角平分线的性质定理及其逆定理 教学课件(一)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
则射线OC就是∠AOB的平分线.
A
C
请你说明OC为什么 是∠AOB的平分线, 并与同桌进行交流. O
E
D
B
１:如图，某个居民小区C附近有三条两两相交 实 的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大 际 型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确 应 定该超市的位置P。
用
A M
小区C P
N O B
独立作业
1
如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD
是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD＝4cm，AC的长 (2)求证:AB＝AC＋CD.
A E C D B
独立作业
2
2.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的 角平分线相交于点F. 求证:点F在∠DAE的平分线上. A
PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE.
O
1 2
B E
交换定理的条件和结论得到的命题为：
合作探究
逆命题 到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平 分线上. 它是真命题吗? 如果是.请你证明它. 已知:如图, ∠AOB, PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分 别是D,E. 求证:点P在∠AOB的平分线上. 分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可 以先作出过点P的射线OC,然后证明 ∠AOC=∠BOC.
引例
如图:若想在两条公路围成的A区域内建一个化 工厂，为了减少环境污染,要求化工厂到桥头的 距离是500米，同时为了交通方便,要求化工厂 到两条公路的距离相等，假如你是工程师，你 能在图上找到化工厂的位置吗?
焦寺
（比例尺为１：５００００）
A区域
桥头
旁堤刘
角平分线的
性质定理及其逆定理
定理：角平分线上的点Biblioteka Baidu角的两边 的距离相等
2：若已知超市P到道路OA 的距离为600 米， 求P到道路OB的距离。
A
M
D
P
N O B
引例
如图:若想在两条公路围成的A区域内建一个化 工厂，为了减少环境污染,要求化工厂到桥头的 距离是500米，同时为了交通方便,要求化工厂 到两条公路的距离相等，假如你是工程师，你 能在图上找到化工厂的位置吗?
求证：点P在∠MNO的平分线上
M
F
D P
O
E
N
思考题：2、若要在△MON内部全部覆盖绿化， 已知△MON的周长为2000米，∠OMN、∠MON 的平分线交于点O，PD⊥MN，垂足为D，且 PD=2米
求： △MON的面积
M
D P
O
E
N
小结
拓展
回味无穷
一.定理 角平分线上的点到这个角的两边 距离相等. 二.逆定理 在一个角的内部,且到角的两边 距离相等的点,在这个角的平分线上. 三.遇到角平分线的问题,可以通过角平分 线上的一点向角的两边引垂线,以便充分 运用角平分线定理
∠1＝∠2 ∴__________
(_到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 ______________________________________________)
应用
1
例1.已知:如图,∠C=900,∠B=300, AD是Rt△ABC的角平分线. 求证:BD＝2CD. A
条件：一个点在一个角的平分线上 结论：这个点到角的两边的距离相等 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， A PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
D
3 1
求证：PD=PE.
O
P
Ｃ B
4
E
一.角平分线的性质
定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
A D P
∵∠1= ∠2
焦寺
（比例尺为１：５００００）
A区域
桥头
旁堤刘
做一做
1
三角形内角的角 平分线
剪一个三角形纸片通过 折叠找出每个角的平分线. 观察这三条角平分线, 你发现了什么? 结论:三角形三个角的 平分线相交于一点.
证明两角相等的方法：
１．同角（或等角）的余角（补角）相等．
２．平行线的性质
３．对顶角相等．
E B D C
三.尺规作图 角平分线的作法
用尺规作角的平分线. 已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC 作法:
O B
A
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. 2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为
半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C 3.作射线OC.
B D
F
C
E
独立作业
3
3.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点， PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D. 求证:(1)OC=OD; (2)OP是CD的垂直平分线.
A
C O D P
B
总结归纳
1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 3.性质定理和逆定理的关系
点在角平分线上 点到角两边的距离 相等 4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等 的新途径.角平分线的逆定理是证明点在直线上 (或直线经过某一点)的根据之一.
A
基本应用
填空： (1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________
C
1 2 E D B
(___________________________________________) 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 (1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
二.角平分线性质定理的逆定理
逆定理: 到一个角的两边距离相等的 点,在这个角的平分线上.
用符号语言表示为: ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 分别是D,E,且PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上
A D P O E C
B
温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线 上(或直线经过某一点)的根据之一.
