2.9回顾与思考-----二次函数小结

想一想
2
b 4ac − b 2 y = a x + + . 2a 4a
2
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c, 一般地,对于二次函数y=ax +bx+c,我们可以利用配方法 y=ax +bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标. 推导出它的对称轴和顶点坐标.
?
(1). y = 2 x 2 − 12 x + 13; (2). y = −5 x 2 + 80 x − 319;
1 (3). y = 2 x − (x − 2); (4). y = 3(2 x + 1)(2 − x ). 2
１.顶点坐标与对称轴 顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 位置与开口方向 ３.增减性与最值 增减性与最值 根据图形填表： 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 的图象和x轴交点 有两个交点 有一个交点 没有交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别式 Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
2 b b b c = a x + x + − + a 2a 2a a 2 b 4ac − b 2 整理:前三项化为平方形 = a x + + 2 2a 4a 式,后两项合并同类项 2 2
b 4ac − b 2 当x = − 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac − b 2 当x = − 时, 最大值为 2a 4a
小结
拓展
回味无穷
函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系 函数y=ax +bx+c(a≠0)与 的关系 (a≠0)
1.相同点 相同点: 相同点 (1)形状相同 图像都是抛物线 开口方向相同 形状相同(图像都是抛物线 开口方向相同). 形状相同 图像都是抛物线,开口方向相同 (2)都是轴对称图形 都是轴对称图形. 都是轴对称图形 (3)都有最 大或小 值. 都有最(大或小 都有最 大或小)值 (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧 都随x的增 时 开口向上 在对称轴左侧,y都随 的增 在对称轴左侧 都随 大而减小,在对称轴右侧 在对称轴右侧,y都随 的增大而增大 的增大而增大. 大而减小 在对称轴右侧 都随 x的增大而增大 a<0时,开口向下 在对称轴左侧 都随 的增大而 开口向下,在对称轴左侧 都随x的增大而 时 开口向下 在对称轴左侧,y都随 增大,在对称轴右侧 在对称轴右侧,y都随 的增大而减小 增大 在对称轴右侧 都随 x的增大而减小 .
由a,b和c的符号确定 和 的符号确定
由a,b和c的符号确定 和 的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着 的增大而减小 在对称轴的左侧 随着x的增大而减小 随着 的增大而减小. 在对称轴的右侧, 随着 的增大而增大. 随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着 的增大而增大
向下
在对称轴的左侧,y随着 的增大而增大 在对称轴的左侧 随着x的增大而增大 随着 的增大而增大. 在对称轴的右侧, 随着 的增大而减小. 随着x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随着 的增大而减小
小结
拓展
回味无穷
函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系 函数y=ax +bx+c(a≠0)与 的关系 (a≠0)
2.不同点 不同点: 不同点 b 4ac−b2 (1)位置不同 顶点不同 分别是 − 2a, 4a 和(0,0). 位置不同(2)顶点不同 位置不同 顶点不同:分别是 b (3)对称轴不同 分别是 直 2 x = − 和y轴. 对称轴不同:分别是 线 对称轴不同 轴 4ac −b (4)最值不同 分别是 4a 和0.2a 最值不同:分别是 最值不同 3.联系 联系: 联系 函数y=ax +bx+c(a≠0) 的图象可以看成 的图象可以看成y=ax²的图象先沿 的图象先沿 函数y=ax2+bx+c 的图象先 b b − − x轴整体左 右)平移 2a |个单位 当 2a >0时,向左平移 轴整体左(右 平移 平移| 个单位(当 向左平移; 轴整体左 个单位 时 向左平移 b − <0时,向右平移 再沿对称轴整体上 下)平移 4ac −b 向右平移),再沿对称轴整体上 平移| 4a 当 2a 时 向右平移 再沿对称轴整体上(下 平移 时向上平移;当 4− 向下平移) |个单位 (当 4acab >0时向上平移 当 4acab <0时,向下平移 个单位 当 4− 时向上平移 时 向下平移 得到的. 得到的
b 4ac − b = a x + + .化简:去掉中括号 2a 4a
配方:加上再 减去一次项系 数绝对值一半 的平方
想一想
3
函数y=ax²+bx+c的图象
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线 我们知道,作出二次函数y=3x 的图象, 可以得到二次函数y=3x 6x+5的图象 的图象. y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象. y = 3x 2 − 6 x + 5 怎样直接作出 提取二次项系数 函数y=3x 函数y=3x2-6x+5 = 3 x 2 − 2 x + 5 3 的图象? 的图象? 5 配方:加上再减去一次项 2 = 3 x − 2 x + 1 − 1 + 系数绝对值一半的平方 1.配方: 1.配方: 配方
x …
2
-2 29
-1 14
0 5
1 2
2 5
3 14
4 29
… …
y =3(x−1) +2
…
4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2 4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x画对称轴 y=3(x 的图象． 的图象．
做一做
5
b 4ac − b 2 y = a x + + . 2a 4a
九年级数学(上 第二章 九年级数学 上)第二章 二次函数
9. 回顾与思考---回顾与思考---二次函数小结
想一想
1
驶向胜利 的彼岸
回顾与思考
1.你在哪些情况下见到过抛物线的“身影” 1.你在哪些情况下见到过抛物线的“身影”?用语言 你在哪些情况下见到过抛物线的 或图形进行描述. 或图形进行描述. 2.你能用二次函数的知识解决哪些实际问题 你能用二次函数的知识解决哪些实际问题? 2.你能用二次函数的知识解决哪些实际问题?与同伴 交流. 交流. 3.小结一下作二次函数图象的方法 小结一下作二次函数图象的方法. 3.小结一下作二次函数图象的方法. 4.二次函数的图象有哪些性质 二次函数的图象有哪些性质? 4.二次函数的图象有哪些性质?如何确定它的开口方 对称轴和顶点坐标?请用具体例子进行说明. 向,对称轴和顶点坐标?请用具体例子进行说明. 5.用具体例子说明如何更恰当或更有效地利用二次函 5.用具体例子说明如何更恰当或更有效地利用二次函 数的表达式,表格和图象刻画变量之间的关系. 数的表达式,表格和图象刻画变量之间的关系. 6.用自己的语言描述二次函数 用自己的语言描述二次函数y=ax +bx+c的图象与方 6.用自己的语言描述二次函数y=ax2+bx+c的图象与方 +bx+c=0的根之间的关系 的根之间的关系. 程ax2+bx+c=0的根之间的关系.
