h L 的关系式（4%）。 答案 1．[][][]k x n x k n k δ+∞

=-∞

=

-∑。

2．已知[][]n h n δ→，根据时不变性，得[][],n k h n k k z δ-→-∈。 根据线性特性的比例性，

[][][][]

x k n k x k h n k δ-→-。根据线性特性的可加性，

[][][][]k k x k n k x k h n k δ+∞

+∞

=-∞

=-∞

-→-∑∑。[][][][]k x n y n x k h n k +∞

=-∞

→-∑即=。

3．1) 当n <0，y[n ]=0。 2) 当0

020,02,[]1*11n

k n

n n y n n =≥-≤≤≤==+∑且即

3) 当-2

4and 20,24,[]1*13n

k n n n n y n =≤-≥≤≤=

=∑（）即 4）当4

-2

4and 2446,[]1*17k n n n n y n n =≥-≤≤≤=

=-∑（），即

5）当n >4时y [n ]=0

4.

1

[][][],01

01021

x L h k x x h y x h y n x k h n k n k L k L n L L L L L -==-≤-≤-≤≤-∴≤≤+-=+-∑Q 故

四、（10%）简要回答下列问题。

1．写出卷积算法分配律表达式，并得出并联系统单位冲激响应与各子系统单位冲激响应的关系式（4%）。 答案

2. 写出卷积算法结合律表达式，并得出串联系统单位冲激响应与各子系统单位冲激响应的关系式（4%）。 答案

3. 利用卷积算法的性质，证明串联系统的单位冲激响应与各子系统的串联次序无关（2%）。 答案

12122121([]*[])*[][]*([]*[])[]*([]*[])([]*[])*[]x n h n h n x n h n h n x n h n h n x n h n h n ===五、（20%） 周

期信号x t ()的波形图如下图所示。

1. 求此信号的频谱系数（5%）及傅里叶级数展开表示式（3%）。