４．全等三角形的对应角相等
５．等边对等角
６．角平分线的性质定理及其逆定理
证明线段相等的方法：
１．全等三角形的对应边相等． •２．角平分线的性质定理 •３．等角对等边 •４．等腰三角形的三线合一 •５.垂直平分线的性质定理
思考题1：已知：△MON中，MP平分∠OMN，OP平分 ∠MON，且PD⊥MN，PE⊥ON，垂足分别为点D、E
A
C
请你说明OC为什么 是∠AOB的平分线, 并与同桌进行交流. O
E
D
B
１:如图，某个居民小区C附近有三条两两相交 实 的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大 际 型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确 应 定该超市的位置P。
用
A M
小区C P
N O B
独立作业
1
如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD
是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD＝4cm，AC的长 (2)求证:AB＝AC＋CD.
A E C D B
独立作业
2
2.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的 角平分线相交于点F. 求证:点F在∠DAE的平分线上. A
PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE.
O
1 2
B E
交换定理的条件和结论得到的命题为：
合作探究
逆命题 到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平 分线上. 它是真命题吗? 如果是.请你证明它. 已知:如图, ∠AOB, PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分 别是D,E. 求证:点P在∠AOB的平分线上. 分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可 以先作出过点P的射线OC,然后证明 ∠AOC=∠BOC.
引例
如图:若想在两条公路围成的A区域内建一个化 工厂，为了减少环境污染,要求化工厂到桥头的 距离是500米，同时为了交通方便,要求化工厂 到两条公路的距离相等，假如你是工程师，你 能在图上找到化工厂的位置吗?
焦寺
（比例尺为１：５００００）
A区域
桥头
旁堤刘
角平分线的
性质定理及其逆定理
定理：角平分线上的点Biblioteka Baidu角的两边 的距离相等
2：若已知超市P到道路OA 的距离为600 米， 求P到道路OB的距离。
A
M
D
P
N O B
引例
如图:若想在两条公路围成的A区域内建一个化 工厂，为了减少环境污染,要求化工厂到桥头的 距离是500米，同时为了交通方便,要求化工厂 到两条公路的距离相等，假如你是工程师，你 能在图上找到化工厂的位置吗?
求证：点P在∠MNO的平分线上
M
F
D P
O
E
N
思考题：2、若要在△MON内部全部覆盖绿化， 已知△MON的周长为2000米，∠OMN、∠MON 的平分线交于点O，PD⊥MN，垂足为D，且 PD=2米
求： △MON的面积
M
D P
O
E
N
小结
拓展
回味无穷
一.定理 角平分线上的点到这个角的两边 距离相等. 二.逆定理 在一个角的内部,且到角的两边 距离相等的点,在这个角的平分线上. 三.遇到角平分线的问题,可以通过角平分 线上的一点向角的两边引垂线,以便充分 运用角平分线定理
∠1＝∠2 ∴__________
(_到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 ______________________________________________)
应用
1
例1.已知:如图,∠C=900,∠B=300, AD是Rt△ABC的角平分线. 求证:BD＝2CD. A
条件：一个点在一个角的平分线上 结论：这个点到角的两边的距离相等 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， A PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
D
3 1
求证：PD=PE.
O
P
Ｃ B
4
E
一.角平分线的性质
定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
A D P
∵∠1= ∠2
焦寺
（比例尺为１：５００００）
A区域
桥头
旁堤刘
做一做
1
三角形内角的角 平分线
剪一个三角形纸片通过 折叠找出每个角的平分线. 观察这三条角平分线, 你发现了什么? 结论:三角形三个角的 平分线相交于一点.
证明两角相等的方法：
１．同角（或等角）的余角（补角）相等．
２．平行线的性质
３．对顶角相等．
E B D C
三.尺规作图 角平分线的作法
用尺规作角的平分线. 已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC 作法:
O B
A
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. 2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为
半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C 3.作射线OC.
B D
F
C
E
独立作业
3
3.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点， PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D. 求证:(1)OC=OD; (2)OP是CD的垂直平分线.
A
C O D P
B
总结归纳
1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 3.性质定理和逆定理的关系
点在角平分线上 点到角两边的距离 相等 4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等 的新途径.角平分线的逆定理是证明点在直线上 (或直线经过某一点)的根据之一.
A
基本应用
填空： (1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________
C
1 2 E D B
(___________________________________________) 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 (1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
二.角平分线性质定理的逆定理
逆定理: 到一个角的两边距离相等的 点,在这个角的平分线上.
用符号语言表示为: ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 分别是D,E,且PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上
A D P O E C
B
温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线 上(或直线经过某一点)的根据之一.
４．全等三角形的对应角相等
５．等边对等角
６．角平分线的性质定理及其逆定理
证明线段相等的方法：
１．全等三角形的对应边相等． •２．角平分线的性质定理 •３．等角对等边 •４．等腰三角形的三线合一 •５.垂直平分线的性质定理
思考题1：已知：△MON中，MP平分∠OMN，OP平分 ∠MON，且PD⊥MN，PE⊥ON，垂足分别为点D、E