例.求次函数 求次函数 y=ax²+bx+c的对 的对 称轴和顶点坐标． 称轴和顶点坐标．
1.配方: 1.配方: 配方
老师提示: 老师提示
y = ax 2 + bx + c c 2 b = a x + x + a c 2
提取二次项系数
2
这个结果通常 称为求顶点坐 称为求顶点坐 标公式. 标公式
议一议
10
“二次函数应用” 的思路
解决“最值问题” 解决“最值问题”如：“最大利润”和“最大面 最大利润” 此类问题的基本思路 基本思路: 积” 此类问题的基本思路: 1.理解问题 理解问题; 理解问题 2.分析问题中的变量和常量 以及它们之间的关系 建立 分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系 分析问题中的变量和常量 以及它们之间的关系,建立 好平面直角坐标系; 好平面直角坐标系 3.把现实中的数转化为坐标 用数学的方式表示出它 把现实中的数转化为坐标.用数学的方式表示出它 把现实中的数转化为坐标 们之间的关系; 们之间的关系 4.做数学求解 做数学求解; 做数学求解 5.检验结果的合理性 拓展 注重逆向思维 提高能力等. 检验结果的合理性,拓展 注重逆向思维,提高能力 检验结果的合理性 拓展,注重逆向思维 提高能力等
二次函数y=ax +bx+c(a≠0) (a≠0)的图象和 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和 函数 性质
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac − b 2 − , 2a 4a b 直线x = − 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac − b 2 − , 2a 4a b 直线x = − 2a
独立 作业
知识的升华
复习题A组, 3~7题, B组1~6题.
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
做一做
12
驶向胜利 的彼岸
二次函数的图象和性质
组第1 确定下列二次函数的开口方向, 1.(P73A组第1题)确定下列二次函数的开口方向,对称 轴和顶点. 轴和顶点. 2. (P73A组第3,4,5,7题,P75B组第2,3,5题)确定函数 组第3,4,5,7 3,4,5,7题 组第2,3,5 2,3,5题 的解析式,作函数图象 求指定的对应值. 作函数图象,求指定的对应值 的解析式 作函数图象 求指定的对应值 3. (P74A组第4,5,6,7题,P75B组第4,5,6题,P77C组第 组第4,5,6,7 4,5,6,7题 组第4,5,6 4,5,6题 1,2,3,4,5,6题 二次函数的应用求最大值或最小值. 1,2,3,4,5,6题)二次函数的应用求最大值或最小值. 4.(P 组第2 组第1 二次函数y=ax 4.( 73A组第2题,P75B组第1题)二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax +bx+c=0的 根的关系. 根的关系.
2 2 = 3(x − 1) + 3 2 = 3(x − 1) + 2.
3
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项 化简:去掉中括号
想一想
4
直接画函数y=ax²+bx+c的图象
2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标. 2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标. 根据配方式 ∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2). ∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2). 开口向上 x=1;顶点坐标 3.列表:根据对称性,选取适当值列表计算. 3.列表:根据对称性,选取适当值列表计算. 列表
2 元二次方程
二次函数y=ax +bx+c的图象和 轴交点有三种情况:有两个交点, 的图象和x 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点, 有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax +bx+c的图象和 的图象和x 有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交 点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值, y=0时自变量 点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程 +bx+c=0的根 的根. ax2+bx+c=0的根.
2
顶点坐标公式 ?
b 它的对称轴是直线 : x = − . 2a
因此,二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线. 的图象是一条抛物线. 因此,二次函数y=ax y=ax 的图象是一条抛物线
b 4ac − b 2 . 它的顶点是 − , 2a 4a
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：